对数求导法则

六、对数的求导法则

例1

．设，其中u，ν

是x的函数且均可

导，试求y的导数.

注意：这是一种特殊类型的函数，它既不是幂函数，也

不是指数函数，称为幂指函数.

具体地，如

，

等都是幂指函数.求幂指函数的导数时，既不能直接利用幂函数的导数公式计算，也不能直接利用指数函数的导数公式计算。我们可以利用对数求导法求其导数.

解：

将函数式两边取自然对数，有

按隐函数求导法，上式两边对x求导数，得

即

从而有

另解：也可以将幂指数y=uν化为复合函数y=eνlnu，用复合函数的求导法则求导数.

记 u=e lnu，则 y=uν=(e lnu)ν=e vlnu

于是有 y′=（uν）′ =(eνlnu)′

＝eνlnu(νlnu)′

读者可以不必死记幂函数的导数公式，只要掌握对数求导法即可.

所谓对数求导法，就是先对所给的函数式两边取自然对数，再按隐函数的求导法则求导数.在某些情况下，利用对数求导法求导数，要比用通常的方法求导数方便一些.下面通过例题来说明这种方法.

指数对数函数求导

一、自然常数e 1、求导x a dx d 令x a y = 已知导数差商公式定义式： x x f x x f x f x ?-?+=→?) ()()(lim 0 ' 由导数差商定义式得： x a a x a a x x f x x f x f x x x x x x x x ?-?=?-=?-?+=?→??+→?→?1 )()()(lim lim lim 000'（因子x a 与x ?无关，因此我们可以将它提到极限号前面） 注意到上式中的极限是函数)(x f 的导数在0=x 处的值，即 x a a f x x ?-?=?→?1)0(lim 00 ' 因此，我们已经说明了如果指数函数x a x f =)(在0=x 处是可微的，则该函数是处处可微的，并且 x a f x f ?=)0()('' 上述等式说明了任何指数函数的变化率是和指数函数本身成正比的. 令x a a f a M x x ?-?==?→?1 )0()(lim 00 ' 0，因为x a 已知，要求)('x f 必须 求得)(0a M ，从x a a M x x ?-=?→?1 )(l i m 0 0的定义式可以猜测)(0a M 可能 是一个无线不循环的数值，只能无限取小x ?值求得)(0a M 的估算值，

这种估算的过程相当繁琐且得不到)(0a M 的准确数值. h h h 1 2- h h 1 3- 0.1 0.7177 1.1612 0.01 0.6956 1.1047 0.001 0.6934 1.0992 0.0001 0.6932 1.0987 在上表中，给出了2=a 和3=a 时的情况，通过数值举例，说明了)0('f 的存在.极限明显存在并且 当2=a ，69.012)0(lim 0 ' ≈?-=?→?x f x x 当3=a ，10.11 3)0(lim 0' ≈?-=?→?x f x x 实际上，我们将在《微积分》5.6节说明它们极限存在并且精确到小数点后六位，如下： 693147.0)2(0≈=x x dx d 098612.1)3(0 ≈=x x dx d 因此，由等式①，我们有 x x dx d 2)69.0()2(?≈ x x dx d 3)10.1()3(?≈ 在等式①对于底数a 的所有可能的选择中，当1)0('=f 时，微分 公式最为简单，即x e y =，x e y ='，并且有11 )(lim 00=?-=?→?x e e M x x ，

求导基本法则和公式

四、基本求导法则与导数公式 １. 基本初等函数的导数公式和求导法则 基本初等函数的求导公式和上述求导法则，在初等函数的基本运算中起着重要的作用，我们必须熟练的掌握它，为了便于查阅，我们把这些导数公式和求导法则归纳如下： 基本初等函数求导公式 (1) 0)(='C (2) 1 )(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2sec )(tan =' (6) x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '= (11) a x x a ln 1 )(log = ' (12) x x 1)(ln = '， (13) 211)(arcsin x x -= ' (14) 211)(arccos x x -- =' (15) 21(arctan )1x x '= + (16) 21(arccot )1x x '=- + 函数的和、差、积、商的求导法则 设 )(x u u =，)(x v v =都可导，则 （1） v u v u '±'='±)( （2） u C Cu '=')(（C 是常数） （3） v u v u uv '+'=')( （4） 2v v u v u v u '-'=' ??? ?? 反函数求导法则 若函数 )(y x ?=在某区间y I 内可导、单调且0)(≠'y ?，则它的反函数)(x f y =在对应 区间x I 内也可导，且

教案 对数函数的导数公式

教案：对数函数的导数公式 姓名:严东泰 教材分析 本节是结合函数四则运算的求导法则与复合函数的求导法则，应用对数函数的求导公式，使学生能求简单的初等函数的导数．本节给出了对数函数、指数函数的导数，使学生对于初等函数的导数能完整地认识，由于这两种导数的证明所需知识均超出现学范围，所以本节重点在于熟悉对数函数、指数函数求导法则与前面知识结合的应用．本节难点是指数函数、对数函数求导法则的正确应用．由于对数函数、指数函数的求导法则均是直接给出，没有证明过程，学生只能直接套用公式求解，增加了运用的困难．这部分题目还涉及到导数的四则运算，复合函数的求导法则知识的运用，因此综合性较强，题目运算量较大． 教学设计 一、教学目标： 1．掌握函数x x a log ln 、 的导数公式； 2．应用对数函数的求导公式，能求简单的初等函数的导数； 3．提高分析、解决问题能力以及运算能力． 二、教学重点：结合函数四则运算的求导法则与复合函数的求导法则，应用对数函数的求导公式，能求简单的初等函数的导数． 教学难点：对数函数求导公式的灵活运用． 三、教学用具：投影仪 教学过程 1．复习 （1）问题 叙述复合函数的求导法则． （2）练习 求下列函数的导数： Ⅰ．21x y -=；Ⅱ．.2sin x y = 答案：Ⅰ．2 1x x -- ；Ⅱ．.2cos 2x

2．新授 1．直接给出对数函数的导数公式（1）x x 1 )(ln ='． 2．求证对数函数的导数公式（2）e x x a a log 1 )(log = '． 证明：.log 11ln 1ln ln )(log e x x a a x x a a =?= '?? ? ?? =' 注：以上两个公式均是对数函数的导数公式． 公式（1）尤其简单易记，x ln 的导数等于1-x ． 公式（2）略显复杂，x a log 的导数除了1-x ，还有另一因子e a log ，即a ln 1，由证明过程看出是由使用换底公式而来． 试思考：求幂函数m x 的导数能得1-x 吗？ 3．公式的应用 让学生解答教科书例1，用多媒体展示其过程，需强调中间变量 1322++=x x u ． 让学生解答教科书例2，并分组交流、讨论、比较各种解法的优劣，引导学生归纳方法和技巧，寻找规律性的策略． 这样，突出了学生的主体地位，学生感到自己会学习，增强了学会学习、学会求知的兴趣和信心． 引处可向学生说明，真数中若含乘方或开方、乘法或除法的，均可先变再求导．此例中解法2优于解法1，实际上，解法1中21,,lg x v v u u y -===，取了 两个中间变量，属于多重复合．而解法2中21,lg 21 x u u y -==，仅有一次复合， 所以其解法业得简单，不易出错． 补充 例：求下列函数的导数： （1）)1(log 2 2x x y ++=；（2）2 2 11ln x x y -+=； （3）x x y 2sin ln =；（4）).(sin ln 2x e y -=

求指数、对数函数的导数

求指数、对数函数的导数 例 求下列函数的导数： 1．{ EMBED Equation.3 |1ln 2+=x y ；2．； 3．； 4． 分析：对于比较复杂的函数求导，除了利用指数、对数函数求导公式之外，还需要考虑应用复合函数的求导法则来进行．求导过程中，可以先适当进行变形化简，将对数函数的真数位置转化为有理函数的形式后再求导数． 解：1．解法一：可看成复合而成． 解法二： 解法三：， 2．解法一：设，则 解法二： 3．解法一：设，则 解法二： 4． 说明：深刻理解，掌握指数函数和对数函数的求导公式的结构规律，是解决问题的关键，解答本题所使用的知识，方法都是最基本的，但解法的构思是灵魂，有了它才能运用知识为解题服务，在求导过程中，学生易犯漏掉符合或混淆系数的错误，使解题走入困境． 解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归，才能抓住问题的本质，把解题思路放开． 变形函数解析式求导 例 求下列函数的导数： （1）； （2）； （3）； （4）． 分析：先将函数适当变形，化为更易于求导的形式，可减少计算量． 解：（1） ． （2），

（3） （4） 当时不存在． 说明：求（其中为多项式）的导数时，若的次数不小于的次数，则由多项式除法可知，存在，使．从而，这里均为多项式，且的次数小于的次数．再求导可减少计算量．对函数变形要注意定义域．如，则定义域变为，所以虽然的导数与的导数结果相同，但我们还是应避免这种解法． 函数求导法则的综合运用 例求下列函数的导数： 1．；2．； 3．；4． 分析：式中所给函数是几个因式积、商、幂、开方的关系．对于这种结构形式的函数，可通过两边取对数后再求导，就可以使问题简单化或使无法求导的问题得以解决．但必须注意取寻数时需要满足的条件是真数为正实数，否则将会出现运算失误． 解：1．取y的绝对值，得，两边取寻数，得 根据导数的运算法则及复合函数的求导法则，两端对x求导，得 ， ∴ 2．注意到，两端取对数，得 ∴ ∴ 3．两端取对数，得 ， 两端对x求导，得 4．两端取对数，得 ， 两边对x求导，得 ∴ 说明：对数求导法则实质上是复合函数求导法则的应用．从多角度分析和探索解决问题的途径，能运用恰当合理的思维视力，把问题的隐含挖掘出来加以利用，会使问题的解答避

一函数求导法则

（十） 隐函数求导法则 由方程()0,=y x F 所确定的y 是x 的函数称为隐函数。从方程()0 ,=y x F 中有时可解出 y 是 x 的显函数 ,如从方程 153=++y x 可解出显函数 5 1 53--=x y ；有时，从方程()0,=y x F 中可以解出不止一个显函数，如从方程 ()00 222>=-+R R y x 中可以解出2 2x R y -± =。它包含两个显函数，其中 22x R y -=代表上半圆周，2 2x R y --=代表下半圆周。但也有时隐函数并不 能表示为显函数的形式，如方程 ()100 sin <<=--εεy x y 就不能解出来 )(x f y =的形式。 现在讨论当 y 是由方程()0,=y x F 所确定的x 的函数，并且y 对x 可导（即 ()x y '存在），那么在不解出y 的情况下，如何求导数 y '呢？其办法是在方程 ()0,=y x F 中，把y 看成 x 的函数 ()x y y =，于是方程可看成关于x 的恒等 式:()()0,≡x y x F .在等式两端同时对x 求导（左端要用到复合函数的求导法则），然后 解出 y ' 即可。 例2.14 求方程()0222 >=+R R y x 所确定的隐函数的导数y '. 解 当我们对方程222 R y x =+的两端同时对x 求导时，则应有(()x y y =是中间变量) 022='?+y y x . 解出 ()0≠- ='y y x y . 思考题 证明：圆 ()0222>=+R R y x 在其上一点()000,y x M 处的切线方程为 200R y y x x =+.问：法线方程是什么？ 例2.15 求曲线1ln =+y xy 在点()1,1处的切线方程。 解 将曲线方程两边对x 求导，得 0)'(ln )'(=+x x y xy ，即 01 ='?+ '+y y y x y . 于是 1 2 +-= 'y x y y . 过点()1,1处的切线斜率

求导基本法则和公式精修订

求导基本法则和公式集团标准化工作小组 #Q8QGGQT-GX8G08Q8-GNQGJ8-MHHGN#

四、基本求导法则与导数公式 １. 基本初等函数的导数公式和求导法则 基本初等函数的求导公式和上述求导法则，在初等函数的基本运算中起着重要的作用，我们必须熟练的掌握它，为了便于查阅，我们把这些导数公式和求导法则归纳如下： 基本初等函数求导公式 (1) 0)(='C (2) 1 )(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2 sec )(tan =' (6) x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '= (11) a x x a ln 1 )(log = ' (12) x x 1 )(ln = '， (13) 211 )(arcsin x x -= ' (14) 211 )(arccos x x -- =' (15) 21 (arctan )1x x '= + (16) 21 (arccot )1x x '=- + 函数的和、差、积、商的求导法则 设)(x u u =，)(x v v =都可导，则 （1） v u v u '±'='±)( （2） u C Cu '=')(（C 是常数） （3） v u v u uv '+'=')( （4） 2 v v u v u v u '-'= ' ??? ?? 反函数求导法则 若函数)(y x ?=在某区间y I 内可导、单调且0)(≠'y ?，则它的反函数)(x f y =在对应 区间 x I 内也可导，且 )(1)(y x f ?'= ' 或 dy dx dx dy 1 = 复合函数求导法则

对数与导数

课 题： 3．5对数函数与指数函数的导数(2) 教学目的： 1.理解掌握指数函数的导数的两个求导公式. 2.在学习了函数的四则运算的求导法则与复合函数的求导法则的基础上，应用指数函数的求导公式，能求简单的初等函数的导数 教学重点：结合函数四则运算的求导法则及复合函数的求导法则，应用对数函 数、指数函数的求导公式求简单的初等函数的导数． 教学难点：指数函数的求导公式的记忆，以及应用指数函数的求导公式． 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 1. 常见函数的导数公式： 0'=C ；1)'(-=n n nx x ；x x cos )'(sin =；x sin )'(cos -=2.法则1 )()()]()(['''x v x u x v x u ±=±． 法则2 [()()]'()()()u x v x u x v x u x v x '= +, [()]'(Cu x Cu x '= 法则3 '2''(0)u u v uv v v v -??=≠ ??? 3.复合函数的导数：设函数u =?(x )在点x 处有导数u ′x =?′(x )，函数y =f (u )在点x 的对应点u 处有导数y ′u =f ′(u )，则复合函数y =f (? (x ))在点x 处也有导数，且x u x u y y '''?= 或f ′x (? (x ))=f ′(u ) ?′(x ). 4.复合函数的求导法则 复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数 5.复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代． 6.对数函数的导数： x x )'(ln = x x a a l o g 1)'(log = 7.引例 求函数)100()3)(2)(1(----=x x x x y )100(>x 的导数． 分析：这里所给的函数是100个因式的积，对于这种结构形式的函数，直

求导方法 导数

全屏学习 大纲要求： １、基本求导公式和求导四则运算法则，反函数求导法则与复合函数求导法则 ２、初等函数的求导运算 ３、 对数求导法则 ４、参数表达函数的求导法则以及隐函数求导法则 难点：复合函数求导法则的运用 内容： 上一节给出了导数概念之后，我们要做的工作是给了一个函数是否可导，若可导又如何计算，则是本节的内容，我们把这一切称之为函数的微分法。 注意到连续性讨论时的思想。若对初等函数讨论某一特性时，根据初等函数的概念，只要在基本初等函数上具有些性质，又讨论了函数运算关于此性质的法则，则一切初等函数的关于此性质的问题都解决了。这给我们提供了微分法系统展开的思路。即： １）先按定义寻求基本初等函数的求导公式 ２）讨论函数运算的求导法则 综合解决初等函数的求导运算问题，且导数的存在性也包含其中了，由此，我们的求导运算摆脱了求极限运算，而成为很简单的数学演算。 进一步，由于函数的其它表达形式还将给出对数求导法，隐函数求导法和参数表达函数的求导法。它们都可以看成复合函数求导法则的推广应用。 一、 利用定义求一些基本初等函数的导数公式 基本初等函数有幂、指、对、三角、反三角五大类若干函数，以下我们仅对其中几个有代表性的函数进行讨论，而其它的再结合反函数法则等推广过去。教材中的常数 函数c y =，指数为自然数的幂函数n x y =，正弦函数x y sin =，对数函数 x y a log =，为例做了详细的推导。在这里我仅从宏观的思想步骤结合具体事例进行说明。 １、运用导数定义求函数的导数的步骤为 １）给出自变量增量0≠?x ２）得出函数增量)()(x f x x f y -?+=? ３）作商x y ?? ４）求极限) (lim 0x f x y x '=??→? ２、其中难点在极限是00 不定型，要能运用前面已给的一些求极限运算的充 分条件的关键是对)()(x f x x f y -?+=?的处理上之所以做以上这几个特殊函数，就是因为它们的都可以有初数时互等变形公式。例如 １）自然次数幂函数n x y =

高中数学 典型例题 指数对数的导数 新课标

求指数、对数函数的导数 例 求下列函数的导数： 1．1ln 2+=x y ；2．)132(log 22++=x x y ； 3．)sin(b ax e y +=； 4．).12cos(3+=x a y x 分析：对于比较复杂的函数求导，除了利用指数、对数函数求导公式之外，还需要考虑应用复合函数的求导法则来进行．求导过程中，可以先适当进行变形化简，将对数函数的真数位置转化为有理函数的形式后再求导数． 解：1．解法一：可看成1,,ln 2+===x v v u u y 复合而成． .1 11 2)1(2 111 )2(2 11222212221 +=+?+=?+?+=??='?'?'='--x x x x x x x x x v u v u y y x v u x 解法二：[])1(111ln 222'++= '+='x x x y .12112111)1()1(2 111 22222122+=?+?+= '+?+?+=-x x x x x x x x 解法三：)1ln(2 11ln 22+=+=x x y ， [] .1122)1(1121)1ln(2122222+=+='+?+?='+='x x x x x x x y 2．解法一：设132,log 2 2++==x x u u y ，则 )34(log 12+??='?'='x e u u y y x u x .1 32log )34()34(132log 2222++?+=+++?=x x e x x x x e 解法二：[] )132(1 32log )132(log 22222'++?++='++='x x x x e x x y .132log )34()34(132log 2222+++=+?++=x x e x x x x e 3．解法一：设b ax v v u e y u +===,sin ,，则