三角函数的定义域、值域和最值讲解

三角函数的定义域、值域和最值

一知识点精讲：

1 三角函数的定义域（1）sinα=

yryx

xr

定义域为R. （2）cosα=

??

定义域为R.

（3）tanα=

定义域为?α|α≠

π

x?

定义域为+kπ,k∈Z?. （4）cotα=

2y?

{α|α≠kπ,k∈Z}.

2 三角函数的值域

① y=asinx+b,(a≠0) 型

当a>0时，y∈[-a+b,a+b] ；当a<0时 y∈[a+b,-a+b] ② y=asin

2

x+bsinx+c型

此类型的三角函数可以转化成关于sinx的二次函数形式。通过配方，结合sinx的取值范围，得到函数的值域。sinx换为cosx也可以。③ y=asinx+bcosx型利用公式asinx+bcosx=的情形。

④y=a(sinx+cosx)+bsinxcosx型

利用换元法，设t=sinx+cosx, t∈[-2,2]，则sinxcosx=

t-12

2

a+bsin(x+φ),tanφ=

22

ba

，可以转化为一个三角函数

2

2

,

转化为关于t 的二次函数y=at+b

2

2

=

b2

t+at-

2

b2

.

⑤y=asinx+bcosx+csinxcosx型

这是关于sinx,cosx的二次齐次式，通过正余弦的降幂公式以及正弦的倍角公式，sin

2

x=

1-cos2x

2

,cos

2

x=

1+cos2x

2

,sinxcosx=

sin2x2

，

可转化为y=msin2x+ncos2x+p的形式。⑥ y=⑦y=

asinx+b

csinx+dsinx+a

型可以分离常数，利用正弦函数的有界性。

cosx+b

型可以利用反解的思想方法，把分母乘过去，整理得，

sinx-ycosx=by-a，sin(x-φ)=

by-a+y

,

by-a+y

≤1, 通过解此不等式可得到y

的取值范围。或者转化成两点连线的斜率。

以上七种类型是从表达的形式上进行分类的，如果x有具体的角度范围，则再进行限制。

二典例解析：

例1．求下列函数的定义域

（1）y=3-3sinx-2cos2x；（2）y

例2．求下列函数的值域

(1) y=-2sinx+3 （2）y=2cos2x+5sinx-4；

（3）y=5sin2x-4sinxcosx+2cos2x； (4)y=sinx+cosx+sinxcosx （5）y

π

6

=

3sinx+13sinx+2

=log

sinx

(cosx+

12

)

. （3） y=25-x+lgcosx；

；（6）y=

sinx+2cosx+2

1-tan(

)cosx.

π

4

-x)

（7）y

=sin(x-

（8）y

=

1+tan(

π

4

-x)

（9）求函数y

=

sin2x1-sinx-cosx

+sin2x的值域.

三课堂练习：

1．若cosα?cscαsec2α-1=-1,则α所在的象限是

A．第二象限

限

2．不解等式：

（1）sinx<-

3．已知f(x)的定义域为(-

4．求下列函数的定义域

（1）y=

1tanx-112 （） B．第四象限 C．第二象限或第四象限 D．第一或第三象（2）cosx>12 12,32),则f(cosx)的定义域为____________. （2）y=sinx+125-x2.

5．求下列函数的值域

（1）y=2cosx-1

（3）y=1+sinx+cosx+

（5）y=1

2+sinx12sin2xx∈[-π,π]. （4）y=-cos3 （2）y=2sinxcos1+sinx2x. xsinx. （6）

y=tan2x+4cot+1 2

6．有一块扇形铁板，半径为R，圆心角为60°，从这个扇形中切割下一个内接矩形，即矩形的各个顶点都半径或弧在扇形的上，求这个内接矩形

的最大面积．

求三角函数的值域(或最值)的方法

求三角函数的值域(或最值)的方法 三角函数y＝sinx及y＝cosx是有界函数，即当自变量x在R内取一定的值时，因变量y有最大值y max＝1和最小值y min＝－1，这是三角函数y＝sinx及y＝cosx的基本性质之一，利用三角函数的这一基本性质，我们可以使一些比较复杂的三角函数求最值的问题得以简化．虽然这部分内容在教材中出现不多，但是，在我们的日常练习和历年高考试题中却频频出现，学生也往往对这样的问题颇感棘手．笔者根据日常的教学积累，对三角函数求值域或最值的方法，加以归纳总结如下． 1 配方分析法 如果所给的函数是同名不同次或可化为同名不同次及其他能够进行配方的形式，可采用此方法． 例1求函数y＝2cos2x＋5sinx－4的值域． 解原函数可化为 当sinx＝1时，y max＝1； 当sinx＝－1时，y min＝－9， ∴原函数的值域是y∈[－9，1]． 注：此种方法在求三角函数的值域或最值问题中较为常见．但在最后讨论值域时，往往容易忽略自变量(例1中以sinx为自变量)的取值范围而出现错误应该引起注意． “cosx”，再求已知函数的最值 例2求下列函数的最值，并求出相应的x值．

y＝asinx＋bcosx或可转化为此种形式的函数，其最大值和最小值分别为y max＝ 3 求反函数法 如果函数的表达式中仅含有某一个三角函数名，我们可考虑此种方法，用因变量y表示出该函数，再利用该函数的值域求对应的原函数的值域．

∴原函数的值域是 4 应用函数的有界性 上面的求反函数法实际上就是在应用函数的有界性求最值，在此只不过是为了更加突出一下． 解由原式可得 (3y－1)sinx＋(2y－2)cosx＝3－y， 则上式即为 利用函数的有界性有 ∴原函数的值域是

三角函数的定义域、值域和最值

三角函数的定义域、值 域和最值 -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1

三角函数的定义域、值域和最值 一 知识点精讲： 1 三角函数的定义域 （1）r y =αsin 定义域为R. （2）r x =αcos 定义域为R. （3）x y = αtan 定义域为 ? ?? ???∈+≠Z k k ,2|ππαα. （4）y x =αcot 定义域为 {}Z k k ∈≠,|παα. 2 三角函数的值域 ① )0(,sin ≠+=a b x a y 型 当0>a 时，],[b a b a y ++-∈ ； 当0

求三角函数值域及最值的常用方法+练习题

求三角函数值域及最值的常用方法 （一）一次函数型 或利用：=+ =x b x a y cos sin )sin(22?+?+x b a 化为一个角的同名三角函数形式，利用三角函数的有界性或单调性求解； （2）2sin(3)512 y x π =-- +，x x y cos sin = （3）函数x x y cos 3sin +=在区间[0,]2 π 上的最小值为 1 ． （4）函数tan( )2 y x π =- (4 4 x π π - ≤≤ 且0)x ≠的值域是 (,1][1,)-∞-?+∞ （二）二次函数型 利用二倍角公式，化为一个角的同名三角函数形式的一元二次式，利用配方法、 换元及图像法求解。 （2）函数)(2cos 2 1 cos )(R x x x x f ∈- =的最大值等于43． （3）.当2 0π <

（三）借助直线的斜率的关系，用数形结合求解 型如d x c b x a x f ++= cos sin )(型。此类型最值问题可考虑如下几种解法： ①转化为c x b x a =+cos sin 再利用辅助角公式求其最值； ②利用万能公式求解； ③采用数形结合法（转化为斜率问题）求最值。 例1：求函数sin cos 2 x y x = -的值域。 解法1：数形结合法：求原函数的值域等价于求单位圆上的点P(cosx , sinx )与定点Q(2, 0)所确定的直线的斜率的范围。作出如图得图象，当过Q 点的直线与单位圆相切时得斜率便是函数sin cos 2 x y x = -得最值，由几何知识，易求得过Q 的两切线得斜率分别为3 3 -、 33。结合图形可知，此函数的值域是33 [,]33 - 。 解法2：将函数sin cos 2x y x =-变形为cos sin 2y x x y -=，∴22s i n ()1y x y φ+= +由2 |2||sin()|11y x y φ+= ≤+22(2)1y y ?≤+，解得：3333 y - ≤≤，故值域是33 [,]33- 解法3：利用万能公式求解：由万能公式2 12sin t t x +=，221cos 1t x t -=+，代入sin cos 2x y x =-得到2 213t y t =--则有2 320yt t y ++=知：当0t =，则0y =，满足条件；当0t ≠，由2 4120y =-≥△，3333 y ?-≤≤，故所求函数的值域是33[,]33-。 解法4：利用重要不等式求解：由万能公式2 12sin t t x +=，221cos 1t x t -=+，代入sin cos 2x y x = -得到2 213t y t =--当0t =时，则0y =，满足条件；当0t ≠时， 22 113(3) y t t t t = =---+，如果t > 0，则2223113233(3)y t t t t ==-≥-=---+， x Q P y O

三角函数专题：三角函数的值域

高考复习专题 三角函数的值域与最值 一、基础知识 1、形如()sin y A x ω?=+解析式的求解：详见“函数()sin y A x ω?=+解析式的求解”一节，本节只列出所需用到的三角公式 （1）降幂公式：2 21cos21cos2cos ,sin 22 αα αα+-= = （2）2sin cos sin2ααα= （3）两角和差的正余弦公式 ()sin sin cos sin cos αβαββα+=+ ()sin sin cos sin cos αβαββα-=- ()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=- ()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+ （4）合角公式：()sin cos a b ααα?+=+，其中tan b a ?= 2、常见三角函数的值域类型： （1）形如()sin y A x ω?=+的值域：使用换元法，设t x ω?=+，根据x 的范围确定t 的范围，然后再利用三角函数图像或单位圆求出x ω?+的三角函数值，进而得到值域 例：求()2sin 2,,444f x x x πππ?? ??=- ∈- ???? ??? 的值域 解：设24 t x π =- 当,44x ππ?? ∈- ???? 时，32,444t x πππ??=-∈-???? sin 22t ?∴∈-??? () f x ?∴∈? （2）形如()sin y f x =的形式，即()y f t =与sin t x =的复合函数：通常先将解析式化简为同角同三角函数名的形式，然后将此三角函数视为一个整体，通过换元解析式转变为熟悉的 函数，再求出值域即可 例：求()2 2sin cos 2,,63f x x x x ππ?? =-+∈- ???? 的值域 解：()() 2 2 sin 1sin 2sin sin 1f x x x x x =--+=++

高中数学学案：三角函数的最值问题

高中数学学案：三角函数的最值问题 1. 会通过三角恒等变形、利用三角函数的有界性、结合三角函数的图象,求三角函数的最值和值域． 2. 掌握求三角函数最值的常见方法,能运用三角函数最值解决一些实际问题. 1. 阅读：必修4第24～33页、第103～116页、第119～122页． 2. 解悟：①正弦、余弦、正切函数的图象和性质是什么？②三角函数y ＝A sin (ωx ＋φ)(A>0,ω>0)的最值及对应条件；③两角和与差的正弦、余弦、正切公式是什么？辅助角公式是否熟练？④二倍角公式是什么？由倍角公式得到的降幂扩角公式是什么？必修4第123页练习第4题怎么解？ 3. 践习：在教材空白处,完成必修4第131页复习题第9、10、16题. 基础诊断 1. 函数f(x)＝sin x,x ∈? ????π6，2π3的值域为? ?? ??12，1__． 2. 函数f(x)＝sin x －cos ? ?? ??x ＋π6的值域为3]__． 解析：因为f(x)＝sin x －cos (x ＋π6)＝sin x －32cos x ＋12sin x ＝32sin x －32cos x ＝3sin (x －π6), 所以函数f(x)＝sin x －cos (x ＋π6)的值域为[－3,3]． 3. 若函数f(x)＝(1＋3tan x)cos x,0≤x<π2,则f(x)的最大值为__2__． 解析：f(x)＝(1＋3tan x)cos x ＝cos x ＋3sin x ＝2sin ? ????x ＋π6.因为0≤x<π2,所以π6≤x ＋π6<2π3,所以sin ? ????x ＋π6∈???? ??12，1, 所以当sin ? ?? ??x ＋π6＝1时,f(x)有最大值2. 4. 函数y ＝2sin 2x －3sin 2x 范例导航 考向? 形如y ＝a sin 2x ＋b cos x ＋c 的三角函数的最值

三角函数的值域

三角函数值域问题的一些常见类型和解题方法。 一． 基本型： 或 cos y a x b =+ 解决策略：利用sinx 和cosx 的有界性,即sin 1x ≤和cos 1x ≤ 三、形如22 sin sin cos cos y a x b x x x =++ 型的函数 解决策略：通过降幂再转化为sin()y A x ω?=+ 来求解 例3.求 22 sin 2sin cos 3cos y x x x x =++ 的值域 解： 2 12sin cos 2cos y x x x =++ sin 2cos 22)24 x x x π=++=++ 1sin(2)14 x π -≤+≤ 所以所求函数的值域为2?? 四、反比例型：形如 sin sin a x b y c x d +=+ 或cos cos a x b y c x d +=+ 解决策略：用反表示法，再利用有界性或数形结合。 例4、求函数1sin 2cos x y x -= -的值域 方法一 解：由1sin 2cos x y x -= - 得 2cos 1sin y y x x -=- 解：x R ∈ 2sin(3y x π =+ ） []sin()113x π∴+∈- ，∴函数的值域为分析：引入辅助角，再利用正弦函数的有界性 sin y a x b =+1≤分析：利用 sinx 的有界性 1sin 1x -≤≤ 解：　12sin 13x ∴-≤+≤　 [] 2sin 113y x ∴ =+-　函数的值域为，2sin 1y x =+例1.求　值域。 sin cos y a x b x c =++), tan b x c a ??=++= y 其中二、形如 引入辅助角转化为基本型 解决策略： 例2、求函数 sin y x x =+[]22-，

专项复习16三角函数的值域与最值

高三数学理科复习十六——三角函数的值域与最值 一、【知识复习与自学质疑】 1.求下列函数的最大值、最小值 （1）2sin cos ;3 y x x = （2）y = （3）212sin 1;2y x ??=-++ ??? （4）2515sin 416y x ??=-+ ?? ? 2.（1）若4x π≤ ，则()2cos sin f x x x =+的最小值是_________ （2）若 2x π ≤，则()sin f x x x =的值域是 3.（1）函数2cos sin x y x -= ()0x π<<的最小值是 （2）函数2cos 12cos 1x y x +=-的值域是 二、【例题精讲】 例1、已知1sin sin 3x y += ，求2sin cos y x -的最大值与最小值. 例2、求函数sin cos sin cos y x x x x =++的最大值. 例3、已知函数()22cos sin sin cos 3f x x x x x x π? ?=+-+ ??? ，求函数()f x 的最大值、最小值以及取得最值时的x 的值。

【矫正反馈】 1.(1)已知()0,θπ∈，函数23sin 13sin y θθ =+的最大值是___________________________ (2)已知()0,x π∈，函数2sin sin y x x =+的最小值是_____________________ （3）函数()223sin ,sin y x x k k Z x π= +≠∈的值域是____________________________ 2.设，当0,2x π??∈????时，()f x 的最大值为4，则a =_____________ 3.函数()2sin cos 36y x x x R ππ????=--+∈ ? ?????的最小值等于____________________ 4.函数sin 2sin x y x =+的值域为 ；函数sin cos 2 x y x =+的值域为 5.函数sin 2sin y x x =-的值域是_________________ 6.若()22cos 2cos 22sin 136f x x x x ππ????=-+ -++ ? ?????，则()f x 的最大值为_________ 7.函数()()sin 2cos 2y x x =--的最大值、最小值分别是_____________________________ 【迁移应用】 8.已知函数()22sin 23sin cos f x a x a x x a b =-++的定义域是,2ππ?????? ，值域是[]2,5，求,a b 的值. 9．求函数()24sin cos2f x a x x =--的最大值和最小值.（a R ∈）

定义域和值域的求法

定义域和值域的求法 Final revision by standardization team on December 10, 2020.

函数定义域求法总结 一、定义域是函数y=f(x)中的自变量x 的范围。 （1）分母不为零 （2）偶次根式的被开方数非负。 （3）对数中的真数部分大于0。 （4）指数、对数的底数大于0，且不等于1 （5）y=tanx 中x ≠k π+π/2；y=cotx 中x ≠k π等等。 ( 6 )0x 中x 0≠ 二、抽象函数的定义域 1.已知)(x f 的定义域，求复合函数()][x g f 的定义域 由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若)(x f 的定义域为()b a x ,∈，求出)]([x g f 中b x g a <<)(的解x 的范围，即为)]([x g f 的定义域。 2.已知复合函数()][x g f 的定义域，求)(x f 的定义域 方法是：若()][x g f 的定义域为()b a x ,∈，则由b x a <<确定)(x g 的范围即为)(x f 的定义域。 3.已知复合函数[()]f g x 的定义域，求[()]f h x 的定义域 结合以上一、二两类定义域的求法，我们可以得到此类解法为：可先由()][x g f 定义域求得()x f 的定义域，再由()x f 的定义域求得()][x h f 的定义域。 4.已知()f x 的定义域，求四则运算型函数的定义域 若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集。 函数值域求法四种 在函数的三要素中，定义域和值域起决定作用，而值域是由定义域和对应法则共同确定。研究函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。对于如何求函数的值域，是学生感到头痛的问题，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出现，占有一定的地位，若方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。本次课就函数值域求法归纳如下，供参考。 1. 直接观察法 对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。

高中数学-三角函数图像及性质与值域及最值

高中数学总复习-三角函数 第5课 三角函数的图像和性质(一) 【考点导读】 1. 能画出正弦函数，余弦函数，正切函数的图像，借助图像理解正弦函数，余弦 函数在［0,2 ］，正切函数在(一,一)上的性质； 2 2 2. 了解函数y Asin( x )的实际意义，能画出y A si n( x )的图像； 3. 了解函数的周期性，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型. 【基础练习】 动的最小正周期T _____L_；初相 —- 2. 三角方程2sin(_ - x)=1的解集为 4. 要得到函数y sinx 的图象，只需将函数 y cos x ______ - ____ 个单位. 【范例解析】 例 1.已知函数 f (x) 2sin x(sin x cosx). (I) 用五点法画出函数在区间 ——上的图象，长度 为一个周期； 2’ 2 (H)说明f(x) 2s in x(si nx cosx)的图像可由y si nx 的图像经过怎样变换而 1. 已知简谐运动 f(x) 2sin (3X )( 2)的图象经过点(0，1)，则该简谐运 3.函数 y Asin( x )( 0, 尹R)的部分图象如图所示，则函数表达为 y 4si n( x ) 8 4 的图象向右平移

分析：化为Asin( x )形式.得到?

列表，取点，描图: x 335 88888 y11逅1 1 V21 故函数y f(x)在区间［-，2］上的图象是: (U)解法一：把y sinx图像上所有点向右平移—个单位，得到y sin(x ) 4 4 1 的图像，再把y sin(x -)的图像上所有点的横坐标缩短为原来的丄(纵坐标不 4 2 变)，得到y si n(2x —)的图像，然后把y sin(2x —)的图像上所有点纵坐标 4 4 伸长到原来的倍(横坐标不变)，得到y 2 sin(2x -)的图像，再将 4 y . 2 sin(2x )的图像上所有点向上平移1个单位，即得到 4 y 1 - 2 sin(2x -)的图像. 1 解法二：把y sinx图像上所有点的横坐标缩短为原来的-(纵坐标不变)，得 2 到y sin 2x的图像，再把y sin 2x图像上所有点向右平移—个单位，得到 8 解：(I)由f(x)2sin2x 2sin xcosx 1 cos2x sin 2x 2(sin 2x cos — 4 cos2xs in ) 4 2sin(2x 4 ).

三角函数的定义域与值域题库

. 专题三：三角函数的定义域与值域（习题库） 一、选择题 1、函数f（x）的定义域为[﹣，]，则f（sinx）的定义域为（） A、[﹣，] B、[，] C、[2kπ+，2kπ+]（k∈Z） D、[2kπ﹣，2kπ+]∪[2kπ+，2kπ+]（k∈Z） 分析：由题意知，求出x的围并用区间表示，是所求函数的定义域；解答：∵函数f（x）的定义域为为[﹣，]，∴， 解答（k∈Z） ∴所求函数的定义域是[2kπ﹣，2kπ+]∪[2kπ+，2kπ+]（k∈Z）故选D． 2、函数的定义域是（） A、. B、. C、 D、. 解答：由题意可得sinx﹣≥0?sinx≥又x∈（0，2π）∴函数的定义域是．故选B． 3、函数的定义域为（） A、B、 C、D、 解答：由题意得tanx≥0，又tanx 的定义域为（kπ﹣，kπ+）， ∴，故选D． 4、函数f（x）=cosx（cosx+sinx），x∈[0，]的值域是（） A、[1，] B、 C、 D、

解答：∵f（x）=cosx（cosx+sinx）=cos2x+sinxcosx= ==又∵∴ ∴则1≤f（x）≤故选A． 5、函数y=﹣cos2x+sinx﹣的值域为（） A、[﹣1，1] B、[﹣，1] C、[﹣，﹣1] D、[﹣1，] 解答：函数y=﹣cos2x+sinx﹣=﹣（1﹣2sin2x）+sinx﹣ =sin2x+sinx﹣1=﹣ ∵﹣1≤sinx≤1，∴当sinx=﹣时，函数y有最小值为﹣． sinx=1时，函数y 有最大值为1，故函数y 的值域为[﹣，1]，故选B． 6、函数值域是（） A、B、C、D、[﹣1，3] 解答：因为，所以sinx∈[]，2sinx+1∈故选B 7、函数的最大值是（） A、5 B、6 C、7 D、8 解答：∵= =∈[﹣7，7] ∴函数的最大值是7 8、若≤x≤，则的取值围是（） A、[﹣2，2] B、 C、 D、 解答：=2（sinx+cosx）=2sin（）， ∵≤x≤，∴﹣≤≤，∴≤﹣sin（）≤1， 则函数f（x）的取值围是：．故选C．

(完整版)三角函数值域习题

三角函数定义域问题 1.函数 ()2sin 1f x x =-的定义域为（ ） A 5,66ππ??-??? ? B 52,2()66k k k Z ππππ??++∈???? C )(62,62Z k k k ∈??????+-ππππ D )(322,32Z k k k ∈????? ?++ππππ 2.函数y ＝ 2＋log 12 x ＋tan x 的定义域_________； 三角函数值域问题 1、已知函数y=a －bsinx （b ＞0）的最大值是5，最小值是1，则a= ，b= __ 2、函数y ＝2sin ? ????2x ＋π3－1，x ∈? ?????0，π3的值域为________ 3、当7,66x ππ??∈????时，函数23sin 2cos y x x =--的最小值是_______，最大值是________ 4.已知函数()sin()6f x x π=+，其中,3x a π??∈-????，若()f x 的值域是1,12??-???? ，则cos α的取值范围是（ ） A ．1[,1)2 B ．11,2??-???? C ．10,2?????? D ．1,02??-???? 5、求函数y ＝sin x +cos x ＋sin x cos x ，x ∈[0，π]的值域。 6.设0a >，对于函数()sin (0)sin x a f x x x π+=<<，下列结论正确的是( ) A ．有最大值无最小值 B ．有最小值无最大值 C ．有最大值且有最小值 D ．无最值 7、函数3 cos 3cos )(+-=x x x f 的最大值为_______。 8、函数sin 2sin y x x =-的值域为 9、设函数253sin cos ,0,822y x a x a x π??=++-∈???? 的最大值为１，求实数a 的值。

三角函数的定义域、值域和最值

三角函数的定义域、值域和最值 一 知识点精讲： 1 三角函数的定义域 （1）r y = αsin 定义域为R. （2）r x = αcos 定义域为R. （3）x y = αtan 定义域为 ? ?? ? ??∈+≠ Z k k ,2|ππ αα. （4）y x = αcot 定义域为{}Z k k ∈≠,|παα. 2 三角函数的值域 ① )0(,sin ≠+=a b x a y 型 当0>a 时，],[b a b a y ++-∈ ； 当0

三角函数的定义域与值域题库

专题三：三角函数的定义域与值域（习题库） 一、选择题 1、函数f（x）的定义域为[﹣，]，则f（sinx）的定义域为（） A、[﹣，] B、[，] C、[2kπ+，2kπ+]（k∈Z） D、[2kπ﹣，2kπ+]∪[2kπ+，2kπ+]（k∈Z） 分析：由题意知，求出x的范围并用区间表示，是所求函数的定义域；解答：∵函数f（x）的定义域为为[﹣，]，∴， 解答（k∈Z） ∴所求函数的定义域是[2kπ﹣，2kπ+]∪[2kπ+，2kπ+]（k∈Z）故选D． 2、函数的定义域是（） A、. B、. C、 D、. 解答：由题意可得sinx﹣≥0?sinx≥又x∈（0，2π）∴函数的定义域是．故选B． 3、函数的定义域为（） A、B、 C、 D、 解答：由题意得tanx≥0，又tanx 的定义域为（kπ﹣，kπ+）， ∴，故选D． 4、函数f（x）=cosx（cosx+sinx），x∈[0，]的值域是（） A、[1，] B、 C、 D、

解答：∵f（x）=cosx（cosx+sinx）=cos2x+sinxcosx= ==又∵∴ ∴则1≤f（x）≤故选A． 5、函数y=﹣cos2x+sinx﹣的值域为（） A、[﹣1，1] B、[﹣，1] C、[﹣，﹣1] D、[﹣1，] 解答：函数y=﹣cos2x+sinx﹣=﹣（1﹣2sin2x）+sinx﹣ =sin2x+sinx﹣1=﹣ ∵﹣1≤sinx≤1，∴当sinx=﹣时，函数y有最小值为﹣． sinx=1时，函数y 有最大值为1，故函数y 的值域为[﹣，1]，故选B． 6、函数值域是（） A、B、 C、D、[﹣1，3] 解答：因为，所以sinx∈[]，2sinx+1∈故选B 7、函数的最大值是（） A、5 B、6 C、7 D、8 解答：∵= =∈[﹣7，7] ∴函数的最大值是7 8、若≤x≤，则的取值范围是（） A、[﹣2，2] B、 C、 D、 解答：=2（sinx+cosx）=2sin（）， ∵≤x≤，∴﹣≤≤，∴≤﹣sin（）≤1， 则函数f（x）的取值范围是：．故选C．

三角函数的图像与性质 教案

三角函数的图象与性质 　 教学目标 1．熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的性质，并能用它研究复合函数的性质． ．熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数图象的形状、 2 重点难点 重点是通过复习，能运用四种三角函数的性质研究复合三角函数的性质及图象的特点，特别是三角函数的周期性，是需要重点明确的问题． 难点是，在研究复合函数性质时，有些需要先进行三角变换，把问题转化到四种三角函数上，才能进行研究，这就增加了问题的综合性和难度． 教学过程 三角函数的图象与性质是三角函数的核心问题，要熟练、准确地掌握．特别是三角函数的周期性，反映了三角函数的特点，在复习“三角函数的性质与图象”时，要牢牢抓住“三角函数周期性”这一内容，认真体会周期性在三角函数所有性质中的地位和作用．这样才能把性质理解透彻． 一、三角函数性质的分析 ．三角函数的定义域 1 函数y=cotx的定义域是x≠π或(kπ，kπ+π)(k∈Z)，这两种表示法都需要掌握．即角x不能取终边在x轴上的角． (2)函数y=secx、y=cscx的定义域分别与y=tanx、y=cotx相同． 求下列函数的定义域： 例1

π](k∈Z) ． 形使函数定义域扩大． 到．注意不要遗漏．

． (3)满足下列条件的x的结果，要熟记(用图形更便于记住它的结果)

是 [ ] 所以选C． 2．三角函数的值域 (1)由|sinx|≤1、|cosx|≤1得函数y=cscx、y=secx的值域是 |cscx|≥1、|secx|≥1． (2)复合三角函数的值域问题较复杂，除了代数求值域的方法都可以适用外，还要注意三角函数本身的特点，特别是经常需要先进行三角变换再求值域．

三角函数最值与值域专题

三角函数最值与值域专题 三角函数的最值问题是高考的一个重要内容,要求掌握求三角函数最值的常见方法。 类型一：利用1cos 1sin ,≤≤x x 这一有界性求最值。 例1：求函数x x y sin 21sin --= 的值域。 解：由x x y sin 21sin --=变形为(1)sin 21y x y +=+，知1y ≠-，则有21sin 1y x y +=+，21|sin |||11y x y +=≤+22221||1(21)(1)1y y y y +?≤?+≤++203 y ?-≤≤，则此函数的值域是2[,0]3 y ∈- 例2,若函数cos y a x b =+的最大值是1，最小值是7-，求a,b 练习：1，求函数1cos 3cos x y x -=+的值域 3][1-∞-∞（，，+） 2,函数x y sin =的定义域为[a ，b]，值域为]2 1,1[-，则b-a 的最大值和最小值之和为b A ．34π B ．π2 C ．38π D ．π4 类型二：x b x a y cos sin += 型。此类型通常可以可化为sin cos )y a x b x x ?=+=+求其最值（或值域）。 例1：求函数3sin 4cos ,(0,)2y x x x π =+∈的最值。 解：343sin 4cos 5sin(),cos ,sin 55 (,),(3,5] 2y x x x x y ???π ???=+=+==+∈+∈ 2,求函数)3sin()6sin(ππ++- =x x y （R x ∈）的最值。 解法:)12sin(2]4)6sin[(2)6cos()6sin(π ππππ+=+-=-+-=x x x x y ，∴函数的最大值为2，最小值为2-。 练习：1,函数y=3sin(x+20°) +5sin(x+80°)的最大值是： （ c ） A 、215B 、216C 、7 D 、8 2,已知函数x x f 2sin )(=，)62cos()(π+=x x g ，直线x ＝t （t ∈?? ????2,0π）与函数f (x )、g (x )的图像分别交于M 、N 两点，则|MN |的最 类型三：)0(sin sin 2≠++=a c x b x a y 型。此类型可化为)0(2≠++=a c bt at y 在区间]1,1[-上的最值问题。 例1：求函数1sin 3cos 2++=x x y （R x ∈）的最值 解：49)23(sin 1sin 3sin 122+- -=++-=x x x y ∴函数的最大值为4 9，最小值为4325- 例2：求函数1sin 3cos 2++=x a x y （R a ∈，R x ∈）的最大值。 解：1sin 3cos 2 ++=x a x y 转化为2sin sin 2y x x =-+配方得： ①当123>a ，即332>a 时，在sinx=1，13max +=a y

三角函数的值域与最值

4.10三角函数的值域与最值 ● 知识点整理 1 根据正、余弦函数的有界性求简单三角函数的最值和值域； 2 运用转化思想，通过变形、换元等方法转化为代数函数求其给定区间内的值域和最值。 ● 双基练习 1.函数y =32sin x cos x 的最大值是_____，最小值是_____；函数y = 2 4(cos )5x -＋1615的最大值是_____，最小值是_____； 函数y = 的最大值是 ，最小值是 。 2.若||4x π≤ ，2()cos sin f x x x =+的最小值是 （ ） A B ． C ．－1 D 3.函数y =x sin —2sin x 值域是 （ ） A ．[—3 ，—1] B ．[—1，3] C ．[0 ，3] D ．[—3 ，0] 4.函数y =log 2 (1＋sin x ) ＋log 2 (1—sin x )，当x ∈[—6π，4π ] 时的值域为 （ ） A ．[—1 ，0] B ． (]1,0- C ．[)0,1 D ．[0 ，1] 5.求下列函数的值域 （1）3sin 4cos y x x =- （2 ） sin () 22y x x x ππ=+-≤≤ ● 典型例题 例1 求下列函数的最值

（1）y =21cos 2x ＋23sin x cos x ＋1 （x ∈R ）；（2）y =2sin 1 sin 3+-x x 例2 求 y = 1＋sin x ＋cos x ＋sin x cos x 的最值 例3 扇形AOB 的半径为1，圆心角为3π ，求一边在半径上的扇形的内接矩形的最大面积。 课后作业 1.已知方程sin 2x ＋cos x ＋a = 0有实数解，则a 的取值范围是______________。 2.y =3sin （x +200 ）+5 sin (x +800 )的最大值是 （ ）

三角函数的图象与性质知识点汇总

三角函数的图象与性质 、知识网络 基弃变换 三、知识要点 （一）三角函数的性质 1、定义域与值域 2、奇偶性 （1）基本函数的奇偶性奇函数：y = sinx , y = tanx ; 偶函数：y= cosx. （2） -'’ 一 -‘：型三角函数的奇偶性 (i)g (x)=* (x€ R) g (x )为偶函数 ' 二二—「二： O卫址1(徴 + ? =/win(-徴+@)(x亡卫)U sin ocrcos(p= 0(x白应) cos (p二 0 o(p= jt/r-hy e 7) 由此得 同理，旨（对二話乞山（伽+洌0€丘）为奇函数O 寻炉=七兀3€2）. （ii）u'■■ ' '''「：；：：「' ■?■. 八为偶函数' ..为奇函数

O S (<3X + 炉)+丘 的周期为 竺 kl 7T y = / tan (阪 + + 上丿=/cot (血+饲 + 上 的周期为 (2)认知 -I ' ' ： " '型函数的周期 7T -；1 1 - - ■ : - 1 的周期为 门； 71 均同它们不加绝对值时的周期相同，即对 J 的解析式施加绝对值后, y = sin z|+|co3J ： 的最小正周期为

5--三角函数的值域与最值

三角函数的值域或最值 一．求三角函数最值或值域的常用方法 （1）直接法：直接利用x sin 和x cos 的值域求解。 （2）化一法：把所给三角函数化为k x A y ++=)sin(φω的形式，由正弦函数单调性写出函数的值域。 （3）换元法：把x sin x cos ，x x cos sin 或x x cos sin ±换成t ，转化为二次函数求解。 二．常见题型 1.已知函数?? ? ? ?- =6sin 3)(πωx x f )0(>ω和1)2cos(2)(++=φx x g 的图象的对称轴完全相同，若?? ? ???∈2,0πx ，则)(x f 的取值范围是________． 解析：易知ω＝2.∵??????∈2,0πx ，∴2x －π6∈??????－π6，5π6，由三角函数图象知：)(x f 的最小值为3sin ? ?? ??－π6＝－32，最大值为3sin π2＝3，∴)(x f 的取值范围是?????? －32，3. 2.已知函数?? ? ? ? - =6sin 3)(πωx x f )0(>ω和1)2cos(2)(++=φx x g 的图象的对称轴完全相同，若?? ? ???∈2,0πx ，则)(x f 的取值范围是______ 解析：易知ω＝2.∵x ∈??????0，π2，∴2x －π6∈??????－π6，5π6，由三角函数图象知：)(x f 的最小值为3sin ? ???? －π6＝－32，最大值为3sin π2＝3，∴)(x f 的取值范围是?????? －32，3. 3.（换元法）若方程0sin cos 2=+-a x x 在?? ? ??20π，上有解，则a 的取值范围是________． [解析] 法一：把方程变形为a ＝－cos 2 x ＋sin x ，设f (x )＝－cos 2 x ＋sin x ，x ∈? ???? 0，π2， 当且仅当a 属于)(x f 的值域时有解．因为f (x )＝－(1－sin 2 x )＋sin x ＝? ????sin x ＋122－54，且由x ∈? ?? ??0，π2知sin x ∈(0,1]，易求得)(x f 的值域为(－1,1]，故a 的取值范围是(－1,1]．

三角函数的值域与最值

三角函数的值域与最值 〖考纲要求〗掌握三角函数值域及最值的求法. 〖复习建议〗对基本三角函数的性质有透切的理解，掌握基本三角函数的值域，能灵活选取不同的 方法来求三角函数的最值 〖双基回顾〗1、正、余弦函数的值域为 . 2、函数)sin(?+ω=x A y +B 的最大值为 ；最小值为 . 3、函数x b x a y cos sin +=的最大值为 ；最小值为 . 一、知识点训练： 1、函数]3 2, 6[,sin π π∈=x x y 的值域为………………………………………………………… （ ） (A )[－1，1] (B )]1,2 1[ (C )]23, 21[ (D )]1,2 3 [ 2、函数x x y 2 sin 2cos 87--=的最大值为…………………………………………………（ ） (A )5 (B )15 (C )19 (D )20 3、函数y=)2 ,2( cos 2cos π π-∈+ x x x 的最小值为……………………………………………（ ） (A )22 (B ) 2 (C )－ 3 (D )3 4、y =(si nx －a )2在si nx =a 时有最小值，在si nx =1有最大值，那么a 的取值范围是…………（ ） (A )[－1，1] (B )[－1，0] (C )[0，1] (D )),1[+∞- 二、典型例题分析： 1、 ⑴求函数)60sin(5sin 3)(ο ++=x x x f 的最大值. ⑵求函数)80sin(5)120sin(3)(ο ο +++=x x x f 的最小值.

2、求函数)sin 2)(cos 2()(x x x f --=的最值. 3、如果函数t x t x x f 2sin 2sin )(2 +-=的最小值为)(t g ，求)(t g 的表达式及)(t g 的最小值. 4、如图，半径为1的扇形中心角为3 π ，一个矩形的一边在扇形的半径上，求此矩形的最大面积. 三、课堂练习： 如果α=β+αsin 2sin 2sin 32 2 ，求β+α2 2 sin sin 的值域. 四、课堂小结： 三角函数的最值问题是建立在求函数值域基础上的一类问题，所以首先要掌握求函数值域的基本方法：换元法、配方法、数形结合法、判别式法、单调性法、部分分式法……，掌握三角函数值域的特殊方法：有界性法、辅助角法.注意题目的隐含条件的挖掘与使用. B C D O

(完整版)三角函数的图像和性质(复习课教案,含解答)

三角函数的图像与性质 知识梳理： 题组1：基础再现 1.函数sin 2 x y =的最小正周期为 . 2.函数sin()4 y x π =+ 的单调增区间为 . 3.函数tan(2)3 y x π =- 的定义域为 . 4.不求值，判断下列各式的符号： （1）tan138tan143-o o （2）1317tan()tan()45 ππ--- 题组2：三角函数的定义域与值域问题 例1求函数y =lgsin x + cos x －1 2 的定义域． 解：要使函数有意义，只需 sin 0, 1 cos .2x x >???≥??，∴22,22.33k x k k x k πππππππ<<+?? ?-≤≤+?? ∴定义域为(2,2]3 k k π ππ+ （k ∈Z ） ． 例2（1）求函数y ＝cos 2x +sin x ，x ∈[－4π，4 π ]的值域； （2）求函数cos 3 cos 3 x y x -= +的值域； （3）若函数f (x )=a －b cos x 的最大值为52 ，最小值为－1 2 ，求a ， b 的值． 解：（1）令sin x ＝t ，∵x ∈[－4π，4 π ]，∴t ∈[－2，2]． ∴y ＝－t 2+t +1＝－(t －12)2+5 4 ． ∴当t ＝12时，y max ＝5 ；当t ＝－2时，y min ＝12． ∴所求值域为，5 4 ]． （2）∵cos 3 cos 3 x y x -=+，∴33cos 1y x y +=-． ∵|cos x |≤1，∴33||1y y +-≤1，∴－2≤y ≤－1 2 ． ∴所求值域为[－2，－1 2 ]． 题组3：三角函数的单调性与对称性问题 一般地，函数y ＝A sin(ωx +?)的对称中心横坐标可由ωx +?＝k π解得，对称轴可由ωx +?＝k π+π 2 解得； 函数y ＝A cos(ωx +?)的对称中心、对称轴同理可得． 例3求函数y ＝sin( 4 π －2x )的单调减区间. 解：∵定义域为R ，又sin(2)4 y x π =--， ∴要求sin(2)4y x π=-的减区间即求sin(2)4y x π =-的增区间． ∴222242k x k πππππ-≤-≤+ ∴388 k x k ππ ππ-≤≤+（k ∈Z ）．