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第十六届东南地区数学奥林匹克(高二年级)

第一天

1.对任意实数a ，用[a ]表示不超过a 的最大整数，记{a }=a ?[a ].

是否存在正整数m,n 及n +1个实数x 0,x 1,...,x n ，使得

x 0=428,x n =1928,x k

+110=[x k 10]+m +{x k 5

}(k =0,1,···,n ?1)成立？证明你的结论.

2.如图，在平行四边形ABCD 中，∠BAD =90?，以B 为圆心，BA 为半径的圆与AB ，CB 的延长线分别相交于点E,F ，以D 为圆心，DA 为半径的圆与AD,CD 的延长线交于点M,N ，直线EN,F M 相交于点G ，直线AG,ME 相交于点T ，直线EN 与圆D 相交于点P (=N )，直线MF 与圆B 相交于点Q (=F )，证明：G,P,T,Q 四点共圆.

3.今有n 人排成一行，自左至右按1,2,···,n 的顺序报数，凡序号为平方数者退出队伍；剩下的人自左至右再按1,2,3,···的顺序重新报数，凡序号为平方数者退出队伍；如此继续.在此过程中，每个人都将先后从队伍中退出.

用f (n )表示最后一个退出队伍的人在最初报数是的序号.求f (n )的表达式（用n 表示）；特别地，给出f (2019)的值.

4.在5×5矩阵X 中,每个元素为0或1.用x i,j 表示X 中第i 行第j 列的元素(i,j =1,2,···,5).考虑X 的所有行、列及对角线上的五元有序数组(共24个数组)：

(x i,1,x i,2,...,x i,5),(x i,5,x i,4,...,x i,1)(i =1,2, (5)

(x 1,j ,x 2,j ,...,x 5,j ),(x 5,j ,x 4,j ,...,x 1,j )(j =1,2, (5)

(x 1,1,x 2,2,···,x 5,5),(x 5,5,x 4,4,···,x 1,1)

(x 1,5,x 2,4,···,x 5,1),(x 5,1,x 4,2,···,x 1,5)

若这些数组两两不同，求矩阵X 所有元素之和的可能值.

第二天

5.对任意正整数n ，用a n 表示三边长均为正数且最长边的长为2n 的三角形的个数.

(1)求a n 关于n 的表达式；

(2)设数列b n 满足：n ∑k =1

(?1)n ?k C k n b k =a n (n ∈N ?).求使b n ≤2019a n 成立的正整

数n 的个数.

6.在△ABC 中，AB >AC ，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，∠ACB 的平分线交AB 于点E ，过A 作△ABC 外接圆的切线，交ED 的延长线于点P .已知AP =BC .证明：BD ∥CP .

7.甲、乙两人从0,1,2,···,81中轮流挑选互不重复的数，甲先选，每次每人从剩下的数中选1个数.当这82个数被选完之后，记A 为甲选择的所有数之和，B 为乙选择的所有数之和.在挑选数的过程中，甲希望A ，B 的最大公约数越大越好，而乙则希望A ，B 的最大公约数越小越好.在甲、乙各自的最佳策略下，求挑选完毕之后A ，B 的最大公约数.

8.对于正整数x >1，定义集合

S x ={p α

p 为x 的素因子,α为非负整数,p α|x,且α≡νp (x )(mod 2)},

其中，νp (x )表示x 的标准分解式中素因子p 的个数，并记f (x )为S x 中的所有元素之和.约定f (1)=1.

今给定正整数m .设正整数数列a 1,a 2,···,a n ,···满足：对任意整数n >m ，a n +1=max {f (a n ),f (a n ?1+1),···,f (a n ?m +m )}.

(1)证明：存在常数A,B (0

(2)证明：存在正整数N,l ，使得对所有n ≥N ，a n +1=a n 成立.