第12讲 复合函数零点问题

第12练 复合函数零点问题

一、基础知识：

1、复合函数定义：设()y f t =，()t g x =，且函数()g x 的值域为()f t 定义域的子集，那么y 通过t 的联系而得到自变量x 的函数，称y 是x 的复合函数，记为()y f g x =????

2、复合函数函数值计算的步骤：求()y g f x =????函数值遵循“由内到外”的顺序，一层层求出函数值。例如：已知()()22,x f x g x x x ==-，计算()2g f ???? 解：()2224f == ()()2412g f g

∴==???? 3、已知函数值求自变量的步骤：若已知函数值求x 的解，则遵循“由外到内”的顺序，一层层拆解直到求出x 的值。例如：已知()2x f x =，()22g x x x =-，若()0g f x =????，求x

解：令()t f x =，则()2

020g t t t =?-=解得0,2t t ==

当()0020x

t f x =?=?=，则x ∈?

当()2222x

t f x =?=?=，则1x =

综上所述：1x =

由上例可得，要想求出()0g f x =????的根，则需要先将()f x 视为整体，先求出()f x 的值，再求对应x 的解，这种思路也用来解决复合函数零点问题，先回顾零点的定义： 4、函数的零点：设()f x 的定义域为D ，若存在0x D ∈，使得()00f x =，则称0x x =为

()f x 的一个零点

5、复合函数零点问题的特点：考虑关于x 的方程()0g f x =????根的个数，在解此类问题时，要分为两层来分析，第一层是解关于()f x 的方程，观察有几个()f x 的值使得等式成立；第二层是结合着第一层()f x 的值求出每一个()f x 被几个x 对应，将x 的个数汇总后即为

()0g f x =????的根的个数

6、求解复合函数()y g f x =????零点问题的技巧：

（1）此类问题与函数图象结合较为紧密，在处理问题的开始要作出()(),f x g x 的图像 （2）若已知零点个数求参数的范围，则先估计关于()f x 的方程()0g f x =????中()f x 解的个数，再根据个数与()f x 的图像特点，分配每个函数值()i f x 被几个x 所对应，从而确定()i f x 的取值范围，进而决定参数的范围 复合函数： 二、典型例题

例1：设定义域为R 的函数()1

,111,1x x f x x ?≠?-=??=?

，若关于x 的方程()()20f x bf x c ++=由3个不同的解123,,x x x ，则22212

3x x x ++=______ 思路：先作出()f x 的图像如图：观察可发现对于任意的0y ，满足()0y f x =的x 的个数分别为2个（000,1y y >≠）和3个（01y =），已知有3个解，从而可得()1f x =必为

()()20f x bf x c ++=的根，而另一根为1或者是负数。所以()1i f x =，可解得：

1230,1,2x x x ===，所以222

12

35x x x ++= 答案：5

例2：关于x 的方程(

)

2

2

213120x x ---+=的不相同实根的个

数是（ ）

A. 3

B. 4

C. 5

D. 8

思路：可将21x -视为一个整体，即()21t x x =-，则方程变为2

320t t -+=可解得：

1t =或2t =，

则只需作出()2

1t x x =-的图像，然后统计与1t =与2t =的交点总数即可，共有5个 答案：C 例3：已知函数

11

()||||f x x x x x

=+

--，关于x 的方程2()()0f x a f x b ++

=

（,a b R ∈）恰有6个不同实数解，则a 的取值范围是 ． 思路：所解方程

2()()0f x a f x b ++=可视为()()2

0f x a f x b ++=，故考虑作出

()f x 的图像：()2

,12,012,102

,1x x x x f x x x x x

?>??

<≤?=?

--≤

()()122,02f x f x =<<，所以()()()122,4a f x f x -=+∈，

解得42a -<<- 答案：42a -<<-

例4：已知定义在R 上的奇函数，当0x >时，()()121,0212,22

x x f x f x x -?-<≤?

=?->??，则关于x 的方

程()()2

610f x f x --=????的实数根个数为（ ）

A. 6

B. 7

C. 8

D. 9 思路：已知方程()()2

610f x f x --=????可解，得()()1211

,23

f x f x =

=-，只需统计11

,23

y y ==-与()y f x =的交点个数即可。由奇

函数可先做出0x >的图像，2x >时，

()()1

22

f

x f x =

-，则(]2,4x ∈的图像只需将

(]0,2x ∈的图像纵坐标缩为一半即可。正半轴图像

完成后可再利用奇函数的性质作出负半轴图像。通过数形结合可得共有7个交点 答案：B

小炼有话说：在作图的过程中，注意确定分段函数的边界点属于哪一段区间。

例5：若函数()3

2

f x x ax bx c =+++有极值点12,x x ，且()11f x x =，则关于x

的方程

()()()2

320f x af x b ++=的不同实根的个数是（ ）

A ．3

B ．4

C ．5

D ．6

思路：()'232f x x ax b =++由极值点可得：12,x x 为2

320x ax b ++= ①的两根，观察

到方程①与()

()

()2

320f x af x b ++=结构完全相同，所

以可得()

()

()2

320f x af x b ++=的两根为

()()1122,f x x f x x ==，其中()111f x x =，若12x x <，

可判断出1x 是极大值点，2x 是极小值点。且()()2211f x x x f x =>=，所以()1y f x =与()f x 有两个交点，而()2f x 与()f x 有一个交点，共计3个；若

12x x >，可判断出1x 是极小值点，2x 是极大值点。且

()()2211f x x x f x =<=，所以()1y f x =与()f x 有两个交点，而()2f x 与()f x 有一个

交点，共计3个。综上所述，共有3个交点 答案：A

例6：已知函数()243f x x x =-+，若方程()()2

0f x bf x c ++=????恰有七个不相同的实根，则实数b 的取值范围是（ ）

A. ()2,0-

B. ()2,1--

C. ()0,1

D. ()0,2

思路：考虑通过图像变换作出()f x 的图像（如图），因为

()()2

0f x bf x c ++=????最多只能解出2个()f x ，若要出七

个

根

，

则

()()()

121,0,1f x f x =∈，所以

()()()121,2b f x f x -=+∈，解得：()2,1b ∈--

答案：B

例7：已知函数()x

x f x e

=

，若关于x 的方程()()2

10f

x mf x m -+-=恰有4个不相等

的实数根，则实数m 的取值范围是（ ）

A. ()1,22,e e

?? ?

??

B. 1,1e ??

??? C.

11,1e ??+ ??? D.

1,e e ??

???

思路：(),0,0x

x

x

x e f x x x e ?≥??=??-

0x ≥时，()()'1x f x x e -=-，从而()f x 在()0,1单调递增，

在()1,+∞单调递减，()1

1f e

=

，且当,0x y →+∞→，所以x 正半轴为水平渐近线；当0x <时，()()'

1x f

x x e -=-，所以

()f x 在(),0-∞单调递减。由此作图，从图像可得，若恰有4个不等实根，则关于()f x 的

方程()()210f x mf x m -+-=中，()()12110,,,f x f x e e ????∈∈+∞ ? ?????

，从而将问题转化

为根分布问题，设()t f x =，则2

10t mt m -+-=的两根12110,,,t t e e ????∈∈+∞ ? ?????

，设

()21g t t mt m =-+-，则有()2

0010

111100g m m m g e e e >?->????????-?+-=< ??????

?，解得11,1m e ?

?∈+ ???

答案：C

小炼有话说：本题是作图与根分布综合的题目，其中作图是通过分析函数的单调性和关键点来进行作图，在作图的过程中还要注意渐近线的细节，从而保证图像的准确。

例8：已知函数()2

1,0

log ,0ax x f x x x +≤?=?>?，则下列关于函数()()1y f f x =+的零点个数判断

正确的是（ ）

A. 当0a >时，有4个零点；当0a <时，有1个零点

B. 当0a >时，有3个零点；当0a <时，有2个零点

C. 无论a 为何值，均有2个零点

D. 无论a 为何值，均有4个零点

思路：所求函数的零点，即方程()1f f x =-????的解的个数，先作出()f x

的图像，直线

1y ax =+为过定点()0,1的一条直线，但需要对a 的符号进行分类讨论。当0a >时，图像

如图所示，先拆外层可得()()1221

0,2

f x f x a =-<=，

而()1f x 有两个对应的x ，()2f x 也有两个对应的x ，共计4个；当0a <时，()f x 的图像如图所示，先拆外层可得()1

2

f x =，

且()1

2

f x =只有一个满足的x ，所以共一个零点。结合选项，可判断出A 正确

答案：A

例9：已知函数()()()2

32

211,0231,31,0x x f x x x g x x x ???

-+>? ?=-+=????

-++≤?

，则方程

()0g f x a -=????（a 为正实数）的实数根最多有___________个

思路：先通过分析()(),f

x g x 的性质以便于作图，

()()'23632f x x x x x =-=-，从而

()f x 在

()()

,0,2,-∞+∞单增，在

()

0,2单减，且

()()01,

23f f ==-，()g x 为分段函数，作出每段图像

即可，如图所示，若要实数根最多，则要优先选取()f x 能对应x 较多的情况，由()f x 图像可得，当()()3,1f x ∈-时，每个()f x 可对应3个x 。只需判断()g f x a =????中，

()f x 能在()3,1-取得的值的个数即可，观察()g x 图像

可得，当51,4a ??

∈ ???

时，可以有2个()()3,1f x ∈-

，从

而能够找到6个根，即最多的根的个数 答案：6个

例10：已知函数()y f x =和()y g x =在[]2,2-的图像如下，给出下列四个命题： （1）方程()0f g x =????有且只有6个根 （2）方程()0g f x =????有且只有3个根 （3）方程()0f f x =????有且只有5个根 （4）方程()0g g x =????有且只有4个根

则正确命题的个数是（ ）

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

思路：每个方程都可通过图像先拆掉第一层，找到内层函数能取得的值，从而统计出x 的总数。

（1）中可得()()()()()1232,1,0,1,2g x g x g x ∈--=∈，进而()1g x 有2个对应的x ，()2g x 有3个，()3g x 有2个，总计7个，

（1）错误； （2）中可得()()()()122,1,0,1f x f x ∈--∈，进而()1f x 有1个对应的x ，()2f x 有3个，总计4个，（2）错误；

（3）中可得()()()()()1232,1,0,1,2f x f x f x ∈--=∈，进而()1f x 有1个对应的x ，()2f x 有3个，()3f x 有1个，总计5个，

（3）正确； （4）中可得：()()()()122,1,0,1g x g x ∈--∈，进而()1g x 有2个对应的x ，()2g x 有2

个，共计4个，（4）正确

则综上所述，正确的命题共有2个答案：B

复合函数零点个数问题

复合函数、分段函数零点个数问题 1.已知函数???<≥=) 0()-(log )0(3)(3x x x x f x ，函数)()()()(2R t t x f x f x g ∈++=.关于)(x g 的零点，下列判 断不正确．．． 的是【 】 A.若)(,41x g t =有一个零点 B.若)(,4 12-x g t <<有两个零点 C.若)(,2-x g t =有三个零点 D.若)(,2-x g t <有四个零点 2、已知函数(0)()lg()(0) x e x f x x x ?≥=?-0 B b>-2且c<0 C b<-2且c=0 D b 2c=0≥-且 5.已知f (x )＝log 3x ＋2(x ∈[1,9])，则函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的最大值是【 】 A ．13 B ．16 C ．18 D ．22 6 已知函数31+,>0()3,0x x f x x x x ??=??+≤? ， 则函数)2(-)2()(F 2>+=a a x x f x 的零点个数不可能．．．为【 】 A 3 B 4 C 5 D 6 7． 已知函数f(x)＝????? ax ＋1，x ≤0，log 2x ， x ＞0。则下列关于函数y ＝f(f(x))＋1的零点个数的判断正确的是【 】 （A ）当a ＞0时，有4个零点；当a ＜0时，有1个零点 （B ）当a ＞0时，有3个零点；当a ＜0时，有2个零点

专题复习之--函数零点问题

专题复习之--函数零点问题 （一）零点所在区间问题（存在性，根的分布） 1.函数()lg 3f x x x =+-的零点所在区间为（ ） A ．(0，1) B ．(1，2) C ．(2，3) D ．(3，+∞) 变式：函数b x a x f x -+=)(的零点))(1,(0Z n n n x ∈+∈，其中常数b a ,满足 23,32==b a ， 则=n （ ） A. 0 B.1 C.2- D.1- 2.已知a 是实数，函数2 ()223f x ax x a =+--，如果函数()y f x =在区间[]11-，上有零点，则a 的取值范围是____________． （二）零点个数问题（重点，常用数形结合） 3.函数()44f x x x = ++-的零点有 个. 4.讨论函数2()1f x x a =--的零点个数. 5.若存在区间[,]a b ,使函数[]()2(,)f x k x x a b =+ +∈的值域是[,]a b ,则实数k 的范围 是__________. 6. 已知偶函数)(x f 满足)()2(x f x f =-,且当10<≤x 时，x x f =)(,则x x f lg )(=的零点个数是________. 7.（选作思考）函数f （x ）=234 20122013123420122013x x x x x x ??+-+-+-+ ?? ? cos2x 在区间[-3，3]上的零点的个数为_________.

（三）复合函数与分段函数零点问题（由里及外，画图分析） 8.已知函数???<≥=) 0()-(log )0(3)(3x x x x f x ，函数)()()()(2R t t x f x f x g ∈++=.关于)(x g 的 零点，下列判断不正确．．． 的是（ ） A.若)(,41x g t =有一个零点 B.若)(,4 12-x g t <<有两个零点 C.若)(,2-x g t =有三个零点 D.若)(,2-x g t <有四个零点 变式一：设定义域为R 的函数1251,0()44,0 x x f x x x x -?-≥?=?++0)()-2(0) x x f x x x x ?=?-≤? 则关于x 的函数1)(3-)(2y 2+=x f x f 的零点的个数为______. 变式三：已知函数(0)()lg()(0) x e x f x x x ?≥=?-0 B. b >-2且c <0 C. b <-2且c =0 D. b 2c=0≥-且

复合函数的零点个数问题

复合函数、分段函数零点个数问题 2012.12.31 1.（2013届八校联考理10）已知函数???<≥=) 0()-(log ) 0(3)(3x x x x f x ，函数 )()()()(2R t t x f x f x g ∈++=.关于)(x g 的零点，下列判断不正确．．．的是（ ） A .若)(,41x g t = 有一个零点 B .若)(,4 1 2-x g t <<有两个零点 C .若)(,2-x g t =有三个零点 D .若)(,2-x g t <有四个零点 2、（2013届八校联考-文10）已知函数(0) ()lg()(0)x e x f x x x ?≥=?-0)()-2(0) x x f x x x x ?=?-≤? 则关于x 的函数1)(3-)(2y 2 +=x f x f 的零点的个数为 ________. 5.已知函数1+ (0)()0(=0) x x f x x x ?≠?=??? 则关于x 的方程 2 ()b ()0f x f x c ++= 有5个 不同的实数解的充要条件是（ ） A b<-2且c>0 B b>-2且c<0 C b<-2且c=0 D b 2c=0≥-且 6 已知函数31 +,>0()3,0x x f x x x x ??=??+≤? ， 则函数)2(-)2()(F 2 >+=a a x x f x 的零点个数不可能．．． 为（ ） A 3 B 4 C 5 D 6

专题分段函数与函数零点答案

11. 已知函数f(x)＝???x ，x ≥0，x 2，x ＜0， 则关于x 的不等式f(x 2)＞f(3－2x)的解集是__________ 11. (－∞，－3)∪(1，3) 解析：x≤32 时原不等式化为x 2＞3－2x ，解得x ＜－3或1＜x≤32；x ＞32时原不等式化为x 2＞(3－2x)2，解得32 ＜x ＜3.综上x ＜－3或1＜x ＜3.本题考查分类讨论的思想，考查解不等式的能力．本题属于中等题． 11. 已知定义在实数集R 上的偶函数f(x)，当x≥0时，f(x)＝－x ＋2，则不等式f(x)－x 2≥0的解集为________． 11. [－1，1] 解析：∵ f(x)≥x 2，而f(x)示意图如下： 令x 2＝－x ＋2，得x ＝1(x>0)，从而由图象知，原不等式解集为[－1，1]． 本考查了函数的综合运用，以及数形结合数学思想．本题属于中等题． 13. 已知奇函数f(x)是R 上的单调函数，若函数y ＝f(x 2)＋f(k －x)只有一个零点，则实数k 的值是__________． 13. 14 解析：不妨设f(x)＝x ，则x 2＋k －x ＝0只有一个解，从而1－4k ＝0，得k ＝14 . 12. 已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x≤0时，f(x)＝－x 2－3x ，则不等式f(x －1)＞－x ＋4的解集是____________． 12. (4，＋∞) 解析：由题意得f(x)＝???－x 2－3x ，x ≤0，x 2－3x ，x>0， f(x －1)＝? ??－（x －1）2－3（x －1），x －1≤0，（x －1）2－3（x －1），x －1>0， 即f(x －1)＝? ??－x 2－x ＋2，x ≤1，x 2－5x ＋4，x>1， 所以不等式f(x －1)＞－x ＋4可化为???－x 2－x ＋2>－x ＋4，x ≤1， 或???x 2－5x ＋4>－x ＋4，x>1， 解得x ＞4. 11. 已知f(x)＝???x 2＋x （x≥0），－x 2＋x （x<0）， 则不等式f(x 2－x ＋1)<12的解集是________． 11. (－1，2) 解析：由函数图象知f(x)为R 上的增函数且f (3)

复合函数图像研究及零点个数问题

复合函数图像研究零点 例1、求方程02324=+-x x 实数解的个数为个。 例2、已知函数 则下列关于函数的零点个数的判断 正确的是（ ） A. 当 时，有3个零点；当时，有2个零点 B. 当时，有4个零点；当时，有1个零点 C. 无论为何值，均有2个零点D. 无论为何值，均有4个零点 例3、已知函数f (x )＝????? |ln x |，x >0x 2＋4x ＋1，x ≤0 ，若关于x 的方程f 2(x )－bf (x )＋c ＝0(b ，c ∈R )有8个不同的实数根，则b ＋c 的取值范围为( ) A ．(－∞，3) B ．(0,3] C ．[0,3] D ．(0,3) 例4、已知函数c bx ax x x f +++=23)(有两个极值点21,x x ，若211)(x x x f <=，则关 于x 的方程0)(2)(32=++b x af x f 的不同实根个数为。

及时训练 1、已知函数和在的图象如下所示： 给出下列四个命题： ①方程有且仅有6个根 ②方程有且仅有3个根 ③方程有且仅有5个根 ④方程有且仅有4个根 其中正确的命题是 ．（将所有正确的命题序号填在横线上）. 2、定义在()+∞,0上的单调函数函数)(x f ，对任意(),,0+∞∈x 都有[]4log )(3=-x x f f ，则函数21)()(x x f x g -=的零点所在区间是（ ） A 、??? ??41,0 B 、??? ??21,41 C 、??? ??43,21 D 、? ?? ??1,43 )(x f y =)(x g y =]2,2[ -0)]([=x g f 0)]([=x f g 0)]([=x f f 0)]([=x g g

复合函数的零点个数问题

复合函数、分段函数零点个数问题 1.（2013届八校联考理10）已知函数???<≥=) 0()-(log ) 0(3)(3x x x x f x ，函数 )()()()(2R t t x f x f x g ∈++=.关于)(x g 的零点，下列判断不正确．．． 的是（ ） A.若)(,41x g t =有一个零点 B.若)(,4 12-x g t <<有两个零点 C.若)(,2-x g t =有三个零点 D.若)(,2-x g t <有四个零点 2、（2013届八校联考-文10）已知函数(0)()lg()(0) x e x f x x x ?≥=?-0) ()-2(0) x x f x x x x ?=? -≤? 则关于x 的函数1)(3-)(2y 2+=x f x f 的零点的个数为________. 5.已知函数1+ (0)()0(=0) x x f x x x ?≠?=??? 则关于x 的方程 2()b ()0f x f x c ++= 有5个 不同的实数解的充要条件是（ ） A b<-2且c>0 B b>-2且c<0 C b<-2且c=0 D b 2c=0≥-且

复合函数零点(题)

复合函数零点 类型一：直接作图 1、直线1y =与曲线2y x x a =-+有4个交点，则a 的取值范围是 2、已知(x)f 是定义在R 上且周期为3的函数，当[)0,3x ∈时，21(x)x 22 f x =-+.若函数(x)a y f =-在区间[]3,4-上有10个零点（互不相同），则实数a 的取值范围是 3、已知函数),0()0,()(+∞-∞ 是定义在x f 上的偶函数，当0>x 时， 1)(4)(2),2(2 1,20,12)(|1|-=?????>-≤<-=-x f x g x x f x x f x 则函数的零点个数为 类型二：与二次函数结合 1、设定义域为R 的函数2lg (>0)()-2(0) x x f x x x x ?=?-≤? 则关于x 的函数 1)(3-)(2y 2+=x f x f 的零点的个数为______________. 2、已知函数 ，若关于 的方程 有 个不同的实数解，则实数 的取值范围是______. 3、设定义域为R 的函数1251,0()44,0 x x f x x x x -?-≥?=?++?=?--+≤??，若关于x 的方程2(x)3(x)0(a R)f f a -+=∈有8个不等的实数根，则a 的取值范围是( ) A. 1 (0,)4 B. 1(,3)3 C. (1,2) D. 9(2,)4 5.函数()y f x =是定义域为R 的偶函数，当0x ≥时，21,(02)16()1(),(2)2 x x x f x x ?≤≤??=??>??，若关 于x 的方程[]2()()0f x af x b ++=，,a b R ∈，有且仅有6个不同实数根，则实数a 的取

复合函数零点问题

复合函数零点问题 一、基础知识： 1、复合函数定义：设()y f t =，()t g x =，且函数()g x 的值域为()f t 定义域的子集，那么y 通过t 的联系而得到自变量x 的函数，称y 是x 的复合函数，记为()y f g x =???? 2、复合函数函数值计算的步骤：求()y g f x =????函数值遵循“由内到外”的顺序，一层层求出函数值。例如：已知()()2 2,x f x g x x x ==-，计算()2g f ???? 解：()2 224 f ==()()2412 g f g ∴==????3、已知函数值求自变量的步骤：若已知函数值求x 的解，则遵循“由外到内”的顺序，一层层拆解直到求出x 的值。例如：已知()2x f x =，()2 2g x x x =-，若()0g f x =????，求x 解：令()t f x =，则()2 020g t t t =?-=解得0,2t t == 当()0020x t f x =?=?=，则x ∈? 当()2222x t f x =?=?=，则1x = 综上所述：1x = 由上例可得，要想求出()0g f x =????的根，则需要先将()f x 视为整体，先求出()f x 的值，再求对应x 的解，这种思路也用来解决复合函数零点问题，先回顾零点的定义： 4、复合函数零点问题的特点：考虑关于x 的方程()0g f x =????根的个数，在解此类问题时，要分为两层来分析，外层是解关于 g(x)的方程，观察有几个t ，g(t)的值使得等式成立；内层 是结合着()f x =t ，求出每一个()f x =t 被几个x 对应，将x 的个数汇总后即为()0g f x =????的根的个数 例1：关于x 的方程()2 22 13120x x ---+=的不相同实根的个数是（ ） A.3 B.4 C.5 D.8

分段函数零点问题研究

分段函数零点问题研究

分段函数作业 1. 已知函数f(x)＝???（1－2a ）x ＋3a ，x<1，lnx ，x ≥1 的值域为R ，那么实数a 的取值范围是________． 2. 已知函数f(x)＝???（3a －1）x ＋4a ，x<1，log a x ，x ≥1在R 是单调函数，则实数a 的取值范围是______． 3. 已知函数f(x)＝???x ＋2，x ＞a ，x 2＋5x ＋2，x ≤a ， 若函数g(x)＝f(x)－2x 恰有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是________． 4. 已知函数f(x)＝? ??x 2，x ∈[0，＋∞），x 3＋a 2－3a ＋2，x ∈（－∞，0）在区间(－∞，＋∞)上是增函数，则常数a 的取值范围是________． 5. 已知函数f(x)＝? ????－x 2＋4x ，x ≤4，log 2x ，x>4，若函数y ＝f(x)在区间(a ，a ＋1)上单调递增，则实数a 的取值范围是________． 6. 已知函数f(x)＝?????（x －a ）2 ，x ≤0，x ＋1x ＋a ，x>0，若f(0)是f(x)的最小值，则实数a 的取值范围为_____． 7. 已知函数f(x)＝???|x|，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x>m ， 其中m>0，若存在实数b ，使得关于x 的方程f(x)＝b 有3个不同的根，则m 的取值范围是________． 8. 已知函数f(x)＝?????1x ＋1－3，x ∈（－1，0]，x ，x ∈（0，1]， 且g(x)＝f(x)－mx －m 在(－1，1]内有且仅有2个不同的零点，则实数m 的取值范围是________． 9. 已知函数f(x)＝???（2a －4）x ＋2a －3，x ≤t ，－x 2＋3x ，x>t ， 无论t 取何值，函数f(x)在区间(－∞，＋∞)上总是不单调，则实数a 的取值范围是________． 10. 设函数f(x)＝???log 2??? ?－x 2，x ≤－1，－13x 2＋43x ＋23，x>－1， 若f(x)在区间[m ，4]上的值域为[－1，2]，则实数m 的取值范围为________．

高分必会系列之函数零点个数问题总结完美

零点个数问题 该问题题常以分段函数、抽象函数等为载体，考查函数性质、函数零点的个数、参数的范围和通过函数性质求解不等式问题等.解决该类问题的途径往往是根据函数的性质作出示意图，利用数形结合研究分界位置，结合函数、方程、不等式刻画边界位置，其间要注意导数的应用. 一、 分段函数的零点问题 【例1】（2020?漳州一模）已知函数21,1()43,1x e x f x x x x ?-<=?-+? ，若y kx =与()f x 有三个公共点，则实数k 的取 值范围是( ) A ．4,1)e -B ．4,0) (0,1)e -C ．4,1)(1,1)e - D ．4,0)(0,1)(1,1)e - 解：如图所示，函数()f x 的图象，y kx =的图象． 1x -→时，()1f x e →-，可得(1,1)A e -，1OA k e =-． 1x <时，()1x f x e =-，()x f x e '=． 1x 时，22()43(2)1f x x x x =-+=--，()24f x x '=-． 假设()f x 与y kx =相切于原点时，01k e ==． 结合图形可得：11k e <<-时y kx =与()f x 有三个公共点． 设直线y kx =与2()43(1)f x x x x =-+相切于点0(P x ，2 043)x x -+， 则 2 0000 4324x x x x -+=-，化为：2 03x =， 解得：0x = 4k =． 结合图形可得：41k <<时，y kx =与()f x 有三个公共点． 综上可得：41k <<，或11k e <<-时，y kx =与()f x 有三个公共点．故选：C ．

零点与分段函数综合应用完整版

零点与分段函数综合应用 1、零点：()()=0()f x f x f x x ??有零点有解图像与轴有交点。 2、求零点的主要方法：???? ?????? ?? 解方程图像法 重点零点存在性定理二分法 3、分段函数：???求值图像与零点的综合应用类型一：零点 1、求函数2()=-2f x x x 的零点个数？ 2、求函数(1)ln(1) ()= 3 x x f x x ---的零点个数？ ★3、（2012年高考（湖北文））函数 ()cos 2f x x x =在区间[0,2]π上的零点 个数为 （ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 4、函数1 2 1 ()()2x f x x =-的零点个数为 5、已知()sin f x x π=，1 ()4 g x x =，求 ()()f x g x =的零点个数。 6、求函数()cos f x x x =-的零点个数 ★ 7、（12湖南）设定义在R 上的函数()f x 是最小正周期为2π的偶函数,()f x '是 ()f x 的导函数,当[]0,x π∈时,0()1f x <<; 当(0,)x π∈且2 x π ≠ 时 ,()()02 x f x π '->,则 函数()sin y f x x =-在[2,2]ππ-上的零点个数为 （ ） A ．2 B ．4 C ．5 D ．8 8、函数()23x f x x =+的零点所在的一个区 间是 Ａ．()2,1-- Ｂ．()1,0- Ｃ．()0,1 Ｄ．()1,2 9、函数()e 2x f x x =+-的零点所在的一个区间是 Ａ．()2,1-- Ｂ．()1,0-Ｃ．()0,1 Ｄ．()1,2 ★10、函数32 ()ln 2x f x x =-的零点所在一个区间是 Ａ．()1,2 Ｂ．()2,3Ｃ．()3,4 Ｄ．()4,5 类型二：分段函数 1 、 设 1, ()0, 1, f x ???=??-??0(0)(0) x x x >=<, 1, ()0, g x ??=? ??

复合函数零点问题专题

复合函数零点问题 例1：设定义域为R 的函数()1 ,111,1x x f x x ?≠? -=??=? ，若关于x 的方程 ()()20f x bf x c ++=由3个不同的解123,,x x x ，则22212 3x x x ++=______ 思路：先作出()f x 的图像如图：观察可发现对于任意的0y ，满足()0y f x =的x 的个数分别为2个（000,1y y >≠）和3个（01y =），已知有3个解，从而可得()1f x =必为 ()()20f x bf x c ++=的根，而另一根为1或者是负数。所以()1i f x =，可解得： 1230,1,2x x x ===，所以222 1235x x x ++= 答案：5 例2：关于x 的方程( ) 2 2 213120x x ---+=的不相同实根的个 数是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 8 思路：可将21x -视为一个整体，即()21t x x =-，则方程变为2320t t -+=可解得： 1t =或2t =，则只需作出()21t x x =-的图像，然后统计与1t =与2t =的交点总数即 可，共有5个 答案：C 例3：已知函数 11 ()||||f x x x x x =+ --，关于x 的方程2()()0f x a f x b ++=（,a b R ∈）恰有6个不同实数解，则a 的取值范围是 ． 思路：所解方程 2 ()()0f x a f x b ++=可视为()()2 0f x a f x b ++=，故考虑作出

()f x 的图像：()2 ,12,01 2,102 ,1x x x x f x x x x x ?>?? <≤?=? --≤时，()()121,0212,22 x x f x f x x -?-<≤? =?->??，则关于x 的方 程()()2 610f x f x --=????的实数根个数为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 思路：已知方程()()2 610f x f x --=????可解，得 ()()1211,23f x f x ==-，只需统计11,23 y y ==- 与()y f x =的交点个数即可。由奇函数可先做出 0x >的图像，2x >时，()()1 22 f x f x = -，则(]2,4x ∈的图像只需将(]0,2x ∈的图像纵坐标缩 为一半即可。正半轴图像完成后可再利用奇函数的性质作出负半轴图像。通过数形结合可得共有7个交点 答案：B 小炼有话说：在作图的过程中，注意确定分段函数的边界点属于哪一段区间。 例5：若函数()32f x x ax bx c =+++有极值点12,x x ，且()11f x x =，则关于x 的方程 ()()()2 320f x af x b ++=的不同实根的个数是（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6

高中数学解题方法技巧：函数零点问题

高中数学解题技巧剖析：函数零点问题 作者：xbomath 倾情分享 今天跟大家分享一下每日一题：函数零点问题。本题难度中等偏上，对于同学们的综合能力有较高要求，着重考察数形结合、绝对值的意义等思想。 数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域、最值问题中，在求复数和三角函数解题中，运用数形结思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图见数想图，以开拓自己的思维视野。 本道题目的主旨在于将一个未知函数拆分为两个常见的函数，然后运用数形结合的思想来解决问题。令f (x )=0，将等式移项变换，可以得到两个新函数， g (x )=1x 和?(x )=|2x ?m |的绝对值型一次函数，最后画图求交点，根据图像 数m 的取值范围即可。 解析： 易知 f (0)=?1，故函数f (x )有三个不同的零点，可以转化为|2x ?m |=1x 有 三个不同的非零实数根，即函数y =|2x ?m |与y =1x (x >0)的图像有三个不 习题2.1 已知函数f (x )=??2x 2+mx ?1, x

同的交点，作图，当x ≥m 2时，直线y =2x ?m 与曲线y =1x (x >0)，有且仅 有一个交点，当00)，必有两 个不同的交点，而当直线y =2x +m 与曲线y =1x (x >0)相切时，?1x 2=?2 解得x = ξ22，此时m =2ξ2，此时m =2ξ2结合图像可知：m >2ξ2。 类似题目同学们可以思考下面这道题： 本题运用的也是将一个大函数拆分为两个小函数，画图进行比较，从而得出结论，关于零点问题或者更多的知识点的解题方法技巧视频解析可以留言讨论获取。同学们自己可以动动脑动动手好好做一下。答案为2个。 习题2.2 函数f (x )=x 2?2x ?2lnx +5的零点个数为 知识点储备： 本题主要考察分段函数、导数的几何意义，着重考察推理分析能力。

高中数学讲义 复合函数零点问题

微专题12 复合函数零点问题 一、基础知识： 1、复合函数定义：设()y f t =，()t g x =，且函数()g x 的值域为()f t 定义域的子集，那么y 通过t 的联系而得到自变量x 的函数，称y 是x 的复合函数，记为()y f g x =???? 2、复合函数函数值计算的步骤：求()y g f x =????函数值遵循“由内到外”的顺序，一层层求出函数值。例如：已知()()22,x f x g x x x ==-，计算()2g f ???? 解：()2 224f == ()()2412g f g ∴==???? 3、已知函数值求自变量的步骤：若已知函数值求x 的解，则遵循“由外到内”的顺序，一层层拆解直到求出x 的值。例如：已知()2x f x =，()2 2g x x x =-，若()0g f x =????，求x 解：令()t f x =，则()2 020g t t t =?-=解得0,2t t == 当()0020x t f x =?=?=，则x ∈? 当()2222x t f x =?=?=，则1x = 综上所述：1x = 由上例可得，要想求出()0g f x =????的根，则需要先将()f x 视为整体，先求出()f x 的值，再求对应x 的解，这种思路也用来解决复合函数零点问题，先回顾零点的定义： 4、函数的零点：设()f x 的定义域为D ，若存在0x D ∈，使得()00f x =，则称0x x =为()f x 的一个零点 5、复合函数零点问题的特点：考虑关于x 的方程()0g f x =????根的个数，在解此类问题时，要分为两层来分析，第一层是解关于()f x 的方程，观察有几个()f x 的值使得等式成立；第二层是结合着第一层()f x 的值求出每一个()f x 被几个x 对应，将x 的个数汇总后即为 ()0g f x =????的根的个数 6、求解复合函数()y g f x =????零点问题的技巧： （1）此类问题与函数图象结合较为紧密，在处理问题的开始要作出()(),f x g x 的图像

微专题分段函数及零点问题1

微专题分段函数的零点问题 活动一：预习反馈导学 1.已知函数f (x )＝????? －x 2＋12x x ，x ＋x ， 若函数y ＝f (x )－kx 有3个零点，则实数k 的取值范围是________． 2.已知函数311,,()11,, x f x x x x ?>?=?-≤≤??若关于x 的方程()(1)f x k x =+有两个不同的实数根，则实数k 的取值范围是 ▲ ． 3.【2014江苏，理13】已知错误！未找到引用源。是定义在错误！未找到引用源。上且周期为3的函数，当错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。，若函数错误！未找到引用源。在区间错误！未找到引用源。上有10个零点（互不相同），则实数错误！未找到引用源。的取值范围是 . 4.【2015高考江苏，13】已知函数错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，则方程错误！未找到引用源。实根的个数为 活动二. 合作提炼探究

例1.设函数f (x )＝????? x ，x ≤0，x 2－x ，x >0，若方程f (x )＝m 有三个不同的实根，则实数m 的取值范围为________． 变式 已知32,(),x x a f x x x a ?≤=?>?，若存在实数b ，使函数()()g x f x b =-有两个零点，则a 的取值范围是___． 探究1：已知函数(),0 { 21,0lnx x f x x x >=+≤，若直线y ax =与()y f x =交于三个不同的点 ()(),A m f m ， ()(),B n f n ， ()(),C t f t （其中m n t <<），则12n m + +的取值范围是__________． 探究2： 已知k 为常数，函数()2,0{ 1 ,0 x x f x x lnx x +≤=->，若关于x 的方程()2f x kx =+有且只有4个不同解，则实数k 的取值集合为__________． 例2. 【2015高考天津，文8】已知函数错误！未找到引用源。,函数错误！未找到引用源。,则函数错误！未找到引用源。的零点的个数为________.

图像法完美解决“分段函数”零点问题

图像法完美解决“分段函数”零点问题-中学数学论文 图像法完美解决“分段函数”零点问题 南昌大学附属中学(330047)温伟明 函数是中学数学的重要内容，其中分段函数是一类特殊函数。它不仅体现了一般函数所具备的性质、方法、思想，更能有效地考查学生的阅读理解、分类讨论、发散思维、数形结合等多种能力，为学生更加灵活地运用数学知识去分析解决问题留下了一个可供探索、益于创新的思维空间。正是基于这一点，它在高考试题中由一个不起眼的考点迅速成为热点。 分析近几年的高考试题，分段函数不再拘于只对函数解析式的理解，会求解简单的函数值，而开始从图像单调性、对称性、最值、零点等多方面，多种形式考查学生的综合能力。而零点问题在2015年的高考试卷中尤为突出，下面将通过其中两个具体实例，来研究与探讨图像法在分段函数零点问题中的运用。 例1（2015年北京卷）设函数f(x)=2x－a,x1, 4(x－a)(x－2a),x≥1。 ①若a=1，则f(x)的最小值为； ②若f(x)恰有2个零点，则实数a的取值范围是。 分析：①若a=1，则分段函数各段范围和解析式已经确定，可以分别求出各段的值域，进而求出其最小值；②若f(x)恰有2个零点，则函数与x轴有两个交点，可利用其函数图像分别对两段上的零点进行分析，由于a不确定，所以需要对a 进行分类讨论。 解析：①当a=1时，函数f(x)=2x－1,x1, 4(x－1)(x－2),x≥1。

当x1时，－12x－11；当x≥1时，4(x－1)(x－2)≥－1, 所以f(x)最小值为－1。 ②（1）当a=0时，f(x)=2x,x1, 4x2,x≥1。由图像易知函数与x轴没有交点，故舍去； （2）当a0时，令h(x)=2x－a(x1)，∴0h(x)2－a，令g(x)=4(x－a)(x－2a)(x≥1)，顶点坐标(32a,－a2)，与x轴交于(a,0),(2a,0)，可以画出其大致图像，如图1，发现函数与x轴也无交点，故舍去； 图1 （3）当a0时，令h(x)=2x－a(x1)，∴－ah(x)2－a，当2－a0时，h(x)与x轴有1个交点，当2－a≤0时，h(x)与x轴无交点； 令g(x)=4(x－a)(x－2a)(x≥1)，与x轴交于(a,0),(2a,0)，当2a1时，g(x)与x轴无交点，当a1≤2a时，g(x)与x轴有1个交点，当a≥1时，g(x)与x轴有2个交点。所以，要使函数f(x)与x轴有2交点，如图所示两种情况： 图2图3 ⅰ)h(x)与x轴有1交点时，0a2；当g(x)与x轴有1交点时，12≤a1; ⅱ)当a≥2，h(x)与x轴无交点；g(x)与x轴有2交点。 综上所述，12≤a1或a≥2。 赏析：本题是分段函数的零点问题，参数出现在各段解析式中，需要分别对其讨论零点个数，即讨论与x轴的交点，而利用图像法能够很清晰直观的将各种情形展示出来。 例2（2015年天津卷）已知函数f(x)= 2－|x|,x≤2,

复合函数的零点个数问题

复合函数的零点个数问 题 集团档案编码：[YTTR-YTPT28-YTNTL98-UYTYNN08]

复合函数、分段函数零点个数问题 1.（2013届八校联考理10）已知函数???<≥=) 0()-(log ) 0(3)(3x x x x f x ，函数 )()()()(2R t t x f x f x g ∈++=.关于)(x g 的零点，下列判断不正确．．． 的是（ ） A.若)(,41x g t =有一个零点 B.若)(,4 1 2-x g t <<有两个零 点 C.若)(,2-x g t =有三个零点 D.若)(,2-x g t <有四个零点 2、（2013届八校联考-文10）已知函数(0) ()lg()(0)x e x f x x x ?≥=?-0) ()-2(0)x x f x x x x ?=?-≤? 则关于x 的函数 1)(3-)(2y 2+=x f x f 的零点的个数为 ________. 5.已知函数1 + (0)()0(=0) x x f x x x ?≠?=??? 则关于x 的方程 2()b ()0f x f x c ++= 有5个不同的实数解的充要条件是（ ） A b<-2且c>0 B b>-2且c<0 C b<-2且c=0 D b 2c=0≥-且 6 已知函数31 +,>0 ()3,0x x f x x x x ??=??+≤?， 则函数)2(-)2()(F 2>+=a a x x f x 的零点个数 不可能．．． 为（ ） A 3 B 4 C 5 D 6

复合函数的零点问题

复合函数的零点问题 I ．题源探究·黄金母题 【例1】设函数()1 ,0,()11,11x x a a f x x a x a ?≤≤??=??-<≤?-?（a 为常数且()0,1a ∈）． 若0x 是()()f f x x -的零点但不是()f x x -的零点，则称 0x 为()f x 的二阶周期点，求函数()f x 的二阶周期点． 【答案】函数()f x 有且仅有两个二阶周期点， 121a x a a = -++，2 211 x a a =-++． 【解析】2 222 221,0,1(),,(1) (())1(),1,(1)1(1),1 1.(1)x x a a a x a x a a a f f x x a a x a a a x a a x a a ?≤≤?? ?-<≤?-?=??-<<-+-???--+≤≤-?? 当2 0x a ≤≤时，由 21 x x a =解得0x =，由于()00f =，故0x =不是()f x 的二阶周期点； 当2 a x a <≤时，由 1 ()(1) a x x a a -=-解得 2 1 a x a a = -++2 (,),a a ∈因222211( )1111 a a a f a a a a a a a a a =?=≠-++-++-++-++， 故21 a x a a = -++是()f x 的二阶周期点； 当2 1a x a a <<-+时，由 2 1 ()(1)x a x a -=-解得 1 2x a = -2(,1)a a a ∈-+，因精彩解读 【试题来源】2013年高考江西卷改编． 【母题评析】本题以新定义的形式考查复合 函数、分段函数的零点，难度较大．新定义（信息题）是近几年来高考的一个热点． 【思路方法】理解定义，写出复合函数的解析式，再利用函数与方程思想、分类分类讨论思想、数形结合思想解题．

第12讲 复合函数零点问题

第12练 复合函数零点问题 一、基础知识： 1、复合函数定义：设()y f t =，()t g x =，且函数()g x 的值域为()f t 定义域的子集，那么y 通过t 的联系而得到自变量x 的函数，称y 是x 的复合函数，记为()y f g x =???? 2、复合函数函数值计算的步骤：求()y g f x =????函数值遵循“由内到外”的顺序，一层层求出函数值。例如：已知()()22,x f x g x x x ==-，计算()2g f ???? 解：()2224f == ()()2412g f g ∴==???? 3、已知函数值求自变量的步骤：若已知函数值求x 的解，则遵循“由外到内”的顺序，一层层拆解直到求出x 的值。例如：已知()2x f x =，()22g x x x =-，若()0g f x =????，求x 解：令()t f x =，则()2 020g t t t =?-=解得0,2t t == 当()0020x t f x =?=?=，则x ∈? 当()2222x t f x =?=?=，则1x = 综上所述：1x = 由上例可得，要想求出()0g f x =????的根，则需要先将()f x 视为整体，先求出()f x 的值，再求对应x 的解，这种思路也用来解决复合函数零点问题，先回顾零点的定义： 4、函数的零点：设()f x 的定义域为D ，若存在0x D ∈，使得()00f x =，则称0x x =为 ()f x 的一个零点 5、复合函数零点问题的特点：考虑关于x 的方程()0g f x =????根的个数，在解此类问题时，要分为两层来分析，第一层是解关于()f x 的方程，观察有几个()f x 的值使得等式成立；第二层是结合着第一层()f x 的值求出每一个()f x 被几个x 对应，将x 的个数汇总后即为 ()0g f x =????的根的个数 6、求解复合函数()y g f x =????零点问题的技巧：

求分段函数的值域,最值,单调区间,零点的常用方法

求分段函数的值域，最值，单调区间，零点的常用方法 梁关化，2015，11，17 分段函数在高考中常常是以小题出现，但有时却是小题中的难题。如今年北京，天津就是把它作为小题中的难题出。分段函数是一个函数，只是自变量取值不同时对应法则不同而已，但它又可以看成若干个函数组成的一个整体。故它的值域是若干个函数值域的并集，最值是由它们的最值比较而定，单调区间，零点也是它们综合起来而定。解题时，一般是先分段求解，再综合整理。其中常常用到数形结合，分类讨论等数学思想，零点问题常与方程结合，单调区间，最值，必要时还需要用导数解决。下面看题。 1、（2015年北京理科卷） 设函数()()()2142 1.x a x f x x a x a x ?-

有三个零点） ② 1） 数形结合法： 若()f x 恰有2个零点，其图象如下： 由图象得 1 12 a ≤<或2a ≥。 2）分段分析方程法： 当0a ≤时，两方程（()()2(1)4201)x a x x a x a x -<--==0, (≥）都无解：当1 02 a <<时，方程2(1)x a x -<=0有一解，而方程()()4201)x a x a x --=(≥无解；当 1 12 a ≤<时，方程2(1)x a x -<=0有一解，而方程()()4201)x a x a x --=(≥也有一解；当12a ≤<时，