第四章解析函数的级数表示

第四章 解析函数的级数表示

§1. 复数项级数 一. 复数序列的极限

定义： 设{}n z 为一个复数序列，其中n n n y i x z +=，

又设000y i x z +=为一个复定值. 若 ,0,0>?>?N ε使得,N n >?有不等式

ε<-0z z n

恒成立，则称复数序列{}n z 收敛于0z ，或称

{}n z 以0z 为极限，记作

0lim z z n n =∞

→ 或()∞→→n z z n 0.

如果对于任意复数0z ，上式均不成立，则称复数序列{}n z 不收敛或发散.

定理1 设000y i x z +=，n n n y i x z +=，则

?????==?=∞

→∞

→∞→.lim ,lim

lim 000y y x x z z n n n n n n 定理1说明: 可将复数列的敛散性转化为判别两

个实数列的敛散性.

二. 复数项级数

定义： 设{}n z 为一个复数序列，表达式

+++++n z z z z 321

称为复数项无穷级数.如果它们的部分和序列

() 2,1321=++++=n z z z z S n n

有极限S S n n =∞

→lim （有限复数），则称级数是收敛的，S 称为级数的和；如果{}n S 没有极限，则称级数是发散的. 例1.

当1

++++++n

z z z z 321

是否收敛？

定理2 级数 ++++n z z z 21收敛的充分必要条件

是实数项级数 ++++n x x x 21与 ++++n y y y 21都收敛.

定理2说明: 可将复级数的敛散性转化为判别两 个实级数的敛散性.

定理3 （级数收敛的必要条件）若级数

++++n z z z 21

收敛，则0lim =∞

→n n z . 定理4 若级数

+++++=∑

∞

=n n n z z z z z 3211

收敛，则级数

+++++=∑∞

=n n n

z z z z z 3211

一定收敛.

定义： 若级数 ++++=∑∞

=n n n z z z z 211

收敛， 则称级数 ++++=∑∞

=n n n z z z z 211

绝对收敛，若级数 ++++=∑

∞

=n n n z z z z 211发散，而

级数 ++++=∑∞

=n n n z z z z 211

收敛，则称级数 ++++=∑∞

=n n n

z z z z

211

条件收敛.

例2.

判断下列级数的敛散性：

（1）∑∞

=???

??+121n n i n

；（2）∑∞

=1n n

n i ；（3）∑∞

=12n n n i .

§2. 复变函数项级数

一. 复变函数项级数

定义： 设(){}() ,,n z f n 21=为区域D 内的函数序

列，称以()z f n 为一般项的复级数 ()()()()+++++z f z f z f z f n 321

为区域D 内的复变函数项级数.该级数的前n 项的和

()()()()()z f z f z f z f z S n n ++++= 321

称为该级数在D 内的部分和. 设0z 为区域D 内的一个定点，若极限

()()00lim z S z S n n =∞

→存在，则称该复变函数项级

数在0z 点收敛，()0z S 为其和，即

()()0

1

z S z f n n

=∑∞

=.

如果该复变函数项级数在D 内处处收敛，则

称该复变函数项级数在D 内收敛，由此所定

义的函数()z S 称为和函数，记作()∑∞

=1

n n z f .即 ()()∑∞

==1

n n z f z S 二. 幂级数

定义： 形如

()

()()()

+-++-+-+=-∑∞

=n

n n n

n

z z C z z C z z C C z z C 02

020100

的复变函数项级数称为幂级数，其中n C 与0

z 均为复常数.

定理5 如果幂级数()∑∞

=-0

0n n

n z z C 在点()011z z z ≠ 收敛，则该级数在圆域010z z z z -<-内绝对收敛.

推论

如果幂级数()

∑∞

=-10n n

n z z C 在点2z 发散，则在区

域020z z z z ->-内发散.

定义：若存在圆R z z <-0，使得幂级数

()

∑∞

=-1

0n n

n z z C 在此圆内绝对收敛，在此圆外发散，

则称该圆为幂级数的收敛圆，称该圆的半径R 为幂级数的收敛半径.

结论： 对幂级数()∑∞

=-1

0n n

n z z C 而言，一定存在某一圆R z z <-0，使得该幂级数在此圆内绝对收敛，在此圆外发散.

达朗贝尔比值判别法——

若 λ=+∞→n n n C C 1

lim ，则幂级数()∑∞=-1

0n n

n z z C 的收敛半径λ1

=R .

柯西根值判别法—— 若 λ=∞

→n

n n C lim ，则幂级数()∑∞

=-1

0n n

n z z C 的收

敛半径λ1

=R . 例3. 求级数∑∑∑∞

=∞=∞

=1

210,,n n

n n

n n

n z n

z z 的收敛半径. 例4.

求级数()

∑∞

=-1

1n n

n

z 的收敛半径.

说明：达朗贝尔比值判别法与柯西根值判别法都只是充分条件，而非必要条件. 例5. 把函数z 1表示成形如()∑∞

=-0

2n n

n z c 的幂级数.

性质 (1) 幂级数()∑∞

=-0

0n n

n z z C 的和函数在收敛圆内一定解析；

(2) 在收敛圆内，幂级数()∑∞

=-0

0n n

n z z C 可以逐项积分或求任意阶导数，所得到的幂级数在

该圆内也收敛，且相应的和函数即为对幂

级数()∑∞

=-00n n

n z z C 的和函数进行积分或求

相应阶导数所得的结果.

例6 求幂级数∑∞=1

2n n

z n 的和函数，并计算级数∑∞

=122n n

n

之值.

§3. 泰勒级数

定理6 (泰勒定理) 设函数()z f 在区域D 内解析，

0z 为D 内的一点，设R 为0z 到D 的边界

的距离，则当R z z <-0时，()z f 可展为幂级数

()()∑∞

=-=0

0n n

n z z C z f 其中()

() 2,1,0!10==n z f n C n n .

称该幂级数为()z f 在区域D 内以0z 为心的泰勒级数.

说明:

1.复变函数展开为泰勒级数的条件要比实函数时弱得多; (想一想, 为什么?)

4.任何解析函数在一点的泰勒级数是唯一的. 结论：函数在()z f 点0z 解析的充分必要条件是在

0z 点()z f 可展成幂级数.

根据结论，解析函数()z f 在点0z 可展成泰勒 级数，其展开法分别是直接展开法和间接展开法.

直接展开法是指由泰勒展开定理计算系数

间接展开法是指借助于一些已知函数的展开式 , 结合解析函数的性质, 幂级数运算性质 (逐项求导, 积分等)和其它数学技巧 (代换等) , 求函数的泰勒展开式.

例7．将

()0==z e z f z

在处展开为泰勒级数. ; ,

, )( .200z R z R D z f -=αα即之间的距离

一个奇点到最近等于则内有奇点在如果;,0.30级数级数也可称为麦克劳林时当=z

,2,1,0,)(!10)

(==n z f n c n n . )( 0展开成幂级数在将函数z z f

例8. 将()0sin ==z z z f 在处展开为泰勒级数.

例9．将()z z f -=11

在z =0的邻域展开.

例10. 求函数()011

2=+=z z

z f 在的邻域内的泰勒 展开式.

例11. 例12. 求函数()21

-=z z f 在1-=z

的邻域内的泰

勒展开式.

例13.将函数

()()

2

11

z z f -=

展开为i z -的幂级数.

例14.求对数函数ln (1+z )在z =0处的泰勒展开式.

例15. 将函数()z

e z

f -=11展开为z 的幂级数.

§4. 洛朗级数

.0arctan 的幂级数展开式

在求=z z

引例 求函数()z

z z f 111

22-+

-=的级数表示式.

定理7 设函数()z f 在环域201R z z R <-<内解析，

则()z f 在此环域内一定可以展成

()()∑∞

-∞

=-=n n

n z z C z f 0， 其中()()

() 2,1,02110±±=-=?+n d z f i C C n n ???π.

C 为此环域内绕0z 的任意一条简单闭曲线. 称此级数为环域内的解析函数的洛朗级数. 说明:环域201R z z R <-<内的解析函数则()z f 在此环域内一定可以展成惟一的洛朗级数. 例16． 将函数 ()()()211

--=z z z f 分别在圆环域(1)10<

例17. 将函数()2z shz

z f =在+∞<

朗级数.

例18. 试求()211

z

z f +=以z =i 为中心的洛朗级数.

《数学分析》10第三章-函数极限

《数学分析》10第三章-函数极限

第三章 函数极限 引言 在《数学分析》中，所讨论的极限基本上分两 部分，第一部分是“数列的极限”，第二部分是“函数的极限”。二者的关系到是“特殊”与“一般”的关系；数列极限是函数极限的特例。 通过数列极限的学习。应有一种基本的观念：“极 限是研究变量的变化趋势的”或说：“极限是研究变量的变化过程，并通过变化的过程来把握变化的结果”。例如，数列{}n a 这种变量即是研究当n →+∞时，{}n a 的变化趋势。 我们知道，从函数角度看，数列{}n a 可视为一种特殊的函数f ，其定义域为N +，值域是{}n a ，即 :() n f N R n a +→→; 或 (),n f n a n N +=∈或()n f n a =. 研究数列{}n a 的极限，即是研究当自变量n →+∞时， 函数()f n 变化趋势。 此处函数()f n 的自变量n 只能取正整数！因此自变 量的可能变化趋势只有一种，即n →+∞。但是，如果代之正整数变量n 而考虑一般的变量为x R ∈，那么情况又如何呢？具体地说，此时自变量x 可能的变化趋势是否了仅限于x →+∞一种呢？ 为此，考虑下列函数:

1,0;()0,0.x f x x ≠?=?=? 类似于数列，可考虑自变量x →+∞时，()f x 的变化趋 势；除此而外，也可考虑自变量x →-∞时，()f x 的变化趋势；还可考虑自变量x →∞时，()f x 的变化趋势；还可考虑自变量x a →时，()f x 的变化趋势, L 由此可见，函数的极限较之数列的极限要复杂得 多，其根源在于自变量性质的变化。但同时我们将看到，这种复杂仅仅表现在极限定义的叙述有所不同。而在各类极限的性质、运算、证明方法上都类似于数列的极限。 下面，我们就依次讨论这些极限。 §1 函数极限的概念 一、x →+∞时函数的极限 １． 引言 设函数定义在[,)a +∞上，类似于数列情形，我们研 究当自变量x →+∞时，对应的函数值能否无限地接近于某个定数Ａ。这种情形能否出现呢？回答是可能出现，但不是对所有的函数都具此性质。 例如 1(),f x x x =无限增大时，()f x 无限地接近于 ０；(),g x arctgx x =无限增大时，()f x 无限地接近于2 π；(),h x x x =无限增大时，()f x 与任何数都不能无限地接近。正因为如此，所以才有必要考虑x →+∞时，()f x 的变化趋势。

复变函数项级数

§4.2 复变函数项级数 教学目的：1．理解复变函数项级数收敛的概念，掌握其收敛的常用 判别法，以及收敛复函数项级数的和函数的基本性质． 2. 能正确灵活运用相关定理判断所给级数的敛散性. 3．掌握幂级数收敛半径的计算公式、幂级数的运算性质以及幂级数和函数的解析性，能灵活正确求出所给级 数的收敛半径；能用 1 (1)1n n z z z ∞ ==<-∑将简单函数表示为级数． 教学重点：掌握阿贝尔定理以及级数收敛半径的计算方法；能用间 接法和 01 (1)1n n z z z ∞ ==<-∑求函数的幂级数展式. 教学难点：正确利用 1 (1)1n n z z z ∞ ==<-∑求函数的幂级数展式. 教学方法：启发式讲授与指导练习相结合 教学过程： §4.2.1 复变函数项级数 设{()n f z }是定义在平面点集E 上的一列复变函数,（书上为其中各项在区域D 内有定义,）则式子: 12()()()n f z f z f z ++++L L 称为E 上的复函数项级数,记为 1 ()n n f z ∞ =∑. 【定义】※设1 ()n n f z ∞ =∑是定义在E 上的复函数项级数, ()S z 是E

的一个复函数,如果对E 内的某一点0z ,极限 00lim ()() n n S z S z →∞ =存在,则称复变函数项级数在0z 收敛.若对E 上的每一点z E ∈,都有级数 1 ()n n f z ∞ =∑收敛, 则它的和一定是一个z 的函数()S z ,则称 1 ()n n f z ∞ =∑在E 上收敛于()S z ,此时()S z 也称为1 ()n n f z ∞ =∑在E 上的 和函数.记为1 ()()n n S z f z ∞ == ∑或者()lim ()n n S z S z →∞ =, {}()n S z 称为 1 ()n n f z ∞ =∑的部分和函数列. §4.2.2 幂级数 1．【幂级数的定义】通常把形如： 20 010200 () ()()n n n C z z C C z z C z z ∞ =-=+-+-∑ 0()n n C z z ++-+L L 的复函数项级数称为(一般)幂级数, 其中0C ,1C ,L n C ,L .和0z 都 是复常数, 分别称为幂级数 () n n n C z z ∞ =-∑的系数与中心点. 若00z =, 则幂级数0 () n n n C z z ∞ =-∑可简化为 n n n c z ∞ =∑(标准幂级

10函数项级数和幂级数 习题课

111 第十章 函数项级数习题课 一、 主要内容 1、基本概念 函数列（函数项级数）的点收敛、一致收敛、内闭一致收敛、绝对收敛、和函数 幂级数的收敛半径、收敛区间、收敛域 2、一致收敛性 A 、 函数列{()}n f x 一致收敛性的判断： （1）定义：用于处理已知极限函数的简单函数列的一致收敛性 （2）Cauchy 收敛准则：用于抽象、半抽象的函数列的一致收敛性的判断 （3）确界（最大值方法）：||()()||0n f x f x -→ （4）估计方法：|()()|0n n f x f x a -≤→ （5）Dini-定理：条件1）闭区间[,]a b ；2）连续性；3）关于n 的单调性 注、除Cauchy 收敛准则外，都需要知道极限函数，因此，在判断一致收敛性时，一般应先利用点收敛性计算出极限函数。 注、定义法、确界方法和估计方法的本质是相同，定义方法通常处理抽象的对象，估计方法是确界方法的简化形式，估计方法处理较为简单的具体的对象，确界方法是通过确界的计算得到较为精确的估计，通常用于处理具有一般结构的具体的函数列，也可以用于非一致收敛性的判断。 注、Dini 定理中，要验证的关键条件是关于n 的单调性，定理中相应的条件为“对任意固定的x [,]a b ∈，{()}n f x 作为数列关于n 是单调的”，注意到收敛或一致收敛与函数列前面的有限项没有关系，上述条件也可以改为“存在N ，当n>N 时”条件成立即可，但是，要注意N 必须是与x 无关的，即当n>N 时，对所有任意固定的x [,]a b ∈，{()}n f x 关于n 单调，因此，此时的单调性也称为对n 的单调性关于x 一致成立。 非一致收敛性的判断 （1）定义 （2）Cauchy 收敛准则 （3）确界法：存在n x ，使得||()()||n n n f x f x -不收敛于0 （4）和函数连续性定理 （5）端点发散性判别法：{()}n f x 在c 点左连续，{()}n f c 发散，则{()}n f x 在

函数列与函数项级数

Ch 13 函数列与函数项级数 （ 1 2 时 ） § 1 一致收敛性（ 6 时 ） 一． 函数列及极限函数：对定义在区间I 上的函数列)}({x f n ，介绍概念： 收敛点，收敛域（ 注意定义域与收敛域的区别 ），极限函数等概念. 逐点收敛 ( 或称为“点态收敛” )的“N -ε”定义. 例1 对定义在) , (∞+∞-内的等比函数列)(x f n =n x , 用“N -ε”定义 验证其收敛域为] 1 , 1 (-, 且 ∞→n lim )(x f n = ∞→n lim n x =? ??=<. 1 , 1 , 1 || , 0 x x 例2 )(x f n =n nx sin . 用“N -ε”定义验证在) , (∞+∞-内∞→n lim )(x f n =0. 例3 考查以下函数列的收敛域与极限函数: ) (∞→n . ⑴ )(x f n =x x x x n n n n --+-. )(x f n →,sgn x R ∈x . ⑵ )(x f n =1 21+n x . )(x f n →,sgn x R ∈x . ⑶ 设 ,,,,21n r r r 为区间] 1 , 0 [上的全体有理数所成数列. 令 )(x f n =???≠∈=. ,,, ] 1 , 0 [ , 0, ,,, , 12121n n r r r x x r r r x 且 )(x f n →)(x D , ∈x ] 1 , 0 [. ⑷ )(x f n =2 22 2x n xe n -. )(x f n →0, R ∈x .

156 ⑸ )(x f n =?? ? ? ? ? ???≤≤<≤-<≤--+ . 121 , 0 ,2121 ,42,210 ,41 11x x x x x n n n n n n n 有)(x f n →0, ∈x ] 1 , 0 [, ) (∞→n . （ 注意 ? ≡1 1)(dx x f n .） 二. 函数列的一致收敛性: 问题: 若在数集D 上 )(x f n →)(x f , ) (∞→n . 试问: 通项)(x f n 的解析性质是否必遗传给极限函数)(x f ? 答案是否定的. 上述例1、例3⑴⑵说明连续性未能遗传,而例3⑶说明可积性未能遗传. 例3⑷⑸说明虽然可积性得到遗传, 但 ∞ →n lim () ? ?∞ →≠1 1 0)(lim )(dx x f dx x f n n n . 用函数列的极限表示函数是函数表达的一种重要手段. 特别是表达非初等函数的一 种手段. 对这种函数, ∞ →n lim )(x f n 就是其表达式.于是,由通项函数的解析性质研究极限 函数的解析性质就显得十分重要. 那末, 在什么条件下通项函数的解析性质能遗传给极 限函数呢? 一个充分条件就是所谓“一致收敛”. 一致收敛是把逐点收敛加强为所谓 “整体收敛”的结果. 定义 ( 一致收敛 ) 一致收敛的几何意义. Th1 (一致收敛的Cauchy 准则 ) 函数列}{n f 在数集D 上一致收敛,? N , 0?>?ε, , , N n m >?? ε<-n m f f . ( 介绍另一种形式ε<-+n p n f f .) 证 )? ( 利用式 .f f f f f f n m n m -+-≤-)

幂级数求和函数方法概括与总结

幂级数求和函数方法概括与总结

常见幂级数求和函数方法综述 引言 级数是高等数学体系的重要组成部分，它是在生产实践和科学实验推动下逐步形成和发展起来的。中国魏晋时期的数学家刘徽早在公元263年创立了“割圆术”，其要旨是用圆内接正多边形去逐步逼近圆，从而求得圆的面积。这种“割圆术”就已经建立了级数的思想方法，即无限多个数的累加问题。而将一个函数展开成无穷级数的概念最早来自于14世纪印度的马徳哈瓦，他首先发展了幂级数的概念，对泰勒级数、麦克劳林级数、无穷级数的有理数逼近等做了研究。同时，他也开始讨论判断无穷级数的敛散性方法。到了19世纪，高斯、欧拉、柯西等各自给出了各种判别级数审敛法则，使级数理论全面发展起来。中国传统数学在幂级数理论研究上可谓一枝独秀，清代数学家董祐诚、坎各达等运用具有传统数学特色的方法对三角函数、对数函数等初等函数幂级数展开问题进行了深入的研究。而今，级数的理论已经发展的相当丰富和完整，在工程实践中有着广泛的应用，级数可以用来表示函数、研究函数的性质、也是进行数值计算的一种工具。它在自然科学、工程技术和数学本身方面都有广泛的作用。 幂级数是一类最简单的函数项级数，在幂级数理论中，对给定幂级数分析其收敛性，求收敛幂级数的和函数是重要内容之一。但很多人往往对这一内容感到困难。产生这一问题的一个重要原因是教材对这一问题讨论较少，仅有的一两个例题使得我们对幂级数求和中的诸多类型问题感到无从下手。事实上，求幂级数和函数的方法与技巧是多种多样的，一般要综合运用求导、拼凑、分解等来求解，因此它是一个难度较大、技巧较高的有趣的数学问题。 一、幂级数的基本概念 （一）、幂级数的定义 [1] 1、设()(1,2,3 )n u x n =是定义在数集E 上的一个函数列，则称 12()()(),n u x u x u x x E ++++ ∈ 为定义在E 上的函数项级数，简记为1 ()n n u x ∞=∑ 。 2、具有下列形式的函数项级数 2 00102000 ()()()()n n n n n a x x a a x x a x x a x x ∞ =-=+-+-+ +-+ ∑

幂级数求和函数方法概括与总结

常见幂级数求和函数方法综述 引言 级数是高等数学体系的重要组成部分，它是在生产实践和科学实验推动下逐步形成和发展起来的。中国魏晋时期的数学家刘徽早在公元263年创立了“割圆术”，其要旨是用圆内接正多边形去逐步逼近圆，从而求得圆的面积。这种“割圆术”就已经建立了级数的思想方法，即无限多个数的累加问题。而将一个函数展开成无穷级数的概念最早来自于14世纪印度的马徳哈瓦，他首先发展了幂级数的概念，对泰勒级数、麦克劳林级数、无穷级数的有理数逼近等做了研究。同时，他也开始讨论判断无穷级数的敛散性方法。到了19世纪，高斯、欧拉、柯西等各自给出了各种判别级数审敛法则，使级数理论全面发展起来。中国传统数学在幂级数理论研究上可谓一枝独秀，清代数学家董祐诚、坎各达等运用具有传统数学特色的方法对三角函数、对数函数等初等函数幂级数展开问题进行了深入的研究。而今，级数的理论已经发展的相当丰富和完整，在工程实践中有着广泛的应用，级数可以用来表示函数、研究函数的性质、也是进行数值计算的一种工具。它在自然科学、工程技术和数学本身方面都有广泛的作用。 幂级数是一类最简单的函数项级数，在幂级数理论中，对给定幂级数分析其收敛性，求收敛幂级数的和函数是重要内容之一。但很多人往往对这一内容感到困难。产生这一问题的一个重要原因是教材对这一问题讨论较少，仅有的一两个例题使得我们对幂级数求和中的诸多类型问题感到无从下手。事实上，求幂级数和函数的方法与技巧是多种多样的，一般要综合运用求导、拼凑、分解等来求解，因此它是一个难度较大、技巧较高的有趣的数学问题。 一、幂级数的基本概念 （一）、幂级数的定义 [1] 1、设()(1,2,3)n u x n =L 是定义在数集E 上的一个函数列，则称 12()()(),n u x u x u x x E ++++∈L L 为定义在E 上的函数项级数，简记为1()n n u x ∞ =∑ 。 2、具有下列形式的函数项级数 200102000 ()()()()n n n n n a x x a a x x a x x a x x ∞ =-=+-+-++-+∑L L

第十三章函数列和函数项级数

第十三章 函数列与函数项级数 目的与要求：1.掌握函数序列与函数项级数一致收敛性的定义,函数列与函数项级数一致收敛性判别的柯西收敛准则,函数项级数一致收敛性的判别法. 2. 掌握一致收敛函数序列与函数项级数的连续性、可积性、可微性的结论． 重点与难点：本章重点是函数序列与函数项级数一致收敛性的定义,判别法和性质；难点则是利克雷判别法和阿贝尔判别法. 第一节 一致收敛性 我们知道,可以用收敛数列（或级数）来表示或定义一个数,在此,将讨论如何用函数列（或函数项级数）来表示或定义一个函数. 一 函数列及其一致收敛性 设 ,,,,21n f f f (1) 是一列定义在同一数集E 上的函数,称为定义在E 上的函数列.也可简记为： }{n f 或 n f , ,2,1=n . 设E x ∈0,将0x 代入 ,,,,21n f f f 得到数列 ),(,),(),(00201x f x f x f n (2) 若数列(2)收敛,则称函数列(1)在点0x 收敛,0x 称为函数列(1)的收敛点. 若数列(2)发散,则称函数列(2)在点0x 发散. 若函数列}{n f 在数集E D ?上每一点都收敛,则称}{n f 在数集D 上收敛.

这时对于D x ∈?,都有数列)}({x f n 的一个极限值与之对应,由这个对应法则就确定了D 上的一个函数,称它为函数列}{n f 的极限函数.记作f .于是有 )()(lim x f x f n n =∞ →, D x ∈,或 )()(x f x f n →)(∞→n ,D x ∈. 函数列极限的N -ε定义是： 对每一个固定的D x ∈,对0>?ε,0>?N （注意：一般说来N 值的确定与ε和x 的值都有关）,使得当N n >时,总有 ε<-)()(x f x f n . 使函数列}{n f 收敛的全体收敛点的集合,称为函数列}{n f 的收敛域. 例1 设n n x x f =)(, ,2,1=n 为定义在),(∞-∞上的函数列,证明它的收敛域是]1,1(-,且有极限函数 ? ??=<=1,11 ,0)(x x x f (3) 证明：因为定义域为),(∞-∞,所以根据数列收敛的定义可以将),(∞-∞分为四部分 (i) 10<ε（不妨设1<ε）,当10<时,就有ε<-)()(x f x f n . (ii)0=x 和1=x 时,则对任何正整数n ,都有 ε<=-0)0()0(f f n ,ε<=-0)1()1(f f n . (iii) 当1>x 时,则有)(∞→+∞→n x n , (iv) 当1-=x 时,对应的数列为 ,1,1,1,1--,它显然是发散的. 这就证得{}n f 在]1,1(-上收敛,且有(3)式所表示的极限函数.所以函数列{}n x 在区

解析函数的级数表示(练习题)

基本要求 1． 正确理解级数收敛、发散等概念，了解无穷级数收敛的充分必要条件。 2． 了解绝对收敛及条件收敛的概念及其关系。 3． 掌握简单幂级数的收敛半径和收敛区域的求法。 4． 清楚地知道幂级数的收敛范围是圆域以及它在收敛圆内的性质、有理运算与分析运算。 5． 要求会把比较简单的解析函数用适当的方法展开成泰勒级数，并指出其收敛半径，要记住几个主要的初等函数的泰勒展开式。 6． 要求会把比较简单的函数环绕它的孤立奇点用适当的方法展开成洛朗级数。 一、填空题 1．函数131()z f z e z i -=-在0z =处泰勒展开式的收敛半径为（ 1 ）； 2．311z +的幂级数展开式为（ 30(1)n n n z ∞=-∑ ），收敛域为（ ||1z < ）； 3．函数21 ()(1)f z z =+展开成z 的幂级数，有()f z = （ 211123(1),||1n n z z nz z ---+-+-+< ）； 4．设C 为单位圆周||1z =内包围原点的任一条正向简单闭曲线，则 2()n C n z dz ∞=-=∑? （ 2i π ）； 5．若幂级数0n n n c z ∞=∑在1(1)2z = +处收敛，那么该级数在45 z i =处的敛散性为（ 绝对收敛 ）。 二、计算下列各题 1． 求1()1z f z e z =-在区域（1）||1z <，（2）0|1|z <-<+∞的幂级数展开式。 解：（1）211,||11n z z z z z =++++<- ，21,2!! n z z z e z n =++++ 22()(1)(1)2!!n n z z f z z z z z n ?=+++++++++ 21111111(1)(1)(1)1!1!2!1!2!! n z z z n =++++++++++++

第十二讲函数列与函数项级数

第十二讲函数列与函数项级数 12 . 1 函数列与函数项级数的收敛与一致收敛 一、函数列 （一）函数列的收敛与一致收敛 1 ．逐点收敛 函数列(){}I x x f n ∈,，若对I x ∈?，数列(){}x f n 都收敛，则称函数列在区间 I 上逐点收敛，记 ()()I x x f x f n n ∈=∞ →,lim ，称()x f 为(){}x f n 的极限函数．简记为 ()()()I x n x f x f n ∈∞→→, 2 ．逐点收敛的N -ε定义 对I x ∈? ，及 0>?ε，()0,>=?εx N N ，当N n > 时，恒有()()ε<-x f x f n 3 ．一致收敛 若函数列(){}x f n 与函数()x f 都定义在区间 I 上，对 0,0>?>?N ε，当N n > 时，对一切I x ∈恒有()()ε<-x f x f n ，则称函数列(){}x f n 在区间 I 上一致收敛于()x f ．记为()()()I x n x f x f n ∈∞→?, . 4 ．非一致收敛 00>?ε，对N n N >?>?0,0，及I x ∈?0，使得 ()()0000ε≥-x f x f n 例 12 . 1 证明()n n x x f =在[]1,0逐点收敛，但不一致收敛． 证明：当[]1,0∈x 时，()0lim lim ==∞ →∞ →n x n n x x f ，当1=x 时，()11lim =∞ →n n f ，即极限函数 为()[)???=∈=1 ,11,0,0x x x f ．但 ()x f n 非一致收敛，事实上，取031 0>=ε。对0>?N ，取 N N n >+=10，取()1,02101 0∈? ? ? ??=n x · 此时()()00002100ε>==-n x x f x f n ， 即()()()[]1,0,∈∞→≠>x n x f x f n 5 ．一致收敛的柯西准则 函数列(){}x f n 在 I 上一致收敛?对 0,0>?>?N ε，当 n , m > N 时，对一切I x ∈，

数学分析之函数极限

第三章 函数极限 教学目的： 1.使学生牢固地建立起函数极限的一般概念，掌握函数极限的基本性质； 2.理解并运用海涅定理与柯西准则判定某些函数极限的存在性； 3.掌握两个重要极限 和 ，并能熟练运用； 4.理解无穷小（大）量及其阶的概念，会利用它们求某些函数的极限。 教学重（难）点： 本章的重点是函数极限的概念、性质及其计算；难点是海涅定理与柯西准则的应用。 教学时数：14学时 § 1 函数极限概念 （2学时） 教学目的：使学生建立起函数极限的准确概念；会用函数极限的定义证明函数极限等有关命题。 教学要求：使学生逐步建立起函数极限的δε-定义的清晰概念。会应用函数极限的δε-定义证明函数的有关命题，并能运用δε-语言正确表述函数不以某实数为极限等相应陈述。 教学重点：函数极限的概念。 教学难点：函数极限的δε-定义及其应用。 一、 复习：数列极限的概念、性质等 二、 讲授新课： （一） 时函数的极限：

以时和为例引入. 的直观意义. 介绍符号: 的意义, 定义 ( 和 . ) 几何意义介绍邻域 其中为充分大的正数．然后用这些邻域语言介绍几何意义． 例1 验证 例2 验证 例3 验证 证…… 时函数的极限： （二） 由考虑时的极限引入. 定义函数极限的“”定义. 几何意义. 用定义验证函数极限的基本思路.

例4 验证 例5验证 例6 验证 证由= 为使需有 为使需有 于是, 倘限制 , 就有 例7 验证 例8 验证 ( 类似有 （三）单侧极限: 1．定义：单侧极限的定义及记法. 几何意义: 介绍半邻域

然后介绍等的几何意义. 例9 验证 证考虑使的 2.单侧极限与双侧极限的关系: Th 类似有: 例10 证明: 极限不存在. 例11 设函数 在点的某邻域内单调. 若存在, 则有 = §2 函数极限的性质（2学时） 教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质。 教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。 教学重点：函数极限的性质及其计算。 教学难点：函数极限性质证明及其应用。 教学方法：讲练结合。 一、组织教学：

第四章解析函数的级数表示(3)

第四章 解析函数的级数表示 §1. 复数项级数 一. 复数序列的极限 定义： 设{}n z 为一个复数序列，其中n n n y i x z +=， 又设000y i x z +=为一个复定值. 若 ,0,0>?>?N ε使得,N n >?有不等式 ε<-0z z n 恒成立，则称复数序列{}n z 收敛于0z ，或称 {}n z 以0z 为极限，记作 0lim z z n n =∞ → 或()∞→→n z z n 0. 如果对于任意复数0z ，上式均不成立，则称复数序列{}n z 不收敛或发散. 定理1 设000y i x z +=，n n n y i x z +=，则 ?????==?=∞ →∞→∞→.lim ,lim lim 000y y x x z z n n n n n n 定理1说明: 可将复数列的敛散性转化为判别两 个实数列的敛散性.

二. 复数项级数 定义： 设{}n z 为一个复数序列，表达式 +++++n z z z z 321 称为复数项无穷级数.如果它们的部分和序列 () 2,1321=++++=n z z z z S n n 有极限S S n n =∞ →lim （有限复数），则称级数是收敛的，S 称为级数的和；如果{}n S 没有极限，则称级数是发散的. 例1. 当1

函数列与函数项级数

第十三章 函数列与函数项级数 §1 一致收敛性 (一) 教学目的： 掌握函数序列与函数项级数一致收敛性的定义，函数序列与函数项级数一致收敛性判别的柯西准则，函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法． (二) 教学内容： 函数序列与函数项级数一致收敛性的定义；函数序列与函数项级数一致收敛性判别的柯西准则；函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法． 基本要求： 1）掌握函数序列与函数项级数一致收敛性的定义，函数序列与函数项级数一致 收敛性判别的柯西准则，函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法． (2) 较高要求：掌握狄利克雷判别法和阿贝尔判别法． (三) 教学建议： (1) 要求学生必须掌握函数序列与函数项级数一致收敛性的定义，函数序列与函数项 级数一致收敛性判别的柯西准则，函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法． (2) 对较好学生可要求他们掌握狄利克雷判别法和阿贝尔判别法． ———————————————————— 一 函数列及其一致收敛性 对定义在区间I 上的函数列E x x f n ∈},)({，设 E x ∈0，若数列 })({0x f n 收敛，则称函数列})({x f n 在点0x 收敛，0x 称为函数列})({x f n 收敛点；若数列 })({0x f n 发散，则称函数列})({x f n 在点0x 发散。 使函数列})({x f n 收敛的全体收敛点集合称为函数列})({x f n 收敛域（ 注意定义域与收敛域的区别 ）。 若函数列})({x f n 在数集E D ?上每一点都收敛，则称函数列})({x f n 在数集D 上收敛，这时D 上每一点x ，都有函数列的一个极限值

《数学分析》5第一章§3函数概念

授课章节：第一章 §３ 函数概念 教学目的：使学生深刻理解函数概念。 教学要求：（１）深刻理解函数的定义以及复合函数、反函数和初等函数的定义，熟悉函数的各种表示方法； （２）牢记基本初等函数的定义、性质及其图象。会求初等函数的存在域，会分析初等函数的复 合关系。 教学重点：函数的概念。 教学难点：初等函数复合关系的分析。 教学方法：课堂讲授，辅以提问、练习、部分内容可自学。 教学程序： 引言：关于函数概念，在中学数学中已有了初步的了解。为便于今后的学习，本节将对此作进一步讨 论。 一 函数的定义 １．定义１ 设,D M R ?，如果存在对应法则f ，使对x D ?∈，存在唯一的一个数y M ∈与之对应，则称f 是定义在数集Ｄ上的函数，记作:f D M →(|x y →). 函数f 在点x 的函数值，记为()f x ，全体函数值的集合称为函数f 的值域，记作()f D 。即 {}()|(),f D y y f x x D ==∈。 ２．几点说明 （1）函数定义的记号中“:f D M →”表示按法则f 建立Ｄ到Ｍ的函数关系，|x y →表示这两个数集中元素之间的对应关系，也记作|()x f x →。习惯上称x 自变量，y 为因变量。 （2） 函数有三个要素，即定义域、对应法则和值域。当对应法则和定义域确定后，值域便自然确定下来。因此，函数的基本要素为两个：定义域和对应法则。所以函数也常表示为：(),y f x x D =∈. 由此，我们说两个函数相同，是指它们有相同的定义域和对应法则。 例如：1）()1,,f x x R =∈ {}()1,\0.g x x R =∈（不相同，对应法则相同，定义域不同） 2）()||,,x x x R ?=∈ ().x x R ψ=∈（相同，对应法则的表达形式不同） 。 （3）函数用公式法（解析法）表示时，函数的定义域常取使该运算式子有意义的自变量的全体，通常称为存在域（自然定义域）。此时，函数的记号中的定义域Ｄ可省略不写，而只用对应法则f 来表示一个函数。即“函数()y f x =”或“函数f ”。 （4）“映射”的观点来看，函数f 本质上是映射，对于a D ∈，()f a 称为映射f 下a 的象。a 称为()f a 的原象。 （5）函数定义中，x D ?∈，只能有唯一的一个y 值与它对应，这样定义的函数称为“单值函数”，若对同一个x 值，可以对应多于一个y 值，则称这种函数为多值函数。本书中只讨论单值函数（简称函数）。 （６）定义１中的定义是Cauchy 于1834年给出。不是完美的、现代意义上的函数定义。事实上，函数定义的产生也经历了一个从无到有，从具体到抽象。从特殊到一般，从不完美到逐步完美的过程。这个进程

第四章 解析函数的幂级数表示方法

第四章 解析函数的幂级数表示方法 第一节 级数和序列的基本性质 1、复数项级数和复数序列： 复数序列就是： 111222,,...,,...n n n z a ib z a ib z a ib =+=+=+在这里，n z 是复数， ,Im ,Re n n n n b z a z ==一般简单记为}{n z 。按照|}{|n z 是有界或无界序列， 我们也称}{n z 为有界或无界序列。 设0z 是一个复常数。如果任给0ε>，可以找到一个正数N ，使得当 n>N 时 ε<-||0z z n , 那么我们说{}n z 收敛或有极限0z ，或者说{}n z 是收敛序列，并且收敛于0z ，记作 0lim z z n n =+∞ →。 如果序列{}n z 不收敛，则称{}n z 发散，或者说它是发散序列。 令0z a ib =+，其中a 和b 是实数。由不等式 0||||||||||n n n n n a a b b z z a a b b --≤-≤-+-及 容易看出，0lim z z n n =+∞ →等价于下列两极限式： ,lim ,lim b b a a n n n n ==+∞ →+∞ → 因此，有下面的注解： 注1、序列{}n z 收敛（于0z ）的必要与充分条件是：序列{}n a 收敛（于a ）以及序列{}n b 收敛（于b ）。 注2、复数序列也可以解释为复平面上的点列，于是点列{}n z 收敛于

0z ，或者说有极限点0z 的定义用几何语言可以叙述为：任给0z 的一个 邻域，相应地可以找到一个正整数N ，使得当n N >时，n z 在这个邻域内。 注3、利用两个实数序列的相应的结果，我们可以证明，两个收敛复数序列的和、差、积、商仍收敛，并且其极限是相应极限的和、差积、商。 定义4.1复数项级数就是 12......n z z z ++++ 或记为1 n n z +∞ =∑，或n z ∑，其中n z 是复数。定义其部分和序列为： 12...n n z z z σ=+++ 如果序列{}n σ收敛，那么我们说级数n z ∑收敛；如果{}n σ的极限是 σ，那么说n z ∑的和是σ，或者说n z ∑收敛于σ，记作 1 n n z σ+∞ ==∑， 如果序列{}n σ发散，那么我们说级数n z ∑发散。 注1、对于一个复数序列{}n z ，我们可以作一个复数项级数如下 121321()()...()...n n z z z z z z z -+-+-++-+ 则序列{}n z 的敛散性和此级数的敛散性相同。 注2级数 n z ∑收敛于σ的N ε-定义可以叙述为： 0,0,,N n N ε?>?>>使得当时有 1 ||n k k z σε=-<∑， 注3如果级数n z ∑收敛，那么

幂级数概念

§ 11. 3 幂 级 数 一、函数项级数的概念 函数项级数: 给定一个定义在区间I 上的函数列{u n (x )}, 由这函数列构成的表达式 u 1(x )+u 2(x )+u 3(x )+ ? ? ? +u n (x )+ ? ? ? 称为定义在区间I 上的(函数项)级数, 记为∑∞ =1)(n n x u . 收敛点与发散点: 对于区间I 内的一定点x 0, 若常数项级数∑∞ =1 0)(n n x u 收敛, 则称 点x 0是级数∑∞ =1)(n n x u 的收敛点. 若常数项级数∑∞ =1 0)(n n x u 发散, 则称 点x 0是级数∑∞ =1 )(n n x u 的发散点. 收敛域与发散域: 函数项级数∑∞ =1)(n n x u 的所有收敛点的全体称为它的收敛域, 所 有发散点的全体称为它的发散域. 和函数: 在收敛域上, 函数项级数∑∞ =1)(n n x u 的和是x 的函数s (x ), s (x )称为函数项级数∑∞=1 )(n n x u 的和函数, 并写成∑∞ ==1 )()(n n x u x s . ∑u n (x )是∑∞ =1 )(n n x u 的简便记法, 以下不再重述. 在收敛域上, 函数项级数∑u n (x )的和是x 的函数s (x ), s (x )称为函数项级数∑u n (x )的和函数, 并写成s (x )=∑u n (x ). 这函数的定义就是级数的收敛域, 部分和: 函数项级数∑∞ =1)(n n x u 的前n 项的部分和记作s n (x ), 函数项级数∑u n (x )的前n 项的部分和记作s n (x ), 即 s n (x )= u 1(x )+u 2(x )+u 3(x )+ ? ? ? +u n (x ).

函数列与函数项级数

第十三章函数列与函数项级数 教学目的：1.使学生理解怎样用函数列（或函数项级数）来定义一个函数；2.掌握如何利用函数列（或函数项级数）来研究被它表示的函数的性质。 教学重点难点：本章的重点是函数列一致收敛的概念、性质；难点是一致收敛的概念、判别及应用。 教学时数：20学时 § 1 一致收敛性 一． 函数列及极限函数：对定义在区间I上的函数列，介绍概念：收敛点，收敛域（注意定义域与收敛域的区别），极限函数等概念. 逐点收敛 ( 或称为“点态收敛” )的“ ”定义. 例1 对定义在 内的等比函数列, 用“”定义验证其收敛域为 , 且 例2 .用“”定义验证在内. 例3 考查以下函数列的收敛域与极限函数: . ⑴. .

⑵. . ⑶设 为区间上的全体有理数所成数列. 令 , . ⑷. , . ⑸ 有 , , . （注意.） 二. 函数列的一致收敛性: 问题: 若在数集D上, . 试问: 通项 的解析性质是否必遗传给极限函数 ? 答案是否定的. 上述例1、例3⑴⑵说明连续性未能遗传,而例3⑶说明可积性未能遗传. 例3⑷⑸说明虽然可积性得到遗传, 但 . 用函数列的极限表示函数是函数表达的一种重要手段. 特别是表达非初等 函数的一种手段. 对这种函数, 就是其表达式.于是,由通项函数的解 析性质研究极限函数的解析性质就显得十分重要. 那末, 在什么条件下通项函

数的解析性质能遗传给极限函数呢? 一个充分条件就是所谓“一致收敛”. 一致收敛是把逐点收敛加强为所谓“整体收敛”的结果. 定义( 一致收敛 ) 一致收敛的几何意义. Th1 (一致收敛的Cauchy准则 ) 函数列 在数集D上一致收敛, , . ( 介绍另一种形式.) 证 ( 利用式) ,……,有 易见逐点收敛. 设 , 对D成立, . 令 , ，D. 即 推论1 在D上 , ，. D , 推论2 设在数集D上, . 若存在数列 使, 则函数列 在数集D上非一致收敛时, 常选为函数 ―在数集D上的最值点. . 证明函数列在R内一致收敛. 例4

数学分析课程简介

导言数学分析课程简介 一、数学分析(mathematical analysis)简介: 1.背景: 从切线、面积、计算 sin、实数定义等问题引入. 32 2.极限 ( limit ) ——变量数学的基本运算： 3.数学分析的基本内容：数学分析以极限为基本思想和基本运算研究变实值 函数.主要研究微分(differential)和积分(integration)两种特殊的极限运算, 利用这两种运算从微观和宏观两个方面研究函数, 并依据这些运算引进并研究 一些非初等函数. 数学分析基本上是连续函数的微积分理论. 微积运算是高等数学的基本运算. 数学分析与微积分(calculus)的区别. 二、数学分析的形成过程： 1.孕育于古希腊时期：在我国，很早就有极限思想. 纪元前三世纪, Archimedes就有了积分思想. 2.十七世纪以前是一个漫长的酝酿时期,是微积分思想的发展、成果的积累 时期. 3.十七世纪下半叶到十九世纪上半叶——微积分的创建时期. 4.十九世纪上半叶到二十世纪上半叶——分析学理论的完善和重建时 期： 三、数学分析课的特点: 逻辑性很强, 很细致, 很深刻; 先难后易, 是说开头四章有一定的难度, 倘能努力学懂前四章(或前四章的 ), 后面的学习就会容易一些; 只要

在课堂上专心听讲, 一般是可以听得懂的, 但即便能听懂, 习题还是难以顺利完成. 这是因为数学分析技巧性很强, 只了解基本的理论和方法, 不辅以相应的技巧, 是很难顺利应用理论和方法的. 论证训练是数学分析课基本的,也是重要的内容之一, 也是最难的内容之一. 一般懂得了证明后, 能把证明准确、严密、简练地用数学的语言和符号书写出来，似乎是更难的一件事. 因此, 理解证明的思维方式, 学习基本的证明方法, 掌握叙述和书写证明的一般语言和格式, 是数学分析教学贯穿始终的一项任务. 有鉴于此, 建议的学习方法是: 预习, 课堂上认真听讲, 必须记笔记, 但要注意以听为主, 力争在课堂上能听懂七、八成. 课后不要急于完成作业, 先认真整理笔记, 补充课堂讲授中太简或跳过的推导, 阅读教科书, 学习证明或推导的叙述和书写. 基本掌握了课堂教学内容后, 再去做作业. 在学习中, 要养成多想问题的习惯. 四、课堂讲授方法: 1.关于教材及参考书:这是大学与中学教学不同的地方, 本课程主要从以下教科书中取材: [1]华东师范大学数学系编，数学分析(第三版)，高等教育出版社，2001； [2] 陈纪修於崇华等编，《数学分析》（第二版）高等教育出版社，2001 [3]谢惠民，恽自求等数学分析习题课讲义，高等教育出版社，2003； [4]马振民，数学分析的方法与技巧选讲，兰州大学出版社，1999； [5]林源渠，方企勤数学分析解题指南，北京大学出版社，2003. 2.本课程按[1]的逻辑顺序并在其中取材.本课程为适应教学改革的要求，只介绍数学分析最基本的内容，并加强实践环节，注重学生的创新能力的培养。带星号的内容略讲或删去，相应的内容作为选修课将在数学分析方法课开设.

幂级数求和函数方法概括与汇总

幂级数求和函数方法概括与汇总

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常见幂级数求和函数方法综述 引言 级数是高等数学体系的重要组成部分，它是在生产实践和科学实验推动下逐步形成和发展起来的。中国魏晋时期的数学家刘徽早在公元263年创立了“割圆术”，其要旨是用圆内接正多边形去逐步逼近圆，从而求得圆的面积。这种“割圆术”就已经建立了级数的思想方法，即无限多个数的累加问题。而将一个函数展开成无穷级数的概念最早来自于14世纪印度的马徳哈瓦，他首先发展了幂级数的概念，对泰勒级数、麦克劳林级数、无穷级数的有理数逼近等做了研究。同时，他也开始讨论判断无穷级数的敛散性方法。到了19世纪，高斯、欧拉、柯西等各自给出了各种判别级数审敛法则，使级数理论全面发展起来。中国传统数学在幂级数理论研究上可谓一枝独秀，清代数学家董祐诚、坎各达等运用具有传统数学特色的方法对三角函数、对数函数等初等函数幂级数展开问题进行了深入的研究。而今，级数的理论已经发展的相当丰富和完整，在工程实践中有着广泛的应用，级数可以用来表示函数、研究函数的性质、也是进行数值计算的一种工具。它在自然科学、工程技术和数学本身方面都有广泛的作用。 幂级数是一类最简单的函数项级数，在幂级数理论中，对给定幂级数分析其收敛性，求收敛幂级数的和函数是重要内容之一。但很多人往往对这一内容感到困难。产生这一问题的一个重要原因是教材对这一问题讨论较少，仅有的一两个例题使得我们对幂级数求和中的诸多类型问题感到无从下手。事实上，求幂级数和函数的方法与技巧是多种多样的，一般要综合运用求导、拼凑、分解等来求解，因此它是一个难度较大、技巧较高的有趣的数学问题。 一、幂级数的基本概念 （一）、幂级数的定义 [1] 1、设()(1,2,3 )n u x n =是定义在数集E 上的一个函数列，则称 12()()(),n u x u x u x x E ++++ ∈ 为定义在E 上的函数项级数，简记为1 ()n n u x ∞=∑ 。 2、具有下列形式的函数项级数 2 00102000 ()()()()n n n n n a x x a a x x a x x a x x ∞ =-=+-+-+ +-+ ∑

复变函数第四章解析函数的幂级数表示法知识点总结

第四章解析函数的幂级数表示法 §1、复级数的基本性质 1、(定理4、1)复级数收敛的充要条件:实部虚部分别收敛。 2、(定理4、2)复级数收敛的充要条件(用定义):对任给的>0,存在正整数N(),当n>N 且p为任何正整数时, 注1:收敛级数通项必趋近于零; 注2:收敛级数各项必有界; 注3:级数省略有限个项不改变敛散性。 3、(定理 4、3)收敛 4、(定理4、4) (1)绝对收敛的复级数可任意重排,不改变收敛性,不改变与; (2)两个绝对收敛的复级数可按对角线方法得出乘积(柯西积)级数,也绝对收敛于。 5、一致收敛的定义:对任给的>0以及给定的,存在正整数N=N(,z),当n>N时,有

式中 6、不一致收敛的定义 7、(定理4、5 柯西一致收敛准则):级数收敛的充要条件就是:任给>0,存在正整数N=N(),使当n>N时,对一切,均有 8、(定理4、5’不一致收敛准则): 9、(优级数准则):如果有正数列,使对一切,有|)|≤,且正项级数 收敛复级数在集E上绝对收敛且一致收敛。 10、优级数定义:称为的优级数。 11、(定理4、6)级数各项在点集E上连续,且一致收敛于f(z),则与函数 也在E上连续。 12、(定理4、7 积分求与符号可交换)级数的各项在曲线C上连续,且一致收敛于f(z),则沿C可逐项积分 13、内闭一致收敛:有界闭集上一致收敛 14、(定理4、8)在圆K:|z-a|

15、(定理4、9 魏尔斯特拉斯定理):设(1)函数在区域D内解 析;(2)在D内内闭一致收敛于函数f(z): 则: (1)f(z)在D内解析; (2) (3)在D内内闭一致收敛于 §2、幂级数 1、(定理4、10 阿贝尔定理):幂级数在某点(≠a)收敛它必在 圆K:|z-a|<|-a|(以a为圆心,圆周通过的圆)内绝对收敛且内闭一致收敛。 2、(推论4、11):幂级数在某点(≠a)发散在以a为圆心,圆周通过的圆周外发散。 3、收敛半径:圆周内部绝对收敛,圆周外部发散。 4、(定理4、12 收敛半径R的求法柯西-阿达马公式):(不能缺项)如果幂级数 的系数满足: 或