三角形有几种
三角形有几种
三角形是平面几何中最基本的图形之一，由三条线段组成。根据边
长和角度的不同，三角形可以分为不同的类型。本文将介绍三角形的
分类，并逐一分析每种类型的特点。
一、根据边长分类
1. 等边三角形
等边三角形是指三条边的长度都相等的三角形。由于边长相等，该
三角形的三个内角也必然相等，每个内角都为60度。等边三角形具有
对称性，是一种特殊的等边多边形。
2. 等腰三角形
等腰三角形是指两条边的长度相等，而第三条边与它们不相等的三
角形。在等腰三角形中，两个底边的夹角必然相等，而顶角则与它们
不相等。等腰三角形也具有对称性，通常以底边为基准。
3. 普通三角形
普通三角形是指三条边的长度各不相等的三角形。在普通三角形中，三个内角大小也各不相等。普通三角形是最常见的三角形类型，也是
最常用的几何形状之一。
二、根据角度分类
1. 直角三角形
直角三角形是指其中一个角为90度的三角形。直角三角形中，其他两个角的和必然为90度。直角三角形中的最长边为斜边，而与直角相邻的两个边称为直角边。
2. 钝角三角形
钝角三角形是指其中一个角大于90度的三角形。钝角三角形中的另外两个角较小，并且它们的和小于90度。钝角三角形的最长边位于钝角的对面。
3. 锐角三角形
锐角三角形是指其中三个角均小于90度的三角形。在锐角三角形中，每个角都比直角小，它们的和为180度。锐角三角形的最长边位于最大角的对面。
三、根据边长关系分类
1. 等边三角形
等边三角形的边长相等，同时又是等角三角形，且三个角均为60度。
2. 等腰直角三角形
等腰直角三角形中，除了一个直角外，还有两个边长相等的角。这种三角形的两个边相邻的是锐角。
3. 等腰钝角三角形
等腰钝角三角形中，除了一个钝角外，还有两个边长相等的角。这种三角形的两个边相邻的是锐角。
4. 等腰锐角三角形
等腰锐角三角形中，除了一个锐角外，还有两个边长相等的角。这种三角形的两个边相邻的是锐角。
综上所述，根据边长、角度和边长关系，我们可以将三角形分为多种类型。每种类型的三角形都具有不同的特点和性质，它们在实际应用中都有各自的用途和价值。无论是在几何学中还是在实际生活中，三角形都扮演着重要的角色，对我们的学习和认知有着重要的意义。因此，我们应该深入了解和研究三角形的不同类型，以便更好地应用它们。
十种三角形的画法
十种三角形的画法 引言 三角形作为最简单的图形之一，是几何学中非常重要的概念。在绘画中，三角形是一种基本的元素，具有很多不同的形状和画法。本文将介绍十种常见的三角形画法，以帮助读者更好地理解和运用这些技巧。 1. 正三角形 正三角形是指三条边长度相等的三角形。下面是绘制正三角形的步骤： 1.首先，画一条水平线作为底边； 2.在底边上选择一个点，作为正三角形的顶点； 3.从底边上选择的点向上画一条斜线，与底边的角度为60度； 4.从底边的另一点向上画一条斜线，与底边的角度也为60度； 5.连接两条斜线的末端，形成一个等边三角形。 2. 等腰三角形 等腰三角形是指两条边长度相等的三角形。下面是绘制等腰三角形的步骤： 1.画一条水平线作为底边； 2.在底边上选择一个点，作为等腰三角形的顶点； 3.从底边的中点向上画一条直线，与底边的角度随意选择； 4.从底边的另一点向上画一条直线，与底边的角度也随意选择； 5.连接两条直线的末端，形成一个等腰三角形。 3. 直角三角形 直角三角形是指其中一个角为90度的三角形。下面是绘制直角三角形的步骤： 1.首先，画一条水平线作为底边； 2.在底边上选择一个点，作为直角三角形的顶点； 3.从底边的顶点处画一条垂直线，与底边的角度为90度； 4.从底边的另一点向上画一条直线，与底边的角度随意选择；
5.连接两条直线的末端，形成一个直角三角形。 4. 等腰直角三角形 等腰直角三角形是指两条边长度相等且其中一个角为90度的三角形。下面是绘制等腰直角三角形的步骤： 1.画一条水平线作为底边； 2.在底边上选择一个点，作为等腰直角三角形的顶点； 3.从底边的顶点处画一条垂直线，与底边的角度为90度； 4.从底边的中点向上画一条直线，与底边的角度随意选择； 5.连接两条直线的末端，形成一个等腰直角三角形。 5. 等边三角形 等边三角形是指三条边长度都相等的三角形。下面是绘制等边三角形的步骤： 1.画一条水平线作为底边； 2.在底边上选择一个点，作为等边三角形的顶点； 3.从底边的顶点处向上画一条直线，与底边的角度随意选择； 4.从底边的另一点向上画一条直线，与底边的角度也为60度； 5.连接两条直线的末端，形成一个等边三角形。 6. 直角等腰三角形 直角等腰三角形是指两条边长度相等且其中一个角为90度的三角形。下面是绘制直角等腰三角形的步骤： 1.首先，画一条水平线作为底边； 2.在底边上选择一个点，作为直角等腰三角形的顶点； 3.从底边的顶点处画一条垂直线，与底边的角度为90度； 4.从底边的中点向上画一条直线，与底边的角度随意选择； 5.连接两条直线的末端，形成一个直角等腰三角形。 7. 锐角三角形 锐角三角形是指三个内角都小于90度的三角形。下面是绘制锐角三角形的步骤： 1.首先，画一条水平线作为底边；
三角形有哪几种
三角形有哪几种 三角形是我们学习在几何学中经常遇到的一个形状。根据边长和角度的特性，我们可以将三角形分成不同的类型。本文将介绍三角形的几种常见类型。 1. 等边三角形 等边三角形的三条边长度相等。由于其特殊的性质，等边三角形的三个内角也都是60度。等边三角形常用于代表平衡和稳定，例如在宗教符号和标志中的使用。 2. 等腰三角形 等腰三角形的两条边长度相等。由于等边三角形的边长不同，等腰三角形的两个底角也相等。等腰三角形常出现在建筑物的设计中，用于增加稳定性和美观性。 3. 直角三角形 直角三角形的一个内角为90度，被称为直角。直角三角形的两条边与直角的关系可以通过勾股定理计算和验证。直角三角形广泛应用于测量和导航领域，如建筑测量和航海。 4. 钝角三角形 钝角三角形中，一个内角大于90度，被称为钝角。除了直角三角形，所有其他角度之和都小于180度。钝角三角形在地理学中常见，比如河流的汇合点和山脉的交汇处。
5. 锐角三角形 锐角三角形中，三个内角都小于90度，被称为锐角。锐角三角形在许多数学和物理问题中经常出现。例如，凸透镜的形状就可以用锐角三角形的概念来进行描述。 6. 等腰直角三角形 等腰直角三角形是一种特殊的三角形，它同时具有等腰和直角的特性。等腰直角三角形的两个锐角相等，且为45度。等腰直角三角形经常出现在设计中，例如通过45度角的切割可以得到两个完全相等的三角形。 综上所述，三角形可以根据其边长和角度的关系分成多种类型，包括等边三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形、锐角三角形和等腰直角三角形。这些类型的三角形在不同的领域和应用中都起到了重要的作用。通过深入了解和研究这些三角形的特性，我们可以更好地应用数学和几何学的原理，并将其应用于实际问题的解决中。
全等三角形9种经典几何模型
1 初中数学几何模型 【模型1】倍长 1、 倍长中线； 2、倍长类中线； 3、中点遇平行延长相交 E A B C F A B C ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 【模型2】遇多个中点，构造中位线 1、 直接连接中点； 2、连对角线取中点再相连 【例1】在菱形ABCD 和正三角形BEF 中，∠ABC =60°，G 是DF 的中点，连接GC 、GE ． （1）如图1，当点E 在BC 边上时，若AB =10，BF =4，求GE 的长； （2）如图2，当点F 在AB 的延长线上时，线段GC 、GE 有怎样的数量和位置关系，写出你的猜想；并给予证明； （3）如图3，当点F 在CB 的延长线上时，(2)问中关系还成立吗？写出你的猜想，并给予证明. 图1D F D 【例2】如图，在菱形ABCD 中，点E 、F 分别是BC 、CD 上一点，连接DE 、EF ，且AE =AF ，BAF DAE ∠=∠． (1)求证：CE =CF ； (2)若?=∠120ABC ，点G 是线段AF 的中点，连接DG ，EG ．求证：DG 上GE ．
2 E C O D E C O D O C 【例3】如图，在四边形ABCD 中，AB =CD ，E 、F 分别为BC 、AD 中点，BA 交EF 延长线于G ，CD 交EF 于H ．求证：∠BGE =∠CHE ． H G E F A B D C 【模型1】构造轴对称 【模型2】角平分线遇平行构造等腰三角形 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 【例4】如图，平行四边形ABCD 中，AE 平分∠BAD 交BC 边于E ，EF ⊥AE 交CD 边于F ，交AD 边于H ，延长BA 到点G ，使AG =CF ，连接GF ．若BC =7，DF =3，EH =3AE ，则GF 的长为. H G F E A D B C 【条件】OA OB OC OD AOB COD ==∠=∠，， 【结论】OAC OBD ?；AEB OAB COD ∠=∠=∠（即都是旋转角）；OE AED ∠平分；
三角形有几种
三角形有几种 三角形是平面几何中最基本的图形之一，由三条线段组成。根据边 长和角度的不同，三角形可以分为不同的类型。本文将介绍三角形的 分类，并逐一分析每种类型的特点。 一、根据边长分类 1. 等边三角形 等边三角形是指三条边的长度都相等的三角形。由于边长相等，该 三角形的三个内角也必然相等，每个内角都为60度。等边三角形具有 对称性，是一种特殊的等边多边形。 2. 等腰三角形 等腰三角形是指两条边的长度相等，而第三条边与它们不相等的三 角形。在等腰三角形中，两个底边的夹角必然相等，而顶角则与它们 不相等。等腰三角形也具有对称性，通常以底边为基准。 3. 普通三角形 普通三角形是指三条边的长度各不相等的三角形。在普通三角形中，三个内角大小也各不相等。普通三角形是最常见的三角形类型，也是 最常用的几何形状之一。 二、根据角度分类 1. 直角三角形
直角三角形是指其中一个角为90度的三角形。直角三角形中，其他两个角的和必然为90度。直角三角形中的最长边为斜边，而与直角相邻的两个边称为直角边。 2. 钝角三角形 钝角三角形是指其中一个角大于90度的三角形。钝角三角形中的另外两个角较小，并且它们的和小于90度。钝角三角形的最长边位于钝角的对面。 3. 锐角三角形 锐角三角形是指其中三个角均小于90度的三角形。在锐角三角形中，每个角都比直角小，它们的和为180度。锐角三角形的最长边位于最大角的对面。 三、根据边长关系分类 1. 等边三角形 等边三角形的边长相等，同时又是等角三角形，且三个角均为60度。 2. 等腰直角三角形 等腰直角三角形中，除了一个直角外，还有两个边长相等的角。这种三角形的两个边相邻的是锐角。 3. 等腰钝角三角形
几种特殊的三角形-初升高数学衔接课程 (教师版含解析)
第17章 几种特殊的三角形 【知识衔接】 ————初中知识回顾———— 等腰三角形底边上三线(角平分线、中线、高线)合一，因而在等腰ABC ∆中，三角形的内心I 、重心G 、垂心H 必然在一条直线上．学-科网 正三角形三条边长相等，三个角相等，且四心(内心、重心、垂心、外心)合一，该点称为正三角形的中心． ————高中知识链接———— 等腰三角形、等边三角形均有“三线合一”、“四心合一”的性质 直角三角形中，斜边上的直线必为斜边的一半 在有030角的直角三角形中，0 30角所对的直角边必为斜边的一半 【经典题型】 初中经典题型 1、在ABC ∆中，3, 2.AB AC BC === 求：(1)ABC ∆的面积及AC 边上的高BE ； (2)ABC ∆的内切圆的半径r ； (3)ABC ∆的外接圆的半径R ． 解：(1)如图，作AD BC ⊥于D ． ,AB AC D =∴为BC 的中点， 2222=-=∴BD AB AD ,
2222221=⨯⨯=∴∆ABC S 又BE AC S ABC •=∆2 1,解得423BE =． (2)如图，I 为内心，则I 到三边的距离均为r ，连,,IA IB IC ， IAC IBC IAB ABC S S S S ∆∆∆∆++=， 即11122222 AB r BC r CA r =⋅+⋅+⋅， 解得22r = ． (3)ABC ∆是等腰三角形， ∴外心O 在AD 上，连BO ，则OBD R ∆t 中，,OD AD R =-222,OB BD OD =+ 222(22)1,R R ∴=-+解得92.8 R =
2、如图，在ABC ∆中，AB =AC ，P 为BC 上任意一点．求证：PC PB AB AP •-=22． 证明：过A 作BC AD ⊥于D ． 在ABD R ∆t 中，222AD AB BD ． 在APD R ∆t 中，2 22AP AD DP ． )()(22222DP BD DP BD AB DP BD AB AP -•+-=+-= DC BD BC AD AC AB =∴⊥=,, ． PC DP CD DP BD =-=-∴． PC PB AB AP •-=∴22． 3、已知等边ABC ∆和点P ，设点P 到三边AB ，AC ，BC 的距离分别为123,,h h h ，ABC ∆的高为h ，“若点P 在一边BC 上，此时30h ，可得结论：123h h h h ．” 解：(1)当点P 在ABC ∆内时， 法一：如图，过P 作''B C 分别交,,AB AM AC 于',','B M C ， 由题设知' AM PD PE ，而'AM AM PF ， 故PD PE PF AM ，即123h h h h ．
熟悉全等三角形的几种常见类型
熟悉三角形全等的几种常见类型 一般地，一个图形经过平移、翻折、旋转等位置后变化了，由于形状、大小都没有发生改变，因此三角形经过平移、翻折、旋转后所得三角形与原三角形全等． 然而全等三角形的位置虽然各异，但从基本图形的构造上划分，主要有：平移全等型、翻折全等型、旋转全等型这三种类型，了解这些基本类型不仅可以增强我们分辨图形的能力，而且可以提高我们分析和解决问题的能力．现归纳分析如下： 一、平移全等型 平移全等型可视为由对应相等的边沿同一方向移动所构成的全等三角形，它是全等三角形中较简单的一类，其对应边、对应角、对应顶点比较明显．证明平移全等型对应边的全等关系常常会由同一直线上线段和（或差）证线段相等． 如图1：若已知AD＝BE，则AD＋AE＝BE＋AE，即DE＝AB． 图1 图2 图3 二、翻折全等型 翻折全等型特征是有对应相等的边（角或顶点）重合，可沿某一直线翻折且直线两旁的部分能完全重合．因此，其重合的边是对应边，重合的角是对应角，重合的顶点为对应点． 图4 图5 图6 图7 图8 三、旋转全等型 旋转全等型的特征是以三角形某一顶点为中心旋转所构成，如图和图都以A为旋转中心，或旋转之后再进行平移．常常有一对相等的角隐含于对顶角、平行线、某些角的和（或差）之中． 图9 图10 图11 图12 你能写出以上各图中的全等三角形吗？请你写一写，要注意对应的元素哟！！
参考答案： 图1：△ABC≌△DEF；图2△ABC≌△DAE；图3△ABC≌△DEF； 图4：△ABC≌△DBC（BC为公共边）；图5：△ABC≌△DCB（BC为公共边）；图6：△ABC≌△DEF；图7 ：△ABC≌△AED；图8：△ABC≌△AED； 图9：△ABC≌△ADE；图10：△ABC≌△CDA；图11：△ABC≌△DEF； 图12：△ABC≌△ADE．
五种特殊的等腰三角形
五种特殊的等腰三角形 （一）顶角是36°的等腰三角形 1、如图，△ABC中，①AB＝AC,②∠A＝36°，点D在AC上，且③BD平分∠ABC,问：图中有几个等腰三角形？或者说明④AD＝BD＝BC； 2、如图，△ABC中，①AB＝AC,②∠A＝36°，点D在AC上，且④AD＝BD＝BC；问：说明 ③BD平分∠ABC； 3、如图，△ABC中，①AB＝AC，点D在AC上，且③BD平分∠ABC；④AD＝BD＝BC；问：说明②∠A＝36° 4、如图，△ABC中,②∠A＝36°，点D在AC上，且③BD平分∠ABC, ④AD＝BD＝BC；问：图中有几个等腰三角形？或者说明①AB＝AC；
（二）顶角是60°的等腰三角形 1、如图，△ABC中，AB＝BC＝AC，点D在AB上，且CD⊥AB,延长CD至E，使ED＝CD,连结 AE，问：(1) ∠ACD＝∠BCD吗？说明理由；（2）AD＝BD吗？说明理由；（3）AE＝AC吗？ 说明理由； 2、如图，△ABC中，AB＝BC＝AC，点D在AB上，且AD＝BD,延长CD至E，使ED＝CD,连结AE，问：(1) ∠ACD＝∠BCD吗？说明理由；（2）CD⊥AB吗？说明理由；（3）AE＝AC吗？说明理由； 3、如图，△ABC中，AB＝BC＝AC，点D在AB上，且∠ACD＝∠BCD ,延长CD至E，使ED＝CD,连结AE，问：(1) AD＝BD 吗？说明理由；（2）CD⊥AB吗？说明理由；（3）AE＝AC吗？说明理由；
（三）顶角是90°的等腰三角形 1、如图，△ABC中，∠A＝90°,AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于D，DE⊥BC于E,DF∥AB交 BC于F，问：(1)AD＝ED吗？说明理由；（2）FB＝FD吗？说明理由； 2、如图，△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,试说明：（1）、AD＝DB＝DC，∠BAD＝∠CAD；（2）、DE＝DF；（3）、AE＝AF；BE＝CF； 3如图，△ABC中，①∠A＝90°，②AB＝AC，试说明③∠B＝∠C＝45° 4如图，△ABC中，①∠A＝90°，③∠B＝45°或∠C＝45°，试说明②AB＝AC； 5、如图，△ABC中，③∠B＝∠C＝45°，试说明①∠A＝90°；②AB＝AC
三角形整理 (上升三角形,下降三角形,对称三角形)
三角形整理（上升三角形，下降三角形，对称三角形） 三角形整理形态包括上升三角形、下降三角形、底部三角形、扩散三角形、收敛三角形五种形态。三角形是一种重要的整理形态，根据收敛的表状，可分 为对称、上升、下降三种形态。三角形由两条收敛的趋势线构成，如果上方趋势线向下倾斜，下方趋势线向上倾斜，此种三角形整理形态称之为对称三角形；如果上 方趋势线呈水平状态，下方趋势线向上倾斜，此种三角形整理形态称之为上升三角形；如果下方趋势线呈水平状态，上方趋势线向下倾斜，此种三角形整理形态称之 为下降三角形。一般认为上升三角形突破必然向上，下降三角形突破必然向下，但实际情况也不尽然如此。 一、三角形整理的定义 三角形是一种重要的整理形态，根据收敛的表状，可分为对称、上升、下降三种形态。三角形由两条收敛的趋势线构成，如果上方趋势线向下倾斜，下方趋势线向上倾斜，此种三角形整理形态称之为对称三角形； 如果上方趋势线呈水平状态，下方趋势线向上倾斜，此种三角形整理形态称之为上升三角形； 如果下方趋势线呈水平状态，上方趋势线向下倾斜，此种三
角形整理形态称之为下降三角形。 一般认为上升三角形突破必然向上，下降三角形突破必然向下，但实际情况也不尽然如此。在很多情况下，三角形态都不能事 先确定股价的波动方向，其突破是否有效取决于两个方面：其一是向上突破必须有成交量的配合，向下突破不一定要有量的配合；其二是三角形突破只有在从起点至 终点(末端)的大约三分之二处发生突破，才会有效或具有相当的突破力度，股价若运行至末端才出现突破，其突破往往不会有效或缺乏力度。 二、三角形整理形态的种类 主要包括：上升三角形、下降三角形、底部三角形、扩散三角形、收敛三角形五种。 2.1、上升三角形 上升三角形是众多盘整形态中的其中一种，是一种持续形态，即后市依然会延续先前趋势。 上升三角形 2.2、下降三角形。 下降三角形同上升三角形正好反向，是看跌的形态。它的基
解三角形的几种方法
解三角形的几种方法 三角形是初中数学学科的基础内容之一，解三角形问题是常见的数学题型之一。通过解三角形问题可以帮助我们深入理解三角函数的定义和性质。本文将介绍解三角形的几种常见方法。 一、正弦定理 正弦定理是解三角形问题中最基本也是最常用的方法之一。它的原理是：在任意三角形ABC中，有以下关系成立： a/sinA = b/sinB = c/sinC 其中，a、b、c分别表示三角形的三条边的长度，A、B、C分别表示三个对应角的大小。 根据正弦定理，我们可以通过已知角和边的数据来求解未知角和边的长度。例如，已知三角形的两个角的大小以及一个边的长度，可以通过正弦定理求解出三角形的其他边和角的大小。 二、余弦定理 余弦定理也是解三角形问题中常用的方法之一。它的原理是：在任意三角形ABC中，有以下关系成立： c² = a² + b² - 2abcosC 其中，a、b、c分别表示三角形的三条边的长度，C表示夹在两边a 和b之间的角的大小，cosC表示角C的余弦值。
通过余弦定理，我们可以通过已知角和边的数据来求解未知角和边的长度。例如，已知三角形的三个边的长度，可以通过余弦定理求解出三角形的角的大小。 三、正切定理 正切定理是解三角形问题中较少使用的方法之一。它的原理是：在任意三角形ABC中，有以下关系成立： tanA = (b - c) / a tanB = (c - a) / b tanC = (a - b) / c 其中，a、b、c分别表示三角形的三条边的长度，A、B、C分别表示三个对应角的大小。 通过正切定理，我们可以通过已知边的长度来求解未知角的大小。例如，已知三角形的两边的长度和一个角的大小，可以通过正切定理求解出其他两个角的大小。 四、利用勾股定理解直角三角形 在解直角三角形问题中，我们可以应用勾股定理。勾股定理是指在直角三角形中，直角边的平方等于两个直角边的平方和。即，设直角三角形的两直角边分别为a和b，斜边的长度为c，则有：c² = a² + b²
直角三角形的五种判定方法
直角三角形的五种判定方法 三角形是几何中最常见的几何体，也是中学课本中最基础的几何形状之一，而普通的三角形有等边三角形、等腰三角形和直角三角形，其中直角三角形的判定尤为重要，我们来看看直角三角形的五种判定方法。 一、据直角三角形两条直边的关系 根据直角三角形定义，可知一个直角三角形有两条直边，按以下情况判断： 1.如果两条直边相等，则是等腰直角三角形； 2.如果两条直边长度比都是整数，而且两个比例相等，则是等比直角三角形； 3.如果两条直边都不相等，也不是整数比，则是普通直角三角形。 二、据勾股定理 根据公式a2 + b2 = c2，可知，一个直角三角形的斜边是由它的两条直边的平方和组成的，如果一个三角形满足这个关系，则它就是一个直角三角形。 三、据余弦定理 余弦定理是一个最基本的三角形定理，它定义为：A2 = b2 + c2 - 2bccosA，在直角三角形中，A角的余弦等于该直角的边的比，如果一个三角形满足余弦定理，则它就是一个直角三角形。 四、据正弦定理 正弦定理是另一个重要的三角形定理，它定义为：a/sinA =
b/sinB = c/sinC，如果一个三角形满足正弦定理，则它就是一个直角三角形。 五、据直角三角形的特殊性 另外，由于直角三角形有两条直边，其它线段成角以90度来表示，如果通过以上四种测量方法得知某个三角形有一个角是90度，那么，就可以判断它是一个直角三角形。 总结： 以上就是直角三角形的五种判定方法，它们分别以不同的方式来检查一个三角形是否是直角三角形。裁判一个三角形是否是直角三角形，应根据以上五种判定方法，综合考虑余弦定理、正弦定理，以及对直角三角形的特殊性的了解，可以轻松判定一个三角形的边的比例关系，从而判定是否是直角三角形。
全等三角形几种类型(总结)
板块 考试要求 A 级要求 B 级要求 C 级要求 全等三角形的性质及判 定 会识别全等三角形 掌握全等三角形的概念、判定和性质，会用全等三角形的性质和判定解决简单问题 会运用全等三角形的性质和判定解决有关问题 全等三角形的认识与性质 全等图形： 能够完全重合的两个图形就是全等图形． 全等多边形： 能够完全重合的多边形就是全等多边形． 相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角． 全等多边形的对应边、对应角分别相等． 如下图，两个全等的五边形，记作：五边形 ABCDE ≌五边形 ' ''''A B C D E ． 这里符号“≌”表示全等，读作“全等于”． A' B' C' D' E' E D C B A 全等三角形： 能够完全重合的三角形就是全等三角形． 全等三角形的对应边相等，对应角分别相等； 反之，如果两个三角形的边和角分别对应相等，那么这两个三角形全等． 全等三角形对应的中线、高线、角平分线及周长面积均相等． 全等三角形的概念与表示： 能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形．能够相互重合的顶点、边、角分别叫作对应顶点、对应边、对应角．全等符号为“≌ ” ． 全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的 角平分线相等，面积相等． 寻找对应边和对应角，常用到以下方法： ( 1) 全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边． (2) 全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角． (3 ) 有公共边的，公共边常是对应边． 中考要求 第一讲 全等三角形与角平分线 知识点睛
三角形的外展双叶形的几种类型及其性质
三角形的外展双叶形的几种类型及其性质 中学数学中有很多经典几何模型频频亮相于教材、著作、期刊资料、教辅资料，以及中、高考数学乃至竞赛数学中而经久不衰.这些模型往往承载了许多重要的数学知识，富于变化而蕴含多样的数学思想方法，它们为研究数学和培养学生的探究能力和创新精神提供了好素材.比如三角形的外展形或内展形模型就是其中一例.下面，我们介绍三角形的几类外展形和内展形，并以此为背景添加一些辅助条件，探讨其性质. 1 定义 三角形的外展形或内展形是指以三角形的边为公共边向三角形的外侧或内侧按照一定条件作出的平面图形．下面是三角形的几种常见外展形或内展形： 如图1，分别以ABC ∆的BC AC ,两边向外侧作的ACD ∆和BCE ∆为等边三角形，则称这两个等边三角形为外展双叶等边三角形． 如图2，分别以ABC ∆的BC AC ,两边向外侧作的四边形ACDE 和BCFG 为正方形，则称这两个正方形为外展双叶正方形． 如图3，分别以ABC ∆的三边为边向外侧作的ACD ∆,BCE ∆和ABF ∆为等边三角形，则称这三个等边三角形为外展三叶等边三角形． 如图4，以ABC ∆的边AB 为边向内侧作等腰ABD ∆，则称ABD ∆为内展单叶等腰三角形． 另外，我们把同一图形中三角形的外展形和内展形合称为三角形的双展形．如图5，以ABC ∆的边 AB 为边向内侧作等边ABD ∆，以另两边为边向外侧作等边BCE ∆和等边ACF ∆，则称这三个等边三 角形为双展三叶等边三角形． 类似于图1～5的情况，对于三角形或其它图形的外展形或内展性还有其它形式，此处不再逐一命名，并皆可统称为该图形的外展形（内展形或双展形）．在初等数学中，以三角形的外展形或内展形为背景的平面几何问题很多，其中不乏一些历史名题．譬如费马“三村短路”问题以三角形的内展三叶三角形为背景[1]、托里拆利定理[2]、外拿破仑三角形定理以外展三叶等边三角形为背景（内拿破仑三角形定理以内展三叶等边三角形为背景）[3]、《几何原本》中勾股定理的欧几里德证法就是以直角三角形的外展三叶正方形为背景、凯培特点定理以外展三叶相似等腰三角形为背景、三角形的塞萨罗定理以外展 图1 图2 G 图3 E 图5 图 4
全等三角形几种类型
全等图形： 能够完全重合的两个图形就是全等图形． 全等多边形： 能够完全重合的多边形就是全等多边形． 相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角． 全等多边形的对应边对应边、全等多边形的对应角相等． 如以下图，两个全等的五边形，记作：五边形ABCDE≌五边形''''' A B C D E． 这里符号“≌〞表示全等，读作“全等于〞． 全等三角形： 能够完全重合的三角形就是全等三角形． 全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等； 反之，如果两个三角形的边和角分别对应相等，则这两个三角形全等． 全等三角形对应的中线、高线、角平分线及周长面积均相等． 全等三角形的概念与表示：能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形．能够相互重合的顶点、边、角分别叫作对应顶点、对应边、对应角．全等符号为“≌〞． 全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等． 寻找对应边和对应角，常用到以下方法： (1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边． (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角． (3)有公共边的，公共边常是对应边． (4)有公共角的，公共角常是对应角． (5)有对顶角的，对顶角常是对应角． (6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)． 要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键． 全等三角形的判定方法： (1) 边角边定理(SAS)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等． (2) 角边角定理(ASA)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等． (3) 边边边定理(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等． (4) 角角边定理(AAS)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． (5) 斜边、直角边定理(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等． 全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线． 判定三角形全等的根本思路： 全等三角形的图形归纳起来有以下几种典型形式： ⑴平移全等型 ⑵对称全等型 ⑶旋转全等型 由全等可得到的相关定理： ⑴角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等． ⑵到一个角的两边的距离一样的点，在这个角的平分线上． ⑶等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角)． ⑷等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合．
全等三角形几种类型(总结)
全等三角形与角平分线 全等图形：能够完全重合的两个图形就是全等图形． 全等多边形： 能够完全重合的多边形就是全等多边形． 彼此重合的极点叫做对应极点，彼此重合的边叫做对应边，彼此重合的角叫做对应角． 全等多边形的对应边、对应角别离相等． 如下图，两个全等的五边形，记作：五边形ABCDE ≌五边形'''''A B C D E ． 这里符号“≌”表示全等，读作“全等于”． 全等三角形：能够完全重合的三角形就是全等三角形． 全等三角形的对应边相等，对应角别离相等； 反之，若是两个三角形的边和角别离对应相等，那么这两个三角形全等． 全等三角形对应的中线、高线、角平分线及周长面积均相等． 全等三角形的概念与表示：能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形．能够彼此重合的极点、边、角别离叫作对应极点、对应边、对应角．全等符号为“≌”． 全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等． 寻觅对应边和对应角，常常利用到以下方式： (1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边． (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角． (3)有公共边的，公共边常是对应边． (4)有公共角的，公共角常是对应角． (5)有对顶角的，对顶角常是对应角． 全等三角形的判定方式： (1) 边角边定理(SAS )：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等． (2) 角边角定理(ASA )：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等． (3) 边边边定理(SSS )：三边对应相等的两个三角形全等． (4) 角角边定理(AAS )：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． (5) 斜边、直角边定理(HL )：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等． 判定三角形全等的大体思路： SAS HL SSS →⎧⎪ →⎨⎪→⎩ 找夹角已知两边 找直角 找另一边 ASA AAS SAS AAS ⎧⎪ ⎧⎪ ⎨⎪ ⎨⎪ ⎪⎪ ⎩⎩ 边为角的对边→找任意一角→ 找这条边上的另一角→已知一边一角 边就是角的一条边 找这条边上的对角→ 找该角的另一边→
全等三角形几种类型总结
全等三角形与角平分线 全等图形： 能够完全重合的两个图形就是全等图形． 全等多边形： 能够完全重合的多边形就是全等多边形． 相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角． 全等多边形的对应边、对应角分别相等． 如下图，两个全等的五边形，记作：五边形 ABCDE ≌五边形 A'B'C'D'E'． 全等三角形的对应边相等，对应角分别相等； 反之，如果两个三角形的边和角分别对应相等，那么这两个三角形全等． 全等三角形对应的中线、高线、角平分线及周长面积均相等． 全等三角形的概念与表示： 能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形．能够相互重合的顶点、边、 角分别叫作对应顶点、对应边、对应角．全等符号为 “≌ ”． 全等三角形的性质： 对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的 角平分线相等，面积相等． 寻找对应边和对应角，常用到以下方法： (1) 全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边． (2) 全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角． (3) 有公共边的，公共边常是对应边． (4) 有公共角的，公共角常是对应角． (5) 有对顶角的，对顶角常是对应角． 全等三角形的判定方法： (1) 边角边定理 (SAS) ：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等． (2) 角边角定理 (ASA) ：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等． (3) 边边边定理 (SSS) ：三边对应相等的两个三角形全等． (4) 角角边定理 (AAS) ：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． (5) 斜边、直角边定理 (HL) ：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等． 判定三角形全等的基本思路： 找夹角 SAS 已知两边 找直角 HL 找另一边 SSS 边为角的对边 →找任意一角→ AAS 找这条边上的另一角→ ASA 找这条边上的对角→ AAS 找该角的另一边 → SAS 找两角的夹边 ASA 找任意一边 AAS 全等三角形的图形归纳起来有以下几种典型形式： 已知一边一角 边就是角的一条边 这里符号“≌”表示全等，读作“全等于” E' D' 全等三角形： 能够完全重合的三角形就是全等三角
判定三角形形状的十种方法
判定三角形形状的十种方法 数学考试和数学竞赛中，常有判断三角形形状的题目，这类题目涉及的知识面广，综合性强，它沟通了代数、几何、三角等方面的知识联系。解题思路不外是从边与边、边与角之间的关系考虑，从而达到解题的目的。 1、若有a=b或(a-b）(b-c）(c-a)=0， 则△ABC为等腰三角形。 2、若有(a-b)2+（b—c)2+(c—a)2=0， 则△ABC为等边三角形. 3、若有a2+b2＞c2，则△ABC为锐角三角形； 若有a2+b2＝c2，则△ABC为直角三角形; 若有a2+b2＜c2，则△ABC为钝角三角形。 4、若有（a2-b2）( a2+b2—c2）=0, 则△ABC为等腰三角形或直角三角形. 5、若有a=b且a2+b2=c2， 则△ABC为等腰直角三角形. 以上是从三角形的边与边之间的关系考虑的。 6、若有sin2A+sin2B=sin2C或sinA=sinB, 则△ABC为直角三角形或等腰三角形。 7、若有cosA＞0，或tanA＞0,（其中∠A为△ABC 中的最大角) 则△ABC为锐角三角形。
8、若有cosA＜0，或tanA＜0，(其中∠A为△ABC 中的最大角), 则△ABC为钝角三角形. 9、若有两个(或三个）同名三角函数值相等(如 tanA=tanB），则△ABC为等腰三角形(或等边三角形）. 10、若有特殊的三角函数值，则按特殊角来判断,如 cosA=,b=c，则△ABC为等边三角形。 以下就一些具体实例进行分析解答： 一、利用方程根的性质: 例1：若方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx—b2=0有一 个相同的根,且a、b、c为一个三角形的三条边，则此三角 形为（） （A)锐角三角形；(B）钝角三角形; （C）以c为斜边的直角三角形；（D）以a为斜边的直角 三角形； (“缙云杯”初中数学邀请赛） 解:将两个方程相减,得：2ax—2cx+2b2=0，显然a≠c，否则b=0，与题设矛盾,故x= ，将两个方程相加， 得2ax+2cx+2b2=0，∵x≠0，否则b=0，与题设矛盾， ∴x=—（a+c)，∵两个方程有一个相同的根， ∴ =—（a+c),即b2+c2=a2,故△ABC是以a为斜边的 直角三角形，故应选（D） 二、利用根的判别式