信息论与编码-曹雪虹-课后习题答案

《信息论与编码》-曹雪虹-课后习题答案

第二章

2. 1 一个马尔可夫信源有3个符号｛“⑷,呵，转移概

率 为：〃（曲）= 1/2 , p （lll\u\） = \//l ，

/?（M3l W1） = O , /2（Mll

W2）= l/3 ,

2.2由符号集｛0, 1｝组成的二阶马尔可夫链，其转移 槪

£率为：p （oioo ）=0・ 8 9 p （oiii ）=0・ 2, /?（i I oo ）=0. 2, p （i

111）=0. 8, P （OIOI ）=0. 59 〃（oiio ）=0・ 5, p （iioi ）= 0. 5, p

（iiio ）=0. 5。iffll 出 状态图，并计算各状态的稳态概

率。

解: p （0100） = /?（00100） = 0.8

P （U2\U2）= O y p （m\U2）= 2/3 y 〃（"llU3）= l/3 , ”（“2丨心） = 2/3, /?

（M3lM3）=O y

画出状态图并求出各符号稳态概率。

解：状态图如下 状态转移矩阵为：

设状态5, %比稳定后的概率分别为W” W2、Ws

-Wi + -W2+-Wi = Wi

2 3 3

1 2 _Wl+_W3 = W2

2 3

-W2 = VV3

3

Wi + Wi + W3 = \

WP = w

彳曰

Wl + W2 + W3=l '寸v 计算可得 W\ =

VV2 =

vv? =

10

一259256

一

25 /XOIOl) = p(lOIOl)=O.5

于是可以列出转移概率矩阵：厂08 0.2 0 0

、0 0 0.5 0.5

0.5 0.5 0 0

0 0.2 0.8 .

状态图为:

设各状态00, 01，10, 11的稳态分布概率为

叽 w 2>w 3,w 4 有

率都为1/6,求：

(1) “3和5同时出现”这事件的自信息； (2) “两个1同时出现”这事件的自信息；

(3) 两个点数的各种组合(无序)对的爛和平均信息 量； (4) 两个点数之和(即2, 3,・・・,12构成的子集) 的嫡； (5) 两个点数中至少有一个是1的自信息量。

两个点数的排列如下:

11 12 13 14 15 16

[WP = W

O ・8W I + O ・5W3 = W I

O.2Wi + O.5Wi = W2 得 \O .5W I + O.2W A =

Wi + Wi + Wi + W4 = l

Wi =- 计算得到;

用3 =-

7

2.3同时掷岀两个正常的骰子,

也就是各面呈现的概

•• \17 \17 \17

解 d

14

14

21 22 23 24 25 26 31 32 33 34 35 36 41 42 43 44 45 46 51 52 53 54 55 56

61 62 63 64 65 66

44, 55, 66的概率是殳丄=丄

6 6 36

2x-x- = —

6 6 18

1

1

1

1 A

//(X) = -V p(x i )log p(x l ) = - 6x — log --------------- 15x — log — = 4.337 bit/symbol

i

I 36 〜36

18 18 ；

(4)

参考上面的两个点数的排列, 的概率分布如下： H(X) =-工”(兀)log 〃(兀)

i

C 1 ,

1 c 1 I 1^1,

1 c -

1 c 5( 5

1

1 '

=一 2x ——log 2x —log — + 2x — log — + 2x —los —+ 2x — log — + —log —

36 "36 18 ^18 12

12

9 " 9

36

36 6

= 3.274 bit!symbol

共有21种组合： 其中

11, 22, 33, 其他15个组合的概率是

可以得出两个点数求和

10 1 12 12

1 11 丄 18 36J

2136

p

91-9

005

一

36

71-6 65-36

5 1-9

pU) = lxlxll = Al

/(兀)= -logp(兀) = —log¥ = l・710 bit

36

2-4

2.5居住某地区的女孩子有25%是大学生，在女大学生中有75%是身高160厘米以上的，而女孩子中身高160厘米以上的占总数的一半。假如我们得知“身高160厘米以上的某女孩是大学生”的消息，问获得多少信息量？解：

设随机变量X代表女孩子学历

尤/（是大学生）抢（不是大学

生）

P（X） 0.25 0.75

设随机变量Y代表女孩子身高

Y戸（身力（身高

高>160cm）<160cm）

已知：在女大学生中有75%是身高160厘米以上的即• P(yi / “I) = 0.75 bit

求：身高160厘米以上的某女孩是大学生的信息量

艮卩：I(xJ X) = —log p(x}/y)) = -log = _log 0.律,75 =1

415 bjf

0.5

2.6掷两颗骰子，当其向上的面的小圆点之和是3时, 该消息包含的信息量是多少？当小圆点之和是7时，该消息所包含的信息量又是多少？

解：

1)因圆点之和为3的概率朋)=卩(1⑵+陀1)=丄

18

该消息自信息車/(x) = - log p(x) = log 18 = 4.1 JOhit

2)因圆点之和为7的概率

p(x) =“(1,6) + p(6,1) + p(2,5) + p(5,2)+ “(3,4) + “(4,3)=：

该消息自宿息量/(x) = -log p(x) = log6 = 2.585肋

P(Y) 0. 5 0.5

2.7设有一离散无记忆信源，其概率空间为

'山X2 = 1 xi = 2X4 = 3]

(丿>3/8 1/4 1/4 1/8 )

(1)求每个符号的自信息量

(2)信源发出一消息符号序列为{202 120 130

213 001 203 210 110 321 010 021 032 011 223 210},求该序列的自信息量和平均每个符

号携带的信息量

仰军:/(xi) = log 2 ―!— = log? —= 1.415bit

"(xi) 3

同理可以求得1(X2)= 2bitJ(X3)= 2bit y I(X3)= 3bit

因为信源无记忆，所以此消息序列的信息量就等于该序列中各个符号的信息量之和

就有:I = 14Z(xi) +13/(x2)+12/(x3)+ 67(X4)= 87.8\bit

平均每个符号携带的信息量为^ = 1.95bit/符号

45

2.8试问四进制、八进制脉冲所含信息量是二进制脉冲的多少倍？

解：

四进制脉冲可以表示4个不同的消息，例如：{0, 1, 2,

3}

八进制脉冲可以表示8个不同的消息，例如:{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

二进制脉冲可以表示2个不同的消息，例如：{0, 1} 假设每个消息的发出都是等概率的，贝I」：

四进制脉冲的平均信息量H(X J = logn = log 4 = 2 hit/symbol

八进制脉冲的平均\S息量H(X2) = logn = log8 = 3 hit/symbol

二进制脉冲的平均信息量H (X。)= log ” = log 2 = 1 bit! symbol

所以：

四进制、八进制脉冲所含信息量分别是二进制脉冲信息量的2倍和3倍。

2-9 “一”用三个脉冲“用一个脉冲

2.11有一个可以旋转的圆盘，盘面上被均匀的分成38份，用1,…，38的数字标示，其中有两份涂绿色, 18份涂红色，18份涂黑色，圆盘停转后，盘面上的指针指向某一数字和颜色。

(1)如果仅对颜色感兴趣，则计算平均不确定度

(2)如果仅对颜色和数字感兴趣，则计算平均不确定度

(3)如果颜色已知时，则计算条件燔

解：令X表示指针指向某一数字，则X 二{1,2, .,38}

Y表示指针指向某一种颜色，则Y二{1绿色，红色，黑色}

Y是X的函数，由题意口丁知p(xiyj) = p(xt)

(1)/7(丫)=力(另)1隅亠=舟log 孝+ 2x 磐log 誥= 1.24bit/符号

(2)H(X,Y) = H(X) = Iog238 = 5.25bit/符号

(3 ) /7(Xiy)= H(X,y)-H(r)= H(X)-H(y)= 5.25-1.24 =4.01 bit/符号

2.12 两个实验X 和Y, X={X1 x2 x3},Y={yi y2 y3},l 联合概率心,») = rtj为

'mg 、"7/24 1/24 0 '

r2\ r23=1/24 1/4 1/24

丿

(1)如果有人告诉你X和Y的实验结果，你得到的平均

信息量是多少？

(2)如果有人告诉你Y的实验结果，你得到的平均信息

量是多少？

(3)在已知Y实验结果的情况下，告诉你X的实验结

果，你得到的平均信息量是多少？

解：联合概率爪丿)为

=0. 72bit/符号 Y yi y2 y3 P

8/24

8/24

8/24

2. 13有两个二元随机变量X 和K 它们的联合概率为

X

yi

Y2

ys

X1 7/24 1/24 0 X2 1/24 1/4

1/24 X3

1/24

7/24

H (X, 丫)=工

“3」)log 2 pg yj)

7 24

1 1

=2x ——log 2 — + 4x ——1OS 224 + —

log 24

〜〜 〜

=2. 3bit/符号

X Xi X 2

X 3

P

8/24 8/24 8/24

X 概率分布

H (y )= 3x^log23 = 1.58 bit/符

H(X I Y) = H(X,Y)-H(Y) = 2.3-1.58 分

布 是

Y

概 率

y2=l 3/8 1/8

并定义另一随机变量Z二府(一般乘积)，试计算：

(1)H(X), H(Y), H(Z)f H(XZ), H(YZ)^W H(XYZ)^

(2)H(X/Y)f H (Y/X), H (X⑵,H (Z/X), H(Y/Z)f H(Z/Y), H(X/YZ), H(Y/XZ)^\ H(Z/XY)^

(3)I(X;Y)f I(X;Z), I(Y;Z)f I(X;Y/Z), I(Y;Z/X) 和I(X;Z/Y)Q

解：

(1)

1 3 1

y J+p(^y2)= -+- = 7

3 1 1

= p(x2y}) + p(x2y2) = - + - = -

H(X)=一》/?(%,) log = 1 hit/ symbol i

P(x) = p(xy) + p(x2 ^) = | + | = |

P(『2)=讥利2)+ P(%2 力)=| + £ = £

H(Y)= 一工〃(儿)log 〃(儿)=1 bit!symbol

i

Z = AY的概率分布如下：

■ Z ■=0 G = I

=-7 1 >

P(Z). .8 8 .

H(Z)=-》“(Z A)=-— log- + -log- = 0.544 bit!symbol

P(E)= P(Xi3)+ P(X忆2)

卩(和2)=。

〃g) = P(xJ = 0・5

P(Z}) = p(x i z l)+ p(X2Z x)

7 3

〃(今)=P(zJ一〃(X] Z]) = & - 0.5 = §

o o

p(z2) = p(v2) + p(x2z2)

p(x2z2) = p(Z2) = ^

o

(i 1 3 3 1 i A

H(XZ) = _ 工工〃(兀zjlogp(x 忆Q = _ -lo S- + ^lo g- + -lo g- =1406 hit/symbol

P(y\) = P(>\^) + p(y}z2) p(y1z2)= ° P(ViZi)=P(Vi ) = 0.5 p(Z]) = p(y】Z]) + p(y2Z])

7 3

P( v2z))= ) - p(y}z}) = - -0.5 =-

o o

p(z2) = p(y l z2) + p(y2z2)

=1.406 bit/symbol

/心)辰)=0

卩(坷也)=°

p(兀忆2)= °

/心N Z|) + ]心 y 忆2) = /心X)

P(x l y i z i) = p(x l y[) = l/S

P(x{儿勺)+ P U I J I Z I) = PgZ])

1 1 3

〃(X|『2 Zi)= 〃(兀忆1) 一/Xx.y.z,) = --- = -

pg y^l) + I心2〉'忆2 ) = I心2 Jl)

3

P^2y l z l) = p(x2y l) = -

P(x2y2z l) = o

P(x2y2Z l) + p(x2y2z2) = p(x2y2)

P(x2y2z2) = p(x2y2) = ^

H (X YZ) = -m Pg儿.Z 女)log M(x*j z k) i j k

1 1 3 3 3 3 1 1

=一-log - + - log - + -log - + - log - = 1.811 bit!symbol (8 飞888 ^8 8 8丿*

H(XX)= 一弓工p(Xi力)log2 P(E^)==-^-log- + -log-4--log-+-fog-J = 1.811 bit!symbol H(x/y)= //(xy)-/7(r)= 1.811-1 = 0.811 bit/symbol

H(y/X) = H(XY)-H(X) = 1.811 -1 = 0.811 bit/symbol

H(X/Z) = H(XZ)一H(Z) = 1.406-0.544 = 0.862 bit/symbol

H(Z/X) = H(XZ)-H(X) = \.406-1 = 0.406 bit/symbol

H(Y/Z) = H(YZ)-H(Z) = 1.406-0.544 = 0.862 bit/symbol

H{Z/Y) = H(YZ)_H(Y) = 1.406-1 = 0.406 hit/symbol

H(X/YZ) = H(XYZ)-H(YZ) = 1.811-1.406 = 0.405 bit/symbol

H(Y/XZ) = H(XYZ)-H(XZ) = 1.81 l-l .406 = 0.405 bit/symbol

H(z/xy)= //(xrz)-/7(xr)= 1.811-1.811 = 0 bit/symbol

7(x;k)hh(x)ih(x 、k71io ・811ho ・189

bi 二

symbol

二

X;Z)HH(X)IH(X 、

Z)H1IO.862HO ・

138 bi 二

symbol

7(y;z)

H

H(K) — H(K 、Z)

H

110.862H 0・

138

bi 二symbo

一

二x7、z)HH(x 、

z) —

H(x 、KZ)H0.862—0.405H0.457 b

三

、

、

)

、)

—、2—14

A

p(ijYi

3 1 7

I

+ —

J — Z 16

16

(2)

过屮

1

-s Y

ll P M W °+p (e s 5H ^i +T 36 n

<11

2—15

「

112

2

|1| 7|

十

co I r

的

Z 2 J |1| 9 |

+ 氐

1

r OQ

r

l-l 7|

+ 总1 r OQ 7 2 |1| 9 |

P(UD

»

占P ^W Y 丄

：)

p g

笆巨||

L

Q

p

(

笆 IX 巴&

!3

I X A J

p &l ).

p

(b 2・IA

"L O &(1

I &

H L o

&m )

2. 16黑白传真机的消息元只有黑色和白色两种，即

X=｛黑，白｝, 一般气象图上，黑色的出现概率p （黑）= 0.3,白色出现的概率p （白）=0.7。

（1）假设黑白消息视为前后无关，求信源爛H（X）, 并画出该信源的香农线图

（2）实际上各个元素之间是有关联的，其转移概率为: P（白丨白）=0.9143, P（黑丨白）=0. 0857, P（白丨黑）= 0.2, P （黑|黑）=0.8,求这个一阶马尔可夫信源的信源嫡，并画出该信源的香农线图。

（3）比较两种信源炳的大小，并说明原因。

解：（1 ） H（X） = 0.31og2y + 0.71og2y = O.8813bit/符号

P （黑|白）二P （黑）

P（白丨白）=P（白）

P （黑|黑）=P （黑）

p （白|黑）=p （白）

（2）根据题意，此一阶马尔可夫链是平稳的（P（白）= 0.7不随时间变化，P（黑）=0.3不随时

间变化）

H*(X) = H(X2 I Xl) = V/J(Xr, >7)log2 ------------

V pg yj)

=0.9143 X 0.7 log 2 —!— + 0.0857 X 0.7 log 2 ―!— + 0.2x0.3 log 2 — J

0.9143 0.0857 〜0.2

+0.8x0.3102 2—!—

〜0.8

=0. 512bit/符号 2. 17每帧电视图像可以认为是由3X105个像素组成的，所有像素均是独立变化，且每像素又取128个不同的亮度电平，并设亮度电平是等概出现，问每帧图像含有多少信息量？若有一个广播员，在约10000个汉字中选出1000个汉字来口述此电视图像，试问广播员描述此图像所广播的信息量是多少(假设汉字字汇是等概率分布，并彼此无依赖)？若要恰当的描述此图像，广播员在口述中至少需要多少汉字？解：1)

H(X) = log2 /? = log2128 = 7 bit/symbol

H(X“)= NH(X) = 3x 10’ x 7 = 2.1 x 1 ()6 bit!symbol

2)

H(X) = log2n = log210000= 13.288 bit/symbol

H(X N)= NH(X) = 1000x13.288=13288 bit (symbol

3)

2. 20给定语音信号样值X 的概率密度为 /心)詁加呦，

求H c (X),并证明它小于同样方差 的正态变量的连续炳。

解:

■KC

+X

Hc(X) = 一 J px(x)log p.x(x)dx = 一 J px(x)log —Ae^^dx Y Y 2 -KC

|

+0C

=_ J /?.t(x) log —Adx _ j /?A (X )(-2 卜|) log edx

Y 2 y

1 Y 1

=-log — + log e j —2^~z ^(A|x|)tZv

2 y 2

1 o ] w 1

=_ log — A + log^ j —2e zv ・ A(-x)dx + log J —Ae~AX (Ax)dx

2 y 2 o 2 = -log-2 + 21og^ j -^xe~Ax dx =-log £ 2 - log e [(1 + Ax)e~/X [1 a 】

、2e

=_ log _几 + log e = log — 2 A E(X) = O,D(X) = * 、

1 i

2 1.

^7te , 2\/^7 , 2\le-e ”小八

H (X ) = -log2^—y = -log

= log ―-— > log —-— = H(X) 2 人 2

AT A A

-+X

-0

2. 24连续随机变量X和卩的联合概率密度为: /心刃=去宀yf ,求H(X), H(Y)f H(XYZ)和o 其他I(X;Y)o

（提示：0Og2

解:

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《信息论与编码》-曹雪虹-课后习题答案 第二章 错误！未定义书签。2.1一个马尔可夫信源有3个符号{}1, 23,u u u ，转 移概率为：()1 1 |1/2p u u =，()2 1|1/2p u u =，()31|0p u u =，()12|1/3p u u =，()22|0p u u =， ()32|2/3p u u =，()13|1/3p u u =，()23|2/3p u u =，()33|0p u u =，画出状态图并求出 各符号稳态概率。 W 2、W 3 12310259 25625W W W ?=???=? ? ?=?? 2.2(0|p (0|01)p =0.5，(0|10)p 解：(0|00)(00|00)0.8p p ==(0|01)(10|01)0.5p p == 于是可以列出转移概率矩阵：0.80.20 0000.50.50.50.5000 00.20.8p ?? ? ?= ? ? ?? 状态图为：

设各状态00，01，10，11的稳态分布概率为W1,W2,W3,W4有 4 1 1 i i WP W W = = ? ? ? = ? ? ∑ 得 131 132 243 244 1234 0.80.5 0.20.5 0.50.2 0.50.8 1 W W W W W W W W W W W W W W W W += ? ?+= ?? += ? ?+= ? +++= ?? 计算得到 1 2 3 4 5 14 1 7 1 7 5 14 W W W W ? = ? ? ?= ? ? ?= ? ? ?= ? 2.31/6， 求： (1)“3和5 (2)“两个1 (3) 1的自信息量。 11 12 13 14 15 16 21 22 23 24 25 26 31 32 33 34 35 36 41 42 43 44 45 46 51 52 53 54 55 56

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《信息论与编码》-曹雪虹-课后习题答案 第二章 2.1一个马尔可夫信源有3个符号{}1, 23,u u u ，转移概率 为：()1 1 |1/2p u u =，()2 1|1/2p u u =，()31|0p u u =，()12|1/3p u u =， ()22|0p u u =，()32|2/3p u u =，()13|1/3p u u =，()23|2/3p u u =，()33|0p u u =， 画出状态图并求出各符号稳态概率。 解：状态图如下 状态转移矩阵为： 1/21/2 01/302/31/32/30p ?? ?= ? ??? 设状态u 1，u 2，u 3稳定后的概率分别为W 1，W 2、W 3 由1231WP W W W W =??++=?得1231132231231 112331223231 W W W W W W W W W W W W ?++=???+=???=???++=?计算可得1231025925625W W W ?=??? =? ? ?=??

2.2 由符号集{0，1}组成的二阶马尔可夫链，其转移概率为：(0|00)p =0.8，(0|11)p =0.2，(1|00)p =0.2，(1|11)p =0.8， (0|01)p =0.5，(0|10)p =0.5，(1|01)p =0.5，(1|10)p =0.5。画出 状态图，并计算各状态的稳态概率。 解：(0|00)(00|00)0.8p p == (0|01)(10|01)0.5p p == (0|11)(10|11)0.2p p == (0|10)(00|10)0.5p p == (1|00)(01|00)0.2p p == (1|01)(11|01)0.5p p == (1|11)(11|11)0.8p p == (1|10)(01|10)0.5p p == 于是可以列出转移概率矩阵：0.80.20 0000.50.50.50.500000.20.8p ?? ? ?= ? ??? 状态图为： 设各状态00，01，10，11的稳态分布概率为W 1,W 2,W 3,W 4 有 41 1i i WP W W ==???=??∑ 得 131 132 24324412340.80.50.20.50.50.20.50.81W W W W W W W W W W W W W W W W +=??+=??+=??+=?+++=?? 计算得到123451417 175 14W W W W ?=?? ?=???=???= ?

信息论与编码(第二版)曹雪虹(最全版本)答案

《信息论与编码（第二版）》曹雪虹答案（一）第二章 Equation Chapter 1 Section 12.1一个马尔可夫信源有3个符号，转移概率为：，，，，，，， ，，画出状态图并求出各符号稳态概率。 解：状态图如下 状态转移矩阵为： 设状态u1，u2，u3稳定后的概率分别为W1，W2、W3 由得计算可得 2.2 由符号集{0，1}组成的二阶马尔可夫链，其转移概率为：=0.8，=0.2，=0.2， =0.8，=0.5，=0.5，=0.5，=0.5。画出状态图，并计算各状态的稳态概率。 解： 于是可以列出转移概率矩阵： 状态图为：

00 01 10 11 0.8 0.2 0.5 0.50.50.5 0.2 0.8 设各状态00，01，10，11的稳态分布概率为 W1,W2,W3,W4 有 得 计算得到 2.3 同时掷出两个正常的骰子，也就是各面呈现的概率都为1/6，求： (1) “3和5同时出现”这事件的自信息； (2) “两个1同时出现”这事件的自信息； (3) 两个点数的各种组合（无序）对的熵和平均信息量； (4) 两个点数之和（即2, 3, … , 12构成的子集）的熵； (5) 两个点数中至少有一个是1的自信息量。 解：(1)(2) (3) 两个点数的排列如下： 11 12 13 14 15 16 21 22 23 24 25 26 31 32 33 34 35 36 41 42 43 44 45 46 51 52 53 54 55 56 61 62 63 64 65 66 共有21种组合： 其中11，22，33，44，55，66的概率是 其他15个组合的概率是 (4)参考上面的两个点数的排列，可以得出两个点数求和的概率分布如下：

信息论与编码曹雪虹课后习题答案

信息论与编码-曹雪虹-课后习题答案

《信息论与编码》-曹雪虹-课后习题答案 第二章 2.1一个马尔可夫信源有3个符号{}1, 23,u u u ，转移概率 为：()1 1 |1/2p u u =，()2 1|1/2p u u =，()31|0p u u =，()12|1/3p u u =， ()22|0p u u =，()32|2/3p u u =，()13|1/3p u u =，()23|2/3p u u =，()33|0p u u =， 画出状态图并求出各符号稳态概率。 解：状态图如下 状态转移矩阵为： 1/21/2 01/302/31/32/30p ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 设状态u 1，u 2，u 3稳定后的概率分别为W 1，W 2、W 3 由1231WP W W W W =⎧⎨++=⎩得1231132231231 112331223231 W W W W W W W W W W W W ⎧++=⎪⎪⎪+=⎪⎨⎪=⎪⎪⎪++=⎩计算可得1231025925625W W W ⎧=⎪⎪⎪ =⎨ ⎪ ⎪=⎪⎩

2.2 由符号集{0，1}组成的二阶马尔可夫链，其转移概率为：(0|00)p =0.8，(0|11)p =0.2，(1|00)p =0.2，(1|11)p =0.8， (0|01)p =0.5，(0|10)p =0.5，(1|01)p =0.5，(1|10)p =0.5。画出 状态图，并计算各状态的稳态概率。 解：(0|00)(00|00)0.8p p == (0|01)(10|01)0.5p p == (0|11)(10|11)0.2p p == (0|10)(00|10)0.5p p == (1|00)(01|00)0.2p p == (1|01)(11|01)0.5p p == (1|11)(11|11)0.8p p == (1|10)(01|10)0.5p p == 于是可以列出转移概率矩阵：0.80.20 0000.50.50.50.500000.20.8p ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 状态图为： 设各状态00，01，10，11的稳态分布概率为W 1,W 2,W 3,W 4 有 41 1i i WP W W ==⎧⎪⎨=⎪⎩∑ 得 131 132 24324412340.80.50.20.50.50.20.50.81W W W W W W W W W W W W W W W W +=⎧⎪+=⎪⎪+=⎨⎪+=⎪+++=⎪⎩ 计算得到123451417175 14W W W W ⎧=⎪⎪ ⎪=⎪⎨ ⎪=⎪⎪⎪= ⎩