第十一章三角形
11.1 与三角形有关的线段
知识点一:三角形及其相关概念(重点)
例题1.下面是小强用三根火柴组成的图形,其中符合三角形概念的是()
A.B.
C.D.
例题2.如图,称有一条公共边的两个三角形为一对共边三角形,则图中的共边三角形有()对.
A.8B.16C.24D.32
例题3.如图,图中三角形的个数是()
A.7B.6C.5D.4
变式1.下面是一位同学用三根木棒拼成的图形,其中符合三角形概念的是()A.B.
C.D.
变式2.在△ABC中,BC边的对角是()
A.∠A B.∠B C.∠C D.∠D
变式3.如图,图中有个三角形,以AD为边的三角形有.
变式4.如图,以点A为顶点的三角形有个,它们分别是.
变式5.如图,△ABC中,AB与BC的夹角是,∠A的对边是,∠A、∠C的公共边是.
变式6.如图,过A、B、C、D、E五个点中任意三点画三角形,
(1)其中以AB为一边可以画出个三角形;
(2)其中以C为顶点可以画出个三角形.
知识点二:三角形的分类
例题1.三角形按边分类可分为()
A.不等边三角形、等边三角形
B.等腰三角形、等边三角形
C.不等边三角形、等腰三角形、等边三角形
D.不等边三角形、等腰三角形
变式1.下列说法正确的有()
①等腰三角形是等边三角形;
②三角形按边分可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形;
③等腰三角形至少有两边相等;
④三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形.
A.①② B.①③④C.③④ D.①②④
变式2.试通过画图来判定,下列说法正确的是()
A.一个直角三角形一定不是等腰三角形
B.一个等腰三角形一定不是锐角三角形
C.一个钝角三角形一定不是等腰三角形
D.一个等边三角形一定不是钝角三角形
例题2.如图所示,在△ABC中,∠ACB是钝角,让点C在射线BD上向右移动,则()
A.△ABC将先变成直角三角形,然后再变成锐角三角形,而不会再是钝角三角形
B.△ABC将变成锐角三角形,而不会再是钝角三角形
C.△ABC将先变成直角三角形,然后再变成锐角三角形,接着又由锐角三角形变为钝角三角形
D.△ABC先由钝角三角形变为直角三角形,再变为锐角三角形,接着又变为直角三角形,然后再次变为钝角三角形
变式1.用集合来表示“用边把三角形分类”,下面集合正确的是()
A.B.C.D.
变式2.下列说法正确的有()
(1)等边三角形是等腰三角形;(2)三角形的两边之差大于第三边;(3)三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形;(4)三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形.A.1个B.2个C.3个D.4个
知识点三:三角形三边的关系(重难点)
例题.下列长度的三条线段,能构成三角形的是()
A.1,2,3B.3,4,5C.5,12,17D.6,8,20
变式1.在下列四组线段中,能组成三角形的是()
A.2cm,6cm,9cm B.2cm,3cm,5cm
C.3.4cm,2.7cm,6cm D.3cm,4cm,7cm
例题2.现有3cm,4cm,7cm,9cm长的四根木棒,任取其中三根组成一个三角形,那么可以组成的三角形的个数是()
A.1个B.2个C.3个D.4个
变式1.7条长度均为整数厘米的线段:a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,满足a1<a2<a3<a4<a5<a6<a7,且这7条线段中的任意3条都不能构成三角形.若a1=1厘米,a7=21厘米,则a6能取的值是()A.18厘米B.13厘米C.8厘米D.5厘米
变式2.已知线段AB=4,BC=3,那么线段AC的长度的取值范围是.
知识点四:三角形的高、中线、角平分线(重点)
1.三角形的高
例题.下列四个图形中,线段BE是△ABC的高的图形是()
A.B.
C.D.
变式1.如图所示,△ABC中AB边上的高是()
A.线段CD B.线段CB C.线段DA D.线段CA
变式2.如图,在△ABC中,AD⊥BC,交BC的延长线于点D,BE⊥AC交AC的延长线于点E,CF⊥BD 交AB于点F.下列线段是△ABC的高的是()
A.BD B.BE C.CE D.CF
变式3.如图,已知P为直线l外一点,点A、B、C、D在直线l上,且P A>PB>PC>PD,下列说法正确的是()
A.线段PD的长是点P到直线l的距离
B.线段PC可能是△P AB的高
C.线段PD可能是△PBC的高
D.线段PB可能是△P AC的高
2.三角形的中线
例题.如图,AD是△ABC的中线,则下列结论正确的是()
A.AD⊥BC B.∠BAD=∠CAD C.AB=AC D.BD=CD
变式1.如图,已知△ABC中,AD是BC边上的中线,有以下结论:①AD平分∠BAC;②△ABD的周长
﹣△ACD的周长=AB﹣AC;③BC=2AD;④△ABD的面积是△ABC面积的一半.其中正确的是()
A.①②④B.②③④C.②④D.③④
变式2.如图,若CD是△ABC的中线,AB=10,则AD=()
A.5B.6C.8D.4
变式3.若线段AM、AN分别是△ABC中BC边上的高线和中线,则()
A.AM>AN B.AM>AN或AM=AN
C.AM<AN D.AM<AN或AM=AN
变式4.如图所示,有一条线段是△ABC(AC>AB)的中线,该线段是()
A.线段AD B.线段AE C.线段AF D.线段MN
3.三角形角平分线
例题.如图,在△ABC中,AD是高,AE是角平分线,AF是中线,则下列说法中错误的是()
A.BF=CF B.∠C+∠CAD=90°
C.∠BAF=∠CAF D.S△ABC=2S△ABF
变式1.如图,AD是△ABC的角平分线,点O在AD上,且OE⊥BC于点E,∠BAC=60°,∠C=80°,则∠EOD的度数为()
A.20°B.30°C.10°D.15°
变式2.如图,在△ABC中,AD,AE,AF分别为△ABC的高线、角平分线和中线.(1)写出图中所有相等的角和相等的线段;
(2)当BF=8cm,AD=7cm时,求△ABC的面积.
变式3.如图,△ABC中,AD是高,AE、BF是角平分线,它们相交于点O,∠CAB=50°,∠C=60°,求∠DAE和∠BOA的度数.
知识点五:三角形的稳定性
例题.如图,人字梯中间一般会设计一“拉杆”,以增加使用梯子时的安全性这样做的道理是()
A.两点之间的所有连线中线段最短
B.三角形具有稳定性
C.经过两点有一条直线,并且只有一条直线拉杆
D.在连接直线外一点与直线上各点的线段中,垂线段最短
变式1.下列图形中,具有稳定性的是()
A.B.
C.D.
变式2.王师傅用4根木条钉成一个四边形木架,如图.要使这个木架不变形,他至少还要再钉上几根木条?
()
A.0根B.1根C.2根D.3根
变式3.要使四边形木架(用4根木条钉成)不变形,至少要再钉上几根木条?五边形木架和六边形木架呢?
拓展点一:三角形三边关系的应用(重点)
例题1.已知△ABC的三边a,b,c满足a2+b+|﹣2|=10a+2,则△ABC为()A.等腰三角形B.正三角形
C.直角三角形D.等腰直角三角形
例题2.三角形的周长小于13,且各边长为互不相等的整数,则这样的三角形共有()A.2个B.3个C.4个D.5个
变式1.为解决四个村庄用电问题,政府投资在已建电厂与这四个村庄之间架设输电线路.现已知这四个村庄及电厂之间的距离如图所示(距离单位:公里),则能把电力输送到这四个村庄的输电线路的最短总长度应该是()
A.19.5B.20.5C.21.5D.25.5
变式2.如图,为了估计一池塘岸边两点A,B之间的距离,小颖同学在池塘一侧选取了一点P,测得P A=100m,PB=90m,那么点A与点B之间的距离不可能是()
A.90m B.100m C.150m D.190m
变式3.在平坦的草地上有A,B,C三个小球,若已知A球和B球相距3米,A球和C球相距1米,则B 球和C球可能相距米.(球半径忽略不计,请填出两个符合条件的数)
拓展点二:三角形的高、中线、角平分线的应用类问题
1.中线与面积
1.如图,在△ABC中,点D在边BC上,点E,F分别是AD,CE的中点,且△BEF的面积为3,则△ABC 的面积是()
A.9B.10C.11D.12
2.如图,AD∥BC,若S1表示三角形ABC的面积,S2表示三角形DBC的面积,则下列结论正确的是()
A.S1=S2B.S1>S2C.S1<S2D.S1=2S2
3.如图,△ABC中,BD=BC,AE=AD,CF=CE,S△ABC=20,则S△DEF=()
A.2B.3C.4D.6
4.如图,在△ABC中,D、E分别是BC、AD的中点,点F在BE上,且EF=2BF,若S△BCF=2cm2,则S△ABC为()
A.4cm2B.8cm2C.12cm2D.16cm2
5.如图,在Rt△ABC中,已知∠C=90°,边AC=8cm,BC=10cm,点P为BC边上一动点,点P从点C向点B运动,当点P运动到BC中点时,△APC的面积是()cm2.
A.5B.10C.20D.40
6.如图,△ABC的面积为30cm2,AE=ED,BD=2DC,则图中四边形EDCF的面积等于()
A.6cm2B.8cm2C.9cm2D.10cm2
2.三角形的高
1.用一块含30°角的透明直角三角板画已知△ABC的边BC上的高,下列三角板的摆放位置正确的是()A.B.
C.D.
2.如图,AC为BC的垂线,CD为AB的垂线,DE为BC的垂线,点D和E分别在△ABC的边AB和BC 上,下列说法:①△ABC中,AC是BC边上的高;②△BCD中,DE是BC边上的高;③△ABE中,DE是BE边上的高;④△ACD中,AD是CD边上的高.其中正确的个数有()
A.4个B.3个C.2个D.1个
3.如图,AD⊥BC于D,BE⊥AC于E,CF⊥AB于F,GA⊥AC于A,则△ABC中,AC边上的高为()
A.AD B.GA C.BE D.CF
拓展点三:三角形的稳定性的应用类问题
1.下列图形中不具有稳定性是()
A.B.
C.D.
二、填空题
2.木工师傅为加固损坏的木门,在木门的背面加钉了一根木条(如图)这样做的根据是.
3.如图,工人师傅砌门时,常用木条EF固定长方形门框ABCD,使其不变形,这样做的根据是.
11.1 与三角形有关的线段(1) 学习目标: 1、明确三角形的相关概念;能正确对三角形进行分类; 2、能利用三角形三边关系进行有关计算。 学习过程: 三角形的有关概念 (1)三角形概念:由不在同一直线上的条线段 连接所组成的图形。 (2)三角形的表示法(如图1) 三角形ABC 可表示为:; (3)ΔABC 的顶点分别为A 、 、; (3)ΔABC 的内角分别为∠ABC ,, ; (4)ΔABC 的三条边分别为AB ,,;或, 、; (5)顶点A 的对边是,顶点B 的对边分别是,顶点C 的对边分别是。 三角形的分类: (1)下图中,每个三角形的内角各有什么特点? (2)下图中,每个三角形的三边各有什么特点? (3)结合以上图形你认为三角形可以如何分类?试一试 锐角三角形 按角分类 不等边三角形: 三角形三条边 按边分类 底边和腰不的等腰三角形 等腰三角形 (有两条边相等) 等边三角形:三条边都 3、三角形的三边关系 问题1:如图,现有三块地,问从A 地到B 地有几种走法, 哪一 C 地
第1题 种走法的距离最近?请将你的设计方案填写在下表中: 路线 距离 比较 (2)思考:你发现三角形的三边长度有什么关系? (3)填写:三角形两边的和 (4)用式子表示:BC + ACAB(填上“> ”或“ < ”) BC + AB AC(填上“> ”或“ < ”) AB + AC BC(填上“> ”或“ < ”) (5)三角形的任意两边之和第三边; 三角形的任意两边之差第三边。 如图一,+ > ; - > 4、三角形的稳定性 问题2:盖房子时,在窗框未安装好前,木工师傅常先在窗框上斜钉 一根木条,为什么? 5、例题:用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形,如果腰长是底边的2倍,那么各边的长是多少? 解:设底边长为xcm,则腰长是 cm 因为三角形的周长为cm 所以: 所以x=cm 答:三角形的三边分别是、、 课堂练习: A 组 1.①图中有个三角形,分别为 ②△ABC的三个顶点是、、; 三个内角是、、; 三条边是、、; 2、如图中有个三角形,用符号表示 3.判断下列线段能否组成三角形: E B C D A第2题
与三角形有关的线段(提高)知识讲解 【学习目标】 1. 理解三角形及与三角形有关的概念,掌握它们的文字、符号语言及图形表述方法; 2. 理解并会应用三角形三边间的关系; 3. 理解三角形的高、中线、角平分线及重心的概念,学会它们的画法及简单应用; 4. 对三角形的稳定性有所认识,知道这个性质有广泛的应用. 【要点梳理】 要点一、三角形的定义及分类 1. 定义: 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. 要点诠释: (1)三角形的基本元素: ①三角形的边:即组成三角形的线段; ②三角形的角:即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角,简称三角形的角; ③三角形的顶点:即相邻两边的公共端点. (2)三角形定义中的三个要求:“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”. (3) 三角形的表示:三角形用符号“△”表示,顶点为A 、B 、C 的三角形记作“△ABC ”,读作“三角形ABC ”,注意单独的△没有意义;△ABC 的三边可以用大写字母AB 、BC 、AC 来表示,也可以用小写字母a 、b 、c 来表示,边BC 用a 表示,边AC 、AB 分别用b 、c 表示. 2.三角形的分类 (1)按角分类: ?? ?? ?? ?? 直角三角形三角形 锐角三角形斜三角形 钝角三角形 要点诠释: ①锐角三角形:三个内角都是锐角的三角形; ②钝角三角形:有一个内角为钝角的三角形. (2)按边分类: 要点诠释:
①等腰三角形:有两条边相等的三角形叫做等腰三角形,相等的两边都叫做腰,另外一边叫做底边,两腰的夹角叫顶角,腰与底边夹角叫做底角; ②等边三角形:三边都相等的三角形. 要点二、三角形的三边关系 定理:三角形任意两边的和大于第三边. 推论:三角形任意两边的的差小于第三边. 要点诠释: (1)理论依据:两点之间线段最短. (2)三边关系的应用:判断三条线段能否组成三角形,若两条较短的线段长之和大于最长线段的长,则这三条线段可以组成三角形;反之,则不能组成三角形.当已知三角形两边长,可求第三边长的取值范围. (3)证明线段之间的不等关系. 要点三、三角形的高、中线与角平分线 1.三角形的高 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线,顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线,简称三角形的高. 三角形的高的数学语言: 如下图,AD 是ΔABC 的高,或AD 是ΔABC 的BC 边上的高,或AD⊥BC 于D ,或∠ADB =∠ADC=90°. 注意:AD 是ΔABC 的高 ∠ADB=∠ADC=90°(或AD⊥BC 于D); 要点诠释: (1)三角形的高是线段; (2)三角形有三条高,且相交于一点,这一点叫做三角形的垂心; (3)三角形的三条高: (ⅰ)锐角三角形的三条高在三角形内部,三条高的交点也在三角形内部; (ⅱ)钝角三角形有两条高在三角形的外部,且三条高的交点在三角形的外部; (ⅲ)直角三角形三条高的交点是直角的顶点. 2.三角形的中线 三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线. 三角形的中线的数学语言: 如下图,AD 是ΔABC 的中线或AD 是ΔABC 的BC 边上的中线或BD =CD = 2 1 BC.
11.1 与三角形有关的线段 1.三角形 (1)定义:由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. (2)构成:如图所示,三角形ABC 有三条边,三个内角,三个顶点. ①边:组成三角形的线段叫做三角形的边. ②角:相邻两边所组成的角叫做三角形的内角,简称三角形的角. ③顶点:相邻两边的公共端点是三角形的顶点. (3)表示:三角形用符号“△”表示,三角形ABC 用符号表示为△ABC . 注:顶点A 所对的边BC 用a 表示,顶点B 所对的边AC 用b 表示,顶点C 所对的边AB 用c 表示. (4)分类: ①三角形按角分类如下: 三角形????? 直角三角形锐角三角形 钝角三角形 ②三角形按边的相等关系分类如下: 破疑点 等边三角形和等腰三角形的关系 等边三角形是特殊的等腰三角形,即等边 三角形是底边和腰相等的等腰三角形. 【例1】 如图所示,图中有几个三角形,分别表示出来,并写出它们的边和角.