习题精选精讲圆标准方程
已知圆心),(b a C 和半径r ,即得圆的标准方程222
)()(r b y a x =-+-;已知圆的标准方程222)()(r b y a x =-+-,即得圆
心),(b a C 和半径r ,进而可解得与圆有关的任何问题.
一、求圆的方程
例1 (06重庆卷文) 以点)1,2(-为圆心且与直线0543=+-y x 相切的圆的方程为( )
(A)3)1()2(22
=++-y x (B)3)1()2(22=-++y x (C)9)1()2(22=++-y x (D)9)1()2(2
2=-++y x
解 已知圆心为)1,2(-,且由题意知线心距等于圆半径,即2
243546+++=d r ==3,∴所求的圆方程为9)1()2(2
2=++-y x ,
故选(C).
点评:一般先求得圆心和半径,再代入圆的标准方程222
)()(r b y a x =-+-即得圆的方程.
二、位置关系问题
例2 (06安徽卷文) 直线1=+y x 与圆0222=-+ay y x )0(>a 没有公共点,则a 的取值范围是( )
(A))12,0(- (B))12,12(+-
(C))12,12(+--
(D))12,0(+
解 化为标准方程2
22)(a a y x =-+,即得圆心),0(a C 和半径a r =.
∵直线1=+y x 与已知圆没有公共点,∴线心距a r a d =>-=2
1
,平方去分母得22212a a a >+-,解得
1212-<<--a ,注意到0>a ,∴120-< 点评:一般通过比较线心距d 与圆半径r 的大小来处理直线与圆的位置关系:?>r d 线圆相离;?=r d 线圆相切;? 圆相交. 三、切线问题 例3 (06重庆卷理) 过坐标原点且与圆02 5 2422 =+ +-+y x y x 相切的直线方程为( ) (A) x y 3-=或x y 31= (B)x y 3=或x y 31-= (C)x y 3-=或x y 31-= (D)x y 3=或x y 3 1 = 解 化为标准方程25)1()2(2 2=++-y x ,即得圆心)1,2(-C 和半径2 5=r . 设过坐标原点的切线方程为kx y =,即0=-y kx ,∴线心距25 1 122==++=r k k d ,平方去分母得0)3)(13(=+-k k ,解得3-=k 或31,∴所求的切线方程为x y 3-=或x y 3 1 =,故选(A). 点评:一般通过线心距d 与圆半径r 相等和待定系数法,或切线垂直于经过切点的半径来处理切线问题. 四、弦长问题 例4 (06天津卷理) 设直线03=+- y ax 与圆4)2()1(22=-+-y x 相交于B A 、两点,且弦AB 的长为32,则=a . 解 由已知圆4)2()1(2 2=-+-y x ,即得圆心)2,1(C 和半径2=r . ∵线心距112++=a a d ,且222)2(r AB d =+,∴2 2222)3()1 1(=+++a a ,即1)1(22+=+a a ,解得0=a . 点评:一般在线心距d 、弦长AB 的一半和圆半径r 所组成的直角三角形中处理弦长问题:222 )2 (r AB d =+. 五、夹角问题 例5 (06全国卷一文) 从圆012222 =+-+-y y x x 外一点)2,3(P 向这个圆作两条切线,则两切线夹角的余弦值为( ) (A) 2 1 (B)53 (C)2 3 (D) 0 解 已知圆化为1)1()1(2 2=-+-y x ,即得圆心)1,1(C 和半径1=r . 设由 )2,3(P 向这个圆作的两条切线的夹角为θ ,则在切线长、半径 r 和 PC 构成的直角三角形中, 5 22 cos = θ ,∴ 5 3 12 cos 2cos 2 = -=θ θ,故选(B). 点评:处理两切线夹角θ问题的方法是:先在切线长、半径r 和PC 所构成的直角三角形中求得 2 θ 的三角函数值,再用二倍角公式解决夹角θ问题. 六、圆心角问题 例6 (06全国卷二) 过点)2,1(的直线l 将圆4)2(22=+-y x 分成两段弧,当劣弧所对的圆心角最小时,直线l 的斜率=k . 解 由已知圆4)2(2 2=+-y x ,即得圆心)0,2(C 和半径2=r . 设)2, 1(P ,则2-=PC k ;∵⊥PC 直线l 时弦最短,从而劣弧所对的圆心角最小,∴直线l 的斜率2 21= - =PC k k . 点评:一般利用圆心角及其所对的弧或弦的关系处理圆心角问题:在同圆中,若圆心角最小则其所对的弧长与弦长也最短,若弧长与弦长最短则所对的圆心角也最小. 七、最值问题 例7 (06湖南卷文) 圆0104422 =---+y x y x 上的点到直线14-+y x 0=的最大距离与最小距离的差是( ) (A) 30 (B) 18 (C)26 (D)25 解 已知圆化为18)2()2(2 2=-+-y x ,即得圆心)2,2(C 和半径23=r . 设线心距为d ,则圆上的点到直线014=-+y x 的最大距离为r d +,最小距离为r d -,∴262)()(==--+r r d r d ,故 选(C). 点评:圆上一点到某直线距离的最值问题一般转化为线心距d 与圆半径r 的关系解决:圆上的点到该直线的最大距离为r d +,最小距离 为r d -. 八、综合问题 例8 (06湖南卷理) 若圆0104422 =---+y x y x 上至少有三个不同的点到直线0:=+by ax l 的距离为22,则直线l 的倾斜 角的取值范围是( ) (A)]4,12[ π π (B)]125,12[ππ (C)]3,6[ππ (D)]2 ,0[π 解 已知圆化为18)2()2(2 2=-+-y x ,即得圆心)2,2(C 和半径23=r . ∵圆上至少有三个不同的点到直线0:=+by ax l 的距离为22,∴222222 2=-≤++= r b a b a d ,即0422≤++ b ab a , 由直线l 的斜率b a k -=代入得0142 ≤+-k k ,解得3232+≤≤-k ,又3212tan -=π,32125tan +=π,∴直线l 的倾斜角的取值范围是]12 5,12[ π π,故选(B). 点评:处理与圆有关的任何问题总是先通过圆的标准方程,进而以“圆心半径线心距”的七字歌得到正确而迅速地解决. 圆的方程 1. 确定圆方程需要有三个互相独立的条件.圆的方程有两种形式,要注意各种形式的圆方程的适用范围. (1) 圆的标准方程:(x -a)2+(y -b)2=r 2,其中(a ,b)是圆心坐标,r 是圆的半径; 2 22 2. 直线与圆的位置关系的判定方法. (1) 法一:直线:Ax +By +C =0;圆:x 2+y 2+Dx +Ey +F =0. 消元???=++++=++002 2F Ey Dx y x C By Ax 一元二次方程?? ?????=??>???→?相离 相切相交 判别式 000 (2) 法二:直线:Ax +By +C =0;圆:(x -a)2+(y -b)2=r 2,圆心(a ,b)到直线的距离为d = ?? ? ???>?=?<→+++相离相切相交 r d r d r d B A C Bb Aa 2 2. 3. 两圆的位置关系的判定方法. 设两圆圆心分别为O 1、 O 2,半径分别为r 1、 r 2, |O 1O 2|为圆心距,则两圆位置关系如下: |O 1O 2|>r 1+r 2?两圆外离; |O 1O 2|=r 1+r 2?两圆外切; |r 1-r 2|<|O 1O 2|<r 1+r 2?两圆相交; |O 1O 2|=|r 1-r 2|?两圆内切; 0<|O 1O 2|<|r 1-r 2|?两圆内含. ●点击双基 1.方程x 2+y 2-2(t +3)x +2(1-4t 2)y +16t 4+9=0(t ∈R )表示圆方程,则t 的取值范围是 A.-1 71 B.-1 1 1 2.点P (5a +1,12a )在圆(x -1)2+y 2=1的内部,则a 的取值范围是 A.|a |<1 B.a < 131C.|a |<51 D .|a |<13 1 解析:点P 在圆(x -1)2+y 2=1内部?(5a +1-1)2+(12a )2<1? |a |< 13 1 .答案:D 3.已知圆的方程为(x -a )2+(y -b )2=r 2(r >0),下列结论错误的是 A.当a 2+b 2=r 2 时,圆必过原点B.当a =r 时,圆与y 轴相切 C.当b =r 时,圆与x 轴相切D .当b ●典例剖析 【例2】 一圆与y 轴相切,圆心在直线x -3y =0上,且直线y =x 截圆所得弦长为27,求此圆的方程. 剖析: 利用圆的性质:半弦、半径和弦心距构成的直角三角形. 解:因圆与y 轴相切,且圆心在直线x -3y =0上,故设圆方程为(x -3b )2+(y -b )2=9b 2. 又因为直线y =x 截圆得弦长为2 7,则有( 2 | 3|b b -)2+(7)2=9b 2,解得b =±1.故所求圆方程为 (x -3)2+(y -1)2=9或(x +3)2+(y +1)2=9. 夯实基础 1.方程x 2+y 2+Dx +Ey +F =0(D 2+E 2-4F >0)表示的曲线关于x +y =0成轴对称图形,则 A.D +E =0B. B.D +F =0 C.E +F =0 D. D +E +F =0 解析:曲线关于x +y =0成轴对称图形,即圆心在x +y =0上.答案:A 2.(2004年全国Ⅱ,8)在坐标平面内,与点A (1,2)距离为1,且与点B (3,1)距离为2的直线共有 A.1条 B.2条 C.3条 D .4条 解析:分别以A 、B 为圆心,以1、2为半径作圆,两圆的公切线有两条,即为所求.答案:B 3.(2005年黄冈市调研题)圆x 2+y 2+x -6y +3=0上两点P 、Q 关于直线kx -y +4=0对称,则k =____________. 解析:圆心(- 2 1 ,3)在直线上,代入kx -y +4=0,得k =2.答案:2 4.(2004年全国卷Ⅲ,16)设P 为圆x 2+y 2=1上的动点,则点P 到直线3x -4y -10=0的 距离的最小值为____________. 解析:圆心(0,0)到直线3x -4y -10=0的距离d = 5 | 10|-=2.再由d -r =2-1=1,知最小距离为1.答案:1 5.(2005年启东市调研题)设O 为坐标原点,曲线x 2+y 2+2x -6y +1=0上有两点P 、Q ,满足关于直线x +my +4=0对称,又满足OP 2=0.(1)求m 的值;(2)求直线PQ 的方程. 解:(1)曲线方程为(x +1)2+(y -3)2=9表示圆心为(-1,3),半径为3的圆. ∵点P 、Q 在圆上且关于直线x +my +4=0对称,∴圆心(-1,3)在直线上.代入得m =-1. (2)∵直线PQ 与直线y =x +4垂直, ∴设P (x 1,y 1)、Q (x 2,y 2),PQ 方程为y =-x +b .将直线y =-x +b 代入圆方程,得2x 2+2(4-b )x +b 2-6b +1=0. Δ=4(4-b )2 -4323(b 2 -6b +1)>0,得2-32 162+-b b . y 12y 2=b 2 -b (x 1+x 2)+x 12x 2=2 162+-b b +4b .∵OP 2=0,∴x 1x 2+y 1y 2=0,即b 2-6b +1+4b =0. 解得b =1∈(2-32,2+32).∴所求的直线方程为y =-x +1. 培养能力 7.已知实数x 、y 满足方程x 2+y 2-4x +1=0.求(1)x y 的最大值和最小值;(2)y -x 的最小值; (3)x 2+y 2的最大值和最小值. 解:(1)如图,方程x 2+y 2-4x +1=0表示以点(2,0)为圆心,以 3为半径的圆 . 设 x y =k ,即y =kx ,由圆心(2,0)到y =kx 的距离为半径时直线与圆相切,斜率取得最大、最小值.由1 |02|2+-k k =3, 解得k 2=3.所以k max =3,k min =-3. (2)设y -x =b ,则y =x +b ,仅当直线y =x +b 与圆切于第四象限时,纵轴截距b 取最小值.由点到直线的距离公式,得2 | 02|b +-= 3, 即b =-2± 6,故(y -x )min =-2-6. (3)x 2+y 2是圆上点与原点距离之平方,故连结OC ,与圆交于B 点,并延长交圆于C ′,则(x 2+y 2)max =|OC ′|=2+3,(x 2+y 2)min =|OB | =2-3. 8.(文)求过两点A (1,4)、B (3,2),且圆心在直线y =0上的圆的标准方程.并判断点M 1(2,3),M 2(2,4)与圆的位置关系. 解:根据圆的标准方程,只要求得圆心坐标和圆的半径即可. 因为圆过A 、B 两点,所以圆心在线段AB 的垂直平分线上.由k AB = 3 12 4--=-1,AB 的中点为(2,3), 故AB 的垂直平分线的方程为y -3=x -2,即x -y +1=0.又圆心在直线y =0上,因此圆心坐标是方程组 x y +1=0, y =0 半径r = 2 2)40()11(-+--= 20,所以得所求圆的标准方程为(x +1)2+y 2=20. 因为M 1到圆心C (-1,0)的距离为2 2)03()12(-++= 18,|M 1C | |M 2C |=2 2)04()12(-++= 25>20,所以M 2在圆C 外. 的解,即圆心坐标为(-1,0). “求经过两圆04622 =-++x y x 和028622=-++y y x 的交点,并且圆心在直线04=--y x 上的圆的方程。 ”同学们普遍使用下面两种方法求解: 方法—:先求出两已知圆交点()()2,6,3,121---A A ,再设圆心坐标为),4(b b B +,根据r B A B A ==21,可求出圆心坐标及半径 r ,于是可得所求圆方程。 方法二:先求出两已知圆交点()()2,6,3,121---A A ,再设所求圆的方程为:022=++++F Ey Dx y x ,其圆心为() 22,E D --,代入04=--y x ,再将A 1,A 2两点坐标代入所设圆的方程,可得三个关于D,E,F 的三元一次方程组,求出D,E,F 的值,这样便可得所求圆的方 程。 但是如果我们利用“过两已知圆交点的圆系”的方法求解,可以更加方便。 经过两已知圆的交点的圆系 设圆C 1与C 2的方程为: C 1: 011122=++++F y E x D y x C 2: 02222 2=++++F y E x D y x . 并且两圆相交于两点。引进一个参数λ,并令: 11122F y E x D y x +++++λ(22222F y E x D y x ++++)=0 ——① 其中λ≠-1。 引进两个参数1λ和2λ,并令: 1λ(11122F y E x D y x ++++)+2λ(22222F y E x D y x ++++)=0 ——② 其中1λ+2λ≠0 不论参数取何值,方程①与②中的x 2项和y 2项的系数相等,方程没有xy 项,而且两已知圆的两个交点的坐标适合方程①与②,所以①与②都是经过两已知圆的交点的圆系,但是①与②稍有不同: ⑴ 当λ=0时,方程①的曲线就是圆C 1;不论λ为何值,方程①的曲线都不会是圆C 2。所以方程①表示经过两已知圆的交点的一切圆,包括圆C 1在内,但不包括圆C 2。 ⑵ 当1λ=0时,方程②的曲线就是圆C 2;当2λ=0时,方程②的曲线就是圆 C 1。所以方程②表示经过两已知圆的交点的一切圆,包括圆C 1和圆C 2在内。 下面应用圆系来解本文前面的问题: 设经过已知两圆的交点的圆的方程为: 0)286(462222=-+++-++y y x x y x λ. (λ≠-1)则其圆心坐标为)13,13(λ λλ+-+- ∵ 所求圆的圆心在直线04=--y x 上∴ λ+- 13+λ λ+13-4=0, 解得λ=-7 ∴ 所求圆的方程为:4622-++x y x -70)286(22=-++y y x 即:03272 2=-+-+y x y x 下面再举两例说明圆系的应用 例1. 求经过两已知圆:06422 =--+x y x 和06422=--+y y x 的交点且圆心的横坐标为3的圆的方程。 解: 设经过两已知圆交点的圆系的方程为: 0)64(642222=--++--+y y x x y x λ (λ≠-1) 其圆心的横坐标为:λ+=12x ,令 λ+12=3 得 3 1 -=λ ∴ 所求圆的方程为:0)64(3 1642222=--+---+y y x x y x 即 06262 2=-+-+y x y x 例2. 设圆方程为: 016448)4012()42()4()4(22=--+++++++λλλλλy x y x 其中λ≠-4 求证: 不论λ为何值,所给圆必经过两个定点。 证明: 把所给方程写为: 0)48122()4110(4222 2=-++++-+++y x y x y x y x λ 这是经过以下两个圆的交点的圆系的方程: 48122041102 2 22=-+++=-+++y x y x y x y x 所以,不论λ为何值,所给圆必经过这两个圆的两个交点 直线与圆的位置关系 二、例题选析 例1:求由下列条件所决定圆422 =+y x 的圆的切线方程; (1)经过点)1,3( P ,(2)经过点)0,3(Q ,(3)斜率为1- 解:(1) 41)3(22=+ ∴点)1,3(P 在圆上,故所求切线方程为43=+y x 。 (2)4032 2>+ ∴点Q 在圆外。 设切线方程为)3(-=x k y 即03=--k y kx 直线与圆相切,∴圆心到直线的距离等于半径,∴ 2132=+-k k ,∴552 ±=k ∴所求切线方程为)3(55 2 -±=x y 。 (3)设圆的切线方程为b x y +-=,代入圆的方程。整理得,04222 2=-+-b bx x ,∵直线与圆相切 ∴0)4(24)2(22=-?--=? b b ,解得22±=b 。 ∴所求切线方程为022=±+y x 。 小结:利用圆心到切线的距离等于半径是解决圆的切线问题的常用方法。判别式法求切线方程适用圆锥曲线,当然对于圆也适用。 例2:已知点),(00y x P 在圆022 =++++F Ey Dx y x 的外部,过P 作圆的切线,切点为M ,求证 F Ey Dx y x PM ++++=002 020。 证明:如图7-53-1,圆心)2 ,2(E D C --, 半径 F E D CM 421 22-+= , 2020)2()2(E y D x CP +++= 由勾股定理得 2 2CM CP PM -= 4 4)2()2(222020F E D E y D x -+- +++= F Ey Dx y x ++++=002 020 小结:(1)此题的证明,给出了切线长公式,即将圆外一点的坐标代入圆的一般方程左端,再取算术平方根即为切线长。 (2)以 CP 为直径的圆与圆C 相交于M 、N 两点,则M 、N 为切点。若圆C 的方程为222 r y x =+,则两切点连线所在的直线方程为 200r y y x x =+。 例3:从圆外一点),(b a P 向圆222 r y x =+引割线,交该圆于A 、B 两点,求弦AB 的中点轨迹方程。 解:如图7-53-2,设AB 的中点),(y x M , 连接OM ,),(y x =,),(b y a x --=, ∵⊥,∴0=?, 即0),)(,(=--b y a x y x ∴0)()(=-+-b y y a x x ∴02 2=--+by ax y x ,)(r x r <<- 小结:此题用向量法求得轨迹方程,显得简明快捷。读者可用一般方法求轨迹方程,即设出割线方程,和圆联立方程组,由韦达定理建立中点坐标的参数方程,继而求得普通方程。还可用两直线垂直的充要条件,但必须讨论斜率存在与不存在两种情况。都比向量法要麻烦。 备选例题: 例4* :已知对于圆1)1(22 =-+y x 上任意一点),(y x P ,不等式0≥++m y x 恒成立,求实数m 的取值范围。 解一:作直线l : x y -=, 如图:7-53-3 向下平移与圆相切和相离时有 0≥++m y x 恒成立, 由点到直线的距离公式 得12012 1-≥??? ? ??>≥+m m m 。 轴对称 轴对称是解析几何的一个重要内容,利用它不仅可以解决点、线、曲线等关于直线的对称问题,而且还可以解决诸如最值、光线反射、角平分线等问题,并且常得到意想不到的效果。本文将以数例来谈谈它的应用。 例1、已知点A(4,1),B(0,4),在直线L :y=3x-1上找一点P ,求使|PA|-|PB|最大时P 的坐标。 分析:本题的常规方法是:(1)设点(2)列出相应的函数关系式(3)求解。 但本题若这样做,则就会走入死胡同。若巧妙利用轴对称的知识则可以轻松解决。 3=l ,得:3 1- =BC k , 解:如图,设点C(x,y)是点B 关于直线L 的对称点,则由D ?? ? ??27,23,其中D 为BC ∴直线BC 的方程为: 43 1 +-=x y ,将其与直线y=3x-1联中点,利用中点坐标公式,得C (3,3)。 显然:|PA|-|PB|=|PA|-|PC|≤|AC|,当且仅当A 、C 、P 三点|PA|-|PB|最大。可求得: 直线AC 方程为:092=-+y x ,与L 方程联立解得P 的坐2,5)。 例2、光线由点C (3,3)出发射到直线L :y=3x-1上,已知L 反射后经过点A(4,1), 求反射光线方程。 解:设点B 是点C 关于L 的对称点,则由光线反射的知 识易知:点B 在反射光线上,故 所求的反射光线的方程即为直线AB 所在的直线方程。 由例1知点C 关于L 的对称点为B (0,4), 故直线AB 的方程易求得为: 44 3 +- =x y 方程。 的分别方程为 2=-y x 和 例3、已知ΔABC 的顶点A 的坐标为(1,4),∠B、∠C 01=-+y x ,求BC 所在的直线方程。 分析:本题的常规思路是利用L1到L2题,但较繁,若能注意到角平分线的有关性质,则可简捷求解。 解:设∠B 、∠C 的平分线分别为L 1、L 2,则由角平分线的知识可知:AB 与CB 关于L 1对称,AC 与 BC 关于L2对称,故点A 关于L 1、L 2的对称点A1、A2都应该在直线BC 上,故BC 所在的直线方程即为A 1A 2所在的直线方程。 利用对称性可求得:)0,3(),5 8 ,519(21--A A (过程略) 于是BC 方程可求得为:012174=++y x 直线和圆 1.自点(-3,3)发出的光线L 射到x 轴上,被x 轴反射,其反射线所在直线与圆074422 =+--+y x y x 相切,求光线L 所在直 线方程. 解:已知圆的标准方程是(x -2)2+(y -2)2=1,它关于x 轴的对称圆的方程是(x -2)2+(y +2)2 =1。 设光线L 所在直线方程是:y -3=k(x +3)。 由题设知对称圆的圆心C ′(2,-2)到这条直线的距离等于1,即11|55|2 =++= k k d . 整理得,01225122 =++k k 解得3443-=-=k k 或.故所求的直线方程是)3(433+-=-x y ,或)3(3 4 3+-=-x y , 即3x +4y -3=0,或4x +3y +3=0. 2.已知圆C :044222 =-+-+y x y x ,是否存在斜率为1的直线L ,使以L 被圆C 截得的弦AB 为直径的圆过原点,若存在求出 直线L 的方程,若不存在说明理由.(14分) .解:圆C 化成标准方程为:222 3)2()1(=++-y x 假设存在以AB 为直径的圆M ,圆心M 的坐标为(a ,b ) 由于CM ⊥L ,∴k CM ?k L =-1 ∴k CM =11 2-=-+a b ,即a +b+1=0,得b= -a -1 ① 直线L 的方程为y -b=x --,即x -y+b -a =0 ∴ CM=2 3+-a b ∵以AB 为直径的圆M 过原点,∴OM MB MA == 2 )3(92 2 22+-- =-=a b CM CB MB , 222 b a OM += ∴222 2)3(9b a a b +=+-- ② 把①代入②得 0322=--a a ,∴12 3-==a a 或 当2 5,23-==b a 时此时直线L 的方程为:x -y -4=0;当0,1=-=b a 时此时直线L 的方程为:x -y+1=0 故这样的直线L 是存在的,方程为x -y -4=0 或x -y+1=0. 3.(12分)求过点P (6,-4)且被圆2 220x y += 截得长为 解:设弦所在的直线方程为4(6)y k x +=-,即640kx y k ---=① 则圆心(0,0 )到此直线的距离为d = 因为圆的半弦长、半径、弦心距恰好构成Rt △, 所以2220+=. 由此解得7 17 k =- 或1k =-. 代入①得切线方程776()401717 x y ---?--=或 6(1)40x y ---?--=,即717260x y ++=或20x y + -=. 4.(12分)已知圆C :()()25212 2=-+-y x 及直线()()47112:+=+++m y m x m l .()R m ∈ (1)证明:不论m 取什么实数,直线l 与圆C 恒相交; (2)求直线l 与圆C 所截得的弦长的最短长度及此时直线l 的方程. .解:(1)直线方程()()47112:+=+++m y m x m l ,可以改写为()0472=-++-+y x y x m ,所以直线必经过直线 04072=-+=-+y x y x 和的交点.由方程组???=-+=-+04,072y x y x 解得???==1 , 3y x 即两直线的交点为A )1,3( 又因为点()1,3A 与圆心()2,1C 的 距离55<=d ,所以该点在C 内,故不论m 取什么实数,直线l 与圆C 恒相交. (2)连接AC ,过A 作AC 的垂线,此时的直线与圆C 相交于B 、D .BD 为直线被圆所截得的最短弦长.此 时,545252,5,5=-===BD BC AC 所以.即最短弦长为54. 又直线AC 的斜率2 1 - =AC k ,所以直线BD 的斜率为2.此时直线方程为:().052,321=---=-y x x y 即 5(12分)已知圆x 2+y 2+x -6y +m =0和直线x +2y -3=0交于P 、Q 两点,且以PQ 为直径的圆恰过坐标原点,求实数m 的值. 解:由01220503206222=++-????=-+=+-++m y y y x m y x y x ?? ???+==+∴5124 2121m y y y y 又OP ⊥OQ , ∴x 1x 2+y 1y 2=0,而x 1x 2=9-6(y 1+y 2)+4y 1y 2= 5 274-m ∴05 125274=++-m m 解得m =3. 6.已知圆C :(x+4)2 +y 2 =4和点A(-23,0),圆D 的圆心在y 轴上移动,且恒与圆C 外切,设圆D 与y 轴交于点M 、N. ∠MAN 是否为定值?若为定值,求出∠MAN 的弧度数;若不为定值,说明理由. 【解】设圆D 的方程为),0()(222 >=-+r r b y x 那么).,0(),,0(r b N r b M -+ 因为圆D 与圆C 外切, 所以.124162222-=-?+=+r r b b r 又直线NA MA ,的斜率分别为 .3 2,32r b k r b k MB MA -=+= .334341234323213232tan 22π=∠?==-+=-++ -- += ∠∴MAN r r r b r r b r b r b r b MAN 为定值 7.(14分)已知圆22 60x y x y m ++-+=和直线230x y +-=交于P 、Q 两点,且OP ⊥OQ (O 为坐标原点),求该圆的圆心坐标及 半径长. 解:将32x y =-代入方程2260x y x y m ++-+=,得2520120y y m -++=. 设P ()11,x y ,Q ()22,x y ,则12,y y 满足条件:1212124,5 m y y y y ++==. ∵ OP ⊥OQ , ∴12120,x x y y +=而1132x y =-,2232x y =-,∴()121212964x x y y y y =-++. ∴3m =,此时Δ 0>,圆心坐标为(- 1 2 ,3),半径52 r = . 8.(14分)求圆心在直线0x y +=上,且过两圆22210240x y x y +-+-=,22 x y +2280x y ++-=交点的圆的方程. 解法一:(利用圆心到两交点的距离相等求圆心)将两圆的方程联立得方程组 2222 2102402280x y x y x y x y ?+-+-=?+++-=?, 解这个方程组求得两圆的交点坐标A (-4,0),B (0,2). 因所求圆心在直线0x y +=上,故设所求圆心坐标为(,)x x -,则它到上面的两上交点 (-4,0)和(0,2 即412x =-,∴3x =-,3y x =-=,从而圆心坐标是(-3,3). 又r = = 故所求圆的方程为2 2 (3)(3)10x y ++-=. 解法二:(利用弦的垂直平分线过圆心求圆的方程) 同解法一求得两交点坐标A (-4,0),B (0,2),弦AB 的中垂线为230x y ++=, 它与直线0x y + =交点(-3,3 )就是圆心,又半径r = 故所求圆的方程为2 2(3) (3)10x y ++-=. 解法三:(用待定系数法求圆的方程) 同解法一求得两交点坐标为A (-4,0),B (0,2). 设所求圆的方程为2 22() ()x a y b r -+-=,因两点在此圆上,且圆心在0x y +=上,所以得方 程组 222 222(4)(3)0 a b r a b r a b ?--+=?+-=? ?+=? ,解之得33a b r ?=-?=??=?, 故所求圆的方程为2 2(3)(3)10x y ++-=. 解法四:(用“圆系”方法求圆的方程.过后想想为什么?) 设所求圆的方程为222221024(228)0x y x y x y x y λ+-+-++++-=(1)λ≠-, 即 222(1)2(5)8(3) 0111x y x y λλλλλλ -+++- +-=+++. 可知圆心坐标为15(,)11λλλλ-+-++. 因圆心在直线0x y +=上,所以15011λλ λλ -+-=++,解得2λ=-. 将2λ=-代入所设方程并化简,求圆的方程2 26680x y x y ++-+= 9.(12分) 已知一个圆截y 轴所得的弦为2,被x 轴分成的两段弧长的比为3∶1.(1)设圆心为(a ,b ),求实数a ,b 满足的关系式;(2) 当圆心到直线l :x -2y =0的距离最小时,求圆的方程. ⑴设圆心P (a ,b ),半径为r ,则 |b |=r 2,2b 2=r 2.又|a |2+1=r 2,所以a 2+1=r 2,所以2b 2=a 2+1; (2)点P 到直线x -2y =0的距离d =|a -2b | 5 ,5d 2=a 2-4ab +4b 2≥a 2+4b 2-2(a 2+b 2)=2b 2-a 2=1. 所以??? a =b , 2b 2=a 2 +1,所以??? a =1, b =1, 或??? a =-1, b =-1. 所以(x -1)2+(y -1)2=2或(x +1)2+(y +1)2=2. 10 已知圆C 与圆0222 =-+x y x 相外切,并且与直线03=+y x 相切于点)3,3(-Q ,求圆C 的方程 设圆C 的圆心为),(b a , 则6234004231)1(333 22==????-==???==???? ????++ =+-=-+r r b a b a b a b a a b 或或 所以圆C 的方程为36)34(4)4(2 222=++=+-y x y x 或 11.(1997全国文,25)已知圆满足:①截y 轴所得弦长为2;②被x 轴分成两段圆弧,其弧长的比为3∶1;③圆心到直线l :x -2y =0的距离为 5 5 ,求该圆的方程. .解:设圆的方程为(x -a )2+(y -b )2=r 2.令x =0,得y 2-2by +b 2+a 2-r 2=0. |y 1-y 2|=2 22122124)(a r y y y y -=-+=2,得r 2=a 2+1 ①令y =0,得x 2-2ax +a 2+b 2-r 2=0, |x 1-x 2|= r b r x x x x 224)(2221221=-=-+,得r 2=2b 2 ②由①、②,得2b 2-a 2=1 又因为P (a ,b )到直线x -2y =0的距离为 55,得d =555 |2|=-b a ,即a -2b =±1. 综上可得???=-=-;12,1222b a a b 或???-=-=-1 21222b a a b 解得???-=-=11b a 或???==11b a 于是r 2=2b 2=2. 所求圆的方程为(x +1)2+(y +1)2=2或(x -1)2+(y -1)2=2. 12.(1997全国理,25)设圆满足:(1)截y 轴所得弦长为2;(2)被x 轴分成两段圆弧,其弧长的比为3∶1.在满足条件(1)、(2)的所有圆中,求圆心到直线l :x -2y =0的距离最小的圆的方程. .解:设所求圆的圆心为P (a ,b ),半径为r ,则P 到x 轴、y 轴的距离分别为|b |、|a |. 由题设圆P 截x 轴所得劣弧所对圆心角为90°,圆P 截x 轴所得弦长为2r ,故r 2=2b 2, 又圆P 截y 轴所得弦长为2,所以有r 2=a 2+1,从而有2b 2-a 2=1 又点P (a ,b )到直线x -2y =0距离为d = 5 | 2|b a -, 所以5d 2=|a -2b |2=a 2+4b 2-4ab ≥a 2+4b 2-2(a 2+b 2)=2b 2-a 2=1 当且仅当a =b 时上式等号成立,此时5d 2=1,从而d 取得最小值, 由此有???=-=1 22 2a b b a 解方程得???==11b a 或???-=-=11b a 由于r 2=2b 2,知r =2, 于是所求圆的方程为(x -1)2+(y -1)2=2或(x +1)2+(y +1)2=2 13.(2002北京文,16)圆x 2+y 2-2x -2y +1=0上的动点Q 到直线3x +4y +8=0距离的最小值为 . .答案:2 解析:圆心到直线的距离d = 5 | 843|++=3∴动点Q 到直线距离的最小值为d -r =3-1=2 经过 在高中数学第二册(上)第82页有这样一道题:“求经过两圆0 4622 =-++x y x 和028622 =-++y y x 的交点,并且圆心在直线04=--y x 上的圆的方程。 ”同学们普遍使用下面两种方法求解: 方法—:先求出两已知圆交点()()2,6,3,121---A A ,再设圆心坐标为),4(b b B +,根据r B A B A ==21,可求出圆心坐标及半径r ,于是可得所求圆方程。 方法二:先求出两已知圆交点 ()()2,6,3,121---A A ,再设所求圆的方程为:022=++++F Ey Dx y x ,其圆心为() 22,E D --,代入04=-- y x ,再将A 1,A 2两点坐标代入所设圆的方程,可得三个关于D,E,F 的三元一次方程组,求出D,E,F 的值,这样便可得所求 圆的方程。 但是如果我们利用“过两已知圆交点的圆系”的方法求解,可以更加方便。 弦长 【例题】 已知直线l ∶x+2y-2=0与圆C ∶x 2+y 2=2相交于A 、B 两点,求弦长AB. 【思考与分析】 一条直线和圆相交,直线被圆所截得部分的长称为弦长.下面我们将采用两种方法来求出弦长AB. 解法一:设A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2),则A 、B 坐标即方程组 的解, 从方程组中消去x 可得:5y 2 -8y+2=0, 又A 、B 在直线l ∶x+2y-2=0上,即x 1+2y 1-2=0,x 2+2y 2-2=0,A 解法二:作CM ⊥AB 于M ,M 为AB 中点,在Rt △CMA 中,∣AM ∣=∣AB ∣,∣CA ∣= ,∣CM ∣为原点到直线l ∶x+2y-2=0 的距离,即∣CM ∣= , 【小结】 解法一给出了已知一条直线与一条曲线相交于A 、B 两点,求∣AB ∣的一般办法,设已知直线为l ∶y=kx+b ,与已知曲线C 的交点为A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2),则有y 1=kx 1+b ,y 2=kx2+b ,即y 1-y 2=k (x 1-x 2), 这两个公式一般称为直线与曲线相交所得线段长公式,显然这个公式只与已知直线的斜率k 及交点的坐标(x 1,y 1)、(x 2,y 2)有关,而与曲线C 本身是什么曲线无关,因此这个公式在以后的学习中会得到普遍应用. 解法二针对圆本身的特点给出了简单的解法,由于解析几何本身解决的是几何图形的问题,因此对于图形本身的特点给予充分的挖掘和运用(例如凡有关圆的弦的问题,应该注意弦心距)往往会找到解题的捷径 圆的方程例析 . 求圆心坐标和半径 【例1】 求下列各圆的圆心坐标和半径: (1)x 2+y 2-x=0;(2)x 2+y 2+2ax=0(a≠0);(3)x 2+y 2+2ay -1=0. 【思考与分析】我们先配方得标准方程,然后写出圆心坐标及半径.解:(1)配方 ∴圆心为半径为r=. (2)配方得(x+a)2+y2=a2, ∴圆心为(-a,0),半径为r=(注意:这里字母a不知道正负,而半径为正值,所以要加绝对值). (3)配方得x2+(y+a)2=1+a2, ∴圆心为(0,-a),半径为r= 【拓展】讨论方程x2+y2+2ay+1=0(a∈R)表示曲线的形状. 解:配方得x2+(y+a)2=a2-1, 当a<-1或a>1时,此方程表示的曲线是圆心为(0,-a),半径为r=的圆; 当a=±1时,此方程表示的曲线是一个点,坐标为(0,-a);