LU分解解线性方程组例题
1、用矩阵的LU分解算法求解线性方程组 X1+2X2+3X3 = 0
2X1+2X2+8X3 = -4
-3X1-10X2-2X3 = -11
解题过程：
1）用到L,U的计算公式
2）得到L为 1 0 0
2 1 0
-1 -6 1
U为 1 2 3
0 -2 2
0 0 13
3）
线性代数第3章_线性方程组习题解答
习题3 3-1．求下列齐次线性方程组的通解： （1）?? ? ??=--=--=+-087305302z y x z y x z y x . 解 对系数矩阵施行行初等变换，得 ???? ? ??-----?→?????? ??-----=144072021 1873153211A )(000720211阶梯形矩阵B =???? ? ??-?→? ??? ?? ??-?→?0002720211)(000271021101行最简形矩阵C =????? ? ???→? ， 与原方程组同解的齐次线性方程组为 ??? ??? ?=+=+02702 11 z y z x ， 即 ??? ??? ?-=-=z y z x 272 11（其中z 是自由未知量）， 令1=z ，得到方程组的一个基础解系 T )1,2 7,211(-- =ξ, 所以，方程组的通解为
,)1,2 7,211(T k k -- =ξk 为任意常数． （2）??? ??=+++=+++=++++0 86530543207224321 432154321x x x x x x x x x x x x x . 解 对系数矩阵施行行初等变换，得 ???? ? ??--?→?????? ??=21202014101072211086530543272211A )(7000014101072211阶梯形矩阵B =????? ??-?→? ???? ? ??-?→?70000141010211201 )(100000101001201行最简形矩阵C =???? ? ???→?， 与原方程组同解的齐次线性方程组为 ??? ??==+=++00 025 42431x x x x x x ， 即 ??? ??=-=--=025 4 2431x x x x x x （其中43,x x 是自由未知量）， 令34(,)T x x =(1,0)T ，(0,1)T ，得到方程组的一个基础解系 T )0,0,1,0,2(1-=ξ，T )0,1,0,1,1(2--=ξ， 所以，方程组的通解为
3线性方程组典型习题解析
3 线性方程组 3、1 知识要点解析(关于线性方程组的常用表达形式) 3.1.1 基本概念 1、方程组1111221n 1211222 2n 2m11m22mn m x x b x x b x x b a a a a a a a a a +++=??+++=? *???++ +=? 称为含n 个未知量m 个方程的线性方程组, i)倘若12m b ,b ,....,b 不全为零,则该线性方程组称为非齐次线性方程组; ii)若12m b =b = =b 0=,则该线性方程组就就是齐次线性方程组, 这时,我们也把该方程组称为1111221n 1211222 2n 2m11m22mn m x x x x x x a a a a a a a a a ++ +=??+++=? ???++ +=?c c c 的导出组, (其中12m c ,c ,...c 不全为零) 2、记1111 1221 n m x b x b ,x ,b x b n m mn a a A a a ???? ?? ? ? ? ? ?== ? ? ? ? ? ??? ???? = 则线性方程组(*)又可以表示为矩阵形式 x b A =** 3、又若记 1j 2j j mj ,j 1,2, n a a a α?? ? ? == ? ? ??? 则上述方程游客一写成向量形式 1122n n x x x b. ααα++ +=***。 同时,为了方便,我们记(,b)A A =,称为线性方程组(*)的增广矩阵。 3.1.2 线性方程组解的判断
1、齐次线性方程组x 0A =,(n=线性方程组中未知量的个数 对于齐次线性方程组,它就是一定有解的(至少零就就是它的解), i)那么,当r n A =秩()=时,有唯一零解; ii)当r n A =秩()<时,又非零解,且线性无关解向量的个数为n-r 、 2、非齐次线性方程组x b A = ()<() ()=()=n, ()=()()=()
线性方程组典型习题及解答
线性方程组 1. 用消元法解方程组?????? ?=- +-+=-- + - =-+-+ =- -+-5 2522220 21 22325 4 321 53 2 154321 5 4321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x . 解: 方程组的增广矩阵 : ????? ???????---------→????????????---------→????????????---------420200110100112430211321312630202530112430211321512522110112121111211321? ??? ????? ???--------→60000 0110100112430211321,可知,系数矩阵的秩为3,增广矩阵的秩为4,系数矩阵的秩不等于增广矩阵的秩,从而方程组无解. 2. 讨论λ为何值时,方程组??? ??=++ = + +=++2 3 2 1 3 2 1 321 1 λλλλλx x x x x x x x x 有唯一解、无解和有无穷多解。 解：将方程组的增广矩阵进行初等行变换，变为行阶梯矩阵。 ()() ()()B A =??? ? ???? ? ?+------→→???? ????? ?→?? ??? ?????=22 2 2211210 1101 111 1 11111 1 1 1 111λλλλλλλ λλλ λλλλλλλ λλ λΛ于是，当2,1-≠λ时，系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，都等于3，等于未知量的个数，此 时方程组有唯一解;2 )1(,21,213 321++-=+=++- =λλλλλx x x 当2-=λ时，系数矩阵的秩为2，增广矩阵的秩为3，此时方程组无解； 当1=λ时，系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，都等于1，小于未知量的个数，此时方程组有无穷多解，即3211x x x --=，其中32,x x 为自由未知量。
齐次和非齐次线性方程组的解法(整理定稿)
线性方程组解的结构（解法） 一、齐次线性方程组的解法 【定义】 r (A )= r
数值分析5 LU分解法
§3 LU 分解法 ——Gauss 消去法的变形 知识预备： 1矩阵的初等行变换、初等矩阵及其逆、乘积 2矩阵的乘法 3上三角矩阵的乘积、单位下三角矩阵的乘积 4单位下三角矩阵的逆、可逆的上三角矩阵的逆 一、Gauss 消去法的矩阵解释 Gauss 消去法实质上是将矩阵A 分解为两个三角矩阵相乘。 我们知道，矩阵的初等行变换实质就是左乘初等矩阵。 第一轮消元：相当于对A （1） 左乘矩阵L 1，即 )2()1(1A A L = 其中 ) 1(11 ) 1(1 1)2()2(2 )2(2)2(22 ) 1(1) 1(12)1(11) 2(131211,,1001 011a a l a a a a a a a A l l l L i i nn n n n n =?????? ??????? ?=????? ?? ?????????---= 第二轮消元：对应于 )3()2(2A A L = 一般地 1,,2,1) 1()(-==+n k A A L k k k (1) 其中
n k k i a a l l l L k kk k ik ik nk k k k ,,2,1,,10111)() (1 ++==??? ???? ?? ? ?? ??? ???? ?--=+整个消元过程为 U A A L L L L n n n 记)(1221=-- ????? ? ? ?? ?? ? ? ?=nn n n u u u u u u 22211211………（2） 从而 U L U L L L L U L L L L A n n n n ?===---------1 112121111221)( 其中L 是单位下三角矩阵，即 ,1,,1,,3,2,,11 11)() (21323121??? ? ??-===????? ?? ?????????=n j n i l l l l l l L j jj j ij a a ij n n …（3） 【注】消元过程等价于A 分解成LU 的过程 回代过程是解上三角方程组的过程。 二、矩阵的三角分解 1、若将A 分解成L ?U ，即A=L ?U ，其中L 为单位下三角矩阵,U 为非奇异上三角矩阵,则称之为对A 的Doolittle 分解。 当A 的顺序主子式都不为零时，消元运算可进行，从而A 存在唯一的Doolittle 分解。 证明：若有两种分解，A=L 1U 1，A=L 2U 2，则必有L 1=L 2，U 1=U 2。 因为L 1U 1=L 2U 2，而且L 1，L 2都是单位下三角矩阵，U 1,U 2都是可逆上三角矩阵,所以有 112112--=U U L L
线性方程组-练习
1．设向量组123,,ααα线性无关，向量1β可由123,,ααα线性表示，而向量2β不能由123,,ααα线性表示，则对于任意常数k ,必有（ ）A (A) 12312,,,k αααββ+线性无关； （B ）12312,,,k αααββ+线性相关; ( C) 12312,,,k αααββ+线性无关； (D) 12312,,,k αααββ+线性相关 2．n 维向量组)1(,,,21n s s ≤≤ααα 线性无关的充要条件是 （ D ） (A) 存在一组不全为零的s k k k ,,21 ,使得02211=+++s s k k k ααα (B) s ααα ,,21 中的任何两个向量都线性无关 (C) s ααα ,,21 中存在一个向量，它不能被其余向量线性表示 (D) s ααα ,,21 中的任何一个向量都不能被其余向量线性表示 3. （1）若两个向量组等价，则它们所含向量的个数相同； （2）若向量组}{21r ααα，，， 线性无关，1+r α可由r ααα ,21,线性表出，则向量组}{121+r ααα，，， 也线性无关； （3）设}{21r ααα，，， 线性无关，则}{121-r ααα，，， 也线性无关； （4）}{21r ααα，，， 线性相关，则r α一定可由121,-r ααα ，线性表出；以上说法正确的有（ A ）个。 A .1 个 B .2 个 C ．3 个 D .4个 4．向量组A :12,,,n ααα 与B :12,,,m βββ 等价的充要条件为（ C ）. A .()()R A R B =； B .()R A n =且()R B m =； C ．()()(,)R A R B R A B ==； D .m n = 5．讨论a ，b 取什么值时，下面方程组有解，对有解的情形，求出一般解。 1234123423412341322235433x x x x x x x x a x x x x x x x b +++=??+++=??++=??+++=?。 答案：a ＝0，b ＝2有解；其他无解。 (-2,3,0,0)’+k1(1,-2,1,0)’+k2(1,-2,0,1)’ 6．试就k 的取值情况讨论以下线性方程组的解,并在有无穷的解时求出通解:
解线性方程组
课程设计阶段性报告 班级：学号：姓名：申报等级： 题目：线性方程组求解 1.题目要求：输入是N（N<256）元线性方程组Ax=B，输出是方程组的解，也可能无解或有多组解。可以用高斯消去法求解，也可以采用其它方法。 2.设计内容描述：将线性方程组做成增广矩阵，对增广矩阵进行变换然后采用高斯消元法消去元素，从而得到上三角矩阵，再对得到的上三角矩阵进行回代操作，即可以得到方程组的解。 3.编译环境及子函数介绍：我使用Dev-C++环境编译的，调用uptrbk() FindMax()和ExchangeRow(),uptrbk是上三角变换函数，FindMax()用于找出列向量中绝对值最大项的标号，ExchangeRow()用于交换两行 4. 程序源代码： #include
//交换矩阵中的两行 void ExchangeRow(int p,int j,double *A,int N) { int i=0; double C=0.0; for(i=0;i 线性方程组求解 习题课 一、给定方程组123211*********x x x -???????????? =? ???????????-?????? 试考察用Jacobi 迭代法和Seidel 迭代法求解的收敛性。 解：对Jacobi 迭代法，迭代矩阵为 -1J 00.50.5B =I-D A=1010.50.50-?? ??--?????? 因为3 5 04 J I B λλλ-=+=，得特征值 1230,,22i i λλλ===- 得( )12J B ρ=> ，由定理知 Jacobi 迭代法发散。 对Seidel 迭代法，迭代矩阵为 ()1 S B D L U -=-=1 20001100.50.511000100.50.5112000000.5---?????? ??????-=--?? ??????????--?? ???? 显然，其特征值为1230,0.5λλλ===- 故()0.51s B ρ=<，由定理知Seidel 迭代法收敛。 二、设线性方程组111211212222a a x b a a x b ?????? = ??? ??????? ，11220a a ≠， 112221120a a a a -≠。证明：解线性方程组的Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法同时收敛或不收敛。 证明： 121 1111 122221 21 22 0000 00J a a a a B a a a a -??- ?-???? ?== ? ? ?-????- ??? ()2 1221 1122det J a a I B a a λλ-=-，故( )J B λ= ( )J B ρ= 。 1211111 1221 2212211122000000S a a a a B a a a a a a -??- ?-???? ?== ? ? ????? ?? ? 线性方程组练习题 §1 向量的线性关系 1．判断下列向量组是否线性无关： （1）????? ??-11 2，????? ??-840，????? ??-311； （2）??????? ??01014，??????? ??1521，??????? ??1202，?????? ? ??7024。 2．讨论下面向量组的线性相关性： ???????? ??12211，???????? ??-15120，???????? ??-141b a 。 3．设????? ??=1111a ，????? ??=3211a ，???? ? ??=t 311a 。 （1）问当t 为何值时，321,,a a a 线性相关？ （2）问当t 为何值时，321,,a a a 线性无关？ （3）当321,,a a a 线性相关时，问3a 是否可以由1a ，2a 线性表示？若能，写出具体表达式。 4．设有向量组 ??????? ??+=11111t a ，??????? ??+=22222t a ，??????? ??+=33333t a ，?????? ? ??+=t 44444a 。 问：（1）当t 为何值时，4321,,,a a a a 线性相关？ （2）当t 为何值时，4321,,,a a a a 线性无关？ 5．设321,,a a a 线性无关，问当参数l ，m 满足何种关系时，12a a -l ，23a a -m ，31a a -也线性无关？ 6．设m a a a ,,,21 线性无关，作 211a a b +=，322a a b +=，…，m m m a a b +=--11，1a a b +=m m 。 判别m b b b ,,,21 的线性相关性。 7．设21,a a 线性无关，b a b a ++21,线性相关，问b 能否由21,a a 线性表示？ 8．设321,,a a a 线性相关，432,,a a a 线性无关。问： （1）1a 能否由32,a a 线性表示； （2）4a 能否由321,,a a a 线性表示。 9．若T k k ),,0(2=b 能由T k )1,1,1(1+=a ，T k )1,1,1(2+=a ，T k )1,1,1(3+=a 唯一 例：给定一4阶矩阵42158 7210 48366 8 4 9A ????? ?=?????? ，通过LU 分解求逆矩阵1A -。 解：算法过程为：1 1 1 1 ()A L U U L u l ----=?=?=?， 第一步：求LU 矩阵 设 0000 0102031011111213 202122222330 31 32 33330000000000 L U U U U L L U U U L U L L L U U L L L L U → ???? ?????????=↓ ????????????? ， 通过（4）~（7）式可逐步进行矩阵L 和U 中元素的计算，如下所示： 00112233000001010202030310203010203000 00 00 111110011212100213131003() 1,(U ) 4,2,1,5,(L )8462,1, 1.5, 4 4 4(U ) 7223,2210,10L L L L L U a U a U a U a a a a L L L U U U U a L U U a L U U a L U ============= === === ===-=-?==-=-?==-=计算的对角的第一行的第一列的第二行250, -?= 21212001113131300111 22222002211223232003211332323002311222 (L )11()(812)23115()(8 1.52)3 3 U 311202,615201,L 115()(4 1.512 3 L a L U U L a L U U U a L U L U U a L U L U L a L U L U U =-=?-?== -= ?-?= =--=-?-?==--=-?-?== --= ?-?- 的第二列（的第三行） （的第三列）33333003311332230) 1.25, U 59 1.550 1.2510.25; 3 U a L U L U L U ?==---=-?- ?-?=（的第四行） 经迭代计算，最后得到L 和U 矩阵为： 第二步：求L 和U 矩阵的逆u ，l 1 1 ,;u U l L --== （1）求U 矩阵的逆 1 1 0001020300010203111213 111213 2223222333334215000300000000210 0.25U U U U u u u u U U U u u u u U U u u U u --?? ????????????????===↑?? ???????????? ?? ?? 由式（9）可得矩阵U 的逆的各元素计算如下： 《线性代数》第三章练习题 一、思考题 1、设有线性方程组b AX =，其中A 为n 阶方阵，j A 为A 中第j 列元素换为b 所得行列式的值，判断下列命题是否正确？ （1）若0≠A ，则b AX =有唯一解； （2）若0=A ，且至少有一)1(0n j A j ≤≤≠，则b AX =无解； （3）若0=A ，且),,2,1(0n j A j ==，则b AX =有无穷多解。 2、判断下列命题是否正确？其中A 为n m ?矩阵。 （1）非齐次线性方程组b AX =，当n m <时，有无穷多解；当n m =时，有唯一解；当n m >时，无解； （2）齐次线性方程组0=AX ，当n m <时，必有非零解； （3）非齐次线性方程组b AX =，当m A r =)(时，必相容。 3、设向量组4321,,,αααα线性无关，判断向量组14433221,,,αααααααα++++是否也线性无关。 4、判断下列命题是否正确？ （1）若向量组m ααα,,,21 线性相关，则存在全不为零的数m k k k ,,,21 ，使得 02211=+++m m k k k ααα ； （2）若向量组m ααα,,,21 线性相关，且有02211=+++m m k k k ααα ，则 m k k k ,,,21 必不全为零； (3)若当数021====m k k k 时，02211=+++m m k k k ααα ，则向量组m ααα,,,21 线性无关； （4）若02211=+++m m k k k ααα ，必有021====m k k k ，则向量组m ααα,,,21 线性无关； （5）向量β不能由m ααα,,,21 表示，则βααα,,,,21m 线性无关； （6）若向量组m ααα,,,21 线性无关，则其中每一个向量都不能表示成其余向量的线性组合； （7）若向量组m ααα,,,21 线性无关，向量组s βββ,,,21 线性无关，则向量组 m ααα,,,21 ，s βββ,,,21 线性无关。 二、单项选择题 1. 设321,,X X X 是b AX =的三个特解，则下列哪个也是b AX =的解 （ ） （A ）332211X k X k X k ++； （B ）332211X k X k X k ++，1321=++k k k ； （C ）321)(X X X k ++ ； （D ） 32211)(X k X X k +-。 2．设321,,ξξξ是0=AX 的一组基础解系，则下列哪组也是0=AX 的一基础解系（ ） （A ）133221,,,ξξξξξξ+-； （B ）312321,,ξξξξξξ++-； （C ） 13321,ξξξξξ-++ ； （D ） 3121,,ξξξξ- 。 3．设A 是n 阶矩阵，并且0=A ，则A 的列向量中 （ ） （A ）必有一个向量为零向量 ； （B)必有两个向量的对应分量成比例； （C ）必有一个向量是其余向量的线性组合 ； （D ）任一向量是其余向量的线性组合。 4．如果4),,,(21=m r ααα ，则下列正确的是 （ ） （A ）如果 m ααα,,,21 的一个部分组线性无关 ，则该部分组包含的向量个数一定不超过4； 矩阵的LU 分解 一、题目 求一个4阶矩阵的LU 分解。（????? ???????=112 92 74 48 78 66 54 36 46 40 34 24 18 16 14 12 A ） 二、方法 Doolittle （杜里特尔）分解法 三、程序 jiangLU.M 的程序如下： function[L,U,flag]=jiangLU(A) [n,n]=size(A); L=eye(n);U=zeros(n);flag='OK'; for k=1:n for j=k:n z=0; for q=1:k-1 z=z+L(k,q)*U(q,j); end U(k,j)=A(k,j)-z; end if abs(U(k,k)) 48 74 92 112 >> [L,U,flag]=jiangLU(A) L = 1 0 0 0 2 1 0 0 3 2 1 0 4 3 2 1 U = 12 14 16 18 0 6 8 10 0 0 2 4 0 0 0 2 flag = OK 五、拓展 1、矩阵分解成LU形式是有条件的，首先矩阵必须是非奇异的矩阵，其次矩阵的全部顺序主子式非零的时候才能完全保证矩阵可分解成LU且分解唯一。不然，会有如下情况出现：>> A=[1 2 3;2 4 1;4 6 7] A = 1 2 3 2 4 1 4 6 7 >> [L,U,flag]=jiangLU(A) L = 1 0 0 2 1 0 4 0 1 U = 1 2 3 0 0 -5 0 0 0 flag = failure 2、Doolittle分解法是不选主元的三角分解法，若U（k,k）绝对值很小时，按此分解法可能引起舍入误差的积累。可以通过交换矩阵A的行实现矩阵PA的LU分解（前提是A为非奇异的矩阵）。 线性方程组解题方法技巧与题型归纳 题型一 线性方程组解的基本概念 【例题1】如果α1、α2是方程组 123131233231 2104 x x ax x x x ax x --=?? -=??-++=? 的两 个不同的解向量，则a 的取值如何 解： 因为α1、α2是方程组的两个不同的解向量，故方程组有无穷多解，r(A)= r(Ab)＜3， 对增广矩阵进行初等行变换： 21131132031022352104002314510a a a a a a a ----???? ? ?-→-- ? ? ? ?-----???? 易见仅当a=-2时，r(A)= r(Ab)=2＜3， 故知a=-2。 【例题2】设A 是秩为3的5×4矩阵， α1、α2、 α3是非齐次线性方程组Ax=b 的三个不同的解，若α1+α2+2α3=（2，0，0，0）T , 3α1+α2= （2，4，6，8）T ,求方程组Ax=b 的通解。 解:因为r(A)= 3，所以齐次线性方程组Ax=0的基础解系由4- r(A)= 1个向量构成， 又因为（α1+α2+2α3）-（3α1+α2） =2（α3-α1）=（0，-4，-6，-8）T , 是Ax=0的解， 即其基础解系可以是（0，2，3，4）T , 由A （α1+α2+2α3）=Aα1+Aα2+2Aα3=4b 知1/4 （α1+α2+2α3）是Ax=b 的一个解， 故Ax=b 的通解是 ()1,0,0,00,2,3,42T T k ?? + ??? 【例题3】已知ξ1=（-9，1，2，11）T ，ξ2=（1，- 5，13，0）T ，ξ3=（-7，-9，24，11）T 是方程组 12234411223441 234432332494x a x x a x d x b x x b x x x x c x d +++=?? +++=??+++=?的三个解，求此方程组的通解。 分析：求Ax=b 的通解关键是求Ax=0的基础解系，判断r(A)的秩。 解：A 是3×4矩阵， r(A)≤3，由于A 中第2，3两行不成比例，故r(A)≥2，又因为 η1=ξ1-ξ2=（-10，6，-11，11）T , η2=ξ2-ξ3= (8,4,-11,-11)T 是Ax=0的两个线性无关的解向量， 于是4- r(A)≥2，因此r(A)=2，所以ξ1+k 1η1+k 2η2是通解。 总结： 不要花时间去求方程组，太繁琐，由于ξ1-ξ2，ξ1-ξ3或ξ3-ξ1，ξ3-ξ2等都可以构成齐次线性方程组的基础解系，ξ1，ξ2，ξ3都是特解，此类题答案不唯一。 题型2 线性方程组求解 线性方程组单元练习题 1(96年，数学一，6分).?? ???=++=-+=++的基础解系求齐次方程组00054332152 1x x x x x x x x x 分析：求基础解系分三步：系数矩阵行变换到最简，写出通解方程组，自由变量取定值。 .10101,00011,10,01;0.,,235)(010001010010011~010001010010011~11100001111001121524 5 352152????? ?? ? ??--=???????? ??-=???? ?????? ??=??? ? ????? ??==--==-=-????? ??????? ??--????? ??-ξξ则基础解系为通解方程组为：自由变量为解：x x x x x x x x x x A R n 2.(98年，数学一，5分) ?? ?????=+++=+++=+++?? ?????=+++=+++=+++的通解，并说明理由 试写出线性方程组的一个基础解系为 已知线性方程组0 00)(;),,(,),,(,),,(000)(22,221122,222212122,12121112,212,222212,1121122,221122,222212122,1212111n n n n n n n n n T n n n n T n T n n n n n n n n n n y b y b y b y b y b y b y b y b y b B b b b b b b b b b x a x a x a x a x a x a x a x a x a A ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ T n n n n T n T n T T T T T T T a a a a a a a a a n B By A A AB BA AB B Ax B B B B A A ),,,(,),,,(,),,,()(0,0)(0 0)()(2,212,222212,11211ΛΛΛΛΛΘ个解的一组方程组的解。由此得到的每一行是的每一列即又满足的解，所以的每一列都是即的每一行。由于的系数矩阵为，的系数矩阵为解：设方程组=∴====, ,)(2)(A ,)()()(),,(,),,(,),,(2,212,222212,11211线性无关的行向量组即）的解的结构由（的基础解系，故是由于A n S R n A R n S R B R A b b b b b b b b b A A T n n n n T n T n =-===ΛΛΛΛΛ 实验二：插值法 专业班级：信息与计算科学112班 姓名：马晶 学号：2011014856 （1）实验目的： a.熟悉MA TLAB 编程，学会用MATLAB 实现用插值法求多项式；掌握用画图命令显示所得的多项式的图形，根据所得图形分析问题 b. 学习插值方法及程序设计算法，体会多项式插值法和三次样条插值法的不同，比较两种插值哪个更精确？ （2）实验题目： 1. 已知函数在下列各点的值为 x i 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 F(x i ) 0.98 0.92 0.81 0.64 0.38 试用4次牛顿插值多项式P 4(x)及三次样条函数S(x)(自然边界条件)对数据进行插值.用图给出{( x i,y i ), x i =0.2+0.08i,i=0,1,11,10}, P 4(x)及S(x). 2.在区间[-1,1]上分别取n=10﹑20用两组等距节点对龙格函数2 1()125f x x =+作多项式插值及三 次样条插值,分别画出插值函数及()f x 的图形. 3．下列数据点的插值 x 0 1 4 9 16 2 5 3 6 49 64 y 0 1 2 3 4 5 6 7 8 可以得到平方根函数的近似,在区间[0,64]上作图. (1)用这9个点作8次多项式插值 () 0010012010101()()[,]()[,,]()()[,,,]()n n n P x f x f x x x x f x x x x x x x f x x x x x x x -=+-+--+--L L L (2)用三次样条(第一边界条件)程序求().S x 从得到结果看在[0,64]上,哪个插值更精确;在区间[0,1]上,两种插值哪个更精确? （3）试验理论与理论基础： 1.多项式插值: 设在区间[a,b]上给定n+1个点 01n a x x x b ≤<<<≤L 上的函数值()(0,1,,),i i y f x i n ==L 求次数不超过n 的多项式,使(),0,1,,.i i y P x i n ==L 然后得到关于系数01,,,n a a a L 的n+1元线性方程组 010*********,, n n n n n n n n n a a x a x y a a x a x y a a x a x y ?+++=?+++=???? +++=?L L M L 该方程的系数矩阵为范德蒙德矩阵,通过带入数据可以直接得到唯一解,,,a a a L ,故可求得插值多项式 数值分析计算实习题 第5章解线性方程组的直接方法 【选题 列主元高斯消去法解线性方程组。 书上的计算实习题1、2、3都要求用列主元高斯消去法解线性方程组，所以考虑写一个普适的程序来实现。 对于线性方程组Ax二b,程序允许用户从文件读入矩阵数据或直接在屏幕输入数据。 文件输入格式要求: (1)第一行为一个整数n (2<=n<=100)，表示矩阵阶数。 (2)第2~n+l行为矩阵A各行列的值。 (3)第n+2~n+n+2行为矩阵b各行的值。 屏幕输入：按提示输入各个数据。 输出：A. b、det(A).列主元高斯消去计算过程、解向量X。 【算法说明】 设有线性方程组Ax=b,其中设A为非奇异矩阵。方程组的增广矩阵为 ?12 ?21 [Nb] = 第1步（k=l ）：首先在A的第一列中选取绝对值最大的元素?I,作为第一步的主元素: ?|| H0 然后交换（A, b）的第1行与第I行元素，再进行消元计算。 设列主元素消去法已经完成第1步到第k?l步的按列选主元，交换两行，消元计算得到与原方程组等价的方程组 A（k）x=b（k） 4? …4;) …唸) ? 忒 ? ? 輕 ■ [A.b]T[A ⑹,b")] = ??■ 咲■ ■ ■ ■ ■ * *■ 〃伏) ?? - % ■ 第k步计算如下: 对于 k=l, 2, ?…，0-1 （1）按列选主元：即确定t使 （2）如果tHk,则交换［A, b］第t行与第k行元素。（3）消元计算 5 4* J 叫=一鱼(=^ + 1,…,H) % 吗 <-?y + 〃如伽 (fJ = R + l,…/) b- <-勺+加汝仇， (i = /c + l,…,《) 消元乘数mik 满足: n (%-D 内) X1 < ------ -- ---- 9(j = ? 一 1,?一2■…J)tk M 1,(,=斤 +1, ???,?) fet e (4)回代求解 一，填空题 1 已知四维向量α，β满足3α+4β＝()2112T ，2α+3β＝()12 31T -，则向量α＝________，β＝_____ 2 有三维列向两组1α＝()100T ，()2110αT ＝，()3111αT ＝，()123βT ＝，且有112233βχαχαχα++＝，则123χχχ＝_____ ，＝_____，＝_____ 3.若向量组123,,ααα线性无关，则向量组122331,,αααααα+++是线性____。 4若n 个 n 维列向量线性无关，则由此n 个向量构成的矩阵必是______ 矩阵。 5若R )(1234,,,4αααα=，则向量组123,,ααα是线性________。 6若向量组)()()()( 12341,1,3,2,4,5,1,1,0,2,2,6,αααα===-=则此向量组的秩是______，一个极大无关组是______。 7已知向量组()()()1231,2,1,1,2,0,,0,0,4,5,2t ααα=-==--的秩为2，则t ＝____. 8已知方程组12312112323120x a x a x ????????????+=????????????-?????? 无解，则a ＝_____。 二，选择题 1.向量组()()()()12341,1,2,0,1,1,2,3,5,2,2,4αααα==-==的极大无关组为（ ） （A ）12,;αα （B ）13,;αα （C ）123,,;ααα （D ）23,;αα 2.若A ＝12421110λ?? ? ? ??? 为使矩阵A 的秩有最少值，则λ应为（ ） （A ）2； （B ）－1; (C)94; (D)12 ; 3. n 元齐次线性方程组AX=0有非零解时，它的每一个基础解系中所含解向量的个数等于（ ） （A ）R )(A -n ； （B ）)(R n A + （C ）)(n R -A ; (D))( n R +A 4.设123412342 34234355222χχχχχχχχχχχλ+-+=??+-+=??+-=? 当λ取（ ）时，方程组有解。 （A ）-12 (B) 12 (C)1- (D)1 第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 3.4 独立作业 3.4.1 基础练习 1． 已知1210 1125 1-?? ? = ? ?-? ? A ，求()R A . 2. 设矩阵X 满足关系2=+A X A X ，其中4 231 1012 3?? ? = ? ?-?? A ，求X . 3. 设矩阵1012 1032 5?? ? = ? ?--? ? A ，求1()--E A . 4. A 是m n ?矩阵，齐次线性方程组0=A x 有非零解的充要条件是 . 5. 若非齐次线性方程组=A x b 中方程个数少于未知数个数，那么( ). (A) =A x b 必有无穷多解； (B) 0=A x 必有非零解； (C) 0=A x 仅有零解； (D) 0=A x 一定无解. 6. 若方程组 123232321 32(3)(4)(2)x x x x x x x λλλλλλ+-=-?? -=-??-=--+-? 有无穷多解，则λ= . 7．若12(1,0,2),(0,1,1)T T ==-αα都是线性方程组0=A x 的解，则=A ( ). (A)()2,1,1- (B)2010 1 1-??? ??? (C)1 020 1 1-?? ??-?? (D)0114 220 1 0-?? ??--?????? 8. 求解线性方程组 1234 234 124 2342344,3,331,73 3. x x x x x x x x x x x x x -+-=?? -+=-? ? +-=??-++=-? 3.4.2 提高练习 1. 设A 为5阶方阵，且()3R =A ，则*()R A = . 2. 设1231 232 3k k k -?? ? =-- ? ?-? ? A , 问k 为何值，可使 （1）()1R =A （2）()2R =A （3）()3R =A . 3. 设n 阶方阵A 的每行元素之和均为零，且()1R n =-A ，则线性方程组0=A x 的 通解为 . 4．设n 阶矩阵A 与B 等价，则必有（ ）. （A ）当(0)a a =≠A 时，a =B （B ）当(0)a a =≠A 时，a =-B （C ）当0≠A 时，0=B （D ）当0=A 时，0=B 5．设方程组1231111 1111 2a x a x a x ?????? ? ? ? = ? ? ? ? ? ?-? ????? 有无穷多个解，则a = . 6．设4阶方阵()()234234,,,,,,,,A B αγγγβγγγ==其中234,,,,αβγγγ均为4维列 向量，且已知行列式4,3,A B ==求行列式.A B +线性方程组习题课
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