随机过程的数字特征
第三节 随机过程的数字特征
定义6.3.1 设随机过程}),({T t t ∈ξ的一维分布函数为);(x t F ，我们称
());()]([x t dF x t E t ?+∞
∞-=
=ξμξ
()()?+∞
∞
--=
=);(][)]([2
2
x t dF t x t D t ξξμξσ
分别为随机过程}),({T t t ∈ξ的均值函数和方差函数。
对离散型的随机过程，其均值函数和方差函数分别为：
()()∑
==
=n
i i i t p x t E t 1
)]([ξμξ
()()()()t p t x
t t E t D t i n
i i
2
1
2
2
][])([)]([ξξξμμξξσ∑=-=
-==
其中：()n i x t P t p i i ,,1},)({ ===ξ
对连续型的随机过程，其均值函数和相关函数分别为：
()dx x t xf
t E t ?+∞
∞
-=
=);()]([ξμξ
()()()?+∞
∞
--=
-==dx x t f t x t t E t D t );(][])([)]([2
2
2
ξξξμμξξσ
均值函数和方差函数刻画了随机过程在不同时刻的统计特性，均值函数表示{)(t ξ}在各个不同时刻取值的摆动中心。方差函数表示{)(t ξ}在各个不同时刻取值的关于()t ξμ的平均偏离程度。但不能描述在不同时刻之间的相互关系，因此我们必须引入自相关函数和自协方差函数概念。
定义6.3.2 设随机过程}),({T t t ∈ξ的二维分布函数为),;,(2121x x t t F ，我们称其自相关函数和自协方差函数分别为：
),;,()]()([),(212121
2121x x t t dF x x
t t E t t R ??+∞∞-+∞
∞
-=
=ξξξ T t t ∈21,
()[][])()()(),(221121t t t t E t t C ξξξμξμξ--=
且：)()(),(),(212121t t t t R t t C ξξξξμμ-=
若令t t t ==21，则()t t t R t t C 2
),(),(ξξξμ-==D ξ(t )=2
ξσ
由此可以看出：均值函数()t ξμ和相关函数),(21t t R ξ是最基本的数字特征，协方差函数
),(21t t C ξ和方差函数()t 2
ξ
σ
可以由它们确定。在随机过程理论中，仅研究均值函数()t ξμ和相关函
数),(21t t R ξ的理论称为相关理论。
一般地，相关函数),(21t t R ξ和协方差函数),(21t t C ξ均与时间21,t t 有关。若令τ+=12t t ，则：
),(),(1121τξξ+=t t R t t R ),(),(1121τξξ+=t t C t t C
以上两式说明),(21t t R ξ和)t ,t (C 21ξ不仅与时间间隔τ有关，且与起点1t 有关。当),(21t t R ξ和
),(21t t C ξ仅与τ有关而与1t 无关时，且,)(const t m X =称这类随机过程为宽平稳过程，简称为平稳
过程。
例6.3.1 设)(t g 是周期为L 的矩形波，随机变量Y 服从两点分布
令()()X t Yg t =，),0(∞=∈T t ，则：)(t X 是具有随机振幅，周期为L 的矩形波过程，求)(t X 的数字特征。
解：0]211211)[(][)()]([)]([)(=?
+?
-====t g Y E t g t Yg E t X E t X μ
][)()()]()([)]()([),(2
21212121Y E t g t g t Yg Y t g E t X t X E t t R X =?==
2
12
111i
p Y
-
)()(]2
112
1)1)[(()(212
2
21t g t g t g t g =?
+?
-=
),(),(2121t t R t t C X X =
()())(,)]([2
2t g t t C t X D t X X
===
σ
例6.3.2 已知随机相位正弦波)cos()(Θ+=t a t X ω，其中const a =>ω,0，Θ为在)2,0(π上
服从均匀分布的随机变量。求随机过程)},0(),({∞∈t t X 的)(t X μ、),(21t t R X 和一维分布密度函数
);(x t f 。
解： 由Θ在)2,0(π上服从均匀分布得：
f θππ
θ?∈?
=???其它
1
(0,2)
2()0
则：()021)cos()]cos([20
=?
+=Θ+=?θπ
θωωμπ
d t a t a E t X
)]
cos()cos([)]
()([),(212121Θ+?Θ+==t a t a E t X t X E t t R X ωω
= θπ
θωθωπ
d t t
a
21)cos()cos(220
1
2
?
+?+?)(cos 2
122
t t a
-=
ω
利用随机过程的分布密度公式x
x t F x
x t F x t f ????=
??=
θθ
);();();(
f f θθθθ??=+??1212()
()
x
x
()θ
ππθπ
≤<其中0<<1
2,2
则：2
2
1
);(x
a
x t f -=
π
a x <
则：a
x a x x t f x
a ≥
?=-0
);(221π
例6.3.3 设随机过程)(t X 定义为：若随机点在区间],0(t 内出现偶数次，则1)(=t X ；若出现奇数次，则1)(-=t X 。又设(],00t t t +内随机点出现k 次的概率与0t 无关，且有：
!
)()(k t e t p k
t
k λλ-=
),2,1,0,0( =>k λ
求)(t X μ和),(21t t R X 。
解：由],0{(t 内随机点出现k 次， ,2,1,0=k }互不相容，故：
{P 在],0(t 内出现偶数次，即1)(=t X }
+++=)()()(420t p t p t p
??
????+++=- !4)
(!2)(!0)(4
20t t t e
t
λλλλ
)(t ch e
t
λλ-= 注：2/)()(x
x e
e x ch -+=
同理： +++=-=)()()(}1)({531t p t p t p t X P
??
????+++=- !5)(!3)(5
3t t e
t
λλλλ)(t sh e t λλ-= 注：2/)()(x x e e x sh --=
即： ==}1)({t X P )(t ch e
t
λλ-
=-=}1)({t X P )(t sh e
t
λλ-
则：()t X μt
t
t
t
t
e
e
e
t sh e
t ch e
t X E λλλλλλλ2)(1)(1)]([-----=?=?-?==
为求)(t X 的相关函数),(21t t R X ，先求)(1t X ，)(2t X 的联合分布。 })()({})({})(,)({1122112211x t X x t X P x t X P x t X x t X P ==?====
其中11±=x ，12±=x 。
设：12t t >，12t t -=τ，
()21{()1()1}{()1(0)1}P X t X t P X X e
ch λτ
τλτ-======
则：)()(}1)(,1)({1211
λτλλτ
λch e
t ch e t X t X P t --===
同理： 1
121{()1,()1}()()t P X t X t e
sh t e
ch λλτ
λλτ--=-=-=
1
121{()1,()1}()()t P X t X t e
ch t e
sh λλτ
λλτ--==-=
1
121{()1,()1}()()t P X t X t e
sh t e
sh λλτ
λλτ--=-==
则：),(21t t R X )]()()[(1)]()([11211
t sh t ch ch e
e
t X t X E t λλλτλτ
λ+???==--
)]()()[()1(111
t sh t ch sh e
e t λλλτλτ
λ+???-+--
)]()([11)
(1t sh t ch e t ---=+-τλτλτλ
λτ
τλτλ2)
()
(11---+-=?=e
e e
t t 其中12t t -=τ 当12t t ≤，同理可得：),(21t t R X 122()
t t e λ--=
则对21,t t ?，有：),(21t t R X τ
λ2-=e
。
在实际问题中，除考虑一个随机过程在不同时刻的性质外，还须考虑两个不同的随机过程之间的关系。例如，通信系统中信号过程与干扰过程之间的关系，此时，我们必须引入互协方差函数和互相关函数来描述它们之间的关系。
定义6.3.3 设随机过程}),({T t t X ∈，{(),}Y t t T ∈是两个随机过程，则称其互相关函数和互协方差函数分别为：
121212(,)[()()](,;,)X Y R t t E X t Y t xyd F t t x y +∞+∞
-∞-∞
==
??
T t t ∈21,
()()121122(,)[()][()]X Y X Y C t t E X t t Y t t μμ=--
且121212(,)(,)()()X Y X Y X Y C t t R t t t t μμ=-
特别地，对任意的,s t T ∈，有(),0X Y C s t =，则称随机过程}),({T t t X ∈，{(),}Y t t T ∈互不相关；若(),0X Y R s t =，则称随机过程}),({T t t X ∈，{(),}Y t t T ∈相互正交。
例6.3.4 设有两个随机过程()()1X t g t ε=+和()()2Y t g t ε=+，其中()1g t 和()2g t 都是周期为L 的周期方波，ε是在()0,L 上服从均匀分布的随机变量，求互相关函数(),X Y R t t τ+的表达式。 解：由定义：
()()(),X Y R t t E X t Y t ττ+=+???? ()()12E g t g t ετε=+++????
()()()12g t x g t x f x d x ε
τ+∞-∞
=+++?
()()120
1
L g t x g t x d x L
τ=
+++?
令t x ν=+，利用()1g t 和()2g t 的周期性，则： ()()()120
1,L X Y R t t g t x g t x d x L
ττ+=
+++?
()()()()()121
21L
t L
t L g g d g
L g L d L L νντννν
τν+??=
++
--+-?
???
??
()
()()()12120
1L
t t g g d g u g u d u L
νντντ??=++
+????
??
()()1201L
g g d L νν
τν??=
+?
???
?
三、复随机过程
工程中，常把随机过程表示为复数形式来进行研究，因此我们下面简单介绍复随机过程的概念和数字特征。
定义 6.3.4 设随机过程}),({T t t X ∈，{(),}Y t t T ∈是取实数值的两个随机过程，若对
()()()，有,其中?∈=+=
t T Z t X t iY t i {(),}Z t t T ∈为复随机过程。
定义6.3.5 当}),({T t t X ∈和{(),}Y t t T ∈为实随机过程时，则{(),}Z t t T ∈的均值函数、方差函数、相关函数和协方差函数的定义如下：
()()()()Z X Y t E Z t t i t μμμ==+????
()()()()22Z Z t D Z t E Z t t σμ??==-??????
()()()()()()Z Z E Z t t Z t t μμ??=--?
?
()()()1212,Z R t t E Z t Z t ??=??
()()()()()()()121122,Z Z Z C t t E Z t t Z t t μμ??=--??
定理6.3.2 复随机过程{(),}Z t t T ∈的协方差函数具有如下性质： （1） 对称性：()()1221,,Z Z C t t C t t =
（2） 非负定性：对任意的i t T ∈及复数,1,2,,1i a i n n =≥ ，有： (),1,0n
Z i j i j i j C t t a a =≥∑
证明：（1）()()()()()()()121122,Z Z Z C t t E Z t t Z t t μμ??=--?
?
()()()()()()112
2
Z Z
E
Z t t Z t t μμ?
?
=--??
?
?
()()()()()()221
1Z Z E Z t t Z t t μμ??=--?
?
()21,Z C t t = （2）()()()()()()()
,1,1
,n
n
Z i j i j i Z i j Z j i j i j i j C t t a a E Z t t Z t t a a μμ==??=
--????∑∑
()()()()()()
,1n i Z i j Z j i j i j E Z t t Z t t a a μμ=????=--????????
∑ ()()()()()()
11n n i Z i i j Z j j i j E Z t t a Z t t a μμ==????????=--??????
????
∑∑ ()()()2
1
0μ=?
?
=-≥?
????
?
∑n
i
Z
i
i
i E Z t t a
随机变量的数字特征试题答案
随机变量的数字特征试题 答案 It was last revised on January 2, 2021
第四章 随机变量的数字特征试题答案 一、 选择（每小题2分） 1、设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则下列结论中正确的是（D ） A. E （X ）=，D （X ）= B. E （X ）=，D （X ）= C. E （X ）=2，D （X ）=4 D. E （X ）=2，D （X ）=2 2、设随机变量X 与Y 相互独立，且X~N （1，4），Y~N （0，1），令Y X Z -=，则D （Z ）= （C ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 6? 3、已知D （X ）=4，D （Y ）=25，cov （X ，Y ）=4，则XY ρ =（C ） A. 0.004 B. C. D. 4 4、设X ，Y 是任意随机变量，C 为常数，则下列各式中正确的是（D ） A ． D （X+Y ）=D （X ）+D （Y ） B ． D （X+C ）=D （X ）+C C ． D （X -Y ）=D （X ）-D （Y ） D ． D （X -C ）=D （X ） 5、设随机变量X 的分布函数为???? ???≥<≤-<=4, 14 2,12 2, 0)(x x x x x F ，则E(X)=（D ） A ． 31 B ． 21 C ．2 3 D ． 3 6、设随机变量X 与Y 相互独立，且)61,36(~B X ，)3 1 ,12(~B Y ，则)1(+-Y X D = （C ） A ． 34 B ． 37 C ． 323 D ． 3 26
7、设随机变量X 服从参数为3的泊松分布，)31 ,8(~B Y ，X 与Y 相互独立，则 )43(--Y X D =（C ） A ． -13 B ． 15 C ． 19 D ． 23 8、已知1)(=X D ，25)(=Y D ，XY ρ=，则)(Y X D -=（B ） A ． 6 B ． 22 C ． 30 D ． 46 9、设)3 1 ,10(~B X ，则)(X E =（C ） A ． 31 B ． 1 C ． 3 10 D ． 10 10、设)3,1(~2N X ，则下列选项中，不成立的是（B ） A. E （X ）=1? B. D （X ）=3? C. P （X=1）=0 D. P （X<1）= 11、设)(X E ，)(Y E ，)(X D ，)(Y D 及),cov(Y X 均存在，则)(Y X D -=（C ） A ． )(X D +)(Y D B ． )(X D -)(Y D C ．)(X D +)(Y D -2),cov(Y X D ．)(X D +)(Y D +2),cov(Y X 12、设随机变量)2 1 ,10(~B X ，)10,2(~N Y ，又14)(=XY E ，则X 与Y 的相关系数 XY ρ=（D ） A ． B ． -0.16 C ． D ． 13、已知随机变量X 的分布律为 25 .025.012p P x X i -，且E （X ）=1?，则常数x =( B) A ． 2 B ． 4 C ． 6 D ． 8 14、设随机变量X 服从参数为2的指数分布，则随机变量X 的数学期望是（C ） A. B. 0 C. D. 2 15、已知随机变量X 的分布函数为F(x)=?? ?>--other x e x 00 12，则X 的均值和方差分别为（D ）
第二章随机变量的分布和数字特征习题课
第二章 随机向量的分布和数字特征的习题课 一：选择题： 1. 若随机变量 21,X X 的分布函数为)(1x F 与)(2x F 则a ,b 取值为（ ）时，可使F(x)=a )(1x F -b )(2x F 为某随机变量的分布函数。 A.3/5,-2/5 B.2/3,2/3 C.-1/2,3/2 D.1/2,-3/2 分析：由分布函数在±∞的极限性质，不难知a,b 应满足a-b=1,只有选项A 正确。 [答案 选：A] 2. 设 X ～?(x ),且? (-x )= (x ),其分布函数为F (x ),则对任意实数a , F (-a )=( )。 A.1-?a x 0)(?d x B . 2 1 -?a x 0)(? d x C .F(a) D .2F(a)-1 分析：①是偶函数，可结合标准正态分布来考虑；②?a x 0)(? d x ＝F(a)－F(0)；③F(0)＝0.5；④F(a)＋F(-a)=1 [答案 选：B] 3.设X ～N (μ,2σ),则随着σ的增大，P (|X -μ|<σ)（ ）。 A.单调增大 B.单调减少 C.保持不变 D.增减不定 [答案 选：C] 4.设随机变量X 与Y 均服从正态分布，X ～N(μ,16)，Y ～N(μ,25), 记P{X ≤μ＋4}=1p ,P{Y ≤μ+5}=2p ,则（ ）正确。 A.对任意实数μ，均有1p =2p B. 对任意实数μ，均有1p <2p C.只对个别的μ值才有 1p =2p D. 对任意实数μ，均有1p >2p [答案 选： A]
5. 设X 是随机变量且)0,()(,)(2>==σ μσμX D X E ，则对任意常数c ， （ ）成立。 222)(.c EX c X E A -=- 22)()(.μ-=-X E c X E B 22)()(.μ-<-X E c X E C 22)()(.μ-≥-X E c X E D 分析： [答案 选：D ] 由2 )(,)(σμ==X D X E ，得2222 )()(μσ+=+=EX X D EX )2()(222c cX X E c X E +-=-∴ 2 2 2 2 2 2 2) (22c c c c cEX EX -+=+-+=+-=μσμμσ )2()(222μμμ+-=-X X E X E 2 22222222σ μμμσμμ=+-+=+-=EX EX 显然2 2 )()(μ-≥-X E c X E 二：题空题 1. 设在每次伯努里试验中，事件A 发生的概率均为p,则在n 次伯努 里试验中，事件A 至少发生一次的概率为（ ），至多发生一次的概率为（ ）。 [答案 填：(1-(1-p)n ); ((1-p)n +np(1-p)1-n )] 由伯努里概型的概率计算公式，，据题意可知， 事件A 至少发生一次的概率为k n k n k k n p p C -=-∑)1(1或n n p p C )1(100--， 事件 A 至多发生一次的概率为 k n k k K N p p C -=-∑)1(1 =n n p p C )1(00-+111)1(--n n p p C
四、随机变量的数字特征(答案)
概率论与数理统计练习题 、选择题: 二、填空题: 1 4.设随机变量 X 的密度函数为f(x) e |x| ( x )，则E(X) 0 三、计算题： 1.袋中有5个乒乓球，编号为1 , 2, 3, 4, 5，从中任取3个，以X 表示取出的3个球中最大编 号，求E(X) 解：X 的可能取值为3, 4, 5 E(X) 3 丄 4 色 5 3 4.5 10 10 5 1/5 1/6 1/5 1/15 11/30 系 _____ 第四章 专业 ______ 班 _________ 随机变量的数字特征(一) 学号 1 ?设随机变量 X 的可能取值为0, 1, 相应的概率分布为 0.6,0.3 , .01，则 E(X) 0.5 2 .设X 为正态分布的随机变量，概率密度为 f(x) 2?2 e (x 1)2 2 8 ，贝U E(2X 1) ，则 E(X 3X 2) 116/15 1 ?设随机变量X ,且 E(X)存在，则 E(X)是 (A )X 的函数 (B )确定常数 随机变量 (D )x 的函数 2 .设X 的概率密度为 f(x) 1 x e 9 9 0 ，则 E( 9X) 3 ?设 x x e 9 dx 1 (B) 9 x x e 9dx (C ) (D ) 1 是随机变量, E( )存在，若 ￥，则 E() E() (B)罟 (C ) E() P(X 3) 1 10 ， P(X 4) C 5 3 10 P(X 5) § 10
2 ?设随机变量X 的密度函数为f(X ) 2 (1 %)0甘它1，求E(X) 0 其它 2 3?设随机变量X~N(,)，求E(|X I) (1) Y 1 e 2X ( 2)Y 2 max{ X, 2} 解：(1) E(Y) 2x x 1 e e dx 0 3 (2) EM) 2 x 2e dx xe 0 2 x dx 2 2e 2 3e 2 2 2 e (3) E(Y 3) 2 e x dx 2e x 0 2 dx 1 c 2 c 2 」 2 3e 2e 1 e 概率论与数理统计练习题 ________ 系 _______ 专业 ______ 班 ___________________学号 _________ 第四章 随机变量的数字特征(二) 、选择题: 解：E(X) X 2(1 x)dx 解： |x (x )2 1 — dx 令y 2 y I y |e 2dy 4 .设随机变量 X 的密度函数为f (x) x 0 ，试求下列随机变量的数学期望。 x 0 (3) Y min{ X,2} 2 2~ 2 o ye dy
随机变量的数字特征
第四章 随机变量的数字特征 一、填空题 1. 设随机变量X 服从参数为1的指数分布，则数学期望____________)(2=+-X e X E 。 2. 若随机变量X 服从均值为2，方差为2 σ的正态分布，且3.0)42(=<
四、随机变量的数字特征(答案)
概率论与数理统计练习题 系 专业 班 学号 第四章 随机变量的数字特征（一） 一、选择题： 1．设随机变量X ，且()E X 存在，则()E X 是 [ B ] （A ）X 的函数 （B ）确定常数 （C ）随机变量 （D ）x 的函数 2．设X 的概率密度为910()9 00 x e x f x x -?≥?=??
随机变量的数字特征试题答案
第四章 随机变量的数字特征试题答案 一、选择（每小题2分） 1、设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则下列结论中正确的是（D ） A. E （X ）=，D （X ）=? B. E （X ）=，D （X ）= C. E （X ）=2，D （X ）=4? D. E （X ）=2，D （X ）=2 2、设随机变量X 与Y 相互独立，且X~N （1，4），Y~N （0，1），令Y X Z -=，则D （Z ）=? （??C?） A. 1 ? B. 3 C. 5? D. 6? 3、已知D （X ）=4，D （Y ）=25，cov （X ，Y ）=4，则XY ρ =（C ） A. 0.004? B. ? C. ? D. 4 4、设X ，Y 是任意随机变量，C 为常数，则下列各式中正确的是（?D ） A ． D （X+Y ）=D （X ）+D （Y ） ?B ． D （X+C ）=D （X ）+C C ． D （X-Y ）=D （X ）-D （Y ） ?D ． D （X-C ）=D （X ） 5、设随机变量X 的分布函数为???? ???≥<≤-<=4, 14 2,12 2, 0)(x x x x x F ，则E(X)=（D ） A ． 31 ?B ． 21 C ．2 3 ?D ． 3 6、设随机变量X 与Y 相互独立，且)61,36(~B X ，)3 1 ,12(~B Y ，则)1(+-Y X D =（C ） A ． 34 ? B ． 37 C ． 323 ? D ． 3 26 7、设随机变量X 服从参数为3的泊松分布，)3 1 ,8(~B Y ， X 与Y 相互独立，则)43(--Y X D =（C ） A ． -13 ? B ． 15 C ． 19 ? D ． 23 8、已知1)(=X D ，25)(=Y D ，XY ρ=，则)(Y X D -=（B ） A ． 6 ?B ． 22 C ． 30 ?D ． 46 9、设)3 1,10(~B X ，则)(X E =（C ） A ． 31 ?B ． 1 C ． 3 10 ?D ． 10 10、设)3,1(~2 N X ，则下列选项中，不成立的是（B ） A. E （X ）=1? B. D （X ）=3? C. P （X=1）=0? D. P （X<1）= 11、设)(X E ，)(Y E ，)(X D ，)(Y D 及),cov(Y X 均存在，则)(Y X D -=（C ） A ． )(X D +)(Y D ?B ． )(X D -)(Y D
随机变量的数字特征
第四章随机变量的数字特征 【基本要求】理解随机变量的数学期望与方差的概念，掌握它们的性质与计算方法；掌握计算随机变量函数的数学期望方法；掌握二项分布、泊松分布、正态分布和指数分布的数学期望和方差；了解协方差、相关系数、矩的概念、性质及计算方法。 【本章重点】数学期望与方差的概念、性质与计算方法；求随机变量函数的数学期望的方法；二项分布、泊松分布、正态分布和指数分布的数学期望和方差。 【本章难点】数学期望与方差的概念计算方法；随机变量函数的数学期望的计算方法；协方差、相关系数、矩的概念、性质及计算方法 【学时分配】7-9学时 分布函数:) x F≤ =——全面描述随机变量X取值的统计规律。但是，在实际问题中 P X ) ( (x 分布函数的确定并不是一件容易的事，而且有时我们也不需要知道分布函数，只需知道随机变量的某些数字特征就够了。例如： 评价粮食产量，只关注平均产量； 研究水稻品种优劣，只关注每株平均粒数； 评价某班成绩，只关注平均分数、偏离程度； 评价射击水平，只关注平均命中环数、偏离程度。 描述变量的平均值的量——数学期望， 描述变量的离散程度的量——方差。 §4.1 数学期望 教学目的：使学生理解掌握随机变量的数学期望的实际意义及概念，会计算具体分布的数学期望； 使学生理解掌握随机变量函数的数学期望的计算及数学期望的性质。 教学重点、难点：数学期望的概念及其计算；随机变量函数的数学期望的计算及数学期望的性质。
教学过程： (一) 数学期望的概念 先看一个例子:一射手进行打靶练习,规定射入 区域2e 得2分, 射入区域1e 得1分,脱靶即射入 区域0e 得0分.设射手一次射击的得分数X 是一个 e 0 随机变量，而且X 的分布律为P{X=k}=k p ,k=0,1,2 现射击N 次，其中得0分0a 次，得1分1a 次，得2分2a 次，0a +1a +2a =N.则他射击N 次得分的总和为0a 0+ 1a 1+ 2a 2,他平均一次射击的得分数为 ∑==?+?+?2 210210k k N a k N a a a ，因为当N 充分大时, 频率k p 概率稳定值 ??→?N a k 。 所以当N 充分大时, 平均数∑=??→?2 k k k p x x 稳定值 。 显然,数值∑=2 k k k p x 完全由随机变量X 的概率分布确定,而与试验无关，它反映了平均数的大小。 定义: 1.离散型随机变量的数学期望:设离散型随机变量X 的分布律为{}k k P X x p ==，1,2,3k =…若级数1 k k k x p ∞ =∑绝对收敛，则称级数1 k k k x p ∞ =∑为随机变量X 的数学期望，记为()E X ,即()E X ＝1 k k k x p ∞ =∑。 2.连续型随机变量的数学期望:设连续型随机变量X 的密度函数为()f x ，若积分()xf x dx ∞ -∞ ?绝对 收敛，则称积分()xf x dx ∞-∞ ?的值为随机变量X 的数学期望，记为()E X 。即()E X ＝()xf x dx ∞ -∞ ?。 数学期望简称期望，又称为均值。 (二) 数学期望的计算 关键是：求出随机变量的分布律或者密度函数。 1、离散型——若 则()E X ＝1k k k x p ∞ =∑ （绝对收敛）
第四章 随机变量的数字特征试题答案
第四章随机变量的数字特征试题答案 一、 选择（每小题2分） 1、设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则下列结论中正确的是（D ） A.E （X ）=0.5，D （X ）=0.5?B.E （X ）=0.5，D （X ）=0.25 C.E （X ）=2，D （X ）=4?D.E （X ）=2，D （X ）=2 2 Y X -=，则34） A C 5A 6、)1= （C ） A ．3 4?B ．3 7C ． 323?D ．3 26 7、设随机变量X 服从参数为3的泊松分布，)3 1 ,8(~B Y ，X 与Y 相互独立，则 )43(--Y X D =（C ） A ．-13? B ．15 C ．19? D ．23 8、已知1)(=X D ，25)(=Y D ，XY ρ=0.4，则)(Y X D -=（B ）
A ．6? B ．22 C ．30? D ．46 9、设)3 1 ,10(~B X ，则)(X E =（C ） A ．31? B ．1 C ．3 10?D ．10 10、设)3,1(~2N X ，则下列选项中，不成立的是（B ） A.E （X ）=1? B.D （X ）=3? C.P （X=1）=0? D.P （X<1）=0.5 11 A ．C ．12、XY ρ= （D 13x =(B) A ． 14、（C ） A.-15、为（A ．C ．21)(,41)(== X D X E ?D ．4 1 )(,21)(==X D X E 16、设二维随机变量（X ，Y ）的分布律为
则)(XY E =（B ） A ．9 1-?B ．0 C ．9 1?D ．3 1 17、已知随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则随机变量X 的方差为（D ） A 18，0.5)，则A 19，则X A 20， 则21（B A C 22、设n X X X ,,,21 是来自总体),(2σμN 的样本，对任意的ε>0，样本均值X 所满足的切比雪夫不等式为（B ） A ．{}2 2 εσεμn n X P ≥ <-?B ．{} 22 1ε σεμn X P -≥<- C ．{}2 2 1ε σεμn X P - ≤≥-?D ．{}2 2 εσεμn n X P ≤ ≥-
第三章 随机变量的数字特征答案
第三章 随机变量的数字特征答案 一、1、35；2、 6175；;259,59,259, 563、σ σμ1 , =±=b a ； 4、()(),2 1212 1211 )(2 2 2 212111 2??? ? ??-- ---+-? = ? = = x x x x e e e x πππ ? ），（～所以2 1 1N ξ ，2 1 ,12 = ===σ ξμξD E 5、2 1-；6.a=2,b=0,或a=-2,b=2；32)(=ξE 或31 ； 7、()()125,01022===+=+=+=+a D a b a D b a b aE b a E ξξξξ 所以2,5 1 2,51=-=-== b a b a 或 8、()()6.2022,2=++=++=+ηξρηξηξηξηξξηD D D D Cov D D D ()()4.232,2=-+=-+=-ηξρηξηξηξηξξηD D D D Cov D D D 9、148，57； 10、()()()()n D a E D a E i i 2 2 ,,,σξ ξσξξ= ===所以 二、1、C 2、B 3、C 4、B 5、C 三、1、,2.03.023.004.02-=?+?+?-=ξE ()8.23.023.004.02222 2=?+?+?-=ξE ()() ()() ( )04.114,412,4.1353532 222=-==-=+=+ξξξξξξE E D D E E 2、ξ~[]10,0U ，()32512010,5210 02 =-==+=ξξD E ， 3 35=ξD 3、4)(,1)2 (==ξξ D D ，则 1)(,4)1(==-ξξ E D 所以0)1(=-ξE 所以 ()()()() 2 2 2111404E D E ξξξ-=-+-=+= 4、()()()()()()32323223,2D D D D Cov ξηξηξηξη-=+-=+-+- ()( )941225.6D D ξηρ=+-=
随机变量的数字特征
随机变量的数字特征 讨论随机变量数字特征的原因 （1） 在实际问题中，有的随机变量的概率分布 难确定，有的不可能知道，而它的一些数字特征较易确定。 （2）实际应用中，人们更关心概率分布的数字特征。 （3）一些常用的重要分布，如二项分布、泊松 分布、指数分布、正态分布等，只要知道了它们的某些数字特征，就能完全确定其具体的分布。 §4.1 数学期望 一、数学期望的概念 1.离散性随机变量的数学期望 例4．1：大学一年级某班有32名同学，年龄情况如下： 解： 平均年龄=1 4810721 224218201019718217+++++?+?+?+?+?+? 25.19= 把上式改写为： 32 12232421328203210193271832217?+?+?+?+?+?
设X 为从该班任选一名同学的年龄，其概率分布为 定义4.1：设离散型随机变量X 的分布列为： 若 ∑k k k p x 绝对收敛（即 +∞ <=∑∑k k k k k k p x p x ），则称它为X 的 数学期望或均值（此时，也称X 的数学期望存在），记为E(X),即 若 ∑k k k p x 发散，则称X 的数学期望不存在。 说明： （1）随机变量的数学期望是一个实数，它体现了随机变量取值的平均； （2） 要注意数学期望存在的条件： ∑k k k p x 绝对 收敛； （3） 当X 服从某一分布时，也称某分布的数学 期望为EX 。 ∑=k k k p x EX
例4．2：设X服从参数为p的两点分布，求EX EX=p 例4．3：设X~B(n,p)，求EX EX=np 例4．4：设X服从参数为λ的泊松分布，求EX EX=λ 2.连续型随机变量的数学期望 定义4.2: 设连续型随机变量X 的概率密度为f(x).若积分 ?+∞∞-dx x xf) ( 绝对收敛，（即?∞∞ - +∞ < dx x f x) ( ），则称它 为X的数学期望或均值（此时，也称X的数学期望存在），记为E(X),即 ) ( ) (?∞∞- =dx x xf X E 若?∞∞ - +∞ = dx x f x) ( ， 则称X的数学期望不存在。 例4.5:设X服从U[a,b],求E(X)。 EX= 2b a+ 例4.6:设X服从参数为λ的指数分布，求EX EX=λ 例4.7: ) , ( ~2σ μ N X，求EX
随机变量的数字特征教案
§2.3.1随机变量的数字特征（二） 学习目标 1．熟练掌握均值公式及性质． 2．能利用随机变量的均值解决实际生活中的有关问题． 学习过程 【任务一】双基自测 1．分布列为 的期望值为 ( ) A ．0 B ．－1 C ．－13 D ．12 2．设E (ξ)＝10，则E (3ξ＋5)等于 ( ) A ．35 B ．40 C ．30 D ．15 3．某一供电网络，有n 个用电单位，每个单位在一天中使用电的机会是p ，供电网络中一天平均用电的单位个数是 ( ) A ．np (1－p ) B ．Np C ．n D ．p (1－p ) 4．两封信随机投入A 、B 、C 三个空邮箱中，则A 邮箱的信件数ξ的数学期望E (ξ)＝________ 【任务二】题型与解法 题型一 二项分布的均值 例1：一次单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中仅有一个选项正确．每题选对得5分，不选或选错不得分，满分
100分．学生甲选对任意一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从各选项中随机地选择一个．分别求学生甲和学生乙在这次测验中成绩的均值． 跟踪训练1英语考试有100道选择题，每题4个选项，选对得1分，否则得0分．学生甲会其中的20道，学生乙会其中的80道，不会的均随机选择．求甲、乙在这次测验中得分的期望． 题型二超几何分布的均值 例2一名博彩者，放6个白球和6个红球在一个袋子中，定下规矩：
凡是愿意摸彩者，每人交1元作为手续费，然后可以一次从袋中摸出5个球，中彩情况如下表： 试计算：（1）摸一次能获得20元奖品的概率； （2）按摸10 000次统计，这个人能否赚钱？如果赚钱，则净赚多少钱？ 跟踪训练2厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品． （1）若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8，从中任意取出4件进行检验．求至少有1件是合格品的概率；
实验一平稳随机过程的数字特征
实验一 平稳随机过程的数字特征 一、实验目的 1、加深理解平稳随机过程数字特征的概念 2、掌握平稳随机序列期望、自相关序列的求解 3、分析平稳随机过程数字特征的特点 二、实验设备 计算机、Matlab 软件 三、实验内容和步骤 设随机电报信号X(n)(-∞
m k k e k m I m n X n X P λλ-∞ =+∑+==+0122 )!12()(})()({ m e I m n X n X E m R λ22)]()([)(-=+= 五、实验要求 1、写出求期望和自相关序列的步骤； 2、分析自相关序列的特点； 3、打印相关序列和相关系数的图形； 4、附上程序和必要的注解。 六、实验过程 input('王斌欢迎您') I=input('输入I 的值'); a=0.5; %a 的值为P{X(n)=+I} b=0.5; %b 的值为P{X(n)=-I} EX=I*a+(-I)*b %EX 为期望的输出值 xuehao=21; %学号为21 k=1/xuehao; Ex=I*0.5+(-I)*0.5; m=-64:1:64; Rx=I*I*exp(-2*k*abs(m)); Cx=Rx-Ex*Ex; Cx0=I*I*exp(-2*k*abs(0))-Ex*Ex; rx=Cx/Cx0; figure(1); subplot(211);stem(EX);title('期望') %输出图像 subplot(212);stem(m,Rx);title('自相关序列'); figure(2); stem(m,rx);title('相关系数'); 七、实验结果及分析
随机变量的数字特征(答案)
概率论与数理统计练习题 系 专业 班 姓名 学号 第四章 随机变量的数字特征（一） 一、选择题： 1．设随机变量X ，且()E X 存在，则()E X 是 [ B ] （A ）X 的函数 （B ）确定常数 （C ）随机变量 （D ）x 的函数 2．设X 的概率密度为910()9 00 x e x f x x -?≥?=??
随机变量的数字特征归纳
第四章 随机变量的数字特征 ㈠ 数学期望 表征随机变量取值的平均水平、“中心”位置或“集中”位置． 1、数学期望的定义 (1) 定义 离散型和连续型随机变量X 的数学期望定义为 {}?????==?∑∞ ∞ - d )( )()( ， ， 连续型离散型x x xf x X x X k k k P E 其中Σ表示对X 的一切可能值求和．对于离散型变量，若可能值个数无限，则要求级数绝对收敛；对于连续型变量，要求定义中的积分绝对收敛；否则认为数学期望不存在． ①常见的离散型随机变量的数学期望 1、离散型随机变量的数学期望 设离散型随机变量的概率分布为 ，若，则称级数为随 机变量 的数学期望（或称为均值），记为 , 即 2、两点分布的数学期望 设 服从0—1分布，则有 ，根据定义， 的数学期望为 . 3、二项分布的数学期望 设 服从以 为参数的二项分布， ，则 。 4、泊松分布的数学期望 设随机变量 服从参数为的泊松分布，即，从而有 。 ①常见的连续型随机变量的数学期望 1)均匀分布
设随机变量ξ服从均匀分布，ξ～U [a，b] (a
平稳随机过程及其数字特征
平稳随机过程及其数字特征
平稳随机过程 粗略的说——随机过程的统计特征不随时间的推移而变化。一.严平稳随机过程 1. 定义设有随机过程{ X(t) , t ∈T}，若对于任意n 和任意t1 因此：严平稳过程的二维数字特征仅是（时间差τ）的函数 综上所述：要按上述严平稳过程的定义来判断一个过程是否平稳?是很困难的。 a)：一般在实用中，只要产生随机过程的主要物理条件，在时间 进程中不变化。则此过程就可以认为是平稳的。 例如：在电子管中由器件的颗粒效应引起的“散弹噪声”，由于产生此噪声的主要物理条件与时间无关，所以此噪声可以认为是平稳过程。 12121212 12 1 21212 2 2 2 (,)(,;)() (,)()()(,;)()()(0)(0)[()] X X X X X X X X X X X X X X R t t x x f x x dx dx R C t t x m x m f x x dx dx C R m C R m D X t τττττσ=?==??==?=?==∫∫∫∫ ∞<)]([2 t X E b)：另一方面，对有些非平稳过程，可以根据需要，如果它在所观测的时间段内是平稳的，就可以视作这一时间段上的平稳过程来处理。即在观测的有限时间段内，认为是平稳过程。 因此，工程中平稳过程的定义如下： 二、宽平稳过程1、定义 若二阶矩过程( )X(t) 满足: E[X(t)]=m x ←常数 R x (t 1,t 2)=R x (τ) ←只与时间间隔(τ=t 2-t 1)有关 则称过程X(t)为“宽平稳随机过程”（广义平稳过程）。 可见：一个均方值有限的严平稳过程，一定是宽平稳过程。反之：一个宽平稳过程，则不一定是严平稳过程。 c)：一般在工程中，通常只在相关理论的范围内讨论过程的平稳问题。即：讨论与过程的一、二阶矩有关的问题。 第十章 随机变量分布及数字特征 10.1 随机变量 10.2 离散型随机变量分布 1、学时：2学时 2、过程与方法： 结合实例介绍随机变量概念，离散型随机变量的概率分布、分布列、分布函数、概率及性质. 3、教学要求： （1）掌握随机变量及离散型随机变量的概率分布、分布列、分布函数、概率及性质 （2）几种常见概率分布 教学重点：离散型随机变量的概率分布、分布列、分布函数、概率及性质 教学难点：离散型随机变量的分布函数 教学形式：多媒体讲授 教学过程： 一、新课教学内容 10.1 随机变量 概率论与数理统计是从数量上来研究随机现象的统计规律，因此我们必须把随机事件数量化． 在随机试验中，结果有多种可能性，试验结果样本点很多可以与数值直接发生关系，如产品检验，我们关心的是抽样中出现的废品件数．商店销售我们重视每天销售额，利润值．在投骰子中是每次出现的点数等． 但是也有不少试验结果初看与数字无直接关系，但我们可通过如下示性函数使之数值化，比如，产品合格与不合格令???=01ξ 不合格 合格 事件10A A X ?=??发生与否用 不发生发生 这些事件数值化后，数量是会 变化的称为变量．变量取值机会有大有小所以叫随机变量 ． 定义1：在某一随机试验中，对于试验的每一个样本点ω都唯一对应一个数，这样依不同样本点ω而取不同值的点叫随机变量．通常用希腊字母或大写英文字母X 、Y 、Z 等表示．用小写英文字母i i y x 、表示随机变量相应于某个试验结果所取的值． 举例： 1°投骰子出现的点数用随机变量X 表示，X 可取值为{ }，，，，，，654321 2°电信局话务台每小时收到呼叫次数用Y 表示，Y 可取值为{}Λ210，， 3°总站每五分钟发某一路车，乘客在车站候车时间{} 50≤≤=t t ξ 4°某一电子零件的寿命用{} 30000≤≤=t t T 按其取值情况可以把随机变量分成两类： （1）离散型随机变量：取有限个或无限可列个值．如例1°、2°． （2）非离散型随机变量：可在整个数轴上取值或取实数某部分区间的全部值．非离散型随机变量范围较广，本书只研究其中常遇见的一种称为连续型随机变量如例3°、4°． 例1 设有2个一级品，3个二级品的产品，从中随机取出3个产品，如果用X 表示取出产品中一级品的个数，求X 取不同值时相应概率． 解 X 可取值为{}210，， 101)0(3533===C C X P 53)1(352312===C C C X P 103 )2(35 1 322==C C C X P 例2 抛一枚匀称的硬币，引进一变量Y 令???=0 1Y 出现反面 出现正面求出现正面与反面概率： 解 21)0(= =Y P 2 1)1(==Y P 10.2 离散型随机变量分布 10.2.1 离散型随机变量的概率分布 例1 某汽车公司销售汽车数据表示在过去100天营业时间是有24天每天销售汽车是为0辆，38天 实验二随机过程的模拟与数字特征 一、实验目的 1. 学习利用MATLAB模拟产生随机过程的方法。 2. 熟悉和掌握特征估计的基本方法及其MATLAB 实现。 二、实验原理 1.正态分布白噪声序列的产生 MATLAB提供了许多产生各种分布白噪声序列的函数，其中产生正态分布白噪声序列的函数为randn。 函数：randn 用法：x = randn(m,n) 功能：产生m×n 的标准正态分布随机数矩阵。 如果要产生服从N (,) 分布的随机序列，则可以由标准正态随机序列产生。如果X ~ N(0,1)，则N (,)。 2.相关函数估计 MATLAB提供了函数xcorr用于自相关函数的估计。 函数：xcorr 用法：c= xcorr (x,y) c= xcorr (x) c= xcorr (x,y ,'opition') c= xcorr (x, ,'opition') 功能：xcorr(x,y) 计算X (n ) 与Y (n)的互相关，xcorr(x)计算X (n )的自相关。 option 选项可以设定为： 'biased' 有偏估计。 'unbiased' 无偏估计。 'coeff' m = 0 时的相关函数值归一化为1。 'none' 不做归一化处理。 3.功率谱估计 对于平稳随机序列X(n)，如果它的相关函数满足 (2.1) 那么它的功率谱定义为自相关函数R X(m)的傅里叶变换： (2.2) 功率谱表示随机信号频域的统计特性，有着重要的物理意义。我们实际所能得到的随机信号的长度总是有限的，用有限长度的信号所得的功率谱只是真实功率谱的估计，称为谱估计或谱分析。功率谱估计的方法有很多种，这里我们介绍基于傅里叶分析的两种通用谱估计方法。 （1）自相关法 先求自相关函数的估计X(m)，然后对自相关函数做傅里叶变换 (2.3) 其中N 表示用于估计样本序列的样本个数。 （2）周期图法 第四章 随机变量的数字特征 1． 解：令A 表示一次检验就去调整设备的事件，设其概率为p ，T 表示每次检验发现的次品个数，易知(10,0.1)T B ~，且(4,)X B p ~。 得， 0010119 1010(){1}1{1}1(0.1)(0.9)(0.1)(0.9)0.2639p P A P T P T C C ==>=-≤=--=。 因为(4,)X B p ~，得()4 1.0556E X p =?=。 2． 解：1500 3000 2220 1500 ()()(3000)5001000150015001500x x E X xf x dx dx x dx +∞ -∞ -= =+-=+=?? ?。 3． 解：1 ()(2)0.400.320.30.2k k i E X x p ∞ == =-?+?+?=-∑； 2 21 (35)(35)170.450.3170.313.4k k i E X x p ∞ =+=+=?+?+?=∑ 22(35)3()513.4E X E X +=+=。 4．解：（1）0 ()(2)2()2 ()22(| )2x x x E Y E X E X xf x dx x e dx xe e dx +∞ +∞ +∞ --+∞ --∞ ==== =-+=???. （2）223300 1 1 33 ()()()|X x x x E Y E e e f x dx e dx e +∞ +∞ ----+∞ -∞ == = =-=??. 5．解：（1）3 33 1 1 1 ()10.420.230.42i i i ij i i j E X x p x p ? ==== ==?+?+?=∑∑∑. 3 3 3 1 1 1 ()10.300.410.30j j j ij j j i E Y y p y p ?======-?+?+?=∑∑∑. （２） 7 1 11 ()10.2(0.50.1)...0.50.10.1315i i i E Z z p ===-?+-?++?+?=-∑。 2 2 1 ()40.400.340.3 2.8 k k i E X x p ∞ ===?+?+?=∑随机变量分布及数字特征
随机过程的模拟与数字特征
第四章 随机变量的数字特征课后习题参考答案