概率论与数理统计：连续型随机变量的数学期望
连续型随机变量的数学期望
下面我们考虑连续型随机变量的数学期望，连续型随机变量的数学期望的定义和含义完全类似于离散型场合，用密度函数代替分布列，积分代替和式，就可以把离散型场合推广到连续场合.
【引例】（正态分布）设随机变量2
~(,)X N μσ,X 的数学期望如何求呢？ 连续型随机变量的数学期望
定义4.2 设连续型随机变量X 的概率密度为()f x ．若积分()d x f x x +∞
-∞
⎰
收敛,则称积
分
()d xf x x +∞
-∞
⎰
为随机变量X 的数学期望，简称期望或均值,记为()E X ,即
()()d E X xf x x
+∞
-∞
=⎰．
若积分
()d x f x x +∞
-∞
⎰
不收敛,则称随机变量X
的数学期望不存在．
注 （1）数学期望)(X E 是一个实数，它由分布唯一确定；
（2）数学期望)(X E 的数学解释就是X 加权平均，权就是密度函数，若X 表示价格，则)(X E 表示平均价格，从分布观点看数学期望，则数学期望是分布的重心位置；
（3）定义中要求积分dx x xf ⎰
+∞
∞
-)(绝对收敛，其原因同离散型情形一样.
例4.4 设随机变量
X 服从柯西分布,其概率密度为
2
1
()()π(1)
f x x x =
-∞<<+∞+, 试证：X 的数学期望不存在． 证明 因为
2201()d d 2d π(1)
π(1)x
x f x x x x x x x +∞
+∞
+∞-∞
-∞
=⋅
=++⎰
⎰
⎰ 20
1
ln(1)π
x +∞=
+=+∞，
即
()d x f x x +∞
-∞
⎰
不收敛,所以()E X 不存在.
例4.5（均匀分布）设随机变量
X 在区间(,)a b 上服从均匀分布,求()E X .
解 随机变量X 的概率密度为
1
,,()0,a x b f x b a ⎧<<⎪
=-⎨⎪⎩
其他,
则
1()()d d 2
b
a
a b
E X xf x x x x b a +∞
-∞
+==⋅
=
-⎰
⎰ 例4.6（指数分布）设随机变量
X 服从参数为θ指数分布,其概率密度为
1
1e 0()00x x f x x θ
θ-⎧>⎪=⎨⎪≤⎩
，， 0θ>,
求()E X .
解 1110
1
()()d e
d e
e
d e
x
x
x
x
E X xf x x x x x x θ
θ
θ
θ
θθθ
----
+∞
+∞
+∞
-∞
+∞+∞===-+=-=⎰
⎰⎰
例4.7（正态分布）设随机变量2
~(,)X N μσ,求()E X . 解
X 的概率密度为
22
()2(),x f x x μσ--=
-∞<<+∞,
因而
22
()2()()d d x E X xf x x x x μσ--
+∞
+∞
-∞
-∞
==⎰
⎰
，
令
x t μ
σ
-=,则
222
2
()d d t t E X t t μσμ+∞
+∞
-
-
-∞
-∞=+=⎰
⎰ *柯西分布 2
11
1
)(x x f +⋅
=
π，由于
+∞=∞++=
+=+=
⎰⎰
⎰
∞+∞
+∞
-∞
+∞
-0
)1ln(1
)
1(2)1(1)(20
22x dx x x
dx x x
dx x f x πππ
故柯西分布的数学期望不存在，可见并不是所有的连续型随机变量的数学期望都是存在的.
小结上面的结果，有下面公式
例4.8 设某种电子元件的寿命X （以年计）具有概率密度函数
⎪⎪⎪
⎩⎪
⎪
⎪⎨⎧<<-≤≤=其它,04
3,2230,6)(x x x x
x f
求这种元件的平均寿命。
解：元件的平均寿命就是原件的数学期望，故：
37
)2
2(6
)()(4
3
3
=
-
⋅+
⋅
=
=
⎰⎰⎰
∞
+∞
-dx x
x dx x
x dx x f x x E
概率论与数理统计基础
第1章概率论与数理统计基础 1.1概率论基础 一、随机事件与概率 1.随机事件－－简称事件 自然界中的事件可分为必然事件、不可能事件和随机事件三种：○1必然事件（U）：指在一定条件下必然发生的事件，如“1atm下水加热至100℃时沸腾”是必然事件。 ○2不可能事件（V）：指在一定条件下不发生的事件，如“1atm下水加热至50℃时沸腾”是不可能事件。 ○3随机事件（A、B……）：指一定条件下，可能发生，也可能不发生的事件。 2.概率与频率 对每一次试验而言，随机事件是否发生是带有偶然性的。但在大量重复试验下，并把这些试验结果综合在一起，就可以看出支配这些偶然性的某种必然规律性来。实践证明，随机事件发生的可能性大小是它本身所固有的属性，不随人们的主观意愿而转移，并且这种属性可以通过大量试验来认识。 为便于研究，我们将随机事件A发生的可能性的大小用一个数值p来表示，并把这个数值p叫做事件A的概率。记作： P（A）＝p 为了确定事件A的概率p，首先必须说明频率的概念。 设A为某试验可能出现的随机事件，在同样条件下，该试验重复做n次，事件A出现了m次（0≤m≤n），则称m为A在这n次试验中出现的频数，称m/n为A在这n次试验中出现的频率。（见书上表1-1） 频率m/n本身不是常数，它与试验次数n有关，随着试验次数n的增加，频率总是在某一常数附近摆动，而且n愈大，频率与这
个常数的偏差往往愈小，这种性质叫做频率的稳定性。这个常数是客观存在的，与所做的若干次具体试验无关，它反映了事件本身所蕴含的规律性，反映了事件出现的可能性大小。 因此，这个常数（p）就是事件A的概率。即事件A的概率就是事件A发生的频率的稳定值（p）。 P（A）＝p 抛掷硬币试验 试验者投掷次数 n 出现正面次数 m 出现正面频率 m/n 蒲丰4040 2048 0.5069 皮尔逊12000 6019 0.5016 皮尔逊24000 12012 0.5005 维尼30000 14994 0.4998 3.概率的基本性质 ○1 0≤P（A）≤1 即任何事件的概率都介于0和1之间 ○2 P(U)=1 即必然事件的概率为1 ○3 P(V)=0 即不可能事件的概率为0 二、随机变量及其概率分布 1.随机变量的概念 有些随机事件有数量标识，如射击时命中的环数，掷一枚骰子所出现的点数等等。但也有些随机事件无数量标识，如掷一枚硬币时，试验结果为“正面朝上”或“反面朝上”，而不是数量。这会使我们感到不太方便，能否用量来代替事？这就促使我们引入随机变量的概念。事实上，很多事都和量有关。例如，掷硬币时“正面朝上”或“反面朝上”这两件事，我们可以分别记为“0”或“1”。经这样规定后，随机事件就可以用一个数来表示了。 试验结果能用一个数ξ(希腊字母，读“克西”)来表示，这个数ξ随试验结果不同而变化，我们称ξ为随机变量。
概率论与数理统计：连续型随机变量的数学期望
连续型随机变量的数学期望 下面我们考虑连续型随机变量的数学期望，连续型随机变量的数学期望的定义和含义完全类似于离散型场合，用密度函数代替分布列，积分代替和式，就可以把离散型场合推广到连续场合. 【引例】（正态分布）设随机变量2 ~(,)X N μσ,X 的数学期望如何求呢？ 连续型随机变量的数学期望 定义4.2 设连续型随机变量X 的概率密度为()f x ．若积分()d x f x x +∞ -∞ ⎰ 收敛,则称积 分 ()d xf x x +∞ -∞ ⎰ 为随机变量X 的数学期望，简称期望或均值,记为()E X ,即 ()()d E X xf x x +∞ -∞ =⎰． 若积分 ()d x f x x +∞ -∞ ⎰ 不收敛,则称随机变量X 的数学期望不存在． 注 （1）数学期望)(X E 是一个实数，它由分布唯一确定； （2）数学期望)(X E 的数学解释就是X 加权平均，权就是密度函数，若X 表示价格，则)(X E 表示平均价格，从分布观点看数学期望，则数学期望是分布的重心位置； （3）定义中要求积分dx x xf ⎰ +∞ ∞ -)(绝对收敛，其原因同离散型情形一样. 例4.4 设随机变量 X 服从柯西分布,其概率密度为 2 1 ()()π(1) f x x x = -∞<<+∞+, 试证：X 的数学期望不存在． 证明 因为 2201()d d 2d π(1) π(1)x x f x x x x x x x +∞ +∞ +∞-∞ -∞ =⋅ =++⎰ ⎰ ⎰ 20 1 ln(1)π x +∞= +=+∞， 即 ()d x f x x +∞ -∞ ⎰ 不收敛,所以()E X 不存在. 例4.5（均匀分布）设随机变量 X 在区间(,)a b 上服从均匀分布,求()E X .
概率论与数理统计0-随机变量的数学期望
第三章随机变量的数字特征 前面讨论了随机变量的分布函数, 从中知道随机变量的分布函数能完整地描述随机变量的统计 规律性. 但在许多实际问题中, 人们并不需要去全面考察随机变量的变化情况, 而只要知道它的某些数字特征即可. 例如, 在评价某地区粮食产量的水平时, 通常只要知道该地区粮食的平均产量; 又如, 在评价一批棉花的质量时, 既要注意纤维的平均长度, 又要注意纤维长度与平均长度之间的偏离程度, 平均长度较大, 偏离程度小, 则质量就较好. 等等 实际上, 描述随机变量的平均值和偏离程度的某些数字特征在理论和实践上都具有重要的意义, 它们能更直接、更简洁更清晰和更实用地反映出随机变量的本质. 本章将要讨论的随机变量的常用数字特征包括: 数学期望、方差、相关系数、矩. 第一节随机变量的数学期望 内容要点： 一、离散型随机变量的数学期望 平均值是日常生活中最常用的一个数字特征, 它对评判事物、作出决策等具有重要作用. 定义设是离散型随机变量的概率分布为X 2,?1,?x}?p,i{PX ii????.xpE(X)?如果为绝对收敛, 则定义的数学期望(又称均值) pxX iiiii?11i? 二、连续型随机变量的数学期望 定义设是连续型随机变量, 其密度函数为,如果)xf(X??xf(x)dx ????xf(x)dx.(EX)?数学期望为, 绝对收敛定义的X?? 三、随机变量函数的数学期望 设是一随机变量, 为一实函数,则也是一随机变量, 理论上, 虽然可通)Y?g(X)xg(X过的分布求出的分布, 再按定义求出的数学期望. 但这种求法一般)](XE[g)gXg(X)(X比较复杂. 下面不加证明地引入有关计算随机变量函数的数学期望的定理. 定理1设是一个随机变量, ,且存在, 则)(XY?g)E(YX（1）若为离散型随机变量, 其概率分布为X 2,,?,p}xXP{??i1ii则的数学期望为Y． ?? .g(x))?E[g(X)]?pE(Y ii1?i则的数学期望为若为连续型随机变量, 其概率密度为, （2）)f(xYX?? .(x))](X?dxg(x)fE(Y)?E[g??. 只需知道的分布即可, 不必知道的分布, 注: (i)定理的重要性在于:求时)](XE[g)Xg(X; 这给求随机变量函数的数学期望带来很大方便, 即有(ii) 上述定理可推广到二维以上的情形则,, 且存在, 定理2设是二维随机向量)Z?gYX,()ZE,Y)((X 其概率分布为1）若为离散型随机向
随机变量的数字特征及其应用
青岛大学学士学位论文 随机变量的数字特征（期望、方差、协方差） 及其应用 学院：数学与统计学院 *名：** 专业：信息与计算科学 学号： ************ 指导教师：*** 职称：副教授
随机变量的数字特征（期望、方差、协方差）及其应用 摘要：伴随着人类思想的进步与发展，实际问题的概率化思想已经深刻的融入在了生活的方方面面。然而，在很多事件发生的可能性的层面上来说，其结果往往会呈现出不确定性，在很多次重复试验中其结果又具有统计规律性的现象，我们将其称为随机现象。把每件事情的发生与否抽象成随机变量，于是在某些实际问题或者理论问题中人们感兴趣于某些能描述随机变量某一种特征的常数，这种由随机变量的分布所确定的，能够描述随机变量某一方面的特征的常数统称为数字特征，它在理论和实际应用中都很重要。本文对随机变量的几个重要的数字特征（包含数学期望、方差、协方差）进行了相应的研究。在探究求每个不同的数字特征所各自代表的实际意义时，通过对其定义、产生背景、实际意义等方面进行逐一分析之后，配备了相应例题进行讲解分析，达到与生活实际融会贯通的目的。最后，通过对数字特征的数学分析，可以浅谈它们各自在实际生活中的应用，已达到学以致用的目的。 关键词：随机变量；数字特征；期望；方差；协方差与相关系数
Digital Characteristics (Expected, Variance, Covariance) of Random Variables and Their Applications Abstract:With the progress and development of human thought, the probabilistic thought of practical problems has been deeply integrated into all aspects of life. However, at the level of the likelihood of occurrence of many events, the results tend to show uncertainty, and in many times the results of repeated trials have statistical regularity, which we call random phenomena. The occurrence of each thing is abstracted as a random variable, so in some practical problems or theoretical problems in the people interested in some of the characteristics of a random variable can describe a constant, which is determined by the distribution of random variables , Constants that describe the characteristics of a particular aspect of a random variable are collectively referred to as a digital feature, which is important both in theory and in practical applications. In this paper, several important digital features (including mathematical expectation, variance, covariance) of random variables are studied. In the study of the actual meaning of each of the different digital features, through its definition, background, practical significance and other aspects of the analysis, with the corresponding examples to explain the analysis, to achieve the purpose of integration with the actual life. Finally, through the mathematical analysis of digital features, you can talk about their respective applications in real life, has reached the purpose of learning to use. Key words: Random variables; digital characteristics; expectation; variance; covariance and correlation coefficient
论数学期望在实际生活中的运用
论数学期望在实际生活中的运用 数学期望代表着概念意义下的统计平均值，客观有效地反映了随机变量的取值分布。作为概率论与数理统计中的重要概念之一，数学期望如今已经成为经济统计、投资分析等领域的重要参数，为更深入的判断与决策提供了准确的理论依据。本文梳理了数学期望的基本概念与计算方法，并进一步探讨期望在实际生活中的具体运用。 1 数学期望的基本概念 1.1 离散型与连续型随机变量 生活中存在许多自然现象，当某种现象的结果具有不确定性和随机性，但结果的取值范围是已知的時候，我们称该现象的结果为随机变量。例如，某一时刻经过某路口的出租车数量、未来某一天的平均温度均是随机变量，它们都无法预知，但结果的区间范围确是可以确定的。 需要注意的是，根据随机变量取值的分布规律，一般把随机变量分为两种类型：离散型随机变量与连续型随机变量。当变量的取值在一定区间内是有限的，这个变量即是离散型随机变量；当取值在一定区间内是无限的，这个变量即是连续型随机变量。正如上文所列举的例子，某一时刻经过某路口的出租车数量便是“可数”的，是离散型的随机变量；而未来某一天的平均温度虽然 1/ 6
也可以确定取值范围，但在特定的范围内的取值是“不可数”的，因而是连续型的随机变量。 1.2 数学期望的计算方法 类似于加权平均的方法，数学期望即是随机变量的所有可能取值与其对应的概率乘积之和，概率即是每项结果的“权重”。离散型与连续型随机变量的计算方式有所不同。 对于离散型随机变量X来说： X的分布律为： P{X=xk}=pk，k=1，2，3… 若级数收敛，则随机变量X的数学期望E（X）即为。 对于连续型随机变量Y来说： Y的概率密度函数为： f（y），y∈（-∞，+∞） 若级数收敛，则随机变量Y的数学期望E（Y）即为。 2 数学期望在实际生活中的运用 2.1 生产决策问题 在生产经营过程中，由于无法提前预知其他厂商的生产情况，因而对于产量的抉择是较为盲目的。当市场供给过多时，产品价格会下降进而侵蚀利润，同时商品积压也会增加库存成本。实际上，企业的财务管理人员可以通过历史数据、市场信息，利用数学期望原理进行合理估算，制定出理论上的最佳生产策略。 2/ 6
经济数学II(概率论与数理统计)教学大纲
《经济数学II( 概率论与数理统计)》 课程教学大纲 制定（修订）单位：山东财经大学数学与数量经济学院制定（修订）时间： 2013年7月
课程中文名称：经济数学II(概率论与数理统计) 课程英文名称：Probability and Statistics 课程代码：16200091 学时数：51 学分数：3 先修课程：《微积分》、《线性代数》 适用专业：金融学专业（高水平运动员） 一、课程的性质和任务 1.课程性质 《经济数学II(概率论与数理统计)》是金融学专业（高水平运动员）的学科基础课。 2.课程任务 《经济数学II(概率论与数理统计)》是一门从数量方面研究随机现象的统计规律性的课程。通过对本课程的学习，使学生掌握处理随机现象的基本思想和方法，培养他们运用概率论与数理统计的方法去分析和解决有关实际问题的能力，并为后续相关课程的学习奠定必要的数学基础。 二、本课程与其他课程的联系与分工 《经济数学II(概率论与数理统计)》以《微积分》和《线性代数》的理论知识为基础，有其独特的理论体系和处理问题的方法。它通过研究随机变量及其分布，来研究随机现象的统计规律性；通过搜集、整理、分析数据，建立数学模型来进行统计估计、统计预测和统计假设检验。本课程是《微观经济学》、《统计学》等课程的先修课程。 三、课程教学内容 第一章随机事件及其概率 教学目的与要求： 1. 了解随机试验、事件、样本空间以及概率的统计定义和概率的古典定义。 2．理解古典概型、条件概率、事件的独立性的概念。 3. 掌握概率的性质、运算规则及古典概型、条件概率的计算。
4. 掌握全概率公式、贝叶斯公式。 教学重点与难点： 重点：概率性质，古典概型，条件概率与乘法公式，事件的独立性与独立试验概型，全概率公式和贝叶斯公式。 难点：古典概率的计算，全概率公式、贝叶斯公式的运用。 第一节随机事件和样本空间 一、随机事件 1.随机试验 2.随机事件 二、样本空间 样本空间的概念，事件的集合表示。 三、事件间的关系和运算 包含关系、相等关系，事件的积、事件的差，互不相容事件，对立事件，完备事件组。 四、随机事件的运算律 交换率，结合律，分配律，对偶率。 第二节概率 一、概率的统计定义 概率的初等描述，频率，概率的统计定义，概率的性质。 三、概率的古典定义 1.古典概型与概率的古典定义 2.古典概率的计算 第三节条件概率与全概率公式 一、条件概率 条件概率的概念与性质。 二、乘法公式 三、全概率公式与贝叶斯公式 第四节独立试验概型 一、事件的独立性
概率论与数理统计前三章
概率论与数理统计知识点第一章随机事件及其概率 1.1 随机事件 1.2 概率 1.3 条件概率与全概公式 1.4 事件的独立性与伯努利概型 第二章随机变量及其分布 2.1 随机变量与分布函数 2.2 离散型随机变量及其分布 2.3 连续型随机变量及其分布 2.4 二维随机变量 2.5 随机变量函数的分布 第三章随机变量的数字特征 3.1 数学期望 3.2 方差 3.3 几种常见分布的数学期望与方差 3.4 随机变量矩、协方差与相关系数 第四章大数定律与中心极限定理 4.1 切比雪夫不等式 4.2 大数定律 4.3 中心极限定理 第五章抽样分布 5.1 总体与样本 5.2 样本函数与样本分布函数 5.3 抽样分布 第六章参数估计 6.1 点估计 6.2 估计量的评价标准 6.3 区间估计 6.4 正态总体均值与方差的区间估计 6.5 非正态总体参数的区间估计 第七章假设检验 7.1 假设检验的基本概念 7.2 单个正态总体参数的假设检验 7.3 两个正态总体参数的假设检验 7.4非正态总体参数的假设检验 7.5 总体分布的假设检验 第八章方差分析 8.1 问题的提出 8.2 单因素试验方差分析 8.3 单因素方差分析举例 第九章回归分析 9.1 问题的提出
9.2 一元正态线性回归9.3 一元非线性回归简介9.4 多元线性回归 9.5 多元回归应用举例
第一章 随机事件及其概率知识要点及重要例题 一、知识要点。 ① 重要公式 （1） A+A =Ω （2） A +B ̅̅̅̅̅̅̅̅=A ∙B ̅ A ∙B ̅̅̅̅̅̅=A +B ̅ (德摩根定理) （3） P(A+B)=p(A)+P(B)-P(AB) （加法公式） （4） P(A-B)=P(A)-P(AB) （减法公式） （5） P(AB)=P(A)P(B|A)或P(AB)=P(A|B)P(B) （乘法公式） （6） P (B )=∑P (A i )P (B|A i )n i=0 (全概率公式) 由因求果 （7） P(A j |B)=P(A j )P(B|A j ) ∑P (A i )n i=1P(B|A i ) (叶贝斯公式) 由果索因 ② 概率定义 （1） 统计定义：频率稳定在一个数附近，这个数称为事件的概率； （2） 古典定义：要求样本空间只有有限个基本事件，每个基本事件出现的可 能性相等，则事件Ａ所含基本事件个数与样本空间所含基本事件个数的比称为事件的古典概率； （3） 几何概率：样本空间中的元素有无穷多个，每个元素出现的可能性相等， 则可以将样本空间看成一个几何图形，事件Ａ看成这个图形的子集，它的概率通过子集图形的大小与样本空间图形的大小的比来计算； （4） 公理化定义：满足三条公理的任何从样本空间的子集集合到［０，１］ 的映射 ③ 随机事件 （1） 事件的三种运算：并∪（和）、交∩（积）、差；注意差Ａ－Ｂ可以表示成Ａ 与Ｂ的逆的积。 （2） 四种运算律：交换律、结合律、分配律、德莫根律 （3） 事件的五种关系：包含、相等、互斥（互不相容）、对立、相互独立。 ④ 概率的性质 （1） 不可能事件的概率为零。 （2） 概率具有可加性。 （3） 对任意事件A ，有P (A )=1-P (A )。 （4） 若A ⊃B ，则P(A-B)=P(A)-P(B)。 （5） 加法公式。 ⑤ 条件概率 P(B|A)指的是A 发生的条件下事件B 发生的概率。 随机现象 具有一定的规律性 随机现象的统计规律性 进行研究 随机实验（E ） 重复性 明确性 随机性 事件A 事件B 事件C 事件D 事件E …… 随机事件 基本事件 复合事件 n ≥2个 必然事件 不可能事件 基本事件空间/样本空间（Ω）
概率论与数理统计01第一节随机变量的数学期望
第三章 随机变量的数字特征 前面讨论了随机变量的分布函数， 从中知道随机变量的分布函数能完整地描述随机变量的统计规律性。 但在许多实际问题中， 人们并不需要去全面考察随机变量的变化情况， 而只要知道它的某些数字特征即可. 例如, 在评价某地区粮食产量的水平时， 通常只要知道该地区粮食的平均产量; 又如, 在评价一批棉花的质量时， 既要注意纤维的平均长度， 又要注意纤维长度与平均长度之间的偏离程度, 平均长度较大， 偏离程度小， 则质量就较好. 等等 实际上, 描述随机变量的平均值和偏离程度的某些数字特征在理论和实践上都具有重要的意义, 它们能更直接、更简洁更清晰和更实用地反映出随机变量的本质. 本章将要讨论的随机变量的常用数字特征包括: 数学期望、方差、相关系数、矩。 第一节 随机变量的数学期望 内容要点： 一、离散型随机变量的数学期望 平均值是日常生活中最常用的一个数字特征， 它对评判事物、作出决策等具有重要作用。 定义 设X 是离散型随机变量的概率分布为 ,2,1,}{===i p x X P i i 如果∑∞=1 i i i p x 绝对收敛, 则定义X 的数学期望（又称均值）为 .)(1 ∑∞ ==i i i p x X E 二、连续型随机变量的数学期望 定义 设X 是连续型随机变量， 其密度函数为)(x f ,如果 ⎰ ∞ ∞ -dx x xf )( 绝对收敛， 定义X 的数学期望为 .)()(⎰∞ ∞ -=dx x xf X E 三、 随机变量函数的数学期望 设X 是一随机变量, )(x g 为一实函数，则)(X g Y =也是一随机变量， 理论上， 虽然可通过X 的分布求出)(X g 的分布, 再按定义求出)(X g 的数学期望)]([X g E . 但这种求法一般比较复杂。 下面不加证明地引入有关计算随机变量函数的数学期望的定理. 定理1 设X 是一个随机变量， )(X g Y =，且)(Y E 存在, 则 （1） 若X 为离散型随机变量, 其概率分布为 ,2,1,}{===i p x X P i i
《概率论与数理统计》笔记
《概率论与数理统计》笔记 一、课程导读 “概率论与数理统计”是研究随机现象的规律性的一门学科 在自然界，在人们的实践活动中，所遇到的现象一般可以分为两类： 确定性现象随机现象 ➢确定性现象 在一定的条件下，必然会出现某种确定的结果．例如，向上抛一枚硬币，由于受到地心引力的作用，硬币上升到某一高度后必定会下落．我们把这类现象称为确定性现象（或必然现象）．同样，任何物体没有受到外力作用时，必定保持其原有的静止或等速运动状态；导线通电后，必定会发热；等等也都是确定性现象． ➢随机现象 在一定的条件下，可能会出现各种不同的结果，也就是说，在完全相同的条件下，进行一系列观测或实验，却未必出现相同的结果．例如，抛掷一枚硬币，当硬币落在地面上时，可能是正面（有国徽的一面）朝上，也可能是反面朝上，在硬币落地前我们不能预知究竟哪一面朝上．我们把这类现象称为随机现象（或偶然现象）．同样，自动机床加工制造一个零件，可能是合格品，也可能是不合格品；射击运
动员一次射击，可能击中10环，也可能击中9环8环……甚至脱靶；等等也都是随机现象． ➢统计规律性 对随机现象，从表面上看，由于人们事先不能知道会出现哪一种结果，似乎是不可捉摸的；其实不然．人们通过实践观察到并且证明了，在相同的条件下，对随机现象进行大量的重复试验（观测），其结果总能呈现出某种规律性．例如，多次重复抛一枚硬币，正面 朝上和反面朝上的次数几乎相等；对某个靶进行多次射击，虽然各次弹着点不完全相同，但这些点却按一定的规律分布；等等．我们把随机现象的这种规律性称为统计规律性． ●应用例子 ➢摸球游戏中谁是真正的赢家 在街头巷尾常见一类“摸球游戏”．游戏是这样的：一袋中装有16个大小、形状相同，光滑程度一致的玻璃球．其中8个红色、8个白色．游戏者从中一次摸出8个，8个球中．当红白两种颜色出现以下比数时．摸球者可得到相应的“奖励”或“处罚”： 注：表中“-2”表示受罚2元
概率论与数理统计-重要公式
概率论与数理统计-重要公式
一、随机事件与概率
二、随机变量及其分布 1、分布函数 ()()(),()()() ()k k x x x P X x F x P X x P a X b F b F a f t dt ≤-∞ ⎧=⎪=≤=<≤=-⎨⎪⎩∑⎰ 概率密度函数 计算概 率： 2、离散型随机变量及其分布 3、续型型随机变量及其分布 1 )(=⎰ +∞ ∞ -dx x f ⎰=≤≤b a dx x f b X a P )()(
一般正态分布的概 率计算公式 分布函数 对离散型随机变量 对连续型随机变量 分布函数与密度函数的重要关系： 4、随机变量函数Y=g(X)的分布 离散型：()(),1,2, j i i j g x y P Y y p i === =∑ ， 连续型： ①分布函数法， ②公式法()(())()(())Y X f y f h y h y x h y '=⋅=单调 h(y)是g(x)的反函数 三、多维随机变量及其分布 1、离散型二维随机变量及其分布 分布律：(,),,1,2, i j ij P X x Y y p i j ==== 联合分布函数(,)i i ij x x y y F X Y p ≤≤= ∑∑ 边缘分布律：()i i ij j p P X x p ⋅===∑ ()j j ij i p P Y y p ⋅===∑ 条件分布律：(),1,2, ij i j j p P X x Y y i p ⋅====，(),1,2,ij j i i p P Y y X x j p ⋅ === = 联合密 度函数 2、连续型二维随机变量及其分布 ①分布函数及性质 分布函数：⎰⎰ ∞-∞ -= x y dudv v u f y x F ),(),( ⎰ ∞-=≤=x dt t f x X P x F )()()(∑≤==≤=x k k X P x X P x F ) ()()()()(' x f x F =⎰ ∞ -=≤=x dt t f x X P x F )()()(1),(0≤≤y x F } ,{),(y Y x X P y x F ≤≤=) ,(y x f 0 ),(≥y x f 1 ),(=⎰⎰ +∞∞-+∞∞ -dxdy y x f ) ( )()(σ μ -Φ=<=≤a a X P a X P ) ( 1)()(σ μ -Φ-=>=≥a a X P a X P ) ( )( )(σ μ σ μ -Φ--Φ=≤≤a b b X a P
概率论与数理统计总结
概率论与数理统计总结
3、分布函数与概率的关系 ∞ <<∞-≤=x x X P x F ),()( ) ()() ()()(a F b F a X P b X P b X a P -=≤-≤=≤< 4、离散型随机变量的分布函数 (1) 0 – 1 分布 1 ,0,) 1()(1=-==-k p p k X P k k (2) 二项分布 ),(p n B n k p p C k X P k n k k n ,,1,0,)1()( =-==- 泊松定理 0 lim >=∞ →λn n np 有 ,2,1,0! ) 1(lim ==---∞ →k k e p p C k k n n k n k n n λλ (3) 泊松分布 )(λP = ,2,1,0,! )(===-k k e k X P k λλ （5）几何分布 p q k p q k X P k -====-1,2,1}{1 dt t f x F x ⎰∞ -=)()(则称X 为连续型随机变量，其中函数 f(x)称为随机变量X 的概率密度函数， 2、分布函数的性质： （1）连续型随机变量的分布函数F(x )是连续函数。 （2）对于连续型随机变量X 来说，它取任一指定实数a 的概率均为零，即P{X=a }=0。 3、常见随机变量的分布函数 (1) 均匀分布 ),(b a U
⎪⎩ ⎪ ⎨⎧<<-=其他,0,1 )(b x a a b x f ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨⎧--=1, , 0)(a b a x x F (2) 指数分布 )(λE ⎪⎩⎪⎨ ⎧>=-其他, 00,)(x e x f x λλ ⎩ ⎨ ⎧≥-<=-0 , 10, 0)(x e x x F x λ (3) 正态分布 N (μ , σ 2 ) +∞ <<∞-=--x e x f x 2 22)(21 )(σμσ π ⎰ ∞ --- = x t t e x F d 21 )(2 22)(σμσ π N (0,1) — 标准正态分布 +∞ <<∞-=-x e x x 2 221 )(π ϕ +∞ <<∞-= Φ⎰ ∞ --x t e x x t d 21 )(2 2π 2、连续型随机变量函数的分布： （1）分布函数法；(){}⎰ ⎰ <==∈=y x g X l X y Y dx x f dx x f l X P y F y )()()( （2）设随机变量X 具有概率密度f X (x )，又设函数g(x )处处可导且恒有g '(x )>0 (或恒有g '(x )<0) ，则 Y=g(X )的概率密度为 ()()[]()⎩⎨⎧<<'=其他 β αy y h y h f y f X Y 其中x =h(y )为y =g(x )的 反函数，()()()()()()∞+∞-=∞+∞-=g g g g ,m ax ,,m in βα 3、 二维连续型随机变量 （1）联合分布函数为dudv v u f y x F y x ⎰⎰ ∞ -∞ -=),(),(函数
概率论与数理统计期末重点
《概率论与数理统计》重点 第一章 随机事件与概率 1．事件的关系 φφ=Ω-⋃⊂AB A B A AB B A B A 2．运算规则 （1） BA AB A B B A =⋃=⋃ （2）)()( )()(BC A C AB C B A C B A =⋃⋃=⋃⋃ （3）))(()( )()()(C B C A C AB BC AC C B A ⋃⋃=⋃⋃=⋃ （4） B A AB B A B A ⋃==⋃ 3．概率)(A P 满足的三条公理及性质： （1）1)(0 ≤≤A P （2）1)(=ΩP （3）对互不相容的事件n A A A ,,,21 ，有∑===n k k n k k A P A P 1 1 )()( （n 可以取∞） （4） 0) (=φP （5）)(1)(A P A P -= （6）)()()(AB P A P B A P -=-，若B A ⊂，则)()()(A P B P A B P -=-，)()(B P A P ≤ （7）)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃ （8）)()()()()()()()(ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P +---++=⋃⋃ 4．古典概型：基本事件有限且等可能 5．几何概率 6．条件概率 （1） 定义：若0) (>B P ，则) () ()|(B P AB P B A P = （2） 乘法公式：)|()() (B A P B P AB P = 若n B B B ,,21为完备事件组，0)(>i B P ，则有 （3） 全概率公式： ∑==n i i i B A P B P A P 1 )|()()( （4） Bayes 公式： ∑== n i i i k k k B A P B P B A P B P A B P 1 ) |()() |()()|( 7．事件的独立性： B A ,独立)()()(B P A P AB P =⇔ （注意独立性的应用） 第二章 随机变量与概率分布 1． 离散随机变量：取有限或可列个值，i i p x X P ==)(满足（1）0≥i p ， （2）∑i i p =1 （3）对任意R D ⊂，∑∈= ∈D x i i i p D X P :)( 2． 连续随机变量：具有概率密度函数)(x f ，满足（1）1)( ,0)(-=≥⎰ +∞ ∞ dx x f x f ； （2）⎰=≤≤b a dx x f b X a P )()(； （3）对任意R a ∈，0)(==a X P 3．
概率论与数理统计期末总结
第1章概率论的基本概念 1.1 随机试验 称满足以下三个条件的试验为随机试验： （1）在相同条件下可以重复进行； （2）每次试验的结果不止一个，并且能事先明确所有的可能结果； （3）进行试验之前，不能确定哪个结果出现。 1.2 样本点样本空间随机事件 随机试验的每一个可能结果称为一个样本点，也称为基本事件。 样本点的全体所构成的集合称为样本空间，也称为必然事件。必然事件在每次试验中必然发生。 随机试验的样本空间不一定唯一。在同一试验中，试验的目的不同时，样本空间往往是不同的。所以应从试验的目的出发确定样本空间。 样本空间的子集称为随机事件，简称事件。 在每次试验中必不发生的事件为不可能事件。 1.3 事件的关系及运算 （1）包含关系B A⊂，即事件A发生，导致事件B发生； （2）相等关系B B⊂； A⊂且A A=，即B （3）和事件（也叫并事件） =，即事件A与事件B至少有一个发生； C⋃ B A （4）积事件（也叫交事件） = =，即事件A与事件B同时发生； C⋂ A B AB （5）差事件 = - =，即事件A发生，同时，事件B不发生； C- A AB A B （6）互斥事件（也叫互不相容事件） A、B满足φ AB，即事件A与事件B不同时发生； = （7）对立事件（也叫逆事件） =，即φ Ω A- A A A,。 A = Ω = ⋃A
1.4 事件的运算律 （1）交换律 BA AB A B B A =⋃=⋃,； （2）结合律 ()()()()C AB BC A C B A C B A =⋃⋃=⋃⋃,； （3）分配律 ()()()()()()C A B A BC A AC AB C B A ⋃⋃=⋃⋃=⋃,； （4）幂等律 A AA A A A ==⋃, ； （5）差化积 B A AB A B A =-=-； （6）反演律（也叫德·摩根律）B A AB B A B A B A B A ⋃==⋂=⋂=⋃,。 1.5 概率的公理化定义 设E 是随机试验，Ω为样本空间，对于Ω中的每一个事件A ，赋予一个实数P （A ），称之为A 的概率，P （A ）满足： （1）1)(0≤≤A P ； （2）1)(=ΩP ； （3）若事件 ，，， ，n A A A 21两两互不相容，则有 () ++++=⋃⋃⋃⋃)()()(2121n n A P A P A P A A A P 。 1.6 概率的性质 （1）0)(=φP ； （2）若事件n A A A ，， ， 21两两不互相容，则())()()(2121n n A P A P A P A A A P +++=⋃⋃⋃ ； （3）)(1)(A P A P -=； （4）)()()(AB P B P A B P -=-。 特别地，若B A ⊂，则)()(),()()(B P A P A P B P A B P ≤-=-； （5）)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃。