(整理)固体物理课后习题与答案.

第一章 金属自由电子气体模型习题及答案

1. 你是如何理解绝对零度时和常温下电子的平均动能十分相近这一点的？

[解答] 自由电子论只考虑电子的动能。在绝对零度时，金属中的自由（价）电子，分布在费米能级及其以下的能级上，即分布在一个费米球内。在常温下，费米球内部离费米面远的状态全被电子占据，这些电子从格波获取的能量不足以使其跃迁到费米面附近或以外的空状态上，能够发生能态跃迁的仅是费米面附近的少数电子,而绝大多数电子的能态不会改变。也就是说，常温下电子的平均动能与绝对零度时的平均动能十分相近。

2. 晶体膨胀时，费米能级如何变化？

[解答] 费米能级

3/222

)3(2πn m

E o F

= ， 其中n 单位体积内的价电子数目。晶体膨胀时，体积变大，电子数目不变，n 变小，费密能级降低。

3． 为什么温度升高，费米能反而降低？

[解答] 当K T 0≠时，有一半量子态被电子所占据的能级即是费米能级。除了晶体膨胀引起费米能级降低外，温度升高，费米面附近的电子从格波获取的能量就越大，跃迁到费米面以外的电子就越多，原来有一半量子态被电子所占据的能级上的电子就少于一半，有一半量子态被电子所占据的能级必定降低，也就是说，温度生高，费米能反而降低。

4． 为什么价电子的浓度越大，价电子的平均动能就越大？

[解答] 由于绝对零度时和常温下电子的平均动能十分相近，我们讨论绝对零度时电子的平均动能与电子的浓度的关系。

价电子的浓度越大，价电子的平均动能就越大，这是金属中的价电子遵从费米—狄拉克统计分布的必

然结果。在绝对零度时，电子不可能都处于最低能级上，而是在费米球中均匀分布。由式

3/120)3(πn k F =可知，价电子的浓度越大费米球的半径就越大，高能量的电子就越多，价电子的平均动能

就越大。这一点从3

/2220)3(2πn m E F

=和3/222)3(10353πn m

E E o

F ==式看得更清楚。电子的平均动能E 正比于费米能o F E ，而费米能又正比于电子浓度3

2l n

。所以价电子的浓度越大，价电子的平均动能就越大。

5． 两块同种金属，温度不同，接触后，温度未达到相等前，是否存在电势差？为什么？

[解答] 两块同种金属，温度分别为1T 和2T ，且21T T >。在这种情况下，温度为1T 的金属高于费米能o

F E 的电子数目，多于温度为2T 的金属高于费米能o

F E 的电子数目。两块同种金属接触后，系统的能量要取最小值，温度为1T 的金属高于o

F E 的部分电子将流向温度为2T 的金属。温度未达到相等前，这种流动一直持续，期间，温度为1T 的金属失去电子，带正电；温度为2T 的金属得到电子，带负电，两者出现电势差。

6． 为什么价电子的浓度越高，电导率越大？

[解答] 电导σ是金属通流能力的量度。通流能力取决于单位时间内通过截面积的电子数。但并不是所有价电子对导电都有贡献，对导电有贡献的是费米面附近的电子。费米球越大，对导电有贡献的电

子数目就越多。费米球的大小取决于费米半径3

/12)3(πn k F =。 可见电子浓度n 越高，费米球越大，

对导电有贡献的电子数目就越多，该金属的电导率就越高。

7． 一金属体积为V ，价电子总数为N ，以自由电子气模型，

（1）在绝热条件下导出电子气体的压强为： V U P 320=

，其中电子气体的基态能量0

05

3F NE U = （2）证明电子气体的体积弹性模量 V

U P V p V K 91035

)/(0=

=

??-=。 [解答]

(1) 在绝热近似条件下，外场力对电子气作的功W 等于系统内能的增加dU ，即

PdV W dU -== 式中P 是电子气的压强。由上式可得 V

U

P ??-

= 在常温条件下，忽略掉温度对内能的影响，则由

3/2220

0)3(25353πV

N m N NE U U F ===

由此可得到

V

U V N m N V U P 32)(32

)3(25303/53/2220

=?=??-

=-π （2） 体积弹性模量K 与压强

P

和体积V 的关系为

V

K

V P -

=?? ，将2

03/83/222910)(35

32)3(253V U V N m N V P -=?-=??-π 代入体积弹性模量K 与压强P 和体积V 的关系式，得到 V

U K 9100

=

8． 每个原子占据的体积为 3

a ，绝对零度时价电子的费米半径为 a

k F

3

/120)6(π=，计算每个原子的价电

子数目。

[解答] 在绝对零度时导电电子的费米半径 3

/120

)

3(πn k F =。

现已知一金属导电电子的费米半径 3

/120

)6(a

k F π=

，所以，该金属中导电电子的密度

32a

n =

。 3a 是一个原子占据的体积，由此可知，该金属的原子具有两个价电子。

第二章 晶体的结构习题及答案

1．晶面指数为（123）的晶面ABC 是离原点O 最近的晶面，0A ，0B 和0C 分别与基矢1a ，2a 和3a 重合，除0点外，0A ，0B ，和0C 上是否有格点？若ABC 面的指数为（234），情况又如何？

[解答] 晶面家族（123）截1a ，2a ，和3a 分别为1，2，3等份，ABC 面是离原点0最近的晶面，

0A 的长度等于1a 长度，0B 的长度等于2a 的长度的1/2 ，0C 的长度等于3a 的长度的1/3 ，所以只有A 点

是格点。若ABC 面的指数为（234）的晶面族，则A 、B 、和C 都不是格点。

2．在结晶学中，晶胞是按晶体的什么特性选取的？

[解答] 在结晶学中，晶胞选取的原则是既要考虑晶体结构的周期性又要考虑晶体的宏观对称性。

3. 在晶体衍射中，为什么不能用可见光？

[解答] 晶体中原子间距的数量级为10

10-米，要使原子晶格成为光波的衍射光栅，光波的波长应小

于10

10

-米。但可见光的波长为7.6 — 7

100.4-?米,是晶体中原子间距的1000倍。因此，在晶体衍射中，

不能用可见光。

4．温度升高时，衍射角如何变化？X 光波长变化时，衍射角如何变化？

[解答] 温度升高时，由于热膨胀，面间距h k l d 逐渐变大，由布拉格反射公式

λθn d hkl =sin 2可知，对应同一级衍射，当X 光波长不变时，面间距hkl d 逐渐变大，衍射角θ逐渐变小。

所以温度升高，衍射角变小。

当温度不变，X 光波长变大时，对于同一晶面族，衍射角θ随之变大。

7. 六角晶胞的基矢 j a ai a 223+=

, j a ai b 2

23+-=，ck c =。求其倒格基矢。 [解答] 晶胞体积为 c a ck j a ai j a ai c b a 2

2

3)]()223[()223(

][=?+-?+=??=Ω。 其倒格矢为

)33

(232)]()223[(2][22

*j i a c a ck j a ai c b a +=??+-=Ω?=

πππ。 )33

(232)]223()[(2][22

*j i a c a j a ai ck a c b +-=?+?=Ω?=

πππ。 k c c

a j a ai j a ai

b a

c π

ππ232)]223()223[(2][22

*=?+-?+=Ω?=

。

8． 证明以下结构晶面族的面间距：

（1）立方晶系：2

/1222][-++=l k h a d hkl ；

（2）正交晶系：2

/122

2

]

)()()[(-++=c

l b

k a

h

d hkl ；

[解答]

（1）设沿立方晶系晶轴c b a ,,的单位矢量分别为i ，j ，k ，则正格子基矢为

ai a =， aj b =， ak c =，

倒格子基矢为 i a a π2*

=

， j a b π2*=， k a

c π

2*=。

与晶面族（hkl ）正交的倒格矢 *

**lc kb ha K hkl ++=。

由晶面间距hkl d 与倒格矢hkl K 的关系式 hkl

hkl K d π

2=

得 2

2

2

l

k h a d hkl ++=

。

（2）对于正交晶系，晶胞基矢a ，b ，c 相互垂直，

但晶格常数c b a ≠≠，设沿晶轴a ，b ，c 的单位矢量分别为i ，j ，k ，

则正格子基矢为 ai a =， bj b =， ck c =，

图2.6 立方晶胞

倒格子基矢为 i a a π2*

=

， j b b π2*=， k c

c π2*=。 与晶面族（hkl ）正交的倒格矢 *

**lc kb ha K hkl ++=。

由晶面间距hkl d 与倒格矢hkl K 的关系式 hkl

hkl K d π

2=

得 2

/122

2

]

)()()[(-++=c

l b

k a

h d hkl 。

9．求晶格常数为a 的面心立方和体心立方晶体晶面族)(321h h h 的面间距。 [解答] 面心立方正格子的原胞基矢为

)(21k j a a +=

， )(22i k a a +=， )(2

3j i a

a += 由 Ω?=

][2321a a b π ， Ω?=][2132a a b π ， Ω

?=][2213a a b π ，

可得其倒格子基矢为 )(21k j i a b ++-=

π ， )(22k j i a b +-=π ， )(23k j i a

b -+=π ， 倒格矢 332211b h b h b h K h ++=

根据式 h

h h h K d π

2321=

，得面心立方晶体晶面族)(321h h h 的面间距 2/1232123212321]

)()()[(2321h h h h h h h h h a

K d h h h h -+++-+++-==

π。 体心立方正格子原胞基矢可取为 )(21k j i a a ++-=

， )(22k j i a a +-= ， )(3k j i a

a

a -+= 。 其倒格子基矢为 )(21k j a

b +=

π ， )(22i k a b +=π ， )(23j i a

b +=π

。

则晶面族)(321h h h 的面间距为

2/1221213232]

)()()[(2321h h h h h h a

K d h h h h +++++==

π。

10． 试证三角晶系的倒格子也属于三角晶系。

[解答] 对于三角晶系，其三个基矢量的大小相等，且它们相互间的夹角也相等，即

a a c a

b a a ======321， θγβα===。

利用正倒格子的关系，得 b a a a b =Ω=Ω?=θ

ππsin 2][22321，

b a a a b =Ω

=Ω?=θ

ππsin 2][22132

b a a a b =Ω

=Ω?=θ

ππsin 2][22213。 （1）

设1b 与2b 的交角为12θ ，2b 与3b 的交角为23θ , 3b 与1b 的交角为31θ ,则有

)cos (cos 4])())([(4]

)[(4)]()[(4cos 22

42221323122332122

133222122

21θθππππθ-Ω

=?-??Ω=???Ω=???Ω==?a a a a a a a a a a a a a a a a b b b （2）

由（1）和（2）式得 θθ

θ

θθθθθθcos 1cos cos 1)cos 1(cos sin cos cos cos 22212

+-=---=-=。

由32b b ?和13b b ?可得 θθθcos 1cos cos 23+-=

， θ

θ

θcos 1cos cos 31+-= 。

可见倒格基矢1b 与2b 的交角，2b 与3b 的交角, 3b 与1b 的交角都相等。这表明三个倒格基矢的长度不仅相等，且它们之间的夹角也相等，所以三角晶系的倒格子也属于三角晶系。

11．一维原子链是由A ，B 两种原子构成，设A ，B 原子的散射因子分别为A f 和B f ，入射X 射线

垂直于原子链，证明

（1） 衍射极大条件是λθn a =cos ，a 是晶格常数，θ是衍射束与原子链的夹角. （2） 当h 为奇数，衍射强度比例于2

B A f f -.

（3） 讨论B A f f = 情况. [解答]

（1） 如图1所示，设原子是等间距的，衍射光束与原子链的夹角为θ，当入射X 光垂直于原子链时，A 原子或B 原子散射波的光程差为θcos a 。当 λθn a =cos 时，各A 原子（或B 原子）的散射波的相位差为0 ，散射波相互加强，形成很强的衍射光。

（2） 一个原胞内包含A ，B 两个原子，

取A 原子的坐标为（000） ，B 原子的坐标为（0021

a ）

。倒格矢x h a

b h G h ?2π== ，则几何结构因子 B

h A

h h

d G i B d G i A G e

f e

f S

?-?-+=

)cos(?2

1

?20

πππh f f e f f e

f e

f B A h i B A x a x h a i

B G i A h +=+=+=-?-?- ，

衍射光的强度22

)]cos([πh f f S I B A G

h

+=∝ ，因此从上式可知，当h 为奇数时，衍射光的强度正

比于2

B A f f -。

（3） 若f f f B A ==，当h 为奇数时，衍射光的强度为0 。这时，A 原子与B 原子的散射波的相 位差为π ，相位相反，互相抵消，即对应消光现象。 当h 为偶数时，衍射光的强度最强 ，2

4f I ∝。

第三章 能带论习题和答案

1．布洛赫函数满足 )()(r e

R r n

R ik n ???=+，何以见得上式中k 具有波矢的意义？

[解答] 人们总可以把布洛赫函数)(r ?展成付里叶级数

∑?++=h

r

K

K i h h e K K a r )(//

)()(? ,

其中/

K 是电子的波矢。将)(r ?代入 )()(r e

R r n

R ik n ???=+

得到 n n

R ik R ik e e ??=/

图1 X 光衍射

其中利用了p p R K n h (2π=?是整数），由上式可知，/

k k =， 即 k 具有波矢的意义。

2． 波矢空间与倒格空间有何关系？为什么说波矢空间内的状态点是准连续的？

[解答] 波矢空间与倒格空间处于统一空间，倒格空间的基矢分别为1b ，2b ，3b ，而波矢空间的基矢分别为 11/N b ，22/N b ，33/N b ；1N ，2N ，3N 分别是沿正格基矢1a ，2a ，3a 方向晶体的原胞数目。

倒格空间中一个倒格点对应的体积为 *

321)(Ω=??b b b ，

波矢空间中一个波矢点对应的体积为 N

N b N b N b *

332211)(Ω=

?? 即波矢空间中一个波矢点对应的体积，是倒格空间中一个倒格点对应的体积的N /1 。由于N 是晶体

的原胞数目，数目巨大，所以一个波矢点对应的体积与一个倒格点对应的体积相比是极其微小的。也就是说， 波矢点在倒格空间看是极其稠密的。因此，在波矢空间内作求和处理时，可把波矢空间内的状态点看成是准连续的。

3．与布里渊区边界平行的晶面族对什么状态的电子具有强烈的散射作用？ [解答] 当电子的波矢k 满足关系式 0)2

(=+

?n

n K k K 时，与布里渊区边界平行且垂直于n K 的晶面族对波矢为k 的电子具有强烈的散射作用。此时，电子的波矢很大，波矢的末端落在了布里渊区边界上，

k 垂直于布里渊区边界的分量的模等于2/n K 。

4．一维周期势函数的付里叶级数 ∑=

n

nx a

i

n e

V x V π2)(中，指数函数的形式是由什么条件决定的？

[解答] 周期势函数)(x V 付里叶级数的通式为 ∑=

n

x

i n n e V x V λ

)(。上式必须满足势场的周期性，即

∑∑∑====++n

x i n n

n e

x i n n

a x i n n a

i n n e V x V e V e V a x V λλλλ)()()

()(

显然 1=a

i n e

λ 。

要满足上式，n λ必为倒格矢n a

n π

λ2=

。可见周期势函数)(x V 的付里叶级数中指数函数的形式是由其周期性决定的。

5．在布里渊区边界上电子的能带有何特点？

[解答] 电子的能带依赖于波矢的方向，在任一方向上，在布里渊区边界上，近自由电子的能带一般会出现禁带。若电子所处的边界与倒格矢n K 正交，边界是n K 的中垂面，则禁带的宽度)(2n g K V E = ，

)(n K V 是周期势场的付里叶级数的系数。

不论何种电子，在布里渊区边界上，其等能面在垂直于布里渊区边界的方向上的斜率为零，即电子的等能面与布里渊区边界正交。

6．紧束缚模型电子的能量是正值还是负值？

[解答] 紧束缚模型电子在原子附近的几率大，远离原子的几率很小，在原子附近它的行为同在孤立原子的行为相近。因此，紧束缚模型电子的能量与在孤立原子中的能量相近。孤立原子中电子的能量是一负值，所以紧束缚模型电子的能量是负值。s 态电子能量表达式

∑?-

-=n

R ik m

i m e R

J J k )()0()(εε

即是例证。其中孤立原子中电子的能量i ε是主项，是一负值，)0(J -和)(m R J -是小量，也是负值。

7．紧束缚模型下内层电子的能带与外层电子的能带相比较，哪一个宽？为什么？ [解答] 以s 态电子为例，紧束缚模型电子能带的宽度取决于积分J 的大小，而积分

dr R r R r V r V r R J m i m at i m )()]()()[()(*----=???

的大小又取决于)(r i ?与相邻格点的)(m i R r -?的交叠程度。紧束缚模型下，内层电子的)(r i ?与

)(m i R r -?交叠程度小，外层电子的)(r i ?与)(m i R r -?交叠程度大。因此，紧束缚模型下，内层电子

的能带与外层电子的能带相比，外层电子的能带宽。

8．晶格常数为a 的一维晶体中，电子的波函数为

（1） x a i x k π

?3cos )(=， （2） ∑∞

-∞

=-=l k la x f x )()(? ，f 是某一函数 ，

求电子在以上状态中的波矢。 [解答] 由式 )()(r e

R r k R ir n k n

???=+可知，在一维周期势场中运动的电子的波函数满足

)()(x e a x k ika

k ??=+。

由此得

（1）

)

()()3cos()3cos()](3cos[

)(x e x x a

i x a

i a x a i a x k ika k k ??π

ππ

π?=-=-=+=+=+

于是 1-=ika

e

因此得

a

k π

±

= ， a π3±

， a

π5± ，… 若只取布里渊区内的值：a

k a

π

π

≤

<- ， 则有a k /π=

（2） ∑∑∞

-∞

=∞

-∞

=--=-+=+l l k a l x f la a x f a x ])1([)()(?， 令 1/

-=l l

，

得 )()()()(//

x e x a l x f a x k ika k

l k ??

?==-=

+∑∞

-∞

=

由上式知 1=ika

e

所以有 0=k ， a π2±

，a π4± ，a

π6± ，… 由此得在布里渊区内的值为

0=k 。

9． 一维周期势场为

??

???-≤≤+-+≤≤---=b na x b a n b

na x b na na x b mW x V )1(,0],)([21

)(222当当

其中b a 4= , W 为常数，求出势能的平均值。

[解答] 由于势能具有周期性，因此只在一个周期内求平均即可，于是得

2

23222

222/2/2261]31[8][2

141)(41)(1b mW x x b b mW dx x b mW b dx x V b dx x V a V b

b

b b a a b b =-=-===

----???

第五章 晶格振动习题和答案

1．什么叫简正振动模式？简正振动数目、格波数目或格波振动模式数目是否是一回事？

[解答] 为了使问题既简化又能抓住主要矛盾，在分析讨论晶格振动时，将原子间互作用力的泰勒级数中的非线性项忽略掉的近似称为间谐近似。在间谐近似下，由N 个原子构成的晶体的晶格振动，可等效成3N 个独立的谐振子的振动。每个谐振子的振动模式称为间正振动模式，它对应着所有的原子都以该模式的频率做振动，它是晶格振动模式中最简单最基本的振动方式。原子的振动，或者说格波振动通常是这3N 个简正振动模式的线性迭加。

简正振动数目、格波数目或格波振动模式数目是一回事，这个数目等于晶体中所有原子的自由度数之和，即等3N 。

2．长光学支格波与长声学支格波本质上有何差别？

[解答] 长光学支格波的特征是每个原胞内的不同原子做相对振动，振动频略较高，它包含了晶格振动频率最高的振动模式。长声学支格波的特征原胞内的不同原子没有相对位移，原胞做整体运动，振动频率较低，它包含了晶格振动频率最低的振动模式，波速是一常数。任何晶体都存在声学支格波，但简单晶格（非复式格子）晶体不存在光学支格波。

3． 温度一定，一个光学波的声子数目多呢，还是声学波的声子数目多？ [解答] 频率为ω的格波的（平均）声子数为

1

1)(/-=

T

k B e

n ωω

因为光学波的频率0ω比声学波的频率A ω高，（1/0-T

k B e

ω ）大于（1/-T k B A e ω ）

，所以在温度一定情况下，一个光学波的声子数目少于一个声学波的声子数目。

4． 对同一个振动模式，温度高时的声子数目多呢，还是温度低时的声子数目多呢？

[解答] 设温度H T 〉L T ，由于（1/-H

B T k e

ω ）大于（1/-L B T k e ω ）

，所以对同一个振动模式，温度高时的声子数目多于温度低时的声子数目。

5． 高温时，频率为ω的格波的声子数目与温度有何关系？

[解答] 温度很高时，T k e

B T

k B /1/ωω +≈ ，频率为ω的格波的（平均）声子数为

ω

ωω T

k e n B T k B ≈

-=

1

1)(/ 可见高温时，格波的声子数目与温度近似成正比。

6． 喇曼散射方法中，光子会不会产生倒逆散射？

[解答] 晶格振动谱的测定中，光波的波长与格波的波长越接近，光波与声波的相互作用才越显著。喇曼散射中所用的红外光，对晶格振动谱来说，该波长属于长波长范围。因此，喇曼散射是光子与长光学波声子的相互作用。长光学波声子的波矢很小，相应的动量q 不大。而能产生倒逆散射的条件是光的入射波矢k 与散射波矢/

k 要大，散射角θ也要大。k 与/

k 大要求波长小，散射角θ大要求q 大，但对喇曼散射来说，这两点都不满足。即喇曼散射中，光子不会产生倒逆散射。

7． 长声学格波能否导致离子晶体的宏观极化？

[解答] 长光学波所以能导致离子晶体的宏观极化，其根源是长光学格波使得原胞内不同的原子（正负离子）产生了相对位移，长声学格波的特点是，原胞内所有的原子没有位移。因此，长声学格波不能导致离子晶体的宏观极化。

8．你认为简单晶体存在强烈的红外吸收吗？

[解答] 实验已经证实，离子晶体能强烈吸收远红外光波。这种现象产生的根源是离子晶体中的长光学横波能与远红外电磁场发生强烈耦合。简单晶格中不存在光学波，所以简单晶格不会吸收远红外光波。

9． 爱因斯坦模型在低温下与实验存在偏差的根源是什么？

[解答] 按照爱因斯坦温度的定义，爱因斯坦模型的格波的频率大约为H 13

10z ，属于光学支频率。但光学格波在低温时对热容的贡献非常小，低温下对热容贡献大的主要是长声学格波。也就是说爱因斯坦没考虑声学波对热容的贡献是爱因斯坦模型在低温下与实验存在偏差的根源。

10．在甚低温下，德拜模型为什么与实验相符？

[解答] 在甚低温下，不仅光学波得不到激发，而且声子能量较大的短声学格波也未被激发，得到激发的只是声子能量较小的长声学格波。长声学格波即弹性波。德拜模型只考虑弹性波对热容的贡献。因此，再甚低温下，德拜模型与事实相符，自然与实验相符。

11．在绝对零度时还有格波存在吗？若存在，格波间还有能量交换吗？ [解答] 频率为i ω的格波的振动能为

i i i n ωε ??

? ??

+=21，

其中i i n ω 是由i n 个声子携带的热振动能，（2/i ω ）是零点振动能，声子数

1

1/-=

T k i B i e n ω

绝对零度时，0=i n 。频率为i ω的格波的振动能只剩下零点振动能。

格波间交换能量是靠声子的碰撞实现的。绝对零度时，声子消失，格波间不再交换能量。

第七章 《固体中的原子键合》习题及答案

1． 是否有与库仑力无关的晶体结合类型？

[解答] 共价结合中，电子虽然不能脱离电负性大的原子，但靠近的两个电负性大的原子可以各出一个电子，形成电子共享的形式，即这一对电子的主要活动范围处于两个原子之间，通过库仑力，把两个原子连接起来。离子晶体中，正离子与负离子的吸引力就是库仑力。金属结合中，原子实依靠原子实与电子云间的库仑力紧紧地吸引着。分子结合中，是电偶极矩把原本分离的原子结合成了晶体。电偶极矩的作用力实际就是库仑力。氢键结合中，氢先与负性大的原子形成共价结合后，氢核与负电中心不在结合，迫使它通过库仑力再与另一个电负性大的原子结合。可见，所有晶体结合类型都与库仑力有关。

2． 如何理解库仑力是原子结合的动力？

[解答] 晶体结合中，原子间的排斥力是短程力，在原子吸引靠近的过程中，把原本分离的原子拉近的动力只能是长程力，这个长程吸引力就是库仑力。所以，库仑力是原子结合的动力。

3． 晶体的结合能，晶体的内能，原子间的相互作用势能有何区别？

[解答] 自由粒子结合成晶体过程中释放出的能量，或者把晶体拆散成一个个自由粒子所需要的能量，称为晶体的结合能。

原子的动能与原子间的相互作用势能之和为晶体的内能。

在OK 时，原子还存在零点振动能。但零点振动能与原子间的相互作用势能的绝对值相比小得多。所以，在OK 时原子间的相互作用势能的绝对值近似等于晶体的结合能。

4． 原子间的排斥作用取决于什么原因？

[解答] 相邻的原子靠得很近，以至于它们内层闭合壳层的电子云发生重叠时，相邻的原子间便产生巨大排斥力。也就是说，原子间的排斥作用来自相邻原子内层闭合层壳电子云的重叠。

5． 原子间的排斥作用和吸引作用有何关系？起主导的范围是什么？

[解答] 在原子由分散无规则的中性原子结合成规则排列的晶体过程中，吸引力起了主要作用。在吸引力的作用下，原子间的距离缩小到一定程度，原子间才出现排斥力。当排斥力与吸引力相等时，晶体达到稳定结合状态。可见，晶体要达到稳定结合状态，吸引力与排斥力缺一不可。设此时相邻原子间的距离为0r ，当相邻原子间的距离0r r > 时，吸引力起主导作用；当相邻原子间的距离0r r <时，排斥力起主导作用。

6． 共价结合为什么有“饱和性”和“方向性”？

[解答] 设N 为一个原子的价电子数目，对于ⅣA ，ⅤA ，ⅥA ，ⅦA 族元素，价电子壳层一共有8个量子态，最多能接纳（8—N ）个电子，形成（8—N ）个共价键，这就是共价结合的“饱和性”。

共价键的形成只在特定的方向上，这些方向是配对电子波函数的对称轴方向，在这个方向上交迭的电子云密度最大。这就是共价结合的“方向性”。

7． 共价结合，两原子电子云交叠产生吸引，而原子靠近时，电子云交叠会产生巨大的排斥力，如何解释？ [解答] 共价结合，形成共价键的配对电子，它们的自旋方向相反，这两个电子的电子云交迭使得体系的能量降低，结构稳定。但当原子靠得很近时，原子内部满壳层电子的电子云交迭，量子态相同的电子产生巨大的排斥力，使得系统的能量急剧增大。

8． 试解释一个中性原子吸收一个电子一定要放出能量的现象。

[解答] 当一个中性原子吸收一个电子变成一个负离子，这个电子能稳定地进入原子的壳层中，这个电子与原子核的库仑吸引能的绝对值一定大于它与其他电子的排斥能。但这个电子与原子核的库仑吸引能是一个负值。也就是说，当中性原子吸收一个电子变成负离子后，这个离子的能量要低于中性原子的能量。因此，一个中性原子吸收一个电子一定要放出能量。

9． 为什么许多金属为密积结构？

[解答] 金属结合中，受到最小能量原理的约束，要求原子实与共有电子电子云间的库仑能要尽可能的低。原子实越紧凑，原子实与共有电子电子云靠得就越紧密，库仑能就越低。所以，许多金属的结构为密积结构。

10． 何为杂化轨道？

[解答] 为了解释金刚石中碳原子具有4个等同的共价键，1931年泡林（Pauling ）和斯莱特(Slater)提出了杂化轨道理论，碳原子有4个价电子，它们分别对应 s 2? ，x p 2? ，y p 2? ，z p 2?量子态，在构成共价键时，它们组成了4个新的量子态)(2122221z y x p p p s ?????+++=

；)(2

1

22222z y x p p p s ?????--+=；)(2

122223z y

x

p p

p s ?????-+-=；)(2

1

22224z y x p p p s ?????+--=。4个电子分别占据1? ，2?，

3? ，4?新轨道，在四面体顶角方向形成4个共价键。

11． 设离子晶体中，离子间的互作用势为???

?

??

?±+-=最近邻以外，最近邻,)(22r

e R b

R e r u m 。证明：晶体平衡时，离 子间总的相互作用势能)1()(0

0--

=m R NZb

R U m ，其中Z 是晶体配位数。 证明： 设离子数目为2N ，以R a r j ij =表示第j 个离子到参考离子i 的距离，忽略表面效应，则总的相互作用能可表示为

][])([

22/

m m j j R

b

Z R e N R b R a e N U +-=+±-=∑∑

μ最近邻，

其中 )1

(/

j

j

a ±

=

∑

μ为马德隆常数，+号对应于异号离子，—号对应于同号离子；Z 为任一离子的最近邻数目。设平衡时0R R =，由平衡条件，

0][

1

2

02

=-

=+m R R Zmb

R e N dr

dU

μ， 得 2

10e R Zmb m μ=-，即11

2

0)(-=m e

Zmb R μ。 于是，晶体平衡时离子间总的相互作用势能 )1(][0

000--=+-

=m R N Z b

R Zb R Zmb N U m

m m 。

12． 两原子间互作用势,)(8

2

r

r

r u β

α

+

-

= 当两原子构成一稳定分子时，核间距为o

A 3，解离能为4eV ，

求βα和。

[解答] 当两原子构成一稳定分子即平衡时，其相互作用势能取极小值，于是有

082)(90

300=-==r r dr r du r r β

α。

由此得平衡时两原子间的距离为 6

1

0)4(

α

β

=r ， （1）

而平衡时的势能为 20

8

02

0043)(r r r r u α

β

α

-

=+

-

=。 （2） 根据定义，解离能为物体全部离解成单个原子时所需要的能量，其值等于)(0r u 。已知解离能为4eV ，因此得

4432

=r α

eV 。 （3） 再将o

A 30=r 代入（1）、（3）两式，得 238

1069.7m J ??=-α， 895

1040.1m J ??=-β。

13． 勒纳—琼斯势为],)()

[(4)(612

r

r

r u σ

σ

ε-= 证明：σ12.1=r 时，势能最小，且ε-=)(r u ；当σ

=r 时，0)(=r u ；说明ε和σ的物理意义。

[解答] 当0r r =时，)(r u 取最小值)(0r u ，由极值条件

0)

(0

==r r dr r du ，

得 0)6

12

(470

6

130

12

=+-r

r

σσε。

于是有 σσ12.126

1

0==r 。

再代入u 的表示式得

εεσσ

ε-=-=-=)2

1

41(4])()[(

4)(601200r r r u 。 当σ=r 时，则有 0])()[(4)(6

12=-=σ

σσσεσu 。

由于)(0r u 是两分子间的结合能，所以ε即是两分子处于平衡时的结合能。σ具有长度的量纲，它的物理意义是互作用势能为0时两分子间的间距。

第八章 缺陷习题答案

1．为什么形成一个肖脱基缺陷所需能量比形成一个弗仑克尔缺陷所需能量低？

[解答] 形成一个肖特基缺陷时，晶体内留下一个空位，晶体表面多一个原子。因此形成一个肖特基缺陷所需的能量，可以看成晶体表面一个原子与其他原子的作用能，和晶体内部一个原子与其他原子的相互作用能的差值。形成一个弗仑克尔缺陷时，晶体内留下一个空位，多一个填隙原子。因此形成一个弗仑克尔缺陷所需要的能量，可以看成晶体内部一个填隙原子与其他原子的相互作用能，和晶体内部一个原子与其他原子相互作用能的差值。填隙原子与相邻原子的距离非常小，它与其他原子的排斥能比正常原子间的排斥能大得多。由于排斥能是正值，包括吸引能和排斥能的相互作用能是负值，所以填隙原子与其他原子的相互作用能绝对值，比晶体表面一个原子与其他原子相互作用能的绝对值要小。也就是说，形成一个肖特基缺陷所需能量比形成一个弗仑克尔缺陷所需能量要低。

2．金属淬火后为什么变硬？

[解答] 晶体的一部分相对于另一部分的滑移，实际是位错线的滑移，位错线的移动是逐步进行的，使得滑移的切应力最小。这就是金属一般较软的原因之一。显然，要提高金属的强度和硬度，似乎可以通过消除位错的办法来实现。但事实上位错是很难消除的。相反，要提高金属的强度和硬度，通常采用增加位错的办法来实现。金属淬火就是增加位错的有效办法。将金属加热到一定高温，原子振动的幅度比常温时的幅度大得多，原子脱离正常格点的几率比常温时大得多，晶体中产生大量的空位、填隙缺陷。这些点缺陷容易形成位错。也就是说，在高温时，晶体内的位错缺陷比常温时多得多。高温的晶体在适宜的液体中急冷，高温时新产生的位错来不及恢复和消退，大部分被存留下来。数目众多的位错相互交织在一起，某一方向的位错的滑移，会受到其他方向位错的牵制，使位错滑移的阻力大大增加，使得金属变硬。

3．在位错滑移时，刃位错上原子受的力和螺位错上原子受的力各有什么特点？

[解答] 在位错滑移时，刃位错上原子受力的方向就是位错滑移的方向。但螺位错滑移时，螺位错上原子受力的方向与位错滑移的方向相垂直。

4．离子晶体中正负离子空位数目、填隙原子数目都相等，在外电场作用下，它们对导电的贡献完全相同吗？

[解答] 在正负离子空位数目、填隙离子数目都相等情况下，-

+

B A 离子晶体的热缺陷对导电的贡献只取决

于它们的迁移率μ 。设正离子空位附近的离子和填隙离子的振动频率分别为 +

u A ν 和 +

i A ν，正离子空位附近的离子和填隙离子跳过的势垒高度分别为+

u A E 和+

i A E ，负离子空位附近的离子和填隙离子的振动频率分别为-

u B ν和-

i B ν ，负离子空位附近的离子和填隙离子跳过的势垒高度分别为-

u B E 和 -

u B E ，则有

T

k E B A A

B A u

u

e

T

k v ea /2+-+

+

=

υμ，T

k E B A A B i A i

i

e

T

k v ea /2+-+

+

=

μ，

T

k E B B B B B u

e

T

k v ea /2---

-=

υυμ，

T

k E B B B B i B i

i

e

T

k v ea /2---

-

=

μ。由空位附近的离子跳到空位上的几率，比填隙离子跳到相邻间隙位置上的几率

大得多，可以推断出空位附近的离子跳过的势垒高度，比填隙离子跳过的势垒高度要低，即+

u A E <+

i A E ,

-u B E <-u B E 。+u A ν <+i A ν, -u B ν<-

i B ν ，另外，由于+A 和-B 的离子半径不同，质量不同，所以一般

-

+

≠B A E E ，-

+

≠B A νν .也就是说，一般-

-++≠≠≠i u i u B B A A μμμμ。因此，即使离子晶体中正负离子

空位数目、填隙离子数目都相等，在外电场作用下，它们对导电的贡献一般也不会相同。

5． 晶体结构对缺陷扩散有何影响？

[解答] 扩散是自然界中普遍存在的现象，它的本质是离子作无规则的布郎运动。通过扩散可实现质量的输运。晶体中缺陷的扩散现象与气体分子的扩散相似，不同之处是缺陷在晶体中运动要受到晶格周期性的限制，要克服势垒的阻挡，对于简单晶格，缺陷每跳一步的间距等于跳跃方向上的周期。

6． 一个空位花费多长时间才被复合掉？

[解答] 对于借助于空位进行扩散的正常晶格上的原子，只有它相邻的一个原子成为空位时，它才扩散一步，所需等待的时间是1τ 。但它相邻的一个原子成为空位的几率是N n 1，所以它等待到这相邻原子成为空位，并跳到此空位上所花费的时间 T

k E u B e n N t /)(01

11111+==

ντ。

7． 自扩散系数的大小与哪些因素有关？

[解答] 填隙原子机构的自扩散系数与空位机构自扩散系数可统一写成

RT N T k e a z

e a z D B /20/2001

1εενν--==

可以看出，自扩散系数与原子的振动频率0ν ，晶体结构（晶格常数a ），激活能（ε0N ）三因素有关。

8． 替位式杂质原子扩散系数比晶体缺陷自扩散系数大的原因是什么？

[解答] 占据正常晶格位置的替位式杂质原子，它的原子半径和电荷量都或多或少与母体原子半径和电荷

量不同。这种不同就会引起杂质原子附近的晶格发生畸变，使得畸变区出现空位的几率大大增加，进而使得杂质原子跳向空位的等待时间大为减少，加大了杂质原子的扩散速度。

9． 你认为自扩散系数的理论值比实验值小很多的主要原因是什么？

[解答] 目前固体物理教科书对自扩散的分析，是基于点缺陷的模型，这一模型过于简单，与晶体缺陷的实际情况可能有较大差异，实际晶体中，不仅存在点缺陷，还存在线缺陷和面缺陷，这些尺度更大的缺陷可能对扩散起重要影响。也许没有考虑线缺陷和面缺陷对扩散系数的贡献是理论值比实验值小很多的主要原因。

10．-+B A 离子晶体的导电机构有几种？

[解答] 离子晶体导电是离子晶体中的热缺陷在外电场中的定向漂移引起的，-+B A 离子晶体中有4种缺陷：+A 填隙离子， -B 填隙离子，+A 空位，-B 空位。也就是说，-

+B A 离子晶体的导电机构有4种。空位的扩散实际是空位附近离子跳到空位位置，原来离子的位置变成空位。-+B A 离子晶体中，+

A 空位附近都是负离子，-

B 空位附近都是正离子。由此可知，+A 空位的移动实际是负离子的移动，-

B 空位的移动实际是正离子的移动。因此，在外电场的作用下，+A 填隙离子和-

B 空位的漂移方向与外电场方向一致，而-B 填隙离子和+

A 空位的漂移方向与外电场方向相反。

11．假设把一个Na 原子从Na 晶体中移到表面上所需的能量为1eV ，计算室温时肖脱基缺陷的相对浓度. [解答] 对于肖特基缺陷，在单原子晶体中空位数为

T

k u B Ne

n /11-=

式中N 为原子数，1u 为将一个原子由晶体内的格点移到表面所需的能量。取室温时K T 300=，得室温时肖脱基缺陷的相对浓度

17

6.382319/11072.1)

3001038.1106.1ex p(1-----?==???-==e e N n T

k u B

13．试求有肖脱基缺陷后，上题中的体积的相对变化△V /V 。V 为无缺陷时的晶体体积。

[解答] 肖脱基缺陷是晶体内部的原子跑到晶体表面上，而使原来的位置变成空位。也就是说，肖脱基缺陷将引起晶体体积的增大。设每个离子占据体积为υ ，则当出现n 对正、负离子空位时，所增加的体积为

υn V 2=?.

而晶体原体积为

υN V 2=

由以上两式及上题中的结果 )

2/(T k E B Ne n -=

得 )2/(T k E B e N

n

V

V

-==

?.

固体物理课后答案

1.1 如果将等体积球分别排列成下列结构，设x 表示钢球所占体积与总体积之比，证明结构x简单立方π/ 6 ≈0.52体心立方3π/ 8 ≈0.68面心立方2π/ 6 ≈0.74六方密 排2π/ 6 ≈0.74金刚石3π/16 ≈0.34 解：设钢球半径为r ，根据不同晶体结构原子球的排列，晶格常数a 与r 的关系不同，分别为：简单立方：a = 2r 金刚石：根据金刚石结构的特点，因为体对角线四分之一处的原子与角上的原子紧贴，因此有 1.3 证明：体心立方晶格的倒格子是面心立方；面心立方晶格的倒格子是体心立方。 证明：体心立方格子的基矢可以写为

面心立方格子的基矢可以写为 根据定义，体心立方晶格的倒格子基矢为 同理 与面心立方晶格基矢对比，正是晶格常数为4π/ a的面心立方的基矢，说明体心立方晶格的倒格子确实是面心立方。注意，倒格子不是真实空间的几何分布，因此该面心立方只是形式上的，或者说是倒格子空间中的布拉菲格子。根据定义，面心立方的倒格子基矢为 同理 而把以上结果与体心立方基矢比较，这正是晶格常数为4πa的体心立方晶格的基矢。 证明：根据定义，密勒指数为的晶面系中距离原点最近的平面ABC 交于基矢的截距分别为 即为平面的法线

根据定义，倒格子基矢为 则倒格子原胞的体积为 1.6 对于简单立方晶格，证明密勒指数为(h, k,l)的晶面系，面间距d 满足 其中a 为立方边长。 解：根据倒格子的特点，倒格子 与晶面族(h, k,l)的面间距有如下关系 因此只要先求出倒格，求出其大小即可。 因为倒格子基矢互相正交，因此其大小为 则带入前边的关系式，即得晶面族的面间距。 1.7 写出体心立方和面心立方晶格结构的金属中，最近邻和次近邻的原子数。若立方边长为a ，写出最近邻和次近邻的原子间距。 答：体心立方晶格的最近邻原子数（配位数）为8，最近邻原子间距等于 次近邻原子数为6，次近邻原子间距为a ；

固体物理学》概念和习题 答案

《固体物理学》概念和习 题答案 The document was prepared on January 2, 2021

《固体物理学》概念和习题固体物理基本概念和思考题： 1.给出原胞的定义。 答：最小平行单元。 2.给出维格纳-赛茨原胞的定义。 答：以一个格点为原点，作原点与其它格点连接的中垂面(或中垂线)，由这些中垂面(或中垂线)所围成的最小体积(或面积)即是维格纳-赛茨原胞。 3.二维布喇菲点阵类型和三维布喇菲点阵类型。 4. 请描述七大晶系的基本对称性。 5. 请给出密勒指数的定义。 6. 典型的晶体结构（简单或复式格子，原胞，基矢，基元坐标）。 7. 给出三维、二维晶格倒易点阵的定义。 8. 请给出晶体衍射的布喇格定律。 9. 给出布里渊区的定义。 10. 晶体的解理面是面指数低的晶面还是指数高的晶面为什么 11. 写出晶体衍射的结构因子。 12. 请描述离子晶体、共价晶体、金属晶体、分子晶体的结合力形式。 13. 写出分子晶体的雷纳德-琼斯势表达式，并简述各项的来源。 14. 请写出晶格振动的波恩-卡曼边界条件。 15. 请给出晶体弹性波中光学支、声学支的数目与晶体原胞中基元原子数目之间的关系以及光学支、声学支各自的振动特点。（晶体含N个原胞，每个原胞含p个原子，问该晶体晶格振动谱中有多少个光学支、多少个声学支振动模式）

16. 给出声子的定义。 17. 请描述金属、绝缘体热容随温度的变化特点。 18. 在晶体热容的计算中，爱因斯坦和德拜分别做了哪些基本假设。 19. 简述晶体热膨胀的原因。 20. 请描述晶体中声子碰撞的正规过程和倒逆过程。 21. 分别写出晶体中声子和电子分别服从哪种统计分布（给出具体表达式） 22. 请给出费米面、费米能量、费米波矢、费米温度、费米速度的定义。 23. 写出金属的电导率公式。 24. 给出魏德曼-夫兰兹定律。 25. 简述能隙的起因。 26. 请简述晶体周期势场中描述电子运动的布洛赫定律。 27. 请给出在一级近似下，布里渊区边界能隙的大小与相应周期势场的傅立叶分量之间的关系。 28. 给出空穴概念。 29. 请写出描述晶体中电子和空穴运动的朗之万（Langevin）方程。 30. 描述金属、半导体、绝缘体电阻随温度的变化趋势。 31. 解释直接能隙和间接能隙晶体。 32. 请说明本征半导体与掺杂半导体的区别。 33. 请解释晶体中电子的有效质量的物理意义。 34. 给出半导体的电导率。 35. 说明半导体的霍尔效应与那些量有关。 36. 请解释德哈斯-范阿尔芬效应。

固体物理习题解答

《固体物理学》习题解答 ( 仅供参考) 参加编辑学生 柯宏伟（第一章），李琴（第二章），王雯（第三章），陈志心（第四章），朱燕（第五章），肖骁（第六章），秦丽丽（第七章） 指导教师 黄新堂 华中师范大学物理科学与技术学院2003级

2006年6月 第一章 晶体结构 1. 氯化钠与金刚石型结构是复式格子还是布拉维格子，各自的基元为何？写出 这两种结构的原胞与晶胞基矢，设晶格常数为a 。 解： 氯化钠与金刚石型结构都是复式格子。氯化钠的基元为一个Na +和一个Cl － 组成的正负离子对。金刚石的基元是一个面心立方上的Ｃ原子和一个体对角线上的Ｃ原子组成的Ｃ原子对。 由于NaCl 和金刚石都由面心立方结构套构而成，所以，其元胞基矢都为： 12 3()2()2()2a a a ? =+?? ?=+?? ?=+?? a j k a k i a i j 相应的晶胞基矢都为： ,,.a a a =?? =??=? a i b j c k 2. 六角密集结构可取四个原胞基矢 123,,a a a 与4a ,如图所示。试写出13O A A '、1331A A B B 、2255A B B A 、123456A A A A A A 这四个晶面所属晶面族的 晶面指数()h k l m 。 解： (1)．对于13O A A '面，其在四个原胞基矢 上的截矩分别为：１，１，1 2 -，１。所以， 其晶面指数为()1121。

(2)．对于1331A A B B 面，其在四个原胞基矢上的截矩分别为：１，１，1 2-，∞。 所以，其晶面指数为()1120。 (3)．对于2255A B B A 面，其在四个原胞基矢上的截矩分别为：１，1-，∞，∞。所以，其晶面指数为()1100。 (4)．对于123456A A A A A A 面，其在四个原胞基矢上的截矩分别为：∞，∞，∞，１。所以，其晶面指数为()0001。 3. 如将等体积的硬球堆成下列结构，求证球体可能占据的最大体积与总体积的 比为： 简立方： 6 π ；六角密集：6；金刚石： 。 证明： 由于晶格常数为a ，所以： (1)．构成简立方时，最大球半径为2 m a R = ，每个原胞中占有一个原子， 3 34326m a V a π π??∴== ??? 36 m V a π∴ = (2)．构成体心立方时，体对角线等于４倍的最大球半径，即：4m R ，每个晶胞中占有两个原子， 3 3 422348m V a π??∴=?= ? ??? 32m V a ∴ = (3)．构成面心立方时，面对角线等于４倍的最大球半径，即：4m R ，每个晶胞占有４个原子， 3 3 444346 m V a a π??∴=?= ? ???

固体物理学题库..doc

一、填空 1.固体按其微结构的有序程度可分为 _______、_______和准晶体。 2.组成粒子在空间中周期性排列，具有长程有序的固体称为 _______；组成粒子在空间中的分布完全无序或仅仅具有短程有序的固体称为 _________。 3.在晶体结构中，所有原子完全等价的晶格称为 ______________；而晶体结构中，存在两种或两种以上不等价的原子或离子的晶格称为 ____________。 4晶体结构的最大配位数是____；具有最大配位数的晶体结构包括 ______________晶体结构和 ______________晶体结构。 5.简单立方结构原子的配位数为 ______；体心立方结构原子的配位数为 ______。6．NaCl 结构中存在 _____个不等价原子，因此它是 _______晶格，它是由氯离子和钠离子各自构成的 ______________格子套构而成的。 7.金刚石结构中存在 ______个不等价原子，因此它是 _________晶格，由两个_____________结构的布拉维格子沿空间对角线位移1/4 的长度套构而成，晶胞中有 _____个碳原子。 8. 以结晶学元胞（单胞）的基矢为坐标轴来表示的晶面指数称为________指数。 9. 满足 a i b j 2 ij 2 ,当i j时 关系的 b1,b 2, b 3为基矢，由0，当 i （ i, j 1,2,3) j时 K h h b h b h构b成的点阵，称为 _______。 1 1 2 2 3 10.晶格常数为 a 的一维单原子链，倒格子基矢的大小为 ________。 11.晶格常数为 a 的面心立方点阵初基元胞的体积为 _______；其第一布里渊区的体积为 _______。 12.晶格常数为 a 的体心立方点阵初基元胞的体积为 _______；其第一布里渊区的体积为 _______。 13.晶格常数为 a 的简立方晶格的 (010)面间距为 ________ 14.体心立方的倒点阵是 ________________点阵，面心立方的倒点阵是 ________________点阵，简单立方的倒点阵是________________。 15.一个二维正方晶格的第一布里渊区形状是 ________________。 16.若简单立方晶格的晶格常数由 a 增大为 2a，则第一布里渊区的体积变为原来的 ___________倍。

黄昆版固体物理学课后答案解析答案

《固体物理学》习题解答 黄昆 原著 韩汝琦改编 （陈志远解答，仅供参考） 第一章 晶体结构 1.1、 解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n 和小球体积V 所得到的小球总体积nV 与晶体原胞体积Vc 之比，即：晶体原胞的空间利用率， Vc nV x = （1）对于简立方结构：（见教材P2图1-1） a=2r ， V= 3 r 3 4π，Vc=a 3，n=1 ∴52.06r 8r 34a r 34x 3 333=π=π=π= （2）对于体心立方：晶胞的体对角线BG=x 3 3 4a r 4a 3=?= n=2, Vc=a 3 ∴68.083)r 3 34(r 342a r 342x 3 3 33≈π=π?=π?= （3）对于面心立方：晶胞面对角线BC=r 22a ,r 4a 2=?= n=4，Vc=a 3 74.062) r 22(r 344a r 344x 3 3 33≈π=π?=π?= （4）对于六角密排：a=2r 晶胞面积：S=62 60sin a a 6S ABO ??=??=2 a 233 晶胞的体积：V=332r 224a 23a 3 8 a 233C S ==?= ? n=1232 1 26112+?+? =6个 74.062r 224r 346x 3 3 ≈π=π?= （5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG=3 r 8a r 24a 3= ??= n=8, Vc=a 3

固体物理习题解答

1. 解理面是面指数低的晶面还是指数高的晶面？为什么？ [解答] 晶体容易沿解理面劈裂，说明平行于解理面的原子层之间的结合力弱，即平行解理面的原子层的间距大. 因为面间距大的晶面族的指数低, 所以解理面是面指数低的晶面. 2. 在晶体衍射中，为什么不能用可见光？ [解答] 晶体中原子间距的数量级为10 10 -米，要使原子晶格成为光波的衍射光栅，光波的波长 应小于10 10-米. 但可见光的波长为7.6?4.07 10-?米, 是晶体中原子间距的1000倍. 因此, 在晶体衍射中，不能用可见光. 3. 原子间的排斥作用和吸引作用有何关系? 起主导的范围是什么? [解答] 在原子由分散无规的中性原子结合成规则排列的晶体过程中, 吸引力起到了主要作用. 在吸引力的作用下, 原子间的距离缩小到一定程度, 原子间才出现排斥力. 当排斥力与吸引力相等时, 晶体达到稳定结合状态. 可见, 晶体要达到稳定结合状态, 吸引力与排斥力缺一不可. 设此时相邻原子间的距离为0r , 当相邻原子间的距离r >0r 时, 吸引力起主导作用; 当相邻原子间的距离r <0r 时, 排斥力起主导作用. 4. 紧束缚模型下, 内层电子的能带与外层电子的能带相比较, 哪一个宽? 为什么? [解答] 以s 态电子为例. 由图5.9可知, 紧束缚模型电子能带的宽度取决于积分s J 的大小, 而积分 r R r R r r r d )()]()([)(* n at s n at N at s s V V J ----=???Ω 的大小又取决于) (r at s ? 与相邻格点的)(n at s R r -?的交迭程度. 紧束缚模型下, 内层电子的 )(r at s ?与)(n at s R r -?交叠程度小, 外层电子的)(r at s ?与)(n at s R r -?交迭程度大. 因此, 紧 束缚模型下, 内层电子的能带与外层电子的能带相比较, 外层电子的能带宽. 5. 在布里渊区边界上电子的能带有何特点? [解答] 电子的能带依赖于波矢的方向, 在任一方向上, 在布里渊区边界上, 近自由电子的能带一般会出现禁带. 若电子所处的边界与倒格矢n K 正交, 则禁带的宽度 )(2n K V E g =, )(n K V 是周期势场的付里叶级数的系数. 不论何种电子, 在布里渊区边界上, 其等能面在垂直于布里渊区边界的方向上的斜率为零, 即电子的等能面与布里渊区边界正交. 6. 高指数的晶面族与低指数的晶面族相比, 对于同级衍射, 哪一晶面族衍射光弱? 为什么? 对于同级衍射, 高指数的晶面族衍射光弱, 低指数的晶面族衍射光强. 低指数的晶面族面间距大, 晶面上的原子密度大, 这样的晶面对射线的反射(衍射)作用强. 相反, 高指数的晶面族面间距小, 晶面上的原子密度小, 这样的晶面对射线的反射(衍射)作用弱. 另外, 由布拉格反射公式 λθn sin 2=hkl d 可知, 面间距hkl d 大的晶面, 对应一个小的光的掠射角θ. 面间距hkl d 小的晶面, 对应一个大的光的掠射角θ. θ越大, 光的透射能力就越强, 反射能力就越弱.

固体物理学题库

固体物理学题库 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

一、 填空 1. 固体按其微结构的有序程度可分为_______、_______和准晶体。 2. 组成粒子在空间中周期性排列，具有长程有序的固体称为_______；组成粒子在空间中的分布完全无序或仅仅具有短程有序的固体称为_________。 3. 在晶体结构中，所有原子完全等价的晶格称为______________；而晶体结构中，存在两种或两种以上不等价的原子或离子的晶格称为____________。 4晶体结构的最大配位数是____；具有最大配位数的晶体结构包括______________晶体结构和______________晶体结构。 5. 简单立方结构原子的配位数为______；体心立方结构原子的配位数为______。 6．NaCl 结构中存在_____个不等价原子，因此它是_______晶格，它是由氯离子和钠离子各自构成的______________格子套构而成的。 7. 金刚石结构中存在______个不等价原子，因此它是_________晶格，由两个_____________结构的布拉维格子沿空间对角线位移1/4的长度套构而成，晶胞中有_____个碳原子。 8. 以结晶学元胞（单胞）的基矢为坐标轴来表示的晶面指数称为________指数。 9. 满足2,2,1,2,3)0i j ij i j a b i j i j ππδ=??===?≠? 当时 （，当时关系的123,,b b b 为基矢，由 112233h K hb h b h b =++构成的点阵，称为_______。 10. 晶格常数为a 的一维单原子链，倒格子基矢的大小为________。 11. 晶格常数为a 的面心立方点阵初基元胞的体积为_______；其第一布里渊区的体积为_______。 12. 晶格常数为a 的体心立方点阵初基元胞的体积为_______；其第一布里渊区的体积为_______。 13. 晶格常数为a 的简立方晶格的(010)面间距为________

固体物理学概念和习题答案

《固体物理学》概念和习题固体物理基本概念和思考题： 1.给出原胞的定义。 答：最小平行单元。 2.给出维格纳-赛茨原胞的定义。 答：以一个格点为原点，作原点与其它格点连接的中垂面(或中垂线)，由这些中垂面(或中垂线)所围成的最小体积(或面积)即是维格纳-赛茨原胞。 3.二维布喇菲点阵类型和三维布喇菲点阵类型。 4. 请描述七大晶系的基本对称性。 5. 请给出密勒指数的定义。 6. 典型的晶体结构（简单或复式格子，原胞，基矢，基元坐标）。 7. 给出三维、二维晶格倒易点阵的定义。 8. 请给出晶体衍射的布喇格定律。 9. 给出布里渊区的定义。 10. 晶体的解理面是面指数低的晶面还是指数高的晶面？为什么？ 11. 写出晶体衍射的结构因子。 12. 请描述离子晶体、共价晶体、金属晶体、分子晶体的结合力形式。 13. 写出分子晶体的雷纳德-琼斯势表达式，并简述各项的来源。 14. 请写出晶格振动的波恩-卡曼边界条件。 15. 请给出晶体弹性波中光学支、声学支的数目与晶体原胞中基元原子数目之间的关系以及光学支、声学支各自的振动特点。（晶体含N个原胞，每个原胞含p个原子，问该晶体晶格振动谱中有多少个光学支、多少个声学支振动模式？）

16. 给出声子的定义。 17. 请描述金属、绝缘体热容随温度的变化特点。 18. 在晶体热容的计算中，爱因斯坦和德拜分别做了哪些基本假设。 19. 简述晶体热膨胀的原因。 20. 请描述晶体中声子碰撞的正规过程和倒逆过程。 21. 分别写出晶体中声子和电子分别服从哪种统计分布（给出具体表达式）？ 22. 请给出费米面、费米能量、费米波矢、费米温度、费米速度的定义。 23. 写出金属的电导率公式。 24. 给出魏德曼-夫兰兹定律。 25. 简述能隙的起因。 26. 请简述晶体周期势场中描述电子运动的布洛赫定律。 27. 请给出在一级近似下，布里渊区边界能隙的大小与相应周期势场的傅立叶分量之间的关系。 28. 给出空穴概念。 29. 请写出描述晶体中电子和空穴运动的朗之万（Langevin）方程。 30. 描述金属、半导体、绝缘体电阻随温度的变化趋势。 31. 解释直接能隙和间接能隙晶体。 32. 请说明本征半导体与掺杂半导体的区别。 33. 请解释晶体中电子的有效质量的物理意义。 34. 给出半导体的电导率。 35. 说明半导体的霍尔效应与那些量有关。

固体物理课后习题与答案

第一章 金属自由电子气体模型习题及答案 1. 你是如何理解绝对零度时和常温下电子的平均动能十分相近这一点的？ [解答] 自由电子论只考虑电子的动能。在绝对零度时，金属中的自由（价）电子，分布在费米能级及其以下的能级上，即分布在一个费米球内。在常温下，费米球内部离费米面远的状态全被电子占据，这些电子从格波获取的能量不足以使其跃迁到费米面附近或以外的空状态上，能够发生能态跃迁的仅是费米面附近的少数电子,而绝大多数电子的能态不会改变。也就是说，常温下电子的平均动能与绝对零度时的平均动能十分相近。 2. 晶体膨胀时，费米能级如何变化？ [解答] 费米能级 3/222 )3(2πn m E o F = ， 其中n 单位体积内的价电子数目。晶体膨胀时，体积变大，电子数目不变，n 变小，费密能级降低。 3． 为什么温度升高，费米能反而降低？ [解答] 当K T 0≠时，有一半量子态被电子所占据的能级即是费米能级。除了晶体膨胀引起费米能级降低外，温度升高，费米面附近的电子从格波获取的能量就越大，跃迁到费米面以外的电子就越多，原来有一半量子态被电子所占据的能级上的电子就少于一半，有一半量子态被电子所占据的能级必定降低，也就是说，温度生高，费米能反而降低。 4． 为什么价电子的浓度越大，价电子的平均动能就越大？ [解答] 由于绝对零度时和常温下电子的平均动能十分相近，我们讨论绝对零度时电子的平均动能与电子的浓度的关系。 价电子的浓度越大，价电子的平均动能就越大，这是金属中的价电子遵从费米—狄拉克统计分布的必 然结果。在绝对零度时，电子不可能都处于最低能级上，而是在费米球中均匀分布。由式 3/120)3(πn k F =可知，价电子的浓度越大费米球的半径就越大，高能量的电子就越多，价电子的平均动能 就越大。这一点从3 /2220)3(2πn m E F =和3/222)3(10353πn m E E o F ==式看得更清楚。电子的平均动能E 正比于费米能o F E ，而费米能又正比于电子浓度3 2l n 。所以价电子的浓度越大，价电子的平均动能就越大。 5． 两块同种金属，温度不同，接触后，温度未达到相等前，是否存在电势差？为什么？ [解答] 两块同种金属，温度分别为1T 和2T ，且21T T >。在这种情况下，温度为1T 的金属高于费米能o F E 的电子数目，多于温度为2T 的金属高于费米能o F E 的电子数目。两块同种金属接触后，系统的能量要取最小值，温度为1T 的金属高于o F E 的部分电子将流向温度为2T 的金属。温度未达到相等前，这种流动一直持续，期间，温度为1T 的金属失去电子，带正电；温度为2T 的金属得到电子，带负电，两者出现电势差。

《固体物理学》基础知识训练题及其参考标准答案

《固体物理》基础知识训练题及其参考答案 说明：本内容是以黄昆原著、韩汝琦改编的《固体物理学》为蓝本，重点训练读者在固体物理方面的基础知识，具体以19次作业的形式展开训练。 第一章 作业1： 1.固体物理的研究对象有那些？ 答：（1）固体的结构；（2）组成固体的粒子之间的相互作用与运动规律；（3）固体的性能与用途。 2.晶体和非晶体原子排列各有什么特点？ 答：晶体中原子排列是周期性的，即晶体中的原子排列具有长程有序性。非晶体中原子排列没有严格的周期性，即非晶体中的原子排列具有短程有序而长程无序的特性。 3.试说明体心立方晶格，面心立方晶格，六角密排晶格的原子排列各有何特点？试画图说明。有那些单质晶体分别属于以上三类。 答：体心立方晶格：除了在立方体的每个棱角位置上有1个原子以外，在该立方体的体心位置还有一个原子。常见的体心立方晶体有：Li，Na，K，Rb，Cs，Fe等。 面心立方晶格：除了在立方体的每个棱角位置上有1个原子以外，在该立方体每个表面的中心还都有1个原子。常见的面心立方晶体有：Cu, Ag, Au, Al等。 六角密排晶格：以ABAB形式排列，第一层原子单元是在正六边形的每个角上分布1个原子，且在该正六边形的中心还有1个原子；第二层原子单元是由3个原子组成正三边形的角原子，且其中心在第一层原子平面上的投影位置在对应原子集合的最低凹陷处。常见的六角密排晶体有：Be，Mg，Zn，Cd等。 4.试说明, NaCl，金刚石，CsCl, ZnS晶格的粒子排列规律。 答：NaCl：先将两套相同的面心立方晶格，并让它们重合，然后，将一 套晶格沿另一套晶格的棱边滑行1/2个棱长，就组成Nacl晶格； 金刚石：先将碳原子组成两套相同的面心立方体，并让它们重合，然后将一套晶格沿另一套晶格的空角对角线滑行1/4个对角线的长度，就组成金刚石晶格； Cscl:：先将组成两套相同的简单立方，并让它们重合，然后将一套晶 格沿另一套晶格的体对角线滑行1/2个体对角线的长度，就组成Cscl晶格。 ZnS：类似于金刚石。

固体物理学答案详细版

《固体物理学》部分习题参考解答 第一章 1.1 有许多金属即可形成体心立方结构，也可以形成面心立方结构。从一种结构转变为另一种结构时体积变化很小.设体积的变化可以忽略，并以R f 和R b 代表面心立方和体心立方结构中最近邻原子间的距离，试问R f /R b 等于多少？ 答：由题意已知，面心、体心立方结构同一棱边相邻原子的距离相等，都设为a ： 对于面心立方，处于面心的原子与顶角原子的距离为：R f = 2 a 对于体心立方，处于体心的原子与顶角原子的距离为：R b a 那么， Rf Rb 31.2 晶面指数为（123）的晶面ABC 是离原点O 最近的晶面，OA 、OB 和OC 分别与基失a 1， a 2和a 3重合，除O 点外，OA ，OB 和OC 上是否有格点？若ABC 面的指数为（234），情况又如何？ 答：根据题意，由于OA 、OB 和OC 分别与基失a 1，a 2和a 3重合，那么 1.3 二维布拉维点阵只有5种，试列举并画图表示之。 答：二维布拉维点阵只有五种类型：正方、矩形、六角、有心矩形和斜方。分别如图所示： 1.4 在六方晶系中，晶面常用4个指数（hkil ）来表示，如图所示，前3个指数表示晶面族中最靠近原点的晶面在互成120°的共平面轴a 1，a 2，a 3上的截距a 1/h ，a 2/k ，a 3/i ，第四个指数表示该晶面的六重轴c 上的截距c/l.证明：i=-（h+k ） 并将下列用（hkl ）表示的晶面改用（hkil ）表示：（001）(133)(110)(323)（100） （010）(213) 答：证明 设晶面族（hkil ）的晶面间距为d ，晶面法线方向的单位矢量为n °。因为晶面族（hkil ）中最靠近原点的晶面ABC 在a 1、a 2、a 3轴上的截距分别为a 1/h ，a 2/k ，a 3/i ，因此 123o o o a n hd a n kd a n id === ……… (1) 正方 a=b a ^b=90° 六方 a=b a ^b=120° 矩形 a ≠b a ^b=90° 带心矩形 a=b a ^b=90° 平行四边形 a ≠b a ^b ≠90°

固体物理学概念和习题答案

固体物理学概念和习题 答案 Standardization of sany group #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#

《固体物理学》概念和习题固体物理基本概念和思考题： 1.给出原胞的定义。 答：最小平行单元。 2.给出维格纳-赛茨原胞的定义。 答：以一个格点为原点，作原点与其它格点连接的中垂面(或中垂线)，由这些中垂面(或中垂线)所围成的最小体积(或面积)即是维格纳-赛茨原胞。 3.二维布喇菲点阵类型和三维布喇菲点阵类型。 4. 请描述七大晶系的基本对称性。 5. 请给出密勒指数的定义。 6. 典型的晶体结构（简单或复式格子，原胞，基矢，基元坐标）。 7. 给出三维、二维晶格倒易点阵的定义。 8. 请给出晶体衍射的布喇格定律。 9. 给出布里渊区的定义。 10. 晶体的解理面是面指数低的晶面还是指数高的晶面为什么 11. 写出晶体衍射的结构因子。 12. 请描述离子晶体、共价晶体、金属晶体、分子晶体的结合力形式。 13. 写出分子晶体的雷纳德-琼斯势表达式，并简述各项的来源。 14. 请写出晶格振动的波恩-卡曼边界条件。 15. 请给出晶体弹性波中光学支、声学支的数目与晶体原胞中基元原子数目之间的关系以及光学支、声学支各自的振动特点。（晶体含N个原胞，每个原胞含p个原子，问该晶体晶格振动谱中有多少个光学支、多少个声学支振动模式）

16. 给出声子的定义。 17. 请描述金属、绝缘体热容随温度的变化特点。 18. 在晶体热容的计算中，爱因斯坦和德拜分别做了哪些基本假设。 19. 简述晶体热膨胀的原因。 20. 请描述晶体中声子碰撞的正规过程和倒逆过程。 21. 分别写出晶体中声子和电子分别服从哪种统计分布（给出具体表达式） 22. 请给出费米面、费米能量、费米波矢、费米温度、费米速度的定义。 23. 写出金属的电导率公式。 24. 给出魏德曼-夫兰兹定律。 25. 简述能隙的起因。 26. 请简述晶体周期势场中描述电子运动的布洛赫定律。 27. 请给出在一级近似下，布里渊区边界能隙的大小与相应周期势场的傅立叶分量之间的关系。 28. 给出空穴概念。 29. 请写出描述晶体中电子和空穴运动的朗之万（Langevin）方程。 30. 描述金属、半导体、绝缘体电阻随温度的变化趋势。 31. 解释直接能隙和间接能隙晶体。 32. 请说明本征半导体与掺杂半导体的区别。 33. 请解释晶体中电子的有效质量的物理意义。 34. 给出半导体的电导率。 35. 说明半导体的霍尔效应与那些量有关。 36. 请解释德哈斯-范阿尔芬效应。

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一 名词解释 原胞 布喇菲点阵 结点 第一布里渊区 肖脱基缺陷 弗兰克尔缺陷 费米面 费米能量 费米温度 绝热近似 肖特基效应 德哈斯—范阿尔芬效应 马德隆常数 二 简答题 1. 简述Si 的晶体结构的主要特征 2. 证明面心立方的倒格子为体心立方 3. 按对称类型分类，布拉菲格子的点群类型有几种？空间群类型有几种？晶体结构的点群类型有几种？空间群类型有几种？ 4. 晶体的宏观对称性中，独立的对称操作元素有那些？ 5. 劳厄方程 布拉格公式 6. 固体结合的五种基本形式 7. 写出离子晶体结合能的一般表达式，求出平衡态时的离子间距。 8. 点缺陷基本类型 9. 什么是热缺陷？简述肖特基缺陷和弗仑克尔缺陷的特点。 10. 接触电势差产生的原因 11. 请用自由电子气理论解释常温下金属中电子的比热容很小的原因。 12. 简要解释作为能带理论的三个基本近似：绝热近似、单电子近似和周期场近似。 13. 简述布洛赫定理 14. 试用能带论简述导体、绝缘体、半导体中电子在能带中填充的特点 15. 为什么有的半导体霍尔系数取正值，有的取负值。 16. 自由电子气模型基本假定 17. 能带理论基本假设 三 计算题 1. 某晶体具有面心立方结构，其晶格常数为a 。 （1）写出原胞基矢。 （2）求倒格子基矢，并指出倒格子是什么类型的布喇菲格子。 2. 简单立方晶格中，每个原胞中含有一个原子，每个原子只有一个价电子，使用紧束缚近 似，只计入近邻相互作用。 1) 求出s 态组成的s 能带的E(k)函数。 2) 给出s 能带带顶和带底的位置和能量值。 3) 求电子在能带底部和顶部的有效质量。 5) 求出电子运动的速度。 3.知Si 中只含施主杂质N = 1015 cm -3 D ，求载流子浓度？ 4.假设某二价元素晶体的结构是简立方点阵。试证明第一布里渊区角偶点??? ??a a a πππ,,的自由电子动能为区边中心点?? ? ??0,0,a π的三倍。 5. 金属钠是体心立方晶格，晶格常数a =3.5?，假如每一个锂原子贡献一个传导电子而构成金属自由电子气，试推导T=0K 时金属自由电子气费米能表示式，并计算出金属锂费米能。（?=1.05×10-34J ·s ，m=9.1×10-35W ·s 3/cm 2，1eV=1.6×10-19J ） 6. 平时留过的作业题

固体物理(严守胜编著) 课后答案 第1章

1.1对于体积V 内N 个电子的自由电子气体，证明 （1）电子气体的压强 ()() V p 032ξ?=，其中 0ξ为电子气体的基态能量。 （2）体弹性模量()V p V K ??-=为V 100ξ 解：（1） () 3 2 352225 223101101-==V N m h V m k h F πππξ （1.1.1） () () () ()() V V N m h V N m h V N m h V V p 035 352223535222323522223101323231013101ξππππππξ?==??? ? ??--=??? ? ????=??-=--- （1.1.2） （2） ()() () () V V N m h V N m h V V N m h V V V p V K 1031019103531013231013203 8 35222 383 52 22 353522 2ξππππππ==??? ? ??--=??? ? ????-=??-=--- （1.1.3） 1.2 He 3 原子是具有自旋1/2的费米子。在绝对零度附近，液体He 3 的密度为0.081g ?cm -3。 计算费米能量F ε和费米温度F T 。He 3 原子的质量为g m 24105-?≈。 解：把 He 3 原子当作负电背景下的正电费米子气体. Z=1. 3 2832224 1062.11062.1105081 .01m cm m Z n m ?=?=??== --ρ （1.2.1） ( ) 19173 1 2 108279.7108279.73--?=?==m cm n k F π （1.2.2） () eV J m k F F 42327 2 9 3422102626.41080174.6100.52108279.710055.12----?=?=?????= =ηε （1.2.3） K k T B F F 92.410381.1106.801742323=??==--ε （1.2.4）

黄昆版固体物理学课后答案解析答案

《固体物理学》习题解答 黄昆 原著 韩汝琦改编 （陈志远解答，仅供参考） 第一章 晶体结构 1.1 、 解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点 阵排列堆积起来的。 它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目 n 和小球体积 V 所得到的小球总 体积 nV 与晶体原胞体积 Vc 之比，即：晶体原胞的空间利用率， x nV Vc （ 1）对于简立方结构： （见教材 P2图 1-1） a=2r ， V= 4 r 3 ， Vc=a 3，n=1 3 4 r 3 4 r 3 ∴ x 3 3 0.52 a 3 8r 3 6 （ 2）对于体心立方：晶胞的体对角线 BG= 3a 4r a 4 3 x n=2, Vc=a 3 3 2 4 r 3 2 4 r 3 3 ∴ x 3 3 0.68 a 3 ( 4 3 8 r )3 3 （ 3）对于面心立方：晶胞面对角线 BC= 2a 4r , a 2 2r n=4 ，Vc=a 3 4 4 r 3 4 4 r 3 2 x 3 3 0.74 a 3 ( 2 2r) 3 6 （ 4）对于六角密排： a=2r 晶胞面积： S=6 S ABO 6 a a sin 60 3 3 2 2 = a 2 晶胞的体积： V= S C 3 3 a 2 8 a 3 2a 3 24 2r 3 2 3 n=12 12 1 2 1 3=6个 6 2 6 4 r 3 2 x 3 0.74 24 2r 3 6 （ 5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线 BG= 3a 4 2r a 8r n=8, Vc=a 3 3

黄昆版固体物理学课后答案解析答案

《固体物理学》习题解答 黄昆原著韩汝琦改编 (陈志远解答，仅供参考) 第一章晶体结构 1.1、 解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n和小球体积V所得到的小球总 体积nV与晶体原胞体积Vc之比，即：晶体原胞的空间利用率, (1)对于简立方结构：(见教材P2图1-1) a=2r, 4 V= 3 r3, Vc=a3,n=1 4 3 4 3 r r 二x 3 3 0.52 3 a 8r3 6 (2)对于体心立方：晶胞的体对角线BG= , 3a 4r n=2, Vc=a3 4 3 F) n=4, Vc=a3 (22r)3 (4 )对于六角密排：a=2r晶胞面积：S=6 S ABO nV Vc 0.68 (3 )对于面心立方：晶胞面对角线BC= , 2a 4r, a 2 ., 2r 0.74 晶胞的体积: V=S C V 3 2a324.2r3 n=1212 - 2 - 6 2 3=6个 24 2r3 0.74 (5 )对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG=3a 4 2r 8r .3 n=8, Vc=a3

所以，面心立方的倒格子是体心立方。 r a a, r 於i r j r k) （2 ）体心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢） r a r r r a2刖j k) r a丿r r a3 2(i j k) 8 3r38 3r3 83 3 ___ r 3,3 0.34 1.2、试证：六方密排堆积结构中C（8）1/21.633 a 3 证明：在六角密堆积结构中，第一层硬球A、B、0的中心联线形成一个边长a=2r的正三角形，第二层硬球N位于球ABO所围间隙的正上方并与这三个球相切，于是： NA=NB=N0=a=2R. 即图中NABO构成一个正四面体。… 1.3、证明：面心立方的倒格子是体心立方；体心立方的倒格子是面心立方。 a i 2(j k) 证明：（1 ）面心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢）a2 a ' a(i k) 由倒格子基矢的定义: a3) b1 2 同理可得: a3 a ' 2(i j) (a2 a3) b2 a a 0, r r r 2, 2 i , j, k 3 a a a r r a a _ J0, 一—,a2 a3 I0, — 2 2 4 2 2 a a a a J J0 0 2 2 2 2 a2 r r r 7「j k) k) k) 2 1—(i a jr a k） 即面心立方的倒格子基矢与体心立方的正格基矢相k)

固体物理学测验题

2008级电技专业《固体物理学》测验题 一、 （40分）简要回答： 1、 什么是晶体？试简要说明晶体的基本性质。 2、 试简要说明CsCl 晶体所属的晶系、布喇菲格子类型和 结合键的类型。 3、 试用极射赤平投影图说明3（3次旋转反演轴）的作 用效果并给出其等效对称要素。 4、 什么是格波？什么是声子？声子的能量和动量各为 多少？ 5、 试写出自由电子和晶体中电子的波函数。 6、 如需讨论绝缘体中电子的能谱，应采何种模型？其势 能函数有何特点？ 7、 什么是禁带？出现禁带的条件是什么？ 8、 固体中电子的能量和电子波矢间有何关系？ 二、（10分）某晶体具有简立方结构，晶格常数为a 。试画出 该晶体的一个晶胞，并在其中标出下列晶面：（111`），（201），（123）和（110）。 三、（8分）某晶体具有面心立方结构，试求其几何结构因子 并讨论x 射线衍射时的消光规律。 四、（12分）试求晶格常数为2a 的一维布喇菲格子晶格振动 的色散关系，并由此讨论此一维晶格的比热。 五、（15分）对于六角密积结构晶体，其固体物理原胞的基矢 为： k c a j a i a a j a i a a =+-=+=321232232 试求 （1） 倒格子基矢； （2） 晶面蔟（210）的面间距； （3） 试画出以21,a a 为基矢的二维晶格的第一、第二 和第三布里渊区。 六、（15）已知一维晶体电子的能带可写为： ) 2cos 81 cos 87()(22 ka ka ma k E +-= 式中a 是晶格常数，试求： （1） 能带的宽度； （2） 电子在波矢k 态时的速度； （3） 能带底部和能带顶部附近电子的有效质量。 《固体物理学》测验参考答案 一、（40分）请简要回答下列问题： 1. 实际的晶体结构与空间点阵之间有何关系？ 答：晶体结构=空间点阵+基元。 2. 什么是晶体的对称性？晶体的基本宏观对称要素有哪些？ 答：晶体的对称性指晶体的结构及性质在不同方向上有规律重复的现象。描述晶体宏观对称性的基本对称要素有1、2、3、4、6、对称心i 、对称面m 和4次反轴。 3. 晶体的典型结合方式有哪几种？并简要说明各种结合方式 中吸引力的来源。 答：晶体的典型型方式有如下五种： 离子结合——吸引力来源于正、负离子间库仑引力； 共价结合——吸引力来源于形成共价键的电子对的交换作用力； 金属结合——吸引力来源于带正电的离子实与电子间的库仑引力； 分子结合——吸引力来源于范德瓦尔斯力 氢键结合——吸引力来源于裸露的氢核与负电性较强的离子间 的库仑引力。 4. 由N 个原胞所组成的复式三维晶格，每个原胞内有r 个原子，试问晶格振动时能得到多少支色散关系？其波矢的取值数和模 式的取值数各为多少？ 答：共有3r 支色散关系，波矢取值数=原胞数N ，模式取值数=晶体的总自由度数。 5. 请写出自由电子和Bloch 电子的波函数表达式并说明其物理 意义。

固体物理XX题库

一、填空 1. 固体按其微结构的有序程度可分为_______、_______和准晶体。 2. 组成粒子在空间中周期性排列，具有长程有序的固体称为_______；组成粒子在空间中的分布完全无序或仅仅具有短程有序的固体称为_________。 3. 在晶体结构中，所有原子完全等价的晶格称为______________；而晶体结构中，存在两种或两种以上不等价的原子或离子的晶格称为____________。 4晶体结构的最大配位数是____；具有最大配位数的晶体结构包括______________晶体结构和______________晶体结构。 5. 简单立方结构原子的配位数为______；体心立方结构原子的配位数为______。 6．NaCl 结构中存在_____个不等价原子，因此它是_______晶格，它是由氯离子和钠离子各自构成的______________格子套构而成的。 7. 金刚石结构中存在______个不等价原子，因此它是_________晶格，由两个_____________结构的布拉维格子沿空间对角线位移1/4的长度套构而成，晶胞中有_____个碳原子。 8. 以结晶学元胞（单胞）的基矢为坐标轴来表示的晶面指数称为________指数。 9. 满足2,2,1,2,3)0i j ij i j a b i j i j ππδ=??===?≠?r r 当时 （，当时 关系的123,,b b b r r r 为基矢，由112233h K hb h b h b =++r r r r 构成的点阵，称为_______。 10. 晶格常数为a 的一维单原子链，倒格子基矢的大小为________。 11. 晶格常数为a 的面心立方点阵初基元胞的体积为_______；其第一布里渊区的体积为_______。 12. 晶格常数为a 的体心立方点阵初基元胞的体积为_______；其第一布里渊区的体积为_______。 13. 晶格常数为a 的简立方晶格的(010)面间距为________ 14. 体心立方的倒点阵是________________点阵，面心立方的倒点阵是________________点阵，简单立方的倒点阵是________________。 15. 一个二维正方晶格的第一布里渊区形状是________________。 16. 若简单立方晶格的晶格常数由a 增大为2a ，则第一布里渊区的体积变为原来的___________倍。