二项分布经典例题+练习题

二项分布

1．n 次独立重复试验

一般地，由n 次试验构成，且每次试验相互独立完成，每次试验的结果仅有两种对立的状态，即A 与A ，每次试验中()0P A p =>。我们将这样的试验称为n 次独立重复试验，也称为伯努利试验。

（1）独立重复试验满足的条件 第一：每次试验是在同样条件下进行的；第二：各次试验中的事件是互相独立的；第三：每次试验都只有两种结果。 （2）n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率

()P X k ==(1)k k

n k n

C p p --。 2．二项分布

若随机变量X

的分布列为()P X k ==

k k n k

n C p q

-，其中

0 1.1,0,1,2,,,p p q k n <<+==L 则称X 服从参数为,n p 的二项分布，记作(,)X B n p :。 1．一盒零件中有9个正品和3个次品，每次取一个零件，如果取出的次品不再放回，求在取得正品前已取出的次品数X 的概率分布。

2.一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设他在各个交

通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是3

1

.

(1)设ξ为这名学生在途中遇到红灯的次数，求ξ的分布列； (2)设η为这名学生在首次停车前经过的路口数，求η的分布列； (3)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率. 3.甲乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为

2

1

，乙每次击中目标的概率为3

2.

（1）记甲击中目标的此时为ξ，求ξ的分布列及数学期望；

（2）求乙至多击中目标2次的概率； （3）求甲恰好比乙多击中目标2次的概率.

【巩固练习】

1.已知箱中装有4个白球和5个黑球,且规定:取出一个白球的2分,取出一个黑球

的1分.现从该箱中任取(无放回,且每球取到的机会均等)3个球,记随机变量X为取出3球所得分数之和.

(Ⅰ)求X的分布列;

(Ⅱ)求X的数学期望E(X).

2甲、乙两人轮流投篮,每人每次投一球,.约定甲先投且先投中者获胜,一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为1

,乙每次

3

,且各次投篮互不影响.

投篮投中的概率为1

2

(Ⅰ) 求甲获胜的概率;

(Ⅱ) 求投篮结束时甲的投篮次数 的分布列与期望

3．设篮球队A与B进行比赛，每场比赛均有一队胜，若有一队胜4场则比

，试求需要比赛场数赛宣告结束，假定,A B在每场比赛中获胜的概率都是1

2

的期望．

3．电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况,随机抽取了100名观众进行调查.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图;

将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”. (Ⅰ)根据已知条件完成下面的22 列联表,并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关?

(Ⅱ)将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观众中,采用随机抽

样方法每次抽取1名观众,抽取3次,记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X .若每次抽取的结果是相互独立的,求X 的分布列,期望()E X 和方差

()D X .

5.某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考试，否则即被淘汰，已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为

54、53、5

2

，且各轮问题能否正确回答互不影响. （Ⅰ）求该选手被淘汰的概率；

（Ⅱ）该选手在选拔中回答问题的个数记为ξ，求随机变量ξ的分布列与数数期望.（注：本小题结果可用分数表示）

6. 一批产品共10件，其中7件正品，3件次品，每次从这批产品中任取一件，

A

B

C60?

湖北理工学院湖北师范学院

9

9 650

7 2 15

16

17

18

89

12589

34 6

0 1

在下述三种情况下，分别求直至取得正品时所需次数ξ的概率分别布.

(1)每次取出的产品不再放回去；

（2）每次取出的产品仍放回去；

（3）每次取出一件次品后，总是另取一件正品放回到这批产品中.

7. 设b和c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量ξ表示方程x2+bx+c=0实根的个数（重根按一个计）．

（I）求方程x2+bx+c=0有实根的概率；

（II）求ξ的分布列和数学期望；

8.（本题满分12分）某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动.活

动规则如下：消费额每满100元可转动如图所示的转盘一

次，并获得相应金额的返券，假定指针等可能地停在任一

位置. 若指针停在A区域返券60元；停在B区域返券30元；停在C区域不返券. 例如：消费218元，可转动转盘2次，所获得的返券金额是两次金额之和.

（I）若某位顾客消费128元，求返券金额不低于30元的概率；

（II）若某位顾客恰好消费280元，并按规则参与了活动，他获得返券的金额记为X（元），求随机变量X的分布列和数学期望.

9. (本题满分12分)中国?黄石第三届国际矿冶文化旅游节将于2012年8月20日在黄石铁山举行，为了搞好接待工作，组委会准备在湖北理工学院和湖北师范学院分别招募8名和12名志愿者，将这20名志愿者的身高编成如下茎叶图（单位：cm）

若身高在175cm以上（包括175cm）定义为“高个子”，身高在175cm 以下（不包括175cm）定义为“非高个子”，且

只有湖北师范学院的“高个子”才能担任“兼职

导游”。

（1）根据志愿者的身高编茎叶图指出湖北

师范学院志愿者身高的中位数；

（2）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？

（3）若从所有“高个子”中选3名志愿者，用ξ表示所选志愿者中能担任“兼职导游”的人数，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望。

10.某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X依次为1,2，……，8，其中X≥5为标准A，X≥3为标准B，已知甲厂执行标准A生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂得产品都符合相应的执行标准

（I）已知甲厂产品的等级系数X1的概率分布列如下所示：

x 5 6 7 8

1

P 0．4 a b 0．1

且X1的数字期望EX1=6，求a，b的值；

（II）为分析乙厂产品的等级系数X2，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：

3 5 3 3 8 5 5 6 3 4

6 3 4

7 5 3 4

8 5 3

8 3 4 3 4 4 7 5 6 7

用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X2的数学期望.

11.受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业产生每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取50辆，统计书数据如下：

将频率视为概率，解答下列问题：

（I ）从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求首次出现故障发生在保修期内的概率；

（II ）若该厂生产的轿车均能售出，记住生产一辆甲品牌轿车的利润为1X ，

生产一辆乙品牌轿车的利润为2X ，分别求1X ，2X 的分布列； （III ）该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其

中一种品牌轿车，若从经济效益的角度考虑，你认为应该产生哪种品牌的轿车？说明理由。

巩固练习答案

1.【解析】本题主要考察分布列,数学期望等知识点.

(Ⅰ) X 的可能取值有:3,4,5,6.

35395(3)42C P X C ===; 21543

920

(4)42C C P X C ===; 12543

915(5)42C C P X C ===; 3

4392

(6)42

C P X C ===. 故,所求X 的分布列为

X 3

4

5

6

P

542

20104221

= 1554214

= 214221

=

(Ⅱ) 所求X 的数学期望E (X )为:

E (X )=6

4

13

()3

i i P X i =?==

∑. 【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ) 133.

2.【考点定位】本题考查离散随机变量的分布列和期望与相互独立事件的概率,考查运用概

率知识解决实际问题的能力,相互独立事件是指两事件发生的概率互不影响,注意应用相互独立事件同时发生的概率公式.

解:设,k k A B 分别表示甲、乙在第k 次投篮投中,则

()13k P A =,()1

2

k P B =, ()1,2,3k ∈

(1)记“甲获胜”为事件C,由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知,()()()()

111211223P C P A P A B A P A B A B A =++

()()()()()()()()

()111211223P A P A P B P A P A P B P A P B P A =++ 2

2

1211211

3323323

????=+??+?? ? ????? 11113392727=++

= (2)ξ的所有可能为:1,2,3

由独立性知:()()()

1111212

13323

P P A P A B ξ==+=

+?= ()()()

2

2

1121122211212

2323329

P P A B A P A B A B ξ????==+=??+= ? ?????

()(

)

2

2

1122211

3329

P P A B A B ξ????==== ? ?????

综上知,ξ有分布列

从而,1233999

E ξ=?+?+?=(次)

3. 解：（1）事件“4X =”表示，A 胜4场或B 胜4场（即B 负4场或A 负4场），且两两互斥．

4400

044411112(4)()()()()222216

P X C C ==??+??=；

（2）事件“5X =”表示，A 在第5场中取胜且前4场中胜3场，或B 在第5场中取胜且前4场中胜3场（即第5场A 负且4场中A 负了3场），且这两者又是互斥的，所以

33431141441111114

(5)()()()()22222216

P X C C --==+=

（3）类似地，事件“6X =”、 “7X =”的概率分别为

33532252551111115

(6)()()()()22222216P X C C --==+=，

33633363661111115

(7)()()()()22222216

P X C C --==+=

比赛场数的分布列为

故比赛的期望为()4567 5.812516161616

E X =?

+?+?+?=（场） 这就是说，在比赛双方实力相当的情况下，平均地说，进行6场才能分出胜负． 4.【答案及解析】

(I)由频率颁布直方图可知,在抽取的100人中,“体育迷”有25人,从而2×2列联表如下:

由2×2列联表中数据代入公式计算,得:

因为3.030<3.841,所以,没有理由认为“体育迷”与性别有关.

(II)由频率颁布直方图知抽到“体育迷”的频率为0.25,将频率视为概率,即从观众中抽取一名“体育迷”的概率为

1

4

,由题意, ,从而X 的分布列为:

【点评】本题主要考查统计中的频率分布直方图、独立性检验、离散型随机变量的分布列,期望()E X 和方差()D X ,考查分析解决问题的能力、运算求解能力,难度适中.准确读取频率分布直方图中的数据是解题的关键.

5.（Ⅰ）解法一：记“该选手能正确回答第i 轮的问题”的事件为(123)i A i =，

，， 则14()5P A =

，23()5P A =，32

()5

P A =， ∴该选手被淘汰的概率

112223112123()()()()()()()P P A A A A A A P A P A P A P A P A P A =++=++

142433101

555555125

=+?+??=

． （Ⅰ）解法二：记“该选手能正确回答第i 轮的问题”的事件为(123)i A i =，

，， 则14()5P A =，23()5P A =，32

()5

P A =．

∴该选手被淘汰的概率

1231231()1()()()P P A A A P A P A P A =-=-

432101

1555125

=-??=

． （Ⅱ）ξ的可能值为123，，，11

(1)()5

P P A ξ===，

1212428

(2)()()()5525P P A A P A P A ξ====?=

， 12124312

(3)()()()5525

P P A A P A P A ξ====?=

． ξ∴的分布列为

181257

1235252525

E ξ∴=?+?+?=

． 6.（1）X 的所有可能值为1，2，3，4。X 的分布列为 P(X=1)=7/10，

P(X=2)=3/10×7/9=7/30， P(X=3)=3/10×2/9×7/8=7/120， P(X=4)=3/10×2/9×1/8=1/120。

（2）X 的所有可能值为1，2，3，4。X 的分布列为 P(X=k)= 137

(

).1010

k - ，k=1，2，3，…… （3）X 的所有可能值为1，2，3，4。X 的分布列为 P(X=1)=7/10，

P(X=2)=3/10×8/10=6/25，P(X=3)=3/10×2/10×9/10=27/500， P(X=4)=3/10×2/10×1/10=3/500。

7. 解：（I ）由题意知，本题是一个等可能事件的概率， 试验发生包含的基本事件总数为6×6=36，

满足条件的事件是使方程有实根，则△=b 2-4c≥0，即b≥2c 下面针对于c 的取值进行讨论

当c=1时，b=2，3，4，5，6； 当c=2时，b=3，4，5，6； 当c=3时，b=4，5，6； 当c=4时，b=4，5，6； 当c=5时，b=5，6； 当c=6时，b=5，6，

目标事件个数为5+4+3+3+2+2=19， 因此方程x 2+bx+c=0有实根的概率为1936

（II ）由题意知用随机变量ξ表示方程x 2+bx+c=0实根的个数得到ξ=0，1，2 根据第一问做出的结果得到 则P(ξ=0)=

1736，P(ξ=1)= 236=118，P(ξ=2)= 17

36

， ∴ξ的分布列为

∴ξ的数学期望Eξ=0×

1736+1×118+2×17

36

=1，

则111

(),(),()632

P A P B P C ===.

………………3分

（Ⅰ）若返券金额不低于30元，则指针落在A 或B 区域.

111

()()632P P A P B ∴=+=

+=

即消费128元的顾客，返券金额不低于30元的概率是12

. （Ⅱ）由题意得，该顾客可转动转盘2次.

随机变量X 的可能值为0，30，60，90，120.

111

(0);

224111

(30)2;

23311115

(60)2;

263318111

(90)2;

369111

(120).

6636P X P X P X P X P X ==?===??===??+?===??===?=

所以，随机变量X 的分布列为：

P

0 30 60 90 120

X

14 13 518 19 136

其数学期望

11511

030609012040

4318936EX =?+?+?+?+?=

9、解：（1）根据志愿者的身高编茎叶图知湖北师范学院志愿者身高的中位数为：

5.1682

169

168=+.…2分 （2）由茎叶图可知，“高个子”有8人，“非高个子”有12人，

∴按照分层抽样抽取的5人中“高个子”为85220?

=人，“非高个子”为12

5320

?=人；

则至少有1人为高个子的概率P ＝1－23257

10

C C =……6分

（3）由题可知：湖北师范学院的高个子只有3人，则ξ的可能取值为0,1，2,3； 故

353810

(0)56

C P C ξ===

，

21

533830

(1)56

C C P C ξ===

，

12

533815

(2)56

C C P C ξ===

，

3

3381

(3)56

C P C ξ===

， 即ξ的分布列为：

ξ

0 1 2

3

P

1056 3056 1556 156

…………11分

E ζ＝01056?

＋13056?＋21556?＋31

56?＝98

。 10. 解：（I ）因为16,50.46780.16,67 3.2.EX a b a b =?+++?=+=所以即 又由X 1的概率分布列得0.40.11,0.5.a b a b +++=+=即

由67 3.2,0.3,

0.5.0.2.a b a a b b +==????

+==??

解得 （II ）由已知得，样本的频率分布表如下：

2X 3 4 5 6 7 8 f

0．3

0．2

0．2

0．1

0．1

0．1

用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数X 2的概率分布列如下：

2X

3 4 5 6 7 8 P 0．3

0．2

0．2

0．1

0．1

0．1

所以

22222223(3)4(4)5(5)6(6)7(7)8(8)

EX P X P X P X P X P X P X ==+=+=+=+=+=30.340.250.260.170.180.1 4.8.=?+?+?+?+?+?=

即乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8. （III ）乙厂的产品更具可购买性，理由如下：

因为甲厂产品的等级系数的期望数学等于6，价格为6元/件，所以其性价比为6

1.6

= 因为乙厂产吕的等级系数的期望等于4.8，价格为4元/件，所以其性价比为4.8

1.2.4

=据此，乙厂的产品更具可购买性。

11. （I ）首次出现故障发生在保修期内的概率为231

5010

P +=

= （II ）随机变量1X 的分布列为 随机变量2X 的分布列为

（III ）1139

123 2.86255010EX =?

+?+?=(万元) 219

1.8

2.9 2.791010

EX =?+?=(万元)

12EX EX >Q 所以应该生产甲品牌汽车。

随机变量及其分布列经典例题

随机变量及其分布列典型例题 【知识梳理】 一.离散型随机变量的定义 1定义:在随机试验中,确定一个对应关系,使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示.在这个对应关系下,数字随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量、 ①随机变量就是一种对应关系;②实验结果必须与数字对应; ③数字会随着实验结果的变化而变化、 2.表示:随机变量常用字母X ,Ｙ,ξ,η,…表示. 3、所有取值可以一一列出的随机变量,称为离散型随机变量 ( dis ｃｒe ｔｅ ｒan ｄｏm ｖar ｉa ｂle ) . 二、离散型随机变量的分布列 1.一般地,若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1,x 2,…,ｘi ,…,x n, X 取每一个值x i (ｉ=1,2,…, ｎ)的概率P (X =ｘｉ)=ｐi ,则称表: 为离散型随机变量X Ｐ(X =x i )＝p i , i =１,２,…,n, 也可以用图象来表示X 的分布列、 2.离散型随机变量的分布列的性质 ①ｐi ≥0,ｉ=１,2,…,n ;②11 =∑=n i i p . 三.两个特殊分布 1.两点分布),1(~P B X 若随机变量X 的分布列具有上表形式,则称服从两点分布,并称p =P (X ＝1)为成功概率. 2、超几何分布),,(~n M N H X 一般地,在含有M 件次品的N 件产品中,任取ｎ件,其中恰有X 件次品,则P (X ＝k )= n N k n M N k M C C C --,k =0,１,2,…,m ,其中m =min {}n M ,,且n ≤N ,M ≤N ,n ,Ｍ,N ∈N ＊ . 三、二项分布 一般地,在n 次独立重复试验中,用 X 表示事件A 发生的次数,设每次试验中事件Ａ发生的概率为p ,则P (Ｘ=k )=C 错误!p k (1－ｐ)n － k ,ｋ=０,1,2,…,n 、此时称随机变量Ｘ服从二项分布,记作X ～B (n ,ｐ),并称p 为成功概率.易得二项分布的分布列如下;

最新2018高考数学知识点分布_高考数学知识点分值分配

最新2018高考数学知识点分布_高考数学知识点分值分配 高考数学知识点分值分配 高考数学知识点 1、进行集合的交、并、补运算时，不要忘了全集和空集的特殊情况，不要忘记了借助数轴和文氏图进行求解、 2、在应用条件时，易A忽略是空集的情况 3、你会用补集的思想解决有关问题吗? 4、简单命题与复合命题有什么区别?四种命题之间的相互关系是什么?如何判断充分与必要条件? 5、你知道"否命题"与"命题的否定形式"的区别、

6、求解与函数有关的问题易忽略定义域优先的原则、 7、判断函数奇偶性时，易忽略检验函数定义域是否关于原点对称、 8、求一个函数的解析式和一个函数的反函数时，易忽略标注该函数的定义域、 9、原函数在区间[-a,a]上单调递增，则一定存在反函数，且反函数也单调递增;但一个函数存在反函数，此函数不一定单调、例如：、 10、你熟练地掌握了函数单调性的证明方法吗?定义法(取值, 作差, 判正负)和导数法 11、求函数单调性时，易错误地在多个单调区间之间添加符号"∪"和"或";单调区间不能用集合或不等式表示、 12、求函数的值域必须先求函数的定义域。 13、如何应用函数的单调性与奇偶性解题?①比较函数值的大小; ②解抽象函数不等式;③求参数的范围(恒成立问题)、这几种基本应用你掌握了吗?

14、解对数函数问题时，你注意到真数与底数的限制条件了吗? (真数大于零，底数大于零且不等于1)字母底数还需讨论 15、三个二次(哪三个二次?)的关系及应用掌握了吗?如何利用二次函数求最值? 16、用换元法解题时易忽略换元前后的等价性，易忽略参数的范围。 高考数学答题技巧 调理个性品质 高考对个性品质的要求是："克服紧张情绪，以平和的心态参加考试，合理支配考试时间，以实事求是的科学态度解答试题，树立战胜困难的信心，体现锲而不舍的精神"由此可知，个性品质不仅包含了"智商"，也强调"情商"。所以，应在最后阶段优化考试心理，提高自己应对挑战的能力。比如考前要摒弃杂念，排除干扰思绪，通过清点用具、暗示重要知识和方法、提醒常见解题误区等进行针对性自我安慰，从而以最佳竞技状态去克服慌乱急躁、紧张焦虑的情绪，增强

spss实践题分析及答案

SPSS实践题 习题1 分析此班级不同性别的学生的物理和数学成绩的均值、最高分和最低分。

Std. Deviation Minimum Maximum 结论：男生数学成绩最高分: 95 最低分: 72 平均分: 物理成绩最高分: 87 最低分: 69 平均分: 女生数学成绩最高分: 99 最低分: 70 平均分: 物理成绩最高分: 91 最低分: 65 平均分: 习题2 分析此班级的数学成绩是否和全国平均成绩85存在显著差异。 One-Sample Statistics N Mean Std. Deviation Std. Error Mean 数学26 结论：由分析可知相伴概率为，小于显著性水平，因此拒绝零假设，即此班级数学成绩和全国平均水平85分有显著性差异 习题3 分析兰州市2月份的平均气温在90年代前后有无明显变化。

Group Statistics 分组N Mean Std. Deviation Std. Error Mean 二月份气温011.3628400 118.3065729 结论：由分析可知, 方差相同检验相伴概率为,大于显著性水平,因此接受零假设，90年代前后2月份温度方差相同。双侧检验相伴概率为, 小于显著性水平，拒绝零假设，即2月份平均气温在90年代前后有显著性差异 习题4 分析15个居民进行体育锻炼3个月后的体质变化。 Paired Samples Statistics Mean N Std. Deviation Std. Error Mean

Paired Samples Correlations N Correlation Sig. Pair 1锻炼前 & 锻炼后15.277 结论：由分析可知，锻炼前后差值与零比较，相伴概率小于显著性水平， 拒绝零假设，即锻炼前后有显著性差异 习题5 为了农民增收，某地区推广豌豆番茄青菜的套种生产方式。为了寻找该 种方式下最优豌豆品种，进行如下试验：选取5种不同的豌豆品种，每 一品种在4块条件完全相同的田地上试种，其它施肥等田间管理措施完 全一样。根据表中数据分析不同豌豆品种对平均亩产的影响是否显著。 ANOVA 产量 Sum of Squares df Mean Square F Sig.

二项分布专题练习

二项分布专题练习 1．已知随机变量X 服从二项分布，X ～B 16,3?? ??? ，则P (X ＝2)＝( )． A ． 316 B ． 4243 C ． 13 243 D ． 80 243 2．设某批电子手表正品率为 34，次品率为1 4 ，现对该批电子手表进行测试，设第X 次首次测到正品，则P (X ＝3)等于( )． A ．223 13C 44??? ??? B ．2 2331C 44 ??? ? ?? C ．2 1344 ??? ??? D ．2 3144 ??? ??? 3．甲、乙两名篮球队员轮流投篮直至某人投中为止，设甲每次投篮命中的概率为0.4，乙投中的概率为0.6，而且不受其他次投篮结果的影响，设投篮的轮数为X ，若甲先投，则P (X ＝k )等于( )． A ．0.6k － 1×0.4 B ．0.24k －1×0.76 C ．0.4k －1×0.6 D ．0.76k － 1×0.24 4．10个球中有一个红球，有放回地抽取，每次取出一球，直到第n 次才取得k (k ≤n )次红球的概率为( )． A ．2191010n k -???? ? ? ???? B ． 191010k n k -???? ? ? ???? C ．1119C 1010k n k k n ---???? ? ????? D ．1 1119C 1010k n k k n ----???? ? ??? ?? 5．在4次独立重复试验中，事件A 发生的概率相同，若事件A 至少发生1次的概率为 65 81 ，则事件A 在1次试验中发生的概率为( )． A ． 13 B ． 25 C ． 56 D ． 34 6．某一批花生种子，如果每一粒发芽的概率为4 5 ，那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是__________． 7．一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9，则服用这种新药的4个病人中至少3人被治愈的概率为__________．(用数字作答) 8．假定人在365天中的任意一天出生的概率是一样的，某班级中有50名同学，其中有两个以上的同学生于元旦的概率是多少？(结果保留四位小数)

最新高考数学知识点归纳总结

原命题 若p 则q 否命题若┐p 则┐q 逆命题若q 则p 逆否命题若┐q 则┐p 互为逆否互逆否互为逆否 互 互逆 否 互 高中数学必修+选修知识点归纳必修1数学知识点 第一章：集合与函数概念 1、集合三要素：确定性、互异性、无序性。 2、 常见集合：正整数集合：*N 或+N ，整数集合： Z ，有理数集合：Q ，实数集合：R . 3、并集.记作：B A Y .交集.记作：B A I . 全集、补集{|,}U C A x x U x A =∈?且 (C U A)∩( C U B) = C U (A ∪B) (C U A)∪( C U B) = C U (A ∩B)；B B A =I A B ??； 简易逻辑： 或：有真为真，全假为假。 且：有假为假，全真为真。 非：真假相反 原命题：若P 则q ； 逆命题：若q 则p ；否命题：若┑P 则┑q ；逆否命题：若┑q 则┑p 。 常用变换： ①) () ()()()()(y f x f y x f y f x f y x f =-?=+. 证)()(])[()() () ()(y f y x f y y x f x f x f y f y x f -=+-=?= - ②)()()()()()(y f x f y x f y f x f y x f +=??-= 证：)()()()(y f y x f y y x f x f +=?= 4、设A 、B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有惟一确定的数()x f 和它对应，那么就称B A f →:为集合A 到集合B 的一个函数，记作：()A x x f y ∈=,. 5、定义域1?? ??? 分母不等于零被开方大于等于零对数的幂大于零，底大于零不等于 值域：利用函数单调性求出所给区间的最 大值和最小值， 6、函数单调性： (1)定义法：设2121],,[x x b a x x <∈、那么 ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在?<-上是增函数； ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在?>-上是减函数. 步骤：取值—作差—变形—定号—判断 (2)导数法：设函数)(x f y =在某个区间内可导，若 0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；若0)(<'x f ，则) (x f 为减函数. 7、奇偶性 ()x f 为偶函数：()()x f x f =-图象关于y 轴对称.

《概率论与数理统计》习题随机变量及其分布

第二章 随机变量及其分布 一. 填空题 1. 设随机变量X ～B(2, p), Y ～B(3, p), 若P(X ≥ 1) =9 5 , 则P(Y ≥ 1) = _________. 解. 9 4951)1(1)0(=-=≥-==X P X P 94)1(2 = -p , 3 1=p 2. 已知随机变量X 只能取－1, 0, 1, 2四个数值, 其相应的概率依次为c c c c 162 , 85,43,21, 则c = ______. 解. 2,16321628543211==+++= c c c c c c 3. 用随机变量X 的分布函数F(x)表示下述概率: P(X ≤ a) = ________. P(X = a) = ________. P(X > a) = ________. P(x 1 < X ≤ x 2) = ________. 解. P(X ≤ a) = F(a) P(X = a) = P(X ≤ a)－P(X < a) = F(a)－F(a －0) P(X > a) = 1－F(a) P(x 1 < X ≤ x 2) = F(x 2)－F(x 1) 4. 设k 在(0, 5)上服从均匀分布, 则02442 =+++k kx x 有实根的概率为_____. 解. k 的分布密度为??? ??=0 51 )(k f 其它50≤≤k P{02442 =+++k kx x 有实根} = P{03216162 ≥--k k } = P{k ≤－1或k ≥ 2} =5 3 515 2=?dk 5. 已知2}{,}{k b k Y P k a k X P =-== =(k = 1, 2, 3), X 与Y 独立, 则a = ____, b = ____, 联合概率分布_____, Z = X + Y 的概率分布为_____. 解. 116,132==++ a a a a . 49 36 ,194= =++b b b b (X, Y)

假设检验spss操作例题

单样本T检验 按规定苗木平均高达1.60m以上可以出圃，今在苗圃中随机抽取10株苗木，测定的苗木高度如下： 1.75 1.58 1.71 1.64 1.55 1.72 1.62 1.83 1.63 1.65 假设苗高服从正态分布，试问苗木平均高是否达到出圃要求？(要求α=0.05) 解：1）根据题意，提出： 虚无假设H0：苗木的平均苗高为H0=1.6m; 备择假设H1：苗木的平均苗高H1>1.6m； 2）定义变量：在spss软件中的“变量视图”中定义苗木苗高, 之后在“数据视图”中输入苗高数据； 3)分析过程 在spss软件上操作分析，输出如下：

表1.1:单个样本统计量 表1.2:单个样本检验 由图1.1和表1.1数据分析可知，变量苗木苗高成正态分布，平均值为1.6680m，标准差为0.0843，说明样本的离散程度较小，标准误为0.0267，说明抽样误差较小。 由表1.3数据分析可知，T检验值为2.55，样本自由度为9，t检

验的p值为0.031<0.05,说明差异性显著，因此，否定无效假设H0，取备择假设H1。 由以上分析知：在显著水平为0.05的水平上检验，苗木的平均苗高大于1.6m，符合出圃的要求。 独立样本T检验 从两个不同抚育措施育苗的苗圃中各以重复抽样的方式抽得样本如下： 样本1苗高（CM）：52 58 71 48 57 62 73 68 65 56 样本2苗高（CM）：56 75 69 82 74 63 58 64 78 77 66 73 设苗高服从正态分布且两个总体苗高方差相等（齐性），试以显著水平α=0.05检验两种抚育措施对苗高生长有无显著性影响。 解：1）根据题意提出： 虚无假设H0：两种抚育措施对苗木生长没有显著的影响； 备择假设H1：两种抚育措施对苗高生长影响显著； 2）在spss中的“变量视图”中定义变量“苗高1”，“抚育措施”，之后在“数据视图”中输入题中的苗高数据，及抚育措施，其中措施一定义为“1”措施二定义为“2”； 3）分析过程 在spss软件上操作分析输出分析数据如下;

二项分布经典例题+测验题资料

二项分布经典例题+测 验题

二项分布 1．n 次独立重复实验 一般地，由n 次实验构成，且每次实验相互独立完成，每次实验的结果仅有两种对立的状态，即A 与A ，每次实验中()0P A p =>。我们将这样的实验称为n 次独立重复实验，也称为伯努利实验。 （1）独立重复实验满足的条件第一：每次实验是在同样条件下进行的；第二：各次实验中的事件是互相独立的；第三：每次实验都只有两种结果。 （2）n 次独立重复实验中事件A 恰好发生k 次的概率 ()P X k ==(1)k k n k n C p p --。 2．二项分布 若随机变量X 的分布列为()P X k ==k k n k n C p q -，其中 0 1.1,0,1,2,,,p p q k n <<+==则称X 服从参数为,n p 的二项分布，记作(,)X B n p 。 1．一盒零件中有9个正品和3个次品，每次取一个零件，如果取出的次品不再放回，求在取得正品前已取出的次品数X 的概率分布。 3.甲乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为2 1，乙每次击中目标的概率为3 2. （1）记甲击中目标的此时为ξ，求ξ的分布列及数学期望； （2）求乙至多击中目标2次的概率； （3）求甲恰好比乙多击中目标2次的概率. 【巩固练习】

1.（2012年高考（浙江理））已知箱中装有4个白球和5个黑球, 且规定:取出一个白球的2分,取出一个黑球的1分.现从该箱中任取(无放回,且每球取到的机会均等)3个球,记随机变量X为取出3球所得分数之和. (Ⅰ)求X的分布列。 (Ⅱ)求X的数学期望E(X). 2．（2012年高考（重庆理））(本小题满分13分,(Ⅰ)小问5分,(Ⅱ)小问8分.) 甲、乙两人轮流投篮,每人每次投一球,.约定甲先投且先投中者获胜,一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每 次投篮投中的概率为1 3,乙每次投篮投中的概率为1 2 ,且各次投篮 互不影响. (Ⅰ) 求甲获胜的概率。 (Ⅱ) 求投篮结束时甲的投篮次数 的分布列与期望 3．设篮球队A与B进行比赛，每场比赛均有一队胜，若有一队胜4场则比赛宣告结束，假定,A B在每场比赛中获胜的概率都是 1 2 ，试求需要比赛场数的期望． 3．（2012年高考（辽宁理））电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况,随机抽取了100名观众进行调查.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图。

重点高中数学必修一知识点(树状图分布)

重点高中数学必修一知识点(树状图分布)

————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：

高一数学必修1知识网络 集合 123412n x A x B A B A B A n A ∈??? ????? ∈?∈?（）元素与集合的关系：属于（）和不属于（）（）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性集合与元素（）集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限集、无限集、空集（）集合的表示方法：列举法、描述法（自然语言描述、特征性质描述）、图示法、区间法子集：若 ，则，即是的子集。、若集合中有个元素，则集合的子集有个， 注关系集合集合与集合{}00(2-1)23,,,,.4/n A A A B C A B B C A C A B A B x B x A A B A B A B A B A B x x A x B A A A A A B B A A B ?????????? ????????????≠∈?????=???=∈∈?=??=??=???真子集有个。、任何一个集合是它本身的子集，即 、对于集合如果，且那么、空集是任何集合的（真）子集。 真子集：若且（即至少存在但），则是的真子集。集合相等：且 定义：且交集性质：，，，运算{}{},/()()()-()/()()()()()()U U U U U U U U A A B B A B A B A B x x A x B A A A A A A B B A A B A A B B A B A Card A B Card A Card B Card A B C A x x U x A A C A A C A A U C C A A C A B C A C B ????????????=∈∈???=??=?=???????????=+?=∈?=?=??==?=?，定义：或并集性质：，，，，， 定义：且补集性质：，，，， ()()()U U U C A B C A C B ????? ?? ?? ?? ?? ?????????? ???????? ??????????????????????? ?????????????????????=???????

二维随机变量及其分布题目

一、单项选择题 1．设随机变量21,X X 独立，且2 1 }1{}0{= ===i i X P X P （2,1=i ），那么下列结论正确的是 （ ） A .21X X = B .1}{21==X X P C .2 1 }{21= =X X P D .以上都不正确 2设X 与Y 相互独立，X 服从参数为12的0—1分布，Y 服从参数为1 3 的0—1分布，则方程 220t Xt Y ++=中t 有相同实根的概率为 （A ） 13 （B ）12 （C ）16 （D ）2 3 [] 3．设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为 ()22 ,02,14, (,)0, .k x y x y f x y ?+<<<

二项分布经典例题+测验题

二项分布 1．n 次独立重复实验 一般地，由n 次实验构成，且每次实验相互独立完成，每次实验的结果仅有两种对立的状态，即A 与A ，每次实验中()0P A p =>。我们将这样的实验称为n 次独立重复实验，也称为伯努利实验。 （1）独立重复实验满足的条件第一：每次实验是在同样条件下进行的；第二：各次实验中的事件是互相独立的；第三：每次实验都只有两种结果。 （2）n 次独立重复实验中事件A 恰好发生k 次的概率 ()P X k ==(1)k k n k n C p p --。 2．二项分布 若随机变量X 的分布列为()P X k == k k n k n C p q -，其中 0 1.1,0,1,2,,,p p q k n <<+==则称X 服从参数为,n p 的二项分布，记作(,)X B n p 。 1．一盒零件中有9个正品和3个次品，每次取一个零件，如果取出的次品不再放回，求在取得正品前已取出的次品数X 的概率分布。 3.甲乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为2 1，乙每次击中目标的概率为3 2 . （1）记甲击中目标的此时为ξ，求ξ的分布列及数学期望； （2）求乙至多击中目标2次的概率； （3）求甲恰好比乙多击中目标2次的概率. 【巩固练习】 1.（2012年高考（浙江理））已知箱中装有4个白球和5个黑球,且

规定:取出一个白球的2分,取出一个黑球的1分.现从该箱中任取(无放回,且每球取到的机会均等)3个球,记随机变量X为取出3球所得分数之和. (Ⅰ)求X的分布列。 (Ⅱ)求X的数学期望E(X). 2．（2012年高考（重庆理））(本小题满分13分,(Ⅰ)小问5分,(Ⅱ)小问8分.) 甲、乙两人轮流投篮,每人每次投一球,.约定甲先投且先投中者获胜,一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投 篮投中的概率为1 3,乙每次投篮投中的概率为1 2 ,且各次投篮互不 影响. (Ⅰ) 求甲获胜的概率。 (Ⅱ) 求投篮结束时甲的投篮次数 的分布列与期望 3．设篮球队A与B进行比赛，每场比赛均有一队胜，若有一队胜 4场则比赛宣告结束，假定,A B在每场比赛中获胜的概率都是1 2 ， 试求需要比赛场数的期望． 3．（2012年高考（辽宁理））电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况,随机抽取了100名观众进行调查. 下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图。

上海卷数学高考知识点分布统计表及试题分析

近6年上海高考试题知识点分类表（2006年~2011年）

2009年的高考命题以笔者所见，主要体现出以下几个特点（重点以2009年的理科试题为例进行分析）：

（1）考察的内容日趋全面，如在“二期课改”后新增加的矩阵、行列式（理科填空题第３题）、算法（理科填空题第４题）、离散型随机变量分布（理科填空题第７题）、概率的计算（选择题第１６题）、统计（选择题第１７题）、平面向量（解答题第２１题）、空间向量（解答题第２０题），以上在“二期课改”中新增知识板块和知识点都有所考察到，考察的分数多达30分以上。 在文科的试题中也涉及到线性规划（填空题第７题）、概率与统计（填空题第１１题和选择题第１８题）、三视图（选择题第１６题），除了几个主要板块（函数、数列、立体和解析几何）以外的知识也达到了３０分左右。在分值的分布上，2009年的选择题进一步增加到14题，仍保持每题4分，选择题的题量保持不变，解答题减少一题。对新增的向量的和行列式的知识，更强调了向量和行列式作为解题的工具进行使用，如平面向量在解析几何中的应用（解答题第２１题）和空间向量在立体几何中的应用（解答题第19题），这体现了把数学方法作为工具使用的特点，在立体几何中空间向量的使用也淡化了学生思维的难度。 （2）对“双基”的考察更加重视，试题更着重对基本概念和基本解题方法的考察，对基本概念的直接考察从填空题的前8题中有很明显的考察(通常只涉及到1到2个知识点) ，对基本方法的考察也“不偏”、“不怪”，如解答题第19题重点考察了用空间向量的方法解答二面角的问题，第21题重点考察平面向量和解析几何的结合，解答题的第22题对考生对反函数的性质的了解提出了很高的要求。在以上习题的解答过程中，充分地渗透出对“双基”的考察力度，为帮助学生从“题海”战术中解脱出来起到了很大的作用，指引学生真正回归课本上的概念和解题方法。从解题方法上看，整张试卷没有考察到技巧性过强的方法，但对学生需要把相关知识进行关联思考的能力提出了很高的要求，如把算法与分段函数结合（填空题第4题），把向量与立体几何和平面几何的结合，把二项式定理判断余数与数列的结合（解答题第23题）等，以上知识点的考察不仅需要学生对各个知识点进行准确地了解，同时要求学生具有综合思考的能力，能灵活和准确地使用各种方法解决问题。

第二章__随机变量及其概率分布_考试模拟题答案

第二章 随机变量及其概率分布 考试模拟题 (共90分) 一．选择题(每题2分共20分) 1．F(X)是随机变量X 的分布函数，则下列结论不正确的是（ B ） A.≤0F(x )1≤ B.F(x )=P{X=x } C.F(x )=P{X x ≤} D.F(∞+)=1, F(∞-)=0 解析： A,C,D 都是对于分布函数的正确结论，请记住正确结论！B 是错误的。 2．设随机变量X 的分布函数律为如下表格：F(x)为其分布函数，则F(5)=( C ) A.0.3 B.0.5 C.0.6 D.0.4 解析：由分布函数定义F(5)=P{X ≤5}=P{X=0}+P{X=2}+P{X=4}=0.1+0.2+0.3=0.6 3．下列函数可以作为随机变量分布函数的是（ D ） 4x 01≤≤x 2x 10<≤x A.F(x)= B.F(x)= 1 其它 2 其它 -1 x<0 0 x<0 C.F(x)= 2x 10<≤x D.F(x)= 2x 5.00<≤x 1 其它 1 x ≥0.5 解析：由分布函数F(x)性质：01)(≤≤x F ，A,B,C 都不满足这个性质，选D 4 x 31<<-x 4．设X 的密度函数为f(x)= 则P{-2

A. 0 B.83 C. 43 D. 85 解析：P{-2

正态分布及其经典习题和答案

专题：正态分布 【知识网络】 1、取有限值的离散型随机变量均值、方差的概念； 2、能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题； 3、通过实际问题，借助直观（如实际问题的直观图），认识正态分布、曲线的特点及曲线所表示的意义。 【典型例题】 例1：（1）已知随机变量X 服从二项分布，且E （X ）=2.4，V （X ）=1.44，则二项分布的参数n ，p 的值为 （ ） A ．n=4，p=0.6 B ．n=6,p=0.4 C ．n=8，p=0.3 D ．n=24，p=0.1 答案：B 。解析：()4.2==np X E ，()44.1)1(=-=p np X V 。 （2）正态曲线下、横轴上，从均数到∞+的面积为( )。 A ．95% B ．50% C ．97.5% D ．不能确定（与标准差的大小有关） 答案：B 。解析：由正态曲线的特点知。 （3）某班有48名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布，平均分为80，标准差为10，理论上说在80分到90分的人数是 （ ） A 32 B 16 C 8 D 20 答案：B 。解析:数学成绩是X —N(80,102)， 8080 9080(8090)(01)0.3413,480.34131610 10P X P Z P Z --??≤≤=≤≤=≤≤≈?≈ ???。 （4）从1，2，3，4，5这五个数中任取两个数，这两个数之积的数学期望为___________ 。 答案：8.5。解析：设两数之积为X ， ∴E(X)=8.5. （5）如图，两个正态分布曲线图： 1为)(1 ,1x σμ?，2为)(22x σμ?， 则1μ 2μ，1σ 2σ答案：＜，＞。解析：由正态密度曲线图象的特征知。 例2：甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题.规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格. （Ⅰ）求甲答对试题数ξ的概率分布及数学期望； （Ⅱ）求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率. 答案：解：（Ⅰ）依题意，甲答对试题数ξ的概率分布如下： 甲答对试题数ξ的数学期望 E ξ=5 9 61321210313010=?+?+?+? . （Ⅱ）设甲、乙两人考试合格的事件分别为A 、B ，则

高考数学理科考点解析及考点分布表

高考数学理科考点解析 及考点分布表 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】

2018年高考数学（理科）考点解析 一、考核目标与要求 数学科高考注重考查中学数学的基础知识、基本技能、基本思想方法（所谓三基），考查空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力以及应用意识、创新意识（五种能力、两种意识）。具体考试内容根据教育部颁布的《普通高中数学课程标准（实验）》、教育部考试中心颁布的《普通高等学校招生全国统一考试大纲（理科·课程标准实验）》确定。 关于考试内容的知识要求和能力要求的说明如下： 1．知识要求 知识是指《课程标准》所规定的必修课程、选修课程中的数学概念、性质、法则、公式、公理、定理以及由其内容反映的数学思想方法，还包括按照一定程序与步骤进行运算，处理数据、绘制图表等基本技能。 各部分知识的整体要求及其定位参照《课程标准》相应模块的有关说明． 对知识的要求由低到高分为了解、理解、掌握三个层次（分别用A、B、C表示），且高一级的层次要求包含低一级的层次要求． （1）了解（A）：要求对所列知识的含义有初步的、感性的认识，知道这一知识内容是什么，按照一定的程序和步骤照样模仿，并能（或会）在有关的问题中识别、认识它。 “了解”层次所涉及的主要行为动词有：了解，知道、识别，模仿，会求、会解等。 （2）理解（B）：要求对所列知识内容有较深刻的理性的认识，知道知识间的逻辑关系，能够对所列知识作正确的描述说明并用数学语言表达，能够利用所学的知识内容对有关问题进行比较、判断、讨论，具备利用所学知识解决简单问题的能力。 “理解”层次所涉及的主要行为动词有：描述，说明，表达、表示，推测、想象，比较、判别、判断，初步应用等。 （3）掌握（C）：要求能够对所列的知识内容进行推导证明，能够利用所学知识对问题进行分析、研究、讨论，并且加以解决。 “掌握”层次所涉及的主要行为动词有：掌握、导出、分析，推导、证明，研究、讨论、运用、解决问题等。 能正确地分析出图形中基本元素及其相互关系；能对图形进行分解、组合；会运用图形与图表等手段形象地揭示问题的本质。 （2）抽象概括能力：对具体的、生动的实例，在抽象概括的过程中，发现研究对象的本质；从给定的大量信息材料中，概括出一些结论，并能将其应用于解决问题或作出新的判断。

假设检验-例题讲解

假设检验 一、单样本总体均值的假设检验 .................................................... 1 二、独立样本两总体均值差的检验 ................................................ 2 三、两匹配样本均值差的检验 ........................................................ 4 四、单一总体比率的检验 ................................................................ 5 五、两总体比率差的假设检验 .. (7) 一、单样本总体均值的假设检验 例题： 某公司生产化妆品，需要严格控制装瓶重量。标准规格为每瓶250 克，标准差为1 克，企业的质检部门每日对此进行抽样检验。某日从生产线上随机抽取16 瓶测重，以95%的保证程度进行总体均值的假设检验。 x t μ-= data6_01 样本化妆品重量 SPSS 操作： （1）打开数据文件，依次选择Analyze （分析）→Compare Means （比较均值）→One Sample T Test （单样本t 检验），将要检验的变量置入Test Variable(s)（检验变量）； （2）在Test Value （检验值）框中输入250；点击Options （选项）按钮，在

Confidence Interval（置信区间百分比）后面的框中，输入置信度（系统默认为95%，对应的显著性水平设定为5%，即0.05，若需要改变显著性水平如改为0.01，则在框中输入99 即可）； （3）点击Continue（继续）→OK（确定），即可得到如图所示的输出结果。 图中的第2~5 列分别为：计算的检验统计量t 、自由度、双尾检验p-值和样本均值与待检验总体均值的差值。使用SPSS 软件做假设检验的判断规则是：p-值小于设定的显著性水平?时，要拒绝原假设（与教材不同，教材的判断标准是p

二项分布经典例题练习题

二项分 布 1．n 次独立重复试验 一般地，由n 次试验构成，且每次试验相互独立完成，每次试验的结果仅有两种对立的状态，即A 与A ，每次试验中()0P A p =>。我们将这样的试验称为n 次独立重复试验，也称为伯努利试验。 （1）独立重复试验满足的条件第一：每次试验是在同样条件下进行的；第二：各次试验中的事件是互相独立的；第三：每次试验都只有两种结果。 （2）n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()P X k ==(1)k k n k n C p p --。 2．二项分布 若随机变量X 的分布列为()P X k ==k k n k n C p q -，其中0 1.1,0,1,2,,,p p q k n <<+==L 则称X 服从参数为,n p 的二项分布，记作(,)X B n p :。 1．一盒零件中有9个正品和3个次品，每次取一个零件，如果取出的次品不再放回，求在取得正品前已取出的次品数X 的概率分布。 2.一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设他在各个交通岗遇到 红灯的事件是相互独立的，并且概率都是31 . (1)设ξ为这名学生在途中遇到红灯的次数，求ξ的分布列； (2)设η为这名学生在首次停车前经过的路口数，求η的分布列；

(3)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率. 3.甲乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为 21，乙每次击中目标的概率为3 2. （1）记甲击中目标的此时为ξ，求ξ的分布列及数学期望； （2）求乙至多击中目标2次的概率； （3）求甲恰好比乙多击中目标2次的概率. 【巩固练习】 1.（2012年高考（浙江理））已知箱中装有4个白球和5个黑球,且规定:取出一个白球的 2分,取出一个黑球的1分.现从该箱中任取(无放回,且每球取到的机会均等)3个球,记随机变量X 为取出3球所得分数之和. (Ⅰ)求X 的分布列; (Ⅱ)求X 的数学期望E (X ). 2．（2012年高考（重庆理））(本小题满分13分,(Ⅰ)小问5分,(Ⅱ)小问8分.) 甲、乙两人轮流投篮,每人每次投一球,.约定甲先投且先投中者获胜,一直到有人获胜 或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为1 3 ,乙每次投篮投中的概 率为1 2 ,且各次投篮互不影响. (Ⅰ)求甲获胜的概率; (Ⅱ)求投篮结束时甲的投篮次数ξ的分布列与期望

高考数学考点解析及分值分布

高考数学考点解析及分值 分布 Prepared on 22 November 2020

高考数学考点解析1．集合与简易逻辑： 10-18分 主要章节：必修1第一章《集合》、第三章《函数的应用》 选修1-1（文）2-1（理）《常用逻辑用语》 考查的重点是抽象思维能力，主要考查集合与集合的运算关系，将加强对集合的计算与化简的考查，并有可能从有限集合向无限集合发展。简易逻辑多为考查“充分与必要条件”及命题真伪的判别。 2．函数与导数： 30分+ 主要章节：必修1第二章《基本初等函数》、第三章《函数的应用》必修4第一章《三角函数》 必修2第三章《直线与方程》、第四章《园与方程》 选修1-1（文）2-1（理）《圆锥曲线与方程》、《导数》 选修4-4《极坐标方程》《参数方程》 函数是高中数学的主要内容，它把中学数学的各个分支紧密地联系在一起，是中学数学全部内容的主线。以指数函数、对数函数、复合函数为载体，结合图象的变换（平移、伸缩、对称变换）、四性问题（单调性、奇偶性、周期性、对称性）、反函数生成考题，作为选择题、填空题考查的主要内容，其中函数的单调性和奇偶性有向抽象函数发展的趋势。函数与导数的结合的解答题，以切线、极值、最值问题、单调性问题、恒成立问题为设置条件，结合不等式、数列综合成题，也是解答题拉分关键。

3．不等式：5-12分 主要章节：必修5第三章《不等式》 选修4-5全书 一般不会单独命题，会在其他题型中“隐蔽”出现，不等式作为一种工具广泛地应用在涉及函数、数列、解几等知识的考查中，不等式重点考五种题型：解不等式（组）；证明不等式；比较大小；不等式的应用；不等式的综合性问题。选择题和填空题主要考查不等式性质、解法及均值不等式。解答题会与其它知识的交汇中考查，如含参量不等式的解法（确定取值范围）、数列通项或前n项和的有界性证明、由函数的导数确定最值型的不等式证明等。 4．数列：20-28分 主要章节：必修5第二章《数列》 数列是高中数学的重要内容，是初等数学与高等数学的重要衔接点，所以在历年的高考解答题中都占有重要的地位．题量一般是一个小题一个大题，另外一个与其它知识的综合题。文科以应用等差、等比数列的概念、性质求通项公式、前n项和为主；理科以应用Sn或an之间的递推关系求通项、求和、证明有关性质为主。证明题以考“错位相减法”比较多。 5．三角函数： 18-25分 主要章节：必修4第一章《三角函数》、第三章《三角恒等变换》必修5第一章《解三角形》

第二章随机变量与分布函数习题

第二章：随机变量与分布函数习题 一、“离散型随机变量与分布函数”习题： 1. 射手对靶子进行射击，用X 表示击中的环数，已知击中一环的概率为0.2，击中两环的概率为0.8；求：（1）X 的分布列及分布函数；（2）()()10,1≤<≥X P X P . 2. 射手对靶子进行射击，一次射击的命中率为0.8，现在连续射击三枪，用X 表示三枪中命中的次数，求：（1）X 的分布列及分布函数；（2）A “至少命中两枪”的概率. 3. 设随机变量X 的分布函数为 ()()???? ???≥<≤<≤--<=≤=31 318.0114.010 x x x x x X P x F 求：X 的分布列. 4. 设随机变量X 的分布函数为 ()??? ? ????? >≤≤<=2120sin 00ππx x x A x x F 求：（1）A =？ （2）??? ??<6πx P . 5. 设随机变量X 的分布列为??? ? ??--22121101q q ； 求： （1）q=？ （2）X 的分布函数. 6. 某设备由三个独立工作的元件构成，该设备在一次试验中每个元件发生故障的概率为 0.1，求该设备在一次试验在中发生故障的元件数的分布列. 7. 将一颗骰子投掷两次，以X 表示两次所得点数之和、Y 表示两次中所得的小的点数；分别求X 与Y 的分布列. 8. 设随机变量X ~()p B ,2， 随机变量Y ~()p B ,3； 已知()9 5 1=≥X P ， 求：()1≥Y P . 二、“连续型随机变量与分布函数”习题： 1. 设()()??? ??<>≥=-00 0,0212 x a x e a x x f a x ； ()?????<<=其他0 0cos 21 2 πx x x f ； ()????? <<-=其他0 22cos 3ππx x x f ； （1） 以上()()()x f x f x f 321,,是否是某随机变量X 的分布密度函数？