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江苏省常州市2019_2020学年高二数学上学期期末考试试题含解析

江苏省常州市2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题（含解析）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1.如果0a b <<，R c ∈，那么（） A. 0a b -> B. ac bc <

C. 22a b <

a b

> 【答案】D 【解析】【分析】

根据不等式的性质，对四个选项进行判断，从而得到答案. 【详解】因为a b <，所以0a b -<，故A 错误；因为a b <，当0c <时，得ac bc >，故B 错误；因为0a b <<，所以22a b >，故C 错误；因为0a b <<，所以11

a b

>，故D 正确. 故选：D.

【点睛】本题考查不等式的性质，属于简单题.

2.在等差数列{}n a 中，已知11a =，358a a +=，则7a =（） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8

【答案】C 【解析】【分析】

设等差数列{}n a 的公差为d ，根据条件，得到d 的值，求出答案. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，因为11a =，358a a +=，

所以12148d d +++=，解得1d = 所以7167a a d =+= 故选：C.

【点睛】本题考查等差数列通项中的基本量计算，属于简单题.

3.经过点()2,4的抛物线的标准方程为（） A. 2

8y x =

B. 2

x y = C. 2

8y x =或2

x y = D. 无法确定

【答案】C 【解析】【分析】

分情况设出抛物线的方程，代入已知点即可得到具体方程．

【详解】由题设知抛物线开口向右或开口向上，设其方程为()2

20y px p =>或

()220x py p =>，将点()2,4代入可得4p =或1

p =

，所以所求抛物线的标准方程为28y x =或2x y =.

故选C .

【点睛】这个题目考查了抛物线方程的求法，可称为待定系数法，较为基础. 4.命题“()0,x ?∈+∞，ln 1x x =-”的否定是（） A. ()0,x ?∈+∞，ln 1x x ≠- B. ()0,x ??+∞，ln 1x x =- C. ()0,x ?∈+∞，ln 1x x ≠- D. ()0,x ??+∞，ln 1x x =-

【答案】A 【解析】【分析】

根据命题的否定的要求，写出原命题的否定，得到答案. 【详解】原命题为命题“()0,x ?∈+∞，ln 1x x =-” 所以命题的否定为“()0,x ?∈+∞，ln 1x x ≠-” 故选：A.

【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定，属于简单题.

5.椭圆()22

2210x y a b a b +=>>的左、右顶点分别是A ，B ，左右焦点分别是1F ，2F ，若1AF ，

12F F ，1F B 成等比数列，则此椭圆的离心率为（）

【答案】B 【解析】【分析】

根据题意表示出1AF ，12F F ，1F B ，根据它们成等比数列，得到a ，c 的关系式，整理化简得到答案.

【详解】由题意，1AF a c =-，122F F c =，1F B a c =+，因为1AF ，12F F ，1F B 成等比数列，所以()()()2

2c a c a c =+-

2224c a c =-，即225c a =

所以椭圆离心率5

c e a ==

. 故选：B.

【点睛】本题考查椭圆的几何性质，求椭圆的离心率，属于简单题. 6.在下列函数中，最小值为2的是（） A. 5

5x y x

+（x ∈R 且0x ≠） B. ()1

lg 110lg y x x x

<< C. ()33x

y x R -=+∈

D. 1sin 0sin 2y x x x π??

<< ???

【答案】C 【解析】【分析】

根据基本不等式的使用条件，对四个选项分别进行判断，得到答案. 【详解】选项A ，当0x <时，y 0<，所以最小值为2不正确；选项B ，因为()1,10x ∈，所以()lg 0,1x ∈，所以1lg lg 2y x x =+

≥，当且仅当1lg lg x x

=，即10x =时等号成立，而()1,10x ∈，所以等号不成立，所以不正确；

选项C ，因为30x >，所以332x x

y -=+≥，当且仅当33x x -=，即0x =时，等号成立，

所以正确；选项D ，因为0,

2x π??

∈ ??

，所以()sin 0,1x ∈，所以1

sin 2sin y x x

≥，当且仅当1sin sin =

x x ，即2x π

=时，等号成立，而0,2x π??∈ ???

，所以不正确.

故选：C.

【点睛】本题考查基本不等式求和的最小值，基本不等式的使用条件，属于简单题. 7.已知空间向量()1,3,m x =，()

,1,2n x =-，则“1x =”是“m n ⊥”的（）

A. 必要不充分条件

B. 充分不必要条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件

【答案】B 【解析】【分析】

根据向量垂直的点积运算得到x 的值，进而得到结果. 【详解】

m n ⊥，2230x x ∴+-=，1x ∴=或-3.故x=1是m n ⊥的充分不必要条件.

故答案为B.

【点睛】这个题目考查了向量垂直的坐标表示，也考查了充分必要条件的判断，题目基础. 判断充要条件的方法是：①若p ?q 为真命题且q ?p 为假命题，则命题p 是命题q 的充分不必要条件；②若p ?q 为假命题且q ?p 为真命题，则命题p 是命题q 的必要不充分条件；③若p ?q 为真命题且q ?p 为真命题，则命题p 是命题q 的充要条件；④若p ?q 为假命题且q ?p 为假命题，则命题p 是命题q 的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p 与命题q 所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p 与命题q 的关系． 8.若0x >，0y >，且x y S +=，xy P =，则下列说法中正确的是（） A. 当且仅当x y =时S

取得最小值

B 当且仅当x y =时P 取得最大值2

C. 当且仅当P 为定值时S

取得最小值

D. 当且仅当S 为定值且x y =时P 取得最大值24

【答案】D 【解析】【分析】

根据基本不等式的求积的最大值，以及基本不等式的使用条件，得到答案. 【详解】因为0x >，0y >，且x y S +=，xy P =，根据基本不等式使用条件“一正二定三相等” 当且仅当S 为定值，

224x y S P xy ≤+??==

???

，当且仅当x y =时，等号成立.

即当且仅当S 为定值且x y =时P 取得最大值2

故选：D.

【点睛】本题考查基本不等式求积的最大值，基本不等式的使用条件，属于简单题. 9.《周髀算经》中一个问题：从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则冬至的日影子长为：（） A. 15.5尺 B. 12.5尺

C. 10.5尺

D. 9.5尺

【答案】A 【解析】【分析】

利用等差数列通项公式和前n 项和公式列方程组，求出首项和公差，由此能求出结果. 【详解】从冬至起，日影长依次记为12312,,,,a a a a ，

根据题意，有14737.5a a a ++=，根据等差数列的性质，有412.5a =，

而12 4.5a =，设其公差为d ，则有11

312.5

11 4.5a d a d +=??+=?，

解得115.5

a d =??

=-?，

所以冬至的日影子长为15.5尺，故选A.

【点睛】该题考查的是有关应用等差数列解决实际生活中的问题，涉及到的知识点有等差数列的通项公式以及前n 项和的有关量的计算，属于简单题目.

10.

的双曲线C ：()22

2210,0x y a b a b

-=>>的右焦点为F ，O 为坐标原点，

以OF 为直径的圆与双曲线C 的一条渐近线相交于O 、A 两点．若AOF ?的面积为2，则实数a 的值为（） A. 2

B. C. 4

D. 8

【答案】A 【解析】【分析】

根据题意，

，求出双曲线C 的渐近线，然后得到AOF ?为等腰直角三角形，根据其面积为2，得到c 的值，再得到a 的值.

，所以c =，

所以得到22222c a a b ==+，所以a b =

所以双曲线C ：22

221x y a b

-=的渐近线为y x =±

取y x =，倾斜角为45?，

OF 为直径，所以90OAF ?∠=，所以AOF ?为等腰直角三角形

所以11

222

AOF c c S ?=?=

，解得c =所以2a =. 故选：A.

【点睛】本题考查根据双曲线的离心率求渐近线方程，双曲线的几何性质，属于简单题. 11.如图，在三棱锥C OAB -中，OA OB ⊥，OC ⊥平面OAB ，6OA =，8OB OC ==，点D 、E 分别为AC ，AB 的中点，点F 在线段BC 上．若3

BF BC =，则异面直线EF 与OD 所成角的余弦值为（）

A. 37

C. 47

【答案】B 【解析】【分析】

以O 为原点建立空间直角坐标系，得到各点的坐标，然后得到EF 和OD 的坐标，根据向量的夹角公式，得到异面直线EF 与OD 所成角的余弦值. 【详解】因

OA OB ⊥，OC ⊥平面OAB ，

所以O 为原点，OA 为x 轴，OB 为y 轴，OC 为z 轴建立空间直角坐标系，

6OA =，8OB OC ==

所以()6,0,0A ，()0,8,0B ，()0,0,8C ，点D 、E 分别为AC ，AB 的中点所以()3,0,4D ，()3,4,0E 因为3

BF BC =

，所以()0,2,6F 所以()3,2,6EF =--，()3,0,4OD = 所以异面直线EF 与OD 所成角的余弦值为

cos ,EF OD EF OD EF OD

?<>=

?9243

9436916-+=

=++?+

故选：B.

【点睛】本题考查利用空间向量求异面直线所成的角，属于中档题.

12.已知F 为椭圆M ：2

212

x y +=的右焦点，点A ，B ，C 为椭圆M 上三点，当

0FA FB FC ++=时，称ABC ?为“和谐三角形”，则“和谐三角形”有（）

A. 0个

B. 1个

C. 3个

D. 无数个

【答案】D 【解析】【分析】

根据0FA FB FC ++=得到()1,0F 为ABC ?的重心，设()

0,0A x y ，则得到BC 边中点D 的坐标，要求D 在椭圆内，且为BC 弦中点，即存在满足要求的“和谐三角形”，从而得到答案.

【详解】因为F 为椭圆M ：2

212

x y +=的右焦点，

所以()1,0F

因为0FA FB FC ++=，所以()1,0F 为ABC ?的重心，设边BC 的中点为D ，则2AF FD =

所以()001212D D x x y y ?-=-?-=?，所以0032

2D D x x y y -?=???-?=??

设()11,B x y ，()22,C x y

所以120

03x x x y y y +=-??+=?

将B ，C 代入椭圆方程得22

112222

x y x y ?+=????+=??

两式相减，得到

()()()()1212121202

x x x x y y y y +-+

-+=

整理得到0

12120

32BC x y y k x x y --=

所以BC 方程为000033222y x x y x y --??

=- ???

当003,2

2x y D --??

???在椭圆内时，得

()2

200318

4x y -+<，而2

0012x y =- 所以得到01

x >

所以当012x ?∈ ?时，

直线000033222y x x y x y --??+=- ???与椭圆M ：2212

x y +=一定有两个交点B 和C ，满足()1,0F 为ABC ?的重心，即满足0FA FB FC ++=，使得ABC ?为“和谐三角形”，

因此满足要求的情况有无数种，所以“和谐三角形”有无数个. 故选：D.

【点睛】本题考查三角形重心的性质，点差法求弦中点所在的直线，点与椭圆的位置关系，属于中档题.

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上） 13.不等式

131

x x ->+的解集是______ 【答案】1|23x x ?

?-<<-???

【解析】【分析】

首先将所给的不等式转化为分式不等式，然后再转化为二次不等式求解其解集即可. 【详解】题中所给的不等式即：

211031x x -->+，2

031

x x -->+，该不等式等价于：()()2310x x --+>，

求解二次不等式可得：123

x -<<-，则不等式的解集为1|23x x ?

?-<<-????.

故答案为1|23x x ?

?-<<-???

?．

【点睛】本题主要考查分式不等式的解法，二次不等式的解法，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 14.已知正数a ，b 满足41a b +=，则1

ab ab

+的最小值为_______．【答案】

257

【解析】【分析】

根据41a b +=，利用基本不等式得到ab 的范围，再根据对勾函数的性质，得到1ab ab

+的最小值.

【详解】因为正数a ，b 满足41a b +=，

根据基本不等式得14a b =+≥=所以10,16ab ??∈ ???

，

设10,

16t ab ??

=∈ ???

则1y t t =+在10,16??

???

上单调递减

所以最小值为

1257161616

+=. 故答案为：

25716

【点睛】本题考查基本不等式求积的最大值，对勾函数的性质，属于简单题. 15.若数列{}n a 的通项公式为12n n a ，数列{}n b 满

足 ()2*2122

log log log n n n n n N a a b a ++=+

∈?，则数列{}n b 的前10项和为_______．【答案】

505

【解析】

【分析】

根据n a 的通项，得到n b 的通项，利用分组求和和裂项相消法，求出{}n b 的前10项和. 【详解】因为12n n a ，

所以()2*2122

log log log n n n n n N a a b a ++=+

∈? 121

221

log 2log 2log 2n n n -+=+

()111

1111

n n n n n n =-+

=-+-++

所以{}n b 的前10项和.

10111111

0129122310101S =+++???++-+-+???+-+

145111=+-

505

=. 故答案为：

505

【点睛】本题考查求数列的通项，分组求和法和裂项相消求和，属于简单题.

16.点P 为椭圆22

12516

x y +

=上一点，M 、N 分别是圆()2234x y ++=和()2231x y -+=上的动点，则PM PN +的取值范围是_______．【答案】[]7,13 【解析】【分析】

根据椭圆方程，得到焦点()13,0F -，()3,0F ，所以P 到两圆的圆心距离之和为10，从而得到，最小值为12107r r --=，最大值为121013r r ++=.

【详解】椭圆22

12516

x y +=，焦点()13,0F -，()3,0F ，

而圆()2

234x y ++=和()2

231x y -+=的圆心为()3,0-，()3,0

所以P 到两圆圆心的距离之和为10，

而M 、N 分别是圆()2234x y ++=和()2

231x y -+=上的动点所以()12min =107PM PN r r +--=

()12max =1013PM PN r r +++=.

所以PM PN +的

取值范围是[]7,13.

故答案

：[]7,13.

【点睛】本题考查椭圆的定义，点到圆的距离的范围，属于简单题.

三、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.已知p ：27100x x -+<，q ：22430x mx m -+<，其中0m >．（1）求使得p 为真命题的实数x 的取值范围；

（2）若p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．【答案】（1）{}|25x x << （2）5|23m m ?

?≤≤???

【解析】【分析】

（1）根据p 为真命题，解不等式27100x x -+<，得到x 的取值范围；（2）根据p 是q 的充分不必要条件，得到关于m 的不等式组，解得m 的取值范围. 【详解】解：（1）因为p 为真命题，所以27100x x -+<，解得：{}|25x x <<.

（2）由（1）得p ：25x <<，

q ：22430x mx m -+<

解得：3m x m << 所以q ：3m x m <<，因为p 是q 的充分不必要条件，

所以235m m ≤??≥?

且等号不能同时成立.

解得：

m ≤≤，所以实数m 的取值范围5|

23m m ??≤≤???

. 【点睛】本题考查根据命题的真假求变量的范围，根据充分不必要条件求参数的范围，属于简单题.

18.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n a 是n S 与2的等差中项．数列{}n b 中，12b =，点

()1,n n P b b +在直线2y x =+上．

（1）求1a 和2a 的值；

（2）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；

（3）设n n n c a b =?，求数列{}n c 的前n 项和n T ．

【答案】（1）12a =，24a = （2）2n

n a =，2n b n = （3）()2124n n T n +=-+

【解析】【分析】

（1）根据题意得到22n n a S =+，分别令1n =，2n =，得到1a ，2a ；（2）当2n ≥时，

1n n n a S S -=-，再验证1n =时，得到n a 的通项，根据点()1,n n P b b +在直线2y x =+上，得

12n n b b +=+，得到n b 为等差数列，从而得到其通项；（3）根据n n n c a b =?，得到n c 的通项，

然后利用错位相减法，得到前n 项和n T . 【详解】解：（1）由22n n a S =+

当1n =时，得1122a S =+，即1122a a =+，解得12a =；当2n =时，得2222a S =+，即21222a a a =++，解得24a =. （2）由22n n a S =+…① 得1122n n a S --=+…②；（2n ≥）

将两式相减得1122n n n n a a S S ---=-，即122n n n a a a --=，所以()122n n a a n -=≥，因为120a =≠，所以10n a -≠，

所以()1

22n

n a n a -=≥，所以数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，

所以1112222n n n

n a a --==?=.

数列{}n b 中，12b =，点()1,n n P b b +在直线2y x =+上，得12n n b b +=+，

所以数列{}n b 是首项为2，公差为2的等差数列，所以()2212n b n n =+-=.

（3）1

2n n n n c a b n +==?，

所以()2

122232122

n n T n n +=?+?+?+???+-?+?

()345122122232122n n n T n n ++=?+?+?+???+-?+?

上式减下式得

23412122222n n n T n ++-=?+++???+-?

()22212212

n n n +-=

-?-

22242n n n ++=--?

所以()2

4n n T n +=-+.

【点睛】本题考查由n a 和n S 的关系求数列通项，等差数列基本量计算，错位相减法求和，属于中档题.

19.如图，两铁路线垂直相交于站A ，若已知100AB =千米，甲火车从A 站出发，沿AC 方

向以50千米/小时的速度行驶，同时乙火车从B站出发，沿BA方向，以v千米/小时的速度行驶，至A站即停止前行（甲车扔继续行驶）（两车的车长忽略不计）.

（1）求甲、乙两车

的最近距离（用含v的式子表示）；（2）若甲、乙两车开始行驶到甲，乙两车相距最近时所用时间为0t小时，问v为何值时0t最大？

【答案】（1

2500+v

（2）50

v=时，

t最大.

【解析】

【分析】

（1）先设行驶t小时后，甲乙两车的距离最近，记此时甲车行驶到点D，乙车行驶到点E，根据题意，得到100

AE vt，50

AD t，由勾股定理，表示出2

DE，再由配方法，即可得出结果；

（2）先由（1）得

100

2500

，根据基本不等式，即可得出结果.

【详解】（1）设行驶t小时后，甲乙两车的距离最近，记此时甲车行驶到点D，乙车行驶到点E，

则100

AE vt，50

AD t，

则()()()

22222

10050250020010000 =+=-+=+-+

DE AE AD vt t v t vt

()2

10025000000

2500

25002500

=+-+

v t

v v

，

100

0≤≤

，

因为

100100

2500

≤≤

v v

，所以当

100

2500

时，2

DE取到最小值，

即DE取到最小值，此时

2500

海里；

2500+v

（2）由（1）知，当甲、乙两车开始行驶到甲，乙两车相距最近时所用时间为

100100

2500

25002500

==≤=

v v

，

当且仅当

2500

，即50

v=时，

t最大.

【点睛】本题主要考查函数模型的应用，以及由基本不等式求最值，熟记二次函数性质，以及基本不等式即可，属于常考题型.

20.如图，在四棱柱1111

ABCD A B C D

-中，侧棱

AA⊥底面ABCD，AB AC

⊥，1

AB=，1

AC AA

==，5

AD CD

==．

（1）求二面角11

D AC B

--的正弦值；

（2）点N是线段1D D的中点，点E为线段11

A B上点，若直线NE与平面ABCD所成角的正

367

，求线段1A E的长．

【答案】（1

310

（2）

【解析】

【分析】

（1）以A为原点建立空间直角坐标系，求出各点坐标，求出平面1

ACD的法向量m，平面

ACB 的法向量n，根据公式得到两个法向量之间的夹角余弦，再求出二面角11

D AC B

--的正弦

值；（2）设

111

A E A B

=，得到()

0,,2

Eλ，()

1,2,1

NEλ

=-+，根据公式，表示出NE与n 之间的夹角余弦，即直线NE和平面ABCD所成角的正弦值，从而得到关于λ的方程，求出λ的值，得到线段1A E的长.

【详解】（1）证明：如图，以A为坐标原点，以AC、AB、1

AA所在直线分别为x、y、z

轴建系，

则()0,0,0A ，()0,1,0B ，()2,0,0C ，()1,2,0D -，()10,0,2A ，()10,1,2B ，()12,0,2C ，()11,2,2D -，

又因为N 分别为1D D 的中点，所以()1,2,1N -.

()11,2,2AD =-，()2,0,0AC =，()10,1,2AB =，

设(),,m x y z =是平面1ACD 的法向量，

由100

m AD m AC ??=??=?，得220

20x y z x -+=??=?，

取1z =，得()0,1,1m =，

设(),,n x y z =是平面1ACB 的法向量，

由100n AB n AC ??=??=?

，得20

20y z x +=??=?，

取1z =，得()0,2,1n =-.

cos ,52

m n m n m n

=-，

设二面角11D AC B --的平面角为θ，所以1310

sin 11010

θ=-

，所以二面角11D AC B --的正弦值为

310

（2）由题意可设111A E A B λ=，其中

[]

0,1λ∈，∴()0,,2E λ，()1,2,1NE λ=-+，

又因为()0,0,1n =是平面ABCD 的一个法向量，所以cos ,1NE n NE n NE n

设直线NE 和平面ABCD 所成角为

α，sin cos ,NE n α===

，

整理，得2

409

λλ+-=，所以113033λλ????

-+= ???????

，解得13λ=

或13

λ=-（舍）. 所以线段1A E 的长为1

【点睛】本题考查利用空间向量求二面角，根据直线与平面所成的角求线段长，属于中档题.

21.已知椭圆()222

2:10x y C a b a b +=>>1F ，2F ，焦距为

（1）求椭圆C 的方程.

（2）过椭圆左顶点的两条斜率之积为1

的直线分别与椭圆交于,M N 点.试问直线MN 是否过某定点？若过，求出该点的坐标；若不过，请说明理由.

【答案】（1）22

1123

x y

+=；

（2）见解析【解析】【分析】

（1）

根据题意得到3,c a c ?=

???=?

解得a =再由a,b,c 的关系得到结果；

（2）设出直线AM ，联立直线和椭圆，表示出点M 的坐标，设直线AN 的斜率为k '，则14kk '=-，即14k k

'=-，把点M 坐标中k 的替换为1

-，得到点N 的坐标，利用两点坐标表示出直线MN 即可得到直线过定点.

【详解】（1

）由题意知23,c a c ?=

???=?

解得a =又

222a b c =+，

23b ∴=，

∴椭圆方程为22

1123

x y +=.

（2

）设左顶点()

A -，根据已知得直线,AM AN 的斜率存在且不为零，

设(:AM y k x =+，代入椭圆方程，得(

221448120k

x k +++-=，

设()11,M x y ，

则212481214k k --=+，

即1x =

，(

11y k x =+=

即222,1414M k k ??

? ?++??

. 设直线AN 的斜率为k '，则14kk '=-

，即14k k '=-，把点M 坐标中k 的替换为1

，得2224141N k k ??

-- ? ?++??

. 当,M N 的横坐标不相等，即12k ≠±

时，2

214MN k

k k =-，直线MN

的方程为22222141414k y x k k k ??-=- ? ?+-+??

，即2214k

y x k =-，该直线恒过定点()0,0. 当1

k =±

时，M 、N 的横坐标为零，直线MN 也过定点()0,0. 综上可知，直线MN 过定点()0,0.

【点睛】圆锥曲线中的定点、定值问题是考查的重点，一般难度较大，计算较复杂，考查较强的分析能力和计算能力.求定值问题常见的方法：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个定值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.解题时，要将问题合理的进行转化，转化成易于计算的方向. 22.已知数列{}n a 中，0n a >，n S 是数列{}n a 的前n 项和，且2

2n n n

a S a +

=．

（1）求2S ，3S ，并求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）设2

n n n b S S +=

+，数列{}n b 的前n 项和为n T

，若0n k -≥ 对任意的正整数n 都

成立，求实数k 的取值范围．【答案】（1）22S =

，3S

，n a = （2

）1k ≤

【解析】【分析】

（1）令1n =，得到1S ，当2n ≥时，1n n n a S S -=-，所以得到11

2n n n n n S S S S S ---+

=-，

整理得到()2

122n n S S n --=≥，从而得到2

n S 的通项公式，从而得到n a 的通项；（2）根据（1）

得到n b 的通项，然后得到其前n 项的和n T ，计算1n n T T +-，得到n T 在*n N ∈上单调递增，从

而得到()

min

k ≤，得到k 的取值范围.

【详解】解：（1）在2

2n n n

a S a +

=中， 1n =，则11122a S a +

=，即111

2S S S +=

，得1S ，由2

2n n n

a S a +

=得：当2n ≥时，11

2n n n n n S S S S S ---+

=-，

化简得()()112n n n n S S S S --+?-=，即()2

122n n S S n --=≥，

所以数列{}

n S 是以2为首项，2为公比的等差数列，所以()2

2212n S n n =+-=.

又因为0n a >

，所以n S =，所以22S =

，3S .

高二数学上学期期末考试试题理(A卷)

延安市实验中学大学区校际联盟2016—2017学年度第一学期期末考试试题高二数学（理）（A ）说明：卷面考查分（3分）由教学处单独组织考评，计入总分。考试时间：100分钟满分：100分第Ⅰ卷（共40分）一．选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．在等差数列{a n }中，若a 1＋a 5＝10，a 4＝7，则数列{a n }的公差为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2．过点P (－2,3)的抛物线的标准方程是( ) A ．y 2＝－92x 或x 2＝43y B ．y 2＝92x 或x 2＝43 y C ．y 2＝92x 或x 2＝－43y D ．y 2＝－92x 或x 2＝－43 y 3．设命题p ：?x ∈R ，x 2＋1>0，则﹁p 为( ) A ．?x 0∈R ，x 20＋1>0 B ．?x 0∈R ，x 2 0＋1≤0 C ．?x 0∈R ，x 20＋1<0 D ．?x ∈R ，x 2＋1≤0 4．命题甲：动点P 到两定点A ，B 的距离之和|PA|+|PB|=2a(a>0为常数)；命题乙：P 点轨迹是椭圆.则命题甲是命题乙的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 5．不等式x 2－x －6x －1 >0的解集为( ) A.{}x |x <－2或x >3 B.{}x |x <－2或13 D.{}x |－2

江苏省苏州市2018-2019学年高二上学期期中考试数学试卷

2018-2019学年江苏省苏州市高二（上）期中数学试卷一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分.不需要写岀解答过程，请把答案直接填写在题纸相应位置上，） 1．直线x+y＝0的倾斜角为． 2．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线AD1与平面ABCD所成的角的大小为． 3．已知A（﹣1，﹣3），B（5，3），则以线段AB为直径的圆的方程为．（写成标准方程） 4．直线l经过点（1，1），且在两坐标轴上的截距相反，则直线l的方程是． 5．若直线l1：（m+3）x+4y+3m﹣5＝0与l2：2x+（m+5）y﹣8＝0平行，则m的值为．6．经过圆x2+2x+y2＝0的圆心C，且与直线x+y＝0垂直的直线方程是． 7．圆（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1关于直线x+y﹣1＝0对称的圆的方程是． 8．正三棱锥P﹣ABC中，若底面边长为a，则该正三棱锥的高为．9．已知m，n是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，给出下列命题： ①若m?β，α∥β，则m∥α；②若m∥β，α∥β，则m∥α； ③若m⊥α，β⊥α，m∥n，则n∥β；④若m⊥α，n⊥β，α∥β，则m∥n．其中正确的结论有．（请将所有正确结论的序号都填上） 10．设点A（﹣2，3），B（3，2）若直线ax+y+2＝0与线段AB有公共点，则a的取值范围是．11．有一根高为3π，底面半径为1的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为（结果用π表示）． 12．已知P是直线3x+4y+8＝0上的动点，PA，PB是圆x2+y2﹣2x+2y+1＝0的两条切线，A，B 为切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值为． 13．△ABC的一个顶点是A（3，﹣1），∠B，∠C的平分线分别是x＝0，y＝x，则直线BC的方程是． 14．已知定点M（0，2），N（﹣2，0），直线l：kx﹣y﹣3k+2＝0（k为常数），对l上任意一点P，都有∠MPN为锐角，则k的取值范围是．

高二数学期末试卷(理科)

高二数学期末考试卷（理科）一、选择题（本大题共11小题，每小题3分，共33分） 1、与向量(1,3,2)a =-r 平行的一个向量的坐标是（） A ．（ 3 1 ，1，1） B ．（－1，－3，2） C ．（－21，2 3 ，－1） D ．（2，－3，－22） 2、设命题p ：方程2310x x +-=的两根符号不同；命题q ：方程2310x x +-=的两根之和为3，判断命题“p ?”、“q ?”、“p q ∧”、“p q ∨”为假命题的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3、“a ＞b ＞0”是“ab ＜2 2 2b a +”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 4、椭圆14 2 2=+y m x 的焦距为2，则m 的值等于（）. A ．5 B ．8 C ．5或3 D ．5或8 5、已知空间四边形OABC 中，===，点M 在OA 上，且OM=2MA ，N 为BC 中点，则=（） A ． 21 3221+- B ．21 2132++- C ．2 1 2121-+ D ．2 13232-+ 6、抛物线2 y 4x =上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标为（） A ． 1716 B ．1516 C ．7 8 D ．0 7、已知对称轴为坐标轴的双曲线有一条渐近线平行于直线x ＋2y －3＝0，则该双曲线的离心率为（） A.5或 54 或 C. D.5或5 3 8、若不等式|x －1|