市2016届高三调研测试
数学Ⅰ试题 2016.1
参考公式:样本数据x 1,x 2,…,x n 的方差2
2
11()n i i s x x n ==-∑,其中1
1n i i x x n ==∑.
一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.不需要写出解答过程,请把答案
直接填在答题卡相应位置上......... 1. 设全集U ={x | x ≥2,x ∈N },集合A ={x | x 2
≥5,x ∈N },则U
A = ▲ .
【答案】{2}.
【命题立意】本题旨在考查集合补集的运算.考查概念的理解和运算能力,难度较小. 【解析】∵U ={x | x ≥2,x ∈N },A ={x | x 2
≥5,x ∈N }
∴{}
{}22U
A x x x N =≤<∈=.
2. 复数i
(0)12i
a z
a =
<+,其中i 为虚数单位,||z a 的值为 ▲ . 【答案】-5.
【命题立意】本题旨在考查复数的运算,复数模的几何意义.考查概念的理解和运算能力,难度较小.
【解析】()()()i 1-2i i 2i 12i 12i 1-2i 5a a a
a z +===
++
,||5z ==,故5a =-. 【方法技巧】本题主要考查复数代数形式的基本运算以及复数模的考查,进行复数的除法的运算需要分子、分母同时乘以分母的共轭复数,同时将i 2
改为-1.在复数的除法运算中,共轭复数是一个重要的概念,通过它能将分母中的虚数单位i 化去,因
),())((22R b a b a bi a bi a ∈+=-+,所以复数bi a z +=的共轭复数为bi a z -=,这与实
数中的互为有理化因数类似,所以在复数的四则运算中,可类比二次根式的运算,从而更好地掌握共轭复数.
3. 双曲线22
145x y -=的离心率为 ▲ .
【答案】3
2
.
【命题立意】本题旨在考查双曲线的离心率.考查概念的理解和计算,难度中等.
【解析】双曲线22145
x y -=,22
4,5a b == ,由222c a b =+ 得2459c =+= ,
22
293
,42
c e e a ===.
4. 若一组样本数据9,8,x ,10,11的平均数为10,则该组样本数据的方差为 ▲ . 【答案】2.
【命题立意】本题旨在考查统计数据的平均数与方差.考查概念的理解和运算能力,难度较小.
【解析】9+8+x+10+11=10×5,解得x=12,这对应的方差为s 2
=
15
(12+22+22+02+12
)=2. 5. 已知向量a =(1,2),b =(x ,-2),且a ⊥(a -b ),则实数x = ▲ . 【答案】9.
【命题立意】本题旨在考查平面向量的坐标运算与数量积.考查运算和推理能力,难度中等. 【解析】()1,4a b x -=- ,∵()
a a
b ⊥-∴()
0a a b ?-= ,即()11240x -?+?= ,解得9x =.
6. 阅读算法流程图,运行相应的程序,输出的结果为 ▲ .
【答案】
53
. 【命题立意】本题旨在考查算法的流程图中的直到型循环结构及其应用.考查运算和推理能力,难度较小.
【解析】由算法的流程图,开始时x=1,y=1,此时z=2,满足z<6;接下来有x=1,y=2,z=3,此时满足z<6;接下来有x=2,y=3,z=5,此时满足z<6;接下来有x=3,y=5,z=8此时满足z>6;结束循环,输出
5
3
y x =. 7. 函数22,
0,()1,0
x x f x x x ??=?-+>??≤的值域为 ▲ .
【答案】(,1]-∞.
(第6题图)
【命题立意】本题旨在考查分段函数,函数的图象与性质,函数的值域.考查数形结合的数学思想,难度较小.
【解析】当0x ≤时,()2x f x =,∵()f x 在0x ≤单调增,∴()01f x <≤;
当0x >时,()21f x x =-+,∵()f x 在0x ≤单调减,()1f x ≤,综上所述
()f x 的值域为(,1]-∞.
8. 连续2次抛掷一枚骰子(六个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6),则事件“两次向上的数
字之和等于7”发生的概率为 ▲ . 【答案】
16
. 【命题立意】本题旨在考查古典概型及其应用.考查运算和推理能力,难度较小. 【解析】设连续2次抛掷一枚骰子两次向上的数字用(x,y )表示,两次向上的数字共有36种,两次向上的数字之和等于7的情况有6种:(1,6),(6,1),(2,5),(5,2),(3,4),(4,3),根据古典概型的概率公式可得所求的概率为61
366
P =
=. 9. 将半径为5的圆分割成面积之比为1:2:3的三个扇形作为三个圆锥的侧面,设这三个圆
锥的底面半径依次为123,,r r r ,则123r r r ++= ▲ . 【答案】5.
【命题立意】本题旨在考查圆锥的几何性质与展开图.考查计算和推理能力,难度中等. 【解析】半径为5的圆分割成面积之比为1:2:3的三个扇形,三个扇形的圆心角分别为
2,,33
ππ
π ,由弧长公式l r α=,所对的弧长分别为
510,,533
πππ,三个扇形作为三个圆锥的底面半径的和为
151055233ππππ??
++= ???
.
10. 已知θ是第三象限角,且2
sin 2cos 5
θθ-=-,则sin cos θθ+= ▲ . 【答案】31
25
-
. 【命题立意】本题旨在考查同角三角函数的基本关系.考查概念的理解和运算能力,难度较小.
【解析】由同角三角函数的基本关系得()()
222sin 2cos 15
sin cos 12θθθθ?
-=-?
??+=?
,解得7cos 25
θ=-
,
3cos 5θ=,∵θ是第三象限角∴3cos 5θ=(舍)
,∴7cos 2524
sin 25θθ?
=-????=-??
,31sin cos 25θθ+=-. 11. 已知{}n a 是等差数列,a 5=15,a 10=-10,记数列{}n a 的第n 项到第n +5项的和为T n ,
则n T 取得最小值时的n 的值为 ▲ . 【答案】5或6.
【命题立意】本题旨在考查等差数列的通项公式与求和公式.考查数列的单调性,难度较小.
【解析】由题意可知11
415
910a d a d +=??+=-? ,解得135,5a d ==-,由等差数列的前n 项和公式
得()
()563405155165302
n n n a a T n n n ++=
=-+-=- ,16530n T n =- ,12345135105754515T T T T T =>=>=>=>=
,
6789154575105T T T T =<=<=<=<
所以当n=5或n=6时,n T 取得最小值.
12. 若直线1:l y x a =+和直线2:l y x b =+将圆22(1)(2)8x y -+-=分成长度相等的四段
弧,则22a b += ▲ . 【答案】18.
【命题立意】本题旨在考查直线与圆的方程的应用,考查转化与化归,分析解决问题的能力.难度较大.
【解析】设直线1:l y x a =+与圆相交于A,B 点,直线2:l y x b =+与圆相交于C,D 点.由题意可知AD BC ⊥ ,圆心到直线1:l y x a =+的距离为2
,2d =
= ,解
得
1a =
或1a =-;圆心到直线2:l y x b =+的距离为2
,2d == ,
解
得1b =
或1b =-,∵a b ≠
∴11a b ?=??=-??
或
1
1b a ?=??
=-??,2218a b +=.
13. 已知函数f (x )=|sin |x -kx (x ≥0,k ∈R )有且只有三个零点,设此三个零点中的最大
值为0x ,则0
2
00
(1)sin 2x x x += ▲ . 【答案】
12
. 【命题立意】本题旨在考查三角函数的图象与性质,函数与方程,函数的零点及其应用.考查函数与方程思想,数形结合的数学思想,难度中等.
【解析】设函数()sin f x x =的图象关于y 轴对称,直线y kx =过原点,所以函数f (x )=|sin |x -kx (x ≥0,k ∈R )有且只有三个零点,即函数()sin f x x = 与直线
()0y kx k =>在[)0,+∞上有三个公共点,此三个交点中的横坐标最大值为0x 且在
3,2ππ?? ??? 相切,其切点为()00,A x y ,03,2x ππ??∈ ??? .由于
()/3cos ,,
2f x x x ππ??
=-∈ ?
?
? ,所以000
sin cos x x x =, 002
20000002
0sin (1)sin 2sin 12sin cos cos cos x x x x x x x x x =+??
+? ??
?220011
2cos 2sin 2x x ==+. 【方法技巧】1.对于易画出图象的函数,判断零点的个数或零点所在的区间时,可转化为
判断函数图象与x 轴的交点问题.
2.对于函数)()()(x g x h x f -=的零点问题,可采用数形结合的方法,将函数)(x f 的零点问题转化为函数)(x h ,)(x g 的图象的交点问题,作出两个函数的图象,从而判断零点所在的大致区间或零点个数. 14. 已知14
ab =,,(0,1)a b ∈,则
1211a
b
+
--的最小值为 ▲ .
【答案】43
+
. 【命题立意】本题旨在考查基本不等式及换元法.考查推理论证的能力与计算能力.难度较大.
【解析】由1
4
ab =得14a b = ,222
121142412271
1411451451a b b b b b b b b b b b +---+--=+==+---+--+- 令71b t -=
则
22714949111418451427183427
b t b b t t t t
-+
=+=-≥+
-+--+-+-当且仅当
322t =
即322
14
+ 等号成立.
二、解答题:本大题共六小题,共计90分.请在答题卡指定区域作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分14分)
在ABC ?中,三个角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且满足cos cos 2cos a B +b A
C c
=.
(1)求角C 的大小;
(2)若ABC
?的面积为23,6
a b
+=,求边c的长.
【答案】(1)
3
π
;(2)23.
【命题立意】本题旨在考查余弦定理,“边、角”互化思想.考查运算推理能力,难度较小. 【解析】(1)由余弦定理知
2222222
2
cos cos
222
a c
b b
c a c
a B+
b A a b c
ac bc c
+-+-
=?+?==3分
cos cos
1
a B+
b A
c
∴=,
1
cos
2
C
∴=,…………………………………5分又()
0,
C∈π,
3
C
π
=. ………………………7分(2)
1
sin23
2
ABC
S ab C
==,8
ab
∴=,………………………10分又6
a b
+=,()2
2222cos312
c a b ab C a b ab
∴=+-=+-=,…………………13分23
c
∴=. …………………………………14分
16.(本小题满分14分)
如图,在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中, E,F分别是AB,BC的中点,A1C1与B1D1交于点O.
(1)求证:A1,C1,F,E四点共面;
(2)若底面ABCD是菱形,且OD⊥A1E,求证:OD⊥平面A1C1FE.
【答案】(1)略;(2)略.
【命题立意】本题旨在考查空间直线平行.线与平面垂直的判定,考查空间想象.推理论证
能力.难度中等.
【解析】(1)连接AC,因为E,F分别是AB,BC的
中点,所以EF是△ABC的中位线,
所以EF∥AC.………………………2分
1
O
D1
B1
A
D C
由直棱柱知AA 1=CC 1,所以四边形AA 1C 1C 为平行四边形,所以AC ∥A 1C 1. ………………5分
所以EF ∥A 1C 1,
故A 1,C 1,F ,E 四点共面.……………7分
(2)连接BD ,因为直棱柱中1DD ⊥平面1111A B C D ,11AC ?平面1111A B C D , 所以1DD ⊥11A C . ………………………9分 因为底面A 1B 1C 1D 1是菱形,所以11A C 11B D ⊥. 又1
DD 111=B D D ,所以11AC ⊥平面11BB D D . ………………………11分
因为OD ?平面11BB D D ,所以OD ⊥11A C . 又OD ⊥A
1E ,11
A C 11A E A =,11AC ?平面A 1C 1FE ,1A E ?平面A 1C 1FE ,
所以OD ⊥平面A 1C 1FE . ………………………14分 17. (本小题满分14分)
图1是一段半圆柱形水渠的直观图,其横断面如图2所示,其中C 为半圆弧ACB 的中点,渠宽AB 为2米.
(1)当渠中水深CD 为0.4米时,求水面的宽度;
(2)若把这条水渠改挖(不准填土)成横断面为等腰梯形的水渠,且使渠的底面与地面平行,则当改挖后的水渠底宽为多少时,所挖出的土量最少?
【答案】(1)1.6米;(2)
23
3
. 【命题立意】本题旨在考查圆的方程,切线方程,利用导数求函数的最值,考查数学模型的实际应用,分析与解析问题的能力.难度中等.
【解析】(1)以AB 所在的直线为x 轴,AB 的中垂线为y 轴,建立如图所示的直角坐标系xOy ,
因为AB =2米,所以半圆的半径为1米,
则半圆的方程为221(11,0)x y x y +=-≤≤≤. ………………………3分 因为水深CD =0.4米,所以OD =0.6米,
在Rt △ODM
中,0.8DM =(米). ……………………5分 所以MN =2DM =1.6米,故沟中水面宽为1.6米. ……………………6分 (2)为使挖掉的土最少,等腰梯形的两腰必须与半圆相切,设切点为
(cos ,sin )(0)2
P θθθπ
-<<是圆弧BC 上的一点,
过P 作半圆的切线得如图所示的直角梯形OCFE ,得切线EF 的方程为cos sin 1x y θθ+=. ……………………8分 令y =0,得1(,0)cos E θ,令y =-1,得1sin (,1)
cos F θ
θ+-. 设直角梯形OCFE 的面积为S ,则
11sin 2sin ()()1cos cos cos S CF OE OC θθθθθ
++=+?=+?=
(02
θπ
-<<). ……………………10分
22
cos cos (2sin )(sin )12sin cos cos S θθθθθθθ-+-+'==,令0S '=,解得6
θπ
=-, 当26θππ
-<<-时,0S '<,函数单调递减;
当06
θπ
-<<时,0S '>,函数单调递增. ………………………12分
所以6
θπ
=-时,面积S
.
此时1sin()
6cos()6
CF π
+-=
=π-
14分 18. (本小题满分16分)
如图,已知椭圆O :x 2
4+y 2
=1的右焦点为F ,点B ,C 分别是椭圆O 的上、下顶点,点P
是直线l :y =-2上的一个动点(与y 轴交点除外),直线PC 交椭圆于另一点M .
(1)当直线PM 过椭圆的右焦点F 时,求△FBM 的面积;
(2)①记直线BM ,BP 的斜率分别为k 1,k 2,求证:k 1·k 2为定值; ②求PB PM ?的取值围.
【答案】(1)
3
7
;(2)①略②()9,+∞. 【命题立意】本题旨在考查直线与椭圆的位置关系,直线方程,平面向量的位置关系与线性运算,考查分析与解决问题的能力和运算能力等.难度中等.
【解析】解:(1)由题意(0,1),(0,1)B C -,焦点(3,0)F ,当直线PM 过椭圆的右焦点F 时,则直线PM 113
y =-,即3
1y -, 联立,221,431,
x y y x ?+=????=-??
解得83
71,7x y ?=????=??或0,1x y =??=-?(舍),即831()77M .……………2分
连BF ,则直线BF 11
3y
=,即330x +=, 而2BF a ==,2283123
|
33377721(3)
d +===
+. ……………………4分 故1133
222MBF
S
BF d =??=?=. ……………………5分 (2)解法一:①设(,2)P m -,且0m ≠,则直线PM 的斜率为1(2)1
0k m m
---==--,
则直线PM 的方程为1
1y x m
=--,
联立2211,1,
4
y x m
x y ?=--????+=??化简得2248(1)0x x m m ++=,解得22284(,)44m m M m m --++, (8)
分
所以2
2212
412148844
m m m k m m m m ---+===--+,21(2)30k m m --==--,
所以12313
44
k k m m ?=-
?=-为定值. …………………10分 ② 由①知,(,3)PB m =-,2322222841212
(,2)(,)4444
m m m m m PM m m m m m ---+=--+=++++,
所以324222212121536
(,3)(,)444
m m m m m PB PM m m m m ++++?=-?-=
+++, ……………13分 令2
44m t +=>,故22(4)15(4)367887t t t t PB PM t t t t
-+-++-?===-+,
因为8
7y t t
=-+在(4,)t ∈+∞上单调递增,
所以88
74794
PB PM t t ?=-+>-+=,即PB PM ?的取值围为(9,)+∞……16分
解法二:①设点()000(,)0M x y x ≠,则直线PM 的方程为00
1
1y y x x +=-,
令2y =-,得00(,2)1
x
P y --+. ……………7分
所以0101y k x -=
,()020*******
y k x x y +--==
-
+, 所以()()()()
22
00001222
000031313113
441y y y y k k x x x y --+-=?===--(定值). ………………10分 ②由①知,00(
,3)1x PB y =+,0000(,2)1
x
PM x y y =+++, 所以()()()
()2
00000002
00023212311x y x x PB PM x y y y y y +??
?=+++=++ ?+++?? =
()()
()
()()()
2000002
0041272321
1y y y y y y y -+-+++=
++. ………………13分
令()010,2t y =+∈,则()()8187
t t PB PM t t
t
-+?=
=-++,
因为87y t t
=-++在(0,2)t ∈上单调递减, 所以88
72792
PB PM t t ?=-++>-+
+=,即PB PM ?的取值围为(9,)+∞.…16分
【方法技巧】 (1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题,其常规思路是先把直线方程
与椭圆方程联立,消元、化简,然后应用根与系数的关系建立方程,解决相关问题. 19. (本小题满分16分) 已知数列{}n a 满足:11
2
a =
,113n n n a a p nq -+-=?-,*n ∈N ,,p q ∈R . (1)若0q =,且数列{}n a 为等比数列,求p 的值; (2)若1p =,且4a 为数列{}n a 的最小项,求q 的取值围.
【答案】(1)0p =或1p =;(2)
2734
q ≤≤
.
【命题立意】本题旨在考查数列的递推关系式,累加法,等比数列的定义,数列求和,数列的增减性.考查函数与方程思想,以及转化和化归能力,难度中等. 【解析】(1)0q =,113n n n a a p -+-=?,∴2112a a p p =+=
+,321
342
a a p p =+=+, 由数列{}n a 为等比数列,得2
1114222p p ????
+=+ ? ?????
,解得0p =或1p =.……………3分
当0p =时,1n n a a +=,∴1
2
n a = 符合题意; ……………………4分
当1p =时,113n n n a a -+-=, ∴
()()()121321n n n a a a a a a a a -=+-+-+
+-=()12
1
1
1131133
32
2132n n n ----+++
+=+=?-,
∴1
3n n
a a +=符合题意. ………………………6分
(2)法一:若1p =,113n n n a a nq -+-=-,
∴()()()121321n n n a a a a a a a a -=+-+-++-
=
()()21
1331212
n n q -++++-++
+-????=()1
1312n n n q -??--?
?. …………8分 ∵数列{}n a 的最小项为4a ,∴对*n ?∈N ,有()()1411
31271222
n n n q a q -??--=-??≥恒成立,
即()
1232712n n n q ----≥对*n ?∈N 恒成立. …………………10分
当1n =时,有2612q --≥,∴136q ≥
; 当2n =时,有2410q --≥,∴12
5
q ≥;
当3n =时,有186q --≥,∴3q ≥;
当4n =时,有00≥,∴q ∈R ; …………………12分 当5n ≥时,2
120n n -->,所以有12327
12
n q n n ----≤恒成立,
令()12327
5,12n n c n n n n --=∈--N *≥,则()()()
21122
22123540169n n n n n n c c n n -+--+-=>--, 即数列{}n c 为递增数列,∴527
4
q c =≤. …………………15分 综上所述,27
34
q ≤≤
. ……………………16分 法二:因为1p =,113n n n a a nq -+-=-,
又4a 为数列{}n a 的最小项,所以435
40,0,a a a a -??-?≤≥即930,
2740,q q -??-?≤≥
所以27
34
q ≤≤
. ……………………………………………………8分 此时2110a a q -=-<,32320a a q -=-<,
所以1234a a a a >>≥. ………………………………………………………10分
当4n ≥时,令1n n n b a a +=-,141127
232304
n n n b b q --+-=?-?->≥,
所以1n n b b +>,所以4560b b b <<<≤,
即4567a a a a <<<≤. ………………………………………………………14分
综上所述,当27
34q ≤≤时,4a 为数列{}n a 的最小项,
即所求q 的取值围为27
[3,]4
. ………………………………………………………16分
20.(本小题满分16分)
已知函数()e (21)x
f x x ax a =--+(a ∈R ),e 为自然对数的底数.
(1) 当a =1时,求函数()f x 的单调区间;
(2) ①若存在实数x ,满足()0f x <,数a 的取值围;
②若有且只有唯一整数0x ,满足0()0f x <,数a 的取值围.
【答案】(1)()f x 在区间(,0)-∞上单调递减,在区间(0,)+∞上单调递增.;(2)①
()
32
e ,14,??-∞+∞ ???
;②
32e e e 3
5[,1)3,22?? ??
?.
【命题立意】本题旨在考查导数及其应用,导数的运算与导数的几何意义,函数的单调性,考查分类讨论思维,分离参数构造函数求取值围.难度中等.
【解析】(1)当a =1时,()()e 211x f x x x =--+,()()e '211x f x x =+-,……1分
由于'(0)0f =,
当(0,)x ∈+∞时,e 1,211x x >+>,∴'()0f x >, 当(,0)x ∈-∞时,0 所以()f x 在区间(,0)-∞上单调递减,在区间(0,)+∞上单调递增. ………………4分 (2)①由()0f x <得()()e 211x x a x -<-. 当1x =时,不等式显然不成立; 当1x >时,() e 211 x x a x ->-;当1x <时,() e 211 x x a x -< -. ………………6分 记()g x = () e 211 x x x --,()()() () ( )() 22 2 e e e '()232112111x x x g x x x x x x x x = -+---= --, ∴ ()g x 在区间()0-∞,和3,2??+∞ ???上为增函数,()0,1和31,2?? ??? 上为减函数. ∴ 当1x >时,3 2e 342a g ?? >= ??? ,当1x <时,()01a g <=. …………………8分 综上所述,所有a 的取值围为()32 e ,14,??-∞+∞ ??? . …………………9分 ②由①知1a <时,0(,1)x ∈-∞,由0()0f x <,得0()g x a >, 又()g x 在区间()0-∞,上单调递增,在()0,1上单调递减,且()01g a =>, ∴()1g a -≤,即e 32a ≥ ,∴e 3 12a <≤. …………………12分 当3 2 4e a >时,0(1,)x ∈+∞,由0()0f x <,得0()g x a <, 又()g x 在区间312?? ???,上单调递减,在3,2?? +∞ ??? 上单调递增,且3 2e 342g a ??=< ???, ∴()() 23g a g a ????≥,解得32e 532a 综上所述,所有a 的取值围为32e e e 3 5[,1)3,22?? ??? . …………………16分 数学II (附加题) 21.【选做题】 A .[选修4—1:几何证明选讲](本小题满分10分) 如图,四边形ABDC 接于圆.BD =CD ,过C 点的圆的切线与AB 的延长线交于E 点。 (1)求证:∠EAC =2∠DCE (2)若BD ⊥AB ,BC =BE ,AE =2,求AB 的长。 【答案】(1)略(251. 【命题立意】本题旨在考查切割线定理及其应用.考查运算求解能力,难度较小. 【解析】(1)证明:因为BD =CD ,所以∠BCD =∠CBD . 因为CE 是圆的切线,所以∠ECD =∠CBD . ………………………………2分 所以∠ECD =∠BCD ,所以∠BCE =2∠ECD . 因为∠EAC =∠BCE ,所以∠EAC =2∠ECD . ………………………………5分 (2)解:因为BD ⊥AB ,所以AC ⊥CD ,AC =AB . ………………………………6分 因为BC =BE ,所以∠BEC =∠BCE =∠EAC ,所以AC =EC . ………………………7分 由切割线定理得EC 2 =AE ?BE ,即AB 2 =AE ?( AE -AB ), 即AB 2 +2 AB -4=0,解得AB 1. ……………………………10分 B .[选修4—2:矩阵与变换](本小题满分10分) 已知二阶矩阵M 有特征值λ=3及对应的一个特征向量111e ?? =???? ,并且矩阵M 对应的变 换将点(-1,2)变换成(9,15),求矩阵M . 【答案】1436-????-?? . 【命题立意】本题旨在考查矩阵及其应用,矩阵的乘法运算等.考查运算求解能力,难度较小. 【解析】设a b c d ??=????M ,则1133113a b c d ???????? ==????????????????,故3,3a b c d =??=? ++. ………………3分 19215a b c d -?????? =?????? ??????,故29,215a b c d -=??-=? ++. ……………………………6分 联立以上两方程组解得1,4,3,6a b c d =-==-=,故M =1436-?? ??-??. ……………10分 C .[选修4—4:坐标系与参数方程](本小题满分10分) 在直角坐标系xoy 中,已知曲线C 1 的参数方程是(3x t y ?=? ?= ?? 为参数) ,在以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2的极坐标方程是ρ=2,求曲线C 1与C 2的交点在直角坐标系中的直角坐标。 【答案】()3,1. 【命题立意】本题旨在考查极坐标方程与普通方程的转化,参数方程与普通方程的转化,直线与圆的位置关系.考查运算求解能力,难度较小. 【解析】由? ????x =t ,y =3t 3,消去t 得曲线C 1的普通方程y =3 3x (x ≥0); …………………3分 由ρ=2,得ρ2 =4,得曲线C 2的直角坐标方程是x 2 +y 2 =4. ……………………6分 联立?????y =33x (x ≥0),x 2+y 2=4, 解得???x =3, y =1. 故曲线C 1与C 2的交点坐标为()3,1. …………………………10分 D .[选修4—5:不等式选讲](本小题满分10分) 设函数1 ()||(0)f x x x a a a =+ +->。 (1)证明:()2f x ≥; (2)若(3)5f <,数a 的取值围。 【答案】(1)略;(2)? ???? 1+52 ,5+212 【命题立意】本题旨在考查绝对值不等式的解法,以及分类讨论思维的应用,难度较小. 【解析】(1)证明:由a >0,有f (x )=??????x +1a +|x -a |≥? ?????x +1a -(x -a )=1 a +a ≥2, 所以f (x )≥2. ………………………4分 (2)解:f (3)=???? ??3+1a +|3-a |. 当a >3时,f (3)=a +1a ,由f (3)<5得3 2. …………………6分