随机变量的数字特征归纳
第四章 随机变量的数字特征
㈠ 数学期望 表征随机变量取值的平均水平、“中心”位置或“集中”位置． 1、数学期望的定义
(1) 定义 离散型和连续型随机变量X 的数学期望定义为
{}?????==?∑∞
∞
- d )( )()( ，
，
连续型离散型x x xf x X x X k
k k P E 其中Σ表示对X 的一切可能值求和．对于离散型变量，若可能值个数无限，则要求级数绝对收敛；对于连续型变量，要求定义中的积分绝对收敛；否则认为数学期望不存在． ①常见的离散型随机变量的数学期望
1、离散型随机变量的数学期望
设离散型随机变量的概率分布为
，若，则称级数为随
机变量
的数学期望（或称为均值），记为
, 即
2、两点分布的数学期望 设
服从0—1分布，则有
，根据定义，
的数学期望为
.
3、二项分布的数学期望 设
服从以
为参数的二项分布，
，则
。
4、泊松分布的数学期望
设随机变量
服从参数为的泊松分布，即，从而有
。
①常见的连续型随机变量的数学期望
1)均匀分布
设随机变量ξ服从均匀分布，ξ～U [a，b] (a = 则= ∴E(ξ)=(a+b)/2．即数学期望位于区间的中点． 2)正态分布 设随机变量ξ服从正态分布，ξ～N(μ,σ2)，它的概率密度函数为: ( σ >0，- <μ<+ ) 则令得 ∴ E(ξ)=μ . 3)指数分布 设随机变量服从参数为的指数分布，的密度函数为 ，则. (2) 随机变量的函数的数学期望设)(x g y=为连续函数或分段连续函数，而X是任一随机变量，则随机变量) (X g Y=的数学期望可以通过随机变量X的概率分布直接来求，而不必先求出Y的概率分布再求其数学期望；对于二元函数) , (Y X g Z=，有类似的公式： (){} ? ? ? ? ?= = = ? ∑ ∞ ∞ ． ； （连续型） 离散型 － d) ( ) ( ) ( ) ( x x f x g x X x g X g Y k k k P E E ()(){} ()()()()?????====??∑∑∞∞-∞ ∞ -．；连续型离散型 d d ,, ,,,y x y x f y x g y Y x X y x g Y X g Z i j j i j i P E E 设(,)X Y 为二维离散型随机变量，其联合概率函数(,),,1,2, , i j ij P X a Y b p i j ==== 如果级数 (,)i j ij j i g a b p ∑∑ 绝对收敛，则(,)X Y 的函数(,)g X Y 的数学期望为 [(,)](,)i j ij j i E g X Y g a b p =∑∑； 特别地 ();()i ij j ij i i j i E X a p E Y b p ==∑∑∑∑. 设X 为连续型随机变量，其概率密度为()f x ，如果广义积分 ()()g x f x dx +∞ -∞ ? 绝对收敛， 则X 的函数()g X 的数学期望为[()]()()E g X g x f x dx +∞ -∞=? ． 设(,)X Y 为二维连续型随机变量，其联合概率密度为(,)f x y ，如果广义积分 (,)(,)g x y f x y dxdy +∞+∞ -∞ -∞ ?? 绝对收敛，则(,)X Y 的函数(,)g X Y 的数学期望为 [(,)](,)(,)E g x y g x y f x y dxdy +∞ +∞ -∞ -∞ =? ? ； 特别地 ()(,)E x xf x y dxdy +∞ +∞ -∞ -∞ =? ? , ()(,)E Y yf x y dxdy +∞ +∞ -∞-∞ =?? . 注：求E(X,Y)是无意义的，比如说二维（身高，胖瘦）的数学期望是无意义的，但是二维随机变量函数Z= E(X,Y)是有意义的，他表示的是函数下的另一个一维意义。 2、数学期望的性质 (1) 对于任意常数c ，有c c =E ． 例E[E(X)]=E(X) (2) 对于任意常数λ，有X X E E λλ=．例：E(aX+b)=aE(X)+b (3) 对于任意m X X X ,,,21 ，有()m m X X X X X X E E E E +++=+++ 2121． (4) 如果m X X X ,,,21 相互独立，则()m m X X X X X X E E E E 2121=．(注：相互独立 有后面的结论成立，但这是单向性的，即不能有结论推出独立) ㈡ 方差和标准差 表征随机变量取值分散或集中程度的数字特征． 1、方差的定义 称222)()(X X X X X E E E E D -=-= 为随机变量X 的方差，称X D =σ 为随机变量X 的标准差．随机变量X 的方差有如下计算公式： (){ }()???????-=-=?∑∞ ∞ -．；连续型离散型 )( d )( )( 2 2x x f X x x X X x X k k k E P E D (4.3) 2、常见分布的方差 (1)两点分布 设ξ～(0-1)，其概率分布为: P (ξ=1)=p ， P (ξ=0)=1-p =q (0 E (ξ2)=12×p +02×(1-p )=p ∴ D (ξ)=E (ξ2)-(E (ξ))2=p -p 2=p （1-p ） (2)二项分布 设ξ～B (n ,p )， 其概率分布为: (k =0, 1, 2,…,n ) (0 (此处运用组合数公式 ) = =, (运用二项分布的数学期望公式知 ) E (ξ2)=np (n -1)p +np , ∴ D (ξ)=E (ξ2)-(E (ξ))2=np (1-p )． (3)均匀分布 设ξ～U [a , b ] ( a < b )，它的概率密度函数为: E (ξ)=(a +b )/2 , . ∴ D (ξ)=E (ξ2)-(E (ξ))2=(b -a )2/12. (4)正态分布 设ξ～N (μ, σ2),它的概率密度函数为: (σ>0，-∞<μ<+∞) E (ξ)=μ (令t =(x -μ)/σ) =σ2 ∴ D (ξ)=σ2. (5)指数分布 2、方差的性质 (1) 0≥X D ，并且0=X D 当且仅当X （以概率１）为常数； (2) 对于任意实数λ，有X X D D 2λλ=；（方差对随机变量前面的常数具有平方作用） (3) 若m X X X ,,,21 两两独立或两两不相关，则 ()m m X X X X X X D D D D +++=+++ 2121． （4）D(X)≥0，D(X)=0的充要条件是P ｛X=E （X ）｝=1或者P{X=C}=1. (5)设X 是一个随机变量，c 是常数，则D(X+c)=D(X).例：D (k ξ+c )= k 2D (ξ)； ㈢ 切比雪夫不等式 我们知道方差)(X D 是用来描述随机变量X 的取值在其数学期望)(X E 附近的离散程 度的，因此，对任意的正数ε，事件ε≥-)(X E X 发生的概率应该与)(X D 有关，而这种关系用数学形式表示出来，就是下面我们要学习的切比雪夫不等式。 定理1 设随机变量X 的数学期望)(X E 与方差)(X D 存在 ，则对于任意正数ε，不等式 2 ) (])([ ε εX D X E X P ≤ ≥- （1） 或 2 ) (1])([ ε εX D X E X P - ≥<- （2） 都成立。不等式（1）和（2）称为切比雪夫不等式。 切比雪夫不等式给出了在随机变量X 的分布未知的情况下，只利用X 的数学期望和方差即可对X 的概率分布进行估值的方法，这就是切比雪夫不等式的重要性所在。 例1 已知正常男性成人血液中，每毫升含白细胞数的平均值是7300，均方差是700，利用切比雪夫不等式估计每毫升血液含白细胞数在9400~5200之间的概率。 解 设X 表示每毫升血液中含白细胞个数，则 700)()(,7300)(===X D X X E σ 而}2100|7300{|1}2100|7300{|}94005200{≥--=≤-=≤≤X P X P X P 又912100700}2100|7300{|22=≤≥-X P 所以9 8 }94005200{≥≤≤X P ㈢ 协方差和相关系数 考虑二维随机向量),(Y X ，其数字特征包括每个变量的数学期望和方差，以及X 和Y 的联合数字特征——协方差和相关系数． 1、协方差和相关系数的定义 (1) 协方差 随机变量X 和Y 的协方差定义为 Y X XY Y Y X X Y X E E E E E E -=--=))((),cov(， 其中 {}()()()???????===??∑∑∞∞-∞ ∞ -．；连续型离散型 d d , , y x y x xyf y Y x X y x XY i j j i j i P E (2) 相关系数 随机变量X 和Y 的相关系数定义为 ()y x Y X XY Y X Y X σσρE E E D D -== ,cov ． 2、协方差的性质 设随机变量X 和Y 的方差存在，则它们的协方差也存在． (1) 若X 和Y 独立，则0),cov(=Y X ；对于任意常数c ，有0),cov(=c X ． (2) ),cov(),cov(X Y Y X =． (3) 对于任意实数a 和b ，有),cov(),cov(Y X ab bY aX =． (4) 对于任意随机变量Z Y X ,,，有 ． ， ),cov(),cov(),cov( ),cov(),cov(),cov(Z X Y X Z Y X Z Y Z X Z Y X +=++=+ (5) 对于任意X 和Y ，有()Y X Y X D D ≤,cov ． （等号成立，且当仅当存在常数啊，a ，b 使P{Y=a+bX}=1成立） (6) 对于任意X 和Y ，有),cov(2)(Y X Y X Y X ±+=±D D D ． 3、相关系数的性质 相关系数的如下三条基本性质，决定了它的重要应用．设ρ——X 和Y 的相关系数，,,,,2 22 121Y X Y X D D E E ====σσμμ (1) 11≤≤-ρ． (2) 若X 和Y 相互独立，则ρ=0；但是，当ρ=0时X 和Y 却未必独立． (3) 1=ρ的充分必要条件是X 和Y （以概率１）互为线性函数． (4)对随机变量x ，y ，下列事件等价： ①cov （X,Y ）=0; ②X 和Y 不相关；③E(XY)=E(X)E(Y); ④D(X+Y)=D(X)+D(Y) 三条性质说明，随着变量X 和Y 之间的关系由相互独立到互为线性函数，它们的相关系数的绝对值 ρ 从0增加到1，说明相关系数可以做两个变量统计相依程度的度量． 4、随机变量的相关性 假设随机变量X 和Y 的相关系数ρ存在．若ρ= 0，则称X 和Y 不相关， 否则称X 和Y 相关． (1) 若两个随机变量独立，则它们一定不相关，而反之未必； (2) 若X 和Y 的联合分布是二维正态分布，则它们“不相关”与“独立”等价． ㈣ 矩 在力学和物理学中用矩描绘质量的分布．概率统计中用矩描绘概率分布．常用的矩有两大类：原点矩和中心矩．数学期望是一阶原点矩，而方差是二阶中心矩． 1、原点矩 对任意实数0≥k ，称k k X E =α为随机变量Ｘ的k 阶原点矩，简称k 阶 矩．X E 1 =α．原点矩的计算公式为： {}???????===?∑∞ ∞ -．； 连续型离散型 d )( )()( x x f x x X x X k i i k i k k P E α 一阶原点矩是数学期望()E X ； 2、中心矩 称() k k X X E E -=μ为随机变量Ｘ的k 阶中心矩．二阶中心矩是方差D(X)； 3.混合中心矩随机变量(,)X Y 的(,)k l 阶混合原点矩定义为()k l E X Y ；随机变量(,)X Y 的(,) k l 阶混合中心矩定义为 [(())(())]k l E X E X Y E Y --．(1,1)阶混合中心矩为协方差cov(,)X Y . （四）常用分布的数字特征 9.1当X 服从二项分布(,)B n p 时， (),()(1)E X np D X np p ==-． 9.2 当X 服从泊松分布()p λ时， (),()E X D X λλ==， 9.3 当X 服从区间(,)a b 上均匀分布时， 2 ()(),()212a b b a E X D X +-== 9.4 当X 服从参数为λ的指数分布时， 2 11 (),()E X D X λλ== 9.5 当X 服从正态分布2(,)N μσ时， 2 (),()E X D X μσ==． 9.6 当(,)X Y 服从二维正态分布 22 1212(,,,,)N μμσσρ时， 211(),()E X D X μσ==；222(),()E Y D Y μσ==；12cov(,),XY X Y ρσσρρ== 三、典型例题及其分析 例4.2.1 一台设备由三大部件构成，在设备运转中各部件需要调整的概率相应为0.10，0.20和0.30，假设各部件的状 态相互独立，以 X 表示同时需要调整的部件数，试求X 的数学期望EX 和方差DX . 【思路】 关键是求出X 的分布律，然后用定义计算EX . 【解】 引入事件： {} i=1,2,3.i A i =第个部件需要调整 根据题设，三部件需要调整的概率分别为 ()()()1230.10,0.20,0.30.P A P A P A === 由题设部件的状态相互独立，于是有 ()() ()()()1231230 0.90.80.70.504. P X P A A A P A P A P A ====??= ()( ) 12312312310.10.80.70.90.20.70.90.80.3 0.398 P X P A A A A A A A A A ==??=??+??+??=()() 12312312320.10.20.70.10.80.30.90.20.3 0.092; P X P A A A A A A A A A ==??=??+??+??= 从而 00.50410.39820.09230.006 0.6, i i i EX x p ==?+?+?+?=∑ 22222200.50410.39820.09230.006 0.820. i i i EX x p ==?+?+?+?=∑ 故 ()2 220.8200.60.46.DX EX EX =-=-= 【解毕】 【技巧】 本题的关键是引入事件 i A ，将X 的分布律求出，因此，可以发现求期望和方差的难点转到了求 X 的分布.同 时，方差的计算一般均通过公式() 2 2DX EX EX =-来进行. 例4.2.3 设 X 是一随机变量，其概率密度为 ()1, 10,1, 01,0, x x f x x x +-≤≤?? =-<≤??? 其他. 求DX . (1995年考研题) 【解】 ()()()()()()()01 1 011 2 2 2 2 2 1 110. .11211 6 EX xf x dx x x dx x x dx EX x f x dx x x dx x x dx x x dx +∞ -∞-+∞ -∞ -= =++-== =++-=-= ? ??? ??? 于是 ()2 21.6 DX EX EX =-= 【解毕】 【技巧】 在计算数学期望和方差时，应首先检验一下 ()f x 的奇偶性，这样可利用对称区间上奇偶函数的积分公式简化 求解，比如本题中， ()f x 为偶函数，故()0.EX xf x dx +∞ -∞ = =?同样DX 的计算也可直接简化. 例4.2.4 已知连续型随机变量X 的密度函数为 ( )2 21 , - x f x -+-= ∞∞求EX 与DX . (1987年考研题) 【思路】 一种求法是直接利用数学期望与方差的定义来求.另一种方法是利用正态分布的形式及其参数的含义. 【解】 （方法1）直接法. 由数学期望与方差的定义知 ( )( ) ( ) ()( ) () 2 2 2 2 11111 1. x x x x EX xf x dx xe dx e dx x e dx e dx +∞ +∞ +∞ +∞ -------∞ +∞ --== = -= =? ? ? ?? ()() ()( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 12 111 .2 x t t DX E X EX x f x dx x dx t e e dt +∞ +∞ ---∞ -∞ +∞ +∞ ---∞ -∞ =-=-=-= = ??? ? （方法2） 利用正态分布定义. 由于期望为μ，方差为2 σ ()()2 2 2.x x μσ-- -∞<<+∞所以把()f x 变形为 ()( )2 2 1212 x f x e π -- ?= 易知, ()f x 为11,2N ?? ??? 的概率密度,因此有11,.2EX DX == 【技巧】 解决本题的关键是要善于识别常用分布的密度函数，不然的话，直接计算将会带来较大的工作量.反过来，用正 态分布的特性也可以来求积分 2 kx e dx +∞ --∞ ?等. (2)若干计算公式的应用 主要包括随机变量函数的数学期望公式，数学期望与方差的性质公式的应用. 例4.2.5 设 X 表示10次独立重复射击中命中目标的次数，每次射中目标的概率为0.4，求2EX . (1995年考研题) 【解】 由题意知()~10,0.4X B 于是100.44,EX =?=()100.410.4 2.4.DX =??-= 由() 2 2DX EX EX =-可推知()2 2 22.4418.4.EX DX EX =+=+= 【寓意】 本题考查了两个内容，一是由题意归结出随机变量X 的分布；二是灵活应用方差计算公式，如果直接求解，那 么() 10 102 2100 0.410.4k k k K EX k C -==-∑的计算是繁琐的. 例4.2.6 设 X 服从参数1λ=的指数分布，求()2X E X e -+.（1992年考研题） 【解】 由题设知， X 的密度函数为 (), 0, 0, 0. x e x f x x -?>=? ≤? 且1EX =，又因为()2220 1,3X x x x Ee e f x dx e e dx +∞ +∞ -----∞ = = =?? 从而 ()2214 1.33 X X E X e EX Ee --+=+=+= 【解毕】 【寓意】 本题的目的是考查常见分布的分布密度（或分布律）以及它们的数字特征，同时也考查了随机变量函数的数学期望的求法. 例 4.2.7 设二维随机变量 (),X Y 在区域(){},:01,G x y x y x =<<<内服从均匀分布，求随机变量 21Z X =+的方差.DZ 【解】 由方差的性质得知 ()214DZ D X DX =+= 又由于 X 的边缘密度为 ()()1, 01 ,0, .2, 01 0, x X x dy x f x f x y dy x x +∞ - -∞ ?< =??? < ??? 其他其他. 于是 () 11 22002 2 2 21 2, 2, 32121.2318 EX x xdx EX x xdx DX EX EX ====??=-=-= ????? 因此 ， 12 44.189 DZ DX ==? = 【解毕】 【技巧】 尽管本题给出的是二维随机变量，但在求 X 的期望于方差时，可以从X 的边缘密度函数出发，而不必从X 与 Y 的联合密度函数开始.在一般情形下，采用边缘密度函数较为方便. 例4.2.8 设随机变量X 和Y 独立，且X 服从均值为1的正态分布，而Y 服从标准正态分布，试求随机 变量23Z X Y =-+的概率密度函数.（1989年考研题） 【思路】 此题看上去好像与数字特征无多大联系，但由于 X 和Y 相互独立且都服从正态分布，所以Z 作为,X Y 的线 性组合也服从正态分布.故只需求EZ 和DZ ，则Z 的概率密度函数就唯一确定了. 【解】 由题设知，()()~1,2,~0,1X N Y N .从而由期望和方差的性质得 2 235,29. EZ EX EY DZ DX DY =-+==+= 又因Z 是 ,X Y 的线性函数，且 ,X Y 是相互独立的正态随机变量，故Z 也为正态随机变量，又因正态分布完全由其期 望和方差确定，故知()~5,9Z N ，于是，Z 的概率密度为 ()()2 529 , .z Z f z z --?=-∞<<+∞ 【解毕】 【寓意】 本题主要考查二点内容，一是独立正态分布的线性组合仍为正态分布；其二是正态分布完全由其期望和方差决定. 例4.2.9 假设随机变量Y 服从参数为1λ =的指数分布，随机变量 0, ,1, . k Y k X Y k ≤?=?>?若若 ()1,2k = （1） 求 1X 和2X 的联合概率分布； （2） 求()12E X X +. 【解】 显然，Y 的分布函数为 ()1, 0,0, 0. y e y F y y -?->=? ≤? 10, 11 1.Y X Y ≤?=?>?若，，若 2 0, 21 2.Y X Y ≤?=?>?若，，若 （1） ()12X X +有四个可能取值：()()()()0,0,0,1,1,0,1,1,且 ()()()()()()()()()()()()()()121121212120,01,21 11,0,11,20, 1,01,212 21,1,11,22 P X X P Y Y P Y F e P X X P Y Y P X X P Y Y P Y F F e e P X X P Y Y P Y --===≤≤=≤==-===≤>====>≤=<≤=-=-===>>=>()2 12. F e -=-= 于是得到 1X 和2X 的联合分布律为 （3） 显然，12,X X 的分布律分别为 1X 0 1 2X 0 1 P 1 1e -- 1e - P 21e -- 2e - 因此 1212,.EX e EX e --== 故 ()121212.E X X EX EX e e --+=+=+ 【解毕】 【技巧】 本题中若不要求求X 与Y 的联合分布律，也可直接求出()12E X X +，这是因为 ()()()1111011.EX P Y P Y P Y e -=?>+?≤=>= 而 222,EX PY e -=>= 因此 ()121212.E X X EX EX e e --+=+=+ 不仅如此，我们还能求 12,X X 其他函数的期望.例如求()12E X X ，此时，由于 12 1, 2,0 .Y X X >?=??若， 其他 故 ()()()()21212022.E X X P Y P Y P Y e -=?>+?≤=>= 例4.2.10 设随机变量 (),X Y 服从二维正态分布，其密度函数为 ()()221 2 1,2x y f x y e π -+= 求随机变量Z = 的期望和方差. 【思路】 利用随机变量函数的期望的求法进行计算. 【解】 由于Z = ，故 ( )2 2 2 ,1 . 2x y EZ E f x y dxdy dxdy π +∞-∞-∞+∞+--∞-∞ === ?? ?? 令cos , sin .x r y r θθ=?? =? ，则 222 2 22 2 200 02 1 1222 |r r r r EZ d re r re e dr e dr π θ ππ π+∞ +∞- --+∞+∞ - ??= =-+?? ???? = = ? ??? 而 ()()() 2 22 22222 22 22 2 2 1 21 22 2. x y r r EZ E X Y x y e dxdy d r e rdr re dr π πθπ++∞+∞ - -∞-∞ +∞ +∞ - -=+= += ==????? 故 ()2 22.2 DZ EZ EZ π =-=- 【解毕】 【技巧】 本题也可先求出Z 的密度函数，再来求Z 的期望与方差，但由于求Z 的密度本身就是一繁琐的工作，因此我们借助随机变量函数的期望公式来求解，再此公式中并不需要知道Z 的分布，而只需直接计算一个二重积分即可.因此，对随机变量函数的期望计算问题，除非它是一线性函数，或者(),X Y 为离散型随机变量，一般我们往往不直接去求这个 函数的分布，而直接按随机变量函数的期望计算公式来求解. 例4.3.4 已知随机变量 X 与Y 分别服从正态分布()21,3N 和()20,4N ，且X 与Y 的相关系数12 XY ρ=- ，设,32 X Y Z = +求： （1）Z 的数学期望EZ 和方差DZ ； （2） X 与Z 的相关系数XZ ρ； （2） 问 X 与Z 是否相互独立？为什么?（1994年考研题） 【解】 （1）由数学期望的运算性质有 1 11.323 23X Y EZ E EX EY ??=+=+= ??? 由()()2,D X Y DX DY Cov X Y +=++有 () 22111 12,32323 21111 2,3232111 943 142 3. XY X Y DZ D D X D Y Cov X Y DX DY Cov X Y DX DY DX DY ρ????????=+=++ ? ? ? ? ????????=++??=++=+-= （2）因为 ()()()2,,3211 ,,3211 32111 3340, 322XY X Y Cov X Z Cov X Cov X X Cov X Y DX DX DY ρ? ?=+ ? ? ?=+=+?? =?+?-??= ??? 所以 ,0.XZ DX DZ ρ= = （3）因,X Y 均为正态，故,X Y 的线性组合Z 也是正态随机变量，由于二正态分布的独立性与相关性是等价的，所 以由0XZ ρ=知，X 与Z 相互独立. 【解毕】 【寓意】 本题考查的主要有两点，一是关于协方差，有性质 ()()()()(),,,,,Cov aX bY cU dV acCov X U adCov X V bcCov Y U bdCov Y V ++=+++另一点为： 对于二正态变量 X 与Y ，X 与Y 相互独立等价于0.XY ρ= 综例4.4.3 设随机变量 X 的概率密度为 (), 02,, 24, 0, .ax x f x cx b x < 其他 已知()32,13.4 EX P X =<<=求：（1）常数,,;a b c （2）X Ee . 【思路】 要确定三个常数,,,a b c 需三个条件，题设中已有两个条件，另一条件为 ()1,f x dx +∞ -∞ =? 而X Ee 只需利用随 机变量函数的期望计算公式即可. 【解】 （1）由概率密度的性质知，有()()24 2 1262.f x dx axdx cx b dx a c b +∞ -∞ = =++=++??? 又因为 ()()2 40 2 2356 6,83 EX xf x dx x axdx x cx b dx a c b +∞ -∞ ===++= ++??? 而 ()()()3 2 3 112 3 13435 .22 P X f x dx axdx cx b dx a c b =<<==++= ++??? 解方程 2621,856 62,3 3353.224 a c b a c b a c b ? ?++=? ?++=???++=?? 得 11 1,4,4 a b c = ==- （2） ()2 4 2 42144111 .424 X x x x x x Ee e f x dx e dx e dx e e +∞ -∞ ? ?= =+- ???= -+??? 【解毕】 随机变量的数字特征试题 答案 It was last revised on January 2, 2021 第四章 随机变量的数字特征试题答案 一、 选择（每小题2分） 1、设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则下列结论中正确的是（D ） A. E （X ）=，D （X ）= B. E （X ）=，D （X ）= C. E （X ）=2，D （X ）=4 D. E （X ）=2，D （X ）=2 2、设随机变量X 与Y 相互独立，且X~N （1，4），Y~N （0，1），令Y X Z -=，则D （Z ）= （C ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 6? 3、已知D （X ）=4，D （Y ）=25，cov （X ，Y ）=4，则XY ρ =（C ） A. 0.004 B. C. D. 4 4、设X ，Y 是任意随机变量，C 为常数，则下列各式中正确的是（D ） A ． D （X+Y ）=D （X ）+D （Y ） B ． D （X+C ）=D （X ）+C C ． D （X -Y ）=D （X ）-D （Y ） D ． D （X -C ）=D （X ） 5、设随机变量X 的分布函数为???? ???≥<≤-<=4, 14 2,12 2, 0)(x x x x x F ，则E(X)=（D ） A ． 31 B ． 21 C ．2 3 D ． 3 6、设随机变量X 与Y 相互独立，且)61,36(~B X ，)3 1 ,12(~B Y ，则)1(+-Y X D = （C ） A ． 34 B ． 37 C ． 323 D ． 3 26 7、设随机变量X 服从参数为3的泊松分布，)31 ,8(~B Y ，X 与Y 相互独立，则 )43(--Y X D =（C ） A ． -13 B ． 15 C ． 19 D ． 23 8、已知1)(=X D ，25)(=Y D ，XY ρ=，则)(Y X D -=（B ） A ． 6 B ． 22 C ． 30 D ． 46 9、设)3 1 ,10(~B X ，则)(X E =（C ） A ． 31 B ． 1 C ． 3 10 D ． 10 10、设)3,1(~2N X ，则下列选项中，不成立的是（B ） A. E （X ）=1? B. D （X ）=3? C. P （X=1）=0 D. P （X<1）= 11、设)(X E ，)(Y E ，)(X D ，)(Y D 及),cov(Y X 均存在，则)(Y X D -=（C ） A ． )(X D +)(Y D B ． )(X D -)(Y D C ．)(X D +)(Y D -2),cov(Y X D ．)(X D +)(Y D +2),cov(Y X 12、设随机变量)2 1 ,10(~B X ，)10,2(~N Y ，又14)(=XY E ，则X 与Y 的相关系数 XY ρ=（D ） A ． B ． -0.16 C ． D ． 13、已知随机变量X 的分布律为 25 .025.012p P x X i -，且E （X ）=1?，则常数x =( B) A ． 2 B ． 4 C ． 6 D ． 8 14、设随机变量X 服从参数为2的指数分布，则随机变量X 的数学期望是（C ） A. B. 0 C. D. 2 15、已知随机变量X 的分布函数为F(x)=?? ?>--other x e x 00 12，则X 的均值和方差分别为（D ） 概率论与数理统计练习题 、选择题: 二、填空题: 1 4.设随机变量 X 的密度函数为f(x) e |x| ( x )，则E(X) 0 三、计算题： 1.袋中有5个乒乓球，编号为1 , 2, 3, 4, 5，从中任取3个，以X 表示取出的3个球中最大编 号，求E(X) 解：X 的可能取值为3, 4, 5 E(X) 3 丄 4 色 5 3 4.5 10 10 5 1/5 1/6 1/5 1/15 11/30 系 _____ 第四章 专业 ______ 班 _________ 随机变量的数字特征(一) 学号 1 ?设随机变量 X 的可能取值为0, 1, 相应的概率分布为 0.6,0.3 , .01，则 E(X) 0.5 2 .设X 为正态分布的随机变量，概率密度为 f(x) 2?2 e (x 1)2 2 8 ，贝U E(2X 1) ，则 E(X 3X 2) 116/15 1 ?设随机变量X ,且 E(X)存在，则 E(X)是 (A )X 的函数 (B )确定常数 随机变量 (D )x 的函数 2 .设X 的概率密度为 f(x) 1 x e 9 9 0 ，则 E( 9X) 3 ?设 x x e 9 dx 1 (B) 9 x x e 9dx (C ) (D ) 1 是随机变量, E( )存在，若 ￥，则 E() E() (B)罟 (C ) E() P(X 3) 1 10 ， P(X 4) C 5 3 10 P(X 5) § 10 2 ?设随机变量X 的密度函数为f(X ) 2 (1 %)0甘它1，求E(X) 0 其它 2 3?设随机变量X~N(,)，求E(|X I) (1) Y 1 e 2X ( 2)Y 2 max{ X, 2} 解：(1) E(Y) 2x x 1 e e dx 0 3 (2) EM) 2 x 2e dx xe 0 2 x dx 2 2e 2 3e 2 2 2 e (3) E(Y 3) 2 e x dx 2e x 0 2 dx 1 c 2 c 2 」 2 3e 2e 1 e 概率论与数理统计练习题 ________ 系 _______ 专业 ______ 班 ___________________学号 _________ 第四章 随机变量的数字特征(二) 、选择题: 解：E(X) X 2(1 x)dx 解： |x (x )2 1 — dx 令y 2 y I y |e 2dy 4 .设随机变量 X 的密度函数为f (x) x 0 ，试求下列随机变量的数学期望。 x 0 (3) Y min{ X,2} 2 2~ 2 o ye dy 第四章 随机变量的数字特征 一、填空题 1. 设随机变量X 服从参数为1的指数分布，则数学期望____________)(2=+-X e X E 。 2. 若随机变量X 服从均值为2，方差为2 σ的正态分布，且3.0)42(=< 概率论与数理统计练习题 系 专业 班 学号 第四章 随机变量的数字特征（一） 一、选择题： 1．设随机变量X ，且()E X 存在，则()E X 是 [ B ] （A ）X 的函数 （B ）确定常数 （C ）随机变量 （D ）x 的函数 2．设X 的概率密度为910()9 00 x e x f x x -?≥?=?? 第四章 随机变量的数字特征试题答案 一、选择（每小题2分） 1、设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则下列结论中正确的是（D ） A. E （X ）=，D （X ）=? B. E （X ）=，D （X ）= C. E （X ）=2，D （X ）=4? D. E （X ）=2，D （X ）=2 2、设随机变量X 与Y 相互独立，且X~N （1，4），Y~N （0，1），令Y X Z -=，则D （Z ）=? （??C?） A. 1 ? B. 3 C. 5? D. 6? 3、已知D （X ）=4，D （Y ）=25，cov （X ，Y ）=4，则XY ρ =（C ） A. 0.004? B. ? C. ? D. 4 4、设X ，Y 是任意随机变量，C 为常数，则下列各式中正确的是（?D ） A ． D （X+Y ）=D （X ）+D （Y ） ?B ． D （X+C ）=D （X ）+C C ． D （X-Y ）=D （X ）-D （Y ） ?D ． D （X-C ）=D （X ） 5、设随机变量X 的分布函数为???? ???≥<≤-<=4, 14 2,12 2, 0)(x x x x x F ，则E(X)=（D ） A ． 31 ?B ． 21 C ．2 3 ?D ． 3 6、设随机变量X 与Y 相互独立，且)61,36(~B X ，)3 1 ,12(~B Y ，则)1(+-Y X D =（C ） A ． 34 ? B ． 37 C ． 323 ? D ． 3 26 7、设随机变量X 服从参数为3的泊松分布，)3 1 ,8(~B Y ， X 与Y 相互独立，则)43(--Y X D =（C ） A ． -13 ? B ． 15 C ． 19 ? D ． 23 8、已知1)(=X D ，25)(=Y D ，XY ρ=，则)(Y X D -=（B ） A ． 6 ?B ． 22 C ． 30 ?D ． 46 9、设)3 1,10(~B X ，则)(X E =（C ） A ． 31 ?B ． 1 C ． 3 10 ?D ． 10 10、设)3,1(~2 N X ，则下列选项中，不成立的是（B ） A. E （X ）=1? B. D （X ）=3? C. P （X=1）=0? D. P （X<1）= 11、设)(X E ，)(Y E ，)(X D ，)(Y D 及),cov(Y X 均存在，则)(Y X D -=（C ） A ． )(X D +)(Y D ?B ． )(X D -)(Y D 第四章随机变量的数字特征试题答案 一、 选择（每小题2分） 1、设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则下列结论中正确的是（D ） A.E （X ）=0.5，D （X ）=0.5?B.E （X ）=0.5，D （X ）=0.25 C.E （X ）=2，D （X ）=4?D.E （X ）=2，D （X ）=2 2 Y X -=，则34） A C 5A 6、)1= （C ） A ．3 4?B ．3 7C ． 323?D ．3 26 7、设随机变量X 服从参数为3的泊松分布，)3 1 ,8(~B Y ，X 与Y 相互独立，则 )43(--Y X D =（C ） A ．-13? B ．15 C ．19? D ．23 8、已知1)(=X D ，25)(=Y D ，XY ρ=0.4，则)(Y X D -=（B ） A ．6? B ．22 C ．30? D ．46 9、设)3 1 ,10(~B X ，则)(X E =（C ） A ．31? B ．1 C ．3 10?D ．10 10、设)3,1(~2N X ，则下列选项中，不成立的是（B ） A.E （X ）=1? B.D （X ）=3? C.P （X=1）=0? D.P （X<1）=0.5 11 A ．C ．12、XY ρ= （D 13x =(B) A ． 14、（C ） A.-15、为（A ．C ．21)(,41)(== X D X E ?D ．4 1 )(,21)(==X D X E 16、设二维随机变量（X ，Y ）的分布律为 则)(XY E =（B ） A ．9 1-?B ．0 C ．9 1?D ．3 1 17、已知随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则随机变量X 的方差为（D ） A 18，0.5)，则A 19，则X A 20， 则21（B A C 22、设n X X X ,,,21 是来自总体),(2σμN 的样本，对任意的ε>0，样本均值X 所满足的切比雪夫不等式为（B ） A ．{}2 2 εσεμn n X P ≥ <-?B ．{} 22 1ε σεμn X P -≥<- C ．{}2 2 1ε σεμn X P - ≤≥-?D ．{}2 2 εσεμn n X P ≤ ≥- 第三章 随机变量的数字特征答案 一、1、35；2、 6175；;259,59,259, 563、σ σμ1 , =±=b a ； 4、()(),2 1212 1211 )(2 2 2 212111 2??? ? ??-- ---+-? = ? = = x x x x e e e x πππ ? ），（～所以2 1 1N ξ ，2 1 ,12 = ===σ ξμξD E 5、2 1-；6.a=2,b=0,或a=-2,b=2；32)(=ξE 或31 ； 7、()()125,01022===+=+=+=+a D a b a D b a b aE b a E ξξξξ 所以2,5 1 2,51=-=-== b a b a 或 8、()()6.2022,2=++=++=+ηξρηξηξηξηξξηD D D D Cov D D D ()()4.232,2=-+=-+=-ηξρηξηξηξηξξηD D D D Cov D D D 9、148，57； 10、()()()()n D a E D a E i i 2 2 ,,,σξ ξσξξ= ===所以 二、1、C 2、B 3、C 4、B 5、C 三、1、,2.03.023.004.02-=?+?+?-=ξE ()8.23.023.004.02222 2=?+?+?-=ξE ()() ()() ( )04.114,412,4.1353532 222=-==-=+=+ξξξξξξE E D D E E 2、ξ~[]10,0U ，()32512010,5210 02 =-==+=ξξD E ， 3 35=ξD 3、4)(,1)2 (==ξξ D D ，则 1)(,4)1(==-ξξ E D 所以0)1(=-ξE 所以 ()()()() 2 2 2111404E D E ξξξ-=-+-=+= 4、()()()()()()32323223,2D D D D Cov ξηξηξηξη-=+-=+-+- ()( )941225.6D D ξηρ=+-= 随机变量的数字特征 讨论随机变量数字特征的原因 （1） 在实际问题中，有的随机变量的概率分布 难确定，有的不可能知道，而它的一些数字特征较易确定。 （2）实际应用中，人们更关心概率分布的数字特征。 （3）一些常用的重要分布，如二项分布、泊松 分布、指数分布、正态分布等，只要知道了它们的某些数字特征，就能完全确定其具体的分布。 §4.1 数学期望 一、数学期望的概念 1.离散性随机变量的数学期望 例4．1：大学一年级某班有32名同学，年龄情况如下： 解： 平均年龄=1 4810721 224218201019718217+++++?+?+?+?+?+? 25.19= 把上式改写为： 32 12232421328203210193271832217?+?+?+?+?+? 设X 为从该班任选一名同学的年龄，其概率分布为 定义4.1：设离散型随机变量X 的分布列为： 若 ∑k k k p x 绝对收敛（即 +∞ <=∑∑k k k k k k p x p x ），则称它为X 的 数学期望或均值（此时，也称X 的数学期望存在），记为E(X),即 若 ∑k k k p x 发散，则称X 的数学期望不存在。 说明： （1）随机变量的数学期望是一个实数，它体现了随机变量取值的平均； （2） 要注意数学期望存在的条件： ∑k k k p x 绝对 收敛； （3） 当X 服从某一分布时，也称某分布的数学 期望为EX 。 ∑=k k k p x EX 例4．2：设X服从参数为p的两点分布，求EX EX=p 例4．3：设X~B(n,p)，求EX EX=np 例4．4：设X服从参数为λ的泊松分布，求EX EX=λ 2.连续型随机变量的数学期望 定义4.2: 设连续型随机变量X 的概率密度为f(x).若积分 ?+∞∞-dx x xf) ( 绝对收敛，（即?∞∞ - +∞ < dx x f x) ( ），则称它 为X的数学期望或均值（此时，也称X的数学期望存在），记为E(X),即 ) ( ) (?∞∞- =dx x xf X E 若?∞∞ - +∞ = dx x f x) ( ， 则称X的数学期望不存在。 例4.5:设X服从U[a,b],求E(X)。 EX= 2b a+ 例4.6:设X服从参数为λ的指数分布，求EX EX=λ 例4.7: ) , ( ~2σ μ N X，求EX §2.3.1随机变量的数字特征（二） 学习目标 1．熟练掌握均值公式及性质． 2．能利用随机变量的均值解决实际生活中的有关问题． 学习过程 【任务一】双基自测 1．分布列为 的期望值为 ( ) A ．0 B ．－1 C ．－13 D ．12 2．设E (ξ)＝10，则E (3ξ＋5)等于 ( ) A ．35 B ．40 C ．30 D ．15 3．某一供电网络，有n 个用电单位，每个单位在一天中使用电的机会是p ，供电网络中一天平均用电的单位个数是 ( ) A ．np (1－p ) B ．Np C ．n D ．p (1－p ) 4．两封信随机投入A 、B 、C 三个空邮箱中，则A 邮箱的信件数ξ的数学期望E (ξ)＝________ 【任务二】题型与解法 题型一 二项分布的均值 例1：一次单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中仅有一个选项正确．每题选对得5分，不选或选错不得分，满分 100分．学生甲选对任意一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从各选项中随机地选择一个．分别求学生甲和学生乙在这次测验中成绩的均值． 跟踪训练1英语考试有100道选择题，每题4个选项，选对得1分，否则得0分．学生甲会其中的20道，学生乙会其中的80道，不会的均随机选择．求甲、乙在这次测验中得分的期望． 题型二超几何分布的均值 例2一名博彩者，放6个白球和6个红球在一个袋子中，定下规矩： 凡是愿意摸彩者，每人交1元作为手续费，然后可以一次从袋中摸出5个球，中彩情况如下表： 试计算：（1）摸一次能获得20元奖品的概率； （2）按摸10 000次统计，这个人能否赚钱？如果赚钱，则净赚多少钱？ 跟踪训练2厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品． （1）若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8，从中任意取出4件进行检验．求至少有1件是合格品的概率； 第四章随机变量的数字特征 【基本要求】理解随机变量的数学期望与方差的概念，掌握它们的性质与计算方法；掌握计算随机变量函数的数学期望方法；掌握二项分布、泊松分布、正态分布和指数分布的数学期望和方差；了解协方差、相关系数、矩的概念、性质及计算方法。 【本章重点】数学期望与方差的概念、性质与计算方法；求随机变量函数的数学期望的方法；二项分布、泊松分布、正态分布和指数分布的数学期望和方差。 【本章难点】数学期望与方差的概念计算方法；随机变量函数的数学期望的计算方法；协方差、相关系数、矩的概念、性质及计算方法 【学时分配】7-9学时 分布函数:) x F≤ =——全面描述随机变量X取值的统计规律。但是，在实际问题中 P X ) ( (x 分布函数的确定并不是一件容易的事，而且有时我们也不需要知道分布函数，只需知道随机变量的某些数字特征就够了。例如： 评价粮食产量，只关注平均产量； 研究水稻品种优劣，只关注每株平均粒数； 评价某班成绩，只关注平均分数、偏离程度； 评价射击水平，只关注平均命中环数、偏离程度。 描述变量的平均值的量——数学期望， 描述变量的离散程度的量——方差。 §4.1 数学期望 教学目的：使学生理解掌握随机变量的数学期望的实际意义及概念，会计算具体分布的数学期望； 使学生理解掌握随机变量函数的数学期望的计算及数学期望的性质。 教学重点、难点：数学期望的概念及其计算；随机变量函数的数学期望的计算及数学期望的性质。 教学过程： (一) 数学期望的概念 先看一个例子:一射手进行打靶练习,规定射入 区域2e 得2分, 射入区域1e 得1分,脱靶即射入 区域0e 得0分.设射手一次射击的得分数X 是一个 e 0 随机变量，而且X 的分布律为P{X=k}=k p ,k=0,1,2 现射击N 次，其中得0分0a 次，得1分1a 次，得2分2a 次，0a +1a +2a =N.则他射击N 次得分的总和为0a 0+ 1a 1+ 2a 2,他平均一次射击的得分数为 ∑==?+?+?2 210210k k N a k N a a a ，因为当N 充分大时, 频率k p 概率稳定值 ??→?N a k 。 所以当N 充分大时, 平均数∑=??→?2 k k k p x x 稳定值 。 显然,数值∑=2 k k k p x 完全由随机变量X 的概率分布确定,而与试验无关，它反映了平均数的大小。 定义: 1.离散型随机变量的数学期望:设离散型随机变量X 的分布律为{}k k P X x p ==，1,2,3k =…若级数1 k k k x p ∞ =∑绝对收敛，则称级数1 k k k x p ∞ =∑为随机变量X 的数学期望，记为()E X ,即()E X ＝1 k k k x p ∞ =∑。 2.连续型随机变量的数学期望:设连续型随机变量X 的密度函数为()f x ，若积分()xf x dx ∞ -∞ ?绝对 收敛，则称积分()xf x dx ∞-∞ ?的值为随机变量X 的数学期望，记为()E X 。即()E X ＝()xf x dx ∞ -∞ ?。 数学期望简称期望，又称为均值。 (二) 数学期望的计算 关键是：求出随机变量的分布律或者密度函数。 1、离散型——若 则()E X ＝1k k k x p ∞ =∑ （绝对收敛） 概率论与数理统计练习题 系 专业 班 姓名 学号 第四章 随机变量的数字特征（一） 一、选择题： 1．设随机变量X ，且()E X 存在，则()E X 是 [ B ] （A ）X 的函数 （B ）确定常数 （C ）随机变量 （D ）x 的函数 2．设X 的概率密度为910()9 00 x e x f x x -?≥?=?? 第四章 随机变量的数字特征 ㈠ 数学期望 表征随机变量取值的平均水平、“中心”位置或“集中”位置． 1、数学期望的定义 (1) 定义 离散型和连续型随机变量X 的数学期望定义为 {}?????==?∑∞ ∞ - d )( )()( ， ， 连续型离散型x x xf x X x X k k k P E 其中Σ表示对X 的一切可能值求和．对于离散型变量，若可能值个数无限，则要求级数绝对收敛；对于连续型变量，要求定义中的积分绝对收敛；否则认为数学期望不存在． ①常见的离散型随机变量的数学期望 1、离散型随机变量的数学期望 设离散型随机变量的概率分布为 ，若，则称级数为随 机变量 的数学期望（或称为均值），记为 , 即 2、两点分布的数学期望 设 服从0—1分布，则有 ，根据定义， 的数学期望为 . 3、二项分布的数学期望 设 服从以 为参数的二项分布， ，则 。 4、泊松分布的数学期望 设随机变量 服从参数为的泊松分布，即，从而有 。 ①常见的连续型随机变量的数学期望 1)均匀分布 设随机变量ξ服从均匀分布，ξ～U [a，b] (a 第十章 随机变量分布及数字特征 10.1 随机变量 10.2 离散型随机变量分布 1、学时：2学时 2、过程与方法： 结合实例介绍随机变量概念，离散型随机变量的概率分布、分布列、分布函数、概率及性质. 3、教学要求： （1）掌握随机变量及离散型随机变量的概率分布、分布列、分布函数、概率及性质 （2）几种常见概率分布 教学重点：离散型随机变量的概率分布、分布列、分布函数、概率及性质 教学难点：离散型随机变量的分布函数 教学形式：多媒体讲授 教学过程： 一、新课教学内容 10.1 随机变量 概率论与数理统计是从数量上来研究随机现象的统计规律，因此我们必须把随机事件数量化． 在随机试验中，结果有多种可能性，试验结果样本点很多可以与数值直接发生关系，如产品检验，我们关心的是抽样中出现的废品件数．商店销售我们重视每天销售额，利润值．在投骰子中是每次出现的点数等． 但是也有不少试验结果初看与数字无直接关系，但我们可通过如下示性函数使之数值化，比如，产品合格与不合格令???=01ξ 不合格 合格 事件10A A X ?=??发生与否用 不发生发生 这些事件数值化后，数量是会 变化的称为变量．变量取值机会有大有小所以叫随机变量 ． 定义1：在某一随机试验中，对于试验的每一个样本点ω都唯一对应一个数，这样依不同样本点ω而取不同值的点叫随机变量．通常用希腊字母或大写英文字母X 、Y 、Z 等表示．用小写英文字母i i y x 、表示随机变量相应于某个试验结果所取的值． 举例： 1°投骰子出现的点数用随机变量X 表示，X 可取值为{ }，，，，，，654321 2°电信局话务台每小时收到呼叫次数用Y 表示，Y 可取值为{}Λ210，， 3°总站每五分钟发某一路车，乘客在车站候车时间{} 50≤≤=t t ξ 4°某一电子零件的寿命用{} 30000≤≤=t t T 按其取值情况可以把随机变量分成两类： （1）离散型随机变量：取有限个或无限可列个值．如例1°、2°． （2）非离散型随机变量：可在整个数轴上取值或取实数某部分区间的全部值．非离散型随机变量范围较广，本书只研究其中常遇见的一种称为连续型随机变量如例3°、4°． 例1 设有2个一级品，3个二级品的产品，从中随机取出3个产品，如果用X 表示取出产品中一级品的个数，求X 取不同值时相应概率． 解 X 可取值为{}210，， 101)0(3533===C C X P 53)1(352312===C C C X P 103 )2(35 1 322==C C C X P 例2 抛一枚匀称的硬币，引进一变量Y 令???=0 1Y 出现反面 出现正面求出现正面与反面概率： 解 21)0(= =Y P 2 1)1(==Y P 10.2 离散型随机变量分布 10.2.1 离散型随机变量的概率分布 例1 某汽车公司销售汽车数据表示在过去100天营业时间是有24天每天销售汽车是为0辆，38天 第12讲 随机变量的数字特征习题课 教学目的：掌握随机变量的数字特征，了解切比雪夫不等式和大数定律。 教学重点：理解数学期望和方差的概念，掌握它们的性质与计算，熟悉常用分布的数 学期望和方差。 教学难点：随机变量函数的数学期望。 教学时数：2学时 教学过程： 一、知识要点回顾 1. 随机变量X 的数学期望()E X 2. 对离散随机变量 ()()i i i E X x p x =∑ 3. 若1,2,i =，则假定这个级数绝对收敛，否则就没有数学期望。 4. 对连续随机变量 ()()E X xf x dx +∞ -∞ =? 5. 假定这个广义积分绝对收敛，否则就没有数学期望。 6. 随机变量X 的函数()g X 的数学期望[()]E g X ，其中()g X 为实函数。 7. 对离散随机变量 [()]()()i i i E g X g x p x =∑ 8. 对连续随机变量 [()]()()E g X g x f x dx +∞ -∞ =? 9. 假定所涉及的无穷级数绝对收敛，所涉及的广义积分绝对收敛。 10. 二维随机变量(,)X Y 的函数(,)g X Y 的数学期望[(,)]E g X Y ，其中(,)g X Y 为二元 实函数。 11. 对离散随机变量 [(,)](,)(,)i j i j i j E g X Y g x y p x y =∑∑ 12. 对连续随机变量 [(,)](,)(,)E g X Y g x y f x y dxdy +∞ +∞ -∞ -∞ =? ? 13. 假定所涉及的无穷级数绝对收敛，所涉及的广义积分绝对收敛。 14. 数学期望的性质（假定所涉及的数学期望都存在） 15. (), ()E c c c =为常数 16. ()(), ()E cX cE X c =为常数 第四章 随机变量的数字特征 1． 解：令A 表示一次检验就去调整设备的事件，设其概率为p ，T 表示每次检验发现的次品个数，易知(10,0.1)T B ~，且(4,)X B p ~。 得， 0010119 1010(){1}1{1}1(0.1)(0.9)(0.1)(0.9)0.2639p P A P T P T C C ==>=-≤=--=。 因为(4,)X B p ~，得()4 1.0556E X p =?=。 2． 解：1500 3000 2220 1500 ()()(3000)5001000150015001500x x E X xf x dx dx x dx +∞ -∞ -= =+-=+=?? ?。 3． 解：1 ()(2)0.400.320.30.2k k i E X x p ∞ == =-?+?+?=-∑； 2 21 (35)(35)170.450.3170.313.4k k i E X x p ∞ =+=+=?+?+?=∑ 22(35)3()513.4E X E X +=+=。 4．解：（1）0 ()(2)2()2 ()22(| )2x x x E Y E X E X xf x dx x e dx xe e dx +∞ +∞ +∞ --+∞ --∞ ==== =-+=???. （2）223300 1 1 33 ()()()|X x x x E Y E e e f x dx e dx e +∞ +∞ ----+∞ -∞ == = =-=??. 5．解：（1）3 33 1 1 1 ()10.420.230.42i i i ij i i j E X x p x p ? ==== ==?+?+?=∑∑∑. 3 3 3 1 1 1 ()10.300.410.30j j j ij j j i E Y y p y p ?======-?+?+?=∑∑∑. （２） 7 1 11 ()10.2(0.50.1)...0.50.10.1315i i i E Z z p ===-?+-?++?+?=-∑。 2 2 1 ()40.400.340.3 2.8 k k i E X x p ∞ ===?+?+?=∑ 随机变量的数字特征章节测试题 一、选择题(本大题共15个小题，每小题2分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知随机变量X 满足D (X )＝2，则D (3X ＋2)＝( ) A ．2 B ．8 C ．18 D ．20 2．设服从二项分布X ～B (n ，p )的随机变量X 的均值与方差分别是15和45 4，则n 、p 的 值分别是( ) A ．50，1 4 B ．60，14 C ．50，3 4 D ．60，3 4 . 3．某次语文考试中考生的分数X ～N (90,100)，则分数在70～110分的考生占总考生数的百分比是( ) A ．68.26% B ．95.44% C ．99.74% D ．31.74% 4．某市期末教学质量检测，甲、乙、丙三科考试成绩近似服从正态分布，则由如图曲线可得下列说法中正确的是（ ） Ａ．甲学科总体的方差最小 Ｂ．丙学科总体的均值最小 Ｃ．乙学科总体的方差及均值都居中 Ｄ．甲、乙、丙的总体的均值不相同 5．设随机变量X 和Y 独立同分布，若记随机变量,=-=+U X Y V X Y ，则随机变量U 与V 必然（ ） Ａ．不独立 Ｂ．独立 Ｃ．相关系数不为零 Ｄ．相关系数为零 6．若X 是离散型随机变量，P (X ＝x 1)＝23，P (X ＝x 2)＝13，且x 1＜x 2.又已知E (X )＝4 3，D (X ) ＝2 9 ，则x 1＋x 2的值为( ) A.53 B.73 C.11 3 D ．3 7．已知X 为随机变量，且E (X ), D (X )均存在，则下列式子不成立的是( ) .[()]() .[()]2() .[()]0.[()]() =+=-==A E E X E X B E X E X E X C E X E X D D E X E X 8．设随机变量X 服从[,]a b 上的均匀分布，若1 ()2,()3==E X D X ，则均匀分布中的常 数,a b 的值分别为( ) .1,3.1,2.2,3.2,2========A a b B a b C a b D a b 第三章、随机变量的数字特征 一、选择题： 1．设随机变量X 的分布函数为4 0,1(),011,1x F x x x x ? ，则EX= （ C ） A ．140x dx ? B ．15 14 x dx ? C ．1 4 4x d x ? D ．1 40 1 x dx xdx +∞ + ?? 2．设X 是随机变量，0x 是任意实数，EX 是X 的数学期望，则 （ B ） A ．220()()E X x E X EX -=- B ．22 0()()E X x E X EX -≥- C ．220()()E X x E X EX -<- D ．2 0()0E X x -= 3．已知~(,)X B n p ，且EX=2.4，EX=1.44，则参数,n p 的值为 （B ） A ．n = 4，p = 0.6 B ．n = 6，p = 0.4 C ．n = 8，p = 0.3 D ．n = 24，p = 0.1 4．设X 是随机变量，且EX a =，2 EX b =， c 为常数，则D （CX ）=（ D ） A ．2 ()c a b - B ．2 ()c b a - C ．22()c a b - D ．22 ()c b a - 5．设随机变量X 在[a ，b ]上服从均匀分布，且EX=3，DX=4/3，则参数a ，b 的值为 （B ） A ．a = 0，b = 6 B ．a = 1，b = 5 C ．a = 2，b = 4 D ．a = -3，b = 3 6．设ξ服从指数分布()e λ，且D ξ=0.25，则λ的值为 （ A ） A ．2 B ．1/2 C ．4 D ．1/4 7．设随机变量ξ~N （0，1），η=2ξ+1 ，则 η~ （ A ） A ．N （1，4） B ．N （0，1） C ．N （1，1） D ．N （1，2） 8．设随机变量X 的方 差DX =2 σ，则()D aX b += （ D ） 1 第8章 随机变量与数字特征 一、填空题 ⒈ 设随机变量X 的概率分布为 则a = . ⒉ 设X 服从区间[1，5]上的均匀分布，当5121<< 随机变量的数字特征历年真题 数学一： 1（87，2分） 已知连续型随机变量X 的概率密度为 1 22 1 )(-+-= x x e x f π 则EX = ，DX = 。 2（89，6分） 设随机变量X 与Y 独立，且X~N （1，2），Y~N （0，1），试求随机变量Z =2X -Y +3的概率密度函数。 3（90，2分） 已知随机变量X 服从参数为2的泊松分布，且胡机变量Z =3X -2，则EZ = 。 4（90，6分） 设二维随机变量（X ，Y ）在区域D ：0随机变量的数字特征试题答案
四、随机变量的数字特征(答案)
随机变量的数字特征
四、随机变量的数字特征(答案)
随机变量的数字特征试题答案
第四章 随机变量的数字特征试题答案
第三章 随机变量的数字特征答案
随机变量的数字特征
随机变量的数字特征教案
随机变量的数字特征
随机变量的数字特征(答案)
随机变量的数字特征归纳
随机变量分布及数字特征
随机变量数字特征习题课
第四章 随机变量的数字特征课后习题参考答案
第四章随机变量的数字特征单元测试题
第三章、随机变量的数字特征
随机变量与数字特征练习题及答案
随机变量的数字特征历年真题数学