微专题平面向量中最值问题归纳

平面向量最值问题总结

题型一 数量积的最值问题

例题1： 平面向量,,a b c 满足1,2,2,1a e b e a b e ?=?=-==，则a b ?最小值是______

分析：本题条件中有1e =，而1,2a e b e ?=?=可利用向量数量积的投影定义得到,a b 在e 上的投影分

别为1,2，通过作图可发现能够以e 的起点为原点，所在直线为x 轴建立坐标系，则,a b 起点在原点，终点分别在1,2x x ==的直线上，从而,a b 可坐标化，再求出a b ?的最值即可

【解析】如图建系可得：()()1,,2,a a b b ==

由2a b -=

()2

23a b

=?-=

而2

a b ab ?

=+，由轮换对称式不妨设a b >，则a b b a -=

?=-

(2

2

5522244

a b a a a a ?∴?=+-=-+=-+≥ ??，()

min

5

4

a b

∴?=

例题2： 已知点M 为等边三角形ABC 的中心，2AB =，

直线l 过点M 交边AB 于点P ，交边AC 于点Q ， 则BQ

【分析】本题由于l 为过M 的任一直线，所以:,:AP AB AQ AC 的值不确定，从而不容易利用三边向量

将,BQ CP 进行表示，所以考虑依靠等边三角形的特点，建立直角坐标系，从而,,,A B C M 坐标可解，再借助解析几何的思想设出直线l 方程，与,AB AC 方程联立解出,P Q 坐标，从而BQ CP ?可解出最大值

【解析】以,BC AM 为轴建立直角坐标系，()()(1,0,1,0,,0,3B C A M ?- ??

设直线:l y kx =+

，由()(

)(1,0,1,0,B C A -可得：

)):1,:1AB y x AC y y x =+==-

):31y kx P y x ?=+?∴??=+?

得：

x y ?=????=??

；):3

1y kx Q y x ?=+

???=-?

得：

x y ?=????=

??

((

53

353,,

k BQ CP ????+∴== (()()

222222

575931622

39333k k k BQ CP k k k --+∴?=+=+=--- ()22222

62216

18401406333333k k

k k k ??+-+??

===?+ ? ?---?

??? 例题3： 已知圆C 的方程2

2

(1)1x y -+=，P 是椭圆22

143

x y +=上一点，

过P 作圆的两条切线，切点为A ， B ，则PA PB ?的取值范围为（ ）

A ．3

[,)2

+∞ B ．3,)+∞ C ．563,

9?????? D ．356,

29??

????

【解析】(,)P x y ，设2

2

2

2

2

1,(1,0),||||1(1)1244

CPA CPB C PA PC x y x x θ∠=∠==-=-+-=

-+ 2

222122

114sin cos 212sin 11||2424

44

x x PC x x x x θθθ-+?==?=-=

-+-+，

设2211

24(4)44

t x x x =

-+=-，2min (2)2

||cos 2(1)

3223,2,()t PA PB PA t t t PA PB t t

θ-?==-=+-≥-=?=max 56

223,9,()9t PA PB -=?=

?PA PB ?的取值范围为56223,9??-???

?，故选C

例题4： 已知△ABC 中，4AB =，2AC =，|(22)|AB AC λλ+-（R λ∈）的最小值为23，若P 为

边AB 上任意一点，则PB PC ?的最小值是

【解析】令()f λ＝2

2

2

2

2

|(22)|(22)2(22)AB AC AB AC AB AC λλλλλλ+-=+-+-?＝216λ＋

24(22)λ-＋2(22)8cos A λλ-?＝216[(22cos )(2cos 2)1]A A λλ-+-+，

当cos 0A =时，()f λ＝2

2

1

116(221)16[2()]82

2

λλλ-+=-+≥， 因为2322>，所以2

A π

=

，则建立直角坐标系，(0,0)A ，(4,0),(0,2)B C ， 设(,0)P x (04)x <<，则(4,0)PB x =-，(,2)PC x =-， 所以PB PC ?＝(4)x x --＝2(2)4x --； 当cos 0A ≠时，()f λ＝2

116[(22cos )()2

A λ--＋1cos ]2

A

+≥88cos 12A +=， 解得1cos 2A =

，所以3

A π

=，则建立直角坐标系，(0,0)A ，(4,0),(1,3)B C ， 设(,0)P x (04)x <<，则(4,0)PB x =-，(1,3)PC x =-，

所以PB PC ?＝(4)(1)x x --＝2

5

9

()2

4

x --

． 综上所述，当2x =时，PB PC ?取得最小值4

-

题型二 向量模长的最值问题

例题5： 已知,a b 为单位向量，且a b ⊥，向量c 满足2c a b --=，则c 范围为

【解析】如图，,()OA a b OB c AB c a b =+=?=-+，又||||222||22OA a b c =+=

?-≤≤+

4

2

2

6

5

10

15

A B

O

例题6： 向量,,a b c 满足4,22,

a b ==a 与b 的夹角为

4

π

，()()1c a c b -?-=-，则c a -的最大 值为（ ）

【分析】根据已知条件可建立直角坐标系，用坐标表示有关点（向量），确定变量满足的等式和目标函数的

解析式，结合平面几何知识求最值或范围．

【解析】设c OC b OB a OA ===,,；以OA 所在直线为x ，O 为坐标原点建立直角坐标系

∵4,22,

a b ==a 与b 的夹角为

4

π

，则A （4，0），B （2，2），设C （x ，y ） ∵()()1c a c b -?-=-，∴x 2+y 2-6x-2y+9=0，即（x-3）2+（y-1）2=1表示以（3，1）为圆心，以1为半径的圆，c a -表示点A ，C 的距离即圆上的点与点A （4，0）的距离． ∵圆心到B 的距离为2)01()43(22=

-+-，∴c a -的最大值为12+

题型三 向量夹角的最值问题

例题7： 已知非零向量,a b 满足2a b =，若函数3211

().132

f x x a x a bx =+++ 在R 上存在极值，则a 和b 夹角的取值范围为 【解析】()'

2

f

x x

a x a

b =++?，设a 和b 夹角为θ，因为()f x 有极值，所以2

40a a b ?=-?>，即

2

4cos 0a a b θ?=-??>，即1cos 2θ<

，所以,3πθπ??∈ ???

例题8： 已知向量满足，且关于的函数在实数集R 上单

调递增，则向量a,b 的夹角的取值范围是（ ） A ．π[0,

]6 B ．π[0,]3 C ．π[0,]4 D ．ππ

[,]64

题型四 平面向量系数的最值问题

例题9： 已知()2,λ=a ，()5,3-=b ，且a 与b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是 【分析】与的夹角为锐角等价于0a b ?>，且与不共线同向，所以由0a b ?>，得3

10

<

λ，再除去a 与b 共线同向的情形．

a,b |a|=22|b|0≠x 32f(x)=2x +3|a|x +6a bx+7?

【解析】由于a 与b 的夹角为锐角，0>?∴b a ，且a 与b 不共线同向，由01030>+-?>?λb a ，解得

310<

λ，当向量a 与b 共线时，得65-=λ，得56-=λ，因此λ的取值范围是3

10

<λ且56-≠λ．

例题10：

已知G 是ABC 的重心，过点G 作直线MN 与AB ，AC 交于点,M N ，且AM xAB =，

AN y AC =，(),0x y >，则3x y +的最小值是

【解析】

如图

M N G ，， 三点共线，MG GN λ∴=，

AG AM AN AG λ∴-=-（）， ∵G 是ABC 的重心，

13

AG AB AC ∴=+（）， 11

33AB AC x AB y AC AB AC λ∴+-=-+（）（（））

1

133113

3x y λλλ

?--??∴??-??＝，＝ 解得，31311x y --=（）（）；

结合图象可知111122x y ≤≤≤≤，； 令1

131312222x m y n m n -=-=≤≤≤≤，，（，）； 故111

33

m n

mn x y ++===，，；

故144431333333n n x y m m ++=++

=++≥+=+

，当且仅当m n == 例题11：

如右图所示，已知点G 是ABC ?的重心，过点G 作直线与,AB AC 两边分别交于,N M 两点， 且,AM x AB AN y AC ==，则2x y +的最小值为

【解析】因为,,M N G 三点共线，所以()

,MG GN AG AM AN AG λλ=-=-，

因为G 是ABC ?重心，(

)13AG AB AC =

+()()

1133AB AC xAB y AC AB AC λ??

+-=-+ ???

，

所以1133

113

3x y λλλ

?-=-????=-??，化简得()()31311x y --=，解得题目所给图像可知111,122x y ≤≤≤≤．

由基本不等式得()()2

3162231622x y x y -+-??=--≤ ???

即(

)332323

x y x y ++-≥+≥

．当且仅当3162x y -=-，

即1

2,36x y =

=

时，等号成立，故最小值为33

+． 例题12：

直角梯形ABCD 中，CB CD ⊥，AD BC ，ABD 是边长为2的正三角形，P 是平面上的 动点，1CP =，设AP AD AB λμ=+（λ，R μ∈），则λμ+的最大值为________

【解析】以C 为原点，CD 为x 轴，BC 所在直线为y 轴，建立直角坐标系，1CP =

∴可设()(

)()cos ,,1,

3,2,0CP sin AD AB αα==-=-

，(,,AC =-

(cos 2,,AP AC CP sin αα=+=-+因为AP AD AB λμ=+， 所以()()cos

2,32,3

sin ααλμ

λ-+=--

1223 11

22sin cos sin cos sin λαλμααμαα?=+?--=-??

?=+?=??

-+-??

，()1

33cos =262

32sin λμααα?+=-+

+-

+ 332≤+=

96+， 即λ

μ+

．

题型五 平面向量与三角函数相结合的最值问题

例题13：

已知向量，，．

（1）若，求的值；

（2）记，求的最大值和最小值以及对应的的值．

【解析】（1）因为，，，所以．

若，则，与矛盾，故．

于是

，所以．

（2）. 因为，所以，从而. 于是，当，即时，取到最大值3；当，

即时，取到最小值

题型六 平面向量与二次函数相结合的最值问题

例题18

： 在平面直角坐标系中，已知点，，，是轴上的两个动点，且， 的最小值为______．

【解析】设，，所以，

当时，取得最小值．

例题19： 在四边形ABCD 中，//AD BC ，2AB =，5AD =，3BC =，60A ∠=?，点E 在线段CB

的延长线上，且AE BE =，点M 在边CD 所在直线上，则AM ME ?的最大值为（ ） A ．71

4

-

B ．24-

C ．514

-

D ．30-

【分析】如图以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，表示出点的坐标，根据AE

BE =求出E 的坐标，求

边CD 所在直线的方程，设(,M x +，利用坐标表示,AM ME ，根据二次函数性质求最大值.

(cos ,sin )x x =a (3,=b [0,]x π∈∥a b x ()f x =?a b ()f x x (cos ,sin )x x =a (3,=b ∥a b 3sin x x =cos 0x =sin 0x =22

sin cos 1x x +=cos 0x ≠tan x =[0,]x π∈56

x π

=π

(cos ,sin )(3,3cos ())6

f x x x x x x =?=?=-=+

a b [0,]x π∈ππ7π[,]666x +

∈π1cos()6x -≤+≤ππ66x +=0x =()f x π

6

x +=π5π

6

x =

()f x -(1

0)A -，(2,0)B E F y ||2EF =AE BF ?(0,)E t (0,2)±F t (1,)(2,2)?=?-±AE BF t t 22

2(2)22(1)3=-+±=±-=±-t t t t t 1=±t AE BF ?3-

【解析】依题意，如图以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，由2AB =，5AD =，3BC =，60A ∠=?，

()0,0A ∴

，(B

，(C ，()5,0D ，因为点E 在线段CB 的延长线上，

设(0E x ，01x <

AE BE =

，()2

2

2001x x +

=-解得01x =-

，(E ∴-，(4,3C ，()5,0D ，

CD ∴

所在直线的方程为y =+，因为点M 在边CD

所在直线上，故设

(,M x

+(,AM x ∴=+

，(1E x M -=--， (

)

1AM ME x x -∴?=--+

+242660x x =-+-2

3714144x ??= ??---?

当13

4

x =

时(

)

max

71

4

AM ME ?=-

故选：A

【小结】本题考查向量的数量积，关键是建立平面直角坐标系，属于中档题

题型七 平面向量与基本不等式相结合的最值问题

例题20： 若平面向量，满足：；则的最小值是．

【解析】，

例题21： 在等腰梯形中,已知,,,．动点和分别在线段

和上，且，，则的最小值为 ． 【解析】 因为，，

，

，

，

a b 23-≤a b ?a b _____2

2

23494a b a b a b -≤?+≤+22

9

4449448

a b a b a b a b a b a b +≥≥-?+≥-?≥-ABCD AB DC ∥2AB =1BC =60ABC ∠=E F BC DC BE BC λ=1

9DF DC λ

=

AE AF ?19DF DC λ

=

1

2DC AB =119199918CF DF DC DC DC DC AB λλ

λλλ

--=-=-==AE AB BE AB BC λ=+=+19191818AF AB BC CF AB BC AB AB BC λλ

λλ

-+=++=++

=+()

1918AE AF AB BC AB BC λλλ+???=+?+ ???22191911818AB BC AB BC λλλλλλ++?

?=+++? ???

当且仅当

即时的最小值为

例题22： 已知点A 在线段BC 上（不含端点），O 是直线BC 外一点，且20OA aOB bOC --=,则

221a b a b b

+++的最小值是___________

【分析】本题根据条件构造21a b +=，研究的式子分别加1后变形，即可形成所需条件，应用均值不等式. 【解析】由20OA aOB bOC --=可得， 2OA aOB bOC =+，根据A 、B 、C 三点共线可得21a b +=且

0,0a b >>，所以

(

)2222222112221222a b a b a a b b a b

a b a b b a b a b b a b a b

+++++++=-+-=+-≥+++++++

所以最小值为2

，故填2.

题型八 平面向量与圆相结合的最值问题

例题23： 在平面直角坐标系中，为原点，动点满足，则

的最大值是 ．

【解析】设(,)D x y ，由||1CD =，得22

(3)1x y -+=，向量OA OB OD +

+(1,x y =-+，

故||(OA OB OC x ++=

的最大值为圆22

(3)1x y -+=上的动点到点(1,距离的最大值，其最大值为圆22

(3)1x y -+=的圆心(3,0)到点

(1,的距离加上圆的半径，

11=

例题24： 已知是单位向量，．若向量满足，则的最大值为

A

B

C

D 【解析】建立平面直角坐标系，令向量的坐标，

19199421cos1201818λλ

λλλ

++=

?++????2117172992181818λλ=++≥=2192λλ=23λ=29

18

B

A

O (1,0),(3,0),A B C -D ||1CD =||OA OB OD ++,a b 0?a b =c 1--=c a b c 112,a b ()()1,0,0,1==a b

又设，代入

，

又的最大值为圆上的动点到原点的距离的最大值， 即圆心(1，1)

．

例题

25： 若过点()1,1P 的直线l 与2

2

:4O x y +=相交于,A B 两点，则OA OB ?取值范围______

【解析】本题中因为,OA OB 位置不断变化，所以不易用数量积定义求解，可考虑利用投影，即过B 作直线

OA 的垂线，垂足为D ，通过旋转AB 可发现，当OB OA ⊥时，0OA OB ?=，AB 位于其他位置

时，D 点始终位于OA 的反向延长线上，OA OB OA OD ?=-?，故0OA OB ?<，故

()

max

0OA OB ?=，下面寻找最小值，即DO 的最大值，可得当B 在OA 上的投影与C 重合时，DA

最

大

，

即

为

AC

，此时直线

OP

即为直线

AB

。所以

()

2min

4OA OB OA OD OA OC r ?=-?=-?=-=-。进而OA OB ?的范围是[]4,0-

例题26： 已知1,3OA OB ==

,OA OB 的夹角为150，点C 是AOB 的外接圆上优弧AB 上的一

个动点，则OA OC ?的最大值是________

【分析】题中OA 的模长为定值，考虑OA OC ?即为OA 乘以OC 在OA 上的投影，从而OA OC ?的最大值

只需寻找投影的大小，观察图形可得只有当MC 与OA 同向时，投影最大。即

()

max

OA OC OA OD ?=?，只需计算OD 的模长即可

【解析】当MC 与OA 同向时，OC 在OA 上的投影最大，()

max

OA OC

OA OD ∴?=?

(),x y =c 1--=c a b 1=c ()()2

2

111x y -+-=1

在AOB 中，222

2cos 7AB OA OB OA OB AOB =+-=，7AB ∴=

21sin 2AB

R AOB

∴=

=

= 即R =

11

22

OD ON ND OA R ∴=+=+=

+()

max

1

2

OA OC

OA OD ∴?=?=

+ 题型九 平面向量与三角形相结合的最值问题

例题27： 在ABC 中，已知60ACB ∠=，BM MC =，||3AM =，

则ABC 的面积的最大值为（ ）

A

B

C

D ．【分析】ABC S AC MC =

?△，而又由余弦定理可得229AC MC AC MC =+-?，再利用基本不等式222AC MC AC MC +≥?即可解决.

【解析】在AMC 中，由60ACB ∠=，||3AM =及余弦定理可得229AC MC AC MC =+-?，又

222AC MC AC MC

+≥?（当且仅当AC MC =时取等号），所以92AC MC AC MC +?≥?，即09AC MC

2sin60ABC AMC S S AC

MC MC ==??=

?△△，所以

0ABC S <△，所以ABC 的面积的最大值为.故选：B. 【小结】本题考查余弦定理解三角形，涉及到基本不等式求最值，考查学生运算求解能力，是一道中档题. 例题28： 已知平面向量()

,0,αβααβ≠≠满足=1β ，且α与βα-的夹角为120，则α的取值范围是

___________

【分析】本题很难找到与数量积相关的条件，那么考虑利用图形辅助求解。从图中可观察到,,αββα-构

成BCD ，60C ∠=，从而可利用正余弦定理求出α即CD 的取值范围

【解析】在BCD 中，由正弦定理可得：sin sin sin sin BD CD

C DBC C DBC

βα=?=

sin sin DBC DBC DBC C

β

α∴=

?=

= 而20,

3

DBC π??

∠∈

?

?

? (

]sin 0,1DBC ∴∈ DBC α?∴=∈ ??

真题赏析

1. 【2019年高考浙江卷】已知正方形ABCD 的边长为1，当每个(1,2,3,4,5,6)i i λ=取遍±1时，

123456||AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++的最小值是________；最大值是_______.

【解析】以, AB AD 分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，如图.

则(1,0),(0,1),(1,0),(0,1),(1,1),(1,1)AB BC CD DA AC BD ===-=-==-(123456AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++=≥0.

1,1λλλλλ======-时，有最小值y 所以当1256341,1λλλλλλ======-时，有最大值

max y === 故答案为0；

【小结】对于此题需充分利用转化与化归思想，从“基向量”入手，最后求不等式最值，是一道向量和不

等式的综合题.

2. （2017新课标Ⅲ）在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆

上．若，则的最大值为

A ．3

B ． C

D ．2 【解析】如图建立直角坐标系，

则，

，，，由等面积法可得圆的半径为

，所以圆的方程为，所以，，，由，得，所以=，设，即，点在圆上，所以圆心到直线

，解得，所以的

最大值为3

，即的最大值为3，选A ．

3. （2017新课标Ⅱ）已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是

A ．

B ．

C ．

D ． 【解析】如图，以为轴，的垂直平分线为轴，为坐标原点建立平面直角坐标系，

则，，，设

ABCD 1AB =2AD =P

C B

D AP AB AD λμ=+λμ+(0,1)A (0,0)B (2,1)D (,)P x y 224

(2)5

x y -+=

(,1)AP x y =-(0,1)AB =-(2,0)AD =AP AB AD λμ=+21x y μ

λ

=??

-=-?λμ+12x y -+12x z y =-+102x y z -+-=(,)P x y 102x

y z -+-=13z ≤≤z λμ+ABC ?P ABC ()

PA PB PC ?+2-32-

4

3

-1-BC x BC DA y D A (1,0)B -(1,0)C (,)P x y

所以，，

所以 ， 当时，所求的最小值为，故选B ． 4. (2018浙江)已知，，是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为

，向量满足，则的最小值是（ ）

A

B

C ．2

D ．

解法一：设为坐标原点，，，，由

得，即，所以点的轨迹是以为圆心，l 为半径的圆． 因为与的夹角为

，所以不妨令点在射线()上，如图，

数形结合可知

解法二：由得．

设，，，所以，，

所以，取的中点为

为直径的圆上，如图．

设，作射线，使得，所以

．故选A ．

()PA x y =-(1,)PB x y =---(1,)PC x y =--(2,2)PB PC x y +=--22

()22)22(PA PB PC x y y x y ?+=-=+-

23322

--≥P 3

2

-a b e e a e 3

π

b 2430-?+=b e b ||-a b 112-O OA =a (,)OB x y ==b =(1,0)e 2430-?+=b e b 2

2

430x y x +-+=2

2

(2)1x y -+=B (2,0)C a e 3

π

A y =0x >min ||||||3CA C

B -=-=-a b 2

430-?+=b e b 22

43()(3)0-?+=-?-=b e b e b e b e OB =b OE =e 3OF =e EB -=b e 3FB -b e =0EB FB ?=EF C EF OA =a OA 3

AOE π

∠=

|||(2)(2)|-=-+-≥a b a e e b |(2)||(2)|||||31CA BC ---=-≥a e e b

模块三、模拟题汇编

1．在平面内，定点A ，B ，C ，D 满足DA =DB =DC ，DA DB ?=DB DC ?=DC DA ?=-2，动点P ，

M 满足AP =1，PM =MC ，则2

BM 的最大值是

A ．

434 B ．494

C

D

【解析】由2DA DB DC ===知,D 为ABC ?的外心．由DA DB ?=DB DC ?=DC DA ? 知D 为

ABC ?

的内心，所以ABC ?为正三角形，易知其边长为AC 的中点E ，因为M 是PC 的

中点，所以1122EM AP =

=，所以max 17||||22BM BE =+=，则2max 49

||4

BM =．故选B ． 2．已知点,,A B C 在圆2

2

1x y +=上运动，且AB BC ⊥．若点P 的坐标为(2,0)，则PA PB PC ++的最大值为

A ．6

B ．7

C ．8

D ．9

【解析】由题意得，AC 为圆的直径，故可设，，，

∴而，

∴的最大值为，故选B ．

3．（2020·四川省绵阳南山中学高三）点,,A B C 是单位圆O 上不同的三点，线段OC 与线段AB 交于圆内

一点M ，若,(0,0),2OC mOA nOB m n m n =+>>+=，则AOB ∠的最小值为（ ） A ．

6

π

B ．

3

π C ．

2

π D ．

23

π 【分析】由题意得2212cos m n mn AOB =++∠，再利用基本不等式即可求解． 【解析】将OC mOA nOB =+平方得2212cos m n mn AOB =++∠，

222211()2331

cos 1122222()

2

m n m n mn AOB m n mn mn mn ---++∠===-+≤-+=-

+?（当且仅当1m n ==时等号成立）

，0AOB π<∠<，AOB ∴∠的最小值为23

π

，故选：D ． 【小结】本题主要考查平面向量数量积的应用，考查基本不等式的应用，属于中档题．

),(n m A ),(n m C --),(y x B (6,)PA PB PC x y ++=-491237)6(2

2≤-=+-x y x PA PB PC ++7

4．（2020·内蒙古高三）已知等边△ABC 内接于圆τ：x 2+ y

2=1，且P 是圆τ上一点，则()PA PB PC ?+的最

大值是（

）

A B ．1

C D ．2

【分析】如图所示建立直角坐标系，设()cos ,sin P θ

θ，则(1)cos PA PB PC θ?+=-，计算得到答案.

【解析】如图所示建立直角坐标系，则1,0A

，12?- ??B ，1,2C ?- ??

，设()cos ,sin P θθ，

则(1cos ,sin )(12cos ,2si (n ))PA PB PC θθθθ=--?--?+-

222(1cos )(12cos )2sin 2cos cos 12sin 1cos 2θθθθθθθ=---+=--+=-≤.

当θπ=-，即()1,0P -时等号成立.故选：D .

【小结】本题考查了向量的计算，建立直角坐标系利用坐标计算是解题的关键. 5．已知， ， ，若点是所在平面内一点，且

，

则 的最大值等于

A ．13

B ．15

C ．19

D ．21

【解析】以题意，以点为坐标原点，以所在的直线为轴，所在的直线为 轴建立如图所示的

平面直角坐标系，

所以点，，，所以

AB AC ⊥1AB t =

AC t =P ABC ?4AB AC

AP AB AC

=+PB PC ?A AB x AC y (1,4)P 1(,0)B t (0,)C t 11(1,4)(1,4)(1)(1)4(4)PB PC t t t t

?=----=-?--?-

=（当且仅当，即

时取等号），所以的最大值为13． 6．设为两个非零向量，的夹角，已知对任意实数，是最小值为1

A ．若确定，则唯一确定

B ．若确定，则唯一确定

C ．若确定，则唯一确定

D ．若确定，则唯一确定

【解析】由于，令，而是任意实数，所以可得的最

小值为，即，则知若确定，则唯一确定．

7．设，为单位向量，非零向量，，若，的夹角为

，则的最大值等于________． 【解析】

，所以

的最大值为2． 8．已知向量,a b ，||1=a ，||2=b ，若对任意单位向量e ，均有||||6+ae be ，则?a b 的最大值是 ．

【解析】由题意令(1,0)=e ，(cos ,sin )αα=a ，(2cos ,2sin )ββ=b ，

则由||||

6+ae

be 可得|cos |

2|cos |6αβ+ ①，令

sin 2sin m αβ+= ②

22①+②得24[|cos cos |sin sin ]

1m αβαβ++对一切实数,αβ恒成立，

所以4[|cos cos |sin sin ]

1αβαβ+．

故12(cos cos sin sin )2[|cos cos |sin sin ]

2

αβαβαβαβ?=++a b ．故最大值为1

2．

9．已知向量,满足,,则的最小值是 ，最大值是 ．

【解析】设向量的夹角为，由余弦定理有，

，

1174t t --1713-=≤1

4t t =1

2

t PB

PC ?θa b t ||t +b a θ||a θ||b ||a θ||b θ2222||2t t t +=++b a b a b a 222

()2f t t t =++b a b a t ()f t 222222222222

4(2)44cos 4sin 1444

θθ--===a b ab a b a b b a a 22

||sin 1θ=b θ||b 1e 2e 12x y =+b e e ,x y ∈R 1e 2e 6π||

||

x b ||||x ==

=

b ==

||

||

x b a b ||1=a ||2=b ||||++-a b a b ,a b θ2

12a b -=+=212a b +=+=54cos a b a b ++-=+

平面向量基础知识

b a B A O a -b 平面向量基础知识 1．向量的概念 (1)向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量．向量可用字母a ，b ，c ，…等表示，也可用表示向量的有向线段的起点和终点的字母表示(起点写在前面，终点写在后面，上面划箭头)如AB 表示由起点A 到终点B 方向的向量． (2)向量的模：向量AB 的大小(即向量AB 的长度)叫做向量AB 的模，记作|AB |．又如向量a 的模记作|a |． 注意：向量的模是一个非负实数，是只有大小而没有方向的标量． (3)零向量、单位向量、平行向量、共线向量的概念． ①零向量：长度(模)为0的向量叫做零向量，记作0．零向量的方向可看作任意方向． ②单位向量：长度(模)为1个单位的向量叫做单位向量． ③平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，向量a 与b 平行可记作：a //b ．因为平行向量都可移到同一条直线上，所以平行向量又叫做共线向量．我们规定0与任一向量平行． ④相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．向量a 与b 相等，记作a =b ．相等向量一定共线，反之则不一定成立． 2．向量运算 (1)加法运算 ①定义：求两个向量和的运算叫做向量的加法，如已知向量a ，b ， 作AB =a ，BC =b ，则向量AC 叫做a 与b 的和，记作a +b ，即a +b =AB +BC =AC ． 这种根据向量加法的定义求向量和的方法，叫做向量加法的 三角形法则． 由图可知，以同一点A 为起点的两个已知向量a ，b 为邻边作 平行四边形ABCD ，则以A 为起点C 为终点的对角线AC 就是a 与b 的和，我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行 四边形法则． ②运算性质： a + b =b +a (交换律)； (a +b )+ c =a +(b +c )(结合律)； a +0=0+a =a ． (2)减法运算 ①相反向量：与向量a 长度相等，方向相反的向量叫做a 的相反向量． 记作a ．零向量的相反向量仍是零向量；-(-a )=a ；a +(-a )=0 (即互为相反的两个向量的和是零向量．) ②减法定义：向量a 加上b 的相反向量叫做a 与b 的差，即a b =a +(-b )． 求两个向量的减法可转化为加法进行．若向量是用两个大写字母，则只需把减向量起点字母与终点字母交换顺序，就可将减法变为加法，如AB -BC =AB +CB 如图，已知，在平面内任取一点O ，作OA =a ，OB =b ，则BA =a -b ．即a -b 可以表示为从向量b 的终点指向a 的终点的向量．此法则叫做两向量减 法的三角形法则． (3)实数与向量的积： ①定义：λa ，其中λ>0，λa 与a 同向，|λa |=|λ|?|a |； λ<0时，λa 与a 反方向，|λa |=|λ|?|a |；λ=0时，λa =0，当a =0，λa =0． ②运算律： B A C a +b a b B A C a +b a b D a b

平面向量同步练习

平面向量的概念及线性运算A 组 专项基础训练 一、选择题(每小题5分，共20分) 1． 给出下列命题： ①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量； ②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小； ③λa ＝0 (λ为实数)，则λ必为零；④λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线． 其中错误命题的个数为 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2． 设P 是△ABC 所在平面内的一点，BC →＋BA →＝2BP → ，则 ( ) ＋PB →＝0 ＋PA →＝0 ＋PC →＝0 ＋PB →＋PC →＝0 3． 已知向量a ，b 不共线，c ＝k a ＋b (k ∈R )，d ＝a －b .如果c ∥d ，那么 ( ) A ．k ＝1且c 与d 同向 B ．k ＝1且c 与d 反向 C ．k ＝－1且c 与d 同向 D ．k ＝－1且c 与d 反向 4． (2011·四川)如图，正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF → 等于 ( ) A ．0 二、填空题(每小题5分，共15分) 5． 设a 、b 是两个不共线向量，AB →＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD → ＝a －2b ，若 A 、 B 、D 三点共线，则 实数p 的值为________． 6． 在?ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，AN →＝3NC →，M 为BC 的中点，则MN → ＝___(用a ，b 表示)． 7． 给出下列命题： ①向量AB →的长度与向量BA → 的长度相等；②向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反；③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同； ④向量AB →与向量CD → 是共线向量，则点A 、B 、C 、D 必在同一条直线上． 其中不正确的个数为________． 三、解答题(共22分) 8． (10分)若a ，b 是两个不共线的非零向量，a 与b 起点相同，则当t 为何值时，a ，t b ，1 3 (a ＋b )三向量的终点 在同一条直线上 9． (12分)在△ABC 中，E 、F 分别为AC 、AB 的中点，BE 与CF 相交于G 点，设AB → ＝a ， AC →＝b ，试用a ，b 表示AG → .

平面向量的概念、运算及平面向量基本定理

05—平面向量的概念、运算及平面向量基本定理 突破点(一)平面向量的有关概念 知识点：向量、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、相反向量 考点 平面向量的有关概念 ［典例］⑴设a , b 都是非零向量，下列四个条件中，使 向=而成立的充分条件是( ) A . a =- b B . a // b C . a = 2b D . a // b 且 |a|= |b| ⑵设a o 为单位向量，下列命题中：①若 a 为平面内的某个向量，贝U a = |a| a o ;②若a 与a o 平行，则 a = |a|a o ;③若a 与a o 平行且|a|= 1,则a = a o .假命题的个数是( ) A . o B . 1 C . 2 D . 3 ［解析］⑴因为向量合的方向与向量a 相同，向量￡的方向与向量b 相同，且￡，所以向量a 与 |a| |b| |a| |b| 向量b 方向相同，故可排除选项 A , B , D.当a = 2b 时，a =警=b ，故a = 2b 是耳=g 成立的充分条件. |a| |2b| |b| |a| |b| (2)向量是既有大小又有方向的量， a 与|a|a o 的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若 a 与a o 平行，则a 与a o 的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时 a =- |a|a o ，故②③也是假命题.综上 所述，假命题的个数是 3. ［答案］(1)C (2)D _ _［易错提醒」_____________ _____________ 厂7i)两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小 ［…(2)大小与方向是向量的两个要素?j 分别是向量的代数特征与几何特征； (3)向量可以自由平移，任意一组平行向量都可以移到同一直线上. 突破点(二)平面向量的线性运算 1. 向量的线性运算： 加法、减法、数乘 2. 平面向量共线定理： 向量b 与a(a ^ o )共线的充 要条件是有且只有一个实数 人使得b = 1 ［答案］(1)D ⑵1 —…_［方法技巧丄—――――_—_ _―_—_ _―_……_ _―_…_ _―_…_ _―_…_ _―_…「 i 1.平面向量的线性运算技巧： ⑴不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解. ⑵含图形的情况：将它们转化到 ］ 三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示岀来求解. 2?利用平面向量的线性运算求参数的一般思路： (1)没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置. (2)利用平行四 边形法则或三角形法贝U 进行转化丄转化为要求的向量形式._ _ (3) 比较，观察可知所求.__________ 考点二 平面向量共线定理的应用 ［例2Lu 设两个非零向J a 和b 不共鈿 平面向量的线性运算 …uuur …"uLu r 考点一 ~~uuur ----- u uur ［例 1］ (1)在厶 ABC 中，AB = c , AC = b.若点 D 满足 BD = 2 DC 12 5 2 A.3b + 3C B.gC — 3b 2 1 2 1 C.gb — 3c D.gb + 3C uuuu 1 uuur ⑵在△ ABC 中，N 是AC 边上一点且 AN = NC , P 是BN 上一点, 数m 的值是 ______________ . uuur umr ［解析］(1)由题可知BC = AC - uuur + BD = c + 2 1 —c)= 3b + §c,故选 D. uuuu 1 uuur (2)如图，因为AN = 2 NC ，所以 uuur 2 uuuu m AB + 3 AN ?因为B ，P ，N 三点共线, ―uuur ，贝U AD =( ) UULT uuur 2 uuur 若 AP = m AB + 9 AC ，则实 2 uuir 2 uuir uur uuur uuur uuur UULT AB = b — c , '^BD = 2 DC ,「.BD = 3 BC = 3(b — c)，则 AD = AB uuuu 1 uuur AN = 3 AC ，所以 2 所以m +3= 1,则 UULT uuur 2 uuur AP = m AB + 9 AC = 1 m = 3.

专题10、平面向量中的范围和最值问题

专题十、平面向量中的最值和范围问题 平面向量中的最值和范围问题， 是一个热点问题，也是难点问题，这类试题的基本类型是根 据给出的条件求某个量的最值、范围，如：向量的模、数量积、夹角及向量的系数.解决这类问 题的一般思路是建立求解目标的函数关系， 通过函数的值域解决问题， 同时，平面向量兼具“数” 与“形”的双重身份，解决平面向量最值、范围问题的另一个基本思想是数形结合. 考点1、向量的模的范围 例1、⑴已知直角梯形ABCD 中，AD //BC , ADC 90°,AD 2,BC 1,P 是腰DC 上的 动点，贝U PA 3PB 的最小值为 ______________ . 120 °贝U 的取值范围是 _________________ 变式：已知平面向量a, B 满足| | | | 1，且a 与 的夹角为120 ，则 |(1 t) 2t |(t R)的取值范围是 ______________________ ; 小结1、模的范围或最值常见方法：①通过 |了|2=；2转化为实数问题；②数形结合；③坐标法. 考点2、向量夹角的范围 例 2、已知 O )B = (2,0), OC = (2,2), CA = (Q2cos a,返 in ",贝 UO )A 与 Ofe 夹角的取值范围是( ) n n n 5 n n 5 n 5 n n A.初 3 B. 4 / C. H ，匚 D. 石，2 小结2、夹角范围问题的常见方法：①公式法；②数形结合法；③坐标法. (2) ( 2011辽宁卷理) 若a,b, c 均为单位向量，且a b 0, (a c)(b c) 最大值为( ) (3) ( 2010浙江卷理) A. 2- 1 卜 F B . 1 C. 2 D . 2 )满足 1，且与-的夹角为

高中数学解题方法系列：平面向量最值问题的4种方法

高中数学解题方法系列：平面向量最值问题的4种方法 平面向量中的最值问题多以考查向量的基本概念、基本运算和性质为主，解决此类问题要注意正确运用相关知识，合理转化。 一、利用函数思想方法求解 例1、给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.如图所示，点C 在以 O 为圆心的圆弧上变动.若其中 ,则的最大值是________. 分析：寻求刻画C 点变化的变量，建立目标x y +与此变量的函数关系是解决最值问题的 常用途径。 解：设AOC θ∠=，以点O 为原点，OA 为x 轴建立直角坐标系，则(1,0)A ，13(,)2B -，(cos ,sin )C θθ。 Q 13(cos ,sin )(1,0)(,)2x y θθ∴=+-即 cos 23sin y x y θθ?-=????= cos 3sin 2sin()6x y πθθθ∴+=+=+2(0)3 πθ≤≤。 因此，当3 π θ=时，取最大值2。 例2、已知(1,7),(5,1),(2,1),OA OB OP ===u u u r u u u r u u u r 点Q 为射线OP 上的一个动点，当QA QB u u u r u u u r g 取最小值时，求.OQ u u u r 分析：因为点Q 在射线OP 上，向量OQ uuu r 与OP uuu r 同向，故可以得到关于OQ uuu r 坐标的一个 关系式，再根据QA QB u u u r u u u r g 取最小值求.OQ u u u r 解：设(2,),(0)OQ xOP x x x ==≥u u u r u u u r ，则(12,7),(52,1)QA x x QB x x =--=--u u u r u u u r OA u u u r OB uuu r 120o AB u u u v ,OC xOA yOB =+u u u r u u u r u u u r ,x y R ∈x y +,OC xOA yOB =+u u u r u u u r u u u r x y +图 1 1

平面向量的基本概念

平面向量得实际背景及基本概念 1、向量得概念：我们把既有大小又有方向得量叫向量。 ２、数量得概念:只有大小没有方向得量叫做数量。 数量与向量得区别： 数量只有大小,就就是一个代数量,可以进行代数运算、比较大小; 向量有方向，大小，双重性，不能比较大小、 3.有向线段:带有方向得线段叫做有向线段。 4.有向线段得三要素:起点,大小,方向 ５、有向线段与向量得区别; （1)相同点:都有大小与方向 (2）不同点:①有向线段有起点,方向与长度，只要起点不同就就就是不同得有向线段 比如：上面两个有向线段就就是不同得有向线段。 ②向量只有大小与方向,并且就就是可以平移得,比如：在①中得两个有向线 段表示相同(等)得向量。 ③向量就就是用有向线段来表示得,可以认为向量就就是由多个有向线段连接而成 6、向量得表示方法: ①用有向线段表示； ②用字母a 、b (黑体,印刷用)等表示; ③用有向线段得起点与终点字母:; ７、向量得模:向量得大小(长度)称为向量得模,记作｜|、 8、零向量、单位向量概念： 长度为零得向量称为零向量,记为:0。长度为1得向量称为单位向量。 ９、平行向量定义: ①方向相同或相反得非零向量叫平行向量;②我们规定0与任一向量平行、即:0 ∥a 。 说明：(1)综合①、②才就就是平行向量得完整定义； (2)向量ａ、ｂ、c 平行,记作ａ∥b ∥c 、 １0、相等向量 长度相等且方向相同得向量叫相等向量、 说明:(1）向量ａ与ｂ相等，记作a ＝b ;(２)零向量与零向量相等; (３)任意两个相等得非零向量,都可用同一条有向线段来表示,并且与有．． A(起点) B (终点) a

2020年高中数学必修4 平面向量 同步基础练习(含答案)

2020年高中数学必修4 平面向量 同步基础练习 一、选择题 1.已知平面向量a与b的夹角为，且∣b∣=1,∣a+2b∣=2，则∣a∣（） A． B． C． D． 2.若向量（） A.2 B.4 C.12 D. 3.已知向量a,b满足，且则向量a与b的夹角的余弦值为( ) A. B. C. D. 4.已知向量a，b满足=5，且，则向量a与b的夹角为（） A. B. C. D. 5.若|，且(a-b)⊥a，则a与b的夹角是（） A． B． C． D． 6.已知非零向量a，b的夹角为60°，且∣b∣=1,∣2a-b∣=1，则∣a∣=（） A. 0.5 B. 1 C. D.2 7.已知向量a=(3,-1),b=(-1,2),c=(2,1)，若a=xb+yc(x,y∈R),则x+y=（） A.2 B.1 C.0 D.0.5 8.已知向量a=(1,2),a-b=(4,5),c=(x,3)，若(2a+b)//c，则x=( ) A.-1 B.-2 C.-3 D.-4 9.已知向量a=(-2,0),a-b=(-3,-1)，则下列结论正确的是（）

A.a ?b=2 B.a//b C.|a|=|b| D.b ⊥(a+b) 10.已知向量 ， ，若 ，则实数 等于（ ） A.-4 B.4 C.-2 D.2 11.已知在平面直角坐标系中，A(1,2)，B(λ,-1)，若 ，则 （ ） A. B.3 C. D.65 12.设向量 若 ，则λ+x 的值为（ ） A.-5.5 B.5.5 C.-14.5 D.14.5 13.已知|a|=|b|=1，a ⊥b ，(2a ＋3b)⊥(ka －4b)，则k 等于( ) A.－6 B.6 C.3 D.－3 14.若非零向量a 、b 满足|a|=3 22|b|，且(a －b)⊥(3a ＋2b)，则a 与b 的夹角为( ) A.π4 B.π2 C.3π 4 D.π 15.若向量a 、b 满足：|a|=1，(a ＋b)⊥a ，(2a ＋b)⊥b ，则|b|=( ) A.2 B.2 C.1 D. 2 2 16.若向量a 与b 的夹角为60°，|b|=4，且(a ＋2b)·(a －3b)=－72，则a 的模为( ) A.2 B.4 C.6 D.12 17.|a|=1，|b|=2，c=a ＋b 且c ⊥a ，则a 与b 的夹角为( ) A.30° B.60° C.120° D.150° 18.设向量a,b 满足|a|=1,|a-b|=3,a ·(a-b)=0,则|2a+b|=( ) A.2 B.23 C.4 D.43 二、填空题 19.已知向量a 与b 的夹角为120°，∣a ∣=2，∣b ∣=1，则∣a-2b ∣=________. 20.若向量a 与b 互相垂直，且∣a ∣=1，∣b ∣=2，则∣a+2b ∣=__________． 21. (AB →＋MB →)＋(BO →＋BC →)＋OM → 化简后等于________. 22.给出下列命题： ①若OD →＋OE →=OM →，则OM →－OE →=OD →； ②若OD →＋OE →=OM →，则OM →＋DO →=OE →； ③若OD →＋OE →=OM →，则OD →－EO →=OM →； ④若OD →＋OE →=OM →，则DO →＋EO →=MO →.

平面向量中的最值问题浅析

平面向量中的最值问题浅析 耿素兰山西平定二中(045200 ) 平面向量中的最值问题多以考查向量的基本概念、 基本运算和性质为主， 解决此类问题 要注意正确运用相关知识，合理转化。 一、利用函数思想方法求解 uuu uuu 例1、给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为120o .如图所示，点C 在以O uuv uur uuu uuu 为圆心的圆弧 AB 上变动.若OC xOA yOB,其中 y 的最大值是 C 点变化的变量，建立目标 x y 与此变量的函数关系是解决最值问题的 常用途径。 ，以点O 为原点，OA 为x 轴建立直角坐标系，则A(1,0)，B(丄，一3)， 2 2 C(cos ,sin ) uuur 取最小值时，求 OQ. uuu uuiu uuu 分析：因为点 Q 在射线OP 上，向量OQ 与OP 同向，故可以得到关于 OQ 坐标的一个 uju uuu uur 关系式，再根据QAgQB 取最小值求OQ. 分析：寻求刻画 解:设 AOC umr Q OC uuu xOA uuu yOB, (cos ,sin x 上 2 、3y 2 cos sin 因此，当 cos .3sin 2sin( 評 3) 。 3时，x y 取最大值 uuu UJU 例 2、已知 OA (1,7), OB 2。 uur (5,1),OP (2,1),点Q 为射线OP 上的一个动点，当QAgQB uuu uuu 即 1 心)y( ^,

uur 解：设OQ uuu xOP uuu (2x,x),(x 0)，则 QA uuu (1 2x,7 x),QB (5 2x,1 x)

平面向量同步练习

平面向量同步练习

平面向量的概念及线性运算A 组 专项基础训练 一、选择题(每小题5分，共20分) 1． 给出下列命题： ①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量； ②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小； ③λa ＝0 (λ为实数)，则λ必为零；④λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线． 其中错误命题的个数为 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2． 设P 是△ABC 所在平面内的一点，BC →＋BA →＝2BP →，则 ( ) A.PA →＋PB →＝0 B.PC →＋PA →＝0 C.PB →＋PC →＝0 D.PA →＋PB →＋PC →＝0 3． 已知向量a ，b 不共线，c ＝ka ＋b (k ∈R)，d ＝a －b .如果c ∥d ，那么 ( ) A ．k ＝1且c 与d 同向 B ．k ＝1且c 与d 反向 C ．k ＝－1且c 与d 同向 D ．k ＝－1且c 与d

反向 4． (2011·四川)如图，正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF →等于 ( ) A ．0 B.BE → C.AD → D.CF → 二、填空题(每小题5分，共15分) 5． 设a 、b 是两个不共线向量，AB →＝2a ＋pb ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，若A 、B 、D 三点共线，则实数p 的值为________． 6． 在?ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，AN →＝3NC →，M 为BC 的中点，则MN →＝___(用a ，b 表示)． 7． 给出下列命题： ①向量AB →的长度与向量BA →的长度相等；②向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反；③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同； ④向量AB →与向量CD →是共线向量，则点A 、B 、C 、D 必在同一条直线上． 其中不正确的个数为________．

平面向量中的线性问题专题(附答案)

平面向量中的线性问题 题型一 平面向量的线性运算及应用 例1 (1)(2015·课标全国Ⅰ)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD → ，则( ) A.AD → ＝－13AB →＋43AC → B.AD →＝13AB →－43AC → C.AD →＝43AB →＋13 AC → D.AD →＝43AB →－13 AC → (2)如图所示，在△ABC 中，D ，F 分别是AB ，AC 的中点，BF 与CD 交于点O ，设AB →＝a ，AC → ＝b ，试用a ，b 表示向量AO → . (3)OA →＝λOB →＋μOC → (λ，μ为实数)，若A 、B 、C 三点共线，则λ＋μ＝1. 变式训练1 (1)如图，两块全等的直角边长为1的等腰直角三角形拼在一起，若AD →＝λAB → ＋kAC → ，则λ＋k 等于( ) A.1＋ 2 B.2－ 2 C.2 D.2＋2 (2)在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M ，N 分别为CD ，BC 的中点，若AB →＝λAM →＋μAN → ，则λ＋μ＝________.

题型二 平面向量的坐标运算 例2 (1)(2015·江苏)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R )，则m －n 的值为________. (2)平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)，请解答下列问题： ①求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； ②若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k ； ③若d 满足(d －c )∥(a ＋b )，且|d －c |＝5，求d . 变式训练2 (1)(2014·湖南)在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1,0)，B (0，3)，C (3,0)，动点D 满足|CD →|＝1，则|OA →＋OB →＋OD → |的最大值是________. (2)已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC → ＝(5－m ，－3－m )，若点A 、B 、C 能构成三角形，则实数m 满足的条件是________. 高考题型精练 1.(2015·四川)设向量a ＝(2,4)与向量b ＝(x,6)共线，则实数x 等于( ) A.2 B.3 C.4 D.6 2.(2015·安徽)△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB →＝2a ，AC →＝2a ＋b ，则下列结论正确的是( ) A.|b |＝1 B.a ⊥b C.a ·b ＝1 D.(4a ＋b )⊥BC → 3.已知A (－3,0)，B (0,2)，O 为坐标原点，点C 在∠AOB 内，|OC |＝22，且∠AOC ＝π4，设OC → ＝ λOA →＋OB → (λ∈R )，则λ的值为( ) A.1 B.13 C.12 D.2 3 4.(2014·课标全国Ⅰ)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC → 等于( )

专题二 培优点9 平面向量数量积的最值问题

培优点9 平面向量数量积的最值问题 平面向量部分，数量积是最重要的概念，求解平面向量数量积的最值、范围问题要深刻理解数量积的意义，从不同角度对数量积进行转化． 例 (1)已知AB →⊥AC →，|AB →|＝1t ，|AC →|＝t ，若点P 是△ABC 所在平面内的一点，且AP →＝AB →|AB →|＋4AC → |AC →|，则PB →·PC → 的最大值等于( ) A ．13 B ．15 C ．19 D ．21 答案 A 解析 建立如图所示的平面直角坐标系，则B ????1t ，0，C (0，t )，AB →＝????1t ，0，AC →＝(0，t )， AP →＝AB →|AB →|＋4AC →| AC →|＝t ????1t ，0＋4t (0，t )＝(1,4)，∴P (1,4)， PB →·PC →＝????1t －1，－4· (－1，t －4) ＝17－????1t ＋4t ≤17－21t ·4t ＝13， 当且仅当t ＝12 时等号成立． ∴PB →·PC →的最大值等于13. (2)如图，已知P 是半径为2，圆心角为π3 的一段圆弧AB 上的一点，若AB →＝2BC →，则PC →·P A →的最小值为________． 答案 5－213 解析 以圆心为坐标原点，平行于AB 的直径所在直线为x 轴，AB 的垂直平分线所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系(图略)，则A (－1，3)，C (2，3)，

设P (2cos θ，2sin θ)????π3≤θ≤2π3， 则PC →·P A →＝(2－2cos θ，3－2sin θ)·(－1－2cos θ，3－2sin θ)＝5－2cos θ－43sin θ＝5－213sin(θ＋φ)， 其中0

平面向量的基本性质

平面向量的基本定理及其坐标表示 第一部分 知识梳理 一、平面向量的基本定理：如果21,e 是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数21,λλ，使得2211e e λλ+=。我们把不共线的向量21,e e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。 对于两个非零向量a 与b ，通过平移使他们的起点重合，比如a oA =，b oB =，则 () 1800≤≤=∠θθAOB 叫做向量与的夹角。 二、 平面向量的正交分解及坐标表示 （1）向量的分解：一个平面向量用一组基底21,e 表示成2211e e λλ+=,(R ∈21,λλ）的形式，我们称之为向量的分解 （2）向量的正交分解：把一个向量分解成两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解，这两个互相垂直的向量称为正交基底。 （3） 平面向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别去与x 轴，y 轴方向相同的两个单位向量,作为基底，对于平面捏的任一向量a ，由平面向量基本定理可以知，有且只有一对实数y x ,，使得j y i x a +=，这样，平面内的任一向量都可以由y x ,唯一确定，我们把有序的实数对()y x ,叫做向量的坐标，记作),(y x a =，其中x 叫做在x 轴上的坐标，y 叫做在y 轴上的坐标，),(y x =叫做向量的坐标表示。 三、平面向量的坐标运算： （1） 两个向量和、差的坐标运算。已知),(),,(2211y x y x ==则 ),(2121y y x x ++=+，),(2121y y x x --=- （2） 平面向量数乘的坐标运算。已知()R y x a ∈=λ,,，则()y x a λλλ,= （3） 已知A 、B 的坐标，求的坐标。设),(),,(2211y x B y x A ，则()1212,y y x x --= 四、平面向量共线的坐标表示： 已知()11,y x =，() 0),(22≠=y x ，与共线?01221=-y x y x 五、线段定比分点坐标： 若点()111,y x P ，P2（ x2),(222y x P ，()y x P ,，λ为实数，且P 21PP P P λ=,则点P 的坐标y x ,满足：()y x P ,

高中数学必修4平面向量典型例题及提高题

平面向量 【基本概念与公式】 【任何时候写向量时都要带箭头】 1.向量：既有大小又有方向的量。记作：AB 或a 。 2.向量的模：向量的大小（或长度），记作：||AB 或||a 。 3.单位向量：长度为1的向量。若e 是单位向量，则||1e =。 4.零向量：长度为0的向量。记作：0。【0方向是任意的，且与任意向量平行】 5.平行向量（共线向量）：方向相同或相反的向量。 6.相等向量：长度和方向都相同的向量。 7.相反向量：长度相等，方向相反的向量。AB BA =-。 8.三角形法则： AB BC AC +=；AB BC CD DE AE +++=；AB AC CB -=（指向被减数） 9.平行四边形法则： 以,a b 为临边的平行四边形的两条对角线分别为a b +，a b -。 10.共线定理：//a b a b λ=?。当0λ>时，a b 与同向；当0λ<时，a b 与反向。 11.基底：任意不共线的两个向量称为一组基底。 12.向量的模：若(,)a x y =，则2||a x y = +2 2||a a =，2||()a b a b +=+ 13.数量积与夹角公式：||||cos a b a b θ?=?； cos |||| a b a b θ?= ? 14.平行与垂直：1221//a b a b x y x y λ?=?=；121200a b a b x x y y ⊥??=?+= 题型1.基本概念判断正误： （1）若a 与b 共线， b 与c 共线，则a 与c 共线。 （2）若ma mb =，则a b =。 （3）若ma na =，则m n =。 （4）若a 与b 不共线，则a 与b 都不是零向量。 （5）若||||a b a b ?=?，则//a b 。 （6）若||||a b a b +=-，则a b ⊥。 题型2.向量的加减运算

运用坐标法解决平面向量的最值问题

运用坐标法解决平面向量的最值问题 发表时间：2013-04-22T16:02:45.093Z 来源：《中学课程辅导·教学研究》2013年第7期供稿作者：卫保新[导读] 在原题目中没有给出相应的图形，在画出的常规图形也难以使学生联想出到建立直角坐标系。 卫保新 摘要：本文通过对三个数学例题的简要分析，简要谈了应如何运用坐标法解决平面向量的最值问题，并提出了笔者的一些体会。关键词：坐标法；平面向量；最值问题 在平面向量中，解决有关最大、最小值问题是高考命题中一个比较常见的热点问题，题目主要考查平面向量的数量积、向量的模、向量的基本运算等重要知识点。解题的方法除了运用数量积的定义，也可运用数量积的坐标运算。知识综合运用三角、不等式、函数等内容。解题的思想体现了数形结合、等价转换、函数与方程等思想方法。在高考和平时的课堂教学中，学生解题过程时很难联想到引入直角坐标系、运用坐标建立函数模型、不等式模型解决问题。 那么，如何建立适当的直角坐标系呢？一是抓住题中直接或间接的垂直关系；二是抓住题中定量与不定量的关系；三是抓住是否有利于图形写出方程的简单化；四是抓住点的坐标更容易写出；五是所建立的直角坐标系不影响求解的结论。 下面用具体例子说明建立直角坐标系、运用坐标法解决平面向量最值问题(以下的解法仅给出坐标法说明，原标准方法在此不再列出) 说明：在例1中原题中没有给出图形，学生在解决问题时虽然能作出图形，由于点P的不确定性，所以学生不容易联想到建立直角坐标系把问题代数化，在P点的选择技巧上，由于圆外一点均可作出圆的两条切线，并且无论点P位于何处，总可以以PO为x轴或y轴建立适当的直角坐标系。本题运用了重要的知识点——平均值不等式求最值。

2019-2020学年高中数学新教材人教A版必修第二册精英同步卷：6.1平面向量的概念 Word版

精英同步卷：6.1平面向量的概念 1、把平面上所有单位向量的起点平移到同一点P ,这些向量的终点构成的几何图形为( ) A.正方形 B.圆 C.正三角形 D.菱形 2、下列说法不正确的是( ) A.零向量是没有方向的向量 B.零向量的方向是任意的 C.零向量与任一向量共线 D.零向量只能与零向量相等 3、有下列说法: ①两个有共同起点且相等的向量,其终点可能不同; ②若非零向量AB u u u r 与CD u u u r 是共线向量,则,,,A B C D 四点共线; ③若非零向量a r 与b r 共线,则a b =r r ; ④若a b =r r ,则||||a b =r r . 其中正确的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 4、下列命题中正确的是( ) A.温度是向量 B.速度、加速度是向量 C.单位向量相等 D.若||||a b =r r ,则a r 和b r 相等 5、下列说法正确的是( ) ①若向量,a b r r 共线,向量,b c r r 共线,则a r 与c r 也共线; ②任意两个相等的非零向量的起点与终点是一平行四边形的四个顶点; ③向量a r 与b r 不共线,则a r 与b r 都是非零向量; ④若a b =r r ,b c =r r ,则a c =r r . A.1 B.2 C.3 D.4 6、设,a b r r 都是非零向量，下列四个条件中，使a b a b = r r r r 成立的是( ) A.a b =-r r B.//a b r r C.2a b =r r D.//a b r r 且a b =r r

平面向量中的最值问题浅析

平面向量中的最值问题浅析 耿素兰 山西平定二中（045200） 平面向量中的最值问题多以考查向量的基本概念、基本运算和性质为主，解决此类问题要注意正确运用相关知识，合理转化。 一、利用函数思想方法求解 例1、给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为120o .如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动.若,OC xOA yOB =+ 其中 ,x y R ∈,则x y +的最大值是________. 分析：寻求刻画C 点变化的变量，建立目标x y + 与此变量的函数关系是解决最值问题的常用途径。 解：设AOC θ∠=，以点O 为原点，OA 为x 轴建立直角坐标系，则(1,0)A ，1(, )22 B -，(cos ,sin ) C θθ。 ,OC xOA yOB =+ 1(cos ,sin )(1,0)(2x y θθ∴=+-即 cos 2sin y x θθ?-=?? = cos 2sin()6x y πθθθ∴+=+=+2(0)3 π θ≤≤。 因此，当3 π θ= 时，x y +取最大值2。 例2、已知(1,7),(5,1),(2,1),OA OB OP === 点Q 为射线OP 上的一个动点，当 QA QB 取最小值时，求.OQ 分析：因为点Q 在射线OP 上，向量OQ 与OP 同向，故可以得到关于OQ 坐标的一个 关系式，再根据QA QB 取最小值求.OQ 解：设(2,),(0)OQ xOP x x x ==≥ ，则(12,7),(52,1)QA x x QB x x =--=-- 图 1

2 2 (12)(52)(7)(1) 520125(2)8 QA QB x x x x x x x ∴=--+--=-+=-- ∴当2x =时，QA QB 取最小值-8，此时(4,2).OQ = 二、利用向量的数量积n m n m ?≤?求最值 例3、ABC ?三边长为a 、b 、c ，以A 为圆心,r 为半径作圆,PQ 为直径，试判断P 、Q 在什么位置时，BP CQ 有最大值。 分析：用已知向量表示未知向量，然后用数量积的性质求解。 解：,AB BP AP AC CQ AQ AP +=+==- 2 2 2 ()() () BP CQ AP AB AP AC r AB AC AP AB AC r AB AC AP CB AB AC AP CB r ∴=---=-++-=-++≤+- 当且仅当AP 与CB 同向时，BP CQ 有最大值。 三、利用向量模的性质a b a b a b -≤+≤+ 求解 例4：已知2,(cos ,sin ),a b b θθ-== 求a 的最大值与最小值。 分析：注意到()a a b b =-+ ，考虑用向量模的性质求解。 解：由条件知1b = 。 设a b c -= ，则a =b c + ， c b c b c b -≤+≤+ ， ∴13a ≤≤ 。 所以当b 与c 同向时，a 取最大值3；当b 与c 反向时，a 取最小值1。 四、利用几何意义，数形结合求解 例5、如图，已知正六边形123456PP P P P P ，下列向量的数量积中最大的是 （A ）1213PP PP ? （B ）1214PP PP ? （C ）1215PP PP ? （D ）1216PP PP ? 分析：平面向量数量积121(1,2,3,4,5,6)i PP PP i = 的几何意义为121i PP PP 等于12PP 的长度与 图 2 图3

(完整版)平面向量基本定理练习题

平面向量基本定理及坐标表示强化训练 姓名__________ 一、选择题 1．下列向量给中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是 （ ） A ．e 1=(0,0), e 2 =(1,－2) ; B ．e 1=(-1,2),e 2 =(5,7); C ．e 1=(3,5),e 2 =(6,10); D ．e 1=(2,-3) ,e 2 =)4 3,2 1(- 2. 若AB u u u r =3a, CD u u u r =－5a ,且||||AD BC =u u u r u u u r ,则四边形ABCD 是 （ ） A ．平行四边形 B ．菱形 C ．等腰梯形 D ．不等腰梯形 3. 在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD → =2DB →, CD → =13CA →+λCB → ,则λ 等于（） A. 23 B. 13 C. 13- D. 2 3- 4．已知向量a 、b ，且AB u u u r =a +2b ,BC u u u r = -5a +6b ,CD u u u r =7a -2b ,则一定共线的三点是 （ ） A ．A 、 B 、D B ．A 、B 、 C C ．B 、C 、 D D ．A 、C 、D 5．如果e 1、 e 2是平面α内两个不共线的向量，那么在下列各说法中错误的有 （ ）①λe 1＋μe 2(λ, μ∈R)可以表示平面α内的所有向量； ②对于平面α中的任一向量a ,使a =λe 1＋μe 2的λ, μ有无数多对； ③若向量λ1e 1+μ1e 2与λ2e 1+μ2e 2共线,则有且只有一个实数k ,使λ2e 1+μ2e 2=k (λ1e 1+μ1e 2)； ④若实数λ, μ使λe 1＋μe 2=0，则λ=μ=0. A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．仅② 6．过△ABC 的重心任作一直线分别交AB 、AC 于点D 、E ，若AD u u u r =x AB u u u r ,AE u u u r =y AC u u u r ,xy ≠0，则11 x y +的值 为 （ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 7．若向量a =(1,1),b =（1,-1) ,c =(-2,4) ,则c = ( ) A ．-a +3b B ．3a -b C ．a -3b D ．-3a +b 二、填空题 8．作用于原点的两力F 1 =(1,1) ,F 2 =(2,3) ,为使得它们平衡，需加力F 3= ; 9．若A (2,3)，B (x , 4),C (3,y ),且AB u u u r =2AC u u u r ,则x = ，y = ; 10．已知A (2,3),B (1,4)且12 AB u u u r =(sin α,cos β), α,β∈(-2π,2 π),则α+β= *11．已知 a =(1,2) , b =(-3,2),若k a +b 与a -3b 平行，则实数k 的值为

高一数学平面向量同步练习.doc

第二章平面向量 一、选择题 1．如图所示，ABCD 中， AB－ BC＋CD等于( ) ． A． BC B． DA C． CB D． BD 2．在矩形 ABCD 中，| AB|＝ 3 ，| BC | ＝1，则向量 ( AB＋ AD ＋ AC)的长等于( ) ． A ． 2 B． 2 3 (第 2题) C．3 D．4 3．如图， D， E， F 是△ ABC 的边 AB， BC， CA 的中点，则 AF － DB 等于 ( ) ． A． FD B． FC C． FE D． BE 4．下列说法中正确的是() ． A ．向量 a 与非零向量 b 共线，向量 b 与向量 c 共线，则向量 a 与 c 共线 B．任意两个模长相等的平行向量一定相等 C．向量 a 与 b 不共线，则 a 与 b 所在直线的夹角为锐角 D．共线的两个非零向量不平行

5．下面有四个命题，其中真命题的个数为() ． ①向量的模是一个正实数． ②两个向量平行是两个向量相等的必要条件． ③若两个单位向量互相平行，则这两个向量相等． ④模相等的平行向量一定相等． A ． 0 B． 1 C． 2 D． 3 6．下列说法中，错误的是( ) ． A ．零向量是没有方向的 C．零向量与任一向量平行 7．在△ ABC 中， AD ，BE，CF 分别是 B．零向量的长度为0 D．零向量的方向是任意的 BC，CA ，AB 边上的中线， G 是它们的交点，则 下列等式中不正确的是( ) ． A． BG＝2 BE 3 B．DG＝1 AG 2 C． CG ＝－ 2FG D．1 DA＋ 2 FC＝ 1 BC 3 3 2 8．下列向量组中能构成基底的是( ) ． A ． e1＝ ( 0， 0) ， e2＝( 1， 2) B． e1＝(- 1， 2) ，e2＝( 5， 7) C．e1＝ ( 3， 5) ，e2＝ ( 6， 10) D．e1＝ ( 2， - 3) ， e2＝ ( 1 ， - 3 ) 2 4 9．已知 a＝ (- 1， 3) ， b＝( x，－ 1) ，且 a∥ b，则 x 等于 ( ) ． A ． 3 B．－ 2 C．1 D．－ 1 3 3 10．设 a， b， c 是任意的非零平面向量，且相互不共线，则 ①( a·b) · c－ ( c· a) · b＝0；② | a| － | b| ＜ | a－ b| ；③ ( b· c) · a－ ( c· a) ·b 不与 c 垂直；④ ( 3a＋ 2b) ·( 3a－ 2b) ＝ 9| a| 2－ 4| b| 2中，是真命题的是 () ．