有理数和无理数的概念

有理数和无理数

1定义：有理数：我们把能够写成分数形式

n

m (m 、n 是整数，n≠0)的数叫做有理数。

无理数：①无限②不循环小数叫做无理数。如圆周率、√2（根号2）等。 2有理数的分类

整数和分数都可以写成分数的形式，它们统称为有理数。零既不是正数，也不是负数。有限小数和无限循环小数都可以看作分数，也是有理数。 3无理数的两个前提条件：（1）无限（2）不循环

4区别：（1）无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数。

（2）任何一个有理数后可以化为分数的形式，而无理数则不能。 实数的分类

实数???????????????????????????????????????????负无理数正无理数无理数负分数正分数分数负整数正整数整数有理数0

注意： 通常把正数和0统称为非负数，负数和0统称为非正数，正整数和0称为非负整数（也叫做自然数），负整数和0统称为非正整数。如果用字母表示数，则a ＞0表明a 是正数；a ＜0表明a 是负数；a 0表明a 是非负数；a 0表明a 是非正数。

几个易混淆概念

?????正数非负数0 ?????负数非正数0 ?????正整数非负整数0 ??

???负整数非正整数0

初一数学上有理数与无理数的概念和练习(有详细的答案)

有理数和无理数 1.什么是有理数？我们把能够写成分数形式 n m (m 、n 是整数，n≠0)的数叫做有理数。 2.有理数的分类？ 整数和分数都可以写成分数的形式，它们统称为有理数。零既不是正数，也不是负数。有限小数和无限循环小数是有理数。 2.什么是无理数？①无限②不循环小数叫做无理数。 3无理数的两个前提条件是什么？ （1） 无限（2）不循环 4两者的区别是什么？ （1）无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数。 （2）任何一个有理数后可以化为分数的形式，而无理数则不能。 1：下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？ -3，3π，-61，0.333…，3.30303030…，42，-3.1415926,0，3.101001000……（相邻两个1之间0的个数逐个加1），面积为π的圆半径为r 。 答：无理数有：3 π，0，3.101001000……，（相邻两个1之间0的个数逐个加1） 有理数有：-3，-6 1，0.333…，3.30303030…，42，-3.1415926,0，面积为π的圆半径为r 2：下列说法正确的是：（ ） A.整数就是正整数和负整数 B.分数包括正分数、负分数 C.正有理数和负有理数统称有理数 D.无限小数叫做无理数 答：B 因为：A 、C 的答案里缺少 0这一部分 D ，无限小数循环小数是有理数，无限不循环小数才是无理数 3：我们把能够写成分数形式n m (m 、n 是整数，n≠0)的数叫做 有理数 。 4：有限小数和无限循环小数都可以化为分数，他们都是有理数。

5：无限不循环小数叫做无理数。 6：无理数与有理数的差都是有理数；答：错，如3π-0=3 π 7：无限小数都是无理数；答：错，如：0.333… 8：无理数都是无限小数；答：对，无理数的两个前提条件之一无限 9：两个无理数的和不一定是无理数。答：对，3π+（-3 π）=0 10：有理数不一定是有限小数。答：对，如：0.333…

七年级上册有理数与无理数 知识讲解和巩固练习

有理数与无理数知识讲解 【学习目标】 1、理解有理数的意义，知道无理数是客观存在的，了解无理数的概念． 2、会判断一个数是有理数还是无理数． 【要点梳理】 要点一、有理数 我们把能够写成分数形式m n （m,n是整数，n≠0）的数叫做有理数． 要点诠释：（1）有限小数和循环小数都可以化为分数，他们都是有理数． （2）所有整数都可以写成分母是1的分数，因此可以理解为整数和分数统称为有理数． 要点二、无理数 1．定义： 无限不循环小数叫做无理数． 要点诠释：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限．无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式． （2）目前常见的无理数有两种形式：①含π类．②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111……． 2．有理数与无理数的区别 （1）无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数． （2）任何一个有理数都可以化为分数的形式，而无理数则不能． 要点三、循环小数化分数 1．定义： 如果一个无限小数的各数位上的数字，从小数部分的某一位起，按一定顺序不断重复出现，那么这样的小数叫做无限循环小数，简称循环小数，其中重复出现的一个或几个数字叫做它的一个循环节． 2．纯循环小数 从小数点后面第一位起就开始循环的小数，叫做纯循环小数．例如：0．666…、0.2．．纯 循环小数化为分数的方法是：分子是一个循环节的数字组成的数；分母的各位数字都是9，9的个数等于一个循环节的位数． 例如 31 0.3 93 ==， 1897 0.189 99937 ==． 3．混循环小数 如果小数点后面的开头几位不循环，到后面的某一位才开始循环，这样的小数叫做混循环小数．例如：0.12、0．3456456…．混循环小数化为分数的方法是：分子是不循环部 分和一个循环节的数字组成的数减去不循环部分的数字组成的数所得的差，分母就是按一个循环节的位数写几个9，再在后面按不循环部分的位数添写几个0组成的数． 例如 9189101 0.918 990110 - ==， 239236 0.239 90025 - ==， 35135353510013 0.35135 999009990037 - ===． 要点诠释：（1）任何一个循环小数都可化为分数． （2）混循环小数化分数也可以先化为纯循环小数，然后再化为分数．

有理数与无理数辨析

有理数与无理数辨析 四川省邻水县九龙中学 任贤德 2006.8 在初中，我们已学过实数的有关概念，实数包括有理数和无理数。很多同学对于有理数和无理数概念的理解较模糊，对学习造成一定影响，甚至到了高中，也存在这种现象。为此，有必要对此进行辨析。 有理数包括整数、有限小数和无限循环小数，如：218、18.25、1..6等。我们可将整数、有限小数的小数位后面添加0，把它看成是以0为循环节的无限循环小数，如：218=218..0 ，18.25=18.25.0，在此观点下，有理数就可看成是无限循环小数。而有理数又可化为分数，整数可看成是分母为1的分数，如：218=218/1，有限小数化成分数，先去掉小数点得到的数作为分子，若小数点后的位数有n 位,则分母就为n 10，如18.25=1825/100=73/4，无限循环小数可化为分数（其化法见后），如：1..6=4/3，所以有理数都可表示成分数，即表示成q/p(其中p 、q 是整数，且p 、q 互质)。分数化小数时，若除不尽，则得到的小数一定是无限循环小数，因此分数与小数可以互化。与此相对，无理数就是无限不循环的小数，如：2、3、π=3.1415926……、e=2.71828……、0.101001000……。有人说无理数就是开方开不尽的数，这种理解是片面的，当然开方开不尽的数是无理数，但如π=3.1415926……、e=2.71828……并不是因为开方开不尽而得到的数，又如0.101001000……，1的后面依次多一个0，也不是因为开方开不尽而得到的数，所以前面对于无理数的理解是错误的，必须纠正。 下面再来谈谈有关的几个问题： 1．（混）循环小数化为分数（此法证明须用到无穷递缩等比数列，证明较繁，故略去） （1） 无限循环小数化分数 无限循环小数化分数时，其分母为9···90···0,其中9的个数为一个循环节的数字个数，0的个数为循环节前、小数点后0的个数，其分子为一个循环节的数字。 例如：..76.0=67/99，..6310.0=136/9990=68/4995 （2） 混循环小数化分数 混循环小数化为分数时，先将其分为有限小数与无限循环小数之和，然后再分别将有限小数和无限循环小数化为分数，最后求和即可。 例如：..6512.3=3.12+0.00. .65=312/100+56/9900=7708/2205 .70.2=2+.70.0=2+7/90=187/90 2.任何一个不能整除的分数一定是无限循环小数 任何一个不能整除的分数一定是无限循环小数，这是为什么呢？在中学，学生通过除

初一数学上有理数与无理数的概念和练习有详细的答案

有理数和无理数的概念与练习 知识清单 1定义：有理数：我们把能够写成分数形式 n m (m 、n 是整数，n≠0)的数叫做有理数。 无理数：①无限②不循环小数叫做无理数。 2有理数的分类 整数和分数都可以写成分数的形式，它们统称为有理数。零既不是正数，也不是负数。有限小数和无限循环小数是有理数。 3无理数的两个前提条件： （1） 无限（2）不循环 4两者的区别： （1）无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数。 （2）任何一个有理数后可以化为分数的形式，而无理数则不能。 经典例题 例1：下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？ -3，3π，-6 1，…，3.…，42，,0，3.（相邻两个1之间0的个数逐个加1），面积为π的圆半径为r 。 例2：下列说法正确的是：（ ） A.整数就是正整数和负整数 B.分数包括正分数、负分数 C.正有理数和负有理数统称有理数 D.无限小数叫做无理数 闯关全练 一. 填空题： （1）我们把能够写成分数形式n m (m 、n 是整数，n≠0)的数叫做 。 （2）有限小数和 都可以化为分数，他们都是有理数。 （3） 小数叫做无理数。 （4）写出一个比-1大的负有理数 。 二. 判断题 （1）无理数与有理数的差都是有理数；

（2）无限小数都是无理数； （3）无理数都是无限小数； （4）两个无理数的和不一定是无理数。 （5）有理数不一定是有限小数。 答案 例1： 无理数有：3 π，0，，（相邻两个1之间0的个数逐个加1） 有理数有：-3，-6 1，…，，42，,0，面积为π的圆半径为r 例2： B （A ，还有0 C ，还有0 D ，无限不循环） 闯关全练 一、（1）有理数 （2）无限循环小数、 （3）无限不循环小数、 （4）答案不唯一，如： 二、（1）错，如3π-0=3 π （2）错，如：… （3）对，无理数的两个前提条件之一无限 （4）对，3π+（-3 π）=0 （5）对，如：…

2018年七年级专题辅导有理数与无理数含答案解析

2018年七年级专题辅导有理数与无理数 一、选择 1．实数π是( ) A．整数 B．分数 C．有理数D．无理数 2．在数0，，，﹣（﹣），，0.3，0.141 041 004…（相邻两个1，4之间的0的个数逐次加1），中，有理数的个数为( ) A．3 B．4 C．5 D．6 3．下列语句正确的是( ) A．0是最小的数B．最大的负数是﹣1C．比0大的数是正数D．最小的自然数是1 4．下列各数中无理数的个数是( ) ，0.1234567891011…（省略的为1），0，2π． A．1个B．2个C．3个D．4个 5．下列说法中，正确的是( ) A．有理数就是正数和负数的统称 B．零不是自然数，但是正数 C．一个有理数不是整数就是分数 D．正分数、零、负分数统称分数 6．在，3.14，0，0.313 113 111．…，0.43五个数中分数有( )个． A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空 7．最小的正整数是__________，最大的负整数是__________，最小的非负整数是__________．8．有理数中．是整数而不是正数的数是__________；是整数而不是负数的数是__________．9．若一个正方形的面积为5，则其边长可能是__________数． 10．给出下列数：﹣18，，3.1416，0，2001，﹣，﹣0.14，95%，其中负数有__________， 整数有__________，负分数有__________． 11．有六个位：0.123，（﹣1.5）3，3.1416，，﹣2π，0.1020020002…，若其中无理数的个 数为x，整数的个数为y，非负数的个数为z，则x+y+z=__________． 12．观察下面依次排列的一列数，根据你发现的规律在各列的后面填上三个数． （1）1，﹣2，4，﹣8，16，﹣32．__________，__________，__________… （2）4，3，2，1，0，﹣1，﹣2．__________，__________，__________… （3）1，2，﹣3，4，5，﹣6，7，8，﹣9，__________，__________，__________… 三、解答 13．有一面积为5π的圆的半径为x，x是有理数吗？说说你的理由．

有理数与无理数练习

有理数与无理数练习 一、耐心填一填，一锤定音 1、若太平洋最深处低于海平面11034米，记作－11034米，则珠穆朗玛峰高出海平面8848米，记作＿＿＿＿＿＿。 2、＋10千米表示王玲同学向南走了10千米，那么－9千米表示_______；0千米表示＿＿＿＿＿。 3、在月球表面上，白天阳光垂直照射的地方温度高达127℃，夜晚温度可降到－183℃，那么－183℃表示的意义为＿＿＿＿＿＿＿。 4、七（8）班数学兴趣小组在一次数学智力大比拼的竞赛中的平均分数为90分，张红得了85分，记作－5分，则小明同学行92分，可记为＿＿＿＿，李聪得90分可记为＿＿＿＿，程佳＋8分，表示＿＿＿＿＿＿。 5、有理数中，最小的正整数是＿＿＿＿，最大的负整数是＿＿＿＿。 6、在1.5－7.5之间的整数有＿＿＿＿＿，在－7.5与－1.5之间的整数有＿＿＿＿＿ 7、已知下列各数：－23、－3.14、，其中正整数有__________，整数有______，负分数有______，分数有_________。 二、精心选一选，慧眼识金！ 1、把向东运动记作“+”，向西运动记作“_”，下列说法正确的是( ) A、-3米表示向东运动了3米 B、+3米表示向西运动了3米 C、向西运动3米表示向东运动-3米 D、向西运动3米，也可记作向西运动-3米。 2、下列语句中正确的是( ) A、零是自然数 B、零是正数 C、零是负数 D、零不是整数 3、下列说法中，其中不正确的是( ) A、0是整数 B、负分数一定是有理数 C、一个数不是正数，就一定是负数 D、0 是有理数 4、正整数集合与负整数集合合并在一起构成的集合是( ) A、整数集合 B、有理数集合 C、自然数集合 D、以上说法都不对 5、下列说法中正确的有( ) ① 0是取小的自然数；②0是最小的正数；③0是最小的非负数；④0既不是奇数，也不是偶数；⑤0表示没有温度。 A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 6、下列说法错误的是（） A、有理数是指整数、分数、正有理数、零、负有理数这五类数 B、一个有理不是整数就是分数 C、正有理数分为正整数和正分数 D、负整数、负分数统称为负有理数 三、把下列各数填在相应的括号内： －23,0.25，，－5.18，18，-38，10，＋7，0，+12，3.1415926, 6.010010001… 正数有（） 负数有（） 整数有（） 有理数有（） 无理数有（）

有理数与无理数

谈谈有理数与无理数 实数通常分为有理数和无理数两类。这两类数的性质，对于九年义务教育阶段的初中学生来说，知道得较少。本文试图对初中数学中关于有理数和无理数的知识作一个梳理和拓展，以此帮助初中读者加深对实数的认识。 关于有理数，我们知道得较多，其特征有： 1、由于实数实际上就是小数，因此有理数是指那些有限小数和无限循环小数； 2、每个有理数都可以写成分数的形式，即n m ，其中m 和n 都是整数，且n ≠0。利用这一特征很容易证明：任意两个有理数进行加、减、乘、除（除数不为0）四则运算所得的结果仍是有理数。 我们不加证明地给出关于有理数的一条结论： 当有理数n m 的分母n 能分解质因数为2α×5β（其中α、β为自然数）时，有理数n m 能化成有限小数；否则，化为无限循环小数。（关于有理数与小数的互化问题，有兴趣的同学请可阅读相关书籍，不再赘述） 无理数是指那些无限不循环小数。大家熟悉的无理数很多，2、e 、π等等都是。与有理数相比，无理数不具备那样好的性质。譬如，两个无理数的四则运算结果不一定是无理数，象π-π=0，22 =1。 根据有理数和无理数之间的相互关系，可以得到如下两条性质，它们在处理与有理数无理数有关的问题时，起着基本的作用： 1、任何有理数≠任何无理数； 2、设是a 有理数，b 是无理数，则a+b ，a-b ，a ·b （a ≠0），a/b （a ≠0）都是无理数。 下面着重介绍实数无理性的判定方法。 在现行初中数学范围内所遇到的无理数主要有这样几种类型：与开方运算有关，如2，311；与对数值有关，如log 23；与三角函数值有关，如cos20°，sin1°；此外还有象e （自然对数的底）、π（圆周率）这样的特殊值。 判定实数无理性的方法很多，但都有一个共同的特点，即采用反证法的技巧。原因有二：第一、无理数的概念通常以“不是有理数的实数称为无理数”这一否定方式给出的；第二、当反设要判定的实数α不是无理数时，由有理数和无理数 的关系，α就是有理数，故α=n m （n ≠0），于是就得到一个具体的等式，这为我们导出矛盾提供了一个直观的工具。下面我们介绍几种常见的初等方法，主要适用于前三类无理数的判定。 一、利用整数的性质 整数特别是整数的奇偶性在判定实数的无理性方面起着重要的作用。

七年级数学有理数与无理数易错题含答案

一、选择 1．实数π是( ) A．整数B．分数C．有理数D．无理数 【考点】无理数． 【分析】由于圆周率π是一个无限不循环的小数，由此即可求解． 【解答】解：实数π是一个无限不循环的小数．所以是无理数． 故选D． 【点评】本题主要考查无理数的概念，π是常见的一种无理数的形式，比较简单．2．在数0，，，﹣（﹣），，0.3，0.141 041 004…（相邻两个1，4之间 的0的个数逐次加1），中，有理数的个数为( ) A．3 B．4 C．5 D．6 【考点】有理数． 【分析】分别根据实数的分类及有理数、无理数的概念进行解答． 【解答】解：在数0，，，﹣（﹣），，0.3，0.141 041 004…（相邻两个1，4之间的0的个数逐次加1），中，有理数的是0，，﹣（﹣），，0.3，． 故选D． 【点评】本题考查的是有理数问题，关键是根据实数的分类及无理数、有理数的定义分析． 3．下列语句正确的是( ) A．0是最小的数B．最大的负数是﹣1 C．比0大的数是正数D．最小的自然数是1 【考点】有理数． 【分析】根据正数、自然数、负数、0的定义与特点分别对每一项进行分析即可．【解答】解：A、没有最小的数，故本选项错误； B、最大的负整数是﹣1，故本选项错误； C、比0大的数是正数，故本选项正确； D、最小的自然数是0，故本选项错误； 故选：C． 【点评】此题考查了有理数，用到的知识点是正数、自然数、负数、0的定义与特点，是一道基础题． 4．下列各数中无理数的个数是( ) ，0.1234567891011…（省略的为1），0，2π．

A．1个B．2个C．3个D．4个 【考点】无理数． 【分析】由于无理数就是无限不循环小数，由此即可判定选择项． 【解答】解：下列各数中，0.1234567891011…（省略的为1），0，2π． 无理数是2π，共1个． 故选A． 【点评】此题主要考查了无理数的定义．初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数． 5．下列说法中，正确的是( ) A．有理数就是正数和负数的统称 B．零不是自然数，但是正数 C．一个有理数不是整数就是分数 D．正分数、零、负分数统称分数 【考点】有理数． 【分析】根据有理数的定义和特点进行判断． 【解答】解：A、有理数包括正数、负数和0，故A错误； B、零是自然数，但不是正数，故B错误； C、整数和分数统称有理数，因此一个有理数不是整数就是分数，故C正确； D、零是整数，不是分数，故D错误． 故选C． 【点评】认真掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点． 注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数． 6．在，3.14，0，0.313 113 111．…，0.43五个数中分数有( )个． A．1 B．2 C．3 D．4 【考点】有理数． 【分析】利用分数的定义判断即可． 【解答】解：在，3.14，0，0.313 113 111．…，0.43五个数中分数有3.14，0.43， 故选B． 【点评】此题考查了实数，熟练掌握分数的定义是解本题的关键． 二、填空 7．最小的正整数是1，最大的负整数是﹣1，最小的非负整数是0． 【考点】有理数． 【分析】根据正整数的定义，可得答案； 根据负整数的定义，可得答案； 根据非负数的定义，可得答案． 【解答】解：最小的正整数是1，最大的负整数是﹣1，最小的非负整数是0，故答案为：1，﹣1，0．

有理数与无理数

有理数与无理数 怀文中学XX—XX学年度第二学期教学设计 初一数学2.2 主备：陈秀珍审核：日期：XX-9-1 学习目标：1理解有理数的意义；知道无理数是客观存在的，了解无理数的概念。 会判断一个数是有理数还是无理数。经历数的扩充，在探索活动中感受数学的逼近思想，体会“无限”的过程，发展数感。 教学重点：区分，知道无理数是客观存在的。感受夹逼法，估算无理数的大小。. 教学难点：会判断一个数是有理数还是无理数，体会“无限”的过程。 教学过程： 一．自主学习 我们上了六多年的学,学过不计其数的数,概括起来我们都学过哪些数呢? 在小学我们学过自然数、小数、分数.，在初一我们还学过负数。我们在小学学了非负数，在初一发现数不够用了，引入了负数，即把从小学学过的正数、零扩充了范围，从形式上来看，我们学过的一部分数又可以分为整数和分数。我

们能够把整数写成分数的形式吗？如：5，-4,0……可以吗？可以！如5=，-4=，0=我们把可以化为分数形式“n”的数叫做有理数； 想一想：小学里我们还学过有限小数和循环小数，它们是有理数吗？有限小数如0.3，-3.11……能化成分数吗？它们是有理数吗？0.3=，-3.11=，它们是有理数。请将1/3，4/15，2/9写成小数的形式。1/3=0.333...,4/15=0.26666...,2/9=0.2222.....这些是什么小数？循环小数，反之循环小数也能化为分数的形式，它们也是有理数！循环小数如何化为分数可以一起学习书P17、读一读 二．合作、探究、展示 有理数包括整数和分数，那么有理数范围是否就能满足我们实际生活的需要呢？下面我们就来共同研究这个问题. 议一议：有两个边长为1的小正方形，剪一剪，拼一拼，设法得到一个大正方形。 设大正方形的边长为a，a满足什么条件？ a可能是整数吗？说说你的理由。 a可能是分数吗？说说你的理由 a是正方形的边长，所以a肯定是正数.因为两个小正方形面积之和等于大正方形面积，所以根据正方形面积公式可知a2=2.

有理数与无理数

一、复习 1．把下列各数填入相应的集合中： -7 ，4 1 2 + ，0，+，200 正数集合{ … } 负数集合{ … } 2．把下列各数填在相应的集合里: +4， 41， -2， 2 1 3-， 0， 2010， -25， ， -1 整数集合 { … } 分数集合 { … } 二、探究 1． 在数学上，有时为了讨论问题的需要，需要将数进行形式上的转化。例如： 5 = 15， -4 = 1 4 -，这就是说，为了讨论问题的需要，我们完全可以把一个整数化成分数的形式 2．我们还学过小数，如：，. 3.0，你能把它们化成分数形式吗？ = ，. 3.0= 3．试一试：把下列各数化成分数形式： （1） 15= ，= ，0= ，= ， （2）. 6.0= ， . 31.0= （参阅课本P12“读一读”） 4．把下列分数化成小数形式： 53=____________;31=______________;100311-=____________;15 4=__________________. 重要结论： （1）所有整数都可以化成 数的形式，所有有限小数、循环小数也都可以化成 数的形式。 （2）事实上，分数化成小数后要么是有限小数，要么是无限的且________的小数，反过来一个有限小数或一个无限的循环小数都可以化成一个分数，因此有限小数或无限的循环小数都 是____________数。 5.小结：①如果m 和n 都是整数．． ，且n ≠0，那么n m 称为分数。 ②能够写成分数形式的数，叫做有理数．．． 6.思考：① 25.1是有理数吗？②2 π 是有理数吗？

6. 将两个边长为1的正方形分别沿对角线剪开，拼成一个大正方形，设大正方形的边长为a,那么a 2 =2,a 是有理数吗？ 通过计算器运用逼近的方法探求数a ： 由×=， ×=得______

[VIP专享]有理数与无理数

谈谈有理数与无理数 实数通常分为有理数和无理数两类。这两类数的性质，对于九年义务教育 阶段的初中学生来说，知道得较少。本文试图对初中数学中关于有理数和无理 数的知识作一个梳理和拓展，以此帮助初中读者加深对实数的认识。 关于有理数，我们知道得较多，其特征有： 1、由于实数实际上就是小数，因此有理数是指那些有限小数和无限循环小数； m 2、每个有理数都可以写成分数的形式，即，其中m和n都是整数，且 n n≠0。利用这一特征很容易证明：任意两个有理数进行加、减、乘、除（除数 不为0）四则运算所得的结果仍是有理数。 我们不加证明地给出关于有理数的一条结论： m 当有理数的分母n能分解质因数为2α×5β（其中α、β为自然数）n m 时，有理数能化成有限小数；否则，化为无限循环小数。（关于有理数与小n 数的互化问题，有兴趣的同学请可阅读相关书籍，不再赘述） 2无理数是指那些无限不循环小数。大家熟悉的无理数很多，、e、π等 等都是。与有理数相比，无理数不具备那样好的性质。譬如，两个无理数的四 2 则运算结果不一定是无理数，象π-π=0，=1。 2 根据有理数和无理数之间的相互关系，可以得到如下两条性质，它们在处 理与有理数无理数有关的问题时，起着基本的作用： 1、任何有理数≠任何无理数； 2、设是a有理数，b是无理数，则a+b，a-b，a·b（a≠0），a/b（a≠0） 都是无理数。 下面着重介绍实数无理性的判定方法。 在现行初中数学范围内所遇到的无理数主要有这样几种类型：与开方运算2311 有关，如，；与对数值有关，如log23；与三角函数值有关，如cos20°，sin1°；此外还有象e（自然对数的底）、π（圆周率）这样的特殊值。 判定实数无理性的方法很多，但都有一个共同的特点，即采用反证法的技巧。原因有二：第一、无理数的概念通常以“不是有理数的实数称为无理数” 这一否定方式给出的；第二、当反设要判定的实数α不是无理数时，由有理数 m 和无理数的关系，α就是有理数，故α=（n≠0），于是就得到一个具体的 n 等式，这为我们导出矛盾提供了一个直观的工具。下面我们介绍几种常见的初 等方法，主要适用于前三类无理数的判定。 一、利用整数的性质

有理数与无理数

2.2 有理数与无理数 一、教学目标 （一）教学知识点： 1．通过拼图活动，让学生感受无理数产生的实际背景和引入的必要性． 2．能判断给出的数是否为有理数，并能说出理由． （二）能力训练要求： 1．让学生亲自动手做拼图活动，感受无理数存在的现实性和合理性，培养学生的动手操作能力和合作精神． 2．通过回顾有理数的有关知识，能正确地进行推理和判断，识别某些数是否为有理数，训练他们的思维判断能力． （三）情感与价值观要求： 1．激励学生积极参与教学活动，提高大家学习数学的热情． 2．引导学生充分进行交流、讨论与探索等教学活动，培养他们的合作与钻研精神． 3．了解有关无理数发现的知识，鼓励学生大胆质疑，培养他们为真理而奋斗的献身精神． 二、教学重点、难点 （一） 教学重点： 1．让学生经历无理数发现的过程，感知生活中确实存在着不同于有理数的数． 2．有理数与无理数概念的理解． （二）学习难点： 无理数概念的理解． 三、教具准备 两个边长为1的正方形，剪刀． 四、教学过程 课前活动：你能把23 化成小数吗？45 呢？19 呢？ （一）创设问题情境，引入新课： 老师：随着年龄的增长、学习的深入，我们对数的认识也在不断地更新，请同学们回忆一下，到目前为止，我们已经认识了哪些数？（举一个具体的例子）

学生：（学生可能说出的数）自然数、整数、分数、正整数、负整数、正分数、负分数、小数、有限小数、无限循环小数、无限不循环小数、偶数、奇数、质数、合数、正数、负数…… （大胆地让学生说，一个学生讲完，其他学生补充，教师在黑板上记录） 老师：不得了，我们已经认识这么多数，那么这些数与数之间有什么关系，你能不能帮我整理一下，理出一个思路呢？ 比如：整数（板书），你能把属于整数的都找出来吗？ 学生：正整数、负整数、0、自然数、素数（质数）、合数、奇数、偶数． （在开始记录的数的上方编号①） 老师：同样，分数（板书），你能把属于分数的都找出来吗？ 学生：正分数、负分数、有限小数、无限循环小数、带分数．（在开始记录的数的上方编号②） 老师：剩下还有一些数，它们是整数吗？是分数吗？ 如果学生说到“小数”：首先小数有哪几类？ 有限小数可以化为分数（如1.3）； 无限循环小数可以化为分数（如0.333…）； 还有没有其他的小数呢？（学生举例：π或0.3142537…）它是整数吗？是分数吗？那到底是什么数呢？ 如果学生说到“无限不循环小数π”，它是整数吗？是分数吗？谁知道π是多少？ 3.1415926…（追问：后面呢？后面呢？）课件展示π，尽可能位数多一点，让学生观察特点（无限、不循环）． 这样的数，生活中还有吗？我们来玩一个拼图游戏． （二）讲授新课： 1．活动：请同学们拿出准备好的两个边长为1的小正方形和剪刀，将小正方形沿着图中对角线剪开，设法重新拼成一个大正方形，大家动手试一试． 老师：经过同学们的努力，基本都完成任务了，请一位学生把自己拼的图在黑板上展示．老师：你们知道这个大正方形的面积是多少吗？为什么？ 学生：它的面积为2，因为它是由两个面积为1的小正方形拼成的． 老师：你知道了这个图形的面积，对这个正方形，你还想知道它的一些什么信息呢？ 学生：边长． 老师：你知道它的边长是多少吗？

有理数与无理数

有理数与无理数 知识点1 有理数 整数和分数统称有理数.(有理数也叫可比数) 整数： 正整数、零和负整数统称为整数。() ...2,1,0,1,2....-- 自然数：正整数和零。()0,1,2,3.... 分数：正分数和负分数统称为分数。40.3,0.31,......5????- ??? ???????? 有限小数小数无限循环小数无限小数无限不循环小数 注意：有限小数和无限循环小数都可以化为分数，它们都是有理数。例： 0.333……可以化为3 1 知识点 2 有理数的分类 1.按有理数的定义分类 2.按正负分类 正整数 正整数 整数 0 正有理数 有理数 负整数 有理数 正分数 正分数 0 负整数 分数 负有理数 负分数 负分数 总结：①正整数、0统称为非负整数（也叫自然数） ②负整数、0统称为非正整数 ③正有理数、0统称为非负有理数 ④负有理数、0统称为非正有理数 考点：有理数的分类 例1 把下列各数填在相应的集合中：－7，3.5，－3.14，0， 1713，0.03%，－314 ，10．

自然数集合：{ …}； 整数集合：{ …}； 负数集合：{ …}； 正分数集合：{ …}； 正有理数集合：{ …}． 知识点3 无理数 无限不循环小数叫做无理数. 常见的无理数有以下三种类型： （1）常数型无理数，如：π、e 等. （2）规律型无理数，如0.1010010001…… （3）开方型无理数（八年级学习），如2、3、5等 注意：（1）只有满足“无限”和“不循环”这两个条件，才是无理数. （2）圆周率π是无理数. （3）无理数与有理数的和差一定是无理数. （4）无理数乘或除以一个不为0的有理数一定是无理数. 例2下列各数中.. 3.14，1 2 π，1.090 090 009…， 22 7 ，0，3.1415是无理数 的有（） A．1个B．2个C．3个D．4个 例3、把下列各数填在相应的大括号里． +8，+3 4 ，0.275，2，0，-1.04，22 7 ，-8，-100，-1 3 ，0.?3 ． （1）正整数集合{ …} （2）负整数集合{ …} （3）正分数集合{ …} （4）负分数集合{ …}． 例4、把下列和数按要求分类． -4，10%，?11 2 ，-2.00，101，2 1 ，-1.5，0，0.1010010001…，0.6．负整数集合：{ …} 正分数集合：{ …} 负分数集合：{ …}