41)1(≤
-b b , 41)1(≤-c c
以上三式相乘: (1 a)a ?(1 b)b ?(1
c)c ≤641
与①矛盾 ∴原式成立
是无理数、求证:例24
3.课时小结
反证法主要适用于以下两种情形
(1)要证的结论与条件之间的联系不明显,直接由条件推出结论的线索不够清晰;
(2)如果从正面证明,需要分成多种情形进行分类讨论而从反面进行证明,只研究一种或很少的几种情形.
常见否定用语
是---不是有---没有
等---不等成立--不成立
都是--不都是,即至少有一个不是
都有--不都有,即至少有一个没有
都不是-部分或全部是,即至少有一个是
唯一--至少有两个
至少有一个有(是)--全部没有(不是)
至少有一个不-----全部都
4、课堂练习
课本 91页练习1,2
5、作业布置
课本 91页 1,2,4
补充教案放缩法
●教学目标教学知识点(一)1.放缩法的概念. 2.放缩法证题的基本方法.
(二)能力训练要求 1.初步掌握放缩法的概念. 2.理解放缩法证题的基本方法. 3.培养学生用放缩法简单推理的技能.
(三)德育渗透目标:证明不等式意在提高学生的数学素质,培养学生的创新意识,加强学生分析问题和解决问题的逻辑思维及推理能力,进一步使学生认识到事物间是有联系的辩证唯物主义观念.
●教学重点 1.理解放缩法的推理依据. 2.掌握放缩法证明命题的方法.
●教学难点理解放缩法的推理依据及方法.
●教学过程
1.复习:证明不等式的常用方法:比较法、综合法、分析法. 反证法
2.讲授新课
放缩法:证明不等式时,通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小,可以使不等式中有关项之间的大小关系更加明确或使不等式中的项得到简化而有利于代数变形,从而达到证明的目的,我们把这种方法称为放缩法.
通常放大或缩小的方法是不唯一的,因而放缩法具有较在原灵活性;另外,用放缩法证明不等式,关键是放、缩适当,否则就不能达到目的,因此放缩法是技巧性较强的一种证法.
1 ,,,,12
a b c d R a b c d
a b d b c a c d b d a c
+∈<+++<++++++++例已知求证
: ,,,0,
a b c d a a
a b c d a b d b b
a b c d b c a
c c
a b c d c d b
d d
a b c d d a c
>∴<
+++++<
+++++<
+++++<
+++++Q 证明 . 12
a b c d a b c d a b c d
a b c d a b d b c a c b d d a c a b c d
a b c d
a b d b c a c b a d a c +++++<+++<++++++++++++++<+++<++++++++把以上四个不等式相加得即
例2、求证:21
3121112
222<++++n
Λ 证明:n n n n n 111)1(112--=-< ∴
21
21113121211113121112
222<-=+-++-+-+<++++n n n n
ΛΛ、 .课时小结
,,,,.:
A C A C C
B <<放缩法就是将不等式的一边放大或缩小寻找一个中间量如将放大成即后证常用的放缩技巧有
2222(1)();
(2);
(3).131()();2421111,(1)(1)2)a a k k k k k k k k N +++>+<><-+>>∈舍掉或加进一些项在分式中放大或缩小分子或分母应用基本不等式进行放缩如
以上且 4、课后作业
1、设x > 0, y > 0,y x y x a +++=
1, y
y
x x b +++=11,求证:a < b
)(121
21111212+∈<++++++≤N n n
n n n Λ、
三角形全等的证明教案
三角形全等的证明 【知识梳理】 (一)三角形概述: 1.定义(包括内、外角) 2.性质:三角形的边角关系:⑴角与角:①内角和及推论;②外角和;③n 边形内角和;④n 边形外角和。 ⑵边与边:三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边。 ⑶角与边:在同一三角形中 3.三角形的主要线段 (1)定义:高线、中线、角平分线、中垂线 (2)××线的交点—-- 三角形的×心及性质 4.特殊三角形(等腰三角形、等边三角形)的判定与性质 等腰三角形: 定理:等腰三角形的两个底角相等,(简称:“等边对等角”) 定理:等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合,(简称:“三线合一”) 等腰三角形的判定定理:如果一个三角形的两个角相等,那么这两个角所对的边也相等,(简称“等角对等边”)。 等边三角形的性质及判定: 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 5.全等三角形 全等三角形的的性质:全等三角形的对应边相等,对应角相等; 全等的判定:SAS 、ASA 、AAS 、SSS : 注意问题: (1)在判定两个三角形全等时,至少有一边对应相等; (2)不能证明两个三角形全等的是,a: 三个角对应相等,即AAA ;b :有两边和其中一角对应相等,即SSA 。 记两个三角形全等时,通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。 寻找对应元素的方法: (1)根据对应顶点找 如果两个三角形全等,那么,以对应顶点为顶点的角是对应角;以对应顶点为端点的边是对应边。通常情况下,两个三角形全等时,对应顶点的字母都写在对应的位置上,因此,由全等三角形的记法便可写出对应的元素。 (2)根据已知的对应元素寻找 全等三角形对应角所对的边是对应边,两个对应角所夹的边是对应边; (3)通过观察,想象图形的运动变化状况,确定对应关系。 通过对两个全等三角形各种不同位置关系的观察和分析,可以看出其中一个是由另一个经过下列各种运动而形成的。 翻折 如图(1),?BOC ≌?EOD ,?BOC 可以看成是由?EOD 沿直线AO 翻折180?得到的; 等边 等角 大边 大角 小边 小角
三角形的有关证明单元测试题
三角形的有关证明单元测试题 时间: 120分钟满分:120分姓名: 一、选择题:(共12个小题,每小题4分,共48分) 1.一个三角形三个内角的度数之比为1:2:3,则这个三角形一定是()A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形 2.三角形ABC中,最多只有一个这个这样的∠A,则∠A的可能度数为()A.40°B.80°C. 85°D.96° 3.下列各组数中,不可能成为一个三角形三边长的是()A.2,3,4 B.5,7,7 C.5,6,12 D.6,8,10 4.三角形的重心是() A.三角形三条边上中线的交点 B.三角形三条边上高线的交点 C.三角形三条边垂直平分线的交点 D.三角形三条内角平行线的交点 5.对三角形的高与三角形的形状描述正确的是()A.三条高都在三角形的内部,这个三角形是直角三角形 B.两条高在三角形的外部,这个三角形是钝角三角形 C.三条高的交点在三角形的内部,这个三角形是直角三角形 D.三角形的三条高不能相交 6.下列不是全等三角形的性质的是()A.全等三角形的面积相等 B.全等三角形的周长相等 C.全等三角形的对应边相等 D.全等三角形的角相等 7.若一个三角形的两边长分别为2和4,则该三角形的周长可能是()A.6 B.7 C. 11 D.12 8.下列说法中,正确的是()A.周长相等的两个三角形全等 B.面积相等的两个三角形全等 C.三边对应相等的两个三角形全等 D.三角对应相等的两个三角形全等 9.下列说法中,正确的是() A.两个等腰三角形一定全等 B.两个等边三角形一定全等 C.两个直角三角形一定全等 D.斜边相等的两个等腰直角三角形一定全等 10.一条直线把等腰三角形分成两个全等的三角形,则这条直线具有的性质是()A.垂直等腰三角形的一条腰 B.平分等腰三角形的一条腰 C.垂直平分等腰三角形的一条腰 D.它是等腰三角形的对称轴 11.如图1,点B、F、C、E在一条直线上,已知FB=CE,AC∥DF,添加一个适当的条件,还不能使得△ABC≌△DEF.这个的条件是 () A.AC=DF B.AB=ED C.∠A= ∠D D.AB∥DE 图 1
2.2.1直接证明教案
课题 2.2.1 直接证明 1.结合已经学过的数学实例,理解直接证明的两种基本方法:分析法和综合法; 2.感受和体会直接证明的思维方法——分析法和综合法; (一)自学质疑:A 类问题: 仔细阅读课本79-81页的内容,完成下列问题 问题1、直接证明的一般形式 问题2、分析法的概念及推理过程 问题3、综合法的概念及推理过程 B 级问题) 例1、已知0,0a b >>,求证:22 b a a b a b +≥+ 例2、已知1,1a b <<,证明: 11a b ab +<+
※ 当堂检测 (40分) 1、(A )下列条件:(1)0,(2)0,(3)0,0,(4)0,0ab ab a b a b ><>><<,其中能使2b a a b +≥成立的条件有 个 2、(B )设222,,(1)lg(1)0,(2)2(1)a b R a a b a b ∈+>+≥--22,(3)32a ab b +>1,(4)1 a a b b +<+以上4个不等式中,恒成立的序号是 3、(B )设,a b 都是正实数,且满足191a b +=,若a b m +≥恒成立,则m 的取值范围为 4、(B )设0,0,,111x y x y x y A B x y x y +>>==+++++,则A 与B 的大小关系为 5、(B )在ABC ?中,三个内角,,A B C 对应边分别为,,a b c ,且,,A B C 成等差数列,,,a b c 成等比数列 求证:ABC ?是正三角形 6、(B 级)已知:(),()f x x R ∈满足121212()()2()()22 x x x x f x f x f f +-+=,且()0f x ≠ 求证:()f x 是偶函数 ※学生完成本节导学案的情况统计.
【北师大版初三数学】第1讲:三角形的证明-教案
知识讲解: 1.通过探索、猜测、计算、证明得到的定理: (1)与等腰三角形、等边三角形有关的结论: 性质:等腰三角形的两个底角相等,即等边对等角; 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合; 等腰三角形两底角的平分线相等,两条腰上的中线相等,两条腰上的高相等. 等边三角形的三条边都相等,三个角都相等,并且每个角都等于60°; 等边三角形的三条角平分线、三条中线、三条高互相相等. 判定:有两个角相等的三角形是等腰三角形; 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形; 三个角都相等的三角形是等边三角形. (2)与直角三角形有关的结论: 勾股定理的逆定理; 在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半; 斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等.(HL) (3)与一般三角形有关的结论:
在一个三角形中,两个角不相等,它们所对的边也不相等(用反证法证明). 2.命题的逆命题及其真假: 在两个命题中,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,那么这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为另一个命题的逆命题. 一个命题是真命题,它的逆命题不一定是真命题.如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它也是一个定理,这两个定理称为互逆定理.其中一个定理称为另一个定理的逆定理.例如勾股定理及其逆定理. 3.尺规作图 线段垂直平分线的性质定理和判定定理;用尺规作线段的垂直平分线;已知底边和底边上的高,用尺规作等腰三角形 角平分线的性质定理和判定定理;用尺规作已知角的平分线. 课堂练习: 考点一:等腰三角形 【例题】 1、【14外国语期中】等腰三角形的一边为5另一边为9,这这个三角形的周长为()A.19 B.23 C .14 D.19或23 2、【14外国语月考】等腰三角形补充下列条件后,仍不一定成为等边三角形的是() A.有一个内角是600 B.有一个外角是1200 C.有两个角相等 D.腰与底边相等 3、【经开一中月考】将两个全等的有一个角为300的直角三角形拼成如图所示,其中两条直角边在同一直线上,则图中等腰三角形的个数是() A.4B.3C.2D.1 4、【14外国语月考】腰长为5,一条高为4的等腰三角形的底边长为。 5、【经开一中月考】一个等腰三角形有一角是700,则其余两角分别为。 6、【经开一中月考】等腰直角三角形一条边长是1cm,那么它斜边上的高是 cm. 7、【经开一中月考】已知:如图AB=AC,DE∥AC求证:△DBE是等腰三角形。 8、【14外国语月考】如图,等边△ABC中,AO是BC边上的中线,D为AO上一点,以CD为一边且在CD 下方作等边△CDE,连结BE。 (1)求证:AD=BE
平行线证明教学设计
第七章 平行线的证明 导学案 1、为什么要证明 一、读一读 学习目标: 1、对由观察、归纳等过程所得的结论进行思考、质疑,认识证明的必要性,培养推理意识; 2、体会检验数学结论的常用方法:实验验证、举出反例、推理等。 二、试一试 自学指导: 1、大胆猜想: 如教材P162提出的问题 2、某学习小组发现,当n=0,1,2,3时,代数式n 2-n+11的值都是质数,于是得到结论:对于所有自然数n, n 2-n+11的值都是质数。你认为呢? 由此可知:要判断一个数学结论是否正确,仅靠经验、观察或实验是不够的, 必须有根有据地进行推理。 三、练一练 A1、请在教材上完成P163随堂练习1、2;P164数学理解1 A2、当n 为正整数时,132++n n 的值一定是质数吗? n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 … n 2-n+11 是否是质数
A3、八(1)班有39位同学,他们每人将自己的学号作为n 的取值(n=1,2,3,…39)代入式子412++n n ,结果发现式子412++n n 的值都是质数,于是 他们猜想:“对于所有的自然数,式子412++n n 的值都是质数。”你认为这个 猜想正确吗?验证一下n=40的情形。 B1、给出教材P164数学理解3问题的结论,你能用理由肯定自己的结论吗? B2、阅读P163“读一读” 班级 小组 姓名 小组评价 教师评价 2 定义与命题(1) 一、读一读 学习目标:了解定义、命题的含义;会判断某些语句是不是命题。 二、试一试 自学指导: 1、研读教材P165-166完成下列问题: (1)什么是定义? 定义: 。 (2)如右图某地的一个灌溉系统 如果B 处水流受到污染,那么 处水流便受到污染; 如果C 处水流受到污染,那么 处水流便受到污染; 如果D 处水流受到污染,那么 处水流便受到污染;
直接证明和间接证明(4个课时)教案
直接证明和间接证明(4个课时)教案
2.2直接证明与间接证明 教学目标: (1)理解证明不等式的三种方法:比较法、综合法和分析法的意义; (2)掌握用比较法、综合法和分析法证明简单的不等式; (3)能根据实际题目灵活地选择适当地证明方法; (4)通过不等式证明,培养学生逻辑推理论证的能力和抽象思维能力. 教学建议: 1.知识结构:(不等式证明三种方法的理解)==〉(简单应用)==〉(综合应用) 2.重点、难点分析 重点:不等式证明的主要方法的意义和应用; 难点:①理解分析法与综合法在推理方向上是相反的; ②综合性问题证明方法的选择. (1)不等式证明的意义 不等式的证明是要证明对于满足条件的所有数都成立(或都不成立),而并非是带入具体的数值去验证式子是否成立. (2)比较法证明不等式的分析 ①在证明不等式的各种方法中,比较法是最基本、最重要的方法. ②证明不等式的比较法,有求差比较法和求商比较法两种途径.
由于a>b<==>a-b>0,因此,证明a>b,可转化为证明与之等价的a-b>0.这种证法就是求差比较法. 由于当b>0时,a>b<==>(a/b)>1,因此,证明a>b(b>0),可以转化为证明与之等价的(a/b)>1(b>0).这种证法就是求商比较法,使用求商比较法证明一定要注意(b>0)这一前提条件. ③求差比较法的基本步骤是:“作差→变形→断号”. 其中,作差是依据,变形是手段,判断符号才是目的. 变形的方法一般有配方法、通分法和因式分解法等,变成能够判断出差的符号是正或负的数(或式子)即可. ④作商比较法的基本步骤是:“作商→变形→判断商式与1的大小关系”,需要注意的是,作商比较法一般用于证明不等号两侧的式子同号的不等式.(3)综合法证明不等式的分析 ①利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质推导出所要证明的不等 式成立,这种证明方法通常叫做综合法. ②综合法的思路是“由因导果”:从已知的不等式出发,通过一系列已知条件推导变换,推导出求证的不等式. ③综合法证明不等式的逻辑关系是: (已知)==〉(逐步推演不等式成立的必要条件)==〉(结论)(4)分析法证明不等式的分析
八年级数学下册第一章三角形的证明回顾与思考教案1新版北师大版
《回顾与思考》 教学目标 1、在回顾与思考中建立本章的知识框架图,复习有关定理的探索与证明,证明的思 路和方法,尺规作图等。 2、发展学生的初步的演绎推理能力,进一步掌握综合法的证明方法,提高学生用规 范的数学语言表达论证过程的能力。 教学重点 通过例题的讲解和课堂练习对所学知识进行复习巩固 教学难点 本章知识的综合性应用。 教学过程 知识回顾 1、等腰三角形的性质:(边)_______________ ;(角)_______________ ;“三线合一”的 内容____________________________________ 。 2、等边三角形的性质:(边)_______________ ;(角)__________________ 。 3、判定等腰三角形的方法有:(边)_______________ ;(角)________________________ 。 4、判定等边三角形的方法有:(边)_______________ ;(角)________________________ 。 5、_________________________________________________ 线段垂直平分线的性质定理:。 逆定理:____________________________________________________________________ 。 三角形的垂直平分线性质:___________________________________________________ 。 6、_____________________________________________________________ 角的性质定理:。 逆定理:____________________________________________________________________ 。 三角形的角平分线性质:_____________________________________________________ 。 7、___________________________________________________ 三角形全等的判定方法有:。 8 30°锐角的直角三角形的性质: ______________________________________________ 。 9、方法总结: (1)证明线段相等的方法:1)可证明它们所在的两个三角形全等;2)角平分线的性质定理:角平分线上的点到角两边的距离相等;3)等角对等边;4)等腰三角形三线合一的性 质;5)中垂线的性质定理:线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。 (2)证明两角相等的方法:1)同角的余角相等;2)平行线性质;3)对顶角相等;4)全等三角形对应角相等;5)等边对等角;6)角平分线的性质定理和逆定理。
相交线与平行线全章教案
第五章相交线与平行线 5.1.1相交线 教学目标:1.理解对顶角和邻补角的概念,能在图形中辨认. 2.掌握对顶角相等的性质和它的推证过程. 3.通过在图形中辨认对顶角和邻补角,培养学生的识图能力. 重点:在较复杂的图形中准确辨认对顶角和邻补角. 难点:在较复杂的图形中准确辨认对顶角和邻补角. 教学过程 一、创设情境,引入课题 先请同学观察本章的章前图,然后引导学生观察,并回答问题. 学生活动:口答哪些道路是交错的,哪些道路是平行的. 教师导入:图中的道路是有宽度的,是有限长的,而且也不是完全直的,当我们把它们看成直线时,这些直线有些是相交线,有些是平行线.相交线、平行线都有许多重要性质,并且在生产和生活中有广泛应用.所以研究这些问题对今后的工作和学习都是有用的,也将为后面的学习做些准备.我们先研究直线相交的问题,引入本节课题. 二、探究新知,讲授新课 1.对顶角和邻补角的概念 学生活动:观察上图,同桌讨论,教师统一学生观点并板书. 【板书】∠1与∠3是直线AB、CD相交得到的,它们有一个公共顶点O,没有公共边,像这样的两个角叫做对顶角. 学生活动:让学生找一找上图中还有没有对顶角,如果有,是哪两个角? 学生口答:∠2和∠4再也是对顶角. 紧扣对顶角定义强调以下两点: (1)辨认对顶角的要领:一看是不是两条直线相交所成的角,对顶角与相交线是唇齿相依,哪里有相交直线,哪里就有对顶角,反过来,哪里有对顶角,哪里就有相交线;二看是不是有公共顶点;三看是不是没有公共边.符合这三个条件时,才能确定这两个角是对顶角,只具备一个或两个条件都不行.(2)对顶角是成对存在的,它们互为对顶角,如∠1是∠3的对顶角,同时,∠3是∠1的对顶角,也常说∠1和∠3是对顶角. 2.对顶角的性质 提出问题:我们在图形中能准确地辨认对顶角,那么对顶角有什么性质呢? 学生活动:学生以小组为单位展开讨论,选代表发言,井口答为什么.【板书】∵∠1与∠2互补,∠3与∠2互补(邻补角定义), ∴∠l=∠3(同角的补角相等).
沪科版数学八年级上册专题:三角形的有关计算与证明
专题:三角形的有关计算与证明 三角形的有关计算和证明是中考的必考内容之一,这类试题解法比较灵活,通常以全等三角形、等腰三角形、等边三角形和直角三角形的性质和判定为考查重点,以计算题、证明题的形式出现,解答这类问题时,不仅要熟练掌握有关的公式定理,更要注意它们之间的相互联系. 例如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,E为AC边的中点,过点A作AD⊥AB 交BE的延长线于点D.CG平分∠ACB交BD于点G,F为AB边上一点,连接CF,且∠ACF=∠CBG. 求证:(1)AF=CG;(2)CF=2DE. 【思路点拨】(1)要证明AF=CG,可以利用“ASA”证明△ACF≌△CBG来得到; (2)要证明CF=2DE,由(1)得CF=BG,则只要证明BG=2DE,又利用△AED≌△CEG可得DG=2DE,故证明DG=BG即可. 【解答】证明:(1)∵∠ACB=90°,CG平分∠ACB,AC=BC. ∴∠BCG=∠CAB=45°. 又∵∠ACF=∠CBG,AC=BC, ∴△ACF≌△CBG(ASA), ∴CF=BG,AF=CG. (2)延长CG交AB于点H. ∵AC=BC,CG平分∠ACB, ∴CH⊥AB,H为AB中点. 又∵AD⊥AB,∴CH∥AD, ∴G为BD中点,∠D=∠EGC. ∵E为AC中点,∴AE=EC. 又∵∠AED=∠CEG, ∴△AED≌△CEG(AAS), ∴DE=EG,∴DG=2DE,∴BG=DG=2DE. 由(1)得CF=BG,∴CF=2DE. 方法归纳:解答与线段或角相等的有关问题时,通常将它转化为全等三角形问题来求解. 1.如图,四边形ABCD是矩形,把矩形沿对角线AC折叠,点B落在点E处,CE与AD相交于点O.
直接证明和间接证明4个课时教案
2.2直接证明与间接证明 教学目标: (1)理解证明不等式的三种方法:比较法、综合法和分析法的意义; (2)掌握用比较法、综合法和分析法证明简单的不等式; (3)能根据实际题目灵活地选择适当地证明方法; (4)通过不等式证明,培养学生逻辑推理论证的能力和抽象思维能力. 教学建议: 1.知识结构:(不等式证明三种方法的理解)==〉(简单应用)==〉(综合应用) 2.重点、难点分析 重点:不等式证明的主要方法的意义和应用; 难点:①理解分析法与综合法在推理方向上是相反的; ②综合性问题证明方法的选择. (1)不等式证明的意义 不等式的证明是要证明对于满足条件的所有数都成立(或都不成立),而并非是带入具体的数值去验证式子是否成立. (2)比较法证明不等式的分析 ①在证明不等式的各种方法中,比较法是最基本、最重要的方法. ②证明不等式的比较法,有求差比较法和求商比较法两种途径.
由于a>b<==>a-b>0,因此,证明a>b,可转化为证明与之等价的a-b>0.这种证法就是求差比较法. 由于当b>0时,a>b<==>(a/b)>1,因此,证明a>b(b>0),可以转化为证明与之等价的(a/b)>1(b>0).这种证法就是求商比较法,使用求商比较法证明一定要注意(b>0)这一前提条件. ③求差比较法的基本步骤是:“作差→变形→断号”. 其中,作差是依据,变形是手段,判断符号才是目的. 变形的方法一般有配方法、通分法和因式分解法等,变成能够判断出差的符号是正或负的数(或式子)即可. ④作商比较法的基本步骤是:“作商→变形→判断商式与1的大小关系”,需要注意的是,作商比较法一般用于证明不等号两侧的式子同号的不等式.(3)综合法证明不等式的分析 ①利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立,这种证明方法通常叫做综合法. ②综合法的思路是“由因导果”:从已知的不等式出发,通过一系列已知条件推导变换,推导出求证的不等式. ③综合法证明不等式的逻辑关系是: (已知)==〉(逐步推演不等式成立的必要条件)==〉(结论)(4)分析法证明不等式的分析
北师版八年级数学下册教案第一章三角形的证明
第一章三角形的证明 1等腰三角形 第1课时全等三角形及等腰三角形的性质 1.理解作为证明基础的几条公理的内容,应用这些公理证明等腰三角形的性质定理. 2.经历“探索-发现-猜想-证明”的过程,让学生进一步掌握证明的基本步骤和书写格式. 3.掌握等腰三角形性质定理的推论. 重点 掌握等腰三角形的性质定理及推论. 难点 证明等腰三角形的相关性质. 一、复习导入 1.请学生回忆并整理已经学过的8条基本事实中的5条: (1)两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行; (2)两条平行线被第三条直线所截,同位角相等; (3)两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS); (4)两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA); (5)三边对应相等的两个三角形全等(SSS). 2.在此基础上回忆全等三角形的判定定理:(推论)两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(AAS),并要求学生利用前面所提到的公理进行证明. 3.回忆全等三角形的性质. 二、探究新知 1.等腰三角形的性质定理 问题1:什么是等腰三角形? 问题2:你会画一个等腰三角形吗?并把你画的等腰三角形裁剪下来. 问题3 :试用折纸的方法回忆等腰三角形有哪些性质. 引导学生得出等腰三角形的性质: 等腰三角形的两底角相等.(简称为“等边对等角”) 问题4:你能利用已有的基本事实和定理证明这些结论吗? 已知:如图,在△ABC中,AB=AC. 求证:∠B=∠C. 分析:方法一:作∠BAC的平分线,交BC边于点D;方法二:过点A作AD ⊥BC于点D;方法三:取BC的中点D. 证法一:取BC的中点D,连接AD. ?? ? ?? AB=AC BD=CD AD=AD ?△ABD≌△ACD?∠B=∠C.
第七章平行线的证明全章教案
第七章平行线的证明 1.为什么要证明 一、学生知识状况分析 学生的技能基础:在七年级和八年级上学生学习了很多与几何相关的知识,为今天的进一步的学习作好了知识储备,同时,学生也经历了很多验证结论合理性的过程,有了初步的逻辑推理思维,合情推理能力得到了很大的提高,为今天系统的培养学生严谨的逻辑推理能力打下了良好的基础. 学生活动经验基础:在以往的几何学习中,学生已经参与了对几何图形的观察、比较、动手操作、猜测、归纳等活动,对今天本节课的分组讨论、自主探究等活动有很大的帮助. 二、教学任务分析 学生的直观能力是数学教学中要培养的一个方面,但如果学生仅有对图形的直观感受而不能进行推理、论证,有时是会产生错误的结论,本课时安排《你能肯定吗》的教学是让学生的直观感受与实际结果之间产生思维上的碰撞,从而使学生对原有的直观感觉产生怀疑,从而确立对某一事物进行合理论证的必要性。因此,本课时的教学目标是: 1.运用实验验证、举反例验证、推理论证等方法来验证某些问题的结论正确与否. 2.经历观察、验证、归纳等过程,使学生对由这些方法所得到的结论产生怀疑,以此激发学生的好奇心,从而认识证明的必要性,培养学生的推理意识. 3.了解检验数学结论的常用方法:实验验证、举出反例、推理论证等. 三、教学过程分析 本节课的教学思路为:验证活动(1)——猜想并验证活动(2)——猜想并验证活动(3)——经验总结——学生练习——课堂小结——巩固练习
第一环节:验证活动(1) 活动内容: 某学习小组发现,当n=0,1,2,3时,代数式n 2-n+11的值都是质数,于 是得到结论:对于所有自然数n , n 2-n+11的值都是质数.你认为呢?与同伴交 流. 参考答案:列表归纳为 活动目的: 对现在结论进行验证,让学生感受到知识有时具有一定的迷惑性(欺骗性), 从而对不完全归纳的合理性产生怀疑,为下一步的学习提供必要的精神准备. 注意事项: 学生通过列表归纳,根据自己以往的经验判断,在n=10以前都一直认为 n 2-n+11是一个质数,但当n=10时,找到了一个反例,进而发现不能根据少数几 个现象轻易肯定某个数学结论的正确性. 第二环节:猜想并验证活动(2) 活动内容: 如图,假如用一根比地球的赤道长1米的铁丝将地球赤道围 起来,那么铁丝与地球赤道之间的间隙能有多大(把地球看成球 形)?能放进一个红枣吗?能放进一个拳头吗? 参考答案:设赤道周长为c ,铁丝与地球赤道之间的间隙为 : )(16.021221m c c ≈=-+π ππ 它们的间隙不仅能放进一个红枣,而且也能放进一个拳头. 活动目的: 通过理性的计算,验证了很难想像到的结论,让学生产生思维上的碰撞,进 而对自己的直观感觉产生怀疑,再次为论证的合理性提供素材.
三角形的证明-知识点汇总
三角形的证明知识点汇总 知识点1 全等三角形的判定及性质 判定定理简称 判定定理的内容 性质 SSS 三角形分别相等的两个三角形全等 全等三角形对应边相等、对应角相等 SAS 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 ASA 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 AAS 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 HL (Rt △) 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 知识点2 等腰三角形的性质定理及推论 内容 几何语言 条件与结论 等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两底角相等。简述为:等边对等角 在△ABC 中,若AB=AC ,则∠B=∠C 条件:边相等,即AB=AC 结论:角相等,即∠B=∠ C 推论 等腰三角形顶角的平分线、 底边上的中线及底边上的 高线互相垂直,简述为:三 线合一 在△ABC ,AB=AC ,AD ⊥BC , 则AD 是BC 边上的中线,且 AD 平分∠BAC 条件:等腰三角形中已知顶点的平分线,底边上的中线、底边上的高线之一 结论:该线也是其他两线 等腰三角形中的相等线段:1、等腰三角形两底角的平分线相等;2、等腰三角形两腰上的高相等;3、两腰上的中线相等;4、底边的中点到两腰的距离相等 知识点3 等边三角形的性质定理 内容 性质定理 等边三角形的三个内角都相等,并且每个角都等于60度 解读 (1)等边三角形是特殊的等腰三角形。它具有等腰三角形的一切性质 (2)等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线“三线合一” 【易错点】所有的等边三角形都是等腰三角形,但不是所有的等腰三角形都是等边三角形 知识点4 等腰三角形的判定定理 内容 几何语言 条件与结论 等腰三角形的判定定理 有两个角相等的三角形是等腰三角形,简述为:等校对等边 在△ABC 中,若∠B=∠C 则AC=BC 条件:角相等,即∠B=∠C 结论:边相等,即AB=AC 解读 对“等角对等边”的理解仍然要注意,他的前提是“在同一个三角形中” 拓展 判定一个三角形是等腰三角形有两种方法:1、利用等腰三角形;2、利用等腰三角形的判定定理,即“等角对等边” 知识点5 反证法 概念 证明的一般步骤
苏教版数学高二-北京市房山区房山中学高二数学(理)b层《直接证明--综合法与分析法》教案
1.教学目标: 知识与技能:结合已经学过的数学实例,了解直接证明的两种基本方法:分析法和综合法;了解分析法和综合法的思考过程、特点。 过程与方法: 多让学生举命题的例子,培养他们的辨析能力;以及培养他们的分析问题和解决问题的能力; 情感、态度与价值观:通过学生的参与,激发学生学习数学的兴趣。 6.教学过程: 学生探究过程:证明的方法 (1)、分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法。在数学解题中,分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发,一步一步地探索下去,最后达到题设的已知条件。综合法则是从数学题的已知条件出发,经过逐步的逻辑推理,最后达到待证结论或需求问题。对于解答证明来说,分析法表现为执果索因,综合法表现为由果导因,它们是寻求解题思路的两种基本思考方法,应用十分广泛。 (2)、例1.设a、b是两个正实数,且a≠b,求证:a3+b3>a2b+ab2. 证明:(用分析法思路书写) 要证a3+b3>a2b+ab2成立, 只需证(a+b)(a2-ab+b2)>ab(a+b)成立, 即需证a2-ab+b2>ab成立。(∵a+b>0) 只需证a2-2ab+b2>0成立, 即需证(a-b)2>0成立。 而由已知条件可知,a≠b,有a-b≠0,所以(a-b)2>0显然成立,由此命题得证。 (以下用综合法思路书写) ∵a≠b,∴a-b≠0,∴(a-b)2>0,即a2-2ab+b2>0 亦即a2-ab+b2>ab
由题设条件知,a+b >0,∴(a+b)(a2-ab+b2)>(a+b)ab 即a3+b3>a2b+ab2,由此命题得证 例2、若实数1≠x ,求证: .)1()1(32242x x x x ++>++ 证明:采用差值比较法: 2242)1()1(3x x x x ++-++ =3 242422221333x x x x x x x ------++ =)1(234+--x x x =)1()1(222++-x x x = ].43)21[()1(222++-x x ,043)21(,0)1(,122>++>-≠x x x 且从而 ∴ ,0]43)21[()1(222>++-x x ∴ .)1()1(32242x x x x ++>++ 例3、已知 ,,+∈R b a 求证.a b b a b a b a ≥ 本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。 证明:1) 差值比较法:注意到要证的不等式关于b a ,对称,不妨设.0>≥b a 0)(0 ≥-=-∴≥---b a b a b b a b b a b a b a b a b a b a ,从而原不等式得证。 2)商值比较法:设,0>≥b a ,0,1≥-≥b a b a .1)(≥=∴-b a a b b a b a b a b a 故原不等式得证。
《三角形的证明》复习教案
第一章《三角形的证明》 1、性质和判定 2、尺规作图 垂直平分线的应用: (1)确定到两点(三点)距离相等的点的位置 (2)确定线段的中点 (3)过一点作已知直线或线段的垂线 角平分线的应用 (1)把一个角分成n2等份 (2)确定到角的两边或三角形三边距离相等的点 (3)与垂直平分线结合,解决实际问题 3、全等三角形的判定(AAS,SSS,SAS,ASA,HL) 双基训练: 1.已知等腰三角形的两边长分别为5㎝、2㎝,则该等腰三角形的周长是____________. 2.一个等腰三角形的顶角是40°,则它的底角是________________. 3.已知△ABC的三边长分别是6cm、8cm、10cm,则△ABC的面积是________________. 4.在△ABC中,边AB、BC、AC的垂直平分线相交于P,则PA、PB、PC的大小关系是 . 5.已知⊿ABC中,∠A = 090,角平分线BE、CF交于点O,则∠BOC = . 6.在△ABC中,∠A=40°,AB=AC ,AB的垂直平分线交AC与D,则∠DBC 的度数为. 7.Rt⊿ABC中,∠C=90o,∠B=30o,则AC与AB两边的关系
是 , 8.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为300 ,腰长为6,则其底边上的高是 。 9. 如图,在△ABC 和△DEF 中,已知AC=DF ,BC=EF , 要使△ABC ≌△DEF ,还需要的条件是( ) A.∠A=∠D B.∠ACB=∠F C.∠B=∠DEF D.∠ACB=∠D 10.如图,△ABC 中,AB=AC ,点D 在AC 边上,且BD=BC=AD ,则∠A 的度数为( ) A.30° B.36° C.45° D.70° 11.如图,△ABC ≌△AEF ,AB =AE ,∠B =∠E ,则对于结论①AC =AF ;②∠FAB =∠EAB ;③EF =BC ;④∠EAB =∠FAC ,其中正确结论的个数是( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 12. 如图, DC ⊥CA ,EA ⊥CA , CD=AB ,CB=AE .求证:△BCD ≌△EAB . 13.如图,∠A=∠D=90°,AC=BD.求证:OB=OC ; 14.如图,在△ABD 和△ACE 中,有下列四个等式: ①AB=AC ②AD=AE ③∠1=∠2 ④BD=CE .以其中..三个条件为已知,填入已知栏中,一个为结论,填入下面求证栏中,使之组成一个真命题,并写出证明过程。 已知: . 求证: . 证明: 提升练习 16.如图,CE ⊥AB ,BF ⊥AC ,CE 与BF 相交于D ,且BD=CD. 求证:D 在∠BAC 的平分线上. D E C B A
北师大版第七章《平行线的证明》为什么要证明_教学设计
第七章平行线的证明 §7.1为什么要证明 一、教学内容分析 北师大版第七章《平行线的证明》本章内容是根据一些基本事实推出其他结论的过程,证明平行线的性质及判定的一些有关结论,证明三角形内角和定理,还将讨论三角形的内角与外角的关系.也就是进入几何严谨证明的学习,而作为本章的第一节内容《为什么证明》从内容设置上来说引入思考,而我从内容上重新做出编排由代数到几何从直观的猜测到严格的计算证明,利用教学资源配合学生活动(e-world,几何画板,电子白板,网络资源)重新整合,落实每一个教学目标. 二、学生知识状况分析 学生的技能基础:在七年级时学生学习了与几何相关的知识,为今天的进一步的学习作好了知识储备,本课程的教学对象是八年级学生,学生具备一定数学知识储备,不难掌握基础知识.学生有一定的计算、几何说明基础,形象思维能力强,逻辑思维需发展,所以在本课程中经历观察、归纳、验证等活动过程,在活动中体会观察、归纳、实验所得未必可靠,初步感受证明必要性,发展学生推理意识.同时,学生也经历了很多验证结论合理性的过程,有了初步的逻辑推理思维,合情推理能力得到了很大的提高,为今天系统的培养学生严谨的逻辑推理能力打下了良好的基础. 学生活动经验基础:在代数方面有一定的计算基础,如整式的运算。在以往的几何学习中,学生已经参与了对几何图形的观察、比较、动手操作、猜测、归纳等活动,对今天本节课的讨论、自主探究等活动有很大的帮助. 三、教学任务分析 学生的直观能力是数学教学中要培养的一个方面,但如果学生仅有对图形的直观感 受而不能进行推理、论证,有时是会产生错误的结论,本课时安排《为什么要证明》的 教学是让学生的直观感受与实际结果之间产生思维上的碰撞,从而使学生对原有的直观 感觉产生怀疑,从而确立对某一事物进行合理论证的必要性.因此,本课时的教学目标 是: 1.知识与技能:了解检验数学结论的常用方法:实验验证、举出反例、推理论证等,去明确的说明一个结论的正确与否。 2.过程与方法:经历观察、验证、归纳等过程,在活动中体会到观察、实验、归纳所得到的结论未必可靠,初步感受证明的必要性,发展学生的推理意识.依托网站资
三角形的证明知识点汇总
百度文库- 让每个人平等地提升自我 1 三角形的证明知识点汇总 判定定理简称判定定理的内容性质SSS 三角形分别相等的两个三角形全等 全等三角形对 应边相等、对 应角相等SAS 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 ASA 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 AAS 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 HL(Rt△)斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 知识点2 等腰三角形的性质定理及推论 内容几何语言条件与结论 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两底角相等。 简述为:等边对等角 在△ABC中,若AB=AC,则 ∠B=∠C 条件:边相等,即AB=AC 结论:角相等,即∠B=∠C 推论等腰三角形顶角的平分线、 底边上的中线及底边上的 高线互相垂直,简述为:三 线合一 在△ABC,AB=AC,AD⊥BC, 则AD是BC边上的中线,且 AD平分∠BAC 条件:等腰三角形中已知顶点的 平分线,底边上的中线、底边上 的高线之一 结论:该线也是其他两线 等腰三角形中的相等线段:1、等腰三角形两底角的平分线相等;2、等腰三角形两腰上的高相等;3、两腰上的中线相等;4、底边的中点到两腰的距离相等 知识点3 等边三角形的性质定理 内容 性质定理等边三角形的三个内角都相等,并且每个角都等于60度 解读(1)等边三角形是特殊的等腰三角形。它具有等腰三角形的一切性质 (2)等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线“三线合一” 【易错点】所有的等边三角形都是等腰三角形,但不是所有的等腰三角形都是等边三角形 知识点4 等腰三角形的判定定理 内容几何语言条件与结论 等腰三角形的判定定理有两个角相等的三角形是等腰 三角形,简述为:等校对等边 在△ABC中,若∠B=∠C则AC=BC 条件:角相等,即∠B=∠C 结论:边相等,即AB=AC 解读对“等角对等边”的理解仍然要注意,他的前提是“在同一个三角形中” 拓展判定一个三角形是等腰三角形有两种方法:1、利用等腰三角形;2、利用等腰三角形的判定定理,即“等角对等边” 知识点5 反证法 概念证明的一般步骤
人教版数学高三-9.2直接证明与间接证明一轮教案蒋玉清
9.2 直接证明与间接证明 【知识网络】 1、了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法,了解分析法和综合法的思考过程和特点; 2、了解反证法是间接证明的一种基本方法,了解反证法的思考过程和特点; 3、了解数学归纳法原理,能用数学归纳法证明一些简单命题。 【典型例题】 例1:(1)已知0,,≠∈b a R b a 且,则在① ab b a ≥+222;②2≥+b a a b ; ③2 )2 (b a ab +≤;④2)2(222b a b a +≤+ 这四个式子中,恒成立的个数是 ( ) A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 答案:C 。解析:①③④恒成立。 (2)利用数学归纳法证明 “* ),12(312)()2)(1(N n n n n n n n ∈-???????=+???++ ”时,从“k n =”变到 “1+=k n ”时,左边应增乘的因式是 ( ) A 12+k B 112++k k C 1)22)(12(+++k k k D 1 32++k k 答案:C 。 (3)命题“关于x 的方程)0(0≠=a ax 的解是唯一的”的结论的否定是 ( ) A 、无解 B 、两解 C 、至少两解 D 、无解或至少两解 答案:D 。解析:“否定”必须包括所有的反面情形。 (4)定义运算 () ()a a b a b b a b ≤?*=? >? ,例如,121*=,则函数 2()(1)f x x x =*-的最大值为 _________________. 答案: 2 。 (5)若c b a >>,* N n ∈,且 c a n c b b a -≥ -+-11恒成立,则n 的最大值是 。 答案:4。 解析:因c b a >>,* N n ∈,所以 c a n c b b a -≥-+-11同解于n c b c a b a c a ≥--+-- 又 42≥--+--+=--+-+--+-=--+--c b b a b a c b c b c b b a b a c b b a c b c a b a c a 所以4≤n 。
第01讲-三角形的证明-教案
第01讲 三角形的证明 温故知新 三角形全等的条件 (1)三角形全等条件1:三条边分别相等的两个三角形全等,简写成“边边边”或“SSS”。 注意:①在运用“SSS”判定三角形全等,必须同时满足三边对应相等,只有一边或两边对应相等是不能得到全等的。②“SSS ”判定全等只适用于三角形,不能适用其他图形。 符号语言:已知△ABC 与△DEF 的三条边对应相等。 在△ABC 与△DEF 中,?? ? ??===DF AC EF BC DE AB ∴△ABC ≌△DEF (SSS ) (2)三角形全等条件2:两角及其夹边分别相等的两个三角形全等,简写成“角边角”或“ASA”。 注意:①用“ASA”判定两个三角形全等时,一定要说明两个角及夹边对应相等 ②在书写两个三角形全等的条件“ASA”时,一般把夹边相等写在中间的位置。 符号语言:已知∠D=∠E ,AD =AE ,∠BAD =∠CAE .求证:△ABD ≌△ACE . 证明:在△ABD 和△ACE 中, ∠D=∠E AD=AE ∠BAD =∠CAE ∴△ABD ≌△ACE (ASA ) (3)三角形全等条件3: 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等,简写成“边边角”或“AAS”。 符号语言:如图:D 在AB 上,E 在AC 上,DC=EB,∠C=∠B .求证:△ACD ≌△ABE 证明:在△ACD 和△ABE 中. ∠C=∠B ∠A=∠A DC=EB ∴△ACD ≌△ABE (AAS ). 注意:“AAS”中的“S”是有限制条件的,必须是两组对应等角中一组等角的对边。 (4)三角形全等条件4:两边及其夹角分别相等的两个三角形全等,简写成“边角边”或“SAS”。 符号语言:在△ABC 与△DEF 中,
平行线的证明教学设计
第七章 平行线的证明 7.1 为什么要证明 1.体会观察、猜测得到的结论不一定正确. 2.初步了解数学中推理的重要性,了解要判定一个数学结论正确与否,需要进行有根有据的推理.(重点) 阅读课本P162~163的内容,完成预习内容. (一)知识探究 实验、观察、归纳得到的结论不一定正确.因此,要判断一个数学结论是否正确,仅仅依靠实验、观察、归纳是不够的,必须进行有根有据的证明. (二)自学反馈 观察右图,左图中间的圆圈大还是右图中间的圆圈大?请你先观察,再用直尺验证一下. 解:一样大. 活动1 小组讨论 例1 有人认为,对于所有自然数n ,代数式n 2 -n +11的值都是质数.你怎么看待这个结论? 同学们试着做一做: (1)当n =0,1,2,3,4,5时,代数式n 2 -n +11的值是质数还是合数? (2)是否说明:对于所有自然数n ,代数式n 2 -n +11的值都是质数呢?与同伴讨论交流. 解:(1)当n =0时,n 2 -n +11=11; 当n =1时,n 2 -n +11=11; 当n =2时,n 2-n +11=13;当n =3时,n 2 -n +11=17; 当n =4时,n 2-n +11=23;当n =5时,n 2 -n +11=31. 由此可知:当n =0,1,2,3,4,5时,代数式n 2 -n +11的值都是质数. (2)由(1)我们可以得到:当n =0,1,2,3,4,5时,代数式n 2 -n +11的值都是质数.但当我们继续往后计算, 计算到n =11时,n 2-n +11=121,此时为合数.所以“对于所有自然数n ,代数式n 2 -n +11的值都是质数”这种说法是错误的. 例2 如图,在△ABC 中,点D ,E 分别是AB ,AC 的中点,连接DE.DE 与BC 有怎样的位置关系和数量关系?请你先猜一猜,再设法检验你的猜想.你能肯定你的结论对所有的△ABC 都成立吗? 解:通过测量猜想DE ∥BC ,DE =1 2BC.通过改变三角形的形状,在不同的三角形中再次得到验证,因而较为相信这个 结论的正确性;但毕竟是测量结果,测量难免有误差,因此难以令人信服,还需要寻找更为可信的证明. 活动2 跟踪训练 1.我们知道:2×2=4,2+2=4. 试问:对于任意数a 与b ,是否一定有结论a ×b =a +b? 解:3×2=6,而3+2=5, 因为6≠5, 所以不是任意数a 与b ,都有结论a ×b =a +b. 2.已知n 是正整数,你能肯定2n +4-2n 一定是30的倍数吗?为什么? 解:2n +4-2n =2n (24-1)=15×2n ,