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信息论与编码-曹雪虹-课后习题答案

《信息论与编码》-曹雪虹-课后习题答案第二章

一个马尔可夫信源有3个符号{}1,

23,u

u u ，转移概率为：

()11|1/2p u u =，()21|1/2p u u =，()31|0p u u =，()12|1/3p u u =，()22|0p u u =，()32|2/3p u u =，()13|1/3p u u =，()23|2/3p u u =，()33|0p u u =，画出

状态图并求出各符号稳态概率。解：状态图如下

状态转移矩阵为：

1/21/2

01/302/31/32/30p ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭

设状态u 1，u 2，u 3稳定后的概率分别为W 1，W 2、W 3

由1231WP W W W W =⎧⎨++=⎩得1231132231231

112331223231

W W W W W W W W W W W W ⎧++=⎪⎪⎪+=⎪⎨⎪=⎪⎪⎪++=⎩计算可得1231025925625W W W ⎧=⎪⎪⎪

=⎨

⎪

⎪=⎪⎩

由符号集{0，1}组成的二阶马尔可夫链，其转移概率为：(0|00)p =，(0|11)p =，(1|00)p =，(1|11)p =，(0|01)p =，(0|10)p =，(1|01)p =，(1|10)p =。画出状态图，并计算各状态的稳态概率。

解：(0|00)(00|00)0.8p p == (0|01)(10|01)0.5p p ==

(0|11)(10|11)0.2p p == (0|10)(00|10)0.5p p == (1|00)(01|00)0.2p p == (1|01)(11|01)0.5p p == (1|11)(11|11)0.8p p == (1|10)(01|10)0.5p p ==

于是可以列出转移概率矩阵：0.80.20

0000.50.50.50.500000.20.8p ⎛⎫ ⎪

⎪= ⎪ ⎪⎝⎭

状态图为：

设各状态00，01，10，11的稳态分布概率为W 1,W 2,W 3,W 4 有

1i i WP W W ==⎧⎪⎨=⎪⎩∑ 得 131

132

24324412340.80.50.20.50.50.20.50.81W W W W W W W W W W W W W W W W +=⎧⎪+=⎪⎪+=⎨⎪+=⎪+++=⎪⎩ 计算得到123451417175

14W W W W ⎧=⎪⎪

⎪=⎪⎨

⎪=⎪⎪⎪=

⎩

同时掷出两个正常的骰子，也就是各面呈现的概率都为1/6，求：

(1) “3和5同时出现”这事件的自信息； (2) “两个1同时出现”这事件的自信息； (3) 两个点数的各种组合（无序）对的熵和平均信息量；

(4) 两个点数之和（即2, 3, … , 12构成的子集）的熵；

(5) 两个点数中至少有一个是1的自信息量。解： (1)

bit

x p x I x p i i i 170.418

log )(log )(18

161616161)(=-=-==

⨯+⨯=

(2)

bit

x p x I x p i i i 170.536

log )(log )(36

6161)(=-=-==

⨯=

(3)

两个点数的排列如下： 11 12 13 14 15 16 21 22 23 24 25 26 31 32 33 34 35 36

41 42 43 44 45 46 51 52 53 54 55 56 61 62 63 64 65 66

共有21种组合：

其中11，22，33，44，55，66的概率是36

161=

⨯ 其他15个组合的概率是18

1612=⨯⨯

symbol bit x p x p X H i

i i / 337.4181log 18115361log 3616)(log )()(=⎪⎭⎫ ⎝⎛

⨯+⨯-=-=∑

(4)

参考上面的两个点数的排列，可以得出两个点数求和的概率分布如下：

symbol

bit x p x p X H X P X i

i i / 274.3 61log 61365log 365291log 912121log 1212181log 1812361log 36

12 )

(log )()(36112181111211091936586173656915121418133612)(=⎪

⎭⎫ ⎝⎛

+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-=-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=⎥

⎦⎤⎢⎣⎡∑(5)

bit x p x I x p i i i 710.136

log

)(log )(3611116161)(=-=-==

⨯⨯=

2-4

居住某地区的女孩子有25%是大学生，在女大学生中有75%是身高160厘米以上的，而女孩子中身高160厘米以上的占总数的一半。假如我们得知“身高160厘米以上的某女孩是大学生”的消息，问获得多少信息量解：

设随机变量X 代表女孩子学历

X x 1

（是大学生） x 2（不是大学生）

P(X)

设随机变量Y 代表女孩子身高

Y y 1（身

高>160cm ） y 2（身高

<160cm ）

P(Y)

已知：在女大学生中有75%是身高160厘米以上的即：bit x y

p 75.0)/(11

求：身高160厘米以上的某女孩是大学生的信息量即：bit y p x y

p x p y x p y x I 415.15

.075

.025.0log

)

()

/()(log )/(log )/(111

=⨯-=-=-=

掷两颗骰子，当其向上的面的小圆点之和是3时，该消息包含的信息量是多少当小圆点之和是7时，该消息所包含的信息量又是多少解：

1）因圆点之和为3的概率1()(1,2)(2,1)18

p x p p =+=

该消息自信息量()log ()log18 4.170I x p x bit =-== 2）因圆点之和为7的概率

()(1,6)(6,1)(2,5)(5,2)(3,4)(4,3)6

p x p p p p p p =+++++=

该消息自信息量()log ()log6 2.585I x p x bit =-==

设有一离散无记忆信源，其概率空间为

123401233/81/41/41/8X x x x x P ====⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

（1）求每个符号的自信息量

（2）信源发出一消息符号序列为{202 120 130 213 001 203 210 110 321 010 021 032 011 223 210}，求该序列的自信息量和平均每个符号携带的信息量解：1

2118

()log

log 1.415()3

I x bit p x === 同理可以求得2

()2,()2,()3I x bit I x bit I x bit ===

因为信源无记忆，所以此消息序列的信息量就等于该

序列中各个符号的信息量之和就有：1

14()13()12()6()87.81I I x I x I x I x bit =+++=

平均每个符号携带的信息量为87.81 1.9545

=bit/符号

试问四进制、八进制脉冲所含信息量是二进制脉冲的多少倍解：

四进制脉冲可以表示4个不同的消息，例如：{0, 1, 2, 3}

八进制脉冲可以表示8个不同的消息，例如：{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

二进制脉冲可以表示2个不同的消息，例如：{0, 1} 假设每个消息的发出都是等概率的，则：四进制脉冲的平均信息量symbol bit n X H / 24log log )(1

===

八进制脉冲的平均信息量symbol bit n X H / 38log log )(2

=== 二进制脉冲的平均信息量symbol

bit n X H / 12log log )(0

===

所以：

四进制、八进制脉冲所含信息量分别是二进制脉冲信息量的2倍和3倍。

2-9 “－” 用三个脉冲 “●”用一个脉冲

(1) I(●)= I(－)＝ (2) H= 2-10

(2) P(黑/黑)= P(白/黑)= H(Y/黑)=

(3) P(黑/白)= P(白/白)= H(Y/白)=

(4) P(黑)= P(白)= H(Y)=

有一个可以旋转的圆盘，盘面上被均匀的分成38份，用1，…，38的数字标示，其中有两份涂绿色，18份涂红色，18份涂黑色，圆盘停转后，盘面上的指针指向某一数字和颜色。

（1）如果仅对颜色感兴趣，则计算平均不确定度（2）如果仅对颜色和数字感兴趣，则计算平均不确定度

（3）如果颜色已知时，则计算条件熵

解：令X 表示指针指向某一数字，则X={1,2, (38)

Y 表示指针指向某一种颜色，则Y={l 绿色，红色，黑色}

Y 是X 的函数，由题意可知()()i j

p x y p x =

（1）3

12381838

()()log log 2log 1.24()38

23818

j H Y p y p y ===+⨯=∑bit/符号

（2）2

(,)()log 38 5.25H X Y H X ===bit/符号

（3）(|)(,)()()() 5.25 1.24 4.01H X Y H X Y H Y H X H Y =-=-=-=bit/符号

两个实验X 和Y ，X={x 1 x 2 x 3},Y={y 1 y 2 y 3},l 联合概率(),i

r x y r =为

1112

132122233132337/241/2401/241/41/2401/247/24r r r r r r r

r r ⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

（1）如果有人告诉你X 和Y 的实验结果，你得到的

平均信息量是多少

（2）如果有人告诉你Y 的实验结果，你得到的平均

信息量是多少

（3）在已知Y 实验结果的情况下，告诉你X 的实验

结果，你得到的平均信息量是多少解：联合概率(,)i

p x y 为

2221

(,)(,)log (,)

72411

2log 4log 24log 4247244

i j i j ij

H X Y p x y p x y ==⨯

+⨯+∑ =符号

X 概率分布

()3log 3 1.58

H Y =⨯=bit/符

号

(|)(,)() 2.3 1.58

H X Y H X Y H Y =-=- Y 概率分布是

=符号

有两个二元随机变量X 和Y ，它们的联合概率为

并定义另一随机变量Z = XY （一般乘积），试计算：

(1) H(X), H(Y), H(Z), H(XZ), H(YZ)和H(XYZ)； (2) H(X/Y), H(Y/X), H(X/Z), H(Z/X), H(Y/Z),

H(Z/Y), H(X/YZ), H(Y/XZ)和H(Z/XY)；

(3) I(X;Y), I(X;Z), I(Y;Z), I(X;Y/Z), I(Y;Z/X)

和I(X;Z/Y)。解： (1)

symbol

bit y p y p Y H y x p y x p y p y x p y x p y p symbol

bit x p x p X H y x p y x p x p y x p y x p x p j

j j i

i i / 1)(log )()(2

8183)()()(21

8381)()()(/ 1)(log )()(2

8183)()()(21

8381)()()(22212121112212221111=-==

+=+==

+=+==-==

+=+==

+=+=∑∑

Z = XY 的概率分布如下：

symbol

bit z p Z H z z Z P Z k

k / 544.081log 8187log 87

)()(818710)(2

21=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧===⎥

⎦⎤⎢⎣⎡∑

symbol

bit z x p z x p XZ H z p z x p z x p z x p z p z x p z p z x p z x p z x p z p x p z x p z x p z x p z x p x p i k

k i k i / 406.181log 8183log 8321log 21

)(log )()(8

)()()()()(8

35.087)()()()()()(5.0)()(0)()()()(2222221211112121111112121111=⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=-==

=+==-=-=+====+=∑∑

symbol

bit z y p z y p YZ H z p z y p z y p z y p z p z y p z p z y p z y p z y p z p y p z y p z y p z y p z y p y p j k

k j k j / 406.181log 8183log 8321log 21

)(log )()(8

1)()()()()(8

35.087)()()()()()(5.0)()(0)()()()(2222221211112121111112121111=⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=-==

=+==-=-=+====+=∑∑

symbol

bit z y x p z y x p XYZ H y x p z y x p y x p z y x p z y x p z y x p y x p z y x p y x p z y x p z y x p z y x p z x p z y x p z x p z y x p z y x p y x p z y x p y x p z y x p z y x p z y x p z y x p z y x p i

k j i k j i / 811.181log 8183log 8383log 8381log 8

)(log )()(8

)()()

()()(0

)(8

3)()()()()(8

38121)()()()()()(8/1)()()()()(0

)(0)(0)(22222222222122122121121221211211111121111111211111111211111212221211=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-=-==

==+====+=-=-==+===+===∑∑∑

(2)

symbol

bit XY H XYZ H XY Z H symbol bit XZ H XYZ H XZ Y H symbol bit YZ H XYZ H YZ X H symbol bit Y H YZ H Y Z H symbol bit Z H YZ H Z Y H symbol bit X H XZ H X Z H symbol bit Z H XZ H Z X H symbol bit X H XY H X Y H symbol bit Y H XY H Y X H symbol

bit y x p y x p XY H i j

j i j i / 0811.1811.1)()()/(/ 405.0406.1811.1)()()/(/ 405.0406.1811.1)()()/(/ 406.01406.1)()()/(/ 862.0544.0406.1)()()/(/ 406.01406.1)()()/(/ 862.0544.0406.1)()()/(/ 811.01811.1)()()/(/ 811.01811.1)()()/(/ 811.181log 8183log 8383log 8381log 81

)(log )()(2=-=-==-=-==-=-==-=-==-=-==-=-==-=-==-=-==-=-==⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-==-=∑∑ (3)

symbol

bit YZ X H Y X H Y Z X I symbol bit XZ Y H X Y H X Z Y I symbol bit YZ X H Z X H Z Y X I symbol

bit Z Y H Y H Z Y I symbol bit Z X H X H Z X I symbol bit Y X H X H Y X I / 406.0405.0811.0)/()/()/;(/ 457.0405.0862.0)/()/()/;(/ 457.0405.0862.0)/()/()/;(/ 138.0862.01)/()();(/ 138.0862.01)/()();(/ 189.0811.01)/()();(=-=-==-=-==-=-==-=-==-=-==-=-=

2-14 (1)

P(ij)= P(i/j)=

(2) 方法1: = 方法2: 2-15 P(j/i)=

黑白传真机的消息元只有黑色和白色两种，即X={黑，白}，一般气象图上，黑色的出现概率p(黑)＝，白色出现的概率p(白)＝。

（1）假设黑白消息视为前后无关，求信源熵H(X)，并画出该信源的香农线图

（2）实际上各个元素之间是有关联的，其转移概率为：P(白|白)＝，P(黑|白)＝，P(白|黑)＝，P(黑|黑)＝，求这个一阶马尔可夫信源的信源熵，并画出该信源的香农线图。

（3）比较两种信源熵的大小，并说明原因。解：（1）2

21010

()0.3log 0.7log 0.881337

H X =+=bit/符号 P(黑|白)=P(黑)

P(白|白)＝P(白)

P(黑|黑)＝P(黑) P(白|黑)＝P(白)

（2）根据题意，此一阶马尔可夫链是平稳的（P(白)＝不随时间变化，P(黑)＝不随时间变化）

212

222

1()(|)(,)log (,)

111

0.91430.7log 0.08570.7log 0.20.3log 0.91430.08570.2

10.80.3log 0.8

i j i j ij

H X H X X p x y p x y ∞===⨯+⨯+⨯+⨯∑ ＝符号

每帧电视图像可以认为是由3

105个像素组成的，

所有像素均是独立变化，且每像素又取128个不同的亮度电平，并设亮度电平是等概出现，问每帧图像含有多少信息量若有一个广播员，在约10000个汉字中选出1000个汉字来口述此电视图像，试问广播员描述此图像所广播的信息量是多少（假设汉字字汇是等概率分布，并彼此无依赖）若要恰当的描述此图像，广播员在口述中至少需要多少汉字解： 1)

symbol

bit X NH X H symbol

bit n X H N

/ 101.27103)()(/ 7128log log )(6

22⨯=⨯⨯=====

symbol

bit X NH X H symbol bit n X H N

/ 13288288.131000)()(/ 288.1310000log log )(22=⨯=====

158037

288

.13101.2)()(6

=⨯==X H X H N N

给定语音信号样值

X 的概率密度为

1()2

p x e λλ-=

,x -∞<<+∞,求H c (X)，并证明它小于同样方差

的正态变量的连续熵。解：

201()()log ()()log 21

()log ()()log 211log log ()2211

1log log ()log

()222

log 2log 22x

c x x x x x x

x x

H X p x p x dx p x e dx

p x dx p x x edx

e e x dx

e e x dx e x dx e xe λλλλλλλλλλλλλλλλ+∞

+∞

--∞-∞+∞

+∞

-∞-∞+∞

--∞

+∞

--∞+∞-=-=-=---=-+=-+⋅-+=-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰

⎰0

1log log (1)212log log log

2x x dx

e x e e e λλλλλλ

+∞

-⎡⎤=--+⎣⎦=-+= 2

()0,()E X D X λ

,221214()log 2log log log ()22e H X e H X ππλλλλ

==>=

连续随机变量X 和Y 的联合概率密度为：

⎪⎩⎪

⎨⎧≤+=其他

1),(2222

r y x r y x p π，求H(X), H(Y), H(XYZ)和

I(X;Y)。

（提示：⎰-

222log 2

sin log ππ

xdx ）

解：

⎰⎰⎰

⎰⎰

⎰⎰⎰⎰⎰

⎰⎰⎰⎰⎰⎰

⎰

-+-=+

==-==--=--=--=-+-=--=---=--=-=≤≤--===----------

---202020

220

22220

2222

2222222222222

22222

222

22sin log 2

2cos 1422cos 1log 4

sin log sin 4

log sin 4sin log sin 4

sin log sin 4)

cos (sin log sin 4cos log 4log 2log )(/ log 2

log log 2

1log 2log log )(2log log )(2

log )( 2log )( )(log )()()( 21)()(2

2222

2π

ππθ

θθ

πθθπθ

θθπθθπθθθπ

θθθπθθθπθπππππππππd d r d rd d r d r r r r d r r r r x dx x r x r r dx x r r x r dx

x r x p symbol

bit e r e

r r dx

x r x p r dx

x r x p dx r

x p dx r

x r x p dx

x p x p X H r x r r

x r dy r dy xy p x p r r

r r

r r r r r r r

r r

r c x r x r x r x r 令其中：

e e d e d e d e d e d e

d d d e

r d r d d r r d d d r d r 220

2220

220

0220

2220

220

log 2

2sin log 21log 212cos log 1log 122cos 1log 2

cos log 2

sin log cos cos sin 21

sin log 2sin sin log 2sin 12sin sin log 1

sin log 2cos 2

log 2

1log sin log 2cos 2

)2log 2

2sin log 1

log sin log 2cos 2

sin log 2

2cos log 2

log 2

-=--=--=+-

=-=-=⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-==

+-=-

-=-

⎰⎰⎰⎰⎰

⎰⎰

⎰

⎰⎰

⎰

⎰⎰π

ππ

θπθ

θπ

θπθ

πθ

θπθ

θθ

θπθθθθπθ

θπθ

θθπθ

θθπππ

θπ

θθπθθπθθπ

θπ

其中：

bit/symbol e r e r XY H Y H X H Y X I bit/symbol r dxdy xy p r dxdy r xy p dxdy

xy p xy p XY H bit/symbol

e r X H Y H x p y p r y r r y r dx r dx xy p y p c c c c R

c C C y r y r y r y r log log

log log log 2

)()()();( log

)(log

log )(

)(log )()( log 2

log )()()

()()( 21

)()(222222222

222

2222

2-=--=-+===-=-=-===≤≤--=

==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰

⎰

---

---πππππππππ

某一无记忆信源的符号集为{0, 1}，已知P(0) = 1/4，

P(1) = 3/4。

(1) 求符号的平均熵；

(2) 有100个符号构成的序列，求某一特定序列（例如有m 个“0”和（100 - m ）个“1”）的自信息量的表达式；

(3) 计算(2)中序列的熵。解： (1)

信息论与编码-曹雪虹-课后习题参考答案

《信息论与编码》-曹雪虹-课后习题答案第二章错误！未定义书签。2.1一个马尔可夫信源有3个符号{}1, 23,u u u ，转移概率为：()1 1 |1/2p u u =，()2 1|1/2p u u =，()31|0p u u =，()12|1/3p u u =，()22|0p u u =， ()32|2/3p u u =，()13|1/3p u u =，()23|2/3p u u =，()33|0p u u =，画出状态图并求出各符号稳态概率。 W 2、W 3 12310259 25625W W W ?=???=? ? ?=?? 2.2(0|p (0|01)p =0.5，(0|10)p 解：(0|00)(00|00)0.8p p ==(0|01)(10|01)0.5p p == 于是可以列出转移概率矩阵：0.80.20 0000.50.50.50.5000 00.20.8p ?? ? ?= ? ? ?? 状态图为：

设各状态00，01，10，11的稳态分布概率为W1,W2,W3,W4有 4 1 1 i i WP W W = = ? ? ? = ? ? ∑ 得 131 132 243 244 1234 0.80.5 0.20.5 0.50.2 0.50.8 1 W W W W W W W W W W W W W W W W += ? ?+= ?? += ? ?+= ? +++= ?? 计算得到 1 2 3 4 5 14 1 7 1 7 5 14 W W W W ? = ? ? ?= ? ? ?= ? ? ?= ? 2.31/6，求： (1)“3和5 (2)“两个1 (3) 1的自信息量。 11 12 13 14 15 16 21 22 23 24 25 26 31 32 33 34 35 36 41 42 43 44 45 46 51 52 53 54 55 56

信息论与编码-曹雪虹-课后习题答案

《信息论与编码》-曹雪虹-课后习题答案第二章 2.1一个马尔可夫信源有3个符号{}1, 23,u u u ，转移概率为：()1 1 |1/2p u u =，()2 1|1/2p u u =，()31|0p u u =，()12|1/3p u u =， ()22|0p u u =，()32|2/3p u u =，()13|1/3p u u =，()23|2/3p u u =，()33|0p u u =，画出状态图并求出各符号稳态概率。解：状态图如下状态转移矩阵为： 1/21/2 01/302/31/32/30p ?? ?= ? ??? 设状态u 1，u 2，u 3稳定后的概率分别为W 1，W 2、W 3 由1231WP W W W W =??++=?得1231132231231 112331223231 W W W W W W W W W W W W ?++=???+=???=???++=?计算可得1231025925625W W W ?=??? =? ? ?=??

2.2 由符号集{0，1}组成的二阶马尔可夫链，其转移概率为：(0|00)p =0.8，(0|11)p =0.2，(1|00)p =0.2，(1|11)p =0.8， (0|01)p =0.5，(0|10)p =0.5，(1|01)p =0.5，(1|10)p =0.5。画出状态图，并计算各状态的稳态概率。解：(0|00)(00|00)0.8p p == (0|01)(10|01)0.5p p == (0|11)(10|11)0.2p p == (0|10)(00|10)0.5p p == (1|00)(01|00)0.2p p == (1|01)(11|01)0.5p p == (1|11)(11|11)0.8p p == (1|10)(01|10)0.5p p == 于是可以列出转移概率矩阵：0.80.20 0000.50.50.50.500000.20.8p ?? ? ?= ? ??? 状态图为：设各状态00，01，10，11的稳态分布概率为W 1,W 2,W 3,W 4 有 41 1i i WP W W ==???=??∑ 得 131 132 24324412340.80.50.20.50.50.20.50.81W W W W W W W W W W W W W W W W +=??+=??+=??+=?+++=?? 计算得到123451417 175 14W W W W ?=?? ?=???=???= ?

信息论与编码曹雪虹课后习题答案

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《信息论与编码》-曹雪虹-课后习题答案第二章 2.1一个马尔可夫信源有3个符号{}1, 23,u u u ，转移概率为：()1 1 |1/2p u u =，()2 1|1/2p u u =，()31|0p u u =，()12|1/3p u u =， ()22|0p u u =，()32|2/3p u u =，()13|1/3p u u =，()23|2/3p u u =，()33|0p u u =，画出状态图并求出各符号稳态概率。解：状态图如下状态转移矩阵为： 1/21/2 01/302/31/32/30p ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 设状态u 1，u 2，u 3稳定后的概率分别为W 1，W 2、W 3 由1231WP W W W W =⎧⎨++=⎩得1231132231231 112331223231 W W W W W W W W W W W W ⎧++=⎪⎪⎪+=⎪⎨⎪=⎪⎪⎪++=⎩计算可得1231025925625W W W ⎧=⎪⎪⎪ =⎨ ⎪ ⎪=⎪⎩

2.2 由符号集{0，1}组成的二阶马尔可夫链，其转移概率为：(0|00)p =0.8，(0|11)p =0.2，(1|00)p =0.2，(1|11)p =0.8， (0|01)p =0.5，(0|10)p =0.5，(1|01)p =0.5，(1|10)p =0.5。画出状态图，并计算各状态的稳态概率。解：(0|00)(00|00)0.8p p == (0|01)(10|01)0.5p p == (0|11)(10|11)0.2p p == (0|10)(00|10)0.5p p == (1|00)(01|00)0.2p p == (1|01)(11|01)0.5p p == (1|11)(11|11)0.8p p == (1|10)(01|10)0.5p p == 于是可以列出转移概率矩阵：0.80.20 0000.50.50.50.500000.20.8p ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 状态图为：设各状态00，01，10，11的稳态分布概率为W 1,W 2,W 3,W 4 有 41 1i i WP W W ==⎧⎪⎨=⎪⎩∑ 得 131 132 24324412340.80.50.20.50.50.20.50.81W W W W W W W W W W W W W W W W +=⎧⎪+=⎪⎪+=⎨⎪+=⎪+++=⎪⎩ 计算得到123451417175 14W W W W ⎧=⎪⎪ ⎪=⎪⎨ ⎪=⎪⎪⎪= ⎩

信息论与编码(第二版)曹雪虹(最全版本)答案

《信息论与编码（第二版）》曹雪虹答案（一）第二章 Equation Chapter 1 Section 12.1一个马尔可夫信源有3个符号，转移概率为：，，，，，，，，，画出状态图并求出各符号稳态概率。解：状态图如下状态转移矩阵为：设状态u1，u2，u3稳定后的概率分别为W1，W2、W3 由得计算可得 2.2 由符号集{0，1}组成的二阶马尔可夫链，其转移概率为：=0.8，=0.2，=0.2， =0.8，=0.5，=0.5，=0.5，=0.5。画出状态图，并计算各状态的稳态概率。解：于是可以列出转移概率矩阵：状态图为：

00 01 10 11 0.8 0.2 0.5 0.50.50.5 0.2 0.8 设各状态00，01，10，11的稳态分布概率为 W1,W2,W3,W4 有得计算得到 2.3 同时掷出两个正常的骰子，也就是各面呈现的概率都为1/6，求： (1) “3和5同时出现”这事件的自信息； (2) “两个1同时出现”这事件的自信息； (3) 两个点数的各种组合（无序）对的熵和平均信息量； (4) 两个点数之和（即2, 3, … , 12构成的子集）的熵； (5) 两个点数中至少有一个是1的自信息量。解：(1)(2) (3) 两个点数的排列如下： 11 12 13 14 15 16 21 22 23 24 25 26 31 32 33 34 35 36 41 42 43 44 45 46 51 52 53 54 55 56 61 62 63 64 65 66 共有21种组合：其中11，22，33，44，55，66的概率是其他15个组合的概率是 (4)参考上面的两个点数的排列，可以得出两个点数求和的概率分布如下：

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