几种特殊的三角形-初升高数学衔接课程 (教师版含解析)
第17章 几种特殊的三角形
【知识衔接】
————初中知识回顾————
等腰三角形底边上三线(角平分线、中线、高线)合一，因而在等腰ABC ∆中，三角形的内心I 、重心G 、垂心H 必然在一条直线上．学-科网
正三角形三条边长相等，三个角相等，且四心(内心、重心、垂心、外心)合一，该点称为正三角形的中心．
————高中知识链接———— 等腰三角形、等边三角形均有“三线合一”、“四心合一”的性质
直角三角形中，斜边上的直线必为斜边的一半
在有030角的直角三角形中，0
30角所对的直角边必为斜边的一半 【经典题型】
初中经典题型
1、在ABC ∆中，3, 2.AB AC BC ===
求：(1)ABC ∆的面积及AC 边上的高BE ；
(2)ABC ∆的内切圆的半径r ；
(3)ABC ∆的外接圆的半径R ．
解：(1)如图，作AD BC ⊥于D ．
,AB AC D =∴为BC 的中点，
2222=-=∴BD AB AD ,
2222221=⨯⨯=∴∆ABC S 又BE AC S ABC •=∆2
1,解得423BE =．
(2)如图，I 为内心，则I 到三边的距离均为r ，连,,IA IB IC ，
IAC IBC IAB ABC S S S S ∆∆∆∆++=，
即11122222
AB r BC r CA r =⋅+⋅+⋅， 解得22r =
．
(3)ABC ∆是等腰三角形，
∴外心O 在AD 上，连BO ，则OBD R ∆t 中，,OD AD R =-222,OB BD OD =+
222(22)1,R R ∴=-+解得92.8
R =
2、如图，在ABC ∆中，AB =AC ，P 为BC 上任意一点．求证：PC PB AB AP •-=22．
证明：过A 作BC AD ⊥于D ．
在ABD R ∆t 中，222AD
AB BD ． 在APD R ∆t 中，2
22AP AD DP ． )()(22222DP BD DP BD AB DP BD AB AP -•+-=+-=
DC BD BC AD AC AB =∴⊥=,, ．
PC DP CD DP BD =-=-∴．
PC PB AB AP •-=∴22．
3、已知等边ABC ∆和点P ，设点P 到三边AB ，AC ，BC 的距离分别为123,,h h h ，ABC ∆的高为h ，“若点P 在一边BC 上，此时30h ，可得结论：123h h h h ．”
解：(1)当点P 在ABC ∆内时，
法一：如图，过P 作''B C 分别交,,AB AM AC 于',','B M C ，
由题设知'
AM PD PE ，而'AM AM PF ， 故PD PE
PF AM ，即123h h h h ．
法二：如图，连结PA 、PB 、PC ，PBC PAC PAB ABC S S S S ∆∆∆∆++= ，
PF BC PE AC PD AB AM BC •+•+•=•∴2
1212121， 又AB BC AC ，PF PE PD AM ++=∴，即123h h h h ．
(2)当点P 在ABC ∆外如图位置时，123h h h h 不成立，猜想：123h h h h ．
点睛：在解决上述问题时，“法一”中运用了化归的数学思想方法,“法二”中灵活地运用了面积的方法．
高中经典题型
1．如图，在△ABC 中，∠ACB=90º，AC=BC=1，E 、F 为线段AB 上两动点，且∠ECF=45°，过点E 、F 分别作BC 、AC 的垂线相交于点M ，垂足分别为H 、G ．现有以下结论：①AB=
；②当点E 与点B 重合
时，MH=；③AF+BE=EF ；④MG•MH=，其中正确结论的个数是( )
A ． 1
B ． 2
C ． 3
D ． 4
【答案】C
【解析】解：①∵在△ABC 中，∠ACB =90º，AC =BC =1
∴AB=(所以①正确)
②如图1，当点E与点B重合时，点H与点B重合，
∴MB⊥BC，∠MBC=90°，
∵MG⊥AC，
∴∠MGC=90°=∠C=∠MBC，
∴MG∥BC，四边形MGCB是矩形，
∴MH=MB=CG，
∵∠FCE=45°=∠ABC，∠A=∠ACF=45°，
∴CE=AF=BF，
∴FG是△ACB的中位线，
∴GC=AC=MH，故②正确；
③如图2所示，
∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠A=∠5=45°．
将△ACF顺时针旋转90°至△BCD，
则CF=CD，∠1=∠4，∠A=∠6=45°；BD=AF；∵∠2=45°，
∴∠1+∠3=∠3+∠4=45°，
∴∠DCE=∠2．
在△ECF和△ECD中，
，
∴△ECF≌△ECD(SAS)，
∴EF=DE．
∵∠5=45°，
∴∠BDE=90°，
∴DE2=BD2+BE2，即E2=AF2+BE2，故③错误；
④∵∠7=∠1+∠A=∠1+45°=∠1+∠2=∠ACE，
∵∠A=∠5=45°，
∴△ACE∽△BFC，
∴=，
∴AF•BF=AC•BC=1，
由题意知四边形CHMG是矩形，
∴MG∥BC，MH=CG，
MG∥BC，MH∥AC，
∴=；=，即=；=，
∴MG=AE；MH=BF，
∴MG•MH=AE×BF=AE•BF=AC•BC=，
故④正确．故选：C．
2．如图，在正方形ABCD中，点E为对角线AC上的一点，连接BE，DE．
(1)如图1，求证：△BCE≌△DCE；
(2)如图2，延长BE交直线CD于点F，G在直线AB上，且FG=FB．
①求证：DE⊥FG；
②已知正方形ABCD的边长为2，若点E在对角线AC上移动，当△BFG为等边三角形时，求线段DE的长．
【答案】(1)证明见解析；(2)①证明见解析；②DE=2(3﹣1)
【解析】试题分析：(1)利用判定定理(SAS)可证；
(2)①利用(1)的结论与正方形的性质，只需证明∠FDE+∠DFG=90°即可；
②由DE⊥FG可构造直角三角形，利用等边三角形的性质及三角函数可求DE的长．
(2)①∵由(1)可知△BCE≌△DCE，
∴∠FDE=∠FBC
又∵四边形ABCD是正方形，
∴CD∥AB，
∴∠DFG=∠BGF，∠CFB=∠GBF，
又∵FG=FB，
∴∠FGB=∠FBG，
∴∠DFG=∠CFB，
又∵∠FCB=90°，
∴∠CFB+∠CBF=90°，
∴∠EDF+∠DFG=90°，
∴DE⊥FG
②如下图所示，
∵△BFG 为等边三角形，
∴∠BFG =60°，
∵由(1)知∠DFG =∠CFB =60°，
在Rt △FCB 中，∠FCB =90°，
∴FC =CB •cot60°=233，DF =2-233
， 又∵DE ⊥FG ，
∴∠FDE =∠FED =30°，OD =OE ，
在Rt △DFO 中，
OD =DF •cos30°=3-1，
∴DE=2(3-1)
【点睛】本题考查了正方形、等边三角形、直角三角形及三角函数等知识点，解题的关键是掌握三角形全等的判定定理、两直线垂直的条件及综合应用所学知识的能力．学！科网
3．如图，在菱形纸片ABCD 中， 360AB A =∠=，，将菱形纸片翻折，使点A 落在CD 的中点E 处，折痕为F G ，点F G ，分别在边AB AD ，上，则tan EFG ∠的值为______ ．
【答案】233
【解析】如图，作EH ⊥AD 于H ，连接BE ，BD 产AE 交FG 于O ，因为四边形ABCD 是菱形，∠A=60°，所以△ADC 是等边三角形，∠ADC=120°，∵点E 是CD 的中点，所以ED=EC=32
，BE ⊥CD ，Rt △BCE
中，BE=3CE=332，因为AB ∥CD ，所以BE ⊥AB ，设AF=x ，则BF=3-x ，EF=AF=x ，在Rt △EBF 中，则勾股定理得，x 2=(3-x)2+(332)2，解得x=218，Rt △DEH 中，DH=12DE=34
，HE=3DH=334，Rt △AEH 中，AE=22333344⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=674，所以AO=374，Rt △AOF 中，OF=22213784⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
=3218，所以tan ∠EFG=37
4321
8
=233，故答案为233． 【实战演练】
————先作初中题 —— 夯实基础————
A 组
1．已知：在ABC ∆中，AB =AC ，120,o
BAC AD ∠=为BC 边上的高，则下列结论中，正确的是( ) A ．32AD AB = B ．12
AD AB = C ．AD BD = D ．22AD BD = 2．三角形三边长分别是6、8、10，那么它最短边上的高为( )
A ．6
B ．4．5
C ．2．4
D ．8
3．如果等腰三角形底边上的高等于腰长的一半，那么这个等腰三角形的顶角等于_________．
4．已知:,,a b c 是ABC ∆的三条边，7,10a b ==，那么c 的取值范围是_________．
5．若三角形的三边长分别为1、a 、8，且a 是整数，则a 的值是_________．
6．如图，等边ABC ∆的周长为12，CD 是边AB 上的中线，E 是CB 延长线上一点，且BD =BE ，则CDE ∆的周长为( )
A ．643+
B ．18123+
C ．623+
D ．1843+
7．如图，在ABC ∆中，2C ABC A ∠=∠=∠，BD 是边AC 上的高，求DBC ∠的度数．
3．如图，ABC R ∆t ，,90︒=∠B M 是AC 的中点，AM=AN ，MN//AB ，求证：MN=AB ．
4．如图，在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，AB +BD =AC ．求:B C ∠∠的值．
5．如图，在正方形ABCD 中，F 为DC 的中点，E 为BC 上一点，且14EC
BC ， 求证：︒=∠90EFA ．
A 组参考答案
1．B 2． D 3．120o
4．317c << 5．8
6．A 7．18o 8．连BM ，证AMN MAB ∆≅∆．
9．在AC 上取点E ，使AE=AB ，则AED ABD ∆≅∆，B AED ∠=∠，
又BD=DE=EC ， ,:2:1.C EDC B C ∴∠=∠∴∠∠=
10．可证FCE ADF ∆∆~，因而AFD ∠与CFE ∠互余，得90o
EFA ∠=． ————再战高中题 —— 能力提升————
B 组
1．已知：如图，在△ABC 中，AB=BC ，D 是AC 中点，点O 是AB 上一点，⊙O 过点B 且与AC 相切于点E ，交BD 于点G ，交AB 于点F ．
(1)求证： BE 平分∠ABD ；
(2)当BD=2，sinC=
12
时，求⊙O 的半径． 【答案】(1)证明见解析(2)43 【解析】试题分析：连接OE ，根据等腰三角形三线合一的性质和切线的性质得出OE ⊥AC ， BD ⊥AC ，证
得OE∥BD，根据平行线的性质和等腰三角形的性质可证得结论；
(2)根据sinC=1
2
求出AB=BC=4，设⊙O的半径为r，则AO=4-r，得出sinA=sinC，根据OE⊥AC，得出
sinA
1
=
42
OE r
OA r
=
-
，即可求出半径．
(2)∵BD=2，sinC=1
2
，BD⊥AC∴BC=4，∴AB=4
设⊙O的半径为r，则AO=4-r
∵AB=BC，∴∠C=∠A，∴sinA=sinC=1 2
∵AC与⊙O相切于点E，∴OE⊥AC
∴sinA=OE
OA
=
4
r
r
-
=
1
2
，∴r=
4
3
2．如图，在等边△ABC中，点E为边AB上任意一点，点D在边CB的延长线上，且ED＝EC．
(1)当点E为AB的中点时(如图1)，则有AE DB(填“＞”“＜”或“＝”)；
(2)猜想AE与DB的数量关系，并证明你的猜想．
【答案】(1)=；(2)AE＝BD．
【解析】试题分析：
(1)△BCE中可证，∠BCE=30°，又EB=EC，则∠D=∠ECB=30°，所以△BCE是等腰三角形，结合AE=BE 即可；
(2)过E作EF∥BC交AC于F，用AAS证明△DEB≌△ECF．
(2)当点E为AB上任意一点时，AE与DB的大小关系不会改变．理由如下：
过E作EF∥BC交AC于F，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°，AB＝AC＝BC．
∴∠AEF＝∠ABC＝60°，∠AFE＝∠ACB＝60°，即∠AEF＝∠AFE＝∠A＝60°．
∴△AEF是等边三角形．∴AE＝EF＝AF．
∵∠ABC＝∠ACB＝∠AFE＝60°，
∴∠DBE＝∠EFC＝120°，∠D＋∠BED＝∠FCE＋∠ECD＝60°．
∵DE＝EC，∴∠D＝∠ECD．∴∠BED＝∠ECF．
在△DEB和△ECF中，
∴△DEB≌△ECF(AAS)．
∴BD＝EF＝AE，即AE＝BD．
点睛：本题主要考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质，等边三角形的三条边相等，三个角也相等，由于等边三角形是特殊的等腰三角形，所以等腰三角形的性质等边三角形都有，在等边三角形中通过作平行线构造全等三角形是常用的方法．
3．如图，平面直角坐标系中有等边△AOB，点O为坐标原点，OB＝2，平行于x轴且与x轴的距离为1的线段CD分别交y轴、AB于点C，D．若线段CD上点P与△AOB的某一顶点的距离为，则线段PC(PC ＜2．5)的长为____________．
【答案】－1或2或2－2
【解析】【分析】过点A作AE⊥OB交CD于点F，根据已知可求得OE＝，AE＝3，AF＝2，AF⊥CD，然后根据AP＝，OP＝，BP＝三种情况分别讨论即可得．
【详解】过点A作AE⊥OB交CD于点F，
∵△AOB是等边三角形，OB＝2，
∴OE＝，AE＝3，
∵OC＝1，CD∥OB，∴CF＝OE＝，AF＝A E－OC＝2，AF⊥CD，
∵点P在CD上，AP＝，
∴PF＝＝1，且点P可以在点F左侧，也可以在点F右侧；
当点P在点F左侧时，PC＝CF－PF＝－1＜2．5；
当点P在点F右侧时，PC＝CF＋PF＝＋1＞2．5，舍去；
当OP＝时，过P作PH⊥x轴，∴PH＝1，
∴OH＝＝2，∴PC＝OH＝2＜2．5；
同理当BP＝时，BH＝＝2，
∴PC＝OH＝OB－BH＝2－2＜2．5，
综上，PC＝－1或2或2－2，
故答案为：－1或2或2－2．
4．如图，正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合，将△AEF绕其顶点A旋转，在旋转过程中，当BE=DF时，∠BAE的大小可以是．
【答案】15度或165度
5．如图，在矩形ABCD 中，点E ，F 分别在边AB ，BC 上，且A E=13
AB ，将矩形沿直线EF 折叠，点B 恰好落在AD 边上的点P 处，连接BP 交EF 于点Q ，对于下列结论：①EF=2BE ；②PF=2PE ；③FQ=4EQ ；④△PBF 是等边三角形．其中正确的是 (填序号)
【答案】①④
【解析】
1323AE AB BE PE AB =
∴== 在Rt ABE ∆ 中， 60AEP ∠=︒
6030BEF EFB ∴∠=︒∠=︒， 2EF BE ∴=
60BFP BF PF
∴∠=︒= BFP ∴∆ 为等边三角形． ∴ ①④正确．
2023中考九年级数学分类讲解 - 第八讲 三角形、全等三角形、等腰三角形(含答案)(全国通用版)
第八讲 三角形（一） 专项一 三角形的概念及重要线段 知识清单 1. 三角形的定义 由不在同一条直线上的三条线段 所围成的图形叫做三角形. 2. 三角形的分类 3. 三角形的三边关系 三角形的任意两边之和 第三边，任意两边之差 第三边. 三角形具有 性. 4. 三角形中的重要线段 考点例析 例1 若长度分别为3，4，a 的三条线段能组成一个三角形，则整数a 的值可以是 .（写出一个即可） 分析：根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，小于两边之和”，求得第三边长的取值范围. 归纳：三角形的三条边必须满足“任意．． 两边之和大于第三边”，一定不要忽略“任意”二字，在具体应用时，根据“判断两条较短的线段之和是否大于第三条较长线段”确定是否能构成三角形. 按边分 三边都不相等的三角形 等腰三角形 等边三角形 底边和腰不相等的等腰三角形 按角分 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形
例2（2021·聊城）如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D和E，AD与CE交于点O，连接BO并延长，交AC于点F.若AB=5，BC=4，AC=6，则CE∶AD∶BF的值为. 分析：根据三角形三条高所在的直线交于一点，可得BF⊥AC，再根据等积法得到CE∶AD∶BF的值. 归纳：正确理解三角形的三种重要线段——中线、角平分线和高的概念，并会画出这三种线段.其中，三角形的高不一定是在三角形的内部，钝角三角形的两条高在外部，直角三角形的高与两条直角边重合. 跟踪训练 1.下列长度的三条线段与长度为5的线段首尾依次相连能组成四边形的是（） A. 1，1，1 B. 1，1，8 C. 1，2，2 D. 2，2，2 2.（2021·衢州）如图，在△ABC中，AB=4，AC=5，BC=6，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，连接DE，EF，则四边形ADEF的周长为（） A. 6 B. 9 C. 12 D. 15 第2题图第4题图 3.三个数3，1-a，1-2a在数轴上从左到右依次排列，且以这三个数为边长能构成三角形，则a的取值范围为. 4.如图，在△ABC中，AB=AC=2，P是BC上任意一点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F. 若S△ABC=1，则PE+PF= . 专项二三角形中的角 知识清单 1. 三角形的内角和等于，三角形的外角和等于. 2. 三角形的一个外角等于两个内角的和，三角形的一个外角任何一个与它不相邻的内角. 考点例析 例1 将一副三角尺按图1所示位置摆放，点F在AC上，其中∠ACB=90°，∠ABC=60°，∠EFD=90°，∠DEF=45°，AB∥DE，则∠AFD的度数是（）
初中数学三角形教案(最新5篇)
初中数学三角形教案（最新5篇） 初中数学三角形教案篇一 教学目的 1.理解三角形、三角形的边、顶点、内角、外角等概念。 2.会将三角形按角分类。 3.理解等腰三角形、等边三角形的概念。 重点、难点 1.重点：三角形内角、外角、等腰三角形、等边三角形等概念。 2.难点：三角形的外角。 教学过程 一、引入新课 在我们生活中几乎随时可以看见三角形，它简单、有趣，也十分有用，三角形可以帮助我们更好地认识周围世界，可以帮助我们解决很多实际问题。 本章我们将学习三角形的基本性质。 二、新授 1.三角形的概念： (1)什么是三角形呢？ 三角形是由三条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形，这三条线段就是三角形的边。如图：AB、BC、AC是这个三角形的三边，两边的公共点叫三角形的顶点。(如点A)三角形约顶点用大写字母表示，整个三角形表示为△ABC. A(顶点) 边 B C (2)三角形的内角，外角的概念：每两条边所组成的角叫做三角形的内角，如△BAC. 每个三角形有几个内角？ 三角形中内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做三角形的外角，如下图中△ACD是△ABC的一个外角，它与内角△ACB相邻。 A 外角 B C D 与△ABC的内角△ACB相邻的外角有几个？它们之间有什么关系？ 练习：(1)下图中有几个三角形？并把它们表示出来。 A D B C (2)指出△ADC的三个内角、三条边。 学生回答后教师接着问：△ADC能写成△D吗？△ACD能写成△C吗？为什么？ (3)有人说CD是△ACD和△BCD的公共的边，对吗？AD是△ACD和△ABC的公共边，对吗？ (4)△BDC是△BCD的什么角？是△ACD的什么角？△BCD是△ACD的外角，对吗？ (5)请你画出与△BCD的内角△B相邻的外角。 2.三角形按角分类。 让学生观察以下三个三角形的内角，它们各有什么特点？并用量角器或三角板加以验证。 1 2 3
【北师大版2020中考数学专项复习】：特殊三角形
【2020中考数学专项复习】：特殊三角形 【考纲要求】 【高清课堂：等腰三角形与直角三角形考纲要求】 1．了解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的概念，会识别这三种图形；理解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定． 2. 能用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定解决简单问题． 3. 会运用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的知识解决有关问题． 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、等腰三角形 1.等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形. 2．性质： (1)具有三角形的一切性质； (2)两底角相等(等边对等角)； (3)顶角的平分线，底边中线，底边上的高互相重合(三线合一)； (4)等边三角形的各角都相等，且都等于60°． 要点诠释：等边三角形中高线，中线，角平分线三线合一，共有三条. 3．判定： (1)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)； (2)三个角都相等的三角形是等边三角形；
(3)有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形． 要点诠释： (1)腰、底、顶角、底角是等腰三角形特有的概念； (2)等边三角形是特殊的等腰三角形． 考点二、直角三角形 1.直角三角形：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形． 2．性质： (1)直角三角形中两锐角互余； (2)直角三角形中，30°锐角所对的直角边等于斜边的一半； (3)在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°； (4)勾股定理：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方； (5)勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形； (6)直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半. 要点诠释： （1）直角三角形中，S Rt△ABC=ch=ab，其中a、b为两直角边，c为斜边，h为斜边上的高； （2）圆内接三角形，当一条边为直径时，该三角形是直角三角形． 3．判定： (1)两内角互余的三角形是直角三角形； (2)一条边上的中线等于该边的一半，则这条边所对的角是直角，这个三角形是直角三角形； (3)如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形，第三边为斜边．【典型例题】 类型一、等腰三角形 1．六边形ABCDEF的每个内角都为120°,且AB=1，BC=9，CD=6，DE=8.求六边形ABCDEF的周长． 【思路点拨】考虑到每个内角为120°,则每个外角均为60°,可通过构造等边三角形来求边长及面积．
几种特殊的三角形-初升高数学衔接课程 (教师版含解析)
第17章 几种特殊的三角形 【知识衔接】 ————初中知识回顾———— 等腰三角形底边上三线(角平分线、中线、高线)合一，因而在等腰ABC ∆中，三角形的内心I 、重心G 、垂心H 必然在一条直线上．学-科网 正三角形三条边长相等，三个角相等，且四心(内心、重心、垂心、外心)合一，该点称为正三角形的中心． ————高中知识链接———— 等腰三角形、等边三角形均有“三线合一”、“四心合一”的性质 直角三角形中，斜边上的直线必为斜边的一半 在有030角的直角三角形中，0 30角所对的直角边必为斜边的一半 【经典题型】 初中经典题型 1、在ABC ∆中，3, 2.AB AC BC === 求：(1)ABC ∆的面积及AC 边上的高BE ； (2)ABC ∆的内切圆的半径r ； (3)ABC ∆的外接圆的半径R ． 解：(1)如图，作AD BC ⊥于D ． ,AB AC D =∴为BC 的中点， 2222=-=∴BD AB AD ,
2222221=⨯⨯=∴∆ABC S 又BE AC S ABC •=∆2 1,解得423BE =． (2)如图，I 为内心，则I 到三边的距离均为r ，连,,IA IB IC ， IAC IBC IAB ABC S S S S ∆∆∆∆++=， 即11122222 AB r BC r CA r =⋅+⋅+⋅， 解得22r = ． (3)ABC ∆是等腰三角形， ∴外心O 在AD 上，连BO ，则OBD R ∆t 中，,OD AD R =-222,OB BD OD =+ 222(22)1,R R ∴=-+解得92.8 R =
2、如图，在ABC ∆中，AB =AC ，P 为BC 上任意一点．求证：PC PB AB AP •-=22． 证明：过A 作BC AD ⊥于D ． 在ABD R ∆t 中，222AD AB BD ． 在APD R ∆t 中，2 22AP AD DP ． )()(22222DP BD DP BD AB DP BD AB AP -•+-=+-= DC BD BC AD AC AB =∴⊥=,, ． PC DP CD DP BD =-=-∴． PC PB AB AP •-=∴22． 3、已知等边ABC ∆和点P ，设点P 到三边AB ，AC ，BC 的距离分别为123,,h h h ，ABC ∆的高为h ，“若点P 在一边BC 上，此时30h ，可得结论：123h h h h ．” 解：(1)当点P 在ABC ∆内时， 法一：如图，过P 作''B C 分别交,,AB AM AC 于',','B M C ， 由题设知' AM PD PE ，而'AM AM PF ， 故PD PE PF AM ，即123h h h h ．
初二上册数学特殊三角形-等腰(整理)
等腰三角形知识 1. 等腰三角形的有关概念。首先要能根据边的长短识别和判断等腰三角形；其次，能够明确指出已知的等腰三角形的顶角、底角、腰和底边。 2. 等腰三角形的轴对称性。通过折纸操作认识探索等腰三角形的轴对称性。明确等腰三角形的对称轴是等腰三角形顶角平分线所在的直线（不是顶角平分线本身）。 3. 推导等腰三角形的性质。通过进一步实验、观察、交流等活动推导等腰三角形的性质，从而加深对轴对称变换的认识。 4. 掌握等腰三角形的下列性质：等腰三角形的两个底角相等；等腰三角形三线合一。 5. 会利用等腰三角形的性质进行简单的推理、判断、计算和作图。 重点内容有两个：一是等腰三角形的性质与识别方法；二是学会三角形中相等的角和相等的边的相互转化．难点是等腰三角形的识别方法和性质的区别． 1,有两条边相等的三角形叫做等腰三角形． 2,相等的两边叫腰，另一条边叫底边．如AB、AC叫腰，BC叫底边． 3,两腰所夹的角，如∠BAC叫做顶角，底边与腰的夹角∠ABC和∠ACB叫底角． 4,顶角是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形． 5,等腰三角形的两个底角相等（简写为“等边对等角”）． 6,等腰三角形顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高重合（简称“三线合一”）． 7,等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°． 8,在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．本章掌控小结： 1.__________________的三角形叫做等腰三角形。 2.等腰三角形是轴对称图形，顶角__________________是它的对称轴。等边三角形有 __________________条对称轴。 3.等腰三角形的两个__________________相等。等腰三角形的顶角平分线、__________________和__________________互相重合。 如果一个是三角形有__________________角相等，那么这个三角形是等腰三角形。 4.三边都相等的三角形叫做_________。____________三角形的内角都相等，且等于________度。 5.有一个角是直角的三角形叫做___________，记做_______。两条直角边_________的直角三角形叫做等腰直角三角形。 6.直角三角形的性质： （1）在直角三角形中，两个锐角__________。 （2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的___________。 （3）勾股定理：直角三角形______________的平方和等于___________的平方。如果用字母a，b，c分别表示两条直角边和斜边，那么有关系式__________________。 7.直角三角形的判定：（1）有两个角__________的三角形是直角三角形。 （2）如果三角形中两边的_______________等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。 8. ______________和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。 9.角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的_______________上。 10.主要方法和技能： （1）运用等腰三角形、直角三角形的性质，进行简单的推理。 （2）等腰三角形和直角三角形的判定。 （3）判定两个直角三角形全等。 （4）有关等腰三角形和直角三角形的尺规作图。
特殊三角形培优专项训练(解析版)
【期末复习】浙教版八年级上册提分专题：特殊三角形培优专项训练一．选择题 1．（等腰直角三角形“手拉手”模型）如图，点E在△DBC的边DB上，点A在△DBC内部，∠DAE＝∠BAC＝90°，AD＝AE，AB＝AC．给出下列结论： ①BD＝CE；②∠ABD+∠ECB＝45°；③BD⊥CE；④BE2＝2（AD2+AB2）﹣CD2．其中正确的是（） A．①②③④B．②④C．①②③D．①③④ 【分析】只要证明△DAB≌△EAC，利用全等三角形的性质即可一一判断． 【解答】解：∵∠DAE＝∠BAC＝90°， ∴∠DAB＝∠EAC， ∵AD＝AE，AB＝AC， ∴△DAB≌△EAC， ∴BD＝CE，∠ABD＝∠ECA，故①正确， ∴∠ABD+∠ECB＝∠ECA+∠ECB＝∠ACB＝45°，故②正确， ∵∠ECB+∠EBC＝∠ABD+∠ECB+∠ABC＝45°+45°＝90°， ∴∠CEB＝90°，即CE⊥BD，故③正确， ∴BE2＝BC2﹣EC2＝2AB2﹣（CD2﹣DE2）＝2AB2﹣CD2+2AD2＝2（AD2+AB2）﹣CD2．故④正确， 故选：A． 2．（共斜边的直角三角形＋勾股定理）如图，△ABC中，BC＝18，若BD⊥AC于D点，CE⊥AB于E点，F，G分别为BC、DE的中点，若ED＝10，则FG的长为（） A．2B．C．8D．9 【分析】连接EF、DF，根据直角三角形的性质得到EF＝BC＝9，得到FE＝FD，根据等腰三角形的性质得到FG⊥DE，GE＝GD＝DE＝5，根据勾股定理计算即可． 【解答】解：连接EF、DF， ∵BD⊥AC，F为BC的中点，
∴DF＝BC＝9， 同理，EF＝BC＝9， ∴FE＝FD，又G为DE的中点， ∴FG⊥DE，GE＝GD＝DE＝5， 由勾股定理得，FG＝＝2， 故选：A． 3．（直角三角形勾股定理与面积）如图，以Rt△ABC的三条边作三个正三角形，则S1、S2、S3、S4的关系为（） A．S1+S2+S3＝S4B．S1+S2＝S3+S4 C．S1+S3＝S2+S4D．不能确定 【分析】如图，设Rt△ABC的三条边AB＝c，AC＝b，BC＝a，根据△ACG，△BCH，△ABF是等边三角形，求得S1＝S△ACG﹣S5＝b2﹣S5，S3＝S△BCH﹣S6＝a2﹣S6，根据勾股定理得到c2＝a2+b2，于是得到结论．【解答】解：如图，设Rt△ABC的三条边AB＝c，AC＝b，BC＝a， ∵△ACG，△BCH，△ABF是等边三角形， ∴S1＝S△ACG﹣S5＝b2﹣S5，S3＝S△BCH﹣S6＝a2﹣S6， ∴S1+S3＝（a2+b2）﹣S5﹣S6， ∵S2+S4＝S△ABF﹣S5﹣S6＝c2﹣S5﹣S6， ∵c2＝a2+b2， ∴S1+S3＝S2+S4， 故选：C．
初升高数学衔接班教案(教师版)
第一章——前言 首先，恭喜同学们进入高中数学殿堂的学习，同时也祝贺大家在数学的学习上进入一个更高的层次。当然，随之而来的是学习内容的增多，学习方法的巨变，学习技巧的提高，高中数学对同学们的学习提出了更高的要求，主要体现在高中数学学习时“知识体系更严谨”、“考查方式更灵活”、“数学思想更重要”。 高中数学的知识会让同学们觉得更复杂、关联性更强，这就要求我们需要有“举一反三”、“化繁为简”、“知识迁移”的学习技巧。在后续的衔接课程中，我们将通过具体的例子去体会上述所讲的各类名词的具体含义。 下面简要列出高中阶段最重要的几类数学思想，请同学们在学习时，多加思考，每次学习时、每次做题时，都使用到了什么数学思想。 “数形结合思想”、“分类与整合思想”、“特殊与一般思想”、“函数与方程思想” 接下来，我们通过几类可以利用初中知识解决的题目来具体体会一下高中数学学习的魅力。 引例1：b kx y +=是什么？x k y =是什么？c bx ax y ++=2 又是什么？ 答案：对于b kx y += ? ? ? ??? ?????+=?≠?=?=?????+=?≠?=?=?可能 是一条直线，但有多种轴的直线是一条平行于从几何的角度看是一次函数的解析式是常数函数的解析式从代数的角度看b kx y k x b y k b kx y k b y k 0000 对于x k y = ???? ? ????????? ???=?≠?=?=?????? ? ??=?=?≠?=?=?能是双曲线，但有两种可轴的直线是一条重合于从几何的角度看此分式无意义是反比例函数的解析式是常数函数的解析式从代数的角度看x k y k x y k x x k y k y k 0000000 c bx ax y ++=2同理，限于篇幅不在此继续分析。 引例1体现了数形结合、分类与整合、特殊与一般的数学思想，体现了举一反三的学习技巧。
2020年八年级数学下册解法技巧：特殊三角形常见辅助线作法(北师大含解析)
八下数学思维解法技巧培优小专题 专题1 特殊三角形常见辅助线作法 题型一利用等腰三角形的“三线合一”作辅助线 【典例1】（2019?湖里区校级期中）如图，△ABC中，AC＝2AB，AD平分∠BAC交BC于D，E是AD上一点，且EA＝EC，求证：EB⊥AB． 【点拨】作EF⊥AC于F，再根据等腰三角形的性质可得AF=1 2AC，再证明△ABE≌△AFE可得∠ABE ＝∠AFE＝90°． 【解析】证明：作EF⊥AC于F， ∵EA＝EC， ∴AF＝FC=1 2AC， ∵AC＝2AB， ∴AF＝AB， ∵AD平分∠BAC交BC于D，∴∠BAD＝∠CAD， 在△BAE和△F AE中{AB=AF ∠BAD=∠CAD AE=AE ， ∴△ABE≌△AFE（SAS），∴∠ABE＝∠AFE＝90°．∴EB⊥AB．
【典例2】（2019?武隆县校级期中）如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，且AD⊥BC于D．求证：CD＝AB+BD． 【点拨】在DC上取DE＝BD，然后根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质可得AB ＝AE，根据等边对等角的性质可得∠B＝∠AEB，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠C＝∠CAE，再根据等角对等边的性质求出AE＝CE，然后即可得证． 【解析】证明：如图，在DC上取DE＝BD， ∵AD⊥BC， ∴AB＝AE， ∴∠B＝∠AEB， 在△ACE中，∠AEB＝∠C+∠CAE， 又∵∠B＝2∠C， ∴2∠C＝∠C+∠CAE， ∴∠C＝∠CAE， ∴AE＝CE， ∴CD＝CE+DE＝AB+BD． 题型二巧用特殊角构造含30°的直角三角形 【典例3】（2019?官渡区期末）如图，四边形ABCD中，AD＝4，BC＝1，∠A＝30°，∠B＝90°，∠ADC ＝120°，求CD的长．
初中数学特殊三角形(等腰三角形、等边三角形、30°直角三角形)常考题及答案解析
特殊三角形（等腰三角形、等边三角形、30°直角三角形） 常考题及答案解析 1．（2020秋•喀什地区期末）下列说法错误的是（） A．等腰三角形的两个底角相等 B．等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合 C．三角形两边的垂直平分线的交点到三个顶点距离相等 D．等腰三角形顶角的外角是其底角的2倍 2．（2020秋•顺城区期末）已知等腰三角形的周长为17cm，一边长为4cm，则它的腰长为（） A．4cm B．6.5cm C．6.5cm或9cm D．4cm或6.5cm 3．（2017•海南）已知△ABC的三边长分别为4、4、6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（）条． A．3B．4C．5D．6 4．（2019•白银）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰△ABC中，∠A＝80°，则它的特征值k＝．5．（2013•凉山州）已知实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是． 6．（2020秋•五常市期末）如图，点D、E在△ABC的边BC上，AD＝AE，BD＝CE．（1）求证：AB＝AC； （2）若∠BAC＝108°，∠DAE＝36°，直接写出图中除△ABC与△ADE外所有的等腰三角形． 7．（2019秋•龙岩期末）如图，AB＝AC，AE＝EC＝CD，∠A＝60°，若EF＝2，则DF＝（）
A．3B．4C．5D．6 8．（2006•烟台）如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD沿CD折叠，B点恰好落在AB的中点E处，则∠A等于（） A．25°B．30°C．45°D．60°9．（2020秋•慈溪市期中）已知：如图，AB＝BC，∠A＝∠C．求证：AD＝CD． 10．（2014秋•青山区期中）已知：如图，在等边三角形ABC的三边上，分别取点D，E，F，使AD＝BE＝CF． 求证：△DEF是等边三角形． 11．（2018秋•六合区期中）如图，△ABC为等边三角形，BD平分∠ABC交AC于点D，DE ∥BC交AB于点E． （1）求证：△ADE是等边三角形．
中考数学专项训练特殊三角形(含解析)
特殊三角形 一、选择题 1．如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是AC边上的高，则∠DBC的度数是（） A．18° B．24° C．30° D．36° 2．如图，在△ABC中，∠CAB=70°．在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠BAB′=（） A．30° B．35° C．40° D．50° 3．等腰三角形的一条边长为6，另一边长为13，则它的周长为（） A．25 B．25或32 C．32 D．19 4．如图所示，矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，现将其沿EF对折，使得点C与点A重合，则AF长为（） A． cm B． cm C． cm D．8cm 5．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，D是AB的中点，点E、F分别在AC、BC边上运动（点E不与点A、C重合），且保持AE=CF，连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，有下列结论： ①△DFE是等腰直角三角形； ②四边形CEDF不可能为正方形；
③四边形CEDF的面积随点E位置的改变而发生变化； ④点C到线段EF的最大距离为． 其中正确结论的个数是（） A．1个B．2个C．3个D．4个 二、填空题 6．若等腰三角形的一个角为50°，则它的顶角为． 7．若直角三角形的两直角边长为a、b，且满足，则该直角三角形的斜边长为． 8．已知△ABC为等边三角形，BD为中线，延长BC至E，使CE=CD=1，连接DE，则DE= ． 9．如图，OP=1，过P作PP1⊥OP，得OP1=；再过P1作P1P2⊥OP1且P1P2=1，得OP2=；又过P2作P2P3⊥OP2且P2P3=1，得OP3=2；…依此法继续作下去，得OP2012= ． 10．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=50°．∠BAC的平分线与AB的中垂线交于点O，点C沿EF折叠后与点O重合，则∠CEF的度数是．
专题02 全等三角形(专题详解)(解析版)
专题02 全等三角形专题详解 专题02 全等三角形专题详解 (1) 12.1 全等三角形 (2) 知识框架 (2) 一、基础知识点 (2) 知识点1 全等形的概念及性质 (2) 知识点2 全等形的定义和表示方法 (2) 知识点3 全等三角形的性质与拓展 (2) 知识点4 全等变换的保形性 (2) 12.2三角形全等的判定 (3) 知识框架 (3) 一、基础知识点 (3) 知识点1 全等三角形判定条件 (3) 二、典型题型 (4) 题型1 全等三角形的判定 (4) 三、添加辅助线方法 (5) 方法1 关于中点的辅助线 (5) 方法2 作垂线构造全等求点的坐标 (12) 方法3 截长补短法（往往需证2次全等） (14) 12.3角平分线的性质 (17) 知识框架 (17) 一、基础知识点 (17) 知识点1 角平分线的性质 (17) 知识点2 角平分线的判定 (17) 知识点3 三角形的内心和旁心 (17) 二、典型题型 (17) 题型1 角平分线的性质和定义的应用 (17) 题型2 三角形内心的应用 (18) 三、添加辅助线方法 (20) 方法1 角平分线上的点向两边作垂线 (20) 方法2 过边上的点向两边作垂线 (22) 方法3 过平分线上的点作一条边平行线构造等腰三角形 (24) 方法4 利用角平分线的性质，在角两边截长补短 (25)
12.1 全等三角形 知识框架 一、基础知识点 知识点1 全等形的概念及性质 1）全等形：能够完全重合的两个图形 2）全等形的性质：①形状相同；②大小相同 注：①全等图形与其所在的位置无关（只要通过平移、旋转、翻折后能够使两个图形完成重合即可）。对称图形要求更苛刻些。 ②因两图形完全相等，故图形所有对应条件都相同（例：周长、面积、对应角角 度等皆相等） 知识点2 全等形的定义和表示方法 1）全等三角形：能够完全重合的三角形（长得完全一样的三角形） 2）表示方法：①△ABC≌△DEF（读作：三角形ABC全等于三角形DEF） ②顶点需要一一对应（即长得一样的在描述中至于同等地位） ③从书写中，我们根据一一对应的关系，可得： a.点A与点D为对应顶点，点B与点E为对应顶点，点C与点F为对应顶点； b.∠A与∠D为对应角，∠B与∠E为对应角，∠C与∠F为对应角； c.AB与DE为对应边，AC与DF为对应边，BC与EF为对应边。 3）找对应角对应边的方法 ①图形特征法 ②字母顺序确定法 知识点3 全等三角形的性质与拓展 1）全等三角形，即任何地方都完全相同的三角形 a.对应边、对应角相等
初中数学_抛物线中的特殊三角形问题专题复习教学设计学情分析教材分析课后反思.docx
抛物线中特殊三角形的存在性问题专题复习 一、学情分析： 近几年来中考的25题均与图形的动态变化有关，尤其是以二次函数为载体, 然后在二次函数中出现，是否存在等腰三角形、是否存在直角三角形等作为考察对象。二次函数与特殊三角形的存在性问题主要分为两类，一类是静态的特殊三角形的存在性问题，一类是动态的特殊三角形的存在性问题。在实际授课中发现静态的特殊三角形的存在性问题难度相对较小，可根据抛物线的对称性以及三角形的特点为切入点来解决，而动态的特殊三角形的存在性问题对学生来说难度较大，因此在教学中我们要找到合适的解题方法，降低难度，突破难点难度。 二、学习目标 1.通过二次函数的图象回顾抛物线的基础知识并能表示出图象中线段的长度，进而探究得到特殊三角形的条件。 2.让学生能够从对称轴和抛物线上分别引入一个动点两个维度体会分类讨论和数形结合的思想方法。 三、教学重点 培养学生的问题意识并根据题意分析出动点在动的过程一些不变的量以及不变的关系四、教学难点 熟练掌握知识之间的关联与转化，提升思维的灵活性与深刻性。 五、教学设计： 1、知识回顾
设计意图：通过开放性的问题，让学生有广阔的思维空间和充足的思考方式，并让学生的思维得到充分展示提高学生的参与度。通过图象学生可以求出点的坐标, 水平线段的长度，斜线段的长度及用待定系数法求函数表达式，体现了数学的数形结合思想，初步体现思维深刻的课堂，预热学生的思维，为后面的探究性学习做好有效的思维铺垫。 2：探究新知一： 已知抛物线y= - x2 +2x+3的图像如图所示, 点P是抛物线对称轴上一动点，连结AC、AP、CP,你能提出一个与AACP形状有关的探究性的问题吗？ 设计意图：当点P是抛物线对称轴上任意一动点时，学生是否能类比第一个环节当点P 为抛物线的顶点时用勾股定理分别求出AACP三边的长的方法把AACP的三边表示出来，注重知识之间的关联与转化，从而培养学生类比的学习方法。然后根据三边的长分析出动点在动的过程一些不变的量以及不变的关系，只要能清楚找到不变的关系，利用它可列出相应的式子，便能将问题解决。此题可通过三角函数，直线交点两种方法来解
三角形的“四心讲解”-初升高数学衔接(含解析)
三角形的“重心”、“外心”、“内心”、“垂心”讲解 【知识衔接】 ————初中知识回顾———— 1、重心：三角形的三条中线交点． 2、外心：是三角形三边中垂线的交点． 3、内心：是三角形的三内角平分线的交点． 4、垂心：是三角形三条高的交点． ————高中知识链接———— 1、重心：它到顶点的距离等于它到对边中点的距离的2倍，重心和三顶点的连线将△ABC的面积三等分，重心一定在三角形内部． 2、外心：它到各顶点的距离相等，锐角三角形的外心在三角形内，直角三角形的外心是斜边的中点，钝角三角形的外心在三角形外．学-科网 3、内心：它到三边的距离相等，内心一定在三角形内． 4、垂心：垂心和三角形的三个顶点，三条高的垂足组成六组四点共圆，锐角三角形的垂心在三角形内，直角三角形的垂心为直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形外． 【经典题型】 初中经典题型 例1：求证三角形的三条中线交于一点，且被该交点分成的两段长度之比为2：1． 三边BC、CA、AB的中点， 已知：D、E、F分别为ABC 求证：AD、BE、CF交于一点，且都被该点分成2：1． 证明：连结DE，设AD、BE交于点G，
D 、 E 分别为BC 、AE 的中点，则DE //AB ，且12 DE AB ， GDE ∆∴∽GAB ∆，且相似比为1：2， GE BG GD AG 2,2==∴． 设AD 、CF 交于点'G ，同理可得，' 2','2'.AG G D CG G F 则G 与'G 重合， ∴AD 、BE 、CF 交于一点，且都被该点分成2:1． 例2：已知ABC ∆的三边长分别为,,BC a AC b AB c ，I 为ABC ∆的内心，且I 在ABC ∆的边BC AC AB 、、上的射影分别为D E F 、、，求证：2b c a AE AF ． 证明：作ABC ∆的内切圆，则D E F 、、分别为内切圆在三边上的切点， 例3：已知：O 为ABC ∆的重心和内心，求证：ABC ∆为等边三角形． 证明：如图，
学而思初二数学秋季班第4讲.全等三角形的经典模型(二).提高班.教师版
1 初二秋季·第4讲·提高班·教师版 等等…腰 漫画释义 满分晋级阶梯 4 全等三角形的 经典模型（二） 三角形11级 特殊三角形之直角三角形 三角形10级 勾股定理与逆定理 三角形9级 全等三角形的经典模型（二）
2 初二秋季·第4讲·提高班·教师版 O F E C B A A F C O B E D H A B C D O E O G F E C B A “手拉手”数学模型： ⑴ ⑵ ⑶ 【引例】 如图，等边三角形ABE 与等边三角形AFC 共点于A ，连接BF 、CE ， 求证：BF =CE 并求出 EOB 的度数. 知识互联网 思路导航 例题精讲 题型一：“手拉手”模型
3 初二秋季·第4讲·提高班·教师版 N M C B A B N C 【解析】 ∵△ABE 、△AFC 是等边三角形 ∴AE =AB ，AC =AF ，60∠=∠=︒EAB FAC ∴∠+∠=∠+∠EAB BAC FAC BAC 即∠=∠EAC BAF ∴AEC ABF △≌△ ∴BF =EC ∠=∠AEC ABF 又∵AGE BGO ∠=∠ ∴60∠=∠=︒BOE EAB ∴60∠=︒EOB 【例1】 如图，正方形BAFE 与正方形ACGD 共点于A ，连接BD 、CF ，求证：BD =CF 并求 出∠DOH 的度数. 【解析】 同引例，先证明ABD AFC △≌△ ∴BD =FC ，∠=∠BDA FCA ∵∠=∠DHO CHA ∴90∠=∠=︒DOH CAD 【例2】 如图，已知点C 为线段AB 上一点，ACM △、BCN △是等边三角形． ⑴ 求证：AN BM =. ⑵ 将ACM △绕点C 按逆时针方向旋转180°，使点A 落在CB 上，请你对照原题图在图中画出符合要求的图形； ⑶ 在⑵得到的图形中，结论“AN BM =”是否还成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由； ⑷ 在⑵所得的图形中，设MA 的延长线交BN 于D ，试判断ABD △的形状，并证明你的结论． 【分析】 这是一个 固 定后运动变化的探索题，且在一定的条件下，探究原结论的存在性（不变性）； 需要画图分析、判断、猜想、推理论证． 【解析】 ⑴ ∵ACM △、BCN △是等边三角形 ∴AC CM =，BC CN = 60ACM BCN ∠=∠=° 典题精练 O H G D F E C B A
中考数学专题特训第十九讲：解直角三角形(含详细参考答案)
2013年中考数学专题复习第十九讲解直角三角形 【基础知识回顾】 一、锐角三角函数定义： 在RE△ABC中，∠C=900, ∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，则∠A的正弦可表示为：sinA= ，∠A的余弦可表示为CBA= ∠A的正切：tanA= ，它们弦称为∠A的锐角三角函数 【赵老师提醒：1、sinA、∠cosA、tanA表示的是一个整体，是两条线段的比，没有，这些比值只与有关，与直角三角形的无关 2、取值范围
2020年中考数学二轮专题——特殊三角形(名校资料——含详解答案)
2020年中考数学二轮专题——特殊三角形 基础过关 1. (2018滨州)在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为( ) A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 2. 如图，在△ABC 中，AD ＝DB ＝BC ，若∠C ＝54°，则∠A 的度数为( ) A. 27° B. 30° C. 36° D. 45° 第2题图 第3题图 3. 如图，在△ABC 中，∠B ＝30°，BC 的垂直平分线交AB 于点E ，垂足为D ，如果CE ＝8，则ED 的长为( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 4. (2019抚顺)若一个等腰三角形的两边长分别为2，4，则第三边的长为( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 2或4 5. (2019天水)如图，等边△OAB 的边长为2，则点B 的坐标为( ) A. (1，1) B. (1，3) C. (3，1) D. (3，3) 第5题图 第6题图 6. (2019宁夏)如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，点D 和E 分别在AB 和AC 上，且AD ＝AE .连接DE ，过点A 的直线GH 与DE 平行，若∠C ＝40°，则∠GAD 的度数为( ) A. 40° B. 45° C. 55° D. 70° 7. (2019张家界)如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，DC ＝13AD ，BD 平分∠ABC ，则点D 到AB 的 距离等于( ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
第7题图第8题图 8. 如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝10，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，BD的延长线交AC于点F，E为BC的中点，则DE的长为() A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 9. (2019郴州)我国古代数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全．等．的三角形，如图所示，已知∠A＝90°，BD＝4，CF＝6，则正方形ADOF的边长是() A. 2 B. 2 C. 3 D. 4 第9题图第10题图 10. (2017成都黑白卷)如图，在等边△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE⊥BC于点E，且CE＝1.5，则AB的长为() A. 3 B. 4.5 C. 6 D. 7.5 11. 如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线．若在边AB上截取BE＝BC，连接DE，则图中等腰三角形共有() A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 第11题图第12题图 12. 如图，在△ABC中，点M是AC边上一个动点．若AB＝AC＝10，BC＝12，则BM的最小值为() A. 8 B. 9.6 C. 10 D. 45 13. 如图是由8个全等的小矩形组成的大正方形，线段AB的端点都在小矩形的顶点上，如果点P是某个小矩形的顶点，连接P A, PB，那么使△ABP为等腰直角三角形的点P的个数是() A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 第13题图第14题图 14.如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，该三角形的面积为15，点O是边BC上任意一点，则点O到AB，AC边的距离之和等于()
高考数学复习专题-三角函数和解三角形(经典教案)
三角函数和解三角形 【知识导读】 【方法点拨】 三角函数是一种重要的初等函数，它与数学的其它部分如解析几何、立体几何及向量等有着广泛的联系，同时它也提供了一种解决数学问题的重要方法——“三角法”．这一部分的内容，具有以下几个特点： 1．公式繁杂.公式虽多，但公式间的联系非常密切，规律性强.弄清公式间的相互联系和推导体系，是记住这些公式的关键. 2．思想丰富.化归、数形结合、分类讨论和函数与方程的思想贯穿于本单元的始终，类比的思维方法在本单元中也得到充分的应用.如将任意角的三角函数值的问题化归为锐角的三角函数的问题，将不同名的三角函数问题化成同名的三角函数的问题，将不同角的三角函数问题化成同角的三角函数问题等. 3．变换灵活.有角的变换、公式的变换、三角函数名称的变换、三角函数次数的变换、三角函数表达形式的变换及一些常量的变换等，并且有的变换技巧性较强. 4．应用广泛.三角函数与数学中的其它知识的结合点非常多，它是解决立体几何、解析几何及向量问题的重要工具，并且这部分知识在今后的学习和研究中起着十分重要的作用，比如在物理学、天文学、测量学及其它各门科学技术都有广泛的应用. 第1课三角函数的概念 【考点导读】
1． 理解任意角和弧度的概念，能正确进行弧度与角度的换算． 角的概念推广后，有正角、负角和零角；与α终边相同的角连同角α本身，可构成一个集合 {} Z k k S ∈⋅+==,360 αββ；把长度等于半径的圆弧所对的圆心角定义为1弧度的角，熟练掌握角 度与弧度的互换，能运用弧长公式r l α= 及扇形的面积公式S ＝lr 2 1（l 为弧长）解决问题. 2． 理解任意角的正弦、余弦、正切的定义. 角的概念推广以后，以角的顶点为坐标原点，角的始边为x 轴的正半轴，建立直角坐标系，在角的 终边上任取一点(,)P x y （不同于坐标原点），设OP r =（0r =>） ，则α的三个三角函数值定义为：sin ,cos ,tan y x y r r x ααα= ==． 从定义中不难得出六个三角函数的定义域：正弦函数、余弦函数的定义域为R ；正切函数的定义域为{|,,}2 R k k Z π αααπ∈≠+ ∈． 3． 掌握判断三角函数值的符号的规律，熟记特殊角的三角函数值． 由三角函数的定义不难得出三个三角函数值的符号，可以简记为：一正（第一象限内全为正值），二正弦（第二象限内只有正弦值为正），三切（第三象限只有正切值为正），四余弦（第四象限内只有余弦值为正）．另外，熟记0、 6π、4π、3π、2 π 的三角函数值，对快速、准确地运算很有好处. 4． 掌握正弦线、余弦线、正切线的概念． 在平面直角坐标系中，正确地画出一个角的正弦线、余弦线和正切线，并能运用正弦线、余弦线和正切线理解三角函数的性质、解决三角不等式等问题． 基础自测 1． 885-化成2(02,)k k Z πααπ+≤≤∈的形式是 ． 2．已知α为第三象限角，则 2 α 所在的象限是 ． 3．已知角α的终边过点(5,12)P -，则cos α= ， tan α= ． 4． tan(3)sin 5 cos8 -的符号为 ． 5．已知角θ的终边上一点(,1)P a -（0≠a ），且a -=θtan ，求θsin ，θcos 的值． 【范例解析】 例1.（1）已知角α的终边经过一点(4,3)(0)P a a a -≠，求2sin cos αα+的值； （2）已知角α的终边在一条直线y =上，求sin α，tan α的值．
中考数学专题特训 解直角三角形(含详细参考答案)
中考数学专题复习解直角三角形 【基础知识回顾】 一、锐角三角函数定义： 在RE△ABC中，∠C=900, ∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，则∠A的正弦可表示为：sinA= ，∠A的余弦可表示为CBA= ∠A的正切：tanA= ，它们弦称为∠A的锐角三角函数 【提醒：1、sinA、∠cosA、tanA表示的是一个整体，是两条线段的比，没有，这些比值只与有关，与直角三角形的无关 2、取值范围
sinB cosB tanB 【提醒：解直角三角形中已知的两个元素应至少有一个是 当没有直角三角形时应注意构造直角三角形，再利用相应的边角关系解决】 3、解直角三角形应用中的有关概念 ⑴仰角和俯角：如图：在用上标上仰角和俯角 ⑵坡度坡角：如图： 斜坡AB的垂直度H和水平宽度L的比叫做坡度，用i表示，即i=坡面与水平面得 夹角为用字母α表示，则i=h l = ⑶方位角：是指南北方向线与目标方向所成的小于900的水平角 如图：OA表示OB表示 OC表示（也可称西南方向） 3、利用解直角三角形知识解决实际问题的一般步骤： ⑴把实际问题抓化为数字问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题） ⑵根据条件特点选取合适的锐角三角函数去解直角三角形 ⑶解数学问题答案，从而得到实际问题的答案 【提醒：在解直角三角形实际应用中，先构造符合题意的三角形，解题的关键是弄清在哪个直角三角形中用多少度角的哪种锐角三角函数解决】 【重点考点例析】 考点一：锐角三角函数的概念 例1 （2012•内江）如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（） A．1 2 B． 5 5 C． 10 10 D． 25 5 思路分析：利用网格构造直角三角形，根据锐角三角函数的定义解答．解：如图：连接CD交AB于O， 根据网格的特点，CD⊥AB，