复合函数的零点问题
复合函数的零点问题
I ．题源探究·黄金母题
【例1】设函数()1
,0,()11,11x x a a
f x x a x a
?≤≤??=??-<≤?-?（a 为常数且()0,1a ∈）．
若0x 是()()f
f x x -的零点但不是()f x x -的零点，则称
0x 为()f x 的二阶周期点，求函数()f x 的二阶周期点．
【答案】函数()f x 有且仅有两个二阶周期点，
121a x a a =
-++，2
211
x a a =-++． 【解析】2
222
221,0,1(),,(1)
(())1(),1,(1)1(1),1 1.(1)x x a a a x a x a a a f f x x a a x a a a x a a x a a ?≤≤??
?-<≤?-?=??-<<-+-???--+≤≤-??
当2
0x a ≤≤时，由
21
x x a
=解得0x =，由于()00f =，故0x =不是()f x 的二阶周期点； 当2
a x a <≤时，由
1
()(1)
a x x a a -=-解得
2
1
a x a a =
-++2
(,),a a ∈因222211(
)1111
a a a
f a a a a a a a a a =?=≠-++-++-++-++，
故21
a
x a a =
-++是()f x 的二阶周期点；
当2
1a x a a <<-+时，由
2
1
()(1)x a x a -=-解得
1
2x a
=
-2(,1)a a a ∈-+，因精彩解读
【试题来源】2013年高考江西卷改编． 【母题评析】本题以新定义的形式考查复合
函数、分段函数的零点，难度较大．新定义（信息题）是近几年来高考的一个热点．
【思路方法】理解定义，写出复合函数的解析式，再利用函数与方程思想、分类分类讨论思想、数形结合思想解题．
111112122f a a a a ??
??=?-= ? ?----????
故12x a =-不是()f x 的二阶周期点；
当2
11a a x -+≤≤时，
1
(1)(1)
x x a a -=-解得
2
11
x a a =
-++ 2
(1,1)a a ∈-+，因22221111(
)(1)11111
a f a a a a a a a a a =?-=≠-++--++-++-++， 故21
1
x a a =
-++是()f x 的二阶周期点．
综上：函数()f x 有且仅有两个二阶周期点，
121a x a a =
-++，2
21
1
x a a =-++． II ．考场精彩·真题回放
【例2】【2017年高考江苏卷】设()f x 是定义在R 且周期为1
的函数，在区间[0,1)上，2
,,
(),,x x D f x x x D ?∈?=????
其中集合
1,*n D x x n n -??
==∈????N ，
则方程()lg 0f x x -=的解的个数是 ▲ ． 【答案】8
【解析】由于()[0,1)f x ∈ ，则需考虑110x ≤< 的情况 在此范围内，x Q ∈ 且x ∈Z 时，设
*,,,2q
x p q p p
=
∈≥N ，且,p q 互质 若lg x Q ∈ ，则由lg (0,1)x ∈ ，可设
*lg ,,,2n
x m n m m
=
∈≥N ，且,m n 互质 因此10n m
q p =
，则10()n
m q p
= ，此时左边为整数，右边非整数，矛盾，因此lg x Q ?
因此lg x 不可能与每个周期内x D ∈对应的部分相等，只需考虑lg x 与每个周期x D ?的部分的交点，画出函数图象，
【命题意图】本题主要考查复合函数的零点．本题能较好的考查学生的运算能力、动手作图能力以及观察能力等．
【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，综合性强，难度大．
【难点中心】解答此类问题，关键在于 “抽茧剥丝”，把复合函数问题转化为单函数问题，准确作出函数图象，利用图象解决问题．
图中交点除()1,0外其它交点横坐标均为无理数，属于每个周期x D ?的部分，且1x =处()11
lg 1ln10ln10
x x '=
=<，则
在1x =附近仅有一个交点，一次方程解的个数为8．
【例3】【2015年高考天津】已知函数
()()2
2,2,
2,2,
x x f x x x ?-≤?=?->?? 函数()()2g x b f x =-- ，其中b R ∈，若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点，则b 的取值范围是 （ ） A ．7,4??+∞
??? B ．7,4??-∞ ??? C ．70,4?? ??? D ．7,24?? ???
【答案】D ． 【解析】
由()()22,2,
2,2,
x x f x x x -≤??=?->??得2
22,0(2),0x x f x x x --≥??-=?
2,0
()(2)42,0222(2),2
x x x y f x f x x x x x x x ?-+
∴=+-=---≤≤??--+->?，即
222,0()(2)2,0258,2x x x y f x f x x x x x ?-+
=+-=≤≤??-+>?
()()()(2)y f x g x f x f x b =-=+--，所以
()()y f x g x =-恰有4个零点等价于方程
()(2)0f x f x b +--=有4个不同的解，即函数y b =与函
数()(2)y f x f x =+-的图象的4个公共点，由图象可知
7
24
b <<．
8642
2468
15
10
5
5
10
15
III ．理论基础·解题原理
1．复合函数定义：设()y f t =，()t g x =，且函数()g x 的值域为()f t 定义域的子集，那么y 通过t 的联系而得到自变量x 的函数，称y 是x 的复合函数，记为()y f g x =????．
2．复合函数函数值计算的步骤：求()y g f x =????函数值遵循“由内到外”的顺序，一层层求出函数值． 例如：已知()()2
2,x
f x
g x x x ==-，计算(
)2g f ????．
【解析】()2
224f ==，()()2412g f g ∴==????．
3．已知函数值求自变量的步骤：若已知函数值求x 的解，则遵循“由外到内”的顺序，一层层拆解直到求出x 的值．例如：已知()2x
f x =，()2
2g x x x =-，若()0g f x =????，求x ．
由上例可得，要想求出()0g f x =????的根，则需要先将()f x 视为整体，先求出()f x 的值，再求对应x 的解，这种思路也用来解决复合函数零点问题，先回顾零点的定义．
4．函数的零点：设()f x 的定义域为D ，若存在0x D ∈，使得()00f x =，则称0x x =为()f x 的一个零点．
5．复合函数零点问题的特点：考虑关于x 的方程()0g f x =????根的个数，在解此类问题时，要分为两层来分析，第一层是解关于()f x 的方程，观察有几个()f x 的值使得等式成立；第二层是结合着第一层()f x 的值求出每一个()f x 被几个x 对应，将x 的个数汇总后即为()0g f x =????的根的个数． IV ．题型攻略·深度挖掘 【考试方向】
这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，一般综合性强，难度大． 【技能方法】
求解复合函数()y g f x =????零点问题的技巧：
（1）此类问题与函数图象结合较为紧密，在处理问题的开始要作出()(),f x g x 的图像
（2）若已知零点个数求参数的范围，则先估计关于()f x 的方程()0g f x =????中()f x 解的个数，再根据个数与()f x 的图像特点，分配每个函数值()i f x 被几个x 所对应，从而确定()i f x 的取值范围，进而决定参数的范围． 【易错指导】
1．函数零点—忽视单调性的存在．例如：若函数f(x)在区间[－2，2]上的图象是连续不断的曲线，且f(x)在(－2，2)内有一个零点，则f(－2)·f（2）的值 ( )
A ．大于0
B ．小于0
C ．等于0
D ．不能确定
解答：若函数f(x)在(－2，2)内有一个零点，该零点可分两种情况：（1）该零点是变号零点，则f(－2)·f （2）<0；（2）该零点是非变号零点，则f(－2)·f（2）>0，因此选D ．
易错警示： 警示1：错误认为该零点是变号零点；警示2：不知道非变号零点这种情况．
方法剖析：方程的根或函数零点的存在性问题，可以根据区间端点处的函数值的正负来确定，但要确定零点的个数还需进一步研究函数在区间上的单调性，在给定的区间上，如果函数是单调的，它至多有一个零点，如果不是单调的，可继续细分出小的单调区间，再结合这些小的区间的端点处函数值的正负，作出正确判断．本题的解答错误在于没有正确理解函数零点的含义及存在性，事实上，当f(x)在(－2，2)内有一个零点时，f(－2)·f（2）的符号不能确定．
2．要注意对于在区间[a ，b]上的连续函数f(x)，若x 0是f(x)的零点，却不一定有f(a)·f(b)<0，即f(a)·f(b)<0仅是f(x)在[a ，b]上存在零点的充分条件，而不是必要条件． 注意以下几点：①满足零点存在性定理的条件的零点可能不唯一； ②不满足零点存在性定理条件时，也可能有零点．
③由函数)(x f y =在闭区间[],a b 上有零点不一定能推出)(a f ·)(b f 0<，如图所示．所以
)(a f ·)(b f 0<是)(x f y =在闭区间[],a b 上有零点的充分不必要条件．
注意：①如果函数在区间[],a b 上的图象是连续不断的曲线，并且函数在区间[],a b 上是一个单调函数，那么当)(a f ·)(b f 0<时，函数在区间),(b a 内有唯一的零点，即存在唯一的
(,)c a b ∈，使0)(=c f ．
②如果函数在区间[],a b 上的图象是连续不断的曲线，并且有)(a f ·)(b f 0>，那么，函数在区间),(b a 内不一定没有零点．
③如果函数在区间[],a b 上的图象是连续不断的曲线，那么当函数在区间),(b a 内有零点时不
()f x ()f x ()f x ()f x ()f x ()f x ()f x
一定有)(a f ·)(b f 0<，也可能有)(a f ·)(b f 0>． V ．举一反三·触类旁通
【例1】【2018四川绵阳一诊】函数满足
，且当
时，
．若函数
的图象与函数（，且）的图象有且仅有4个交点，则的取值集合为（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C
【例2】【2018南宁高三毕业班摸底联考】设函数
是定义在上的偶函数，且
，当
时，，若在区间内关于的方程（且）有且
只有4个不同的根，则实数的取值范围是（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D
【解析】由题意可得函数f(x)的对称轴为x=2，周期为T=4，原方程变形为，
，
所以只需画出
，两个函数在区间(-2，6)的图像，根据图像求a 的范围，图像如下，
一定过（-1，0）点，当
时，显然只有一个交点，所以，只需要对数从点B ，点
C 下面穿过就有4个零点，所以
解得
，选D ．
【点睛】对于求不同类的两个函数构成的方程，我们常把方程变形为f(x)=g(x)，然后根据y=f(x)与y=g(x)的两个图像交点个数来判断原方程根的个数．如本题把方程
变形为
，再画出两个函数的图像，根据两个图像有4个交点，求出参数a 的范围．
【例3】【2018河南天一大联考】已知函数若关于的方程有
3个实数根，则实数的取值范围是（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D
【解析】作图如下：
因此要使方程
有3个，实数的取值范围是
，选D ．
【名师点睛】对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等． 【例4】【2018广西桂林柳州高三综合模拟】已知函数()3log ,03{
4,3
x x f x x x <≤=->，若函数
()()2h x f x mx =-+有三个不同的零点，则实数m 的取值范围是（ ）
A ．1,12??
???
B ．()1,1,2??-∞?+∞ ???
C ．[)1,1,2??-∞?+∞ ???
D ．1,12?? ???
【答案】A
A （0，﹣2），
B （3，1），
C （4， 0），则g （x ）的图象介于直线AB 和AC 之间，介于k AB ＜m ＜k AC ，可得
1
2
＜
m ＜1．故答案为：（
1
2
，1）． 点睛:函数h （x ）=f （x ）﹣mx+2有三个不同的零点，即为f （x ）﹣mx +2=0有三个不同的实根，可令y=f （x ），y =g （x ）=mx ﹣2，分别画出y=f （x ）和y=g （x ）的图象，通过图象观察，结合斜率公式，即可得到m 的范围．
【例5】【2018广东珠海一中等六校第一次联考】已知函数()()222
,12{
log 1,1
x x f x x x +≤=->，则函数()()()3
22
F x f f x f x =--
的零点个数是（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 【答案】A
【解析】解：令t=f （x ），F （x ）=0，则f （t ）﹣2t ﹣
3
2
=0，
【名师点睛】本题关键是找出内外层函数的对应关系，找准一个t 对应几个x ． 【例6】【2018安徽阜阳临泉一中上学期二模】已知
，若关于
的方程
恰好有 个不相等的实数根，则实数的取值范围是______________．
【答案】
【解析】∵，∴，∴
∴当或
时，
，当
时，
∴
在
上单调递增，在上单调递减，在上单调递增
可作出大致函数图象如图所示：
令，则当
时，方程
有一解；当
时，方程
有两解；
时，方
程
有三解
∵关于的方程，恰好有4个不相等实数根
∴关于的方程在
和
上各有一解
∴
，解得
，故答案为
【名师点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：①直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的范围；②分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；③数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解．
【例7】【2018湖南株洲醴陵第二中学、醴陵第四中学高三上学期两校期中联考】已知函数
()2log ,02{
2
,22x x f x x x x
<<=+≥，若0＜a ＜b ＜c ，满足f （a ）=f （b ）=f （c ），则
()
ab
f c 的范围为__． 【答案】（1，2）
0a b c ＜＜＜，满足()()()f a f b f c ==，22log log a b ∴-=，即1ab =，()211
22c f c c c
+=
=+，
()1
12
f c ∴<<，故()()112ab f c f c <=<，故答案为()12，． 【名师点睛】画出函数()f x 的图象，由图象可知有相等时的取值范围，这里2lo
g x 由的图象和计算得
1ab =，可以当作结论，这样三个未知数就只剩下c ，由反比例即可求出结果．
【例8】【2018江西宜春丰城九中、高安二中、宜春一中、万载中学、樟树中学、宜丰中学六校联考】已知函数()ln 1||f x x =-， ()f x m -的四个零点1x ， 2x ， 3x ， 4x ，且1234
1111
k x x x x =+++，则()k
f k e -
的值是__________． 【答案】2e -
【例9】【2018山西山大附中等晋豫名校第四次调研】已知函数()()21,0
{
11,0
x x f x f x x -≤=-+>，把方程()0f x x -=的根按从小到大顺序排成一个数列，则该数列的前n 项和n S =__________．
【答案】
()12
n n -
【解析】当01x <≤时，有110x -<-≤，有()()1
112x f x f x -=-+= ，
当12x <≤时，有011x <-≤ ，有()()2
112
1x f x f x -=-+=+ 当23x <≤时，有112x <-≤ ，有()()3
112
2x f x f x -=-+=+ 当34x <≤时，有213x <-≤ ，有()()3
112
3x f x f x -=-+=+
依次类推，当()1n x n n N <≤+∈时，则()()1
112x n f x f x n --=-+=+ ，
所以()()1
2
x n g x f x x n x --=-=+- ，故21n a n +=+ ，所以通项公式1n a n =-， ()12
n n n S -=
．
【点睛】本题考查对分段函数的处理方法，分段函数要分段处理，根据分段函数的解析式找出各段函数的零点，从而得出各个零点与项数的关系，写出数列的通项公式，根据数列是特殊的等差数列，利用等差数列求和公式，求出数列的前n 项的和．
【例10】【2018江苏南通如皋第一次联考】已知函数()211{ 5
2128
lnx x x
f x m x mx x +>=-++≤，，
，，
若
()()g x f x m =-有三个零点，则实数m 的取值范围是________．
【答案】714?? ???
，
【例11】【2018齐鲁名校教科研协作体山东、湖北部分重点中学第一次调研】已知定义在R 上的函数
()()2,0{
1,0
x x x f x ln x x +≤=+>，若函数()()()1g x f x a x =-+恰有2个零点，则实数a 的取值范围是
_________．
【答案】()1,1,1e ??
-∞-? ???
．
【解析】数形结合，由直线()1y a x =+与曲线()y f x =的位置关系可得当()1,1,1a e ??∈-∞-? ???
时有两个交点，即函数()y g x =恰有两个零点．
【名师点睛】涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路．
【例12】【2018江苏淮安盱眙中学第一次学情调研】已知函数()2
2f x x m =+的图象与函数()ln g x x =的
图象有四个交点，则实数m 的取值范围为________． 【答案】1,ln22?
?-∞-
- ???
数()2
2ln h x x m x =+-最小值为2
1112ln 222h m ????=+- ? ?????
，令102h ??< ??? ，可得1ln22m <-，此时函
数()2
2ln h x x m x =+-有两个零点，故函数()2
2f x x m =+的图象与函数()ln g x x =的图象有四个交
点，实数m 的取值范围为1,ln22?
?-∞-
- ???，故答案为1,ln22??-∞-- ???
． 【方法点睛】本题主要考查函数图象的交点、函数的零点、方程的根，属于难题．函数图象的交点、函数的零点、方程的根往往是“知一求二”，解答时要先判断哪个好求解就转化为哪个，判断函数()y f x =零点个数的常用方法：（1） 直接法： 令()0,f x =则方程实根的个数就是函数零点的个；（2） 零点存在性定理法：判断函数在区间[]
,a b 上是连续不断的曲线，且()()0,f a f b <再结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性) 可确定函数的零点个数；（3） 数形结合法：转化为两个函数的图象的交点
个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，在一个区间上单调的函数在该区间内至多只有一个零点，在确定函数零点的唯一性时往往要利用函数的单调性，确定函数零点所在区间主要利用函数零点存在定理，有时可结合函数的图象辅助解题． 【跟踪练习】
1．【2018辽宁庄河高中、沈阳二十中高三上学期第一次联考】函数()()
()820{ 1
022sin x x f x f x x π-≤=?
?-> ???
，则函数()()4log h x f x x =-的零点个数为（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 【答案】D
【解析】函数的零点满足： ()4log f x x =，则原问题等价于考查函数4log y x =与函数()f x 的交点的个数．
()114sin22sin22222f x f x x x ππ???
?=
-=?-=- ? ????
?； 当32x ππ<≤
时， 22
x ππ
π<-≤，据此可得： ()112sin2sin22
222f x f x x x ππ?????
?=
-=?--= ? ??????
???；
当54
x π
=
时， 55sin 214
4f ππ????
=?
= ? ????
?
， 而4
45log log 414
π
<=， 则函数4log y x =与函数()f x 在区间3,
2
ππ??
??
?
上有2个交点，
很明显，当32
x π
>
时，函数图象没有交点，绘制函数图象如图所示，观察可得： 函数()()4h x f x log x =-的零点个数为5个．
【名师点睛】函数零点的求解与判断方法：
（1）直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
（3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
2．【2018江西上饶高三下学期一模】已知()f x 是定义域为()0,+∞的单调函数，若对任意的()0,x ∈+∞，都有()13
log 4f f x x ??+=???
?
，且方程()323694f x x x x a -=-+-+在区间(]
0,3上有两解，则实数a 的
取值范围是（ ）
A ．05a <≤
B ．5a <
C ．05a <<
D ．5a ≥ 【答案】A
即有3
213
log 694x x x x a =-+-+在区间(]
0,3上有两解，由()32
694g x x x x a =-+-+，可得
()23129g x x x =-+'，当13x <<时， ()0g x '<， ()g x 递减；当01x <<时， ()0g x '>， ()
g x
递增． ()g x 在1x =处取得最大值a ， ()04g a =-， ()34g a =-，分别作出13
log y x =，和
32694y x x x =-+-的图象，可得两图象只有一个交点()1,0，将32694y x x x =-+-的图象向上平移，
至经过点()3,1，有两个交点，由()31g =，即41a -=，解得5a =，当05a <≤时，两图象有两个交点，即方程两解．故选A ．
3．【201甘肃兰州西北师范大学附属中学一调】若函数()3,0
{ ,0
x
x e x f x e x x
+≤=>，则方程()()330
f f x e -=的根的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】C
【解析】
【方法点睛】本题主要考查分段函数的解析式及图象、函数与方程思想、数形结合思想的应用，属于难题．数
形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决选择题、填空题是发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度．运用这种方法的关键是正确作出函数图象以及熟练掌握函数图象的几种变换．充分利用数形结合的思想方法能够使问题化难为简，并迎刃而解．
4．【2018安徽滁州高三9月联合质量检测】已知()()1
1,01
1{ ,10
x f x f x x x +<<-=-<≤，若方程
()()200f x ax a a -+=≠有唯一解，则实数a 的取值范围是__________．
【答案】1
,3??+∞????
【解析】当01x <<时， 110x -<-<，所以()11f x x -=-．()()11
1111
f x f x x =
+=+--．
若方程()()200f x ax a a -+=≠有唯一解，即() 2f x ax a =-，有唯一解． 作出()y f x =和y 2ax a =-的图象，根据题意两函数图象有唯一交点．
由图可知： 1
3
a ≤
． 【名师点睛】根据函数零点求参数取值，也是高考经常涉及的重点问题， （1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；
（2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及由几个零点时，还需考虑函数的图象与参数的交点个数；
（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解．
5．【2018山西45校高三第一次联考】已知(),01,{ 1
1,1.
x e x f x e x e x
<≤=+-<≤若方程()f x kx e =+有且仅有3
个实数解，则实数k 的取值范围是__________． 【答案】211,4e e -??
-
??
?
设()0,A e ，AB 为()y f x =的切线，B 为切点， 1,
1C e e e ??
+- ???
，观察可知，当位于切线AB 和割线AC 之间时， y kx e =+图象与()y f x =的图象有三个交点，设()00,B x y ．由2111'e x x ??
+-=-
???
，可得切线
AB: ()02001110y e x x x ??-+-=--
???
，解得02x =，故1
4AB k =-，又21
11AC
e e
e e k e e
+---==，所以当
方程()f x kx e =+在(]
0,e 上有三个实数解，实数k 的取值范围为211,4e e -??
-
??
?． 【名师点睛】根据函数零点求参数取值，也是高考经常涉及的重点问题， （1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；
（2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及由几个零点时，还需考虑函数的图象与参数的交点个数；
（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解．
6．【2018齐鲁名校教科研协作体山东、湖北部分重点中学第一次调研】已知()2
,0{
2,0
lnx x f x x x x ->=+≤，若
()=f x a 有4个根1234,,,x x x x ，则1234x x x x +++的取值范围是________________．
【答案】10,2e e ?
?+
- ???
【解析】
因为1234342x x x x x x +++=-++，所以
，故答案为10,2e e ??+
- ???
． 7．【2018河郑州一中模拟】已知函数()222,0
{ 2,0
x x x f x x x x -+≥=-<，若关于x 的不等式
()()2
2
0f x af x b ??+-
【答案】38a <≤
【解析】画出()f x 的图象如图所示
当()0f x =时，得x 0=或x 2=
此时()()2
2
0f x af x b ??+-
若b 0≠，则此时有两解x 0=或x 2=，违背题意， 故b 0=
此时()()a 0f x f x ??+
若a 0>，则关于的不等式()a 0f x -<<恰有一个整数解． 结合图象可知()()33{
48
a f a f -<=--≥=-，可得3a 8<≤
若a 0<，则关于的不等式()0a f x <<-恰有一个整数解． 结合图象可知()()11{
13
a f a f ->=-≤-=，可得3a 1-≤<-
综上， 3a 13a 8-≤<-<≤或．
8．【2018江苏南京高三数学上学期期初学情调研】已知函数()22,0{
,313,0
x x f x x x ≤=--+>若存在唯一的整
数x ，使得
()0f x a x
->成立，则实数a 的取值范围为______．
【答案】[0，2]∪[3，8]
满足
()00
f x a x ->-符合题意，当8a >时，至少存在两点()()()()1,1,2,2f f ----满足
()00
f x a x ->-不合
题意，故答案为[][]
0,23,8?
【名师点睛】对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等 9．【2018浙江温州一模】已知函数有六个不同零点，且所有零点之和为3，
则的取值范围为__________． 【答案】
单调递增，且取值范围是
，当时，函数的导函数，考虑到是
上的单调递增函数，且
，于是
在
上有唯一零点，记为，
进而函数
在
上单调递减，在上单调递增，在处取得极小值，如图：
接下来问题的关键是判断与的大小关系，注意到，
，函数
，在
上与直线
有个公共点，的取值范围是
，故答案为
．
10．【2018湖南永州高三上学期一模】定义函数()()(),{
,f x x a h x g x x a
≤=>， ()f x x =， ()2
24g x x x =--，
若存在实数b 使得方程()0h x b -=无实数根，则实数a 的取值范围是__________． 【答案】()(),54,-∞-?+∞
复合函数零点个数问题
复合函数、分段函数零点个数问题 1.已知函数???<≥=) 0()-(log )0(3)(3x x x x f x ，函数)()()()(2R t t x f x f x g ∈++=.关于)(x g 的零点，下列判 断不正确．．． 的是【 】 A.若)(,41x g t =有一个零点 B.若)(,4 12-x g t <<有两个零点 C.若)(,2-x g t =有三个零点 D.若)(,2-x g t <有四个零点 2、已知函数(0)()lg()(0) x e x f x x x ?≥=?-0 B b>-2且c<0 C b<-2且c=0 D b 2c=0≥-且 5.已知f (x )＝log 3x ＋2(x ∈[1,9])，则函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的最大值是【 】 A ．13 B ．16 C ．18 D ．22 6 已知函数31+,>0()3,0x x f x x x x ??=??+≤? ， 则函数)2(-)2()(F 2>+=a a x x f x 的零点个数不可能．．．为【 】 A 3 B 4 C 5 D 6 7． 已知函数f(x)＝????? ax ＋1，x ≤0，log 2x ， x ＞0。则下列关于函数y ＝f(f(x))＋1的零点个数的判断正确的是【 】 （A ）当a ＞0时，有4个零点；当a ＜0时，有1个零点 （B ）当a ＞0时，有3个零点；当a ＜0时，有2个零点
函数零点问题-2020高考数学尖子生辅导专题
专题二 函数零点问题 函数的零点作为函数、方程、图象的交汇点，充分体现了函数与方程的联系，蕴含了丰富的数形结合思想．诸如方程的根的问题、存在性问题、交点问题等最终都可以转化为函数零点问题进行处理，因此函数的零点问题成为了近年来高考新的生长点和热点，且形式逐渐多样化，备受青睐． 模块1 整理方法 提升能力 对于函数零点问题，其解题策略一般是转化为两个函数图象的交点． 对于两个函数的选择，有3种情况：一平一曲，一斜一曲，两曲（凸性一般要相反）．其中以一平一曲的情况最为常见． 分离参数法是处理零点问题的常见方法，其本质是选择一平一曲两个函数；部分题目直接考虑函数()f x 的图象与x 轴的交点情况，其本质是选择一平一曲两个函数；部分题目利用零点存在性定理并结合函数的单调性处理零点，其本质是选择一平一曲两个函数． 函数的凸性 1．下凸函数定义 设函数()f x 为定义在区间(),a b 上的函数，若对(),a b 上任意两点1x ，2x ，总有 ()()121222f x f x x x f ++??≤ ??? ，当且仅当12x x =时取等号，则称()f x 为(),a b 上的下凸函数． 2．上凸函数定义 设函数()f x 为定义在区间(),a b 上的函数，若对(),a b 上任意两点1x ，2x ，总有 ()()121222f x f x x x f ++??≥ ??? ，当且仅当12x x =时取等号，则称()f x 为(),a b 上的上凸函数． 3．下凸函数相关定理 定理：设函数()f x 为区间(),a b 上的可导函数，则()f x 为(),a b 上的下凸函数?() f x '
专题复习之--函数零点问题
专题复习之--函数零点问题 （一）零点所在区间问题（存在性，根的分布） 1.函数()lg 3f x x x =+-的零点所在区间为（ ） A ．(0，1) B ．(1，2) C ．(2，3) D ．(3，+∞) 变式：函数b x a x f x -+=)(的零点))(1,(0Z n n n x ∈+∈，其中常数b a ,满足 23,32==b a ， 则=n （ ） A. 0 B.1 C.2- D.1- 2.已知a 是实数，函数2 ()223f x ax x a =+--，如果函数()y f x =在区间[]11-，上有零点，则a 的取值范围是____________． （二）零点个数问题（重点，常用数形结合） 3.函数()44f x x x = ++-的零点有 个. 4.讨论函数2()1f x x a =--的零点个数. 5.若存在区间[,]a b ,使函数[]()2(,)f x k x x a b =+ +∈的值域是[,]a b ,则实数k 的范围 是__________. 6. 已知偶函数)(x f 满足)()2(x f x f =-,且当10<≤x 时，x x f =)(,则x x f lg )(=的零点个数是________. 7.（选作思考）函数f （x ）=234 20122013123420122013x x x x x x ??+-+-+-+ ?? ? cos2x 在区间[-3，3]上的零点的个数为_________.
（三）复合函数与分段函数零点问题（由里及外，画图分析） 8.已知函数???<≥=) 0()-(log )0(3)(3x x x x f x ，函数)()()()(2R t t x f x f x g ∈++=.关于)(x g 的 零点，下列判断不正确．．． 的是（ ） A.若)(,41x g t =有一个零点 B.若)(,4 12-x g t <<有两个零点 C.若)(,2-x g t =有三个零点 D.若)(,2-x g t <有四个零点 变式一：设定义域为R 的函数1251,0()44,0 x x f x x x x -?-≥?=?++0)()-2(0) x x f x x x x ?=?-≤? 则关于x 的函数1)(3-)(2y 2+=x f x f 的零点的个数为______. 变式三：已知函数(0)()lg()(0) x e x f x x x ?≥=?-0 B. b >-2且c <0 C. b <-2且c =0 D. b 2c=0≥-且
复合函数的零点个数问题
复合函数、分段函数零点个数问题 2012.12.31 1.（2013届八校联考理10）已知函数???<≥=) 0()-(log ) 0(3)(3x x x x f x ，函数 )()()()(2R t t x f x f x g ∈++=.关于)(x g 的零点，下列判断不正确．．．的是（ ） A .若)(,41x g t = 有一个零点 B .若)(,4 1 2-x g t <<有两个零点 C .若)(,2-x g t =有三个零点 D .若)(,2-x g t <有四个零点 2、（2013届八校联考-文10）已知函数(0) ()lg()(0)x e x f x x x ?≥=?-0)()-2(0) x x f x x x x ?=?-≤? 则关于x 的函数1)(3-)(2y 2 +=x f x f 的零点的个数为 ________. 5.已知函数1+ (0)()0(=0) x x f x x x ?≠?=??? 则关于x 的方程 2 ()b ()0f x f x c ++= 有5个 不同的实数解的充要条件是（ ） A b<-2且c>0 B b>-2且c<0 C b<-2且c=0 D b 2c=0≥-且 6 已知函数31 +,>0()3,0x x f x x x x ??=??+≤? ， 则函数)2(-)2()(F 2 >+=a a x x f x 的零点个数不可能．．． 为（ ） A 3 B 4 C 5 D 6
高中数学专题练习-函数零点问题
高中数学专题练习-函数零点问题 [题型分析·高考展望] 函数零点问题是高考常考题型，一般以选择题、填空题的形式考查，难度为中档.其考查点有两个方面：一是函数零点所在区间、零点个数；二是由函数零点的个数或取值范围求解参数的取值范围. 常考题型精析 题型一 零点个数与零点区间问题 例1 (1)(·湖北)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x ，则函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为( ) A.{1,3} B.{－3，－1,1,3} C.{2－7，1,3} D.{－2－7，1,3} (2)(2015·北京)设函数f (x )＝??? 2x －a ，x ＜1，4(x －a )(x －2a )，x ≥1. ①若a ＝1，则f (x )的最小值为________； ②若f (x )恰有2个零点，则实数a 的取值范围是________. 点评 确定函数零点的常用方法： (1)若方程易求解时，用解方程判定法； (2)数形结合法，在研究函数零点、方程的根及图象交点的问题时，当从正面求解难以入手时，可以转化为某一易入手的等价问题求解，如求解含有绝对值、分式、指数、对数、三角函数式等较复杂的函数零点问题，常转化为熟悉的两个函数图象的交点问题求解. 变式训练1 (·东营模拟)[x ]表示不超过x 的最大整数，例如[2.9]＝2，[－4.1]＝－5.已知f (x )＝x －[x ](x ∈R )，g (x )＝log 4(x －1)，则函数h (x )＝f (x )－g (x )的零点个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 题型二 由函数零点求参数范围问题 例2 (·天津)已知函数f (x )＝??? |x 2＋5x ＋4|，x ≤0，2|x －2|，x >0. 若函数y ＝f (x )－a |x |恰有4个零点，则实数 a 的取值范围为________. 点评 利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法：
专题分段函数与函数零点答案
11. 已知函数f(x)＝???x ，x ≥0，x 2，x ＜0， 则关于x 的不等式f(x 2)＞f(3－2x)的解集是__________ 11. (－∞，－3)∪(1，3) 解析：x≤32 时原不等式化为x 2＞3－2x ，解得x ＜－3或1＜x≤32；x ＞32时原不等式化为x 2＞(3－2x)2，解得32 ＜x ＜3.综上x ＜－3或1＜x ＜3.本题考查分类讨论的思想，考查解不等式的能力．本题属于中等题． 11. 已知定义在实数集R 上的偶函数f(x)，当x≥0时，f(x)＝－x ＋2，则不等式f(x)－x 2≥0的解集为________． 11. [－1，1] 解析：∵ f(x)≥x 2，而f(x)示意图如下： 令x 2＝－x ＋2，得x ＝1(x>0)，从而由图象知，原不等式解集为[－1，1]． 本考查了函数的综合运用，以及数形结合数学思想．本题属于中等题． 13. 已知奇函数f(x)是R 上的单调函数，若函数y ＝f(x 2)＋f(k －x)只有一个零点，则实数k 的值是__________． 13. 14 解析：不妨设f(x)＝x ，则x 2＋k －x ＝0只有一个解，从而1－4k ＝0，得k ＝14 . 12. 已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x≤0时，f(x)＝－x 2－3x ，则不等式f(x －1)＞－x ＋4的解集是____________． 12. (4，＋∞) 解析：由题意得f(x)＝???－x 2－3x ，x ≤0，x 2－3x ，x>0， f(x －1)＝? ??－（x －1）2－3（x －1），x －1≤0，（x －1）2－3（x －1），x －1>0， 即f(x －1)＝? ??－x 2－x ＋2，x ≤1，x 2－5x ＋4，x>1， 所以不等式f(x －1)＞－x ＋4可化为???－x 2－x ＋2>－x ＋4，x ≤1， 或???x 2－5x ＋4>－x ＋4，x>1， 解得x ＞4. 11. 已知f(x)＝???x 2＋x （x≥0），－x 2＋x （x<0）， 则不等式f(x 2－x ＋1)<12的解集是________． 11. (－1，2) 解析：由函数图象知f(x)为R 上的增函数且f (3)
高中数学-函数零点问题
函数零点问题 [题型分析·高考展望] 函数零点问题是高考常考题型，一般以选择题、填空题的形式考查，难度为中档.其考查点有两个方面：一是函数零点所在区间、零点个数；二是由函数零点的个数或取值范围求解参数的取值范围. 常考题型精析 题型一 零点个数与零点区间问题 例1 (1)(湖北)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x ，则函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为( ) A.{1,3} B.{－3，－1,1,3} C.{2－7，1,3} D.{－2－7，1,3} (2)(北京)设函数f (x )＝????? 2x －a ，x ＜1，4(x －a )(x －2a )，x ≥1. ①若a ＝1，则f (x )的最小值为________； ②若f (x )恰有2个零点，则实数a 的取值范围是________. 点评 确定函数零点的常用方法： (1)若方程易求解时，用解方程判定法； (2)数形结合法，在研究函数零点、方程的根及图象交点的问题时，当从正面求解难以入手时，可以转化为某一易入手的等价问题求解，如求解含有绝对值、分式、指数、对数、三角函数式等较复杂的函数零点问题，常转化为熟悉的两个函数图象的交点问题求解. 变式训练1 (东营模拟)[x ]表示不超过x 的最大整数，例如[2.9]＝2，[－4.1]＝－5.已知f (x )＝x －[x ](x ∈R )，g (x )＝log 4(x －1)，则函数h (x )＝f (x )－g (x )的零点个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 题型二 由函数零点求参数范围问题 例2 (天津)已知函数f (x )＝? ??? ? |x 2＋5x ＋4|，x ≤0，2|x －2|，x >0. 若函数y ＝f (x )－a |x |恰有4个零点，则实 数a 的取值范围为________. 点评 利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法：
复合函数图像研究及零点个数问题
复合函数图像研究零点 例1、求方程02324=+-x x 实数解的个数为个。 例2、已知函数 则下列关于函数的零点个数的判断 正确的是（ ） A. 当 时，有3个零点；当时，有2个零点 B. 当时，有4个零点；当时，有1个零点 C. 无论为何值，均有2个零点D. 无论为何值，均有4个零点 例3、已知函数f (x )＝????? |ln x |，x >0x 2＋4x ＋1，x ≤0 ，若关于x 的方程f 2(x )－bf (x )＋c ＝0(b ，c ∈R )有8个不同的实数根，则b ＋c 的取值范围为( ) A ．(－∞，3) B ．(0,3] C ．[0,3] D ．(0,3) 例4、已知函数c bx ax x x f +++=23)(有两个极值点21,x x ，若211)(x x x f <=，则关 于x 的方程0)(2)(32=++b x af x f 的不同实根个数为。
及时训练 1、已知函数和在的图象如下所示： 给出下列四个命题： ①方程有且仅有6个根 ②方程有且仅有3个根 ③方程有且仅有5个根 ④方程有且仅有4个根 其中正确的命题是 ．（将所有正确的命题序号填在横线上）. 2、定义在()+∞,0上的单调函数函数)(x f ，对任意(),,0+∞∈x 都有[]4log )(3=-x x f f ，则函数21)()(x x f x g -=的零点所在区间是（ ） A 、??? ??41,0 B 、??? ??21,41 C 、??? ??43,21 D 、? ?? ??1,43 )(x f y =)(x g y =]2,2[ -0)]([=x g f 0)]([=x f g 0)]([=x f f 0)]([=x g g
第13讲 函数的零点个数问题的求解方法-高中数学常见题型解法归纳反馈训练及详细解析
【知识要点】 一、方程的根与函数的零点 （1）定义：对于函数()y f x =（x D ∈），把使f(x)=0成立的实数x 叫做函数()y f x =（x D ∈）的零点.函数的零点不是一个点的坐标，而是一个数，类似的有截距和极值点等. （2）函数零点的意义：函数()y f x =的零点就是方程f(x)=0的实数根，亦即函数()y f x =的图像与x 轴的交点的横坐标，即：方程f(x)=0有实数根?函数()y f x =的图像与x 轴有交点?函数()y f x =有零点. （3）零点存在性定理：如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图像是一条连续不断的曲线，并且有0)()(
复合函数的零点个数问题
复合函数、分段函数零点个数问题 1.（2013届八校联考理10）已知函数???<≥=) 0()-(log ) 0(3)(3x x x x f x ，函数 )()()()(2R t t x f x f x g ∈++=.关于)(x g 的零点，下列判断不正确．．． 的是（ ） A.若)(,41x g t =有一个零点 B.若)(,4 12-x g t <<有两个零点 C.若)(,2-x g t =有三个零点 D.若)(,2-x g t <有四个零点 2、（2013届八校联考-文10）已知函数(0)()lg()(0) x e x f x x x ?≥=?-0) ()-2(0) x x f x x x x ?=? -≤? 则关于x 的函数1)(3-)(2y 2+=x f x f 的零点的个数为________. 5.已知函数1+ (0)()0(=0) x x f x x x ?≠?=??? 则关于x 的方程 2()b ()0f x f x c ++= 有5个 不同的实数解的充要条件是（ ） A b<-2且c>0 B b>-2且c<0 C b<-2且c=0 D b 2c=0≥-且
高中数学-函数零点问题及例题解析
高中数学-函数零点问题及例题解析 一、函数与方程基本知识点 1、函数零点：（变号零点与不变号零点） （1）对于函数)(x f y =，我们把方程0)(=x f 的实数根叫函数)(x f y =的零点。 （2）方程0)(=x f 有实根?函数()y f x =的图像与x 轴有交点?函数()y f x =有零点。 若函数()f x 在区间[],a b 上的图像是连续的曲线，则0)()(f ，所以由根的存在性定理可知，函数x x x f 2 )1ln()(-+=的零点所在的大致区间是（1，2），选B （二）求解有关函数零点的个数（或方程根的个数）问题。 函数零点的存在性定理，它仅能判断零点的存在性，不能求出零点的个数。对函数零点的个数问题，我们可以通过适当构造函数，利用函数的图象和性质进行求解。如：
复合函数零点(题)
复合函数零点 类型一：直接作图 1、直线1y =与曲线2y x x a =-+有4个交点，则a 的取值范围是 2、已知(x)f 是定义在R 上且周期为3的函数，当[)0,3x ∈时，21(x)x 22 f x =-+.若函数(x)a y f =-在区间[]3,4-上有10个零点（互不相同），则实数a 的取值范围是 3、已知函数),0()0,()(+∞-∞ 是定义在x f 上的偶函数，当0>x 时， 1)(4)(2),2(2 1,20,12)(|1|-=?????>-≤<-=-x f x g x x f x x f x 则函数的零点个数为 类型二：与二次函数结合 1、设定义域为R 的函数2lg (>0)()-2(0) x x f x x x x ?=?-≤? 则关于x 的函数 1)(3-)(2y 2+=x f x f 的零点的个数为______________. 2、已知函数 ，若关于 的方程 有 个不同的实数解，则实数 的取值范围是______. 3、设定义域为R 的函数1251,0()44,0 x x f x x x x -?-≥?=?++?=?--+≤??，若关于x 的方程2(x)3(x)0(a R)f f a -+=∈有8个不等的实数根，则a 的取值范围是( ) A. 1 (0,)4 B. 1(,3)3 C. (1,2) D. 9(2,)4 5.函数()y f x =是定义域为R 的偶函数，当0x ≥时，21,(02)16()1(),(2)2 x x x f x x ?≤≤??=??>??，若关 于x 的方程[]2()()0f x af x b ++=，,a b R ∈，有且仅有6个不同实数根，则实数a 的取
数学高考导数难题导数零点问题导数
含参导函数零点问题的几种处理方法 方法一：直接求出，代入应用 对于导函数为二次函数问题，可以用二次函数零点的基本方法来求。 （1）因式分解求零点 例1 讨论函数)(12)2 1(31)(23R a x x a ax x f ∈+++-=的单调区间 解析：即求)('x f 的符号问题。由)2)(1(2)12()('2--=++-=x ax x a ax x f 可以因式分 方法二：猜出特值，证明唯一 对于有些复杂的函数，有些零点可能是很难用方程求解的方法求出的，这时我们可以考虑用特殊值去猜出零点，再证明该函数的单调性而验证其唯一性。 例4 讨论函数ax x a x e a x x f x ++-+ --=23)1(2131)1()(，R a ∈，的极值情况 解析：)1)(()1()()('2-+-=++-+-=x e a x a x a x e a x x f x x ，只能解出)('x f 的一个零点为a ,其它的零点就 是01=-+x e x 的根，不能解。 例5（2011高考浙江理科）设函数R a x a x x f ∈-=,ln )()(2 （Ⅰ）若e x =为)(x f y =的极值点，求实数a （Ⅱ）求实数a 的取值范围，使得对任意的],3,0(e x ∈恒有24)(e x f ≤成立（注：e 为自然对数）， 方法三：锁定区间，设而不求 对于例5，也可以直接设函数来求， ①当10≤
复合函数零点问题
复合函数零点问题 一、基础知识： 1、复合函数定义：设()y f t =，()t g x =，且函数()g x 的值域为()f t 定义域的子集，那么y 通过t 的联系而得到自变量x 的函数，称y 是x 的复合函数，记为()y f g x =???? 2、复合函数函数值计算的步骤：求()y g f x =????函数值遵循“由内到外”的顺序，一层层求出函数值。例如：已知()()2 2,x f x g x x x ==-，计算()2g f ???? 解：()2 224 f ==()()2412 g f g ∴==????3、已知函数值求自变量的步骤：若已知函数值求x 的解，则遵循“由外到内”的顺序，一层层拆解直到求出x 的值。例如：已知()2x f x =，()2 2g x x x =-，若()0g f x =????，求x 解：令()t f x =，则()2 020g t t t =?-=解得0,2t t == 当()0020x t f x =?=?=，则x ∈? 当()2222x t f x =?=?=，则1x = 综上所述：1x = 由上例可得，要想求出()0g f x =????的根，则需要先将()f x 视为整体，先求出()f x 的值，再求对应x 的解，这种思路也用来解决复合函数零点问题，先回顾零点的定义： 4、复合函数零点问题的特点：考虑关于x 的方程()0g f x =????根的个数，在解此类问题时，要分为两层来分析，外层是解关于 g(x)的方程，观察有几个t ，g(t)的值使得等式成立；内层 是结合着()f x =t ，求出每一个()f x =t 被几个x 对应，将x 的个数汇总后即为()0g f x =????的根的个数 例1：关于x 的方程()2 22 13120x x ---+=的不相同实根的个数是（ ） A.3 B.4 C.5 D.8
分段函数零点问题研究
分段函数零点问题研究
分段函数作业 1. 已知函数f(x)＝???（1－2a ）x ＋3a ，x<1，lnx ，x ≥1 的值域为R ，那么实数a 的取值范围是________． 2. 已知函数f(x)＝???（3a －1）x ＋4a ，x<1，log a x ，x ≥1在R 是单调函数，则实数a 的取值范围是______． 3. 已知函数f(x)＝???x ＋2，x ＞a ，x 2＋5x ＋2，x ≤a ， 若函数g(x)＝f(x)－2x 恰有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是________． 4. 已知函数f(x)＝? ??x 2，x ∈[0，＋∞），x 3＋a 2－3a ＋2，x ∈（－∞，0）在区间(－∞，＋∞)上是增函数，则常数a 的取值范围是________． 5. 已知函数f(x)＝? ????－x 2＋4x ，x ≤4，log 2x ，x>4，若函数y ＝f(x)在区间(a ，a ＋1)上单调递增，则实数a 的取值范围是________． 6. 已知函数f(x)＝?????（x －a ）2 ，x ≤0，x ＋1x ＋a ，x>0，若f(0)是f(x)的最小值，则实数a 的取值范围为_____． 7. 已知函数f(x)＝???|x|，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x>m ， 其中m>0，若存在实数b ，使得关于x 的方程f(x)＝b 有3个不同的根，则m 的取值范围是________． 8. 已知函数f(x)＝?????1x ＋1－3，x ∈（－1，0]，x ，x ∈（0，1]， 且g(x)＝f(x)－mx －m 在(－1，1]内有且仅有2个不同的零点，则实数m 的取值范围是________． 9. 已知函数f(x)＝???（2a －4）x ＋2a －3，x ≤t ，－x 2＋3x ，x>t ， 无论t 取何值，函数f(x)在区间(－∞，＋∞)上总是不单调，则实数a 的取值范围是________． 10. 设函数f(x)＝???log 2??? ?－x 2，x ≤－1，－13x 2＋43x ＋23，x>－1， 若f(x)在区间[m ，4]上的值域为[－1，2]，则实数m 的取值范围为________．
函数的零点问题
函数零点问题的求解 【教学目标】 知识与技能： 1.理解函数零点的定义以及函数的零点与方程的根之间的联系，掌握用连续函数 零点定理及函数图像判断函数零点所在的区间与方程的根所在的区间. 2.结合几类基本初等函数的图象特征，掌握判断函数的零点个数和所在区间法. 3.能根据函数零点的情况求参数的取值范围. 过程与方法： 1.函数零点反映了函数和方程的联系，函数零点与方程的根能相互转化，能把方程问题合理 转化为函数问题进行解决. 2.函数的零点问题的解决涉及到分类讨论,数形结合,化归转化等数学思想方法,有效提升了 学生的数学思想方法的应用. 情感、态度与价值观: 1.培养学生认真、耐心、严谨的数学品质； 2.让学生在自我解决问题的过程中，体验成功的喜悦. 【教学重点】 理解函数的零点与方程根的关系，形成用函数观点处理问题的意识. 【教学难点】 根据函数零点所在的区间求参数的取值范围 【教学方法】 发现、合作、讲解、演练相结合. 【教学过程】 一、引例 （1）．函数()e 2x f x x =+-的零点所在的一个区间是（ ）． A.()2,1-- B.()1,0- C.()0,1 D.()1,2 解法一:代数解法 解：(1)．因为()0 0e 0210f =+-=-<，()1 1e 12e 10f =+-=->， 所以函数()e 2x f x x =+-的零点所在的一个区间是()0,1．故选C. 二、 基础知识回顾 1．函数零点概念 对于函数()y f x =，把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的零点． 2. 零点存在性定理：如果函数()y f x =在区间[]a,b 上的图象是连续不断一条曲线，并且有
高分必会系列之函数零点个数问题总结完美
零点个数问题 该问题题常以分段函数、抽象函数等为载体，考查函数性质、函数零点的个数、参数的范围和通过函数性质求解不等式问题等.解决该类问题的途径往往是根据函数的性质作出示意图，利用数形结合研究分界位置，结合函数、方程、不等式刻画边界位置，其间要注意导数的应用. 一、 分段函数的零点问题 【例1】（2020?漳州一模）已知函数21,1()43,1x e x f x x x x ?-<=?-+? ，若y kx =与()f x 有三个公共点，则实数k 的取 值范围是( ) A ．4,1)e -B ．4,0) (0,1)e -C ．4,1)(1,1)e - D ．4,0)(0,1)(1,1)e - 解：如图所示，函数()f x 的图象，y kx =的图象． 1x -→时，()1f x e →-，可得(1,1)A e -，1OA k e =-． 1x <时，()1x f x e =-，()x f x e '=． 1x 时，22()43(2)1f x x x x =-+=--，()24f x x '=-． 假设()f x 与y kx =相切于原点时，01k e ==． 结合图形可得：11k e <<-时y kx =与()f x 有三个公共点． 设直线y kx =与2()43(1)f x x x x =-+相切于点0(P x ，2 043)x x -+， 则 2 0000 4324x x x x -+=-，化为：2 03x =， 解得：0x = 4k =． 结合图形可得：41k <<时，y kx =与()f x 有三个公共点． 综上可得：41k <<，或11k e <<-时，y kx =与()f x 有三个公共点．故选：C ．
高中函数零点问题精选题型
零点问题与数形结合 题型一、直接做图 1 函数 ()1|1|f x x =--‖ 的图像与直线 y k = 有且仅有四个不同的交点, 则实数 k 的取值范围是_________ 2 已知函数 ()22x f x =- 与 y b = 有两个交点, 则实数 b 的取值范围是_________ 3 已知函数 ||()2||,x f x x =+ 若关于 x 的方程 ()f x k = 有两个不同的实根, 则实数k 的取值范围是_________.已知函数 ()|lg |,f x x = 若 0a b << 且 ()(),f a f b = 则 2a b + 的范围是_________
4 设函 21,0 (),1,0x x f x x x ?-=?+?? 若 0,m n << 且 ()(),f m f n = 则 2n m +的取值范围是_________
题型二、变形后做图 1 直线 1y = 与曲线 2||y x x a =-+ 有 4 个交点, 则 a 的取值范围 是_________ 2 若关于 x 的方程 2|| 2 x kx x =+ 有 4 个不同的实数解, 则实数 k 的范围为_________ 3 已知函数 21(),()32f x x h x = += 解关于 x 的方程 43 3log (1)2 4f x ??--=???? 22log ()log (4)h a x h x ---。
零点与分段函数综合应用完整版
零点与分段函数综合应用 1、零点：()()=0()f x f x f x x ??有零点有解图像与轴有交点。 2、求零点的主要方法：???? ?????? ?? 解方程图像法 重点零点存在性定理二分法 3、分段函数：???求值图像与零点的综合应用类型一：零点 1、求函数2()=-2f x x x 的零点个数？ 2、求函数(1)ln(1) ()= 3 x x f x x ---的零点个数？ ★3、（2012年高考（湖北文））函数 ()cos 2f x x x =在区间[0,2]π上的零点 个数为 （ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 4、函数1 2 1 ()()2x f x x =-的零点个数为 5、已知()sin f x x π=，1 ()4 g x x =，求 ()()f x g x =的零点个数。 6、求函数()cos f x x x =-的零点个数 ★ 7、（12湖南）设定义在R 上的函数()f x 是最小正周期为2π的偶函数,()f x '是 ()f x 的导函数,当[]0,x π∈时,0()1f x <<; 当(0,)x π∈且2 x π ≠ 时 ,()()02 x f x π '->,则 函数()sin y f x x =-在[2,2]ππ-上的零点个数为 （ ） A ．2 B ．4 C ．5 D ．8 8、函数()23x f x x =+的零点所在的一个区 间是 Ａ．()2,1-- Ｂ．()1,0- Ｃ．()0,1 Ｄ．()1,2 9、函数()e 2x f x x =+-的零点所在的一个区间是 Ａ．()2,1-- Ｂ．()1,0-Ｃ．()0,1 Ｄ．()1,2 ★10、函数32 ()ln 2x f x x =-的零点所在一个区间是 Ａ．()1,2 Ｂ．()2,3Ｃ．()3,4 Ｄ．()4,5 类型二：分段函数 1 、 设 1, ()0, 1, f x ???=??-??0(0)(0) x x x >=<, 1, ()0, g x ??=? ??
复合函数零点问题专题
复合函数零点问题 例1：设定义域为R 的函数()1 ,111,1x x f x x ?≠? -=??=? ，若关于x 的方程 ()()20f x bf x c ++=由3个不同的解123,,x x x ，则22212 3x x x ++=______ 思路：先作出()f x 的图像如图：观察可发现对于任意的0y ，满足()0y f x =的x 的个数分别为2个（000,1y y >≠）和3个（01y =），已知有3个解，从而可得()1f x =必为 ()()20f x bf x c ++=的根，而另一根为1或者是负数。所以()1i f x =，可解得： 1230,1,2x x x ===，所以222 1235x x x ++= 答案：5 例2：关于x 的方程( ) 2 2 213120x x ---+=的不相同实根的个 数是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 8 思路：可将21x -视为一个整体，即()21t x x =-，则方程变为2320t t -+=可解得： 1t =或2t =，则只需作出()21t x x =-的图像，然后统计与1t =与2t =的交点总数即 可，共有5个 答案：C 例3：已知函数 11 ()||||f x x x x x =+ --，关于x 的方程2()()0f x a f x b ++=（,a b R ∈）恰有6个不同实数解，则a 的取值范围是 ． 思路：所解方程 2 ()()0f x a f x b ++=可视为()()2 0f x a f x b ++=，故考虑作出
()f x 的图像：()2 ,12,01 2,102 ,1x x x x f x x x x x ?>?? <≤?=? --≤时，()()121,0212,22 x x f x f x x -?-<≤? =?->??，则关于x 的方 程()()2 610f x f x --=????的实数根个数为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 思路：已知方程()()2 610f x f x --=????可解，得 ()()1211,23f x f x ==-，只需统计11,23 y y ==- 与()y f x =的交点个数即可。由奇函数可先做出 0x >的图像，2x >时，()()1 22 f x f x = -，则(]2,4x ∈的图像只需将(]0,2x ∈的图像纵坐标缩 为一半即可。正半轴图像完成后可再利用奇函数的性质作出负半轴图像。通过数形结合可得共有7个交点 答案：B 小炼有话说：在作图的过程中，注意确定分段函数的边界点属于哪一段区间。 例5：若函数()32f x x ax bx c =+++有极值点12,x x ，且()11f x x =，则关于x 的方程 ()()()2 320f x af x b ++=的不同实根的个数是（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6