第四章 随机变量的数字特征总结

第四章 随机变量的数字特征

㈠ 数学期望 表征随机变量取值的平均水平、“中心”位置或“集中”位置． 1、数学期望的定义

(1) 定义 离散型和连续型随机变量X 的数学期望定义为

{}?????==?∑∞

∞

- d )( )()( ，

，

连续型离散型x x xf x X x X k

k k P E 其中Σ表示对X 的一切可能值求和．对于离散型变量，若可能值个数无限，则要求级数绝对收敛；对于连续型变量，要求定义中的积分绝对收敛；否则认为数学期望不存在． ①常见的离散型随机变量的数学期望

1、离散型随机变量的数学期望

设离散型随机变量的概率分布为

，若，则称级数为随

机变量

的数学期望（或称为均值），记为

, 即

2、两点分布的数学期望

设服从0—1分布，则

有

，根据定

义，的数学期望为

.

3、二项分布的数学期望

设服从以

为参数的二项分布，，则。

4、泊松分布的数学期望

设随机变

量

服从参数

为的泊松分布，

即

，从而有

。

①常见的连续型随机变量的数学期望

1)均匀分布

设随机变量ξ服从均匀分布，ξ～U [a ，b ] (a

= 则

=

∴ E (ξ)=(a+b )/2． 即数学期望位于区间的中点．

2)正态分布

设随机变量ξ服从正态分布，ξ～N(μ,σ2)，它的概率密度函数为:

(σ>0，- <μ<+ )

则

令

得

∴ E(ξ)=μ .

3)指数分布

设随机变量服从参数为的指数分布，的密度函数为

，则.

(2) 随机变量的函数的数学期望设)

(x

g

y=为连续函数或分段连续函数，而X是任一随机变量，则随机变量)

(X

g

Y=的数学期望可以通过随机变量X的概率分布直接来求，而不必先求出Y的概率分布再求其数学期望；对于二元函数)

,

(Y

X

g

Z=，有类似的公式：

(){}

?

?

?

?

?=

=

=

?

∑

∞

∞

．

；

（连续型）

离散型

－

d)

(

)

(

)

(

)

(

x

x

f

x

g

x

X

x

g

X

g

Y

k

k

k

P

E

E

()

(){}()

()()()

?

?

?

?

?=

=

=

=

??

∑∑

∞

∞

-

∞

∞

-

．

；

连续型

离散型

d

d

,

,

,

,

,

y

x

y

x

f

y

x

g

y

Y

x

X

y

x

g

Y

X

g

Z

i j

j

i

j

i

P

E

E

设(,)

X Y为二维离散型随机变量，其联合概率函数(,),,1,2,,

i j ij

P X a Y b p i j

====

如果级数

(,)

i j ij

j i

g a b p

∑∑

绝对收敛，则(,)

X Y的函数(,)

g X Y的数学期望为

[(,)](,)

i j ij

j i

E g X Y g a b p

=∑∑

；特别地

();()

i ij j ij

i i j i

E X a p E Y b p

==

∑∑∑∑

.

设X为连续型随机变量，其概率密度为()

f x，如果广义积分()()

g x f x dx

+∞

-∞

?绝对收敛，则X的函数()

g X的数学期望为[()]()()

E g X g x f x dx

+∞

-∞

=?．

设(,)X Y 为二维连续型随机变量，其联合概率密度为(,)f x y ，如果广义积分

(,)(,)g x y f x y dxdy

+∞+∞-∞

-∞

??

绝对收敛，则(,)X Y 的函数(,)g X Y 的数学期望为

[(,)](,)(,)E g x y g x y f x y dxdy

+∞+∞-∞

-∞

=

??

； 特别地

()(,)E x xf x y dxdy

+∞+∞-∞

-∞

=

??

,

()(,)E Y yf x y dxdy

+∞+∞-∞

-∞

=

??

.

注：求E(X,Y)是无意义的，比如说二维（身高，胖瘦）的数学期望是无意义的，但是二维随机变量函数Z= E(X,Y)是有意义的，他表示的是函数下的另一个一维意义。

2、数学期望的性质

(1) 对于任意常数c ，有c c =E ． 例E[E(X)]=E(X) (2) 对于任意常数λ，有X X E E λλ=．例：E(aX+b)=aE(X)+b

(3) 对于任意m

X X X ,,,21 ，有()m m X X X X X X E E E E +++=+++ 2121．

(4) 如果m

X

X X ,,,21 相互独立，则()m

m

X

X X X

X X E E E E 2121=

．(注：相互独立

有后面的结论成立，但这是单向性的，即不能有结论推出独立) ㈡ 方差和标准差 表征随机变量取值分散或集中程度的数字特征． 1、方差的定义 称2

2

2

)()(X X

X X X E E E E D -=-=

为随机变量X 的方差，称X D =

σ为随机变量X 的标准差．随机变量X 的方差有如下计算公式：

(){}()???????-=-=?∑∞∞

-．；连续型离散型 )( d )( )( 2

2x x f X x x X X x X k k k E P E D (4.3)

2、常见分布的方差

(1)两点分布

设ξ～(0-1)，其概率分布为: P (ξ=1)=p ， P (ξ=0)=1-p =q (0

设ξ～B (n ,p )， 其概率分布为

:

(k =0, 1, 2,…,n ) (0

,

(此处运用组合数公式

)

=

=,

(运用二项分布的数学期望公式知)

E(ξ2)=np(n-1)p+np ,

∴D(ξ)=E(ξ2)-(E(ξ))2=np(1-p)．

(3)均匀分布

设ξ～U[a, b] ( a< b)，它的概率密度函数为:

E(ξ)=(a+b)/2 ,

.

∴D(ξ)=E(ξ2)-(E(ξ))2=(b-a)2/12.

(4)正态分布

设ξ～N(μ, σ2),它的概率密度函数为: (σ>0，-∞<μ<+∞)E(ξ)=μ

(令t=(x-μ)/σ)

=σ2∴D(ξ)=σ2.

(5)指数分布

2、方差的性质

(1) 0≥X D ，并且0=X D 当且仅当X （以概率１）为常数；

(2) 对于任意实数λ，有X X D D 2

λλ=；（方差对随机变量前面的常数具有平方作用） (3) 若m

X

X X ,,,21 两两独立或两两不相关，则

()m

m

X

X

X X

X

X D D D D +++=

+++ 2

12

1．

（4）D(X)≥0，D(X)=0的充要条件是P ｛X=E （X ）｝=1或者P{X=C}=1. (5)设X 是一个随机变量，c 是常数，则D(X+c)=D(X).例：D (kξ+c )= k 2D (ξ)； ㈢ 切比雪夫不等式

我们知道方差)(X D 是用来描述随机变量X 的取值在其数学期望)(X E 附近的离散程度的，因此，对任意的正数ε，事件ε≥-)(X E X 发生的概率应该与)(X D 有关，而这种关系用数学形式表示出来，就是下面我们要学习的切比雪夫不等式。

定理1 设随机变量X 的数学期望)(X E 与方差)(X D 存在 ，则对于任意正数ε，不等式 2

)

(])([ ε

εX D X E X P ≤≥- （1）

或

2

)

(1])([ ε

εX D X E X P -

≥<- （2）

都成立。不等式（1）和（2）称为切比雪夫不等式。

切比雪夫不等式给出了在随机变量X 的分布未知的情况下，只利用X 的数学期望和方差即可对X 的概率分布进行估值的方法，这就是切比雪夫不等式的重要性所在。

例1 已知正常男性成人血液中，每毫升含白细胞数的平均值是7300，均方差是700，利用切比雪夫不等式估计每毫升血液含白细胞数在9400~5200之间的概率。

解 设X 表示每毫升血液中含白细胞个数，则

700

)()(,7300)(==

=X D X X E σ

而}2100|7300{|1}2100|7300{|}94005200{≥--=≤-=≤≤X P X P X P 又9

12100

700}2100|7300{|2

2=

≤

≥-X P 所以9

8}94005200{≥

≤≤X P

㈢ 协方差和相关系数

考虑二维随机向量),(Y X ，其数字特征包括每个变量的数学期望和方差，以及X 和Y 的联合数字特征——协方差和相关系数．

1、协方差和相关系数的定义

(1) 协方差 随机变量X 和Y 的协方差定义为

Y X XY Y Y X X Y X E E E E E E -=--=))((),cov(，

其中

{}()()()???

?

???===??∑∑∞∞-∞

∞-．；连续型离散型 d d ,

, y x y x xyf y Y x X y x XY i j j i j i P E (2) 相关系数 随机变量X 和Y 的相关系数定义为

()y

x Y

X XY Y

X Y X σ

σρE E E D D -=

=

,cov ．

2、协方差的性质 设随机变量X 和Y 的方差存在，则它们的协方差也存在． (1) 若X 和Y 独立，则0),cov(=Y X ；对于任意常数c ，有0),cov(=c X ． (2) ),cov(),cov(X Y Y X =．

(3) 对于任意实数a 和b ，有),cov(),cov(Y X ab bY aX =． (4) 对于任意随机变量Z Y X ,,，有

．

， ),cov(),cov(),cov( ),cov(),cov(),cov(Z X Y X Z Y X Z Y Z X Z Y X +=++=+

(5) 对于任意X 和Y ，有()Y X Y X D D ≤,cov ．（等号成立，且当仅当存在常数啊，a ，b 使

P{Y=a+bX}=1成立）

(6) 对于任意X 和Y ，有),cov(2)(Y X Y X Y X ±+=±D D D ．

3、相关系数的性质 相关系数的如下三条基本性质，决定了它的重要应用．设ρ——X 和Y 的相关系数，,,,,2

22

121Y X Y X D D E E ====σσμμ

(1) 11≤≤-ρ．

(2) 若X 和Y 相互独立，则ρ=0；但是，当ρ=0时X 和Y 却未必独立． (3) 1=ρ的充分必要条件是X 和Y （以概率１）互为线性函数． (4)对随机变量x ，y ，下列事件等价：

①cov （X,Y ）=0;

②X 和Y 不相关；

③E(XY)=E(X)E(Y);

④D(X+Y)=D(X)+D(Y)

三条性质说明，随着变量X 和Y 之间的关系由相互独立到互为线性函数，它们的相关系数的绝对值

ρ从0增加到1，说明相关系数可以做两个变量统计相依程度的度量．

4、随机变量的相关性 假设随机变量X 和Y 的相关系数ρ存在．若ρ= 0，则称X 和Y 不相关，否则称X 和Y 相关．

(1) 若两个随机变量独立，则它们一定不相关，而反之未必；

(2) 若X 和Y 的联合分布是二维正态分布，则它们“不相关”与“独立”等价．

㈣ 矩 在力学和物理学中用矩描绘质量的分布．概率统计中用矩描绘概率分布．常用的矩有两大类：原点矩和中心矩．数学期望是一阶原点矩，而方差是二阶中心矩．

1、原点矩 对任意实数0≥k ，称k

k X E =α为随机变量Ｘ的k 阶原点矩，简称k 阶

矩．X E 1

=α．原点矩的计算公式为：

{}???????===?∑∞∞

-．；

连续型离散型 d )( )()( x x f x x X x X

k

i i k i k

k P E α 一阶原点矩是数学期望()E X ；

2、中心矩 称()k k X

X E E -=μ为随机变量Ｘ的k 阶中心矩．二阶中心矩是方差D(X)；

3.混合中心矩随机变量(,)X Y 的(,)k l 阶混合原点矩定义为()k

l

E X Y ；随机变量(,)X Y 的(,)

k l 阶混合中心矩定义为[(())(())]k

l

E X E X Y E Y --．(1,1)阶混合中心矩为协方差cov(,)X Y .

（四）常用分布的数字特征

9.1当X 服从二项分布(,)B n p 时， (),()(1)E X np D X np p ==-． 9.2 当X 服从泊松分布()p λ时， (),()E X D X λλ==， 9.3 当

X 服从区间(,)a b 上均匀分布时，

2

()(),()2

12

a b b a E X D X +-=

=

9.4 当X 服从参数为λ的指数分布时， 2

1

1

(),()E X D X λ

λ=

=

9.5 当X

服从正态分布2

(,)N μσ时，

2

(),()E X D X μσ

==．

9.6 当(,)X Y 服从二维正态分布2

2

1212(,,,,)N μμσσρ时，

2

11

(),()E X D X μσ==；

2

22

(),()E Y D Y μσ==；12cov(,),XY X Y ρσσρρ==

三、典型例题及其分析

例4.2.1 一台设备由三大部件构成，在设备运转中各部件需要调整的概率相应为0.10，0.20和0.30，假设各部件的状态相互独立，以X 表示同时需要调整的部件数，试求X 的数学期望E X 和方差D X .

【思路】 关键是求出X 的分布律，然后用定义计算E X . 【解】 引入事件：

{}

i =1,2,3.i A i =第个部件需要调整 根据题设，三部件需要调整的概率分别为 ()

()()1230.10,0.20,0

.30.P A P A P A ===

由题设部件的状态相互独立，于是有

()(

)()()()123

1

2

3

0 0.90.80.70.504.

P X P A A A

P A P A P A ====??=

()(

)12312312

3

10.10.80.70.90.20.70.90.80.3

0.398

P X P A A A A A A A A A ==??=

??+??+??=()(

)12312312

3

20.10.20.70.10.80.30.9

0.20.3

0.092;

P X P A A A A A A A A A ==??=

??+??+??=

于是X 的分布律为

从而

00.5041

0.39820.0923

0.6,

i

i i

EX x

p =

=?+?+?+?=∑

2

22

2

2

2

00.504

1

0.3982

0.092

3

0.006

0.820.

i

i i EX

x

p =

=?+?+?+?=∑

故 ()

2

2

2

0.8200.60.46.DX EX

EX =-=-=

【解毕】

【技巧】 本题的关键是引入事件i A ，将X 的分布律求出，因此，可以发现求期望和方差的难点转到了求X 的分布.同时，方差的计算一般均通过公式()

2

2

DX EX

EX =-来进行.

例4.2.3 设X 是一随机变量，其概率密度为

()1, 10,

1, 01,0, x x f x x x +-≤≤??

=-<≤???

其他.

求D X .

(1995年考研题)

【解】

()()()()()()()0

1

1

1

1

2

2

2

22

1

110.

.11211 6

E X xf

x d x

x x d x x x d x

E X

x f

x d x

x

x d x x x d x

x

x d x

+∞

-∞

-+∞

-∞

-=

=

++-==

=

++

-=-=

?

???

?

??

于是 (

)2

2

1.6

D X

E X E X =-= 【解毕】

【技巧】 在计算数学期望和方差时，应首先检验一下()f

x 的奇偶性，这样可利用对称区间上奇偶函数的积分公式简化

求解，比如本题中，()f

x 为偶函数，故()0.EX

xf

x dx +∞

-∞

=

=?

同样D X

的计算也可直接简化.

例4.2.4 已知连续型随机变量X 的密度函数为 (

)2

21

, -

x -+-=

∞∞求E X 与D X . (1987年考研题)

【思路】 一种求法是直接利用数学期望与方差的定义来求.另一种方法是利用正态分布的形式及其参数的含义. 【解】 （方法1）直接法.

由数学期望与方差的定义知

(

)(

)

(

)

()(

)

()

2

2

2

2

11111 1.

x x x x E X xf

x dx xe

dx e

dx x e

dx

e

dx +∞

+∞

+∞

+∞

-------∞

∞

-∞

∞

+∞

---∞

=

=

=

+

-=

=?

?

?

?

?

()

()

()(

)

(

)

2

2

2

2

2

2

12111 .

2

x t

t

D X E

X

E X

x f x dx

x dx

t e

e

dt +∞

+∞

---∞

-∞

+∞

+∞

--∞

∞

=-=

-=

-=

=

???

?

（方法2） 利用正态分布定义.

由于期望为μ，方差为2

σ

的正态分布的概率密度为

()

()2

2

2.x x μσ

--

-∞<<+∞所以把()f x 变形为

(

)(

)

22

12x f

x e

--

?=

易知,()f

x 为11,2N

??

?

??

的概率密度,因此有11,.2E X D X == 【技巧】 解决本题的关键是要善于识别常用分布的密度函数，不然的话，直接计算将会带来较大的工作量.反过来，用正

态分布的特性也可以来求积分

2

kx

e

dx +∞

--∞

?

等.

(2)若干计算公式的应用

主要包括随机变量函数的数学期望公式，数学期望与方差的性质公式的应用.

例4.2.5 设X 表示10次独立重复射击中命中目标的次数，每次射中目标的概率为0.4，求2

EX .

(1995年考研题)

【解】 由题意知()~10,0.4X B 于是100.44,EX =?=()100.410.4 2.4.DX =??-= 由()

2

2

DX EX

EX =-可推知()

2

2

2

2.4418.4.EX

DX EX =+=+=

【寓意】 本题考查了两个内容，一是由题意归结出随机变量X 的分布；二是灵活应用方差计算公式，如果直接求解，那

么()

10

102

2

100

0.4

10.4k

k

k

K EX k C -==

-∑

的计算是繁琐的.

例4.2.6 设X 服从参数1λ=的指数分布，求(

)2X

E X e -+.（1992年考研题）

【解】 由题设知，X 的密度函数为

(), 0,

0, 0.

x e x f x x -?>=?≤?

且1EX =，又因为()2220

1,3

X

x

x

x

Ee

e

f x dx e

e dx +∞

+∞

-----∞

=

=

=

?

?

从而 (

)

22141.3

3

X

X

E X e

E X E e

--+=+=+= 【解毕】

【寓意】 本题的目的是考查常见分布的分布密度（或分布律）以及它们的数字特征，同时也考查了随机变量函数的数学期望的求法.

例4.2.7 设二维随机变量(),X Y 在区域(){},:01,G x y x y x =<<<内服从均匀分布，

求随机变量21Z X =+的方差.D Z

【解】 由方差的性质得知

()214DZ D X DX =+=

又由于X 的边缘密度为

()()1, 01

,0, .2, 01

0, x

X

x

dy x f x f x y dy x x +∞

-

-∞

?<

?

<

???

其他其他.

于是

()

1

1

2

2

2

2

2

21

2, 2,3

21

21.2318

E X x xdx E X

x xdx D X E X

E X =

=

=

=

??

=-=-= ????

?

因此 ， 1244.18

9

D Z D X ==?

=

【解毕】

【技巧】 尽管本题给出的是二维随机变量，但在求X 的期望于方差时，可以从X 的边缘密度函数出发，而不必从X 与

Y 的联合密度函数开始.在一般情形下，采用边缘密度函数较为方便.

例4.2.8 设随机变量X 和Y 独立，且X 服从均值为1

Y 服从标准正态分布，试求随机

变量23Z X Y =-+的概率密度函数.（1989年考研题）

【思路】 此题看上去好像与数字特征无多大联系，但由于X 和Y 相互独立且都服从正态分布，所以Z 作为,X Y 的线性组合也服从正态分布.故只需求E Z 和D Z ，则Z 的概率密度函数就唯一确定了. 【解】 由题设知，()()~1,2,~0,1X N Y N .从而由期望和方差的性质得

2235,2

9.

E Z E X E Y D Z D X D Y =-+==+=

又因Z 是,X Y 的线性函数，且,X Y 是相互独立的正态随机变量，故Z 也为正态随机变量，又因正态分布完全由其期望和方差确定，故知()~5,9Z N ，于是，Z 的概率密度为

(

)()

2

529

, .z Z

f

z z --

?=

-∞<<+∞ 【解毕】

【寓意】 本题主要考查二点内容，一是独立正态分布的线性组合仍为正态分布；其二是正态分布完全由其期望和方差决定.

例4.2.9 假设随机变量Y 服从参数为1λ=的指数分布，随机变量

0, ,1, .

k

Y k X Y k ≤?=?>?若若

()1,2k = （1） 求1X 和2X 的联合概率分布； （2）

求()12E X X +.

【解】 显然，Y 的分布函数为

()1, 0,0, 0.

y e y F y y

-?->=?

≤?

10, 11 1.Y X Y ≤?=?

>?若，，若 20, 212.

Y X Y ≤?=?>?若

，，若

（1）()12X X +有四个可能取值：()()()()0,0,0,1,1,0,1,1,且

()()()

()()()()()()

()()()()()

121

12121

2

1

20,01,21 11,0,11,20,

1,01,212 21,

1,11,22 P

X X P Y Y P Y F e P X X P Y Y P

X X P Y Y P Y F F e

e

P

X X P Y Y P Y --===≤≤=≤==-===≤>====>≤=<≤=-=-===>>=>()2

12.

F e

-=-=

于是得到1X 和2X 的联合分布律为

（3） 显然，12,X X 的分布律分别为

1X 0 1 2X 0 1

P 1

1e

-- 1

e

- P 2

1e

-- 2

e

-

因此 1

2

12,.EX e EX e --==

故 ()1

2

1212.E X X EX EX e

e --+=+=+ 【解毕】

【技巧】 本题中若不要求求X 与Y 的联合分布律，也可直接求出()12E X X +，这是因为 ()

()()1

11101

1

.

E X P Y P Y P Y e -=?>+?≤=>= 而 2

22,EX PY e

-=>= 因此

()1

2

1212.E X X EX EX e

e --+=+=+

不仅如此，我们还能求12,X X 其他函数的期望.例如求()12E

X X ，此时，由于

12

1, 2,0 .Y X X >?=??若，

其他 故 ()()()()2

1212022.E X X P Y P Y P Y e

-=?>+?≤=>=

例4.2.10 设随机变量(),X Y

服从二维正态分布，其密度函数为

()()

2

2

1

2

1,2x y

f

x y e

π

-

+=

求随机变量Z =.

【思路】 利用随机变量函数的期望的求法进行计算. 【解】

由于Z =

(

)2

2

2

,1 .

2x y E Z E

f

x y dxdy

dxdy π

+∞+∞

-∞-∞+∞+∞

+--∞-∞

==

=

??

??

令cos ,sin .

x r y r θθ=??

=?，则

2

2

2

2

22

2

2

2

11

222 |

r

r

r

r

E Z d re

r re e

dr e

dr πθ

ππ

π+∞

+∞

-

-

-

+∞+∞

-??

=

=-+

?????

?=

=

?

?

?

?

而

()()()2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

22

2

2

121

2

2 2.

x

y r

r

E Z

E X

Y

x

y

e

dxdy

d r e

rdr re

dr

π

π

θ

π

++∞+∞

-

-∞-∞

+∞

+∞-

-

=+=

+=

==???

?

?

故 ()

2

2

2.2

D Z EZ

EZ π

=-=-

【解毕】

【技巧】 本题也可先求出Z 的密度函数，再来求Z 的期望与方差，但由于求Z 的密度本身就是一繁琐的工作，因此我们借助随机变量函数的期望公式来求解，再此公式中并不需要知道Z 的分布，而只需直接计算一个二重积分即可.因此，对随机变量函数的期望计算问题，除非它是一线性函数，或者(),X Y 为离散型随机变量，一般我们往往不直接去求这个

函数的分布，而直接按随机变量函数的期望计算公式来求解. 例 4.3.4 已知随机变量X 与Y 分别服从正态分布(

)

2

1,3

N 和(

)

2

0,4

N ，且X 与Y 的相关系数12

X Y ρ=-

，设

,3

2

X Y Z =

+

求：

（1）Z 的数学期望E Z 和方差D Z ；

（2）X 与Z 的相关系数X Z ρ； （2）

问X 与Z 是否相互独立？为什么?（1994年考研题）

【解】 （1）由数学期望的运算性质有

1

11.3

2323X Y EZ E EX EY ??=+=+= ???

由()()2,D X Y

DX DY Cov X Y +=++有

(

)

2

2

11112,3232321111 2,32

3

2

111 9

4

3

142 3.

X Y X Y D Z D D X D Y C o v X Y D X D Y C o v X Y D X D Y ρ????????

=+=++ ? ? ?

?????????=++?

?

=

+

+

=+-=

（2）因为

()

()(

)2

,,3211 ,,32

11 3211

1 3340,3

22X Y

X Y C ov X Z

C ov X C ov X X C ov X Y

D X ρ?

?=+ ?

??=+

=+??

=

?+

?-??= ???

所以

,0.XZ C ov X Z ρ=

=

（3）因,X Y 均为正态，故,X Y 的线性组合Z 也是正态随机变量，由于二正态分布的独立性与相关性是等价的，所以由0XZ ρ=知，X 与Z 相互独立. 【解毕】 【寓意】 本题考查的主要有两点，一是关于协方差，有性质

()()()()(),,,,,C o v a X

b Y

c U

d V a c C o v X U a d C o v X V b c C o v Y U b d C o v Y V ++=+++另一点为：

对于二正态变量X 与Y ，X 与Y 相互独立等价于0.XY ρ= 综例4.4.3 设随机变量X 的概率密度为

()

, 02,

, 24,0, .ax x f

x cx b x <

其他 已知()32,13.4

E X P X =<<=

求：（1）常数,,;a b c （2）X

Ee .

【思路】 要确定三个常数,,,a b c 需三个条件，题设中已有两个条件，另一条件为

()1,f x dx +∞

-∞

=?而X

Ee

只需利用随

机变量函数的期望计算公式即可.

【解】 （1）由概率密度的性质知，有()()2

4

02

1262.f x dx axdx cx b dx a c b +∞

-∞

=

=++=++???

又因为

()()2

4

2

2356 6,

8

3

E X xf

x dx

x axdx x cx b dx a c b +∞

-∞

==

=

++=+

+?

??

而 ()()()3

2

3

1

1

2

3

134

35 .

22P X f x d x

a xd x cx

b d x a

c b =<<==

++=

+

+???

解方程 2621,856

62,3

3353.224

a c

b a

c b a c b ?

?++=?

?++=???++=?? 得 111,4,

4

a b c =

==-

（2）

()2

4

2

4

2

144111 .

4

24

X

x

x

x x

x E e

e f

x dx

e dx e dx e e +∞

-∞

?

?=

=+

- ???=

-

+

?

?? 【解毕】

随机变量的数字特征试题答案

随机变量的数字特征试题 答案 It was last revised on January 2, 2021

第四章 随机变量的数字特征试题答案 一、 选择（每小题2分） 1、设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则下列结论中正确的是（D ） A. E （X ）=，D （X ）= B. E （X ）=，D （X ）= C. E （X ）=2，D （X ）=4 D. E （X ）=2，D （X ）=2 2、设随机变量X 与Y 相互独立，且X~N （1，4），Y~N （0，1），令Y X Z -=，则D （Z ）= （C ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 6? 3、已知D （X ）=4，D （Y ）=25，cov （X ，Y ）=4，则XY ρ =（C ） A. 0.004 B. C. D. 4 4、设X ，Y 是任意随机变量，C 为常数，则下列各式中正确的是（D ） A ． D （X+Y ）=D （X ）+D （Y ） B ． D （X+C ）=D （X ）+C C ． D （X -Y ）=D （X ）-D （Y ） D ． D （X -C ）=D （X ） 5、设随机变量X 的分布函数为???? ???≥<≤-<=4, 14 2,12 2, 0)(x x x x x F ，则E(X)=（D ） A ． 31 B ． 21 C ．2 3 D ． 3 6、设随机变量X 与Y 相互独立，且)61,36(~B X ，)3 1 ,12(~B Y ，则)1(+-Y X D = （C ） A ． 34 B ． 37 C ． 323 D ． 3 26

7、设随机变量X 服从参数为3的泊松分布，)31 ,8(~B Y ，X 与Y 相互独立，则 )43(--Y X D =（C ） A ． -13 B ． 15 C ． 19 D ． 23 8、已知1)(=X D ，25)(=Y D ，XY ρ=，则)(Y X D -=（B ） A ． 6 B ． 22 C ． 30 D ． 46 9、设)3 1 ,10(~B X ，则)(X E =（C ） A ． 31 B ． 1 C ． 3 10 D ． 10 10、设)3,1(~2N X ，则下列选项中，不成立的是（B ） A. E （X ）=1? B. D （X ）=3? C. P （X=1）=0 D. P （X<1）= 11、设)(X E ，)(Y E ，)(X D ，)(Y D 及),cov(Y X 均存在，则)(Y X D -=（C ） A ． )(X D +)(Y D B ． )(X D -)(Y D C ．)(X D +)(Y D -2),cov(Y X D ．)(X D +)(Y D +2),cov(Y X 12、设随机变量)2 1 ,10(~B X ，)10,2(~N Y ，又14)(=XY E ，则X 与Y 的相关系数 XY ρ=（D ） A ． B ． -0.16 C ． D ． 13、已知随机变量X 的分布律为 25 .025.012p P x X i -，且E （X ）=1?，则常数x =( B) A ． 2 B ． 4 C ． 6 D ． 8 14、设随机变量X 服从参数为2的指数分布，则随机变量X 的数学期望是（C ） A. B. 0 C. D. 2 15、已知随机变量X 的分布函数为F(x)=?? ?>--other x e x 00 12，则X 的均值和方差分别为（D ）

四、随机变量的数字特征(答案)

概率论与数理统计练习题 、选择题: 二、填空题: 1 4.设随机变量 X 的密度函数为f(x) e |x| ( x )，则E(X) 0 三、计算题： 1.袋中有5个乒乓球，编号为1 , 2, 3, 4, 5，从中任取3个，以X 表示取出的3个球中最大编 号，求E(X) 解：X 的可能取值为3, 4, 5 E(X) 3 丄 4 色 5 3 4.5 10 10 5 1/5 1/6 1/5 1/15 11/30 系 _____ 第四章 专业 ______ 班 _________ 随机变量的数字特征(一) 学号 1 ?设随机变量 X 的可能取值为0, 1, 相应的概率分布为 0.6,0.3 , .01，则 E(X) 0.5 2 .设X 为正态分布的随机变量，概率密度为 f(x) 2?2 e (x 1)2 2 8 ，贝U E(2X 1) ，则 E(X 3X 2) 116/15 1 ?设随机变量X ,且 E(X)存在，则 E(X)是 (A )X 的函数 (B )确定常数 随机变量 (D )x 的函数 2 .设X 的概率密度为 f(x) 1 x e 9 9 0 ，则 E( 9X) 3 ?设 x x e 9 dx 1 (B) 9 x x e 9dx (C ) (D ) 1 是随机变量, E( )存在，若 ￥，则 E() E() (B)罟 (C ) E() P(X 3) 1 10 ， P(X 4) C 5 3 10 P(X 5) § 10

2 ?设随机变量X 的密度函数为f(X ) 2 (1 %)0甘它1，求E(X) 0 其它 2 3?设随机变量X~N(,)，求E(|X I) (1) Y 1 e 2X ( 2)Y 2 max{ X, 2} 解：(1) E(Y) 2x x 1 e e dx 0 3 (2) EM) 2 x 2e dx xe 0 2 x dx 2 2e 2 3e 2 2 2 e (3) E(Y 3) 2 e x dx 2e x 0 2 dx 1 c 2 c 2 」 2 3e 2e 1 e 概率论与数理统计练习题 ________ 系 _______ 专业 ______ 班 ___________________学号 _________ 第四章 随机变量的数字特征(二) 、选择题: 解：E(X) X 2(1 x)dx 解： |x (x )2 1 — dx 令y 2 y I y |e 2dy 4 .设随机变量 X 的密度函数为f (x) x 0 ，试求下列随机变量的数学期望。 x 0 (3) Y min{ X,2} 2 2~ 2 o ye dy

随机变量的数字特征

第四章 随机变量的数字特征 一、填空题 1. 设随机变量X 服从参数为1的指数分布，则数学期望____________)(2=+-X e X E 。 2. 若随机变量X 服从均值为2，方差为2 σ的正态分布，且3.0)42(=<=--其他,05,)()5(y e y y ?，则 _______________)(=XY E 。 二、选择题

四、随机变量的数字特征(答案)

概率论与数理统计练习题 系 专业 班 学号 第四章 随机变量的数字特征（一） 一、选择题： 1．设随机变量X ，且()E X 存在，则()E X 是 [ B ] （A ）X 的函数 （B ）确定常数 （C ）随机变量 （D ）x 的函数 2．设X 的概率密度为910()9 00 x e x f x x -?≥?=??

随机变量的数字特征试题答案

第四章 随机变量的数字特征试题答案 一、选择（每小题2分） 1、设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则下列结论中正确的是（D ） A. E （X ）=，D （X ）=? B. E （X ）=，D （X ）= C. E （X ）=2，D （X ）=4? D. E （X ）=2，D （X ）=2 2、设随机变量X 与Y 相互独立，且X~N （1，4），Y~N （0，1），令Y X Z -=，则D （Z ）=? （??C?） A. 1 ? B. 3 C. 5? D. 6? 3、已知D （X ）=4，D （Y ）=25，cov （X ，Y ）=4，则XY ρ =（C ） A. 0.004? B. ? C. ? D. 4 4、设X ，Y 是任意随机变量，C 为常数，则下列各式中正确的是（?D ） A ． D （X+Y ）=D （X ）+D （Y ） ?B ． D （X+C ）=D （X ）+C C ． D （X-Y ）=D （X ）-D （Y ） ?D ． D （X-C ）=D （X ） 5、设随机变量X 的分布函数为???? ???≥<≤-<=4, 14 2,12 2, 0)(x x x x x F ，则E(X)=（D ） A ． 31 ?B ． 21 C ．2 3 ?D ． 3 6、设随机变量X 与Y 相互独立，且)61,36(~B X ，)3 1 ,12(~B Y ，则)1(+-Y X D =（C ） A ． 34 ? B ． 37 C ． 323 ? D ． 3 26 7、设随机变量X 服从参数为3的泊松分布，)3 1 ,8(~B Y ， X 与Y 相互独立，则)43(--Y X D =（C ） A ． -13 ? B ． 15 C ． 19 ? D ． 23 8、已知1)(=X D ，25)(=Y D ，XY ρ=，则)(Y X D -=（B ） A ． 6 ?B ． 22 C ． 30 ?D ． 46 9、设)3 1,10(~B X ，则)(X E =（C ） A ． 31 ?B ． 1 C ． 3 10 ?D ． 10 10、设)3,1(~2 N X ，则下列选项中，不成立的是（B ） A. E （X ）=1? B. D （X ）=3? C. P （X=1）=0? D. P （X<1）= 11、设)(X E ，)(Y E ，)(X D ，)(Y D 及),cov(Y X 均存在，则)(Y X D -=（C ） A ． )(X D +)(Y D ?B ． )(X D -)(Y D

第四章 随机变量的数字特征试题答案

第四章随机变量的数字特征试题答案 一、 选择（每小题2分） 1、设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则下列结论中正确的是（D ） A.E （X ）=0.5，D （X ）=0.5?B.E （X ）=0.5，D （X ）=0.25 C.E （X ）=2，D （X ）=4?D.E （X ）=2，D （X ）=2 2 Y X -=，则34） A C 5A 6、)1= （C ） A ．3 4?B ．3 7C ． 323?D ．3 26 7、设随机变量X 服从参数为3的泊松分布，)3 1 ,8(~B Y ，X 与Y 相互独立，则 )43(--Y X D =（C ） A ．-13? B ．15 C ．19? D ．23 8、已知1)(=X D ，25)(=Y D ，XY ρ=0.4，则)(Y X D -=（B ）

A ．6? B ．22 C ．30? D ．46 9、设)3 1 ,10(~B X ，则)(X E =（C ） A ．31? B ．1 C ．3 10?D ．10 10、设)3,1(~2N X ，则下列选项中，不成立的是（B ） A.E （X ）=1? B.D （X ）=3? C.P （X=1）=0? D.P （X<1）=0.5 11 A ．C ．12、XY ρ= （D 13x =(B) A ． 14、（C ） A.-15、为（A ．C ．21)(,41)(== X D X E ?D ．4 1 )(,21)(==X D X E 16、设二维随机变量（X ，Y ）的分布律为

则)(XY E =（B ） A ．9 1-?B ．0 C ．9 1?D ．3 1 17、已知随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则随机变量X 的方差为（D ） A 18，0.5)，则A 19，则X A 20， 则21（B A C 22、设n X X X ,,,21 是来自总体),(2σμN 的样本，对任意的ε>0，样本均值X 所满足的切比雪夫不等式为（B ） A ．{}2 2 εσεμn n X P ≥ <-?B ．{} 22 1ε σεμn X P -≥<- C ．{}2 2 1ε σεμn X P - ≤≥-?D ．{}2 2 εσεμn n X P ≤ ≥-

第三章 随机变量的数字特征答案

第三章 随机变量的数字特征答案 一、1、35；2、 6175；;259,59,259, 563、σ σμ1 , =±=b a ； 4、()(),2 1212 1211 )(2 2 2 212111 2??? ? ??-- ---+-? = ? = = x x x x e e e x πππ ? ），（～所以2 1 1N ξ ，2 1 ,12 = ===σ ξμξD E 5、2 1-；6.a=2,b=0,或a=-2,b=2；32)(=ξE 或31 ； 7、()()125,01022===+=+=+=+a D a b a D b a b aE b a E ξξξξ 所以2,5 1 2,51=-=-== b a b a 或 8、()()6.2022,2=++=++=+ηξρηξηξηξηξξηD D D D Cov D D D ()()4.232,2=-+=-+=-ηξρηξηξηξηξξηD D D D Cov D D D 9、148，57； 10、()()()()n D a E D a E i i 2 2 ,,,σξ ξσξξ= ===所以 二、1、C 2、B 3、C 4、B 5、C 三、1、,2.03.023.004.02-=?+?+?-=ξE ()8.23.023.004.02222 2=?+?+?-=ξE ()() ()() ( )04.114,412,4.1353532 222=-==-=+=+ξξξξξξE E D D E E 2、ξ~[]10,0U ，()32512010,5210 02 =-==+=ξξD E ， 3 35=ξD 3、4)(,1)2 (==ξξ D D ，则 1)(,4)1(==-ξξ E D 所以0)1(=-ξE 所以 ()()()() 2 2 2111404E D E ξξξ-=-+-=+= 4、()()()()()()32323223,2D D D D Cov ξηξηξηξη-=+-=+-+- ()( )941225.6D D ξηρ=+-=

随机变量的数字特征

随机变量的数字特征 讨论随机变量数字特征的原因 （1） 在实际问题中，有的随机变量的概率分布 难确定，有的不可能知道，而它的一些数字特征较易确定。 （2）实际应用中，人们更关心概率分布的数字特征。 （3）一些常用的重要分布，如二项分布、泊松 分布、指数分布、正态分布等，只要知道了它们的某些数字特征，就能完全确定其具体的分布。 §4.1 数学期望 一、数学期望的概念 1.离散性随机变量的数学期望 例4．1：大学一年级某班有32名同学，年龄情况如下： 解： 平均年龄=1 4810721 224218201019718217+++++?+?+?+?+?+? 25.19= 把上式改写为： 32 12232421328203210193271832217?+?+?+?+?+?

设X 为从该班任选一名同学的年龄，其概率分布为 定义4.1：设离散型随机变量X 的分布列为： 若 ∑k k k p x 绝对收敛（即 +∞ <=∑∑k k k k k k p x p x ），则称它为X 的 数学期望或均值（此时，也称X 的数学期望存在），记为E(X),即 若 ∑k k k p x 发散，则称X 的数学期望不存在。 说明： （1）随机变量的数学期望是一个实数，它体现了随机变量取值的平均； （2） 要注意数学期望存在的条件： ∑k k k p x 绝对 收敛； （3） 当X 服从某一分布时，也称某分布的数学 期望为EX 。 ∑=k k k p x EX

例4．2：设X服从参数为p的两点分布，求EX EX=p 例4．3：设X~B(n,p)，求EX EX=np 例4．4：设X服从参数为λ的泊松分布，求EX EX=λ 2.连续型随机变量的数学期望 定义4.2: 设连续型随机变量X 的概率密度为f(x).若积分 ?+∞∞-dx x xf) ( 绝对收敛，（即?∞∞ - +∞ < dx x f x) ( ），则称它 为X的数学期望或均值（此时，也称X的数学期望存在），记为E(X),即 ) ( ) (?∞∞- =dx x xf X E 若?∞∞ - +∞ = dx x f x) ( ， 则称X的数学期望不存在。 例4.5:设X服从U[a,b],求E(X)。 EX= 2b a+ 例4.6:设X服从参数为λ的指数分布，求EX EX=λ 例4.7: ) , ( ~2σ μ N X，求EX

随机变量的数字特征教案

§2.3.1随机变量的数字特征（二） 学习目标 1．熟练掌握均值公式及性质． 2．能利用随机变量的均值解决实际生活中的有关问题． 学习过程 【任务一】双基自测 1．分布列为 的期望值为 ( ) A ．0 B ．－1 C ．－13 D ．12 2．设E (ξ)＝10，则E (3ξ＋5)等于 ( ) A ．35 B ．40 C ．30 D ．15 3．某一供电网络，有n 个用电单位，每个单位在一天中使用电的机会是p ，供电网络中一天平均用电的单位个数是 ( ) A ．np (1－p ) B ．Np C ．n D ．p (1－p ) 4．两封信随机投入A 、B 、C 三个空邮箱中，则A 邮箱的信件数ξ的数学期望E (ξ)＝________ 【任务二】题型与解法 题型一 二项分布的均值 例1：一次单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中仅有一个选项正确．每题选对得5分，不选或选错不得分，满分

100分．学生甲选对任意一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从各选项中随机地选择一个．分别求学生甲和学生乙在这次测验中成绩的均值． 跟踪训练1英语考试有100道选择题，每题4个选项，选对得1分，否则得0分．学生甲会其中的20道，学生乙会其中的80道，不会的均随机选择．求甲、乙在这次测验中得分的期望． 题型二超几何分布的均值 例2一名博彩者，放6个白球和6个红球在一个袋子中，定下规矩：

凡是愿意摸彩者，每人交1元作为手续费，然后可以一次从袋中摸出5个球，中彩情况如下表： 试计算：（1）摸一次能获得20元奖品的概率； （2）按摸10 000次统计，这个人能否赚钱？如果赚钱，则净赚多少钱？ 跟踪训练2厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品． （1）若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8，从中任意取出4件进行检验．求至少有1件是合格品的概率；

随机变量的数字特征

第四章随机变量的数字特征 【基本要求】理解随机变量的数学期望与方差的概念，掌握它们的性质与计算方法；掌握计算随机变量函数的数学期望方法；掌握二项分布、泊松分布、正态分布和指数分布的数学期望和方差；了解协方差、相关系数、矩的概念、性质及计算方法。 【本章重点】数学期望与方差的概念、性质与计算方法；求随机变量函数的数学期望的方法；二项分布、泊松分布、正态分布和指数分布的数学期望和方差。 【本章难点】数学期望与方差的概念计算方法；随机变量函数的数学期望的计算方法；协方差、相关系数、矩的概念、性质及计算方法 【学时分配】7-9学时 分布函数:) x F≤ =——全面描述随机变量X取值的统计规律。但是，在实际问题中 P X ) ( (x 分布函数的确定并不是一件容易的事，而且有时我们也不需要知道分布函数，只需知道随机变量的某些数字特征就够了。例如： 评价粮食产量，只关注平均产量； 研究水稻品种优劣，只关注每株平均粒数； 评价某班成绩，只关注平均分数、偏离程度； 评价射击水平，只关注平均命中环数、偏离程度。 描述变量的平均值的量——数学期望， 描述变量的离散程度的量——方差。 §4.1 数学期望 教学目的：使学生理解掌握随机变量的数学期望的实际意义及概念，会计算具体分布的数学期望； 使学生理解掌握随机变量函数的数学期望的计算及数学期望的性质。 教学重点、难点：数学期望的概念及其计算；随机变量函数的数学期望的计算及数学期望的性质。

教学过程： (一) 数学期望的概念 先看一个例子:一射手进行打靶练习,规定射入 区域2e 得2分, 射入区域1e 得1分,脱靶即射入 区域0e 得0分.设射手一次射击的得分数X 是一个 e 0 随机变量，而且X 的分布律为P{X=k}=k p ,k=0,1,2 现射击N 次，其中得0分0a 次，得1分1a 次，得2分2a 次，0a +1a +2a =N.则他射击N 次得分的总和为0a 0+ 1a 1+ 2a 2,他平均一次射击的得分数为 ∑==?+?+?2 210210k k N a k N a a a ，因为当N 充分大时, 频率k p 概率稳定值 ??→?N a k 。 所以当N 充分大时, 平均数∑=??→?2 k k k p x x 稳定值 。 显然,数值∑=2 k k k p x 完全由随机变量X 的概率分布确定,而与试验无关，它反映了平均数的大小。 定义: 1.离散型随机变量的数学期望:设离散型随机变量X 的分布律为{}k k P X x p ==，1,2,3k =…若级数1 k k k x p ∞ =∑绝对收敛，则称级数1 k k k x p ∞ =∑为随机变量X 的数学期望，记为()E X ,即()E X ＝1 k k k x p ∞ =∑。 2.连续型随机变量的数学期望:设连续型随机变量X 的密度函数为()f x ，若积分()xf x dx ∞ -∞ ?绝对 收敛，则称积分()xf x dx ∞-∞ ?的值为随机变量X 的数学期望，记为()E X 。即()E X ＝()xf x dx ∞ -∞ ?。 数学期望简称期望，又称为均值。 (二) 数学期望的计算 关键是：求出随机变量的分布律或者密度函数。 1、离散型——若 则()E X ＝1k k k x p ∞ =∑ （绝对收敛）

随机变量的数字特征(答案)

概率论与数理统计练习题 系 专业 班 姓名 学号 第四章 随机变量的数字特征（一） 一、选择题： 1．设随机变量X ，且()E X 存在，则()E X 是 [ B ] （A ）X 的函数 （B ）确定常数 （C ）随机变量 （D ）x 的函数 2．设X 的概率密度为910()9 00 x e x f x x -?≥?=??

随机变量的数字特征归纳

第四章 随机变量的数字特征 ㈠ 数学期望 表征随机变量取值的平均水平、“中心”位置或“集中”位置． 1、数学期望的定义 (1) 定义 离散型和连续型随机变量X 的数学期望定义为 {}?????==?∑∞ ∞ - d )( )()( ， ， 连续型离散型x x xf x X x X k k k P E 其中Σ表示对X 的一切可能值求和．对于离散型变量，若可能值个数无限，则要求级数绝对收敛；对于连续型变量，要求定义中的积分绝对收敛；否则认为数学期望不存在． ①常见的离散型随机变量的数学期望 1、离散型随机变量的数学期望 设离散型随机变量的概率分布为 ，若，则称级数为随 机变量 的数学期望（或称为均值），记为 , 即 2、两点分布的数学期望 设 服从0—1分布，则有 ，根据定义， 的数学期望为 . 3、二项分布的数学期望 设 服从以 为参数的二项分布， ，则 。 4、泊松分布的数学期望 设随机变量 服从参数为的泊松分布，即，从而有 。 ①常见的连续型随机变量的数学期望 1)均匀分布

设随机变量ξ服从均匀分布，ξ～U [a，b] (a0，- <μ<+ ) 则令得 ∴ E(ξ)=μ . 3)指数分布 设随机变量服从参数为的指数分布，的密度函数为 ，则. (2) 随机变量的函数的数学期望设)(x g y=为连续函数或分段连续函数，而X是任一随机变量，则随机变量) (X g Y=的数学期望可以通过随机变量X的概率分布直接来求，而不必先求出Y的概率分布再求其数学期望；对于二元函数) , (Y X g Z=，有类似的公式： (){} ? ? ? ? ?= = = ? ∑ ∞ ∞ ． ； （连续型） 离散型 － d) ( ) ( ) ( ) ( x x f x g x X x g X g Y k k k P E E

随机变量分布及数字特征

第十章 随机变量分布及数字特征 10.1 随机变量 10.2 离散型随机变量分布 1、学时：2学时 2、过程与方法： 结合实例介绍随机变量概念，离散型随机变量的概率分布、分布列、分布函数、概率及性质. 3、教学要求： （1）掌握随机变量及离散型随机变量的概率分布、分布列、分布函数、概率及性质 （2）几种常见概率分布 教学重点：离散型随机变量的概率分布、分布列、分布函数、概率及性质 教学难点：离散型随机变量的分布函数 教学形式：多媒体讲授 教学过程： 一、新课教学内容 10.1 随机变量 概率论与数理统计是从数量上来研究随机现象的统计规律，因此我们必须把随机事件数量化． 在随机试验中，结果有多种可能性，试验结果样本点很多可以与数值直接发生关系，如产品检验，我们关心的是抽样中出现的废品件数．商店销售我们重视每天销售额，利润值．在投骰子中是每次出现的点数等． 但是也有不少试验结果初看与数字无直接关系，但我们可通过如下示性函数使之数值化，比如，产品合格与不合格令???=01ξ 不合格 合格 事件10A A X ?=??发生与否用 不发生发生 这些事件数值化后，数量是会

变化的称为变量．变量取值机会有大有小所以叫随机变量 ． 定义1：在某一随机试验中，对于试验的每一个样本点ω都唯一对应一个数，这样依不同样本点ω而取不同值的点叫随机变量．通常用希腊字母或大写英文字母X 、Y 、Z 等表示．用小写英文字母i i y x 、表示随机变量相应于某个试验结果所取的值． 举例： 1°投骰子出现的点数用随机变量X 表示，X 可取值为{ }，，，，，，654321 2°电信局话务台每小时收到呼叫次数用Y 表示，Y 可取值为{}Λ210，， 3°总站每五分钟发某一路车，乘客在车站候车时间{} 50≤≤=t t ξ 4°某一电子零件的寿命用{} 30000≤≤=t t T 按其取值情况可以把随机变量分成两类： （1）离散型随机变量：取有限个或无限可列个值．如例1°、2°． （2）非离散型随机变量：可在整个数轴上取值或取实数某部分区间的全部值．非离散型随机变量范围较广，本书只研究其中常遇见的一种称为连续型随机变量如例3°、4°． 例1 设有2个一级品，3个二级品的产品，从中随机取出3个产品，如果用X 表示取出产品中一级品的个数，求X 取不同值时相应概率． 解 X 可取值为{}210，， 101)0(3533===C C X P 53)1(352312===C C C X P 103 )2(35 1 322==C C C X P 例2 抛一枚匀称的硬币，引进一变量Y 令???=0 1Y 出现反面 出现正面求出现正面与反面概率： 解 21)0(= =Y P 2 1)1(==Y P 10.2 离散型随机变量分布 10.2.1 离散型随机变量的概率分布 例1 某汽车公司销售汽车数据表示在过去100天营业时间是有24天每天销售汽车是为0辆，38天

随机变量数字特征习题课

第12讲 随机变量的数字特征习题课 教学目的：掌握随机变量的数字特征，了解切比雪夫不等式和大数定律。 教学重点：理解数学期望和方差的概念，掌握它们的性质与计算，熟悉常用分布的数 学期望和方差。 教学难点：随机变量函数的数学期望。 教学时数：2学时 教学过程： 一、知识要点回顾 1. 随机变量X 的数学期望()E X 2. 对离散随机变量 ()()i i i E X x p x =∑ 3. 若1,2,i =，则假定这个级数绝对收敛，否则就没有数学期望。 4. 对连续随机变量 ()()E X xf x dx +∞ -∞ =? 5. 假定这个广义积分绝对收敛，否则就没有数学期望。 6. 随机变量X 的函数()g X 的数学期望[()]E g X ，其中()g X 为实函数。 7. 对离散随机变量 [()]()()i i i E g X g x p x =∑ 8. 对连续随机变量 [()]()()E g X g x f x dx +∞ -∞ =? 9. 假定所涉及的无穷级数绝对收敛，所涉及的广义积分绝对收敛。 10. 二维随机变量(,)X Y 的函数(,)g X Y 的数学期望[(,)]E g X Y ，其中(,)g X Y 为二元 实函数。 11. 对离散随机变量 [(,)](,)(,)i j i j i j E g X Y g x y p x y =∑∑ 12. 对连续随机变量 [(,)](,)(,)E g X Y g x y f x y dxdy +∞ +∞ -∞ -∞ =? ? 13. 假定所涉及的无穷级数绝对收敛，所涉及的广义积分绝对收敛。 14. 数学期望的性质（假定所涉及的数学期望都存在） 15. (), ()E c c c =为常数 16. ()(), ()E cX cE X c =为常数

第四章 随机变量的数字特征课后习题参考答案

第四章 随机变量的数字特征 1． 解：令A 表示一次检验就去调整设备的事件，设其概率为p ，T 表示每次检验发现的次品个数，易知(10,0.1)T B ~，且(4,)X B p ~。 得， 0010119 1010(){1}1{1}1(0.1)(0.9)(0.1)(0.9)0.2639p P A P T P T C C ==>=-≤=--=。 因为(4,)X B p ~，得()4 1.0556E X p =?=。 2． 解：1500 3000 2220 1500 ()()(3000)5001000150015001500x x E X xf x dx dx x dx +∞ -∞ -= =+-=+=?? ?。 3． 解：1 ()(2)0.400.320.30.2k k i E X x p ∞ == =-?+?+?=-∑； 2 21 (35)(35)170.450.3170.313.4k k i E X x p ∞ =+=+=?+?+?=∑ 22(35)3()513.4E X E X +=+=。 4．解：（1）0 ()(2)2()2 ()22(| )2x x x E Y E X E X xf x dx x e dx xe e dx +∞ +∞ +∞ --+∞ --∞ ==== =-+=???. （2）223300 1 1 33 ()()()|X x x x E Y E e e f x dx e dx e +∞ +∞ ----+∞ -∞ == = =-=??. 5．解：（1）3 33 1 1 1 ()10.420.230.42i i i ij i i j E X x p x p ? ==== ==?+?+?=∑∑∑. 3 3 3 1 1 1 ()10.300.410.30j j j ij j j i E Y y p y p ?======-?+?+?=∑∑∑. （２） 7 1 11 ()10.2(0.50.1)...0.50.10.1315i i i E Z z p ===-?+-?++?+?=-∑。 2 2 1 ()40.400.340.3 2.8 k k i E X x p ∞ ===?+?+?=∑

第四章随机变量的数字特征单元测试题

随机变量的数字特征章节测试题 一、选择题(本大题共15个小题，每小题2分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知随机变量X 满足D (X )＝2，则D (3X ＋2)＝( ) A ．2 B ．8 C ．18 D ．20 2．设服从二项分布X ～B (n ，p )的随机变量X 的均值与方差分别是15和45 4，则n 、p 的 值分别是( ) A ．50，1 4 B ．60，14 C ．50，3 4 D ．60，3 4 . 3．某次语文考试中考生的分数X ～N (90,100)，则分数在70～110分的考生占总考生数的百分比是( ) A ．68.26% B ．95.44% C ．99.74% D ．31.74% 4．某市期末教学质量检测，甲、乙、丙三科考试成绩近似服从正态分布，则由如图曲线可得下列说法中正确的是（ ） Ａ．甲学科总体的方差最小 Ｂ．丙学科总体的均值最小 Ｃ．乙学科总体的方差及均值都居中 Ｄ．甲、乙、丙的总体的均值不相同 5．设随机变量X 和Y 独立同分布，若记随机变量,=-=+U X Y V X Y ，则随机变量U 与V 必然（ ） Ａ．不独立 Ｂ．独立 Ｃ．相关系数不为零 Ｄ．相关系数为零 6．若X 是离散型随机变量，P (X ＝x 1)＝23，P (X ＝x 2)＝13，且x 1＜x 2.又已知E (X )＝4 3，D (X ) ＝2 9 ，则x 1＋x 2的值为( ) A.53 B.73 C.11 3 D ．3 7．已知X 为随机变量，且E (X ), D (X )均存在，则下列式子不成立的是( ) .[()]() .[()]2() .[()]0.[()]() =+=-==A E E X E X B E X E X E X C E X E X D D E X E X 8．设随机变量X 服从[,]a b 上的均匀分布，若1 ()2,()3==E X D X ，则均匀分布中的常 数,a b 的值分别为( ) .1,3.1,2.2,3.2,2========A a b B a b C a b D a b

第三章、随机变量的数字特征

第三章、随机变量的数字特征 一、选择题： 1．设随机变量X 的分布函数为4 0,1(),011,1x F x x x x ? ，则EX= （ C ） A ．140x dx ? B ．15 14 x dx ? C ．1 4 4x d x ? D ．1 40 1 x dx xdx +∞ + ?? 2．设X 是随机变量，0x 是任意实数，EX 是X 的数学期望，则 （ B ） A ．220()()E X x E X EX -=- B ．22 0()()E X x E X EX -≥- C ．220()()E X x E X EX -<- D ．2 0()0E X x -= 3．已知~(,)X B n p ，且EX=2.4，EX=1.44，则参数,n p 的值为 （B ） A ．n = 4，p = 0.6 B ．n = 6，p = 0.4 C ．n = 8，p = 0.3 D ．n = 24，p = 0.1 4．设X 是随机变量，且EX a =，2 EX b =， c 为常数，则D （CX ）=（ D ） A ．2 ()c a b - B ．2 ()c b a - C ．22()c a b - D ．22 ()c b a - 5．设随机变量X 在[a ，b ]上服从均匀分布，且EX=3，DX=4/3，则参数a ，b 的值为 （B ） A ．a = 0，b = 6 B ．a = 1，b = 5 C ．a = 2，b = 4 D ．a = -3，b = 3 6．设ξ服从指数分布()e λ，且D ξ=0.25，则λ的值为 （ A ） A ．2 B ．1/2 C ．4 D ．1/4 7．设随机变量ξ~N （0，1），η=2ξ+1 ，则 η~ （ A ） A ．N （1，4） B ．N （0，1） C ．N （1，1） D ．N （1，2） 8．设随机变量X 的方 差DX =2 σ，则()D aX b += （ D ）

随机变量与数字特征练习题及答案

1 第8章 随机变量与数字特征 一、填空题 ⒈ 设随机变量X 的概率分布为 则a = . ⒉ 设X 服从区间[1，5]上的均匀分布，当5121<<

随机变量的数字特征历年真题数学

随机变量的数字特征历年真题 数学一： 1（87，2分） 已知连续型随机变量X 的概率密度为 1 22 1 )(-+-= x x e x f π 则EX = ，DX = 。 2（89，6分） 设随机变量X 与Y 独立，且X~N （1，2），Y~N （0，1），试求随机变量Z =2X -Y +3的概率密度函数。 3（90，2分） 已知随机变量X 服从参数为2的泊松分布，且胡机变量Z =3X -2，则EZ = 。 4（90，6分） 设二维随机变量（X ，Y ）在区域D ：0