高中不等式最全的讲义老师版
一．不等式的性质：
1．同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若,a bc d >>，则a c b d +>+（若,a b c d ><，则a c b d ->-），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减；
2．左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若0,0a b c d >>>>，则ac bd >（若0,0a b c d >><<，则
a b c d
>）；
3．左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若0a b >>，则n n a b >或n
n a b >；
4．若0ab >，a b >，则
11a b
<；若0ab <，a b >，则
11a
b
>
。如
（1）对于实数c b a ,,中，给出下列命题：
①22,bc ac b a >>则若； ②b a bc ac >>则若,22； ③22,0b ab a b a >><<则若； ④b
a b a 11,0<<<则若；
⑤b
a a
b b a ><<则
若,0； ⑥b a b a ><<则若,0；
⑦b
c b a
c a
b a
c ->
->>>则
若,0； ⑧11,
a b a
b
>>
若，则0,0a b ><。
其中正确的命题是______
（答：②③⑥⑦⑧）；
（2）已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则3x y -的取值范围是______
（答：137x y ≤-≤）； （3）已知c b a >>，且,0=++c b a 则
a
c 的取值范围是______
（答：12,2?
?
-- ??
?
）
二．不等式大小比较的常用方法：
1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； 2．作商（常用于分数指数幂的代数式）； 3．分析法； 4．平方法；
5．分子（或分母）有理化； 6．利用函数的单调性； 7．寻找中间量或放缩法 ；
8．图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。如
（1）设0,10>≠>t a a 且，比较2
1
log
log 21
+t t a
a 和的大小
（答：当1a >时，
11log log 2
2
a a
t t +≤（1t =时取等号）；当01a <<时，
11log log 2
2
a a
t t +≥（1t =时取等号））；
（2）设2a >，12
p a a =+-，2
42
2-+-=a a
q ，试比较q p ,的大小
（答：p q >）；
（3）比较1+3log x 与)10(2log 2≠>x x x 且的大小 （答：当01x <<或43
x >
时，1+3log x ＞2log 2x ；当413
x <<
时，1+3log x ＜
2log 2x ；当43
x =
时，1+3log x ＝2log 2x ）
三．利用重要不等式求函数最值时，你是否注意到：“一正二定三相等，和定积最大，积定和最小”这17字方针。如 （1）下列命题中正确的是 A 、1y x x
=+
的最小值是2 B 、2
2
32
x y x +=
+的最小值是2
C 、423(0)y x x x =-->的最大值是243-
D 、423(0)y x x x
=--
>的最小值是243
-
（答：C ）；
（2）若21x y +=，则24x y +的最小值是______
（答：22）；
（3）正数,x y 满足21x y +=，则
y
x 11+的最小值为______
（答：322+）；
4.常用不等式有：（1）
22
22
2
11a b
a b ab a b
++≥≥
≥
+(根据目标不等式左右
的运算结构选用) ；（2）a 、b 、c ∈R ，222a b c ab bc ca ++≥++（当且仅当a b c ==时，取等号）；（3）若0,0a b m >>>，则b b m a
a m
+<
+（糖水的浓度问题）。如
如果正数a 、b 满足3++=b a ab
，则ab
的取值范围是_________
（答：[)9,+∞）
五．证明不等式的方法：比较法、分析法、综合法和放缩法(比较法的步骤是：
作差（商）后通过分解因式、配方、通分等手段变形判断符号或与1的大小，然后作出结论。).
常用的放缩技巧有：2
1
1111111(1)(1)1
n
n n n n
n n n n
-
=
<<
=
-
++--
11111121k k k k k k k
k k
+-
=
<
<
=
-
+++
-+
（1）已知c b a >>，求证：222222ca bc ab a c c b b a ++>++ ；
证一：)()()(2
2
2
222a c ca c b bc b a ab ca
bc
ab a c c b b a -+-+-=---++
)
()()()()()()(b a ca c b ca c b bc b a ab a b b c ca c b bc b a ab -----+-=-+-+-+-=
)(,0))()(())(())((c b a c a c b b a a b c b c c b b a a >>>---=--+--=
∴2
22222ca bc ab a c c b b a ++>++，证毕。 证二：)()()(2
222
2
2
222b a c a c b c b a ca
bc
ab a c c b b a -+-+-=---++
))(())(()()()(2
2
2
2
2
22b c b a b a c b b a c a b b c b c b a --+--=-+-+-+-=
0))()(())()(())()((>---=+---+--=c a c b b a c b c b b a b a b a c b
（2）求证：
n
n
1213
12
112
2
2
-
<+
+++
（2≥n ）
证明：
n n n n n
1
1
1)
1(112
-
-=
-<
（2≥n ）
n n n n 12111)3121()2111(1131211222-
=--++-+-+<++++∴ ∴原不等式成立，证毕。
六．简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：（1）分解成若干个一次
因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；（3）根据曲线显现()f x 的符号变化规律，写出不等式的解集。如
（1）解不等式2(1)(2)0x x -+≥。
（答：{|1x x ≥或2}x =-）；
（2）不等式2(2)230x x x ---≥的解集是____
（答：{|3x x ≥或1}x =-）；
（3）设函数()f x 、()g x 的定义域都是R ，且()0f x ≥的解集为{|12}x x ≤<，()0g x ≥的解集为?，则不等式()()0f x g x > 的解集为______
（答：(,1)[2,)-∞+∞ ）； （4）要使满足关于x 的不等式0922<+-a x x （解集非空）的每一个x 的值
至少满足不等式08603422<+-<+-x x x x 和中的一个，则实数a 的取值范围是______.
（答：81[7,
)8）
七．分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通
分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。如
（1）解不等式
2
5123
x x x -<---
（答：(1,1)(2,3)- ）；
（2）关于x 的不等式0>-b ax 的解集为),1(+∞，则关于x 的不等式
02
>-+x b ax 的解集为____________
（答：),2()1,(+∞--∞ ）.
八．绝对值不等式的解法：
1．分段讨论法（最后结果应取各段的并集）：如解不等式|2
1|2|4
32|+
-≥-x x
（答：x R ∈）； （2）利用绝对值的定义；
（3）数形结合；如解不等式|||1|3x x +->
（答：(,1)(2,)-∞-+∞ ）
（4）两边平方：如
1、若不等式|32||2|x x a +≥+对x R ∈恒成立，则实数a 的取值范围为______。
（答：4
{}3）
2、（1）解不等式（1）923<-≤x ；（2）x x 2143+>-
解：（1）原不等式化为：???<<-≥-≤?????
?<-≥-11751923
2x x x x x 或
}
115,17{<≤-≤<-∴x x x 或原不等式的解为：
（2）原不等式化为：??
?->-<-???->-≥-x
x x x x x 213404321430
43或
解得 5
35<
>x x 或
}5,5
3{><
∴x x x 或不等式的解集为：
九．含参不等式的解法：求解的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键．”注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是…”。注意：按参数讨论，最后应按参数取值分别说明其解集；但若按未知数讨论，最后应求并集. 如
（1）解不等式
2
()1
ax
x a R ax >∈-
（答：0a =时，{|x 0}x <；0a >时，1{|x x a
>或0}x <；
0a <时，1{|0}
x x a
<<或0}x <）
提醒：（1）解不等式是求不等式的解集，最后务必有集合的形式表示；（2）
不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值。
如关于x 的不等式0>-b ax 的解集为)1,(-∞，则不等式0
2>+-b
ax x 的解集为
__________（答：（－1,2））
不等式课后练习
1、已知31,11≤-≤≤+≤-y x y x ，求y x -3的取值范围。 解： )(2)(13y x y x y x -?++?=-
根据已知条件：731,3*2132*11≤-≤+≤-≤+-y x y x 所以y x -3的取值范围是[]7,1
2、已知：a 、b 都是正数，且1a b +=，1a a
α=+
，1b b
β=+
，求αβ+的最小值
解：b a , 是正数，41,4122
≥∴
=??
?
??+≤∴ab b a ab 5111)11(
)(11≥+
=++
=+++=+
++
=+∴ab
ab
b a b a b a b
b a a βα
βα+∴的最小值是5，（当且仅当2/1==b a 时）。
3、若a 、b 、c 是不全相等的正数，求证：
lg lg
lg
lg lg lg 2
2
2
a b b c c a a b c
+++++>++；
4、已知函数2()(0)f x ax bx a =+≠满足1(1)2f ≤-≤，2(1)5f ≤≤，求(3)f -的取值范围。
解：由习已知得：52,21≤+≤≤-≤b a b a
设：???==???
?-=-=+?-++=-=-6
3
39
)()(39)3(n m n m n m b a n b a m b a f
27)3(12),1(*3)1(*6)3(≤-≤∴+-=-∴f f f f
所以)3(-f 的取值范围是[]27,12
高中数学解不等式方法+练习题
不等式 要求层次 重难点 一元二次不等式 C 解一元二次不等式 （一） 知识容 1．含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式不等式，叫做一元二次不等式． 一元二次不等式的解集，一元二次方程的根及二次函数图象之间的关系如下表（以0a >为例）： 有关含有参数的一元二次不等式问题，若能把不等式转化成二次函数或二次方程，通过根的判别式或数形结合思想，可使问题得到顺利解决．其方法大致有：①用一元二次方程根的判别式，②参数大于最大值或小于最小值，③变更主元利用函数与方程的思想求解． 判别式 24b ac ?=- 0?> 0?= 0?< 二次函数 2y ax bx c =++ (0)a >的图象 一元二次方程 2 0ax bx c ++= (0)a ≠的根 有两相异实根 12,x x = 242b b ac a -±- 12()x x < 有两相等实根 122b x x a ==- 没有实根 一元二次不等式的解集 2 0ax bx c ++> (0)a > {1 x x x < 或}2x x > {R x x ∈，且 2b x a ?≠- ?? 实数集R 20ax bx c ++< (0)a > {}1 2x x x x << ? ? 例题精讲 高考要求 板块一：解一元二次不等式 解不等式
（二）主要方法 1．解一元二次不等式通常先将不等式化为20ax bx c ++>或20 (0)ax bx c a ++<>的形式，然后求出对应方程的根（若有根的话），再写出不等式的解：大于0时两根之外，小于0时两根之间； 2．分式不等式主要是转化为等价的一元一次、一元二次或者高次不等式来处理； 3．高次不等式主要利用“序轴标根法”解． （三）典例分析： 1.二次不等式与分式不等式求解 【例1】 不等式 1 12 x x ->+的解集是 ． 【变式】 不等式2230x x --+≤的解集为（ ） A ．{|31}x x x -或≥≤ B ．{|13}x x -≤≤ C ．{|31}x x -≤≤ D ．{|31}x x x -或≤≥ 【变式】 不等式 25 2(1)x x +-≥的解集是（ ） A ．132? ?-??? ? ， B ．132??-????， C ．(]11132??????U ，， D ．(]11132?? -???? U ，， 2.含绝对值的不等式问题 【例2】 已知n *∈N ，则不等式 220.011 n n -<+的解集为（ ） A ．{}|199n n n *∈N ≥， B ．{}|200n n n *∈N ≥， C ．{}|201n n n *∈N ≥， D ．{}|202n n n *∈N ≥， 【例3】 不等式 1 11 x x +<-的解集为（ ） A ．{}{}|01|1x x x x <<>U B ．{}|01x x << C ．{}|10x x -<< D ．{}|0x x < 【变式】 关于x 的不等式2121x x a a -+-++≤的解集为空集，则实数a 的取值围是 _． 【例4】 若不等式1 21x a x + -+≥对一切非零实数x 均成立，则实数a 的最大值是_________． 【例5】 若不等式34x b -<的解集中的整数有且仅有123，，，则b 的取值围为 ． 3.含参数不等式问题 【例6】 若关于x 的不等式22840x x a --->在14x <<有解，则实数a 的取值围是（ ） A ．4a <- B ．4a >- C ．12a >- D ．12a <- 【变式】 ⑴已知0a <，则不等式22230x ax a -->的解集为 . ⑵若不等式897x +<和不等式220ax bx +->的解集相同，则a b -=______．
基本不等式中“1的妙用教师版PDF
基本不等式中“1 的妙用” 例1：（1）已知,x y R *∈，21x y +=，求12x y +的最小值；（2）已知,x y R *∈，23x y +=，求12x y +的最小值；（3）已知,x y R *∈，322x y +=，求62x y +的最小值；（4）已知,x y R *∈，2x y xy +=，求2x y +的最小值； 【解析】这四个题目中，（1）是“1的替换”的最基础题目，已知整式的值为1，求分式的最小值，（2）是将已知值变成了3，需要调节系数，（3）是已知分式的值求整式的最值，（4）对分式进行等价变换. 【答案】（1）121222(2)()1459x y x y x y x y y x +=++=+++≥+=，当且仅当22x y y x =即13 x y ==时取等号. （2）121121221(2)(1453333x y x y x y x y y x +=++=+++≥+=（）（，当且仅当22x y y x =即13 x y ==时取等号. （3）1323662=(2)92182y x x y x y x y x y +++=+++≥+，当且仅当63x y y x =即 2 y ==时取等号. （4）因为2x y xy +=，所以121y x +=，然后1242=(+2y)(+)=48x y x y x y x y x +++≥，当且仅当4x y y x =即24x y ==时取等号.例2：（1）已知,x y R *∈，1x y +=，求 1213 x y +++的最小值；（2）已知,x y R *∈，1x y +=，求2211x y x y +++的最小值；（3）已知,x y R *∈，1x y +=，求1223 x y y +++的最小值；（4）已知,x y R *∈，231x y +=，求123x y y +++的最小值； 【解析】这四个题目：（1）是分式的分母分别加上一个常数，为了能够使用基本不等式，我们需要对整式也进行相应的变形；（2）在上一题的基础上，是分式的分子分母不再是一个常数而是二次项，需要分离出一个代数式，变成熟悉的形式；（3）在（1）的情况下分母进一步变化，不是加一个常数，而是混搭的形式；（4）在上一题的基础之上不再是直接观察出结果，而是需要配凑一个系数. 【答案】（1）整式变形成113x y +++=，
(完整版)高考数学-基本不等式(知识点归纳)
高中数学基本不等式的巧用 一．基本不等式 1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=” ） (3)若* ,R b a ∈，则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取 “=”）;若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ） 4.若R b a ∈,，则2 )2( 2 22b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的 积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2 ＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x 解：（1）y ＝3x 2 ＋12x 2 ≥2 3x 2 ·12x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） （2）当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知5 4x < ，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42)45 x x --g 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴->Q ，11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--? ?231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。
(新)高一数学不等式测试题
高中数学不等式训练习题
不等式训练1 A 一、选择题（六个小题，每题5分，共30分） 1．若02522 >-+-x x ，则221442-++-x x x 等于（ ） A ．54-x B ．3- C ．3 D ．x 45- 2．函数y ＝log 2 1（x ＋11+x ＋1） （x > 1）的最大值是 （ ） A ．－2 B ．2 C ．－3 D ．3 3．不等式x x --213≥1的解集是 ( ) A ．{x| 43≤x ≤2} B ．{x|4 3≤x ＜2} C ．{x|x ＞2或x ≤43} D ．{x|x ＜2} 4．设a ＞1＞b ＞－1,则下列不等式中恒成立的是 ( ) A ．b a 11< B ． b a 11> C ．a ＞b 2 D ．a 2＞2b 5．如果实数x,y 满足x 2＋y 2=1,则(1－xy) (1＋xy)有 ( ) A ．最小值 21和最大值1 B ．最大值1和最小值4 3 C ．最小值43而无最大值 D ．最大值1而无最小值 6．二次方程x 2＋(a 2＋1)x ＋a －2=0,有一个根比1大,另一个根比－1小, 则a 的取值范围是 ( ) A ．－3＜a ＜1 B ．－2＜a ＜0 C ．－1＜a ＜0 D ．0＜a ＜2 二、填空题（五个小题，每题6分，共30分） 1．不等式组? ??->-≥32x x 的负整数解是____________________。 2．一个两位数的个位数字比十位数字大2，若这个两位数小于30， 则这个两位数为____________________。 3．不等式0212<-+x x 的解集是__________________。 4．当=x ___________时，函数)2(22x x y -=有最_______值，其值是_________。 5．若f(n)=)(21)(,1)(,122N n n n n n n g n n ∈= --=-+?,用不等号 连结起来为____________.
高中数学不等式练习题
1、设恒成立的c的取值范围是 A．B．C．D． 2、设，且（其中），则M的取值范围是A．B．C．D． 3、若实数、满足，则的取值范围是 A．B．C．D． 4、已知，，，则的最小值是（） （Ａ）（Ｂ）4（Ｃ）（Ｄ） 5、若不等式组所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分，则的值是 (A)(B)(C)(D) 6、已知，若在上恒成立，则实数的取值范围是（）
A．B．C．D． 7、已知正实数满足，则的最小值为。 8、如图，目标函数可行域为四边形（含边界），若是该目标函数的最优解，则的取值范围是() （A）（B）（C）（D） 的最大值与最小值之和为 9、函数，当时，恒成立,则 D. 10、已知正数满足，则的最小值为 A．3B．C．4D． 11、二次函数轴两个交点的横坐标分别为。（1）证明：；（2）证明：； （3）若满足不等式的取值范围。 12、设满足约束条件，若目标函数的最大值为10，则的最小值为.
13、已知对任意实数x，二次函数f(x)=ax2+bx+c恒非负，且a VIP 免费 欢迎下载 学生姓名： 任课教师： 试卷审查教师： 测试科目： 涉及章节： 教师评语： 不等是知识点 ★ 知 识 梳理 ★ 1.基本形式:,a b R ∈,则222a b ab +≥;0,0a b >>,则2a b ab +≥,当且仅当a b =时等号成立. 2求最值:当ab 为定值时,22,a b a b ++有最小值;当a b +或22a b +为定值时,ab 有最大值(0,0a b >>). 3.拓展：若0,0a b >>时,22 2 1122a b a b ab a b ++≤≤≤+,当且仅当a b =时等号成立. ★ 重 难 点 突 破 ★ 1.重点：理解基本不等式2 a b ab +≤ 等号成立条件，掌握用基本不等式证明不等式 会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题. 2.难点：利用基本不等式2a b ab +≤求最大值、最小值 3.重难点：正确运用基本不等式证明不等式，会用基本不等式求某些函数的最值 二 方法技巧讲解 (1) 灵活运用基本不等式处理不等关系 问题1. 已知正数x 、y 满足x +2y =1，求 x 1+y 1的最小值. 点拨：∵x 、y 为正数，且x +2y =1， 日期： 2012- 时间： ∴x 1+y 1=（x +2y ）（x 1+y 1） =3+x y 2+y x ≥3+22， 当且仅当 x y 2=y x ，即当x =2－1，y =1－22时等号成立. ∴x 1+y 1的最小值为3+22. （2）注意取等号的条件 问题2. 已知两正数x,y 满足x+y=1,则z=11()()x y x y ++ 的最小值为 。 点拨： 错解1、因为对a>0,恒有12a a +≥,从而z=11()()x y x y ++≥4,所以z 的最小值是4。 错解2、222222()22x y xy z xy xy xy xy xy +-==+-≥22(21)-=-，所以z 的最小值是2(21)-。 错因分析：解一等号成立的条件是11,11,1x y x y x y x y ====+=且即且与相矛盾。解二等号成立的条件是2,2xy xy xy ==即，与104 xy <≤相矛盾。 解析：z=11()()x y x y ++=1y x xy xy x y +++=21()222x y xy xy xy xy xy xy +-++=+-，令t=xy, 则210( )24x y t xy +<=≤=，由2()f t t t =+在10,4?? ???上单调递减,故当t=14时 2()f t t t =+有最小值334,所以当12x y ==时z 有最小值254 。 ★ 热 点 考 点 题 型 探 析★ 考点1 利用基本不等式求最值(或取值范围) 题型1. 当积ab 为定值时,求和a b +最小值 专题 基本不等式 【一】基础知识 基本不等式：)0,0a b a b +≥>> （1）基本不等式成立的条件： ； （2）等号成立的条件：当且仅当 时取等号. 2.几个重要的不等式 （1）()24a b ab +≤(),a b R ∈；（2）)+0,0a b a b ≥>>； 【二】例题分析 【模块1】“1”的巧妙替换 【例1】已知0,0x y >>，且34x y +=，则41x y +的最小值为 . 【变式1】已知0,0x y >>，且34x y +=，则4x x y +的最小值为 . 【变式2】（2013年天津）设2,0a b b +=>， 则 1||2||a a b +的最小值为 . 【例2】（2012河西）已知正实数,a b 满足 211a b +=，则2a b +的最小值为 . 【变式】已知正实数,a b 满足 211a b +=，则2a b ab ++的最小值为 . 【例3】已知0,0x y >>，且280x y xy +-=，则x y +的最小值为 . 【例4】已知正数,x y 满足21x y +=，则 8x y xy +的最小值为 . 【例5】已知0,0a b >>，若不等式 212m a b a b +≥+总能成立，则实数m 的最大值为 . 【例6】（2013年天津市第二次六校联考）()1,0by a b +=≠与圆221x y +=相交于,A B 两点，O 为坐标原点，且△AOB 为直角三角形，则 2212a b +的最小值为 . 【例7】（2012年南开二模）若直线()2200,0ax by a b -+=>>始终平分圆222410x y x y ++-+=的周长，则 11a b +的最小值为 . 【例8】设12,e e 分别为具有公共焦点12,F F 的椭圆和双曲线的离心率，P 为两曲线的一个公共点，且满足 120PF PF ?=，则2 2214e e +的最小值为 【例9】已知0,0,lg 2lg 4lg 2x y x y >>+=，则11x y +的最小值是（ ） A ．6 B ．5 C ．3+ D ． 【例10】已知函数()4141 x x f x -=+，若120,0x x >>，且()()121f x f x +=，则()12f x x +的最小值为 . 高一数学秋季班（教师版）教师日期 学生 课程编号08课型同步复习课题基本不等式 教学目标 1.掌握基本不等式的概念； 2.掌握几个重要不等式； 3.掌握比较法，综合法，分析法证明不等式的基本思路； 4.掌握简单基本不等式的相关证明问题； 教学重点 1.掌握不等式的使用条件； 2.掌握不等式的变形； 3.掌握多次使用不等式的方法； 教学安排 版块时长1知识梳理10 2例题解析60 3巩固训练40 4师生总结10 5课后练习60 一、基本不等式： 1.若,a b R ∈，222a b ab +≥，当且仅当a =b 时取等号 2.（1）“积定和最小”：ab b a 2≥+?如果积ab 是定值P ，那么当a b =时，和a b +有最小值 2P ； （2）“和定积最大”：2 2? ? ? ??+≤b a ab ?如果和a b +是定值S ，那么当a b =时，积ab 有最大值214S 。 3.若,a b R + ∈，22 22 a b a b ab ++≥≥ 加权平均》算术平均》几何平均 二、均值不等式：若a 、b 为正数，则2 a b ab +≥，当且仅当a b =时取等号 变式：2 2 2 ()22 a b a b ab ++≥ ≥ 推广：123,,,,n a a a a L 是n 个正数，则 12n a a a n +++L 称为这n 个正数的算术平均 数，12n n a a a ???L 称为这n 个正数的几何平均数， 它们的关系是： 1212n n n a a a a a a n ++???+≥??????， 当且仅当12n a a a ===L 时等号成立。 知识梳理 基本不等式 第11课：基本不等式与双√函数 一、双√函数 形如.0,0,>>+=q p x q px y 图像如右图所示： （1）0>x 时，当p q x =时取到pq y 2min =； （2）值域： （3）当0,0< （2）凡是利用“积定和最小”求最值的函数均可换元为双勾函数！ 三、利用基本不等式求最值 类型一：形如()()0,1≠++ +=c a d cx b ax y 采取配积为定！ 1、求??? ??>-+ =455434x x x y 的最小值 2、求??? ??<-+=455433x x x y 的最大值 3、求()π,0,sin 2sin ∈+ =x x x y 的最小值的值域 4、求()的最小值01 1>-+=x e e y x x 的最小值 类型二：形如()0,2≠+++=c a d cx c bx ax y 采取配凑——分离术！ 1、求0,92>++=x x x x y 的最小值 2、求0,192>+++=x x x x y 的最小值 3、求?? ????-∈+++=1,31,12122x x x x y 的值域 4、求4,1822-<+++=x x x x y 的最值 不等式练习题 一、选择题 1、若a,b 是任意实数,且a ＞b,则 ( ) （A ）a 2＞b 2 （B ）a b ＜1 （C ）lg(a -b)＞0 （D ）(21)a ＜(2 1)b 2、下列不等式中成立的是 ( ) （A ）lgx+log x 10≥2(x ＞1) （B ） a 1+a ≥2 (a ≠0) （C ）a 1＜b 1(a ＞b) （D ）a 21+t ≥a t (t ＞0,a ＞0,a ≠1) 3、已知a >0,b >0且a +b =1, 则()11)(1122--b a 的最小值为 ( ) (A )6 (B ) 7 (C ) 8 (D ) 9 4、已给下列不等式(1)x 3+ 3 >2x (x ∈R ); (2) a 5+b 5> a 3b 2+a 2b 3(a ,b ∈R ); (3) a 2+b 2≥2(a －b －1), 其中正确的个数为 ( ) (A ) 0个 (B ) 1个 (C ) 2个 (D ) 3个 5、f (n ) = 12+n －n , ?(n )= n 21, g (n ) = n 12--n , n ∈N ,则 ( ) (A ) f (n ) 第一课时：不等式关系与不等式 知识点一 不等关系 思考 限速40km /h 的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v 不超过40 km /h ，用不等式如何表示？ 答案 v ≤40. 梳理 试用不等式表示下列关系： (1)a 大于b a ＞b (2)a 小于ba b ?a －b >0；a ＝b ?a －b ＝0； a b ?b b ，b >c ?a >c (传递性)； 第三节.不等关系与基本不等式 基本不等式 (3)a >b ?a ＋c >b ＋c (可加性)； (4)a >b ，c >0?ac >bc ；a >b ，c <0?ac 高中数学不等式综合测试题 一、选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．共60分) 1．(文)设a b <，c d <，则下列不等式中一定成立的是( ) A ．d b c a ->- B ．bd ac > C ．d b c a +>+ D ．c b d a +>+ (理)已知a <0，-1> B ．2ab ab a >> C ．2ab ab a >> D ．2 ab a ab >> 2．“0>>b a ”是“2 2 2b a ab +<”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 3．(文)关于x 的不等式(1)ax b a ><-的解集为( ) A ．R B ．φ C ．),(+∞a b D ．(,)b a -∞ (理)不等式b ax >的解集不可能．．．是( ) A ．φ B ．R C ．),(+∞a b D ．),(a b --∞ 4．不等式022>++bx ax 的解集是)3 1,21(-，则b a -的值等于( ) A ．－14 B ．14 C ．－10 D ．10 5．(文)不等式|1|2x -<的解集是( ) A ．{|03}x x ≤< B ．{|22}x x -<< C ．{|13}x x -<< D ．{|1,3}x x x <-> (理)不等式||x x x <的解集是( ) A ．{|01}x x << B ．{|11}x x -<< C ．{|01x x <<或1}x <- D ．{|10,1}x x x -<<> 6．(文)若0b a <<，则下列结论不正确．．． 的是( ) A ． 11a b < B ．2b ab < C ．2>+b a a b D ．||||||b a b a +>+ (理)若011<+b a a b D ．||||||b a b a +>+ 7．若13)(2+-=x x x f ，12)(2-+=x x x g ，则)(x f 与)(x g 的大小关系为( ) A ．)()(x g x f > B ．)()(x g x f = C ．)()(x g x f < D ．随x 值变化而变化 8．下列各式中最小值是2的是( ) A ．y x ＋x y B ．4 5 22++x x C ．tan x ＋cot x D ．x x -+22 9．下列各组不等式中，同解的一组是( ) A ．02>x 与0>x B ．01 )2)(1(<-+-x x x 与02<+x C ．0)23(log 2 1>+x 与123<+x D ．112≤--x x 与112≤--x x 10．(文)如果a x x >+++|9||1|对任意实数x 总成立，那么a 的取值范围是( ) A ．}8|{a a C ．}8|{≥a a D ．}8|{≤a a 2.3 基本不等式 1．基本不等式：ab ≤ a ＋b 2 (1)基本不等式成立的条件：a ﹥0，b ﹥0. (2)等号成立的条件：当且仅当 时取等号． (3)其中a ＋b 2称为正数a ，b 的算术平均数，ab 称为正数a ，b 的几何平均数． 注：应用基本不等式求最值时，必须考察“一正、二定、三相等”，忽略某个条件，就会出现错误． 2．几个重要不等式： (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R)． (2)b a ＋a b ≥ (a ，b 同号)． (3)ab 2 2? ? ? ??+b a (a ，b ∈R)． (4)a 2＋b 2 2 22?? ? ??+b a (a ，b ∈R)． (5)则b a 11 2 + ≤ab ≤a ＋b 2≤ 2 22b a +(a ﹥0,b ﹥0)其中当且仅当a =b 时取等号（调和平均数，几何平均数，算术平均数，平方平均数） 3．利用基本不等式求最值问题 已知x ﹥0，y ﹥0，则 (1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当 时，x ＋y 有最 (简记：积定和最小)． (2)如果和x ＋y 是定值s ，那么当且仅当 时，xy 有 (简记：和定积最大)． 自查自纠 1．(2)a ＝b 2．(2)2 (3)≤ (4) ≥ 3．(1)x ＝y 小值是2p (2)x ＝y 最大值是s 24 1．下列说法正确的是 ( ) A ．a ≥0，b ≥0，则a 2＋b 2≥2ab B ．函数y ＝x ＋1 x 的最小值是2 C ．函数f (x )＝cos x ＋ 4cos x ，x ∈?? ? ??2,0π的最小值等于4 D ．“x >0且y >0”是“x y ＋y x ≥2”的充分不必要条件 答案：D. 解析：选项A 中，a ＝b ＝0.1时不成立；选项B 中，当x ＝－1时y ＝－2；选项C 中，x ∈?? ? ??2,0π时，0 一．选择题 1．已知直线ax+by=1经过点（1，2），则2a+4b的最小值为（） A．B．2C．4 D．4 2．已知x，y都是正数，且xy=1，则的最小值为（） A．6 B．5 C．4 D．3 3．若a，b都是正数，则的最小值为（） A．7 B．8 C．9 D．10 4．下列关于不等式的结论中正确的是（） A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＞b，则a2＞b2 C．若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2D．若a＜b＜0，则＞ 5．若m、n是任意实数，且m＞n，则（） A．m2＞n2B．C．lg（m﹣n）＞0 D． 6．若直线=1（a＞0，b＞0）过点（1，1），则a+b的最小值等于（） A．2 B．3 C．4 D．5 7．若直线mx+ny+2=0（m＞0，n＞0）截得圆（x+3）2+（y+1）2=1的弦长为2，则+的最小值为（）A．6 B．8 C．10 D．12 8．已知不等式的解集为{x|a＜x＜b}，点A（a，b）在直线mx+ny+1=0上，其中mn＞0，则的最小值为（）A．B．8 C．9 D．12 9．若m+n=1（mn＞0），则+的最小值为（） A．1 B．2 C．3 D．4 10．已知x+3y=2，则3x+27y的最小值为（） A． B．4 C． D．6 11．若x＜0，则x+的最大值是（） A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2 12．已知a，b，c，是正实数，且a+b+c=1，则的最小值为（） A．3 B．6 C．9 D．12 二．填空题 1．已知正数x，y满足x+y=1，则的最小值为． 2．已知a＞0，b＞0，且a+b=2，则的最小值为． 3．已知x＞1，则函数的最小值为． 4．设2＜x＜5，则函数的最大值是． 5．函数f（x）=1+log a x（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny﹣2=0上，其中mn＞0，则的最小值为． 6．已知x＞1，则函数y=2x+的最小值为． 高中数学必修（5）不等式专题检测 说明：本试卷分第一卷和第二卷两部分，第一卷50分，第二卷100分，共150分；答题时间120分钟。 第Ⅰ卷（选择题共50分） 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代 号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）． 1．若R c b a ∈,,，且b a >，则下列不等式一定成立的是 （ ） A ．c b c a -≥+ B ．bc ac > C ． 02 >-b a c D ．0)(2 ≥-c b a 2．若0< B ．a b a 1 1>- C ．3 131b a < D ．3 2 3 2b a > 3．若关于x 的不等式m x x ≥-42 对任意]1,0[∈x 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．3-≤m B ．3-≥m C ．03≤≤-m D ．03≥-≤m m 或 4．已知实数x ,y 满足x 2＋y 2＝1，则(1－xy )(1＋xy )有 （ ） A ．最小值 21 和最大值1 B ．最小值 4 3 和最大值1 C ．最小值21和最大值4 3 D ．最小值1 5．设x > 0, y > 0,y x y x a +++=1, y y x x b +++=11， a 与b 的大小关系 （ ） A ．a >b B ．a ---x a x x 在内有解，则实数a 的取值范围是（ ） A ．4-a C ．12->a D ．12---x a 则实数a 的取值范围是 （ ） A ．1||a D ．2||1< 第三章 不等式 一、选择题 1．已知x ≥2 5 ，则f (x )＝4－25＋4－2x x x 有( )． A ．最大值45 B ．最小值4 5 C ．最大值1 D ．最小值1 2．若x ＞0，y ＞0，则221＋)(y x ＋221 ＋)(x y 的最小值是( )． A ．3 B ． 2 7 C ．4 D ． 2 9 3．设a ＞0，b ＞0 则下列不等式中不成立的是( )． A ．a ＋b ＋ ab 1≥22 B ．(a ＋b )( a 1＋b 1 )≥4 C 22 ≥a ＋b D ． b a ab +2≥ab 4．已知奇函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数，且f (1)＝0，则不等式x x f x f ) ()(－－＜0 的解集为( )． A ．(－1，0)∪(1，＋∞) B ．(－∞，－1)∪(0，1) C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D ．(－1，0)∪(0，1) 5．当0＜x ＜2 π时，函数f (x )＝x x x 2sin sin 8＋2cos ＋12的最小值为( )． A ．2 B ．32 C ．4 D ．34 6．若实数a ，b 满足a ＋b ＝2，则3a ＋3b 的最小值是( )． A ．18 B ．6 C ．23 D ．243 7．若不等式组?? ? ??4≤ 34 ≥ 30 ≥ y x y x x ＋＋，所表示的平面区域被直线y ＝k x ＋34分为面积相等的两部分，则k 的值是( )． A ． 7 3 B ． 37 C ． 43 D ． 34 8．直线x ＋2y ＋3＝0上的点P 在x －y ＝1的上方，且P 到直线2x ＋y －6＝0的距离为 2016-2017普集高中10月月考卷3 考试范围：基本不等式；考试时间：100分钟；命题人：张老师 一、选择题 1．下列函数中，最小值是2的是（ ） A ．1 y x x =+ B ．2y = C ． y = D ．3log log 3 (0,1)x y x x x =+>≠ 【答案】B 【解析】 试题分析：A ．对于函数1 y x x =+，当0 【答案】D 【解析】 试题分析：因为函数()1 3x f x a -=+得图象过一个定点P ，所以P 的坐标为()1,4，又 因 为 点 P 在直线 10 mx ny +-=上 ， 所 以 41m n +=， ()141444 417n m m n m n m n m n ?? ∴ +=++=++ ??? 1725≥+=，14m n ∴+得最小值是25，故选D. 考点：1、指数函数的性质；2、基本不等式求最值. 3．如果，4log log 33=+n m 那么m+n 的最小值是（ ） A.4 B.34 C ．9 D ．18 【答案】D 【解析】 试题分析：4log log log 333==+mn n m ，所以4 3=mn ，而182=≥+mn n m ， 故选D. 考点：基本不等式 4．若直线 1x y a b +=（a>0,b>0）过点（1,1）,则a+b 的最小值等于（ ） A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】C 【解析】 试题分析：∵直线 1x y a b +=（0>a ，0>b ）过点()1,1，∴11 1=+b a ．则 ()11a b a b a b ?? +=++ ??? 224b a a b =++≥+=，当且仅当2==b a 时取等 号．故答案为：C ． 考点：基本不等式. 5．已知0a >，0b >.3a 与3b 的等比中项，则 11 a b +的最小值为（ ）基本(均值不等式)不等式知识点基础练习
高中数学基本不等式题型总结
上海昂立智立方数学高中 高一(秋季班) 高数—10秋—08—基本不等式—翁军成-教师版
高中数学基本不等式专题复习
-+=x x x y 正确解法： 两者联系： （1）基本不等式去等号时的值即为双勾函数的拐点，
高中数学不等式练习题(供参考)
5第五讲 不等关系与基本不等式(教师版) - 副本 - 副本
高中数学不等式单元测试题(含有详细答案--
《艺考生一轮复习》2021新高考数学 2.3 - 基本不等式 - 教师版
高中数学基本不等式练习题
高中数学必修(5)不等式专题检测
(完整版)高中数学不等式习题及详细答案
基本不等式教师版
相关文档
- 高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)选修45-不等式选讲
- 高中数学不等式知识点总结
- 高中数学不等式知识点总结
- 高中数学第二章2.2.1基本不等式讲义新人教A版必修第一册
- 全国高中数学竞赛讲义-不等式的证明(练习题)
- 人教A版高中数学选修4-5讲义及题型归纳(提高)：证明不等式的方法
- (完整版)高中数学不等式知识点总结
- 高考数学讲义不等式.知识框架
- 高中数学必修五不等式讲义
- 高中数学奥赛讲义竞赛中常用的重要不等式
- 高中数学讲义 第六章 不等式(超级详细)
- 高中数学竞赛讲义_不等式
- 高中数学培优讲义-不等式专题
- 高中数学 基本不等式培优讲义
- 新高一衔接班讲义(数学)
- 高中数学竞赛_不等式【讲义】
- 全国高中数学竞赛讲义-不等式的证明(练习题)
- 高中数学讲义 均值不等式
- 高中数学不等式知识点总结-
- 2010高中数学竞赛标准讲义：第九章：不等式