高中数学中的易错题分类训练
高中数学中的易错题分类训练
1.数学概念的理解不透
1.若不等式ax 2+x+a ＜0的解集为 Φ，则实数a 的取值范围（ ） ≤-
21或a ≥21 ＜21 21≤a ≤21 ≥ 2
1 【错解】选A.由题意，方程ax 2+x+a=0的根的判别式2
0140a ?
21或a ≥2
1
，所以选A. 【正确解析】D .不等式ax 2+x+a ＜0的解集为 Φ，若a=0,则不等式为x<0解集不合已知条件，则a 0≠；要不等式ax
2
+x+a ＜0的解集为 Φ，则需二次函数y=ax
2
+x+a 的开口向上且与x 轴无交点，所以a>0且
201401
20
a a a ??≤?-≤?≥?
>?. 2. 命题“若△ABC 有一内角为
3
π
，则△ABC 的三内角成等差数列”的逆命题是（ ） A ．与原命题真值相异 B ．与原命题的否命题真值相异 C ．与原命题的逆否命题的真值不同 D ．与原命题真值相同 【错解】选A.因为原命题正确，其逆命题不正确.
【正确解析】选 D.显然，原命题正确；其逆命题为：“若△ABC 的三内角成等差数列，则△ABC 有一内角为3
π
”.也正确，所以选D. 3.判断函数f(x)=(x －1)
x
x
-+11的奇偶性为____________________
【错解】偶
函
数
.f(x)=
(x -===，所以
()()f x f x -===，所以f （x ）为偶函数.
【正解】非奇非偶函数.y=f(x)的定义域为：(1)(1)01011101x x x
x x x +-≥?+≥??-≤
，定义域不关于原点对称，
所以此函数为非奇非偶函数.
4.1l ，2l ，3l 是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（ ） (A)12l l ⊥，23l l ⊥13//l l ? （B ）12l l ⊥，3//l l ?13l l ⊥
(C)123////l l l ? 1l ，2l ，3l 共面 （D ）1l ，2l ，3l 共点?1l ，2l ，3l 共面
【错解】错解一：选A.根据垂直的传递性命题A 正确；
错解二：选C.平行就共面；
【正确解答】选B.命题A 中两直线还有异面或者相交的位置关系；命题C 中这三条直线可以是三棱柱的三条棱，因此它们不一定共面；命题D 中的三条线可以构成三个两两相交的平面，所以它们不一定共面.
=ab 是a 、x 、b 成等比数列的( )
A.充分非必要条件
B.必要非充分条件
C.充要条件
D.既非充分又非必要条件
【错解】C.当.x=ab 时，a 、x 、b 成等比数列成立；当a 、x 、b 成等比数列时，x=ab 成立 .
【正确解析】选D.若x=a=0，x=ab 成立，但a 、x 、b 不成等比数列， 所以充分性不成立；反之，若a 、x 、b 成等
比数列，则2
x ab x =?=，所以x=ab 不一定成立，必要性不成立.所以选D. 6．(1)把三枚硬币一起掷出，求出现两枚正面向上，一枚反面向上的概率.
(2)某种产品100件，其中有次品5件，现从中任抽取6件，求恰有一件次品的概率. 分析:
（1）【错解】三枚硬币掷出所有可能结果有2×2×2=8种，而出现两正一反是一种结果，故所求概率P=.8
1
【正解】在所有的8种结果中，两正一反并不是一种结果，而是有三种结果：正、正、反，正、反、正，反、正、正，因此所求概率,8
3=P 上述错解在于对于等可能性事件的概念理解不清，所有8种结果的出现是等可能性的，如果把上述三种结果看作一种结果就不是等可能性事件了，应用求概率的基本公式n
m
P =
自然就是错误的. （2） 【错解】由题意知，这种产品的次品率为5%，且每次抽取相互独立，由独立重复实验概率公式，得：6件产
品中恰有1件次品的概率为：2321.0)100
51(1005)1(5
1
6
6=-=C P . 【正解】在上题的解法中有两个错误：第一，100件产品，其中有5件次品与次品率为5%是两个不同的概念；第二，
该实验不是独立重复实验，从100件产品中任抽6件，可当作抽了6次，每次抽1个，但每次抽到次品还是正品，显然直接影响到下一次抽到次品还是正品，显然直接影响到下一次抽到次品或正品的概率，具体地说，如果第一次抽出的是次品，那么次品就少了一个，第二次再抽到次品的概率就小了…这就是说各次实验之间并非独立的，错用了独立重复实验概率公式，正确解法应为：2430.06100
59515==C C C P .
2.公式理解与记忆不准 7.若1,0,0=+>>y x y x ，则y
x 4
1+的最小值为___________. 【错解】
y x 4
1+8)2
(1
4422=+≥≥y x xy
，错解原因是忽略等号成立条件.
【正解】
y
x 41+=945)
(4≥++=+++y x x y y y x x y x 8. 函数y=sin 4x+cos 4x －4
3
的相位____________，初相为__________ .周期为_________，单调递增区间为____________. 【错解】y=sin 4x+cos 4x －43=1cos 44x ，所以相位为4x ，初相为0，周期为2
π
，增区间为….
【正确解析】y=sin 4x+cos 4x －43=11cos 4sin(4)442x x π=+.相位为42x π+，初相为2π，周期为2
π
，单调递增区间为
21[,]()42
k k k Z ππ-∈. 3.审题不严 （1）读题不清
9.已知()f x 是R 上的奇函数，且当0x >时，1()()12
x
f x =+，则()f x 的反函数的图像大致是
【错解】选B.因为1
()2
x
y =在0x >内递减，且1()()12
x
f x =+过点（0，2），所以选B.
【正确解答】A.根据函数与其反函数的性质，原函数的定义域与值域同其反函数的值域、定义域相同.当
1
0,0()1,122
x x y ><
，则其反函数过点（2，0），排除B 、C ；又根据原函数在0x >时递减，所以选A.
10.编号为1，2，3，4，5的五个人，分别坐在编号为1，2，3，4，5的座位上，则至多有两个号码一致的坐法种数为（ ）
A ．120 .119 C
【错解】“至多有两个号码一致”的对立事件是“三个或四个（即五个）号码一致”， 三个号码一致有32
52C A 种，四个
号码一致仅一种，所以所求的坐法种数为532
552199A C A --=，无选项.
【正确解析】选D .“至多有两个号码一致”的对立事件是“三个或四个（即五个）号码一致”，三个号码一致有3
5C 种（若三个号一致，另外两个不在自己号位仅一种方法），四个号码一致仅一种，所以所求的坐法种数为
53551109A C --=.选D.
11. 一箱磁带最多有一盒次品.每箱装25盒磁带，而生产过程产生次品磁带的概率是.则一箱磁带最多有一盒次品的概率是 .
【错解】一箱磁带有一盒次品的概率240.01(10.01)?-，一箱磁带中无次品的概率25
(10.01)-，所以一箱磁带最多有一盒次品的概率是240.01(10.01)?-+25
(10.01)-.
【正确解析】一箱磁带有一盒次品的概率1
24
250.01(10.01)C ??-，一箱磁带中无次品的概率0
25
25(10.01)C ?-，所以一箱磁带最多有一盒次品的概率是1
24
250.01(10.01)C ??-+0
25
25(10.01)C ?-. （2）忽视隐含条件
12.设βα、是方程0622
=++-k kx x 的两个实根，则2
2
)1()1(-+-βα的最小值是（ ）
不存在)D (18)C (8)B (4
49)A (-
【错解】利用一元二次方程根与系数的关系易得：,6,2+==+k k αββα
2222(1)(1)2121αβααββ∴-+-=-++-+2()22()2αβαβαβ=+--++2349
4().44
k =--选A.
【正确解析】利用一元二次方程根与系数的关系易得：,6,2+==+k k αββα
2222(1)(1)2121αβααββ∴-+-=-++-+2()22()2αβαβαβ=+--++
2349
4().44
k =--Θ 原方程有两个实根βα、，∴0)6k (4k 42≥+-=? ?
.3k 2k ≥-≤或当3≥k 时，22)1()1(-+-βα的最小值是8；
当2-≤k 时，2
2
)1()1(-+-βα的最小值是18.选B. 13.已知(x+2)2
+ y 2
4
=1, 求x 2+y 2的取值范围.
【错解】由已知得 y 2=－4x 2－16x －12，因此 x 2+y 2=－3x 2－16x －12=－3(x+38)2+3
28
， ∴当x=－83 时，x 2+y 2有最大值283 ，即x 2+y 2的取值范围是(－∞, 28
3
].
【正确解析】由已知得 y 2=－4x 2－16x －12，因此 x 2+y 2=－3x 2－16x －12=－3(x+38)2+3
28 由于(x+2)2+
y 24 =1 ? (x+2)2
=1－ y 2
4
≤1 ? －3≤x ≤－1， 从而当x=－1时x 2+y 2有最小值1.∴ x 2+y 2的取值范围是[1, 28
3
]. 14. 方程1
122log (9
5)log (32)20x x ------=的解集为___________________-
【错解】1
11122222log (9
5)log (32)20log (95)log (32)log 40x x x x --------=?----=
11111122log (95)log 4(32)954(32)(31)(33)0x x x x x x -------=-?-=-?--=
1310x --=或1330x --=所以x=1或x=2.所以解集为{1，2}.
【正解】1
11122222log (9
5)log (32)20log (95)log (32)log 40x x x x --------=?----=
111111221954(32)
log (95)log 4(32)3203302950x x x x x x x x -------?-=-?
-=-?->?-=?=??->?
所以解集为{2}.
15. 已知在6个电子元件中，有2个次品，4个合格品，每次任取一个测试，测试完不再放回，直到2个次品都找到为止，求经过4次测试恰好将2个次品全部找出的概率.
分析:错解一: 经过4次测试恰好将2个次品全部找出,表示前4次中有2次取到正品和2次取到次品，故所求概率为
4
62424A A A =51
.. 错解二: 经过4次测试恰好将2个次品全部找出表示第4次正好取到次品，故所求概率为
4
6
3
3
2412A A C C =5
1
正解:若仔细审题，我们会发现：经过4次测试恰好将2个次品全部找出，不仅包括4次正好取到次品，前3次中有一次取到次品，还有前4次正好都取到合格品的情况，即此时剩下2个都是次品，所以，经过4次测试恰好将2个次
品全部找出的概率为
15
44
6
44
332412=
+A A A C C （3）字母意义含混不清
16.若双曲线22221x y a b -=-的离心率为5
4
，则两条渐近线的方程为（ ）
A.
0916x y ±= B.0169x y ±= C.034x y ±= D.043
x y
±= 【错解】选D.
22222222252593310416164443c c a b b b b x y e y x a a a a a a +==?===+?=?=±?=±?±=，选D.
【正确解析】2222
222211x y y x a b b a
-=-?-=，与标准方程中字母a,b 互换了.选C.
4.运算错误
（1）数字与代数式运算出错
17. 若)2,1(),7,5(-=-=b a ρρ
，且（b a ρρλ+）b ρ⊥，则实数λ的值为____________.
【错解】(5,72)a b λλλ+=--+r r ，则（b a ρρλ+）()052(72)03b a b b λλλλ⊥?+?=?-+-+=?=r r r r
. 【正确解析】(5,72)a b λλλ+=--+r r ，（b a ρρλ+）19()052(72)05
b a b b λλλλ⊥?+?=?-+-+=?=r r r r
18. 已知直线l 与点A （3，3）和B （5，2）的距离相等，且过二直线1l ：3x －y －1=0和
2l ：x+y －3=0的交点，则直线l 的方程为_______________________
【错解】先联立两直线求出它们交点为（1，2），设所求直线的点斜式，再利用A 、B
到它的距离相等建立方程得
1
2k =
?=-，所以所求直线为x+2y-5=0.
【正确解析】x-6y+11=0或x+2y-5=0.联立直线1l ：3x －y －1=0和2l ：x+y －3=0的方程得它们的交点坐标为（1，2），令过点（1，2）的直线l 为：y-2=k(x-1)（由图形可看出直线l 的斜率必然存在）
，由点到直线的距离公式得：
11
,62k k =
?==-，所以直线l 的方程为:x-6y+11=0或x+2y-5=0.
（2）运算方法（如公式、运算程序或运算方向等）选择不当导致运算繁杂或不可能得解而出错
19. 已知圆(x －3)2+y 2=4和直线y=mx 的交点分别为P ，Q 两点，O 为坐标原点，则OQ OP ?的值为 . 【运算繁杂的解法】联立直线方程y=mx 与圆的方程(x －3)2+y 2=4消y ，得关于x 的方程2
2
(1)650m x x +-+=，令
1122(,),(,)P x y Q x y ，则12122265,11x x x x m m +=?=
++，则22
1212251m y y m x x m ==+，由于向量OP uuu r 与向量OQ uuu r 共线且方向相同，即它们的夹角为0，所以2
121222
55511m OP OQ OP OQ x x y y m m
?=?=+=
+=++u u u r u u u r
. 【正确解析】根据圆的切割线定理，设过点O 的圆的切线为OT （切点为T ），由勾股定理，则
222325OP OQ OT ?==-=.
20.长为1的正四面体内有一点P ，由点P 向各面引垂线，垂线段长度分别为d 1，d 2，d 3，d 4，则d 1＋d 2＋d 3＋d 4的值为
【运算繁杂的解法】在正四面体S-ABC 内任取一点P ，则
13S ABC P ABC P ABS P ACS P BCS V V V V V -----=+++?
=
123412341)3d d d d d d d d +++?+++=.
【正确解析】
3
.令P 为正四面体的中心（显然，P 的位置不影响正确答案），则1234d d d d r ====（r 为内切球半径），而棱长为1的正四面体的内切球半径为
r=
12所以所求值为
4r=3
. （3）忽视数学运算的精确性，凭经验猜想得结果而出错 21.曲线
x 2－
12
2
=y 的右焦点作直线交双曲线于A 、B 两点，且4=AB ，则这样的直线有___________条. 【错解】4条.过右焦点的直线，与双曲线右支交于A 、B 时，满足条件的有上、下各一条（关于x 轴对称）；与双曲线的左、右分别两交于A 、B 两点，满足条件的有上、下各一条（关于x 轴对称），所以共4条.
【正解】过右焦点且与X 轴垂直的弦AB （即通径）为2222
41
b a ?==，所以过右焦点的直线，与双曲线右支交于A 、B 时，满足条件的仅一条；与双曲线的左、右分别两交于A 、B 两点，满足条件的有上、下各一条（关于x 轴对称），所以共3条.
（4）计量单位缺乏量纲意识
22．甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所能获得的利润依次为P 万元和Q 万元，它们与投入资金x （万元）的关系有经验公式x Q x P 5
3,51==
.现有3万元资金投入经营甲、乙两种商品，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别是多少元
【错解一】设对甲种商品投入金额x 元，则乙种商品投资为30000-x 元，获得利润总额为y 元. 则将利润总额为y 的单位换算成元有：]30000,0[,300005
351∈-+=
x x x y ，如法炮制，令
2,30000,t x t t ==-∈则?t t y 53)30000(512+-=].3100,0[,20
9
6000)23(512∈+--=t t
（元）元）25.230000,(75.299972
3
=-=?=
?x x t . 【错解二】设对甲种商品投入金额x 元，则乙种商品投资为30000-x 元，获得利润总额为y 元. 把利润总额单位转化为元，则]30000,0[,300005
31000051∈-+?=
x x x y 令]3100,0[,300000,300002∈-==-t t x t x 则
?57221029
106)200003(200053)30000(2000-?+?+--=+-?=t t t y ，].3100,0[∈t
200003=
?t .时y 最大，此时对甲商品资金投入量为9999999775.29999)20000
3(300002
=-=x 元，对乙商品资金投入量为元.，此时甲商品获得利润.000045元.（不管怎样分配，甲商品都赚了投入资金的1999倍的钞票！） 【错解三】设对甲种商品投入金额x 元，则乙种商品投资为30000-x 元，获得利润总额为y 元. 由于利润总额单位为万元，故)300005
3
51(100001x x y -+=
， 令]3100,0[,300000,300002∈-==-t t x t x 则 t t y 500003)30000(5000012+--
=].3100,0[],20
9
6000)23[(5000012∈+--=t t （元）元）25.230000,(75.299972
3
=-=?=
?x x t . 【错因分析】量纲不统一，对经验公式x Q x P 5
3,51==
的单位理解不清.从量纲角度看，长度立方为体积、长度平方为面积（正如体积的立方根为长度、面积的算术平方根长度一样），x Q 5
3
=
的单位由经验公式给出的前提是变量x 的
单位万元确定，因此，
【正解一】设对甲种商品投入金额x 万元，是乙种商品投资为（3-x ）万元，获得的利润总额为y 万元. 由题意，得]3,0[,35
351∈-+=
x x x y ,设]3,0[,3,32∈-==-t t x t x 则，则 t t y 53)3(512+-=
].3,0[,20
21
)23(512∈+--=t t 20
21
,]3,0[23max =
∈=
∴y t 时当,即43493=-=x ，494333=-=-x . 因此，为获取最大利润，对甲、乙两种商品的的资金投入应分别为万元和万
元，获得的最大利润为万元.
【正解二】设对甲种商品投入金额x 元，则目标函数应该为
100003531000051x x y -+?=
=x x -+30000500
3500001 令]3100,0[,300000,300002∈-==-t t x t x 则 则20
21
)150(5000015003)30000(50000122+
--=+-=
t t t y 7500300002=-=?t x （余与解一同） 5.数学思维不严谨
（1）数学公式或结论的条件不充分
23.已知：a>0 , b>0 , a+b=1,求(a+ 1a )2+(b+ 1
b
)2的最小值.
【错解】 (a+
a 1)2+(b+
b 1)2=a 2+b 2+21a +21b +4≥2ab+ab 2+4≥4ab
ab 1?+4=8. ∴(a+
a 1)2+(b+b
1
)2的最小值是8. 【正确解析】原式= a 2+b 2+21a +21b +4=( a 2+b 2)+(21a +21b
)+4=[(a+b)2－2ab]+[(a 1+b 1)－ab 2
]+4= (1－
2ab)(1+221b a )+4，由ab ≤(2b a +)2=41 得：1－2ab ≥1－21=21, 且221b a ≥16，1+221b
a ≥17，∴原式≥21×17+4=225
(当且仅当a=b=2
1
时，等号成立)，
∴(a + a 1)2 + (b + b
1)2的最小值是25
2 .
24.已知两正数x,y 满足x+y=1,则z=1
1
()()x y x y
++
的最小值为 . 【错解一】因为对a>0,恒有1
2a a
+
≥,从而z=11()()x y x y ++≥4,所以z 的最小值是4.
【错解二】22222()2x y xy z xy xy xy +-==+-≥21)-=，所以z 的最小值是1).
【正解】z=11()()x y x y ++=1y x
xy xy x y
+++=21()222x y xy xy xy xy xy xy +-++=+-，令t=xy, 则210(
)24x y t xy +<=≤=，由2()f t t t =+在10,4?? ???
上单调递减,故当t=14时 2()f t t t =+有最小值
33
4,所以当12x y ==
时z 有最小值334
. （2）以偏概全，重视一般性而忽视特殊情况 25．(1)不等式|x+1|(2x －1)≥0的解集为____________
(2)函数y =
的定义域为 . 解析：（1）【错解】1
[,)2+∞.因为|x+1|≥0恒成立，所以原不等式转化为2x-1≥0，所以1[,)2
x ∈+∞
【正确解析】}1{),21[-?+∞.原不等式等价于|x+1|=0或2x-1≥0，所以解集为1[,){1}2
x ∈+∞?-.
(2) 【错解】10(1)(1)011x
x x x x
+≥?+-≥?≥-或1x ≤-.
【正解】
(1)(1)0(1)(1)010111011x x x x x
x x x x +-≥+-≤??+≥???-≤
26.过点(0,1)作直线，使它与抛物线x y 42
=仅有一个公共点，这样的直线有（ ） 条 条 C. 3条 D. 0条
【错解】设直线的方程为1+=kx y ，联立???+==1
42kx y x y ，得()x kx 412
=+，
即：01)42(2
2
=+-+x k x k ，再由Δ＝0,得k=1,得答案A.
【正确解析】C.由上述分析，y 轴本身即为一切线，满足题意；解方程01)42(2
2
=+-+x k x k 时，若k=0，即直线y=1也与抛物线x y 42
=仅有一个公共点，又k=1时也合题意，所以有三条直线合题意，选C. （3）解题时忽视等价性变形导致出错 27. （1）已知f(x) = a x +
b
x
，若,6)2(3,0)1(3≤≤≤≤-f f 求)3(f 的范围. （2）已知集合}1|||{≤-=a x x A ，}03
30
|
{2≥---=x x x x B ，且Φ=B A I ，求实数a 的取值范围. 解析：（1）【错解】由条件得??
?
??≤+≤≤+≤-622303b
a b a ②① 由②×2－① 156≤≤a ③ ①×2－②得 3
2
338-≤≤-
b ④ ③+④得
.3
43
)3(310,34333310≤≤≤+≤f b a 即 【正确解析】由题意有???
??+=+=22)2()1(b a f b
a f , 解得：)],2()1(2[32)],1()2(2[31f f
b f f a -=-=
).1(95)2(91633)3(f f b a f -=+
=∴ 把)1(f 和)2(f 的范围代入得 .3
37
)3(316≤≤f （2）【错解】由题意，A ：11a x a -≤≤+ B ：
230
0(6)(5)(3)0{|63
x x x x x x x x --≥?-+-≥?≥-或53}x -≤≤……(后面略) 【正确解析】由题意，A={|11}x a x a -≤≤+ B ：2(6)(5)(3)030
0{|6303x x x x x x x x x -+-≥?--≥??≥?-≠-?
或
53}x -≤< 由Φ=B A I 则(,6)[4,5)a ∈-∞-U .
28.已知数列{}n a 的前n 项和12+=n
n S ，求.n a
【错解】 .22
2)12()12(11
11----=-=+-+=-=n n n n n n n n S S a 【正确解析】当1=n 时，113a S ==，n 2≥时，
1
1
1
1(21)(2
1)22
2
n n n n n n n n a S S ----=-=+-+=-=.所以13(1)2(2)
n n n a n -?=?=?
≥??
.
29.实数a 为何值时，圆0122
22=-+-+a ax y x 与抛物线x y 2
1
2
=
有两个公共点. 【错解】 将圆0122
2
2
=-+-+a ax y x 与抛物线 x y 2
1
2
=
联立，消去y ， 得 ).0(01)2
12(2
2
≥=-+--x a x a x ①
因为有两个公共点，所以方程①有两个相等正根，得??
??
???>->-=?.
01021202a a ， 解之得.817=a
【正确解析】要使圆与抛物线有两个交点的充要条件是方程①有一正根、一负根；或有两个相等正根.当方程①有一
正根、一负根时，得???<->?.
010
2a 解之，得.11<<-a
因此，当817=
a 或11<<-a 时，圆012222=-+-+a ax y x 与抛物线x y 2
12
=有两个公共点. 30.(1)设等比数列{}n a 的全n 项和为n S .若9632S S S =+，求数列的公比q .
【错解】 ,2963S S S =+Θq q a q q a q q a --?=--+--∴1)
1(21)1(1)1(916131，
.012(363）＝整理得
--q q q
1q 2
4
q ,0)1q )(1q 2(.01q q 20q 3
3
3
3
6
=-
=∴=-+∴=--≠或得方程由.
【正确解析】若1=q ，则有.9,6,3191613a S a S a S ===但01≠a ，即得,2963S S S ≠+与题设矛盾，故1≠q .
又依题意 963S 2S S =+ ? q q a q q a q q a --?=--+--1)1(21)1(1)1(916131 ? 01
q q 2(q 3
63）＝--,即,0)1)(12(3
3
=-+q q 因为1≠q ，所以,013
≠-q 所以.0123
=+q 解得 .2
4
3
-
=q 【点评】本题为1996年全国高考文科试题，不少考生的解法与错误解法相同，根据评分标准而痛失2分. （4）空间识图不准
31．直二面角α－l －β的棱l 上有一点A ，在平面α、β内各有一条射线AB ，AC 与l 成450，AB βα??AC ,，则∠BAC= . 【错解】如
右图.由最小角定理，
12221cos cos cos 2223
BAC BAC πθθ∠=?=
?=?∠=. 【正确解析】
3
π或23π.如下图.当6CAF π
∠=时，由最小角定理，
121cos cos cos 23BAC BAC πθθ∠=?=?∠=；当AC 在另一边DA 位置时，23
BAC π
∠=
. （5）推理方向的盲目性 32. 设f ( x ) = x 3－2
1x 2
－2x ＋5，当]2,1[-∈x 时，f ( x ) < m 恒成立，则实数m 的取值范围为 . 【错解】m>
72.令2'()320f x x x =-->，得f(x)的增区间为2(,),(1,)3-∞-+∞，f(-1)=11
2
（区间左端点），7(1)2f =(极小值点)，所以]2,1[-∈x 时min 7()2f x =所以m>7
2
.
【正确解析】m>7.由题意，f ( x ) < m 恒成立即max ()m f x >.令2'()320f x x x =-->，得f(x)的增区间为
2(,),(1,)3-∞-+∞，且f(2)=7，2
()73
f -<，结合f(x)的草图知，max ()7f x =，所以m>7.
（6）限域求值端点取值不正确 33.若31<<-x ,则
_____________;__________1
1
2∈∈-x x 【错解】31<<-x ?????
∈-∈-?
<-<-?)9,1(),21,21(112122x x x
【正解】31<<-x ??
???
∈+∞--∞∈-?
<-<-?)9,0[),2
1()21,(112122x x x Y 34.已知[0,]4
x π∈,则()2sin(2)6f x x π
=+的取值范围是 .
【错解】
.2120022,sin ,sin 42663623x x x π
π
π
π
πππ≤≤
?≤≤
?
≤+
≤
==
，所以12sin(2)6x π
≤+≤ 【正确解析】[1,2].20022,42663x x x πππππ≤≤?≤≤?≤+≤sin(2)6x π+1[,1]2∈，所以12sin(2)26
x π
≤+≤.
（7）说一套做一套，粗枝大叶，心里想的和手上写的不一致
35.设A 、B 是ABC ?的两个内角，且B A tan ,tan 是方程01562=+-x x 的两根，则A+B =____.
分析：由韦达定理易知1tan tan 1tan tan )tan(=-+=+B
A B
A B A ，又π<+
高中数学中的易错题分类训练
1.数学概念的理解不透
1.若不等式ax 2+x+a ＜0的解集为 Φ，则实数a 的取值范围（ ）
≤-21或a ≥21 ＜21 21≤a ≤21 ≥ 2
1 2. 命题“若△ABC 有一内角为3
π
，则△ABC 的三内角成等差数列”的逆命题是（ ）
A ．与原命题真值相异
B ．与原命题的否命题真值相异
C ．与原命题的逆否命题的真值不同
D ．与原命题真值相同 3.判断函数f(x)=(x －1)
x
x
-+11的奇偶性为____________________ 4.1l ，2l ，3l 是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（ ） (A)12l l ⊥，23l l ⊥13//l l ? （B ）12l l ⊥，3//l l ?13l l ⊥
(C)123////l l l ? 1l ，2l ，3l 共面 （D ）1l ，2l ，3l 共点?1l ，2l ，3l 共面 =ab 是a 、x 、b 成等比数列的( )
A.充分非必要条件
B.必要非充分条件
C.充要条件
D.既非充分又非必要条件
6．(1)把三枚硬币一起掷出，求出现两枚正面向上，一枚反面向上的概率.
(2)某种产品100件，其中有次品5件，现从中任抽取6件，求恰有一件次品的概率. 2.公式理解与记忆不准 7.若1,0,0=+>>y x y x ，则y
x 4
1+的最小值为___________. 8. 函数y=sin 4x+cos 4x －4
3
的相位____________，初相为__________ .周期为_________，单调递增区间为____________. 3.审题不严 （1）读题不清
9.已知()f x 是R 上的奇函数，且当0x >时，1()()12
x
f x =+，则()f x 的反函数的图像大致是
10.编号为1，2，3，4，5的五个人，分别坐在编号为1，2，3，4，5的座位上，则至多有两个号码一致的坐法种数为（ ）
A ．120 .119 C
11. 一箱磁带最多有一盒次品.每箱装25盒磁带，而生产过程产生次品磁带的概率是.则一箱磁带最多有一盒次品的概率是 .
（2）忽视隐含条件
12.设βα、是方程0622
=++-k kx x 的两个实根，则2
2
)1()1(-+-βα的最小值是（ ）
不存在)D (18)C (8)B (4
49)A (-
13.已知(x+2)2+ y 2
4
=1, 求x 2+y 2的取值范围. 14. 方程1
122log (9
5)log (32)20x x ------=的解集为___________________-
15. 已知在6个电子元件中，有2个次品，4个合格品，每次任取一个测试，测试完不再放回，直到2个次品都找到为止，求经过4次测试恰好将2个次品全部找出的概率. （3）字母意义含混不清
16.若双曲线22221x y a b -=-的离心率为5
4
，则两条渐近线的方程为（ ）
A.
0916x y ±= B.0169x y ±= C.034x y ±= D.043
x y
±= 4.运算错误
（1）数字与代数式运算出错
17. 若)2,1(),7,5(-=-=b a ρρ
，且（b a ρρλ+）b ρ⊥，则实数λ的值为____________.
18. 已知直线l 与点A （3，3）和B （5，2）的距离相等，且过二直线1l ：3x －y －1=0和
2l ：x+y －3=0的交点，则直线l 的方程为_______________________
（2）运算方法（如公式、运算程序或运算方向等）选择不当导致运算繁杂或不可能得解而出错
19. 已知圆(x －3)2+y 2=4和直线y=mx 的交点分别为P ，Q 两点，O 为坐标原点，则OQ OP ?的值为 . 20.长为1的正四面体内有一点P ，由点P 向各面引垂线，垂线段长度分别为d 1，d 2，d 3，d 4，则d 1＋d 2＋d 3＋d 4的值为
（3）忽视数学运算的精确性，凭经验猜想得结果而出错
21.曲线x 2－12
2=y
的右焦点作直线交双曲线于A 、B 两点，且4=AB ，则这样的直线有___________条.
（4）计量单位缺乏量纲意识
22．甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所能获得的利润依次为P 万元和Q 万元，它们与投入资金x （万元）的关
系有经验公式x Q x P 5
3,51==
.现有3万元资金投入经营甲、乙两种商品，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别是多少元
（1）数学公式或结论的条件不充分
23.已知：a>0 , b>0 , a+b=1,求(a+ 1a )2+(b+ 1
b
)2的最小值.
24.已知两正数x,y 满足x+y=1,则z=11
()()x y x y
++的最小值为 . （2）以偏概全，重视一般性而忽视特殊情况
25．(1)不等式|x+1|(2x －1)≥0的解集为____________
(2)函数y =
的定义域为 . 26.过点(0,1)作直线，使它与抛物线x y 42
=仅有一个公共点，这样的直线有（ ） 条 条 C. 3条 D. 0条
（3）解题时忽视等价性变形导致出错 27. （1）已知f(x) = a x +
b
x
，若,6)2(3,0)1(3≤≤≤≤-f f 求)3(f 的范围. （2）已知集合}1|||{≤-=a x x A ，}03
30
|
{2≥---=x x x x B ，且Φ=B A I ，求实数a 的取值范围. 28.已知数列{}n a 的前n 项和12+=n
n S ，求.n a
29.实数a 为何值时，圆0122
2
2
=-+-+a ax y x 与抛物线x y 2
1
2
=
有两个公共点. 30.(1)设等比数列{}n a 的全n 项和为n S .若9632S S S =+，求数列的公比q . （4）空间识图不准
31．直二面角α－l －β的棱l 上有一点A ，在平面α、β内各有一条射线AB ，AC 与l 成450，AB βα??AC ,，则∠BAC= . （5）推理方向的盲目性 32. 设f ( x ) = x 3－
2
1x 2
－2x ＋5，当]2,1[-∈x 时，f ( x ) < m 恒成立，则实数m 的取值范围为 . （6）限域求值端点取值不正确 33.若31<<-x ,则
_____________;__________1
1
2∈∈-x x 34.已知[0,]4
x π∈,则()2sin(2)6f x x π
=+的取值范围是 .
（7）说一套做一套，粗枝大叶，心里想的和手上写的不一致
35.设A 、B 是ABC ?的两个内角，且B A tan ,tan 是方程01562=+-x x 的两根，则A+B =____.
80个高中数学易错题
2017年高考备考：高中数学易错点梳理 一、集合与简易逻辑 易错点1 对集合表示方法理解存在偏差 【问题】1: 已知{|0},{1}A x x B y y =>=>，求A B I 。 错解：A B =ΦI 剖析：概念模糊，未能真正理解集合的本质。 正确结果：A B B =I 【问题】2: 已知22 {|2},{(,)|4}A y y x B x y x y ==+=+=，求A B I 。 错解： {(0,2),(2,0)}A B =-I 正确答案：A B =ΦI 剖析：审题不慎，忽视代表元素，误认为A 为点集。 反思：对集合表示法部分学生只从形式上“掌握”，对其本质的理解存在误区，常见的错误是不理解集合的表示法，忽视集合的代表元素。 易错点2 在解含参数集合问题时忽视空集 【问题】: 已知2 {|2},{|21}A x a x a B x x =<<=-<<，且B A ?，求a 的取值范围。 错解：[-1，0） 剖析：忽视A =?的情况。 正确答案：[-1，2] 反思：由于空集是一个特殊的集合，它是任何集合的子集，因此对于集合B A ?就有可能忽视了A =?，导致解题结果错误。尤其是在解含参数的集合问题时，更应注意到当参数在某个范围内取值时，所给的集合可能是空集的情况。考生由于思维定式的原因，往往会在解题中遗忘了这个集合，导致答案错误或答案不全面。 易错点3 在解含参数问题时忽视元素的互异性 【问题】: 已知1∈{2a +,2 (1)a +, 2 33a a ++ }，求实数a 的值。 错解：2,1,0a =-- 剖析：忽视元素的互异性，其实当2a =-时，2 (1)a +=233a a ++=1；当1a =-时， 2a +=2 33a a ++=1；均不符合题意。 正确答案：0a = 反思：集合中的元素具有确定性、互异性、无序性，集合元素的三性中的互异性对解题的影响最大，特别是含参数的集合，实际上就隐含着对字母参数的一些要求。解题时可先求出字母参数的值，再代入验证。 易错点4 命题的否定与否命题关系不明 【问题】: 写出“若a M a P ??或，则a M P ?I ”的否命题。 错解一：否命题为“若a M a P ??或，则a M P ∈I ” 剖析：概念模糊，弄错两类命题的关系。 错解二：否命题为“若a M a P ∈∈或，则a M P ∈I ” 剖析：知识不完整，a M a P ??或的否定形式应为a M a P ∈∈且。 正确答案：若a M a P ∈∈且，则a M P ∈I
高中数学易错题举例解析
高中数学易错题举例解析 高中数学中有许多题目，求解的思路不难，但解题时，对某些特殊情形的讨论，却很容易被忽略。也就是在转化过程中，没有注意转化的等价性，会经常出现错误。本文通过几个例子，剖析致错原因，希望能对同学们的学习有所帮助。加强思维的严密性训练。 ● 忽视等价性变形，导致错误。 ??? x >0 y >0 ? ??? x + y >0 xy >0 ，但 ??? x >1 y >2 与 ??? x + y >3 xy >2 不等价。 【例1】已知f(x) = a x + x b ，若,6)2(3,0)1(3≤≤≤≤-f f 求)3(f 的范围。 错误解法 由条件得?? ? ??≤+≤≤+≤-62230 3b a b a ②① ②×2－① 156≤≤a ③ ①×2－②得 32 338-≤≤- b ④ ③+④得 .3 43 )3(310,34333310≤≤≤+≤f b a 即 错误分析 采用这种解法，忽视了这样一个事实：作为满足条件的函数b x ax x f + =)(，其值是同时受b a 和制约的。当a 取最大（小）值时，b 不一定取最大（小）值，因而整个解题思路是错误的。 正确解法 由题意有?? ? ??+=+=22)2()1(b a f b a f , 解得： )],2()1(2[3 2 )],1()2(2[31f f b f f a -=-= ).1(9 5 )2(91633)3(f f b a f -=+=∴ 把)1(f 和)2(f 的范围代入得 .3 37)3(316≤≤f 在本题中能够检查出解题思路错误，并给出正确解法，就体现了思维具有反思性。只有牢固地掌握基础知识，才能反思性地看问题。 ●忽视隐含条件，导致结果错误。 【例2】 (1) 设βα、是方程0622 =++-k kx x 的两个实根，则2 2 )1()1(-+-βα的最小值是
高中数学易错题集锦
高中数学易错题集锦 高中数学中有许多题目，求解的思路不难，但解题时，对某些特殊情形的讨论，却很容易被忽略。也就是在转化过程中，没有注意转化的等价性，会经常出现错误。本文通过几个例子，剖析致错原因，希望能对读者的学习有所帮助，加强思维的严密性训练。 忽视等价性变形，导致错误。 ??? x >0 y >0 ? ??? x + y >0 xy >0 ，但 ??? x >1 y >2 与 ??? x + y >3 xy >2 不等价。 【例1】已知f(x) = a x + x b ，若,6)2(3,0)1(3≤≤≤≤-f f 求)3(f 的范围。 错误解法 由条件得?? ? ??≤+≤≤+≤-62230 3b a b a ②① ②×2－① 156≤≤a ③ ①×2－②得 32 338-≤≤- b ④ ③+④得 .3 43 )3(310,34333310≤≤≤+≤f b a 即 错误分析 采用这种解法，忽视了这样一个事实：作为满足条件的函数b x ax x f + =)(，其值是同时受b a 和制约的。当a 取最大（小）值时，b 不一定取最大（小）值，因而整个解题思路是错误的。 正确解法 由题意有?? ? ??+=+=22)2()1(b a f b a f , 解得： )],2()1(2[3 2 )],1()2(2[31f f b f f a -=-= ).1(95)2(91633)3(f f b a f -=+=∴ 把)1(f 和)2(f 的范围代入得 .3 37 )3(316≤≤f 在本题中能够检查出解题思路错误，并给出正确解法，就体现了思维具有反思性。只有牢固 地掌握基础知识，才能反思性地看问题。 ●忽视隐含条件，导致结果错误。 【例2】解下列各题 (1) 设βα、是方程0622 =++-k kx x 的两个实根，则2 2)1()1(-+-βα的最小值是 不存在)D (18)C (8)B (4 49)A (- 思路分析 本例只有一个答案正确，设了3个陷阱，很容易上当。 利用一元二次方程根与系数的关系易得：,6,2+==+k k αββα
【易错题】高中必修二数学下期中模拟试卷(及答案)
【易错题】高中必修二数学下期中模拟试卷(及答案) 一、选择题 1．在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，1AC 与平面11BB C C 所成的角为 30o ，则该长方体的体积为（ ） A ．8 B ．62 C ．82 D ．83 2．陀螺是汉族民间最早的娱乐工具之一，也称陀罗，北方叫做“打老牛”.陀螺的主体形状一般是由上面部分的圆柱和下面部分的圆锥组成.如图画出的是某陀螺模型的三视图，已知网格纸中小正方形的边长为1，则该陀螺模型的体积为（ ） A ．1073 π B ． 32 453 π+ C ． 16323π+ D ．32333 π+ 3．已知,,,A B C D 是同一球面上的四个点，其中ABC ?是正三角形，AD ⊥平面ABC ，26AD AB ==，则该球的体积为（ ） A ．48π B ．24π C ．16π D ．323π 4．如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为( ) A ．202π+ B ．203π+ C ．242π+ D ．243π+ 5．已知两点()A 3,4-，()B 3,2，过点()P 1,0的直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围是( ) A ．()1,1- B ．()(),11,∞∞--?+
C ．[]1,1- D ．][() ,11,∞∞--?+ 6．下列命题正确的是（ ） A ．经过三点确定一个平面 B ．经过一条直线和一个点确定一个平面 C ．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面 D ．四边形确定一个平面 7．圆心在x +y =0上，且与x 轴交于点A （-3，0）和B （1，0）的圆的方程为（ ） A ．22(1)(1)5x y ++-= B ．22(1)(1)5x y -++= C ．22(1)(1)5x y -++= D ．22(1)(1)5x y ++-= 8．已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，SC 为球O 的直径，且SC OA ⊥，SC OB ⊥，OAB V 为等边三角形，三棱锥S ABC -的体积为 43 3 ，则球O 的半径为( ) A ．3 B ．1 C ．2 D ．4 9．在我国古代数学名著 九章算术 中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑ABCD 中， AB ⊥平面BCD ，且AB BC CD ==，则异面直线AC 与BD 所成角的余弦值为（ ） A ． 12 B ．12 - C ． 3 D ．3- 10．如图1，ABC ?是以B 为直角顶点的等腰直角三角形，T 为线段AC 的中点，G 是 BC 的中点，ABE ?与BCF ?分别是以AB 、BC 为底边的等边三角形，现将ABE ?与 BCF ?分别沿AB 与BC 向上折起（如图2），则在翻折的过程中下列结论可能正确的个数为（ ） 图1 图2 （1）直线AE ⊥直线BC ；（2）直线FC ⊥直线AE ； （3）平面//EAB 平面FGT ；（4）直线//BC 直线AE .
高中数学易错题分类及解析
高中数学中的易错题分类及解析关键词：高考数学易错题全文摘要：“会而不对，对而不全”严重影响考生成绩. 易错题的特征：心理因素、易错点的隐蔽性、形式多样性、可控性. 易错题的分类解析: 分为五大类即审题不严、运算失误、概念模糊、公式记忆不准确、思维不严，每类再分为若干小类，列举高中数学中的典型易错题进行误解与正解和错因分析. 本文既是对高考中的易错题目的分类解析，同时又是第一轮复习中的一本易错题集. 下表是易错题分类 表：
数学学习的过程，从本质上说是一种认识过程，其间包含了一系列复杂的心理活动 . 从 数学学习的认知结构上讲， 数学学习的过程就是学生头脑里的数学知识按照他自己理解的深 度与广度，结合自己的感觉、知觉、记忆、思维与联想，组合成的一个整体结构 . 所以，数 学中有许多题目，求解的思路并不繁杂， 但解题时，由于读题不仔细， 或者对某些知识点的 理解不透彻，或者运算过程中没有注意转化的等价性，或者忽略了对某些特殊情形的讨 论??等等原因，都会导致错误的出现 . “会而不对，对而不全” ，一直以来都是严重影响考 生数学成绩的重要因素 . 一．易错题的典型特征 解题出错是数学答题过程中的正常现象，它既与数学学习环境有 关 度有关 . 同时也与考生的数学水平、身体与心理状况有关 . 1．考生自我心理素质 ：数学认知结构是数学知识的逻辑结构与学生的心理结构相互作用的 产物.而数学解题是考生主体感受并处理数学信息的创造性的心理过程 . 部分考生题意尚未 明确， 加之考试求胜心切，仅凭经验盲目做题，以至于出现主观认识错误或陷入主观思维 定势，造成主观盲动性错误和解题思维障碍 . 2．易错点的隐蔽性 ：数学知识的逻辑结构是由数学知识之间的内在的联系联结而成的整体， 而其心理结构是指智力因素及其结构，即观察力、记忆力、想象力、注意力和思维力等五 个因素组成 . 数学解题是考生借助特定“数学语言”进行数学思维的过程，在这个过程中考 生的数学知识结构和数学思维习惯起着决定性的作用 . 个体思维的跳跃性是产生思维漏洞 的根本原因，这种思维漏洞一旦产生，考生自己是很难发现的，因此易错点的隐蔽性很强 3．易错点形式多样性 ：根据数学学习的一般过程及数学认知结构的特点，数学易错点一般 有知识性错误和心理性错误两种等形式：而知识性错误主要包括数学概念的理解不透彻、 数学公式记忆不准确两方面；心理性错误包括审题不严、运算失误、数学思维不严谨等 . 4．易错题的可控性 ：学生的认识结构有其个性特点 . 在知识总量大体相当的情况下，有的 学生对知识不仅理解深刻，而且组织得很有条理，便于储存与撮；相反，有的学生不仅对 知识理解肤浅，而且支离破碎，杂乱无章，这就不利于储存，也不容易提取 . 在学生形成了 一定的数学认知结构后，一旦遇到新的信息，就会利用相应的认知结构对新信息进行处理 和加工，随着认识活动的进行，学生的认知结构不断分化和重组，并逐渐变得更加精确和 完善，所谓“吃一堑长一智” . 只要我们在容易出错的地方提高警戒意识，建立建全解题的 “警戒点” , 养成严谨的数学思维好习惯，易错点就会逐渐减少 . 1. 数学概念的理解不透 数学概念所能反映的数学对象的属性， 不仅是不分精粗的笼统的属性， 它已经是抓住了 数学对象的根本的、 最重要的本质属性 . 每一个概念都有一定的外延与内涵 . 而平时学习中对 概念本质的不透彻， 对其外延与内涵的掌握不准确， 都会在解题中反映出来， 导致解题出错 例 1. 若不等式 ax 2 +x+a < 0 的解集为 Φ，则实数 a 的取值范围（ ） 1 1 1 1 1 1 A.a ≤ - 或 a ≥ B.a < C.- ≤ a ≤ D.a ≥ 2 2 2 2 2 2 【错解】选 A.由题意，方程 ax 2 +x+a=0的根的判别式 0 1 4a 2 0 , 又与试题的难易程 易错题的分类解析
高考数学易考易错点总结
高考数学易考易错点总结 高考数学易考易错点总结? 1.指数、对数函数的限制条件你注意了吗?(真数大于零，底数大于零且不等于1)它们的函数值分布情况是如何的? 2.利用换元法证明或求解时，是否注意“新元”的范围变化?是否保证等价转化? 3.利用放缩法证明或求解时，是否注意放缩的尺度及方向的统一? 4.图像变换的时候是否清楚任何变换都是对“变量本身” 进行的? 5.对于集合，你是否清楚集合中的元素(数、点、符号、图形等)是什么及元素的特性(确定性、互异性、无序性)?在集合运算时是否注意空集和全集? 6.命题的否定(只否结论)与否命题(条件、结论全否)的区别你知道吗? 7.求一个函数或其反函数的解析式的时候你标明函数的定 义域了吗? 8.映射的概念你了解吗?对于映射f:A→B，是否注意到集合A中元素的任意性和集合B中与它对应元素的唯一性(B中可有多余元素)? 9.根据定义证明函数的单调性时的一般步骤是什么(取值规定大小、作差化连乘积、判断符号下结论)?
10.判断一个函数的奇偶性时是否注意到定义域关于原点对称这个必要非充分条件了? 11.“三个二次”的关系你清楚吗?(二次函数的图像与轴的交点的横坐标即二次方程的根;不等式的解集为二次函数图像上方或下方的点的横坐标的集合)含有参数的二次型你是否注意对二次项系数、对称轴、定义域、判别式、根的大小等的讨论? 12.数列也是一种特殊的函数你忽视了吗?是否能利用数列 性质解题? 13.你还记得三角变换化简的通性通法吗(“角”的变换、“名”的变换、“幂”的变换、“形”的变换等)? 14.利用“均值不等式”证明或求最值的时候是否注意“一正、二定、三相等”的条件?如果等号取不到经常采用哪些办法(利用单调性、配凑、图像法等)? 15.分式不等式的一般解法是什么(移项、通分、合并同类项、分式化整式)? 16.理解直线的倾斜角和斜率的概念了吗?在设直线方程解 题时是否忽略斜率不存在的情况? 17.直线的截距概念如何理解(截距可以是正数、负数、零)? 18.会求球面距离吗?它的基本类型有哪些?你能把它们转化为熟悉的图形吗(经度同纬度不同转化为线面角、纬度同经度不同转化为二面角)?
【易错题】高中必修二数学下期末试题附答案
【易错题】高中必修二数学下期末试题附答案 一、选择题 1．设m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则（ ） A ．若//m α，//n α，则//m n B ．若//m α，//m β，则//αβ C ．若//m n ，n α⊥，则m α⊥ D ．若//m α，αβ⊥，则m β⊥ 2．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是 A ．甲地：总体均值为3，中位数为4 B ．乙地：总体均值为1，总体方差大于0 C ．丙地：中位数为2，众数为3 D ．丁地：总体均值为2，总体方差为3 3．已知集合{} {}2 |320,,|05,A x x x x R B x x x N =-+=∈=<<∈，则满足条件 A C B ??的集合 C 的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4．如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数()f x ，则()y f x =在[0,]π上的图象大致为（ ） A ． B ．
C ． D ． 5．《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有这样一道题目：把100个面包分给5个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的1 7 是较小的两份之和，则最小的一份为（ ） A ． 53 B ． 103 C ． 56 D ． 116 6．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．某“堑堵”的三视图如图所示，则它的表面积为（ ） A ．2 B ．422+ C ．442+ D ．642+ 7．我国古代数学名著《九章算术》对立体几何也有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥．现有一如图所示的“堑堵”即三棱柱 111ABC A B C -，其中AC BC ⊥，若11AA AB ==，当“阳马”即四棱锥11B A ACC -体 积最大时，“堑堵”即三棱柱111ABC A B C -的表面积为 A 21 B 31 C ． 23 2 D 33 +8．当x ∈R 时，不等式210kx kx -+>恒成立，则k 的取值范围是（ ） A ．(0,)+∞ B ．[)0,+∞ C ．[)0,4 D ．（0，4）
高中数学】高中数学18个易错知识点e
【高中数学】高中数学18个易错知识点汇总，看完拿高分！ Part 1 集合与简单逻辑 01易错点：遗忘空集致误 错因分析：由于空集是任意非空集合的真子集，因此，对于集合B，就有B=?，B≠?两种情况，在解题中如果思维不够缜密就有可能忽视了B=?这种情况，导致解题结果错误。尤其是在解含有参数的集合问题时，更要充分注意当参数在某个范围内取值时所给的集合可能是空集这种情况。空集是一个特殊的集合，由于思维定式的原因，考生往往会在解题中遗忘了这个集合，导致解题错误或解题不全面。 02易错点：忽视集合元素的三性致误 错因分析：集合中的元素具有确定性、无序性、互异性，集合元素的三性中互异性对解题的影响最大，特别是带有字母参数的集合，实际上就隐含着对字母参数的一些要求。在解题时也可以先确定字母参数的范围，再具体解决问题。 03易错点：四种命题的结构不明致误 错因分析：如果原命题是“若A则B”，则这个命题的逆命题是“若B则A”，否命题是“若┐A 则┐B”，逆否命题是“若┐B则┐A”。这里面有两组等价的命题，即“原命题和逆否命题等价，否命题与逆命题等价”。在解答由一个命题写出该命题的其他形式的命题时，一定要明确四种命题的结构以及它们之间的等价关系。另外，在否定一个命题时，要注意全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题。如对“a，b都是偶数”的否定应该是“a，b不都是偶数”，而不应该是“a，b都是奇数”。
04易错点：充分必要条件颠倒致误 错因分析：对于两个条件A，B，如果A=>B成立，则A是B的充分条件，B是A的必要条件;如果B=>A成立，则A是B的必要条件，B是A的充分条件;如果A<=>B，则A，B互为充分必要条件。解题时最容易出错的就是颠倒了充分性与必要性，所以在解决这类问题时一定要根据充要条件的概念作出准确的判断。 05易错点：逻辑联结词理解不准致误 错因分析：在判断含逻辑联结词的命题时很容易因为理解不准确而出现错误，在这里我们给出一些常用的判断方法，希望对大家有所帮助：p∨q真<=>p真或q真，p∨q假<=>p假且q 假(概括为一真即真);p∧q真<=>p真且q真，p∧q假<=>p假或q假(概括为一假即假) Part 2 函数与导数 06易错点：求函数的定义域时忽视细节致误 错因分析：函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围，因此要求定义域就要根据函数解析式把各种情况下的自变量的限制条件找出来，列成不等式组，不等式组的解集就是该函数的定义域。 在求一般函数定义域时要注意下面几点： (1)分母不为0; (2)偶次被开放式非负; (3)真数大于0;
高一数学必修一易错题集锦答案
高一数学必修一易错题集锦答案 1. 已知集合M={y |y =x 2 ＋1,x∈R },N={y|y =x ＋1,x∈R }，则M∩N=（ ） 解：M={y |y =x 2 ＋1,x∈R }={y |y ≥1}， N={y|y=x ＋1,x∈R }={y|y∈R }． ∴M∩N={y |y ≥1}∩{y|(y∈R)}={y |y ≥1}, 注：集合是由元素构成的，认识集合要从认识元素开始，要注意区分{x |y =x 2＋1}、{y |y =x 2 ＋1,x ∈R }、{(x ,y )|y =x 2 ＋1,x ∈R }，这三个集合是不同的． 2 .已知A={x |x 2－3x ＋2=0},B={x |ax －2=0}且A∪B=A，求实数a 组成的集合C ． 解：∵A∪B=A ∴B A 又A={x |x 2－3x ＋2=0}={1，2}∴B=或{}{}21或∴C={0，1，2} 3 。已知m ∈A,n ∈B, 且集合A={}Z a a x x ∈=,2|，B={}Z a a x x ∈+=,12|，又C={}Z a a x x ∈+=,14|，则有：m +n ∈ (填A,B,C 中的一个) 解：∵m ∈A, ∴设m =2a 1,a 1∈Z , 又∵n B ∈,∴n =2a 2+1,a 2∈ Z , ∴m +n =2(a 1+a 2)+1,而a 1+a 2∈ Z , ∴m +n ∈B 。 4 已知集合A={x|x 2－3x －10≤0}，集合B={x|p ＋1≤x≤2p－1}．若B A ，求实数p 的取值范围． 解：①当B≠时，即p ＋1≤2p－1p≥2.由B A 得：－2≤p＋1且2p －1≤5. 由－3≤p≤3.∴ 2≤p≤3 ②当B=时，即p ＋1>2p －1p ＜2. 由①、②得：p≤3. 点评：从以上解答应看到：解决有关A∩B=、A∪B=，A B 等集合问题易忽视空集的情况而出现漏解，这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题． 5 已知集合A={a,a ＋b,a ＋2b}，B={a,ac,ac 2 }．若A=B ，求c 的值． 分析：要解决c 的求值问题，关键是要有方程的数学思想，此题应根据相等的两个集合元素完全相同及集合中元素的确定性、互异性，无序性建立关系式． 解：分两种情况进行讨论． （1）若a ＋b=ac 且a ＋2b=ac 2，消去b 得：a ＋ac 2 －2ac=0， a=0时，集合B 中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故a≠0． ∴c 2 －2c ＋1=0，即c=1，但c=1时，B 中的三元素又相同，此时无解． （2）若a ＋b=ac 2且a ＋2b=ac ，消去b 得：2ac 2 －ac －a=0， ∵a≠0，∴2c 2 －c －1=0， 即(c －1)(2c ＋1)=0，又c≠1，故c=－ 21． 点评：解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验. 6 设A 是实数集，满足若a∈A，则 a -11∈A ，1≠a 且1?A. ⑴若2∈A，则A 中至少还有几个元素？求出这几个元素⑵A 能否为单元素集合？请说明理由. ⑶若a∈A，证明：1－ a 1∈A.⑷求证：集合A 中至少含有三个不同的元素.
高中数学易错题集锦
高中数学易错题集锦 指导教师：任宝安 参加学生：路栋胡思敏 李梅张大山 ?【例1②×2①×2③+b a 和 993)3(f ∴3 3在本题中能够检查出解题思路错误，并给出正确解法，就体现了思维具有反思性。只有牢固地掌握基础知识，才能反思性地看问题。 ●忽视隐含条件，导致结果错误。 【例2】解下列各题 (1) 设βα、是方程0622=++-k kx x 的两个实根，则22)1()1(-+-βα的最小值是 思路分析本例只有一个答案正确，设了3个陷阱，很容易上当。 利用一元二次方程根与系数的关系易得：,6,2+==+k k αββα 有的学生一看到4 49 - ，常受选择答案（A ）的诱惑，盲从附和，这正是思维缺乏反思性的体现。如
果能以反思性的态度考察各个选择答案的来源和它们之间的区别，就能从中选出正确答案。 原方程有两个实根βα、 ∴0)6k (4k 42≥+-=??.3k 2k ≥-≤或 当3≥k 时，22)1()1(-+-βα的最小值是8； 当2-≤k 时，22)1()1(-+-βα的最小值是18 这时就可以作出正确选择，只有（B ）正确。 (2)已知(x+2)2+=1,求x 2+y 2的取值范围。 错解∴当分析∴ x 2 【例3错解)2的最小 值是分析2 1 ,第二 原式 由ab ∴原式≥2×17+4=2(当且仅当a=b=2时，等号成立)， ∴(a+a 1)2+(b+b 1 )2的最小值是。 ●不进行分类讨论，导致错误 【例4】已知数列{}n a 的前n 项和12+=n n S ，求.n a 错误解法.222)12()12(1111----=-=+-+=-=n n n n n n n n S S a 错误分析显然，当1=n 时，1231111=≠==-S a 。 错误原因：没有注意公式1--=n n n S S a 成立的条件是。
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高一数学必修一易错题集锦答案 1. 已知集合 M={y | y = x 2＋1,x ∈ R},N={y| y = x ＋1,x ∈ R} ，则 M ∩N=（ ） 解： M={y | y =x 2＋1,x ∈ R}={ y | y ≥1} ， N={y|y=x ＋1,x ∈ R}={y|y ∈ R} ． ∴M ∩N={ y | y ≥1} ∩{y|(y ∈R)}={ y | y ≥1}, 注：集合是由元素构成的， 认识集合要从认识元素开始， 要注意区分 { | = 2＋ 1} 、{ | = 2 x y x y y x ＋1, x ∈ R} 、 {( x , y )| y =x 2＋ 1, x ∈R} ，这三个集合是不同的． 2 . 已知 A={ x | x 2－ 3x ＋ 2=0},B={ x | ax － 2=0} 且 A ∪B=A ，求实数 a 组成的集合 C ． 解：∵ A ∪B=A ∴ B A 又 A={ x | x 2 － 3x ＋2=0}={1 ，2} ∴B= 或 1 或 2 ∴ C={0，1，2} 3 。 已知 m A, n B, 且集合 A= x | x 2a, a Z ， B= x | x 2a 1, a Z ，又 C= x | x 4a 1,a Z ，则有： m +n ( 填 A,B,C 中的一个 ) 解：∵ m A, ∴设 m =2a , a 1 Z, 又∵ n B , ∴ n =2a 2+1, a Z , 1 2 ∴ m +n =2( a 1+a 2)+1, 而 a 1+a 2 Z , ∴ m +n B 。 4 已知集合 A={x|x 2 － 3x － 10≤0} ，集合 B={x|p ＋1≤x ≤2p － 1} ．若 B A ，求实数 p 的取值范围． 解：①当 B ≠ 时，即 p ＋1≤2p － 1 p ≥2. 由 B A 得：－ 2≤p ＋ 1 且 2p －1≤5. 由－ 3≤p ≤3. ∴ 2≤p ≤3 ②当 B= 时，即 p ＋ 1>2p － 1 p ＜ 2. 由①、②得： p ≤3. 点评 ：从以上解答应看到：解决有关 A ∩B= 、A ∪B= ， A B 等集合问题易忽视空集 的情况而出现漏解，这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题． 5 已知集合 A={a,a ＋ b,a ＋ 2b} ， B={a,ac,ac 2} ．若 A=B ，求 c 的值． 分析 ：要解决 c 的求值问题， 关键是要有方程的数学思想， 此题应根据相等的两个集合 元素完全相同及集合中元素的确定性、互异性，无序性建立关系式． 解：分两种情况进行讨论． （ 1）若 a ＋ b=ac 且 a ＋ 2b=ac 2，消去 b 得： a ＋ ac 2－ 2ac=0， a=0 时，集合 B 中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故 a ≠0． ∴ c 2－ 2c ＋ 1=0，即 c=1，但 c=1 时， B 中的三元素又相同，此时无解． （ 2）若 a ＋ b=ac 2 且 a ＋ 2b=ac ，消去 b 得： 2ac 2－ac － a=0，∵a ≠0，∴ 2c 2－ c － 1=0， 即 (c －1)(2c ＋ 1)=0 ，又 c ≠1，故 c=－ 1 ． 2 点评 ：解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验 . 6 设 A 是实数集，满足若 a ∈A ，则 1 且 1 A. A ， a 1 1 a ⑴若 2∈A ，则 A 中至少还有几个元素？求出这几个元素⑵A 能否为单元素集合？请说明 理由 . ⑶若 a ∈A ，证明： 1－ 1 ∈A. ⑷求证：集合 A 中至少含有三个不同的元素 . a
(完整)高一数学必修一易错题(提高篇)
集合部分错题库 1．若全集{}{}0,1,2,32U U C A ==且，则集合A 的真子集共有（ ） A ．3个 B ．5个 C ．7个 D ．8个 2.已知集合M ＝{(x ，y)|x ＋y ＝3}，N ＝{(x ，y)|x －y ＝5}，那么集合M ∩N 为 A.x ＝4，y ＝－1 B.(4，－1) C.{4，－1} D.{(4，－1)} 3.已知集合A ＝{x|x 2－5x+6<0}，B ＝{x|x< a 2 }，若A B ，则实数a 的范围为 A.［6，+∞) B.(6，+∞) C.(－∞，－1) D.(－1，+∞) 4.满足{x|x 2－3x ＋2＝0}M {x ∈N|0 高中数学易错题 一．选择题（共6小题） 1．已知在△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，AC=3，P是AB上一点，则点P到AC，BC的距离乘积的最大值是（）A．2B．3C．4D．5 2．在△ABC中，边AB=，它所对的角为15°，则此三角形的外接圆直径为（） A．缺条件，不能求出B．C．D． 3．在△ABC中，边a，b，c分别为3、4、5，P为△ABC内任一点，点P到三边距离之和为d，则d的取值范围是（） A．3＜d＜4 B．C．D． 4．在平面直角坐标系xoy中，已知△ABC的顶点A（﹣6，0）和C（6，0），顶点B在双曲线的左支上，则等于（） A．B．C．D． 5．（2009?闸北区二模）过点A（1，﹣2），且与向量平行的直线的方程是（） A．4x﹣3y﹣10=0 B．4x+3y+10=0 C．3x+4y+5=0 D．3x﹣4y+5=0 6．（2011?江西模拟）下面命题： ①当x＞0时，的最小值为2； ②过定点P（2，3）的直线与两坐标轴围成的面积为13，这样的直线有四条； ③将函数y=cos2x的图象向右平移个单位，可以得到函数y=sin（2x﹣）的图象； ④已知△ABC，∠A=60°，a=4，则此三角形周长可以为12． 其中正确的命题是（） A．①②④B．②④C．②③D．③④ 二．填空题（共10小题） 7．Rt△ABC中，AB为斜边，?=9，S△ABC=6，设P是△ABC（含边界）内一点，P到三边AB，BC，AC的距离分别为x，y，z，则x+y+z的取值范围是_________． 8．（2011?武进区模拟）在△ABC中，，且△ABC的面积S=asinC，则a+c的值=_________．9．锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．边长a，b是方程的两个根，且 1、（2006北京）用32P标记了玉米体细胞（含20条染色体）的DNA分子双链，再将这些细胞转入不含32P的培养基中培养，在第二次细胞分裂的中期、后期，一个细胞中的染色体条数和被32P标记的染色体条数分别是（） A．中期20和20、后期40和20 B．中期20和10、后期40和20 C．中期20和20、后期40和10 D．中期20和10、后期40和10 2、某动物减数分裂所产生的一个极体中，染色体数为M个，核DNA分子数为N 个，又已知M≠N，则该动物的一个初级卵母细胞中的染色体数和DNA分子数分别是（） A．M和N B．2M和2N C．2M和4N D．4M和2N 3、一双链DNA分子中G+A=140，G+C=240，在以该DNA分子为模板的复制过程中共用去140个胸腺嘧啶脱氧核苷酸，则该DNA分子连续复制了几次？（）A．1次B．2次C．3次D．4次 4、（2006上海）用一个32P标记的噬菌体侵染细菌。若该细菌解体后释放出32个大小、形状一样的噬菌体，则其中含有32P的噬菌体（） A．0个B．2个C．30个D．32个 5、某DNA分子中含有1000个碱基对（P元素只含32P）。若将DNA分子放在只含31P的脱氧核苷酸的培养液中让其复制两次，则子代DNA的相对分子质量平均比原来（） A．减少1500B．增加1500 C．增加1000 D．减少1000 6、具有两对相对性状的豌豆杂交，F1全为黄色圆粒豌豆，F1自交得到F2，问在F2中与两种亲本表现型相同的个体占全部子代的（） A．5/8 B．3/4 C．3/8 D．3/8或5/8 7、囊性纤维变性是一种常染色体遗传病。在欧洲人群中，每2500个人中就有一个患此病。如一对健康的夫妇有一患有此病的孩子，此后，该妇女又与健康的男子再婚。再婚的双亲生一孩子患该病的概率是多少？（） A．1/25 B．1/50 C．1/100D．1/625 8．在孟德尔豌豆杂交试验中，若n代表研究的非同源染色体上等位基因的对数，则2n能代表(c) ①F1形成配子的类型数 ②F1自交产生F2时雌雄配子的组合数 ③F2的基因型种类数 ④F2的表现型种类数 A．①②B．①③ C．①④ D．②④ 9．豌豆子叶的黄色(Y)，圆粒种子(R)均为显性。两亲本豌豆杂交的F1表现型如下图。让F1中黄色圆粒豌豆与绿色皱粒豌豆杂交，F2的性状分离比为(d) A．9∶3∶3∶1 B．3∶1∶3∶1 C．1∶1∶1∶1 D．2∶2∶1∶1 10．香豌豆能利用体内的前体物质经过一系列代谢过程逐步合成蓝色中间产物和紫色色素，此过程是由B、b和D、d两对等位基因控制(如下图所示)，两对基因不在同一对染色体上。其中具有紫色素的植株开紫花，只具有蓝色中间产物的开蓝花，两者都没有的则开白花。下列叙述中不正确的是(c) 基因B基因D 酶B酶D 前体物质―→中间产物―→紫色素 (白色)(蓝色)(紫色) A．只有香豌豆基因型为B__D__时，才能开紫花 B．基因型为bbDd的香豌豆植株不能合成中间物质，所以开白花 C．基因型为Bbdd与bbDd的香豌豆杂交，后代表现型的比例为1∶1∶1∶1 D．基因型为BbDd的香豌豆自花传粉，后代表现型比例9∶4∶3 高中数学37个易错知识点汇总分析 为了帮助同学们复习备考，减少不必要的丢分，下面对高中数学易错知识点37个进行汇总分析，供同学们参考。 1．在应用条件A∪B＝B，A∩B＝A 时，易忽略A是空集Φ的情况。 2．求解与函数有关的问题易忽略定义域优先的原则，尤其是在与实际生活相联系的应用题中，判断两个函数是否是同一函数也要判断函数的定义域，求三角函数的周期时也应考虑定义域。 3．判断函数奇偶性时，易忽略检验函数定义域是否关于原点对称，优先考虑定义域对称。 4．解对数不等式时，易忽略真数大于0、底数大于0且不等于1这一条件。 5．用判别式法求最值（或值域）时，需要就二次项系数是否为零进行讨论，易忽略其使用的条件，应验证最值。 6．用判别式判定方程解的个数（或交点的个数）时，易忽略讨论二次项的系数是否为0。尤其是直线与圆锥曲线相交时更易忽略。 7．用均值定理求最值（或值域）时，易忽略验证“一正（几个数或代数式均是正数）二定（几个数或代数式的和或者积是定值）三等（几个数或代数式相等）”这一条件。 8．用换元法解题时，易忽略换元前后的等价性。 9．求反函数时，易忽略求反函数的定义域。 10．求函数单调性时，易错误地在多个单调区间之间添加符号“∪”和“或”；单调区间不能用集合或不等式表示，而应用逗号连接多个区间。 11．用等比数列求和公式求和时，易忽略公比ｑ＝1的情况。 12．已知Sn求a n 时，易忽略n＝1的情况。 13．用直线的点斜式、斜截式设直线的方程时，易忽略斜率不存在的情况；题目告诉截距相等时，易忽略截距为0的情况。 14.求含系数的直线方程平行或者垂直的条件时，易忽略直线与x轴或者y 轴平行的情况。 15．用到角公式时，易将直线L 1、L 2 的斜率ｋ 1 、ｋ 2 的顺序弄颠倒；使用到 高中数学错题精选一：三角部分 1．△ABC 中，已知cosA= 135，sinB=5 3 ，则cosC 的值为（ ） A 、6516 B 、6556 C 、6516或6556 D 、65 16 - 2．为了得到函数??? ? ? -=62sin πx y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象（ ） A 向右平移 6π B 向右平移3π C 向左平移6π D 向左平移3 π 3．若sin cos θθ+=1，则对任意实数n n n ，sin cos θθ+的取值为（ ） A. 1 B. 区间（0，1） C. 121 n - D. 不能确定 4．函数]),0[)(26 sin(2ππ ∈-=x x y 为增函数的区间是…………………( ) A. ]3, 0[π B. ]127, 12[ ππ C. ]65,3[ππ D. ],6 5[ππ 5．在锐角⊿ABC 中，若1tan +=t A ，1tan -=t B ，则t 的取值范围为（ ） A 、),2(+∞ B 、),1(+∞ C 、)2,1( D 、)1,1(- 6．已知53sin +-= m m θ，524cos +-=m m θ（πθπ <<2），则=θtan （C ） A 、324--m m B 、m m 243--± C 、125- D 、12 543--或 7．曲线y=2sin(x+)4 πcos(x-4 π)和直线y=2 1 在y 轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为P 1、P 2、 P 3……，则|P 2P 4|等于 （ ） A ．π B ．2π C ．3π D ．4π 8．函数的图象的一条对称轴的方程是（） 9．先将函数y=sin2x 的图象向右平移π 3个单位长度，再将所得图象作关于y 轴的对称变换，则所得 函数图象对应的解析式为 （ ） A ．y=sin(－2x+ π 3 ) B ． y=sin(－2x － π3 ) C ．y=sin(－2x+ 2π3 ) D ． y=sin(－2x －2π 3 ) 10．函数x x y cos sin =的单调减区间是（ ） A 、]4 ,4 [π ππ π+- k k （z k ∈） B 、)](43 ,4[z k k k ∈++ πππ π C 、)](2 2,4 2[z k k k ∈+ + π ππ π D 、)](2 ,4 [z k k k ∈+ + π ππ π 11．已知奇函数()[]上为，在01 -x f 单调减函数，又α，β为锐角三角形内角，则（ ） A 、f(cos α)＞ f(cos β) B 、f(sin α)＞ f(sin β) C 、f(sin α)＜f(cos β) D 、f(sin α)＞ f(cos β) 高中数学错题精选二：不等式部分 1、若不等式ax 2+x+a ＜0的解集为 Φ，则实数a 的取值范围（ ） A a ≤- 21或a ≥21 B a ＜21 C -21≤a ≤21 D a ≥ 2 1 正确答案：D 错因：学生对一元二次不等式与二次函数的图象之间的关系还不能掌握。 2、已知函数y =㏒2 1(3x )52 +-ax 在[-1，+∞）上是减函数，则实数a 的取值范围（ ） A a ≤-6 B -60＜a ＜-6 C -8＜a ≤-6 D －8≤a ≤-6 正确答案：C 错因：学生忘记考虑定义域真数大于0这一隐含条件。 3、f(x)=︱2x —1｜，当a ＜b ＜c 时有f(a)＞f(c)＞f(b)则（ ） A a ＜0,b ＜0,c ＜0 B a ＜0,b ＞0,c ＞0 C 2 a -＜2c D 22+a c ＜2 正确答案：D 错因：学生不能应用数形结合的思想方法解题。 4、已知实数x 、y 满足x 2+y 2=1，则(1－xy)(1+xy)( ) A.有最小值 2 1 ，也有最大值1 B.有最小值 4 3 ，也有最大值1 C.有最小值 4 3 ，但无最大值 D.有最大值1，但无最小值 正确答案：B 。 错误原因：容易忽视x 、y 本身的范围。 5、已知21,x x 是方程)(0)53()2(2 2R k k k x k x ∈=+++--的两个实根，则2 22 1x x +的最大值为 （ ）(完整版)高中数学易错题(含答案)
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