6第六章 气体动理论基础

第三篇热学

热学是研究物质的各种热现象的性质和变化规律的一门学科。与温度有关的现象称为热现

象。从微观看，热现象就是宏观物体内部大量分子或原子等微观粒子的永不停息的、无规则热运

动的平均效果。

18到19世纪，由于蒸汽机的广泛应用，有力推动了热现象及规律的研究。由迈耶)、焦耳、

亥姆霍兹等人建立了与热现象有关的能量转化和守恒定律，即热力学第一定律。

接着开尔文、克劳修斯等人建立了描述能量传递方向的热力学第二定律。这种以观察和实验

为基础，运用归纳和分析方法总结出热现象的宏观理论称为热力学。

另一种研究热现象规律的方法是从物质的微观结构和分子运动论出发，以每个微观粒子遵循

力学规律为基础，运用统计方法，导出热运动的宏观规律，再由实验确认。用这种方法所建立的

理论系统称为统计物理学。

19世纪由克劳修斯、麦克斯韦、玻尔兹曼、吉布斯等人在经典力学基础上建立起经典统计

物理。20世纪初，由于量子力学的建立，狄拉克、爱因斯坦、费米、玻色等人又创立了量子统

计物理。

热学包括统计物理和热力学两部分。热力学的结论来自实验，可靠性好，但对问题的本质缺

乏深入了解。统计物理的分析对热现象的本质给出了解释，但是只有当它与热力学结论相一致时，

统计物理才能得到确认，因此，两者相辅相成，缺一不可。

- 128 -

第六章气体动理论基础

教学时数：7学时

本章教学目标

了解热学的研究对象，理解平衡态、温度的物理意义，了解热力学第零定律、理

想气体分子模型；理解理想气体的压强公式，温度的统计解释，以及气体分子的方

均根速率、能量均分定理的物理意义；理解麦克斯韦分子速率分布定律、分子速率

的三个统计值和分子平均自由程的含义。

教学方法：讲授法、讨论法等

教学重点：理解理想气体的压强公式，温度的统计解释，以及气体分子的方均根速

率、能量均分定理的物理意义；

- 129 - §6—1 平衡态 温度 理想气体状态方程

一、平衡态

热学的研究对象是大量微观粒子(分子、原子等微观粒子)组成的宏观物体，通常称这样的研究对象为热力学系统，简称系统。

系统与外界之间既有能量交换(例如作功、传递热量)，又有物质交换(例如蒸发、凝结、扩散、泄漏)。

根据系统与外界交换特点，通常把系统分为三种：

一种是不受外界影响的系统，称为孤立系统。孤立系统是与外界既无能量交换，又无物质交换的理想系统。

另一种是封闭系统，与外界只有能量交换，而无物质交换的系统。 第三种是开放系统，与外界既有能量交换，又有物质交换的系统。

平衡态：热力学系统按所处的状态不同，可以区分为平衡态系统和非平衡态系统对于一个不受外界影响的系统，不论其初始状态如何，经过足够长的时间后，必将达到一个宏观性质不再随时间变化的稳定状态，这样的状态称为热平衡态，简称。

在此我们必须注意平衡态的条件是：“一个不受外界影响的系统”。若系统受到外界的影响，如把一金属棒的一端置入沸水中，另一端放入冰水中，在这样的两个恒定热源之间，经过长时间后，金属棒也能达到一个稳定的状态，称为定态，但不是平衡态，因为在外界影响下，不断地有热量从金属棒高温热源端传递到低温热源端。

系统处于平衡态时，必须同时满足两个条件： 一是系统与外界在宏观上无能量和物质的交换； 二是系统的宏观性质不随时间变化。

换言之，系统处于热平衡态时，系统内部任一体元均处于力学平衡、热平衡(温度处处相同)、相平衡(无物态变化)和化学平衡(无单方向化学反应)之中。孤立系统的定态就是平衡态。

注意：

(1)平衡态仅指系统的宏观性质不随时间变化，从微观的角度来说，组成系统的

- 130 -

大量粒子仍在不停地、无规则地运动着，只是大量粒子运动的平均效果不变，这在宏观上表现为系统达到平衡，因此这种平衡态又称热动平衡态。

(2)热平衡态是一种理想状态。实际中并不存在孤立系统，但当系统受到外界的影响可以略去，宏观性质只有很小变化时，系统的状态就可以近似地看作平衡态。

反之，如果系统不具备两个平衡条件之一的状态，都叫非平衡态。

如存在未被平衡的力，则会出现物质流动；如果存在冷热不一致(温差)，则会出现热量流动；

如果存在未被平衡的相(物态)则会出现相变(物态变化)；

如果存在单方向化学反应，则会出现成分的变化(新物质增加，旧物质减少)，即系统中存在任何一种流或变化时(宏观过程)，系统的状态都不是平衡状态。

系统的状态参量：系统在热平衡状态下，拥有各种不同的宏观属性，如几何的(体积)、力学的(压强)、热学的(温度)、电磁的(磁感应强度、电场强度)、化学的(摩尔质量、摩尔数)等等。

用来描写热平衡态下各种宏观属性的物理量叫系统的宏观参量。从诸多参量中选出来描写系统热平衡态的一组相互独立的宏观参量叫系统的状态参量。

对于给定的气体、液体和固体，常用体积(P)、压强(p)和温度(r)等宏观参量实验表明，这些宏观参量在平衡态下，它们各有确定的值，且不随时间变化。

平衡态不是孤立系统所特有的。对于封闭系统和开放系统，同样可以出现平衡态，但一旦到达平衡态，系统和外界之间必定停止能量和质量的交换。处在恒定外力场中的系统，平衡态时粒子数的空间分布、压强分布等也不是均匀的，如地面附近空气分子在重力场中的分布。

需要指出的是，每一个运动着的微观粒子(原子、分子等)都有其大小、质量、速度、能量等，这些用来描述个别微观粒子特征的物理量称为微观量。而在实验中观测得到的气体体积、压强、温度、热容量等都是宏观量，即描述大量微观粒子(分子或原子)的集体量叫宏观量。

气体动理论的任务之一就是要揭示气体宏观量的微观本质，即建寺宏观量与微观

- 131 - 量统计平均值之间的关系。 二、温度

温度表征物体的冷热程度。

温度概念的建立是以热平衡为基础的。假设有A ，B 两个系统，各自处在一定的平衡态。现使A ，B 两系统相互接触，让两系统之问发生传热，一般地，两系统的状态都会发生变化经过一段时间后，两个系统的状态不再发生变化，两系统就处在一个新的共同的平衡态。即使两系统分开，它们仍然保持这个平衡态。

热力学第零定律：实验结果表明，如果两个系统分别与第三个系统达到热平衡，那么，这两个系统彼此也处于热平衡。这个结论称热力学第零定律。

热力学第零定律说明，处在相互热平衡状态的系统必定拥有某一个共同的宏观物理性质。若两个系统的这一共同性质相同，当两系统热接触时，系统之间不会有热传导，彼此处于热平衡状态；若两系统的这一共同性质不相同，两系统热接触时就会有热传递，彼此的热平衡态会发生变化决定系统热平衡的这一共同的宏观性质称为系统的温度。

也就是说，温度是决定一系统是否与其它系统处于热平衡的宏观性质。A ，B 两系统热接触时，如果彼此处于平衡态，则说两系统温度相同；如果发生A 到B 的热传导，则说A 的温度比B 的高一切互为热平衡的系统具有相同的温度。

热力学第零定律也指出了比较和测量温度的方法。由于一切处于相互热平衡的系统具有相同的温度，这是用温度计测量温度的依据；温度计是测温的工具；温度的数值表示方法叫温标。建立一种经验温标需要三个要素：选择某种物质(叫测温物质)的某一随温度变化的属性(叫测温属性)来表示温度；对测温属性随温度的变化作出规定；选择两个固定点，用以确定温度的零点和单位。 ※常用温标

摄氏温标，是用液体(酒精或水银)作测温物质，用液柱高度随温度变化作测温特性并规定纯水在一个标准大气压下的冰点为O ℃，汽点为100℃，并认定液柱高度(体积)随温度作线性变化。在O 到100度之间等分分度，一分表示10C 。

- 132 -

热力学温标：开尔文(KeNin)在热力学第二定律的基础上建立的，称热力学温标。用T 表示热力学温度，单位用开(K)，是SI 制中七个基本单位之一，并规定水的三相点(水，冰和水蒸汽平衡共存的状态)为273.16 K ，热力学温度与摄氏温度的关系为 T=t+273.15

即规定热力学温标的273.15 K 为摄氏温标的零度。 三、理想气体状态方程

理想气体：实验表明，当系统处于热平衡态时，描写该状态的各个状态参量之间存在一定的函数关系，我们把热平衡态下，各个状态参量之间的关系式叫系统的状态方程式。状态方程式的具体形式是由实验来确定的，比如实验告知，在压强不太大(与大气压相比)、温度不太低(与室温比)的条件下，各种气体都遵守三大实验定律：玻意尔定律，查理定律，盖一吕萨克定律。在任何情况下都能严格遵从上述三个实验定律的气体称为理想气体。

由气体的三个实验定律得到一定质量的理想气体状态方程为：

式中p ，V ，T 为理想气体在某一平衡态下的三个状态参量； M mol 为气体的摩尔质量； M 为气体的质量；

R 为普适气体常量，国际单位制中R=8.3lJ ·moI -1·K -1； p 为气体压强；

T 为气体温度的热力学温标；

V 为气体分子的活动空间。在常温常压下，实际气体都可近似地当作理想气体来处理压强越低，温度越高，这种近似的准确度越高。

RT M M

pV mol

- 133 -

§6—2理想气体压强公式

一、分子模型

从分子运动和分子相互作用来看，理想气体的分子模型为： 1、分子可以看作质点

在标准状态下，气体分子间的平均距离约为分子有效直径的50倍气体越稀薄，分子间距比其有效直径更大，所以，一般情况下，气体分子可视为质点。

2、除碰撞外，分子力可以略去不计

由于气体分子间距很大，除碰撞瞬间有力作用外，分子间的相互作用力可以忽略。因此，在两次碰撞之间，分子作匀速直线运动，即自由运动。

3、分子间的碰撞是完全弹性的

由于处于平衡态下气体的宏观性质不变，这表明系统的能量不因碰撞而损失因此分子间及分子与器壁之间的碰撞是完全弹性碰撞。

综上所述，理想气体的分子模型是弹性的自由运动的质点。 二、分子性质

理想气体在平衡态下：

1、平均而言，沿各个方向运动的分子数相同

2、气体的性质与方向无关，即各个方向上速率的各种平均值相等，如

3、不因碰撞而丢失具有某一速度的分子。 下面推导平衡态下理想气体的压强公式。

假设有一边长分别为l ，l ，l ，的长方形容器，贮有N 个质量为m 的同类气体分子。如图所示，在平衡态下器壁各处压强相同，任选器壁的一个面，例如选择与x 轴垂直的A 面，计算其所受压强。

在大量分子中，任选一个分子i ，设其速度为

.

;2

22z y x z y x v v v v v v ====k

v j v i v v iz iy ix i ++=

- 134 - 当分子i 与器壁A 1碰撞时，由于碰撞是完全弹性的，故该分子在x 方向的速度分量由v ix 变为-v ix ，所以在碰撞过程中该分子的x 方向动量增量为 Δp ix = (-mv ix ) – (mv ix ) = -2mv ix

又由牛顿第三定律知，分子i 在每次碰撞时对器壁的冲量为2mv ix 。

分子i 在相继两次与A 1面碰撞过程中，在x 轴上移动的距离为2l 1，因此分子i 相继两次与A 1面碰撞的时间间隔为Δt = 2 l 1/ v ix ，那么，单位时间内分子i 对A 1面的碰撞次数Z = I /Δt = v ix /2 l 1，

所以单位时间内i 分子对A 1面的冲量 ，

根据动量定理，该冲量就是i 分子对A 1面的平均冲力 即

所有分子对A 1面的平均作用力为上式对所有分子求和，

由压强定义有：

1

22l v mv ix

ix )(ix F 1

22)(l v mv F ix

ix

ix =∑∑====N

i ix

N

i ix x v l m F F 111

N

l l l v mN v

l l l m

l l F p N

i ix

N

i ix

x 3211

21

2

3

2132∑∑===

=

=

- 135 -

式中 表示分子的平动动能的平均值，简称分子的平均平动动能，用 表示，

则 ，称为理想气体的压强公式，压强公式建立了宏观量p 与微观量的统计平均值 和n 之间的相互关系，表明了压强是个统计量。

§6—3温度的统计解释

一、温度的统计解释

温度是热学中特有的一个物理量，它在宏观上表征了物质冷热状态的程度。

将理想气体状态方程改写为如下表达式

令 ，k 为玻尔兹曼常量。

于是理想气体状态方程改写为：p = nk T

现将压强公式与 比较，可得 给出了宏观量温度T 与微观量的统计平均值 的关系，揭示了温度的微观本

)

2

1(323131.,2

22

2

222222223

211

2

2v m n v nm p v v v v v v v v v v nm p n l l l N N

v

v x z y x z

y x x N

i ix

ix ==∴=∴++======∑=及又平衡态下有：有，令221v m w w n p 32=w 1

2310022.61-?===

=m ol N T N R

n RT N N V p M MRT

pV A A

A mol

其中有由1

231038.1--??==K J N R k A

w n p 32=kT

w 2

3=22

1mv w =

- 136 -

质，即温度是气体分子平均平动动能的量度。

如果各种气体有相同的温度，则它们的分子平均平动动能均相等；如果一种气体的温度高些，则这一种气体分子的平均平动动能要大些。按照这个观点，热力学温度零度将是理想气体分子热运动停止时的温度，然而实际上分子运动是永远不会停息的，热力学温度零度也是永远不可能达到的而且近代量子理论证实，即使在热力学温度零度时，组成固体点阵的粒子也还保持着某种振动的能量，称为零点能量。至于(实际)气体，则在温度未达到热力学温度零度以前，已变成液体或固体。

二、气体分子的方均根速率

根据气体分子平均平动动能与温度的关系式，我们可求出给定气体在一定温度下，分子运动速率平方的平均值。如果把这平方的平均值开方，就可得出气体速率的一种平均值，称为气体分子的方均根速率。

§6—4能量均分定理 理想气体的内能

一、自由度

决定一个物体的空间位置所需要的独立坐标数，称为物体的自由度。

气体分子按其结构可分为单原子分子(如He ，Ne 等)、双原子分子(如H ，02等)和多原子(三个或三个以上原子组成的分子，如H 2O ，NH 3等)，其结构如图所示。

当分子内原子间距离保持不变(不振动)时，这种分子称为刚性分子，否则称为非刚性分子，以下只讨论刚性分子的自由度。

mol

M RT kT v kT v m 32

32

32122=

==

- 137 -

单原子分子可视为质点，因此，在空间一个自由的单原子分子，只有3个平动自由度。

如果这类分子被限制在平面或曲面上运动则自由度降为2； 如果限制在直线或曲线上运动，则自由度降为1

刚性双原子分子可视为两个质点通过一个刚性键联结的模型(哑铃型)来表示，确定其质心在空间的位置要由3个坐标(x ，y ，z)来表示，故有3个平动自由度另外还要两个方位角β，γ来决定其键联(联结两原子的轴)的方位。

(3个方位角α，β，γ，因有cos 2

α+ cos 2

β + cos 2

γ =1，故只有两个是独立的)。 由于两个原子均视为质点，故绕轴的转动不存在，因此刚性双原子分子有3个平动自由度和2个转动自由度，共有5个自由度。

多原子分子除了具有双原子的3个质心平动自由度和2个转动自由度外，还有一个绕轴自转的自由度，常用转角妒 相对于所选参考方位)表示，因此刚性多原子分子有3个平动自由度，3个转动自由度，共有6个自由度。设用i 表示刚性分子自由度，t 表示平动自由度，r 表示转动自由度，则 i=t+r 。

在常温下，大多数气体分子属于刚性分子在高温下，气体分子原子间会发生振动，则应视为非刚性分子，此时还需增加振动自由度，这里从略。 二、能量均分定理

前面我们知道在平衡态下，理想气体的分子的平均平动动能

- 138 -

对于三个平动自由度而言，在平衡态下，分子每一个平动自由度具有相同的平均动能，且大小均等于KT/2。

在平衡态下，气体分子作无规则热运动，任何一种运动形式都应是机会均等的，即没有那一种运动形式比其他运动形式占优势。因此，我们可以把平动动能的统计规律推广到其他运动形式上去，即一般说来，不论平动、转动或振动运动形式，在平衡态下，相应于每一个平动自由度、转动自由度或振动自由度，其平均动能都应等于KT/2言之。

能量按自由度均分定理：气体处于平衡态时，分子的任何一个自由度的平均动能都相等，均为KT/2。这就是能量按自由度均分定理。

按照这个定理，如果气体分子有i 个自由度，则分子的平均动能为

上式为对大量分子的统计平均结果。

对个别分子而言，它的动能随时间而变，并不等于iKT/2，且它的各种形式的动能也不按自由度均分。

但对大量分子整体而言，由于分子的无规则热运动及频繁的碰撞，能量可以从一个分子转到另一个分子，从一种自由度的能量转化成另一种自由度的能量，这样，在平衡态时，就形成能量按自由度均匀分配的统计规律。

三、理想气体的内能

kT v m v m v m v v v v v v v v kT

v m w z y x z y x z y x 2

12121213123212

222

22222222======++===代入后可得：及及又kT i

k 2

=

ε

- 139 -

组成物体的分子或原子除了具有热运动动能外，还应有分子与分子间及分子内原子与原子间相互作用产生的势能；令两部分的和称为分子势能。

通常把物体中所有分子的热运动动能与分子势能的总和，称为物体的内能。 对于理想气体，分子势能可忽略不计，因此，理想气体的内能仅是其所有分子热运动动能的总和。

每一个分子的平均动能为iKT/2，则1 mol 理想气体的内能为

因此，质量M 为的理想气体的内能为

上式表明，一定量的某种理想气体在状态变化过程中，内能的改变只取决初态和终态的温度，而与具体过程无关

§6—5麦克斯韦分子速率分布定律

对某一分子，其任一时刻的速度具有偶然性，但大量分子从整体上会出现一些统计规律1859年，麦克斯韦用概率论证明了在平衡态下，理想气体分子速度分布是有规律的，这个规律叫麦克斯韦速度分布律。若不考虑分子速度的方向，则叫麦克斯韦速率分布律。

一、气体分子的速率分布 分布函数

当气体处于平衡状态时，容器中的大量分子各以不同的速率沿各个方向运动着，有的分子速率较大，有的较小。由于分子间不断相互碰撞，对个别分子来说，速度大小和方向因碰撞而不断改变，这种改变完全带有偶然性和不可预言性，然而从大量分子的整体来看，在平衡态下，分子的速率却都遵循着一个完全确定的且是必然的统计分布规律研究这个规律。

研究气体分子速率分布情况，与研究一般的分布问题相似，需要把速率分成若

RT

i

kT i N E A 2

)2(0==T

R i

M M E RT i

M M E M M E mol mol mol ?=

?==

2

2

- 140 -

干相等的区间。为了便于比较，特把各速率区间取得相等，从而突出分布的意义，所取区间愈小，有关分布的知识就愈详细，对分布情况的描述也愈精确。

描写速率分布的方法有三种： (1)根据实验数据列表——分布表；

(2)作出曲线——分布曲线；

以速率v 为横坐标，以 （即单位速率区间分子的比率）为纵坐标，

小长条面积为

该面积大小代表速率在v 附近dv 区间 （即速率在 到 之间） v

N N

??N dN

dv Ndv dN =2dv v -2

dv v +

- 141 -

内的分子数占总分子数的比率（百分比）。速率分布曲线下的总面积等于百分之百，即等于1；这是分布曲线必须满足的归一条件。

(3)找出函数关系——分布函数。

把速率

v 附近Δv 区间内分子数占总分子数的比率的极限

称为分子的速率分布函数 。它表示速率v 附近的单位速率区间内分子数占总分子数的百分比（比率），f(v) - v 曲线叫做气体分子的速率分布曲线， 如图c ，归一化条件

f(v)的物理意义为：某一分子在速率v 附近的单位速率区间内出现的概率，f(v)也称为概率密度。

二、麦克斯韦速率分布规律

理想气体处于平衡态且无外力场作用时，气体分子按速率分布的分布函数f(v)是由麦克斯韦于1860年从理论上导出的

一个分子在v ～v+dv 区间内的概率为

此式为麦克斯韦速率分布定律。 三、分子速率的三个统计值

分子动理论中，常用到以下三种速率： l 、最概然速率v p

气体分子速率分布曲线有个极大值，与这个极大值对应的速率叫做气体分子的最概然速率，常用v p 表示，如图所示。

Ndv

dN

v N N v f v =

??=→?0lim )(1

)(0

=?

∞

dv v f 2

2232

)2(4)(v

e kT

m v f kT mv -=ππdv v e kT m N dN kT mv 2

2232

)2(4-=ππ

- 142 -

它的物理意义是：对所有的相同速率区间而言，速率在含有v p 的那个区间内的分子数占总分子数的百分比最大。

按概率表述为，对所有相同的速率区间而言，某一分子的速率取含有v p 的那个速率区间内的值的概率最大。

由极值条件可求得满足麦克斯韦速率分布律的平衡态下气体分子的最概然速率。

2、平均速率

根据求平均值的定义有：

对于连续分布，上式有： 将麦氏函数f(v)代入，得理想气体速率从0到∞整个区间算术平均速率

3.方均根速率 根据求平均值的定义有 及

将麦氏分布f(v)代入可得理想气体分子的方均根速率为

最概然速率表征了气体分子按速率分布的特征； 平均速率运用于气体分子的碰撞；

方均根速率用于计算分子的平均平动动能。 四、麦克斯韦分布曲线的性质

1、温度与分子速率 当温度升高时，气体分子的速率普遍增大，速率分布曲线

mol

mol p M RT

M RT m

kT

v dv

v df 41.122,0)

(≈=

=∴=,

N N v v i

i

?=

∑,

)(000

???∞∞

∞

===dv v vf N

dN

v

N N

vd v mol

mol M RT

M RT m kT v 60.188≈==

ππ2

v ,

2

2

N

N v v i

i

?=

∑,)(020

2

22

???∞∞

∞

===

dv v f v N

dN

v N

N d v v mol

mol M RT

M RT m

kT

v 73.1332≈==

v

- 143 -

中的最概然速率vp 量值增大方向迁移，但归一化条件要求曲线下总面积不变，因此，分布曲线宽度增大，高度降低，整个曲线变得较平坦些，如下图。

2、质量与分子速率 在相同温度下，对不同种类的气体，分子质量大的，速率分布曲线中的最概然速率vp 向量值减小方向迁移，因总面积不变，所以，分布曲线宽度变窄，高度增大，整个曲线比质量小的显得陡些，即曲线随分子质量变大而左移。如上图。

例设有N 个粒子，其速率分布函数为

（1） 作出速率分布曲线； （2） 由N 和v 0求a 值； （3） 求v p ；

（4） 求N 个粒子的平均速率 ；

（5） 求速率介于 之间的粒子数；

（6） 求 区间内粒子的平均速率 。

解 （1）如图。

（2）由分布函数必须满足归一化条件，即

有 所以 （3）由v p 的物理意义知v p = v 0

???

?

?

????<<<-<<=)2(0)

2(2)0()(0000

00

v v v v v v v a a v v v v a

v f 2

~00v

00

~2

v v 1

)(0

=?

∞

dv v f 1

221

)(00=?=?∞v a dv v f 0

1

v a =

v v

- 144 -

（4）N 个粒子的平均速度

（5）

内粒子数

（6） 内平均速率

§6—7 分子平均碰撞次数和平均自由程

分子两次相邻碰撞之间自由通过的路程叫做分子的自由程

单位时间内一个分子与其他分子碰撞的次数称为分子的碰撞频率由上图可知，分子的自由程有长有短，碰撞频率有大有小，是随机变化的但是大量分子无规则热运动的结果，使分子的自由程与碰撞频率服从一定的统计规律。我们可采用统计平均方法分别计算出平均自由程和平均碰撞次数. 一、平均碰撞次数z

为了使问题简化，假定每个分子都是有效直径为d 的弹性小球，并且假定只有某

一个分子A 以平均速率 运动，其余分子都静止。在分子A 的运动过程中，分子A 的球心轨迹是一条折线。设想以分子A 的中心所经过的轨迹为轴，以分子的有效直径d 为半径作一圆柱体，如图所示。显然，凡是球心位于该圆柱体内的分子都将和分子A 相碰，σ = πd 2。称为碰撞截面。球心在圆柱体外的分子就不会与它相碰。

在一秒钟内，分子A 平均经过路程为

????

=-+===∞∞

00200

0000

0)2()()(v v dv v v a

a v dv v v a v dv v vf N vdN v 2

~00

v ?

???=

====?20

200

020

20

00

008)()(v v

v v N vdv v a N dv v v a N dv v Nf dN N 0

0~2v v 0

202

0222778.0)(

)()(000

0000000v vdv

v a dv v v a

v dv v Nf dv

v vNf N

vdN v v v v v v v v v v v ==

=?=?????v

v v

- 145 -

相应的圆柱体体积为， 设分子数密度为n ，

平均而言圆柱体内的分子数为。 这就是分子A 在一秒内和其他分子发生碰撞的平均次数

这是假定一个分子运动而其他分子都静止所得的结果。实际上，一切分子都在运动着，因此，考虑所有分子都在运动，必须对上式加以修正。麦克斯韦从理论上得出修正后的碰撞频率

二、平均自由程 由于一秒内分子平均走过的路程为 一个分子与其他分子的平均碰撞频率为 ， 因此，平均自由程为

可知分子的平均自由程是与分子的有效直径的平方和分子数密度成反比 又因为p=nkT ，所以上式可改写为

表明，当温度恒定时，平均自由程与气体的压强成反比，压强越小(空气越稀薄)，平均自由程越长。 思考题

1、气体在平衡态时有何特征?气体的平衡态与力学中的平衡态有何不同?

2、气体动理论的研究对象是什么？理想气体的宏观模型和微观模型各如何？

3、试说明下列各量的物理意义(n 为分子数密度，N 为系统总分子数) (1)f(v)dv (2)nf(v)dv (3)Nf(v)dv (4) (5) (6)

v

v

d 2

πn

v d 2

πn

v d Z 2π=n

v d Z 22π=λ

Z n d Z v 221

πλ=

=p

d kT 22πλ=

?v

dv v f 0)(?∞

0)(dv v

f ?2

)(v dv v Nf

- 146 -

4、说明下列各量的物理意义

(1) (2) (3) (4) (5) (6)

参考书

赵近芳 主编 大学物理学 北京邮电大学出版社 2002.8

程守洙，江之永 编 《普通物理学》高等教育出版社 1982修订本 聂东山等主编 物理学 内蒙古大学出版社 1999.8 漆安慎 等主编 力学基础 高等教育出版社 1982.

kT 21kT 23kT i 2kT i M M mol 2

RT i 2RT

23

大学物理气体动理论热力学基础复习题集与答案解析详解

第12章 气体动理论 一、填空题： 1、一打足气的自行车内胎，若在7℃时轮胎中空气压强为4.0×5 10pa .则在温度变为37℃， 轮胎内空气的压强是 。（设内胎容积不变） 2、在湖面下50.0m 深处（温度为4.0℃），有一个体积为531.010m -?的空气泡升到水面上 来，若湖面的温度为17.0℃，则气泡到达湖面的体积是 。（取大气压强为50 1.01310p pa =?） 3、一容器内储有氧气，其压强为50 1.0110p pa =?，温度为27.0℃，则气体分子的数密度 为 ；氧气的密度为 ；分子的平均平动动能为 ； 分子间的平均距离为 。（设分子均匀等距排列） 4、星际空间温度可达2.7k ，则氢分子的平均速率为 ，方均根速率为 ， 最概然速率为 。 5、在压强为5 1.0110pa ?下，氮气分子的平均自由程为66.010cm -?，当温度不变时，压强为 ，则其平均自由程为1.0mm 。 6、若氖气分子的有效直径为82.5910cm -?，则在温度为600k ，压强为2 1.3310pa ?时，氖分子1s 内的平均碰撞次数为 。 7、如图12-1所示两条曲线(1)和(2),分别定性的表示一定量的 某种理想气体不同温度下的速率分布曲线,对应温度高的曲线 是 .若图中两条曲线定性的表示相同温 度下的氢气和氧气的速率分布曲线,则表示氧气速率分布曲线的 是 . 图12-1

8、试说明下列各量的物理物理意义： （1） 12kT ， （2）32 kT ， （3）2i kT ， （4）2 i RT ， （5）32RT ， （6）2M i RT Mmol 。 参考答案： 1、54.4310pa ? 2、536.1110m -? 3、2533 2192.4410 1.30 6.2110 3.4510m kg m J m ----???? 4、2121 121.6910 1.8310 1.5010m s m s m s ---?????? 5、6.06pa 6、613.8110s -? 7、（2） ，（2） 8、略 二、选择题： 教材习题12-1，12-2，12-3，12-4. （见课本p207～208） 参考答案：12-1～12-4 C, C, B, B. 第十三章热力学基础 一、选择题 1、有两个相同的容器，容积不变，一个盛有氦气，另一个盛有氢气（均可看成刚性分 子）它们的压强和温度都相等，现将 5 J 的热量传给氢气，使氢气温度升高，如果使氦气也 升高同样的温度，则应向氦气传递的热量是 （ ） （A ） 6 J （B ） 5 J （C ） 3 J （D ） 2 J 2、一定量理想气体，经历某过程后，它的温度升高了，则根据热力学定理可以断定： （1）该理想气体系统在此过程中作了功； （2）在此过程中外界对该理想气体系统作了正功；

大学物理第七章气体动理论

第七章 气体动理论 一．选择题 1［ C ］两瓶不同种类的理想气体，它们的温度和压强都相同，但体积不同，则单位体积内的气体分子数n ，单位体积内的气体分子的总平动动能(E K /V )，单位体积内气体的质量ρ的关系为： (A) n 不同，(E K /V )不同，ρ 不同． (B) n 不同，(E K /V )不同，ρ 相同． (C) n 相同，(E K /V )相同，ρ 不同． (D) n 相同，(E K /V )相同，ρ 相同． 解答：1. ∵nkT p =，由题意，T ，p 相同∴n 相同； 2. ∵kT n V kT N V E k 2 323==，而n ，T 均相同∴V E k 相同 3. 由RT M m pV =得RT pM V M ==ρ，∵不同种类气体M 不同∴ρ不同 2［ C ］设某种气体的分子速率分布函数为f (v )，则速率分布在v 1~v 2区间内的分 子的平均速率为 (A) ?2 1d )(v v v v v f ． (B) 2 1 ()d v v v vf v v ?． (C) ? 2 1 d )(v v v v v f /?2 1 d )(v v v v f ． (D) ? 2 1 d )(v v v v v f /0 ()d f v v ∞ ? ． 解答：因为速率分布函数f (v )表示速率分布在v 附近单位速率间隔内的分子数占总分子数的百分率，所以 ? 2 1 d )(v v v v v f N 表示速率分布在v 1~v 2区间内的分子的速率总和，而 2 1 ()d v v Nf v v ? 表示速率分布在v 1~v 2区间内的分子数总和，因此 ? 2 1 d )(v v v v v f / ? 2 1 d )(v v v v f 表示速率分布在v 1~v 2区间内的分子的平均速率。 3［ B ］一定量的理想气体，在温度不变的条件下，当体积增大时，分子的平均碰撞频率Z 和平均自由程λ的变化情况是： (A) Z 减小而λ不变． (B)Z 减小而λ增大． (C) Z 增大而λ减小． (D)Z 不变而λ增大． 解答：n d Z 22π= ，n d 2 21πλ= ，在温度不变的条件下，当体积增大时，n 减小，所以 Z 减小而λ增大。 4［ B ］若室内生起炉子后温度从15℃升高到27℃，而室内气压不变，则此时室内的分子数减少了

(完整word版)大学物理气体动理论热力学基础复习题及答案详解

第12章 气体动理论 一、 填空题： 1、一打足气的自行车内胎，若在7℃时轮胎中空气压强为4.0×510pa .则在温度变为37℃，轮胎内空气的 压强是 。（设内胎容积不变） 2、在湖面下50.0m 深处（温度为4.0℃），有一个体积为531.010m -?的空气泡升到水面上来，若湖面的 温度为17.0℃，则气泡到达湖面的体积是 。（取大气压强为50 1.01310p pa =?） 3、一容器内储有氧气，其压强为50 1.0110p pa =?，温度为27.0℃，则气体分子的数密度 为 ；氧气的密度为 ；分子的平均平动动能为 ；分子间的平均 距离为 。（设分子均匀等距排列） 4、星际空间温度可达 2.7k ，则氢分子的平均速率为 ，方均根速率为 ，最概然速率 为 。 5、在压强为51.0110pa ?下，氮气分子的平均自由程为66.010cm -?，当温度不变时，压强 为 ，则其平均自由程为1.0mm 。 6、若氖气分子的有效直径为82.5910cm -?，则在温度为600k ，压强为21.3310pa ?时，氖分子1s 内的 平均碰撞次数为 。 7、如图12-1所示两条曲线(1)和(2),分别定性的表示一定量的 某种理想气体不同温度下的速率分布曲线,对应温度高的曲线 是 .若图中两条曲线定性的表示相同温 度下的氢气和氧气的速率分布曲线,则表示氧气速率分布曲线的 是 . 8、试说明下列各量的物理物理意义： （1） 12kT ， （2）32 kT ， （3）2i kT ， （4）2 i RT ， （5）32RT ， （6）2M i RT Mmol 。 参考答案： 1、54.4310pa ? 2、536.1110m -? 3、25332192.4410 1.30 6.2110 3.4510m kg m J m ----???? 4、21 21121.6910 1.8310 1.5010m s m s m s ---?????? 图12-1

06气体动理论习题解答课件

第六章 气体动理论 一 选择题 1. 若理想气体的体积为V ，压强为p ，温度为T ，一个分子的质量为m ，k 为玻耳兹曼常量，R 为摩尔气体常量，则该理想气体的分子总数为( )。 A. pV /m B. pV /(kT ) C. pV /(RT ) D. pV /(mT ) 解 理想气体的物态方程可写成NkT kT N RT pV ===A νν，式中N =ν N A 为气体的分子总数，由此得到理想气体的分子总数kT pV N = 。 故本题答案为B 。 2. 在一密闭容器中，储有A 、B 、C 三种理想气体，处于平衡状态。A 种气体的分子数密度为n 1，它产生的压强为p 1，B 种气体的分子数密度为2n 1，C 种气体的分子数密度为3 n 1，则混合气体的压强p 为 ( ) A. 3p 1 B. 4p 1 C. 5p 1 D. 6p 1 解 根据nkT p =，321n n n n ++=，得到 1132166)(p kT n kT n n n p ==++= 故本题答案为D 。 3. 刚性三原子分子理想气体的压强为p ，体积为V ，则它的内能为 ( ) A. 2pV B. 2 5pV C. 3pV D.27pV 解 理想气体的内能RT i U ν2 =，物态方程RT pV ν=，刚性三原子分子自由度i =6， 因此pV pV RT i U 326 2===ν。 因此答案选C 。 4. 一小瓶氮气和一大瓶氦气，它们的压强、温度相同，则正确的说法为：( ) A. 单位体积内的原子数不同 B. 单位体积内的气体质量相同 C. 单位体积内的气体分子数不同 D. 气体的内能相同 解：单位体积内的气体质量即为密度，气体密度RT Mp V m ==ρ（式中m 是气体分子

第四章 气体动理论 总结

第四章 气体动理论 单个分子的运动具有无序性 布朗运动 大量分子的运动具有规律性 伽尔顿板 热平衡定律(热力学第零定律) 实验表明：若 A 与C 热平衡 B 与C 热平衡 则 A 与B 热平衡 意义：互为热平衡的物体必然存在一个相同的 特征--- 它们的温度相同 定义温度：处于同一热平衡态下的热力学系统所具有的共同的宏观性质,称为温度。 一切处于同一热平衡态的系统有相同的温度。 理想气体状态方程: 形式1: mol M PV =RT =νRT M 形式2: 2 2 2111T V p T V p ＝形式3: nkT P = n ----分子数密度(单位体积中的分子数) k = R/NA = 1.38*10 –23 J/K----玻耳兹曼常数 在通常的压强与温度下,各种实际气体都服从理想气体状态方程。 §4-2 气体动理论的压强公式 V N V N n ==d d 1）分子按位置的分布是均匀的 2）分子各方向运动概率均等、速度各种平均值相等 k j i iz iy ix i v v v v ++=分子运动速度 单个分子碰撞器壁的作用力是不连续的、偶然的、不均匀的。从总的效果上来看，一个持续的平均作用力。 2213 212()323 p nmv p n mv n ω === v----摩尔数 R--普适气体恒量 描述气体状态三个物理量： P,V T 压 强 公 式

12 2 ω=mv 理想气体的压强公式揭示了宏观量与微观量统计平均值之间的关系,说明压强具 有统计意义； 压强公式指出:有两个途径可以增加压强 1)增加分子数密度n 即增加碰壁的个数 2)增加分子运动的平均平动能 即增加每次碰壁的强度 思考题：对于一定量的气体来说，当温度不变时，气体的压强随体积的减小而增大（玻意耳定律）；当体积不变时，压强随温度的升高而增大（查理定律）。从宏观来看，这两种变化同样使压强增大，从微观（分子运动）来看，它们有什么区 别？ 对一定量的气体，在温度不变时，体积减小使单位体积内的分子数增多，则单位时间内与器壁碰撞的分子数增多，器壁所受的平均冲力增大，因而压强增大。而当体积不变时，单位体积内的分子数也不变，由于温度升高，使分子热运动加剧，热运动速度增大，一方面单位时间内，每个分子与器壁的平均碰撞次数增多； 另一方面，每一次碰撞时，施于器壁的冲力加大，结果压强增大。 §4-3 理想气体的温度公式 nkT p =23 p =n ω 1322 2 ω=mv =kT 1. 反映了宏观量 T 与微观量w 之间 的关系 ① T ∝ w 与气体性质无关；② 温度具有统计意义，是大量分子集 体行为 ，少数分子的温度无意义。2. 温度的实质：分子热运动剧烈程度的宏观表现。3. 温度平衡过程就是能量平衡过程。 二.气体分子运动的方均根速率 kT v m 2 32 1 2 = ?2 m ol 3kT 3R T v = =m M 在相同温度下，由两种不同分子组成的混合气体，它们的方均根速率与其质量的平方根成正比 当温度T=0时，气体的平均平动动能为零，这时气体分子的热运动将停止。然而事实上是绝对零度是不可到达的(热力学第三定律)，因而分子的运动是永不停息 的。 μRT m kT v v x = ==22 31 分子平均平动动能 温度的微观本质：理想气体的温度是分子平均平动动能的量度 摩尔质量

第四章 气体动理论

4-1 20个质点的速率分布如下 解：⑴07 1 65.31 v N v N v i i i == ∑= ⑵01 2 2 99.31v N v N v i N i i == ∑= ⑶03v v p = 4-2 容积为10L 的容器中由1mol CO 2气体，其方均根速率为1440Km/h ，求CO 2气体的压强。 解：分子总数为A N ,摩尔质量为M ，则分子数密度为 A N V ,分子质量为A M N ，因此由 气体压强公式得222 111333A A N M M p nmv v v V N V = == 代入数字求得5 2.3510p =?Pa 4-3 体积为3 10-m 3 ，压强为5 1.01310?Pa 的气体，所有分子的平均平动动能的总和是多少？ 解：分子的平均平动动能为 21322 mv kT = 容器中分子数N nV =，又由压强公式P nkT =，可得容器中所有分子的平均平动动能 总和为 2133 152222 N mv nV kT PV ===J 4-4 求压强为5 1.01310?Pa 、质量为3 210-?Kg 、容积为3 1.5410-?m 3 的氧气的分子平均平动动能。 解：由23p nw = 可得31 2p w n = 而A mol A mol M N M MN n V M V == 所以 213 6.22102mol A M V p w MN -= =?J 4-6 一篮球充气后，其中有氮气8.5g ，温度为17℃，在空气中以65km/h 做高速飞行。求：

(1) 一个氮分子（设为刚性分子）的热运动平均平动动能、平均转动动能和平均总动能； (2) 球内氮气的内能； (3) 球内氮气的轨道动能。 4—6解：⑴J kT k 211000.623-?== ε 转ε= J kT 211000.42 2 -?= J kT 201000.12 5-?==总ε. ⑵J kT i M M E mol 31083.12 ?=?= . ⑶J mv E k 39.12 12 == . 4-7 质量为50.0g ，温度为18.0℃的氦气装在容积为10.0L 的封闭容器内，容器以200v =m/s 的速率做匀速直线运动，若容器突然停止，定向运动的动能全部转化为分子热运动的动能，试问平衡后氦气的温度和压强将增大多少？（王彬第二版206页8题） 解：322223 23 11141020013.310222 6.0210 A E mv v N μ--?===??=??J 23 23 2213.310 6.4233 1.3810E T k --???===??K 32 53 50108.2110 6.420.66 1.0131041010 MR p T V μ---????=?=?=????Pa 4—8解：⑴ kT 21 在平衡态下分子运动的能量平均分配给每一个自由度的能量为kT 2 1. ⑵在平衡态下，分子平均动能为kT 2 3 . ⑶在平衡态下，自由度为i 的分子平均总能量为kT i 2 . ⑷自由质量为M ，摩尔质量为mol M ，自由度为i 的分子组成的系统的内能为RT i M M mol 2 ? ⑸1摩尔自由度为i 的分子组成的系统的内能为 RT i 2. ⑹1摩尔自由度为3的分子组成的系统的内能为2 3 RT,或者说热力学系统内1摩尔分子的平 均平动动能之和为2 3 RT. 4-9 假定太阳是由氢原子组成的理想气体恒星，且密度是均匀的，压强为 141.3510p =?Pa ，已知氢原子质量271.6710m -=?kg ，太阳质量301.9910M =?kg ，太阳 半径为8 6.9610R =?m ，试估算太阳内部的温度。

气体动理论知识点总结

气体动理论知识点总结 注意：本章所有用到的温度指热力学温度，国际单位开尔文。 T=273.15+t 物态方程 A N PV NkT P kT nkT V m PV NkT PV vN kT vRT RT M =→= =' =→===（常用） 一、 压强公式 11()33 P mn mn = =ρρ=22v v 二、 自由度 *单原子分子： 平均能量=平均平动动能=(3/2)kT *刚性双原子分子： 平均能量=平均平动动能+平均平动动能=325222 kT kT kT += *刚性多原子分子： 平均能量=平均平动动能+平均平动动能=3 332 2 kT kT kT +=

能量均分定理：能量按自由度均等分布，每个自由度的能量为(1/2)kT 所以，每个气体分子的平均能量为2 k i kT ε= 气体的内能为k E N =ε 1 mol 气体的内能22 k A i i E N N kT RT =ε== 四、三种速率 p = ≈v = ≈v = ≈ 三、 平均自由程和平均碰撞次数 平均碰撞次数：2Z d n =v 平均自由程： z λ= =v 根据物态方程：p p nkT n kT =?= 平均自由程： z λ==v

练习一 1．关于温度的意义，有下列几种说法： （1）气体的温度是分子平均平动动能的量度。（2）气体的温度是大量气体分子热运动的集体表现，具有统计意义。 （3）温度的高低反映物质内部分子热运动剧烈程度的不同。 （4）从微观上看，气体的温度表示每个气体分子的冷热程度。（错） 解：温度是个统计量，对个别分子说它有多少温度是没有意义的。 3．若室内升起炉子后温度从15℃升高到27℃，而室内气压不变，则此时室内的分子数减少了： 解：PV NkT = 211227315 0.9627327N T N T +===+ 1210.04N N N N ?=-= 则此时室内的分子数减少了4%. 4. 两容器内分别盛有氢气和氦气，若他们的温度和质量分别相等，则：（A ） （A ）两种气体分子的平均平动动能相等。 （B ）两种气体分子的平均动能相等。 （C ）两种气体分子的平均速率相等。 （D ）两种气体的内能相等。 任何气体分子的平均平动动能都是(3/2)kT ，刚性双原子分子： 平均能量=平均平动动能+平均平动动能=3 252 2 2 kT kT kT +=

大学物理马文蔚第五版 气体动理论

第9章气体动理论 学习指导 一、基本要求 1．理解平衡状态和状态参量，掌握理想气体状态方程并能熟练运用。 2．理解理想气体压强和温度的统计意义，掌握理想气体的压强公式和温度公式。3．理解能量按自由度均分定理，掌握理想气体内能和内能变化的计算公式。4．理解麦克斯韦速率分布律，能熟练计算气体分子热运动的三种速率。 5．了解玻尔兹曼分布律和重力场中粒子按高度的分布。 6．理解分子的平均碰撞次数和平均自由程的概念，会进行有关计算。 7．了解气体的迁移现象；了解实际气体的范氏方程。 二、知识框架

三、重点和难点 1．重点 （1）掌握理想气体状态方程及其应用。 （2）掌握平衡态下理想气体压强公式和温度公式及其计算。 （3）理解能量按自由度均分原理和三种速率有关计算及其应用，平均碰撞次数、平均自由程计算。 2．难点 （1）用统计平均的观点进行压强公式的推导和应用。 （2）掌握能量按自由度均分定理，区别分子平均平动动能、分子平均转动动能、分子平均动能和气体内能；掌握麦克斯韦速率分布律的统计应用和运算。 四、基本概念及规律 1. 理想气体状态方程 m pV RT M = 及 p n k T = 2. 理想气体压强公式 22211212()33323 k p nm n m n ρε====v v v 3. 理想气体的温度公式及温度的统计意义 3 2 k kT ε= 气体的温度是气体分子平均平动动能的量度。 4．能量按自由度均分定理 平衡状态下气体分子每个自由度的平均动能都等于kT 21，如果气体分子有i 个自由度，则每个分子的总平均动能就是kT i 2。 5．理想气体的内能及内能变化 RT i M m E 2 = T R i M m E ??=?2 6．麦克斯韦速率分布律 理想气体在平衡状态下，分子速率在v v v d ~+区间内的分子数N d 占总分子数N 的比率，服从麦克斯韦速率分布律v v f N N d )(d = 式中)(v f 为速率分布函数 2 32 22()42m kT m f e kT ππ- ?? = ? ?? v v v )(v f 满足归一条件 1d )(0 =? ∞ v v f 7．气体分子热运动的三种速率 （1） 最概然速率 p = =v （2） 平均速率

大学物理第四章《气体动理论》

第四章 气体动理论 一、基本要求 1．理解平衡态的概念。 2．了解气体分子热运动图像和理想气体分子的微观模型，能从宏观和统计意义上理解压强、温度、内能等概念。 3．初步掌握气体动理论的研究方法，了解系统的宏观性质是微观运动的统计表现。 4．理解麦克斯韦速率分布律、速率分布函数和速率分布曲线的物理意义，理解气体分子运动的最概然速率、平均速率、方均根速率的意义，了解玻尔兹曼能量分布律。 5．理解能量按自由度均分定理及内能的概念，会用能量均分定理计算理想气体的内能。 6．了解气体分子平均碰撞频率及平均自由程的意义及其简单的计算。 二、基本内容 1. 平衡态 在不受外界影响的条件下，一个系统的宏观性质不随时间改变的状态。 2. 理想气体状态方程 在平衡态下，理想气体各参量之间满足关系式 pV vRT = 或 n k T p = 式中v 为气体摩尔数，R 为摩尔气体常量 118.31R J mol K --=??，k 为玻尔兹曼常量 2311.3810k J K --=?? 3. 理想气体压强的微观公式 212 33 t p nm n ε==v 4. 温度及其微观统计意义 温度是决定一个系统能否与其它系统处于热平衡的宏观性质，在微观统计上

32 t kT ε= 5. 能量均分定理 在平衡态下，分子热运动的每个自由度的平均动能都相等，且等于2 kT 。以 i 表示分子热运动的总自由度，则一个分子的总平均动能为 2 t i kT ε= 6. 速率分布函数 ()dN f Nd = v v 麦克斯韦速率分布函数 23 2/22()4()2m kT m f e kT ππ-=v v v 7. 三种速率 最概然速率 p = ≈v 平均速率 = =≈v 方均根速率 = =≈8. 玻尔兹曼分布律 平衡态下某状态区间（粒子能量为ε）的粒子数正比于kT e /ε-。重力场中粒子数密度按高度的分布（温度均匀）： kT m gh e n n /0-= 9. 范德瓦尔斯方程 采用相互作用的刚性球分子模型，对于1mol 气体 RT b V V a p m m =-+ ))((2 10. 气体分子的平均自由程 λ= =

大物习题解答-大学物理习题答案(许瑞珍_贾谊明)-第12章 气体动理论

第十二章 气体动理论 12－1 一容积为10L 的真空系统已被抽成1.0×10-5 mmHg 的真空，初态温度为20℃。为了提高其真空度，将它放在300℃的烘箱内烘烤，使器壁释放出所吸附的气体，如果烘烤后压强为1.0×10-2 mmHg ，问器壁原来吸附了多少个气体分子? 解：由式nkT p =，有 3 2023 52/1068.1573 1038.1760/10013.1100.1m kT p n 个?≈?????==-- 因而器壁原来吸附的气体分子数为 个183201068.110101068.1?=???==?-nV N 12－2 一容器内储有氧气，其压强为1.01?105 Pa ，温度为27℃，求：（l ）气体分子的 数密度；（2）氧气的密度；（3）分子的平均平动动能；（4）分子间的平均距离。（设分子间等距排列） 分析：在题中压强和温度的条件下，氧气可视为理想气体。因此，可由理想气体的物态方程、密度的定义以及分子的平均平动动能与温度的关系等求解。又因可将分子看成是均匀等距排列的，故每个分子占有的体积为30d V =，由数密度的含意可知d n V ,10=即可求出。 解：（l ）单位体积分子数 3 25m 1044.2-?==kT p n （2）氧气的密度 3m kg 30.1-?===RT pM V m ρ （3）氧气分子的平均平动动能 J 1021.62321k -?==kT ε （4）氧气分子的平均距离 m 1045.3193-?==n d 12－3 本题图中I 、II 两条曲线是两种不同气体（氢气和氧气）在同一温度下的麦克斯韦分子速率分布曲线。试由图中数据求：（1）氢气分子和氧气分子的最概然速率；（2）两种气体所处的温度。 分析：由M RT v /2p =可知，在相同温度下，由于不同气体的摩尔质量不同，它们的最概然速率p v 也就不同。因22O H M M <，故氢气比氧气的p v 要大，由此可判定图中曲线II 所标13p s m 100.2-??=v 应是对应于氢气分子的最概然速率。从而可求出该曲线所对应的温度。又因曲线I 、II 所处的温度相同，故曲线I 中氧气的最概然速率也可按上式求得。 解：（1）由分析知氢气分子的最概然速率为

第四章气体动理论

第四章 气体动理论 2-4-1选择题： 1、处于平衡状态的一瓶氦气和一瓶氮气的分子数密度相同，分子的平均平动动能也相同，都处于平衡态。以下说法正确的是： （A ）它们的温度、压强均不相同。 （B ）它们的温度相同，但氦气压强大于氮气压强。 （C ）它们的温度、压强都相同。 (D) 它们的温度相同，但氦气压强小于氮气压强。 2、三个容器A 、B 、C 中装有同种理想气体，其分子数密度n 相同，方均根速率之比 4:2:1::222=C B A v v v ， 则其压强之比C B A p p p ::为： (A) 1 : 2 : 4 (B) 1 : 4 : 8 (C) 1 : 4 : 16 (D) 4 : 2 : 1 3、一定量的理想气体贮于某一容器中，温度为T ，气体分子的质量为m . 根据理想气体的分子模型和统计假设，分子速度在x 方向的分量平方的平均值为: (A) 2 x v =m kT 3 (B) 2x v = m kT 331 (C) 2 x v = m kT 3 (D) 2x v = m kT 4、关于温度的意义，有下列几种说法： (1) 气体的温度是分子热运动平均平动动能的量度. (2) 气体的温度是大量气体分子热运动的集体表现，具有统计意义. (3) 温度的高低反映物质内部分子热运动剧烈程度的不同. (4) 从微观上看，气体的温度表示每个气体分子的冷热程度. 上述说法中正确的是 （A ） (1)、(2)、(4) （B ） (1)、(2)、(3) （C ） (2)、(3)、(4) (D) (1)、(3)、(4) 5、两容器内分别盛有氢气和氦气，若它们的温度和质量分别相等，则： (A) 两种气体分子的平均平动动能相等. (B) 两种气体分子的平均动能相等. (C) 两种气体分子的方均根速率相等. (D) 两种气体的内能相等. 6、一容器内装有N 1个单原子理想气体分子和N 2个刚性双原子理想气体分子，当该系统处在温度为T 的平衡态时，其内能为 (A) ??? ??++kT kT N N 2523)(21 (B) ??? ??++kT kT N N 2523)(2121

07第七章 气体动理论作业答案

一、选择题 ［ C ］1、（基础训练2）两瓶不同种类的理想气体，它们的温度和压强都相同，但体积不同，则单位体积内的气体分子数n ，单位体积内的气体分子的总平动动能(E K /V )，单位体积内气体的质量ρ的关系为： (A) n 不同，(E K /V )不同，ρ 不同． (B) n 不同，(E K /V )不同，ρ 相同． (C) n 相同，(E K /V )相同，ρ 不同． (D) n 相同，(E K /V )相同，ρ 相同． 【提示】① ∵nkT p =，由题意，T ，p 相同，∴n 相同； ② ∵kT n V kT N V E k 2 3 23==，而n ，T 均相同，∴V E k 相同； ③ RT M M pV mol =→RT pM V M mol ==ρ，T ，p 相同，而mol M 不同，∴ρ不同。 ［ C ］2、（基础训练6）设v 代表气体分子运动的平均速率，p v 代表气体分子运动的最概然速率，2 /12) (v 代表气体分子运动的方均根速率．处于平衡状态下的理想气体，三种 速率关系为 (A) p v v v ==2 /12)( (B) 2 /12) (v v v <=p (C) 2 /12)(v v v <

>p 【提示】p v =v == ［ B ］3、（基础训练7）设图7-3所示的两条曲线分别表示在相同温度下氧气和氢气分子的速率分布曲线；令() 2 O p v 和() 2 H p v 分别表示氧气和氢气的最概然速率，则 (A) 图中a 表示氧气分子的速率分布曲线； ()2 O p v /() 2 H p v = 4． (B) 图中a 表示氧气分子的速率分布曲线； ()2 O p v /() 2 H p v ＝1/4． (C) 图中ｂ表示氧气分子的速率分布曲线； ()2 O p v /() 2 H p v ＝1/4． (D) 图中ｂ表示氧气分子的速率分布曲线； ()2 O p v /() 2 H p v ＝ 4． 【提示】①最概然速率p v = p v 越小，故图中a 表示

气体动理论答案

图7-3 第七章气体动理论 选择题 1. (基础训练2) : C ］两瓶不同种类的理想气体，它们的温度 和压强都相同，但体积不同，则单位体积内的气体分子数 n ,单位体 (A) n 不同，(E K /V)不同, (B) n 不同，(E K /V)不同, (C) n 相同，(E K /V)相同, (D) n 相同，(E K /V)相同, 【解】:T p nkT ，由题意, E “討 3 T 电亠 n-kT V V 2 不同. 相同. 不同. 相同. T , p 相同二n 相同; ，而n ,T 均相同???导相同 2. (基础训练6) : C ］设V 代表气体分子运动的平均速率，v p 代 表气 体分子运动的最概然速率，(V 2)1/2 代表气体分子运动的方均根速 率.处于平衡状态下理想气体，三种速率关系为 (A) (V 2) 1/2 v V p (B) V V p ￡)1/2 (C) v p v (J)1/2 (D)v p v (V 2) 1/2 3. (基础训练7) : B ］设图7-3所示的两条曲线分别表示在相 同温度下氧气和氢气分子的速率分布曲线；令 v P O 和v P H 分别表示氧气和氢气的最概然速 率，则 (A)图中a 表示氧气分子的速率分布曲线; 积内的气体分子的总平动动能 为： (E K /V),单位体积内气体的质量 的关系 由pv 晋RT 得 pM RT ， T 不同种类气体 M 不同二 不同 算术平均速率：v 方均根速率：'、v 2 【解】：最概然速 vf(v)dv v 2f(v)dv

v p O2/ v p H2 = 4. (B)图中a表示氧气分子的速率分布曲线；v p °? / v p H=1/4. (C)图中b表示氧气分子的速率分布曲线；v p °? / v p H=1/4. (D)图中b表示氧气分子的速率分布曲线；V p°2/v p H=4. 【解】理想气体分子的最概然速率v p J2RT，同一温度下摩尔质量 p V M 越大的v p越小，又由氧气的摩尔质量M 32 10 3(kg/mol)，氢气的摩 尔质量M 2 10 3(kg/mol)，可得V p ° / V p H= 1/4。故应该选(B)。 °2 H 2 4.(基础训练8) : C ]设某种气体的分子速率分布函数为f(v), 则速率分布在v 1~v 2区间内的分子的平均速率为 v2 v2 (A) vf (v)dv . (B) v vf (v)d v . v 1 v l v2 v2 v2 (C) v vf(v)dv/y f (v)dv . (D) v vf (v)dv / 0 f (v)dv . 【解】因为速率分布函数f(v)表示速率分布在v附近单位速率间隔内 的分子数占总分子数的百分率，所以2 Nvf (v)dv表示速率分布在v v 1 1~v 2区间内的分子的速率总和，而2 Nf (v)d v表示速率分布在v 1~v 2 区间内的分子数总和，因此2vf (v) dv / "2 f (v)dv表示速率分布在v 1~v v〔 v〔 2区间内的分子的平均速率。 5.(基础训练9) : B ] 一定量的理想气体，在温度不变的条件下，当体积增大时，分子的平均碰撞频率Z和平均自由程一的变化情况是： (A) Z减小而—不变. (B) Z减小而—增大. (C) Z增大而一减小. (D) Z不变而—增大. 【解】：根据分子的平均碰撞频率Z 2 d2vn和平均自由程^1 2- —kT2，在温度不变的条件下，当体积增大时，分子数 .2 d n ■ 2 d P 密度n -减小，从而压强p nkT减小，平均自由程—增大，平均碰V 撞频率Z减小。 6.(自测提高3)[ B ]若室内生起炉子后温度从15C升高到27C, 而室

6气体动理论习题

六、气体动理论习题 6-1 气体在平衡态时有何特征?气体的平衡态与力学中的平衡态有何不同? 答：气体在平衡态时，系统与外界在宏观上无能量和物质的交换；系统的宏观性质不随时间变化． 力学平衡态与热力学平衡态不同．当系统处于热平衡态时，组成系统的大量粒子仍在不停地、无规则地运动着，大量粒子运动的平均效果不变，这是一种动态平衡．而个别粒子所受合外力可以不为零．而力学平衡态时，物体保持静止或匀速直线运动，所受合外力为零． 6-2 气体动理论的研究对象是什么?理想气体的宏观模型和微观模型各如何? 答：气体动理论的研究对象是大量微观粒子组成的系统．是从物质的微观结构和分子运动论出发，运用力学规律，通过统计平均的办法，求出热运动的宏观结果，再由实验确认的方法． 从宏观看，在温度不太低，压强不大时，实际气体都可近似地当作理想气体来处理，压强越低，温度越高，这种近似的准确度越高．理想气体的微观模型是把分子看成弹性的自由运动的质点． 6-3 何谓微观量?何谓宏观量?它们之间有什么联系? 答：用来描述个别微观粒子特征的物理量称为微观量．如微观粒子(原子、分子等)的大小、质量、速度、能量等．描述大量微观粒子(分子或原子)的集体的物理量叫宏观量，如实验中观测得到的气体体积、压强、温度、热容量等都是宏观量． 气体宏观量是微观量统计平均的结果． 2 8642150 24083062041021++++?+?+?+?+?= =∑∑i i i N V N V 7.2141 890== 1s m -? 方均根速率 2 8642150240810620410212 23222 2 ++++?+?+?+?+?= =∑∑i i i N V N V 6.25= 1s m -? 6-5 速率分布函数)(v f 的物理意义是什么?试说明下列各量的物理意义(n 为分子数密度， N 为系统总分子数)．

第6章气体动理论习题解答.doc

第6章习题解答 6-1若理想气体的体积为V,压强为p,温度为T，一个分子的质量为m，A为玻耳兹曼常 量，/?力摩尔气体常量，则该理想气体的分子数力[B ] A.pV / m. B. pV / kT . C. pV / RT. D. pV / mT . 6-2两容器内分别盛有氢气和氦气，若在平衡态时，它们的温度和质量分别相等，则[A ] A.两种气体分子的平均平动动能相等. B.两种气体分子的平均动能相等. C.两种气体分子的平均速率相等. D.两种气体的内能相等. 6-3两瓶不同类别的理想气体，设分子平均平动动能相等，但其分子数密度不相等，则 [B ] A.压强相等，温度相等. B.温度相等，压强不相等. C.压强相等，温度不相等. D.压强不相等，温度不相等. 6-4温度，压强相同的氦气和氧气，它们的分子平均动能f和平均平动动能巧有如下关系 [A ] A.巧相等，而f不相等. B. f相等，而巧不相等. C. f和巧都相等. D. f和巧都不相等. 6-5 一定量的理想气体贮于某一容器中，温度为7\气体分子的质量为m.根据理想气体的分子模型和统计假设，在％方14分子速度的分量平方的平均值为[D ] C. v2x = 3kT/m. D. v2x =kT/m. 6-6若/GO为气体分子速率分布函数，TV为气体分子总数，m为分子质量，则 A.速率处在速率间隔％?％之间的分子平动动能之和. B.速率处在速率间隔％?u2间的分子平均平动动能.

c.速率为％的各分子的总平动动能与速率％为的各分子的总平动动能之和. D.速率为％的各分子的总平动动能与速率q 力的各分子的总平动动能之差. 6-7在A 、B 、C 三个容器巾装有同种理想气体，其分子数密度7?相同, ：y/v^ ：yfv^ = 1:2:4,则其压强之比 A ::厂0为［C ］ A. 1:2:4 B. 4:2:1 C. 1:4:16 D. 1:4:8 6-8题6-8图所示的两条曲线，分别表示在相同温度下氧气和氢气分子 的速率分布曲线；令和分别表示M 气和氢气的最概然速 率，则［B ］ A. 图中a 表示氧气分子的速率分布曲线， B. 图中a 表示筑"气分子的速率分布曲线，（P ） /（v p ）=丄. C. 图中b 表示氧3分子的速率分布曲线，（v p ） /（v ）=丄. v /巧o 2 v /M H 2 4 D. 图中b 表示气分子的速率分布曲线，（?=4. 6-9题6-9阁是在一定的温度下，理想气体分子速率分布函数曲线 有 ［C ］。 A. 、变小，而/（?）不变. B. 久和/（久）都变小? C. 、变小，而/（＞,，）变大. D. 、不变，而变大. 6-10有两瓶不同的气体，一瓶是氢气，一瓶是氦气，它们的ffi 强、温度相同，但体积不同， 则 单位体积A 的分子数相等；单位体积内的气体的质不相等；两种气体分子的平 均平动动能_相等。 6-11 一容器盛有密度为p 的单原子分子理想气体，若压强为/?，则该气体分子的方均根 速率为竽；单位体积内气体的内能为竽。 6-12题6-12图是氢气和氧气在相同温度下的麦克斯韦速率 方均根速率之比为 题6-8图 题6-12图 v(m/s)

气体动理论和热力学-答案

理工科专业 《大学物理B 》 气体动理论 热力学基础 答： 112 3 V p 0 p O V V 12V 1 p 12p 1A B 图1 4、 给定的理想气体(比热容比γ为已知)，从标准状态(p 0、V 0、T 0)开始，作绝热膨胀，体积增大到三倍，膨胀后的温度T ＝____________，压强p ＝__________． 答： 1 ) 1 (T -γ , )1 (p γ

图2 (A) 一定都是平衡态． (B) 不一定都是平衡态． (C) 前者一定是平衡态，后者一定不是平衡态． (D) 后者一定是平衡态，前者一定不是平衡态． （ C ）4、一定量的理想气体，经历某过程后，温度升高了．则根据热力学定律可以断定： ① 该理想气体系统在此过程中吸了热． ② 在此过程中外界对该理想气体系统作了正功． ③ 该理想气体系统的内能增加了． ④ 在此过程中理想气体系统既从外界吸了热，又对外作了正功． 以上正确的断言是： (A) ① 、③ ． (B) ②、③． (C) ③． (D) ③、④． （ D ）5、有人设计一台卡诺热机(可逆的)．每循环一次可从 400 K 的高温热源吸热1800 J ，向 300 K 的低温热源放热 800 J ．同时对外作功1000 J ，这样的设计是 (A) 可以的，符合热力学第一定律． (B) 可以的，符合热力学第二定律． (C) 不行的，卡诺循环所作的功不能大于向低温热源放出的热量． (D) 不行的，这个热机的效率超过理论值． 三、判断题（每小题1分，请在括号里打上√或×） （ × ）1、气体的平衡态和力学中的平衡态相同。 （ √ ）2、一系列的平衡态组成的过程是准静态过程。 （ × ）3、功变热的不可逆性是指功可以变为热，但热不可以变为功。 （ × ）4、热传导的不可逆性是指热量可以从高温物体传到低温物体，但不可以从低温物体传到高温物体。 （ × ）5、不可逆循环的热机效率1 2 1Q Q bukeni - <η。 四、简答题（每小题5分） 1、气体动理论的研究对象是什么？理想气体的宏观模型和微观模型各如何？ 答：气体动理论的研究对象是大量微观粒子组成的系统。（1分）是从物质的微观结构和分子运动论出发，运用力学规律，通过统计平均的办法，求出热运动的宏观结果，（1分）再由实验确认的方法。（1分） 从宏观看，在温度不太低，压强不大时，实际气体都可近似地当作理想气体来处理，压强越低，温度越高，这种近似的准确度越高。（1分）理想气体的微观模型是把分子看成弹性的自由运动的质点。（1分） 2、用热力学第一定律和第二定律分别证明，在V p -图上一绝热线与一等温线不能有两个交点，如图2所示。 解：（1）由热力学第一定律有 W E Q +?= 若有两个交点a 和b ，则经等温b a →过程有 0111=-=?W Q E （1分） 经绝热b a →过程

大学物理气体动理论热力学基础复习题及答案详解

第12章气体动理论 一、填空题： 1、一打足气的自行车内胎，若在7℃时轮胎中空气压强为 4.0× 5 10 pa .则在温度变为37℃，轮胎内空气的压强是。（设内胎容积不变） 2、在湖面下50.0m 深处（温度为 4.0℃），有一个体积为 5 3 1.0 10 m 的空气泡升到水面上来，若湖面的温度为17.0℃，则气泡到达湖面的体积是。（取大气压强为 5 p0 1.013 10 pa ） 3、一容器内储有氧气，其压强为 5 p0 1.01 10 pa ，温度为27.0℃，则气体分子的数密度为；氧气的密度为；分子的平均平动动能为；分子间的平均距离为。（设分子均匀等距排列） 4、星际空间温度可达 2.7k，则氢分子的平均速率为，方均根速率为，最概然速率为。 5、在压强为 5 1.1 10 pa 下，氮气分子的平均自由程为 6 6.0 10 cm ，当温度不变时，压 强为，则其平均自由程为 1.0mm。 6、若氖气分子的有效直径为8 2.59 10 cm ，则在温度为600k，压强为 2 1.33 10 pa 时， 氖分子1s 内的平均碰撞次数为。 7、如图12-1 所示两条曲线(1)和(2),分别定性的表示一定量的 f(v) 某种理想气体不同温度下的速率分布曲线,对应温度高的曲线 (1) (2) 是. 若图中两条曲线定性的表示相同温 v O 度下的氢气和氧气的速率分布曲线,则表示氧气速率分布曲线的 图12-1 是. 8、试说明下列各量的物理物理意义： （1） 1 2 kT ，（2） 3 2 kT ， （3）i 2 kT ，（4） i 2 R T， （5）3 2 R T，（6） M i M m ol 2 R T。 参考答案： 1、 5 4.43 10 pa 2、 5 3 6.11 10 m