二项式分布列与数学期望

二项式分布列与数学期望

二项式分布列（BinomialDistribution）是概率论中一种常见的概率分布。它可以用来描述可以重复的试验的结果，且每次试验的结果只有两种可能：成功和失败。该分布非常常用，在数学、统计学、投资学和金融学等领域都被广泛使用。

二项式分布列是由概率论家Jacob Bernoulli创立的，后来又有概率论家Pierre-Simon Laplace进一步完善。与其他概率分布一样，二项式分布亦有属于自己的数学期望。

关于二项式分布的数学期望，它可以表示为：

数学期望，简称期望，是概率论中重要的概念。它可以用来度量随机变量的长期期望值。数学期望计算的结果取决于概率的变化，因此对于每一个可能的变量，都会得出一个固定的数学期望。

二项式分布期望可以用来解决众多实际问题，非常实用。例如，给定一个具有特定概率的投掷正面朝上的硬币，我们就可以用二项式分布来估算其中可能发生的正面朝上的次数。

同时，二项式分布数学期望也可以用来评估投资者的投资组合的收益潜力，评估和估算投资者的投资组合所处的风险水平，以及确定建立有效的投资组合的最佳组合。

最后，二项式分布数学期望也可以用来评估大型企业或组织的财务活动，例如预测收入总额和盈利能力，以及估计组织的财务风险水平。

总之，二项式分布数学期望在解决实际问题方面发挥了重要作用，

因此它经常被应用于各个领域。从概率论到企业或组织的财务管理，都会用到二项式分布数学期望特定的应用程序。

二项分布概念及图表和查表方法

目录 1 定义 ?统计学定义 ?医学定义 2 概念 3 性质 4 图形特点 5 应用条件 6 应用实例 定义 统计学定义 在概率论和统计学中，二项分布是n个独立的是/非试验中成功的次数的离散概率分布，其中每次试验的成功概率为p。这样的单次成功/失败试验又称为伯努利试验。实际上，当 时，二项分布就是伯努利分布，二项分布是显著性差异的二项试验的基础。 医学定义 在医学领域中，有一些随机事件是只具有两种互斥结果的离散型随机事件，称为二项分类变量（dichotomous variable），如对病人治疗结果的有效与无效，某种化验结果的阳性与阴性，接触某传染源的感染与未感染等。二项分布（binomial distribution）就是对这类只具有两种互斥结果的离散型随机事件的规律性进行描述的一种概率分布。

考虑只有两种可能结果的随机试验，当成功的概率（）是恒定的，且各次试验相互独立，这种试验在统计学上称为伯努利试验（Bernoulli trial）。如果进行次伯努利试验，取得成功次数为的概率可用下面的二项分布概率公式来描述：P=C(X,n)*π^X*(1-π)^(n-X) 二项分布公式 表示随机试验的结果。 二项分布公式 如果事件发生的概率是P,则不发生的概率q=1-p，N次独立重复试验中发生K次的概率是P(ξ=K)= C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中C(n, k) =n!/(k!(n-k)!)，注意：第二个等号后面的括号里的是上标，表示的是方幂。 那么就说这个属于二项分布。其中P称为成功概率。记作ξ~B(n,p) 期望：Eξ=np； 方差：Dξ=npq； 其中q=1-p 证明：由二项式分布的定义知，随机变量X是n重伯努利实验中事件A发生的次数，且在每次试验中A发生的概率为p。因此，可以将二项式分布分解成n个相互独立且以p为参数的（0-1）分布随机变量之和。 设随机变量X（k）(k=1,2,3...n)服从（0-1）分布，则X=X(1)+X(2)+X(3)....X(n). 因X(k)相互独立，所以期望：

统计 数学期望 二项式题目

1已知：甲盒子内有3个正品元件和4个次品元件，乙盒子内有5个正品元件和4个次品元件，现从两个盒子内各取出2个元件，试求 （Ⅰ）取得的4个元件均为正品的概率； （Ⅱ）取得正品元件个数ε的数学期望. 2.A 、B 两队进行篮球决赛，共五局比赛，先胜三局者夺冠，且比赛结束。根据以往成绩，每场中A 队胜的概率为 3 2，设各场比赛的胜负相互独立. （1）求A 队夺冠的概率； （2）设随机变量ξ表示比赛结束时的场数，求E ξ. 3.甲、乙两人各射击1次，击中目标的概率分别是 3 2和 4 3，假设两人射击是否击中标， 相互之间没有影响. 每人各次射击是否击中目标，相互之间没有影响. （1）甲射击4次，至少有一次未击中目标的概率； （2）求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率； （3）假设某人连续2次未击中目标，则中止其射击，问：乙恰好射击5次后，被中止射 击的概率是多少？ 4.甲乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.6，被甲或乙解出的概 率为0.92。求： （1）求该题被乙独立解出的概率。 （2）求解出该题的人数ξ的数学期望和方差。 5.某家具城进行促销活动，促销方案是：顾客每消费满1000元，便可以获得奖券一张，每 张奖券中奖的概率为 5 1，若中奖，则家具城返还顾客现金1000元，某顾客购买一张价 格为3400元的餐桌，得到3张奖券，设该顾客购买餐桌的实际支出为ξ元. （I ）求ξ的所有可能取值； （II ）求ξ的分布列； （III ）求ξ的期望E ξ. 6.春节期间，小王用私家车送4位朋友到三个旅游景点去游玩，每位朋友在每一个景点下车的概率均为 3 1，用ξ表示4位朋友在第三个景点下车的人数，求： （Ⅰ）随机变量ξ的分布列； （Ⅱ）随机变量ξ的期望.

二项分布数学期望与方差专题复习有详解重点中学用

第十讲二项分布及应用随机变量的均值与方差 知识要点 1.事件的相互独立性(概率的乘法公式) 设A、B为两个事件，如果P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立． 2. 互斥事件概率的加法公式：如果事件A与事件B互斥，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)． 3.对立事件的概率：若事件A与事件B互为对立事件，则P(A)＝1－P(B)． 4.条件概率的加法公式：若B、C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A) 5.独立重复试验：在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验，即若用A i(i＝1,2，…，n)表示第i次试验结果，则P(A1A2A3…A n)＝P(A1)P(A2)P(A3)…P(A n)． 注：判断某事件发生是否是独立重复试验，关键有两点 (1)在同样的条件下重复，相互独立进行；(2)试验结果要么发生，要么不发生． 6.二项分布：在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝C k n p k·(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率． 注：判断一个随机变量是否服从二项分布，要看两点 (1)是否为n次独立重复试验．(2)随机变量是否为在这n次独立重复试验中某事件发生的次数． 7.离散型随机变量的均值与方差及其性质 定义：若离散型随机变量X的分布列为P(ξ＝x i)＝p i，i＝1,2，…，n. (1)均值：称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋x i p i＋…＋x n p n为随机变量X的均值或数学期望． n (2)方差：D(X)＝∑ (x i－E(X))2p i为随机变量X的方差，其算术平方根D X为随机变量X的标准差．i＝1 (3)均值与方差的性质：(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b；(2)D(aX＋b)＝a2D(X)．(a，b为常数) 8.两点分布与二项分布的均值、方差 变量X服从两点分布：E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)；X～B(n，p)： E(X)＝np ，D(X)＝np(1－p)典例精析 例1.【2015高考四川，理17】某市A,B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐3名男生，2名女生，B中学推荐了3名男生，4名女生，两校推荐的学生一起参加集训，由于集训后队员的水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队 （1）求A中学至少有1名学生入选代表队的概率. （2）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X得分布列和数学期望.

二项分布,超几何分布数学期望与方差公式的推导

二项分布,超几何分布数学期望与方差公式的推导 在概率论和数理统计中，二项分布和超几何分布是重要的概率分布，它们的数学期望与方差可以用一定的公式来表示，并可以通过推导来算出。本文从实际问题出发，详细介绍了二项分布和超几何分布数学期望与方差公式的推导过程。 一、二项分布 1.1义 在概率论中，“二项分布”又称为“伯努利分布”，是指在若干次独立重复实验中，只有两种结果：实验成功和实验失败之间的概率分布。 1.2学期望与方差公式 假设在每次实验中，实验成功的概率为$p$，共进行$n$次实验，则二项分布的概率函数为： $$P(X=x)=C_{n}^{x}p^{x}(1-p)^{n-x}$$ 其中，$x$为实验成功的次数，$C_{n}^{x}$为$n$个不同元素中取$x$个的组合数，即 $$C_{n}^{x}=frac{n!}{x!(n-x)!}$$ 数学期望和方差用如下公式表示： $$E(X)=np$$ $$D(X)=np(1-p)$$ 二、超几何分布 2.1义

超几何分布也称为超几何试验、超几何抽样或者超几何实验，可用于描述一种只有限数量的可能事件的抽样模型，其中，采用的方法是在一大堆里随机的抽取一定数量的元素。超几何分布用参数$n$、$N$和$p$来描述，它的概率分布为： $$P(X=x)=C_{N}^{x}C_{n}^{x}p^{x}(1-p)^{N-x}$$ 其中，$x$为抽取到实验成功的次数，$N$为堆里元素的总数量，$p$为实验成功的概率，$n$为抽取的总次数。 2.2学期望与方差公式 数学期望和方差用如下公式表示： $$E(X)=np$$ $$D(X)=frac{n(N-n)p(1-p)}{N-1}$$ 三、推导 3.1导期望 根据定义可得： $$E(X)=sum_{x=0}^{n}xP(X=x) $$ 二项分布的推导： $$E(X)=sum_{x=0}^{n}xC_{n}^{x}p^{x}(1-p)^{n-x}$$ $$E(X)=npsum_{x=0}^{n}C_{n}^{x}p^{x-1}(1-p)^{n-x}$$ 由于$C_{n}^{x}$是以$x$为底的等比数列，有： $$sum_{x=0}^{n}C_{n}^{x}p^{x-1}(1-p)^{n-x}=frac{1-(1-p)^{n} }{p}=frac{1-q^{n}}{p}=1$$

概率论,方差,分布列知识总结

分布列、期望、方差知识总结 一、知识结构 二、知识点 1.随机试验的特点: ①试验可以在相同的情形下重复进行； ②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个 ③每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果． 2.分类 随机变量 （如果随机试验可能出现的结果可以用一个变量X 来表示，并且X 是随着试验的结果的不同而变化，那么这样的变量叫做随机变量． 随机变量常用大写字母X 、Y 等或希腊字母 ξ、η等表示。） 离散型随机变量 在上面的射击、产品检验等例子中，对于随 机变量X 可能取的值，我们可以按一定次序一 一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变 量． 连续型随机变量 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变 量.连续型随机变量的结果不可以一一列出. 随机变量 条件概率 事件的独立性 正态分布 超几何分布 二项分布 数学期望 方差 离散型随机变量的数字特征 离散型随机变量 连续性随机变量

3.离散型随机变量的分布列 一般的,设离散型随机变量X可能取的值为 x1,x2, ,x i , ,x n X取每一个值xi(i=1,2,）的概率 P(ξ=x i）＝P i，则称表 为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列 性质： ①pi≥0, i =1，2，…； ②p1 + p2 +…+p n= 1． ③一般地，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和。 4.求离散型随机变量分布列的解题步骤 例题：篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，不中得0分，已知某运动员罚球命中的概率为0.7，求他罚球一次的得分的分布列. 解：用随机变量X表示“每次罚球得的分值”，依题可知，X可能的取值为：1,0 且P（X=1）=0.7，P（X=0）=0.3 因此所求分布列为： 引出 二点分布 如果随机变量X的分布列为： 其中0

排列组合和二项式定理及概率统计知识点

排列组合二项定理 知识要点 一、两个原理. 1. 乘法原理、加法原理. 2. 可．以有．．重复．．元素．． 的排列. 从m 个不同元素中，每次取出n 个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序排成一排，那么第一、第二……第n 位上选取元素的方法都是m 个，所以从m 个不同元素中，每次取出n 个元素可重复排列数m·m·… m = m n .. 例如：n 件物品放入m 个抽屉中，不限放法，共有多少种不同放法？ （解：n m 种） 二、排列. 1. ?对排列定义的理解. 定义：从n 个不同的元素中任取m(m ≤n )个元素，按照一定顺序．．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. ?相同排列. 如果；两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序也必须完全相同. ?排列数. 从n 个不同元素中取出m (m≤n )个元素排成一列，称为从n 个不同元素中取出m 个元素的 一个排列. 从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列数，用符号m n A 表示. ?排列数公式： ),,()! (! )1()1(N m n n m m n n m n n n A m ∈≤-= +--= 注意：!)!1(!n n n n -+=? 规定0! = 1 111--++=?+=m n m n m n m m m n m n mA A C A A A 11 --=m n m n nA A 规定10 ==n n n C C 2. 含有可重元素．．．．．． 的排列问题. 对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集S 有k 个不同元素a 1，a 2,…...a n 其中限重复数为n 1、n 2……n k ，且n = n 1+n 2+……n k , 则S 的排列个数等于! !...!! 21k n n n n n = . 例如：已知数字3、2、2，求其排列个数3!2!1)!21(=+=n 又例如：数字5、5、5、求其排列个 数？其排列个数1! 3!3==n . 三、组合. 1. ?组合：从n 个不同的元素中任取m (m≤n )个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合. ?组合数公式：)!(!!!)1()1(m n m n C m m n n n A A C m n m m m n m n -=+--== ?两个公式：①; m n n m n C C -= ②m n m n m n C C C 11+-=+

二项分布知识讲解

二项分布 科技名词定义 中文名称：二项分布 英文名称：binomial distribution 定义：描述随机现象的一种常用概率分布形式，因与二项式展开式相同而得名。 所属学科：大气科学（一级学科）；气候学（二级学科） 本内容由全国科学技术名词审定委员会审定公布 二项分布 二项分布即重复n次的伯努里试验。在每次试验中只有两种可能的结果,而且是互相对立的，是独立的,与其它各次试验结果无关，结果事件发生的概率在整个系列试验中保持不变,则 这一系列试验称为伯努力试验。 目录 如果事件发生的概率是P,则不发生的概率q=1-p，N次独立重

复试验中发生K次的概率是 P(ξ=K)=Cn(k)P(k)q(n-k) 注意!:第二个等号后面的括号里的是上标，表示的是方幂。 那么就说这个属于二项分布.. 其中P称为成功概率。 记作ξ~B(n,p) 期望:Eξ=np 方差:Dξ=npq 如果 1.在每次试验中只有两种可能的结果,而且是互相对立的; 2.每次实验是独立的,与其它各次试验结果无关; 3.结果事件发生的概率在整个系列试验中保持不变,则这一系列试验称为伯努力试验. 在这试验中,事件发生的次数为一随机事件,它服从二次分布.二项分布可 二项分布 以用于可靠性试验.可靠性试验常常是投入n个相同的式样进行试验T小时,而只允许k个式样失败,应用二项分布可以得到通过试验的概率. 若某事件概率为p，现重复试验n次，该事件发生k次的概率 为:P=C(k,n)×p^k×(1-p)^(n-k).C(k,n)表示组合数，即从n个事物中拿出k个的方法数. 编辑本段医学定义 在医学领域中，有一些随机事件是只具有两种互斥结果的离散型随机事件，称为二项分类变量（dichotomous variable），如对病人治疗结果的有效与无效，某种化验结果的阳性与阴性，接触某传染源的感染与未感染等。二项分布（binomial distribution）就是对这类只具有两种互斥结果的离散型随机事件的规律性进行描述的一种概率分布。 考虑只有两种可能结果的随机试验，当成功的概率（π）是恒定的 二项分布公式

1-2数学期望值与二项分配

1-2數學期望值與二項分配 一、二項分配 1.只有二種結果的試驗，稱為伯努利試驗。 ex1:袋中取球 ex2:擲骰子 ex3:候選人得票情況 ex4:產品不良率調查 例1.一袋中有3個紅球，1個藍球，每次從袋中拿出一球看完顏色後又放回袋中，共拿4次，請問恰有3次都拿到藍球的機率是多少？ 2.對於每次結果只有成功與失敗的伯努利試驗，如果重複做n 次，每次試驗結果是獨立的，而且每次成功的機率都一樣為 p，我們想知道這n次試驗中恰有k次( k為整數，且0 ≤ k≤ n ) 成功的機率，這種機率分配就稱為二項分配(或稱二項分布) 例2.擲一個骰子4次，以出現1點為成功，出現非1點為失敗的試驗，求該試驗的二項分配。

結論：設一個伯努利試驗中成功的機率為p ，失敗的機率為1－p ，在 n 次獨立的重複試驗中，恰好成功k 次的機率為 ()(1),0,1,2,...,n k n k k P k C p p k n -=-= 例3. 已知某地下工廠生產的產品是不良品的機率高達1 3，今隨機抽樣6件產品，求 (1)恰好抽中4件不良品的機率 (2)至少抽中4件不良品的機率 例4. 甲乙兩人經常在一起打桌球,根據過去的經驗,單局中甲獲勝的機率為3 5,且各局比賽的結果不互相影響。今兩人比賽,由乙來決定採一戰定輸贏或三戰兩勝制。試問乙應選哪一種制度才有較高的勝算？

二、 二項分配的數學期望值 1. 數學期望值的定義 某試驗有n 種可能結果12,,...,n m m m ，分別乘上其發生的機率 12,,...,n p p p 後的總和，即期望值E 為 1122n n E m p m p m p =+++ 例5. 設丁丁在籃球賽的罰球命中率為p 。在每次罰球的結果都是獨立的情形下，求丁丁5次罰球中，投進次數的期望值。 結論：在一伯努利試驗中成功的機率為p ，失敗的機率為1－p 。若重 複此試驗n 次，則n 次中成功次數的期望值為E ＝np 例6. 在同時丟2個硬幣的試驗中，把兩個硬幣都出現正面叫做成

分布列、期望和方差

知识归纳 1．随机变量 (1)如果随机试验的结果可以用一个变量X 来表示，并且X 随试验结果的不同而变化，那么变量X 叫做随机变量． (2)如果随机变量所有可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．如果随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的随机变量叫做连续型 随机变量． 2．离散型随机变量的分布列 (1)设离散型随机变量X 所有可能取的不同值为x 1、x 2、…、x i 、…、x n ，X 取每个值x i (i ＝1,2，…n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，则称表 X 的分布列也可简记为： P (X ＝x i )＝p i ，i ＝1、2、…、n . (2)离散型随机变量的分布列的性质： ①p i ≥0，i ＝1,2，…n ； ②p 1＋p 2＋p 3＋…p n ＝1. 离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和。 （3）E (X )＝x 1p 1+x 2p 2+…+x n p n 为随机变量 X 的均值或数学期望．它反映了离散型随机变量取值的平均水平 （4）D (X )＝∑i ＝1n [x i －E (X )]2p i ＝(x 1-E ξ) 2 p 1+(x 2-E ξ)2p 2+…+(x n -E ξ)2p n 为随机变量X 的方差．它反映了随机变量取值相对于均值的平均波动大小． 方差D (X )的算术平方根D (X )叫做随机变量X 的标准差，记作σ(X )． 高三第一轮复习 离散型随机变量及其概率分布

（5）设a，b 是常数，随机变量X，Y 满足Y＝aX＋b， 则E(Y)＝E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(Y)＝D(aX＋b)＝a2D(X) 3．二点分布 如果随机变量X的分布列为 E(X)＝p，D(X)＝p(1－p) 4．超几何分布 设有总数为N件的两类物品，其中一类有M件，从所有物品中任取n件(n≤N)，这n件中所含这类物品件数X是一个离散型随机变量，它取值为m时 的概率P(X＝m)＝ k n k M N M n N C C C - - (0≤m≤l，l为n和M中较小的一个)， 称这种离散型随机变量的概率分布为超几何分布，也称X服从参数为N、M、n的超几何分布． 5．条件概率 设A、B为两个事件，在事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件 概率，公式：P(B|A)＝P(A∩B) P(A) . 任何事件的条件概率都在0和1之间，即0≤P(B|A)≤1 如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)． 6．事件的独立性 如果事件A的发生与否不影响事件B发生的概率，则P(B|A)＝P(B)，这时称事件A与B相互独立． 如果事件A与B相互独立，则P(A∩B)＝P(A)P(B)， 对于n个事件A1、A2、…、A n，如果其中任何一个事件发生的概率不受其它事件是否发生的影响，则称这n个事件A1、A2、…、A n相互独立． 如果事件A与B相互独立，那么事件A与B，A与B，A与B也都相互独立7．独立重复试验与二项分布

二项分布,超几何分布数学期望与方差公式的推导

二项分布,超几何分布数学期望与方差公式的推导一维随机变量期望与方差 二维随机变量期望与方差 协方差 1.一维随机变量期望与方差： 公式： 离散型： E（X）=∑i=1->nXiPi Y=g（x） E（Y）=∑i=1->ng（x）Pi 连续型： E（X）=∫-∞->+∞xf（x）dx Y=g（x） E（Y）=∫-∞->+∞g（x）f（x）dx 方差：D（x）=E（x2）-E2（x） 标准差：根号下的方差 常用分布的数学期望和方差： 0~1分布期望p 方差p（1-p） 二项分布B（n，p）期望np，方差np（1-p） 泊松分布π（λ）期望λ方差λ

几何分布期望1/p ,方差（1-p）/p2 正态分布期望μ，方差σ2 均匀分布，期望a+b/2,方差（b-a）2/12 指数分布E（λ）期望1/λ,方差1/λ2 卡方分布，x2（n）期望n 方差2n 期望E（x）的性质： E（c）=c E（ax+c）=aE（x）+c E（x+-Y）=E（X）+-E（Y） X和Y相互独立： E（XY）=E（X）E（Y） 方差D（X）的性质： D（c）=0 D（aX+b）=a2D（x） D（X+-Y）=D（X）+D（Y）+-2Cov（X，Y）X和Y相互独立： D（X+-Y）=D（X）+D（Y） 2.二维随机变量的期望与方差： 3.协方差：Cov（X，Y）： D（X+-Y）=D（X）+D（Y）+-2Cov（X，Y）

协方差： Cov（X，Y）=E（XY）-E（X）E（Y） 相关系数： ρxY=Cov（X，Y）/X的标准差*Y的标准差ρxY=0为X与Y不相关 记住：独立一定不相关，不相关不一定独立。协方差的性质： Cov（X，Y）=Cov（Y，X） Cov（X，C）=0 CoV（X，X）=D（X） Cov（ax+b，Y）=aCov（X，Y）

(理科)专题训练(二项式定理、分布列、期望与方差)

高三数学（理科）专题训练（1） -----概率、二项式定理、分布列、数学期望 1.如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平面线面组”．在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是() A．60 B．48 C．36D．24 2.．甲、乙两人进行象棋比赛，甲获胜的概率是0.4，两人下成和棋的概率是0.2，则甲不输的概率是() A．0.6B．0.8C．0.2D．0.4 3．在第3、6、16路公共汽车的一个停靠站(假定这个车站只能停靠一辆公共汽车)，有一位乘客需在5分钟之内乘上公共汽车赶到厂里，他可乘3路或6路公共汽车到厂里，已知3路车、6路车在5分钟之内到此车站的概率分别为0.20和0.60，则该乘客在5分钟内能乘上所需要的车的概率为() A．0.20 B．0.60 C．0.80D．0.12 4．掷一颗质地均匀的骰子，观察所得的点数a，设事件A：a＝3；事件B：a＝4；事件C：a为奇数，则下列结论正确的是() A．A与B为互斥事件B．A与B为对立事件C．A与C为对立事件D．A与C为互斥事件 5．某家庭电话在家里有人时，打进电话响第一声被接的概率为0.1，响第二声时被接的概率为0.3，响第三声时被接的概率为0.4，响第四声时被接的概率为0.1，那么电话在响前4声内被接的概率是() A．0.622 B．0.9 C．0.659 8 D．0.002 8 7.袋中装有3个白球，4个黑球，从中任取3个球，则 ①恰有1个白球和全是白球；②至少有1个白球和全是黑球； ③至少有1个白球和至少有2个白球；④至少有1个白球和至少有1个黑球． 在上述事件中，是对立事件的为() A．①B．②C．③D．④ 7.已知(x＋a x )6(a>0)的展开式中常数项为240，则(x＋a)(x－2a)2的展开式中x2项的系数为________． 8．已知a＝ π 2 (sin2x2－12)d x，则(ax＋12ax)9的展开式中，关于x的一次项的系数为________． 9.自“钓鱼岛事件”以来，中日关系日趋紧张并不断升级．为了积极响应“保钓行动”，某学校举办了一场“保钓知识大赛”，共分两组．其中甲组得满分的有1个女生和3个男生，乙组得满分的有2个女生和4个男生．现从得满分的同学中，每组各任选2个同学，作为“保钓行动代言人”． (1)求选出的4个同学中恰有1个女生的概率；(2)设X为选出的4个同学中女生的个数，求X的分布列和数学期望． 高三数学（理科）专题训练（2）

二项分布经典例题+练习题

二 项分布 1．n 次独立重复试验 一般地，由n 次试验构成，且每次试验相互独立完成，每次试验的结果仅有两种对立的状态，即A 与A ，每次试验中()0P A p =>。我们将这样的试验称为n 次独立重复试验，也称为伯努利试验。 （1）独立重复试验满足的条件 第一：每次试验是在同样条件下进行的；第二：各次试验中的事件是互相独立的；第三：每次试验都只有两种结果。 （2）n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 ()P X k ==(1)k k n k n C p p --。 2．二项分布 若随机变量X 的分布列为()P X k ==k k n k n C p q -，其中0 1.1,0,1,2,,,p p q k n < <+==则 称X 服从参数为,n p 的二项分布，记作(,)X B n p 。 1．一盒零件中有9个正品和3个次品，每次取一个零件，如果取出的次品不再放回，求在取得正品前已取出的次品数X 的概率分布。 2.一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是3 1. (1)设ξ为这名学生在途中遇到红灯的次数，求ξ的分布列； (2)设η为这名学生在首次停车前经过的路口数，求η的分布列； (3)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率. 3.甲乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为2 1，乙每次击中目标的概率为3 2. （1）记甲击中目标的此时为ξ，求ξ的分布列及数学期望； （2）求乙至多击中目标2次的概率； （3）求甲恰好比乙多击中目标2次的概率. 【巩固练习】

1.（2012年高考（浙江理））已知箱中装有4个白球和5个黑球,且规定:取 出一个白球的2分,取出一个黑球的1分.现从该箱中任取(无放回,且每球取到的机会均等)3个球,记随机变量X为取出3球所得分数之和. (Ⅰ)求X的分布列; (Ⅱ)求X的数学期望E(X). 2．（2012年高考（重庆理））(本小题满分13分,(Ⅰ)小问5分,(Ⅱ)小问8分.) 甲、乙两人轮流投篮,每人每次投一球,.约定甲先投且先投中者获胜,一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率 为1 3,乙每次投篮投中的概率为1 2 ,且各次投篮互不影响. (Ⅰ) 求甲获胜的概率; (Ⅱ) 求投篮结束时甲的投篮次数ξ的分布列与期望 3．设篮球队A与B进行比赛，每场比赛均有一队胜，若有一队胜4场则比赛宣告结束，假定,A B在每场比赛中获胜的概率都是1 2 ，试求需要比赛场数的期望． 3．（2012年高考（辽宁理））电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况,随机抽取了100名观众进行调查.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图; 将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”. (Ⅰ)根据已知条件完成下面的22 ⨯列联表,并据此资料你是否认为“体育迷”与性别 有关

高考数学最新真题专题解析—二项式定理与随机变量的分布(新高考卷)

高考数学最新真题专题解析—二项式定理与随机变量的分布（新高考卷）【母题来源】2022年新高考I卷 【母题题文】 )(x+y)8的展开式中x2y6的系数为(用数字作答)． (1−y x 【解析】 【分析】 本题考查二项展开式的特定项与特定项的系数，属于基础题． 【解答】 解：因为(x+y)8展开式的通项T r+1=C8r x8−r y r， 令r=5，则x3y5的系数为C85=56；令r=6，则x2y6的系数为C86= 28， 所以x2y6的系数为−56+28=−28． 【母题来源】2022年新高考II卷 【母题题文】 随机变量X服从正态分布N(2,σ2)，若P(2 2.5)= 【答案】0.14 【解析】 【分析】 本题考查了正态分布的意义，正态曲线的对称性及其应用． 【解答】

解：由题意可知，P(X>2)=0.5，故P(X>2.5)=P(X>2)−P(2

第7讲 分布列与数学期望(解析版)

第7讲 分布列与数学期望 高考预测一：求概率及随机变量的分布列的基本类型 类型一：利用古典概型求概率 1．10月1日，某品牌的两款最新手机（记为W 型号，T 型号）同时投放市场，手机厂商为了解这两款手机的销售情况，在10月1日当天，随机调查了5个手机店中这两款手机的销量（单位：部），得到如表 （Ⅰ）若在10月1日当天，从A ，B 这两个手机店售出的新款手机中分别随机抽取1部，求抽取的2部手机中至少有1部为W 型号手机的概率； （Ⅱ）现从这5个手机店中任选3个举行促销活动，用X 表示其中W 型号手机销量超过T 型号手机销量的手机店的个数，求随机变量X 的分布列和数学期望； （Ⅲ）经测算，W 型号手机的销售成本η（百元）与销量ξ（部)满足关系34ηξ=+．若表中W 型号手机销量的方差20(0)S m m =>，试给出表中5个手机店的W 型号手机销售成本的方差2S 的值．（用m 表示，结论不要求证明） 【解析】解：()I 设事件1M 为从A 店售出的手机中随机抽取1部手机，抽取的手机为W 型号手机， 设事件2M 为从A 店售出的手机中随机抽取1部手机，抽取的手机为W 型号手机， 则事件1M ，2M 相互独立，且161()6123P M = =+，262 ()695 P M ==+， ∴抽取的2部手机中至少有1部为W 型号手机的概率为13 2212335 35355 P =⨯+ ⨯+⨯=． ()II 由表格可知W 型号手机销售量超过T 型号手机的店有2个，故X 的可能取值有0，1，2 ． 且33351(0)10C P X C ===，12233 53(1)5 C C P X C ===，2123353 (2)10C C P X C ===． X ∴的分布列为：