角平分线的性质(二)

O D C B A A B C D E

A B C

D O

E A B C O 13.3角平分线的性质(二)

【基础知识扫描】

1.点O 是△ABC 内一点,且点O 到三边的距离相等,∠A=60°,则∠BOC 的度数为( ) A.60°B.90°C.120°D.150°

2.如图,AB=AD,CB=CD,AC 、BD 相交于点O,则下列结论正确的是( ) A. OA=OC B. 点O 到AB 、CD 的距离相等

C. 点O 到CB 、CD 的距离相等

D. ∠BDA=∠BDC 第2题图

3.△ABC 中,∠C=90°,点O 为△ABC 三条角平分线的交点,OD ⊥BC 于D,OE ⊥AC 于E,

OF ⊥AB 于F,且AB=10cm,BC=8cm,AC=6cm,则点O 到三边AB 、AC 、BC 的距离为( )

A.2cm 2cm 2cm

B. 3cm 3cm 3cm

C. 4cm 4cm 4cm

D. 2cm 3cm 5cm

4.到一个角的两边距离相等的点在 ;角平分线上的点到这个角的两边的距离

5.如图,△ABC 中,∠B=90°, ∠A 、∠C 的平分线交于点O ，则∠AOC 的度数为

第5题图 第6题图 第7题图 【能力训练升级】 6.如图,P 是∠AOB 的平分线上的一点,PE ⊥OA 于E,PF ⊥OB 于F,OP 与EF 的位置关系是

7.如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=BC ，AD 平分∠CAB 交BC 于点D ，DE ⊥AB ，垂足为E ，且AB=6cm ，则△DEB 的周长为__ cm.

8.如图,已知BE 平分∠ABC,CE 平分∠ACD,且交BE 于E,求证:AE 平分∠FAC

第8题图

9.如图,已知△ABC 中,AB=AC,D 是BC 的中点,求证:D 到AB 、AC 的距离相等.

第9题图

【探究创新实践】

10.如图,已知AB=AC,AD=AE,DB 与CE 相交于O,(1)若DB ⊥AC 于D,CE ⊥AB 于E,试判断OE 与OD 的大小关系.并证明你的结论.(2)若没有第（1）中的条件,是否有这样的结论?试说明理由.

第10题图

13.3角平分线的性质(二)答案

1．C 2.C 3.A 4.这个角的平分线上；相等； 5. 135 ° 6.垂直 7. 6 8. 过点E 分别作EF ⊥BD 、EG ⊥BA 、EH ⊥AC ，垂足分别为F 、G 、H ，∵BE 平分∠ABC,∴EF=EG ，∵CE 平分∠ACD ，∴EF=EH ，∴ EG=EH ，∴AE 平分∠FAC 9. 连接AD ，∵ D 为BC 的中点，∴BD=DC ，又∵AB=AC ，AD=AD ，

∴ △ABD ≌△ACD ，∴∠BAD=∠CAD ，∴D 到AB 、AC 的距离相等； 10. （1）OD=OE ，证明略（2）成立，证明略

A B C D

F

E E D C B A

角的平分线的性质(一)2

角的平分线的性质（一） 个性化补充数学教研组主备人：覃萍备课组：全体数学教研组成员 教学目标 1、知识与技能： 应用三角形全等的知识，解释角平分线的原理．会用尺规作一个已知角的平 分线． 2.过程与方法： 通过动手，利用直尺和圆规作一个角的平分线。 3.情感态度与价值观： 培养学生实际动手的能力和协作精神。 教学重点 利用尺规作已知角的平分线． 教学难点 角的平分线的作图方法的提炼． 教学过程 Ⅰ．提出问题，创设情境 问题1：三角形中有哪些重要线段． 问题2：你能作出这些线段吗？ Ⅱ．导入新课 在学直角三角形全等的条件时做过这样一个题： 在∠AOB的两边OA和OB上分别取OM=ON，MC⊥OA，NC⊥ OB．MC与NC交于C点． 求证：∠MOC=∠NOC． 通过证明Rt△MOC≌Rt△NOC，即可证明∠MOC=∠NOC，所以射线OC就是∠AOB 的平分线． 受这个题的启示，我们能不能这样做： 在已知∠AOB的两边上分别截取OM=ON，再分别过M、N 作MC⊥OA，NC⊥OB，MC?与NC交于C点，连接OC，那么

OC就是∠AOB的平分线了． 思考：这个方案可行吗？（学生思考、讨论后，统一思想，认为可行） 议一议：下图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC．将点A放在角的顶点， AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线．你能说明它的道理吗？ 要说明AC是∠DAC的平分线，其实就是证明∠CAD=∠CAB． ∠CAD和∠CAB分别在△CAD和△CAB 了． 看看条件够不够． AB AD BC DC AC AC = ? ? = ? ?= ? 所以△ABC≌△ADC（SSS）． 所以∠CAD=∠CAB． 即射线AC就是∠DAB的平分线． 作已知角的平分线的方法： 已知：∠AOB． 求作：∠AOB的平分线． 作法： （1）以O为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA、OB于M、N． （2）分别以M、N为圆心，大于 1 2 MN的长为半径作弧．两弧在∠AOB 于点C． （3）作射线OC，射线OC即为所求． 议一议： 1．在上面作法的第二步中，去掉“大于 1 2 MN的长”这个条件行吗？

角的平分线的性质(2)

角的平分线的性质（二）教案 教学目标 1 ?掌握角的平分线判定定理的的内容。即：至蛹两边距离相等的点在角的平分线上 2 ?会用角的平分线的判定定理解决一些简单的实际问题. 教学重点 角平分线的判定定理及其应用. 教学难点 灵活应用角平分线的判定定理解决问题. 教学过程 I .复习巩固，弓I入新课 回顾一下角平分线的性质，角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 反过来，到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上呢？ 现在，我们来证明“到角的两边的距离相等的点是在角的平分线上”。看看是否能证明出来。 前面我们学过，要证明一个几何命题，首先要明确命题中的已知和求证，现在我们一起来看看这个命题的已知和求证。 U.导入新课 证明命题：“到角的两边的距离相等的点在角的平分线上” ［师］这个命题的已知是什么？求证是什么？ ［生］已知：一个点到角的两边距离相等，求证：这个点在角的平分线上接下来，我们根据题意，作出图形，用数学符号表示已知和结论。 已知：如图，PD丄OA PE!OB 点D E为垂足，PD= PE 求证：点P在/ AOB的平分线上证明：经过点P作射线OC ??? PDL OA PE丄OB ??? / PDO=Z PEd 90° 在Rt△ PDC和Rt △ PEO中 PO = PO PD=PE ? Rt △ PDO2 Rt△ PEO( HL) ? / POD=Z POE ???点P在/ AOB的平分线上 通过上题可以得到角平分线判定定理： 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上

前面我们学习了角平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等。现在我们学习了角平分线的判定定理：至V角的两边距离相等的点在角的平分线上. ［师］角平分线的性质和判定有什么联系？ 总结：角平分线的性质和判定命题的已知条件和所推出的结论可以互换，它们是互逆定理. 新知应用：如图所示，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，？离公路与铁路交叉处500m 这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20000）? 1 .集贸市场建于何处，和本节学的角平分线性质有关吗？用哪一个定理来解决这个问题？ 2 .比例尺为1：20000是什么意思？ 结论： 1 .应该是用角平分线判定定理.？这个集贸市场应该建在公路与铁路形成的角的平分线上，并且要求离角的顶点500米处. 2.在纸上画图时，我们经常在厘米为单位，而题中距离又是以米为单位，？这就涉及一个单位换算问题了. 1m=100cm所以比例尺为1: 20000，其实就是图中1cm?表示实际距离200m的意思.作图如 下： 第一步：尺规作图法作出/ AOB勺平分线OP 第二步：在射线OP上截取OC=2.5cm确定C点，C点就是集贸市场所建地了. 总结：应用角平分线的性质，就可以省去证明三角形全等的步骤，使问题简单化.所以若遇到有关角平分线，又要证线段相等的问题，我们可以直接利用性质解决问题.

初二数学-角的平分线的性质

初二数学 第8课时 角的平分线的性质（1） 教 学 目 标 1．通过作图直观地理解角平分线的性质定理． 2．经历探究角的平分线的性质的过程，领会其应用方法． 教学重点 领会角的平分线的性质定理． 教学难点 角的平分线的性质定理的实际应用． 教 学 互 动 设 计 设计意图 一、创设情境 导入新课 在∠AOB 的两边OA 和OB 上分别取OM=ON ，MC ⊥OA ，NC ⊥OB ．MC 与NC 交于C 点． 求证：∠MOC=∠NOC ． 通过证明Rt △MOC ≌Rt △NOC ，即可证明∠MOC=∠NOC ，所以射线OC 就是∠AOB 的平分线． 受这个题的启示，我们能不能这样做： 在已知∠AOB 的两边上分别截取OM=ON ，再分别过M 、N 作MC ⊥OA ，NC ⊥OB ，MC?与NC 交于C 点，连接OC ，那么OC 就是∠AOB 的平分线了． 思考：这个方案可行吗？（学生思考、讨论后，统一思想，认为可行） 议一议：下图是一个平分角的仪器，其中AB=AD ，BC=DC ．将点A 放在角的顶点，AB 和AD 沿着角的两边放下，沿AC 画一条射线AE ，AE 就是角平分线．你能说明它的道理吗？ 要说明AC 是∠DAC 的平分线，其实就是证明∠CAD=∠CAB ． ∠CAD 和∠CAB 分别在△CAD 和△CAB 中，那么证明这两个三角形全等就可以了． 看看条件够不够． AB AD BC DC AC AC =?? =??=? 所以△ABC ≌△ADC （SSS ）． 所以∠CAD=∠CAB ． 即射线AC 就是∠DAB 的平分线． 首先将“问题提出”，然后运用教具（如课本图11．3─1?）直观地进行讲述，提出探究的问题． 小组讨论后得出：根据三角形全等条件“边边边”判定法，可以说明这个仪器的制作原理． 二、合作交流 解读探究 【探究1】作已知角的平分线的方法： 已知：∠AOB ． 求作：∠AOB 的平分线． 作法： 动手制图（尺规），边

《角的平分线的性质》同步练习(1)及答案

角的平分线的性质 知识点1：角平分线的性质 1．如图11.3-1所示,在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC ，BC=20cm ，DB=17cm ，则D 点到AB 的距离是_________． 2．如图11.3-2所示，点D 在AC 上，∠BAD=∠DBC ，△BDC 的内部到 ∠BAD 两边距离相等的点有_______个，△BDC 内部到∠BAD 的两边、∠DBC 两边等距离的点有_____个． 图11.3-1 图11.3-2 图11.3-3 3.如图11.3-3，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠BAC 的平分线AD 交BC 于点D ，CD=2，则点D 到AB 的距离是 （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4．如图11.3-4，已知AC ⊥BC ，DE ⊥AB ，AD 平分∠BAC ，下面结论错误的是（ ） A ．BD+ED=BC B ．DE 平分∠ADB C ．A D 平分∠EDC D ．ED+AC ＞AD 图11.3-4 图11.3-5 5．如图11.3-5，Q 是△OAB 的角平分线OP 上的一点，PC ⊥OA 于C ，PD ⊥OB 于D ，QE ⊥OB 于E ，FQ ⊥OQ 交OA 于F ，则下列结论正确的是 （ ） A ．PA=P B B ．PC=PD C ．PC=QE D ．QE=QF 6．如图11.3-6，AP 平分∠BAC ，PE ⊥AC ，PF ⊥AB ，垂足分别为E 、F ，点O 是 AP 上任一点（除A 、P 外）．求证：OF=OE ． B D A E A D C B A C B D A B C D E A O B P C D F E Q

角平分线的性质知识点小结及练习题

1 B A O E P D B D C A （第3题） （第2题） 角的平分线的性质及其练习题 1、尺规作图画角平分线 （1）、以O 为圆心，适当长为半径画弧，交OA 于M ，交OB 于N 。 （2）、分别以M 、N 为圆心，大于1/2MN 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 的内部交于点C 。 （3） 、画射线OC 。射线OC 即为所求。 2、角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 图形表示：若CD 平分∠ADB,点P 是CD 上一点PE ⊥AD 于点E ，PF ⊥BD 于点F ， 则PE=PF 。 3、角的平分线的性质推论：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。 图形表示：若PE ⊥AD 于点E ，PF ⊥BD 于点F ，PE=PF ，则PD 平分∠ADB 4、证明命题的步骤： （1）明确命题中的已知和求证； （2）根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证； （3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。 角平分线的性质（1） 一、选择题 1．用尺规作已知角的平分线的理论依据是（ ） A ．SAS B ．AAS C ．SSS D ．ASA 2．如图，OP 平分∠AOB ， PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别为D ，E ，下列结论错误的是（ ） A ．PD ＝PE B ．OD ＝OE C ．∠DPO ＝∠EPO D ．PD ＝OD 二、填空题 3．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 是∠BAC 的角平分线，若BC ＝5㎝，BD ＝3㎝，则点D 到AB 的距离为______㎝． 三、解答题 4．已知：如图，AM 是∠BAC 的平分线，O 是AM 上一点，过点O 分别作AB ， AC 的垂线，垂足为F ，D ，且

角平分线的性质 知识点

角平分线的性质 一、本节学习指导 角平分线的性质有助于我们解决三角形全等相关题型。其实不仅仅是角平分线，还有三角形的中位线、高、中心都是解决三角形题目有效的途径。本节有配套免费学习视频。 二、知识要点 1、角平分线的定义：从一个角的顶点出发把一个角分成两个相等的角的射线叫做角的平分线。 如下图：OC平分∠AOB ∵OC平分∠AOB ∴∠AOC=∠BOC 2、角的平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等。【重点】 如第一个图： ∵OC平分∠AOB（或∠1=∠2），PE⊥OA,PD⊥OB ∴PD=PE,此时我们知道△OPE≌△OPD（直角三角形斜边是OP即公共边，直角边斜边） 3、角的平分线的判定：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。 如第一个图： ∵PE⊥OA,PD⊥OB,PD=PE ∴OC平分∠AOB（或∠1=∠2）

4、线段的中点的定义：把一条线段分成两条相等的线段的点叫做线段的中点。 如下图： ∵C是AB的中点 ∴AC=BC 5、垂直的定义：两条直线相交所成的四个角中有一个是直角，这两条直线互相垂直。 如图：【重点】 ∵AB⊥CD ∴∠AOC=∠AOD=∠BOC =∠BOD=90° 或∵∠AOC=90° ∴AB⊥CD 注意：要判断两条直线垂直，只要知道这两条相交直线所形成的四个角中的 一个角是直角就可以了。反过来，两条直线互相垂直，它们的四个交角都是直角。 6、全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。 ∵△ABC≌△A'B'C' ∴AB=A'B',BC=B'C',AC=A'C'; ∠A=∠A', ∠B=∠B', ∠C=∠C'

(新)角平分线的性质和判定经典题

角平分线的性质和判定复习 一知识要点： 1. 角平分线的作法（尺规作图） 思考：这一画法的根据是什么？ 2. 角平分线的性质及判定 （1）角平分线的性质： 文字表达：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 几何表达： ∵OP平分∠MON（∠1＝∠2），PA⊥OM，PB⊥ON，（已知） ∴PA＝PB．（角平分线的性质） 思考：这一性质定理的根据是什么？ （2）角平分线的判定： 文字表达：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． 几何表达： ∵PA⊥OM，PB⊥ON，PA＝PB（已知） ∴∠1＝∠2（OP平分∠MON）（角平分线的判定） 二、典型例题 角平分线的性质一 例题1.用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC=∠BOC的依据是( ) A.SSS B.ASA C.AAS D.角平分线上的点到角两边距离相等 例题2 如图，BD平分∠ABC，DE垂直于AB于E点，△ABC的面积等于90，AB=18，BC=12，则求DE的长.

例题3 已知：如图，△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，F在AC上BD=DF，求证： CF=EB。 D F E C B A 例题4 已知：AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，BD＝CD，求证：∠B＝∠C. 例题5 已知:如图所示,点O在∠BAC的平分线上,BO⊥AC,CO⊥AB,垂足分别为D，E,求证：OB＝OC. 例题6 如图,△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD平分∠BAC交BC于D,DE⊥AB,垂足为E,且AB=10 cm,求△DEB的周长. A F D E B

角的平分线的性质2 优秀教学设计

角的平分线的性质（第2课时） 【教学目标】： （1）知识与技能目标：掌握角的平分线的两个性质；能应用角的平分线的性质解决一些简单的实际问题。 （2）过程与方法目标：通过探索集贸市场的位置加深学生对角的平分线的性质的理解。引导学生从数学的视角观察客观世界，用数学的思维思考客观世界，以数学的语言描述客观世界。 （3）情感与态度目标：利用角的平分线的性质探索集贸市场的位置，使学生的求知欲望得到激发，使学生通过应用已学知识解决身边的问题，提高学生学习数学的兴趣。 【教学重点】：角的平分线的性质的运用及运用 【教学难点】：角的平分线的性质的探究 【教学突破点】：通过实际生活中的例子对比角的平分线的两个性质。 【教法、学法设计】：合作探究式分层次教学，讲授、练习相结合。 【课前准备】：课件 【教学过程设计】：

已知事项符合直角三角形全等的条件，所以Rt△PEO≌△）．于是可得∠POE=∠POD． 由已知推出的事项：点P在∠AOB的平分线上．

注意：在纸上画图时，我们经常在厘米为单位，而题中距离又是以米为单位，?这就涉及一个单位换算问题了． 尺为1：20000，其实就是图中1cm? 第一步：尺规作图法作出∠AOB的平分线OP． 第二步：在射线OP上截取OC=2.5cm，确定C点，C 应用角平分线的性质，就可以省去证明三角形全等的步骤，

分析：点P到AB、BC、CA的垂线段三边的距离，?也就是说要证：PD=PE=PF

巩固练习： A 组 1. 参照下图，填空： （1）∵A B 平分∠CAC ′，B C⊥AC，BC ′⊥A C ′（已知）， ∴BC ＝BC ′（角平分线上的点到角的两边的距离相等）。 （2）∵B C⊥AC，BC ′⊥A C ′，BC ＝BC ′（已知）， ∴点B 在∠CAC ′的平分线上（到角的两边距离相等的点在角的平分线上）。 1 (第1题) (第2题) 2.如图，OP 平分∠AOB ，PC ⊥OA 于C ，PD ⊥OB 于D ，则PC 与PD 的大小关系为（B ） A.P C ＞PC B.PC=PD C.P C ＜PD D.不能确定 A C P O B D C M D C O N

《角平分线的性质》教案

12.3 《角的平分线的性质》教案 台前县吴坝镇中学李桂香 一、教学背景的分析 1、教学内容 本节课是在七年级学习了角平分线的概念和前面刚学完证明直角三角形全等的基础上进行教学的。内容包括角平分线的作法、角平分线的性质及初步应用。作角的平分线是基本作图，角平分线的性质为证明线段或角相等开辟了新的途径，体现了数学的简洁美，同时也是全等三角形知识的延续，又为后面角平分线的判定定理的学习奠定了基础。因此，本节内容在数学知识体系中起到了承上启下的作用。同时教材的安排由浅入深、由易到难、知识结构合理，符合学生的心理特点和认知规律。 2、学生 刚进入八年级的学生观察、操作、猜想能力较强，但归纳、运用数学意识的思想比较薄弱，思维的广阔性、敏捷性、灵活性比较欠缺，需要在课堂教学中进一步加强引导。根据学生的认知特点和接受水平，我把第一课时的教学任务定为：掌握角平分线的画法及会用角平分线的性质定理解题，同时为下节判定定理的学习打好基础。 3、教学环境 利用多媒体技术可以方便地创设、改变和探索某种数学情境，在这种情境下，通过思考和操作活动，研究数学现象的本质和发现数学规律。 4、教学重点、难点 本节课的教学重点为：掌握角平分线的尺规作图，理解角的平分线的性质并能初步运用。教学难点是：1、对角平分线性质定理中点到角两边的距离的正确理解；2、对于性质定理的运用。 教学难点突破方法：（1）利用多媒体动态显示角平分线性质的本质内容，在学生脑海中加深印象，从而对性质定理正确使用；（2）通过对比教学让学生选择简单的方法解决问题；（3）通过多媒体创设具有启发性的问题情境，使学生在积极的思维状态中进行学习。 二、教学目标的确定

角平分线的性质1

课 题：11.3 角的平分线的性质（1） 课 型：新授课 教学目标： 1、知识与技能：应用三角形全等的知识，解释角平分线的原理．会用尺规作一个已知角的 平分线． 2、过程与方法：通过操作、探究角的平分线的性质 3、情感、态度与价值观：敢于面对教学活动中的困难，能通过合作交流解决遇到的困难。 教学重点：利用尺规作已知角的平分线． 教学难点：角的平分线的作图方法的提炼。 教学方法：探究、合作交流 教学资源：三角尺、圆规、纸张 教学过程 一．提出问题，创设情境 三角形中有哪些重要线段．你能作出这些线段吗？ 二．导入新课 议一议：下图是一个平分角的仪器，其中AB=AD ，BC=DC ．将点A 放在角的顶点，AB 和AD 沿着角的两边放下，沿AC 画一条射线AE ，AE 就是角平分线．你能说明它的道理吗？ 要说明AC 是∠DAC 的平分线，其实就是证明∠CAD=∠CAB ． ∠CAD 和∠CAB 分别在△CAD 和△CAB 中，那么证明这两个三角形全等就可以了． 看看条件够不够． AB AD BC DC AC AC =??=??=? 所以△ABC ≌△ADC （SSS ）． 所以∠CAD=∠CAB ． 即射线AC 就是∠DAB 的平分线． 作已知角的平分线的方法： 已知：∠AOB ．求作：∠AOB 的平分线． 作法： （1）以O 为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA 、OB 于M 、N ． （2）分别以M 、N 为圆心，大于2 1MN 的长为半径作弧．两弧在∠AOB 内部交于点C ． （3）作射线OC ，射线OC 即为所求． 议一议： 1．在上面作法的第二步中，去掉“大于2 1MN 的长”这个条件行吗？ 2．第二步中所作的两弧交点一定在∠AOB 的内部吗？ 总结： 1．去掉“大于2 1MN 的长”这个条件，所作的两弧可能没有交点，所以就找不到角的平分线．

角平分线的性质2

O C B A C E D B A 角的平分线的性质 2 学习目标: 1、掌握角的平分线的判定方法。 2、 掌握几何命题的证明步骤。 3、 能够利用平分线的性质和判定进行推理、计算和应用。 学习重点：角的平分线的判定的证明及运用。 学习难点：灵活应用角平分线的性质和判定解决问题。 一、自主学习 复习旧知： 1、如右图：OC 是∠AOB 的平分线，则∠AOC= = 2 1 ∠AOB=2 = 2、角平分线的性质：角平分线上任意一点到这个角两 边的 相等 3、如图1，⑴角平分线的性质定理： ∵P 在∠AOB 的平分线上 PD ⊥ PE ⊥ ∴ = ⑵角的平分线的判定定理： ∵PD=PE PD ⊥OA PE ⊥OB ∴ 4、(练习)在△ABC 中，∠ACB=90°，BD 是∠ABC 的平分线，DE ⊥AB,点E 为垂足， 则AD+DE= 二、活动探究 1. 探究如何证明:角的内部到角的两边的距离相等的点 在角的平分线上 ⑴根据条件画出正确的图形如图2， ⑵写出已知：∠ACB 内一点P ，PD ⊥ ,PE ⊥ ， ⑶写出求证： （4）证明：定理归纳：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的 几何语言:∵∠ACB 内一点P ，PD ⊥AC,PE ⊥BC ,PE=PD ∴ 2、如图3，CE ⊥AB 于E ，BF ⊥AC 于F ，BF 交CE 于D 点，且BD=CD 求证：D 在∠BAC 的平分线上 三、当堂检测 1、△ABC 中，点P 是BC 边上一点，且点P 到AB ，AC 的距离相等，则点P 与BC 的交点 2、如图4，已知∠ACB ，PD ⊥CA 于D ，PE ⊥CB 于E ，欲证PD=PE ，必须补充P 在∠ACB 的 ，连接CP ，证明 和 全等 O D P E B C A 图1C E D P B A 图2F E D C A B 图3

角的平分线的性质一

E D C B A 12.3角的平分线的性质 学习目标: 1、经历角的平分线性质的发现过程，初步掌握角的平分线的性质定理． 2、能运用角的平分线性质定理解决简单的几何问题. 学习重点：掌握角的平分线的性质定理 学习难点: 角平分线定理的应用。 学习过程 一．提出问题，创设情境 1、复习思考 什么是角的平分线？怎样画一个角的平分线？ 2．如右图，AB ＝AD ，BC ＝DC ， 沿着A 、C 画一条射线AE ，AE 就是 ∠BAD 的角平分线，你知道为什么吗? 二．自主学习 指向目标 3.根据角平分仪的制作原理，如何用尺规作角的平分线？自学课本 19页后，用尺规平分∠AOB 。 【思考】：为什么要用大于 2 1 MN 的长为半径画弧？ 4．OC 是∠AOB 的平分线，点P 是射线OC 上的任意一点， 【小组合作 操作测量】：取点P 的三个不同的位置，分别过点P 作PD ⊥OA ，PE ⊥OB,点D 、E 为垂足，测量PD 、PE 的长.将三次数据填入下表：观察测量结果,猜想线段PD 与PE 的大小关系，写出结论 PD PE 第一次 第二次 第三次 【点拨升华】角平分线性质：角平分线上的点到这个角的两边距离相等. 结合第4题图形请你写出已知和求证，并证明命题的正确性 【点拨升华】用数学语言来表述角的平分线的性质定理： 如右上图，∵OC 是∠AOB 的平分线，点P 是 OC 上一点，PD ⊥OA, PE ⊥OB ∴ PD ＝PE 三．合作探究 达成目标 例：如图：在△ABC 中，∠C=90°，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，F 在AC 上，BD=DF ； 求证：CF=EB 【分析】：（1）、要证CF=EB 需证什么？ （2）、三角形全等有哪些条件？ 变式训练: 1.在Rt △ABC 中，BD 平分∠ABC ， DE ⊥AB 于E ，则 ⑴图中相等的线段有哪些？相等的角呢？ ⑵哪条线段与DE 相等？为什么？ ⑶若AB ＝10，BC ＝8，AC ＝6，求BE ，AE 的长和△AED 的周长。 2.如图,在△ABC 中，AC ⊥BC ，AD 为∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ， AB ＝7㎝，AC ＝3㎝，求BE 的长 四．总结梳理 内化目标 这节课你有什么收获呢？与你的同伴进行交流 角平分线上的点到角两边的距离相等 五．达标测评 反思目标 一、选择题． 1．如图1，AC ⊥BC ，DE ⊥AB ，AD 平分∠BAC ，下面结论错误的是（ ）． A ．BD+ED=BC B ．DE 平分∠ADB C ．A D 平分∠EDC D ．ED+AC>AD 2．如图2：△ABC 中，∠C=90°，E 是AB 中点，D 在∠B 的平分线上，DE ⊥AB ，则（ ）． E D C B A A C B D E 图1 图2 D 图3 B A F P C E

角平分线的性质课件

学生姓名性别年级初二学科数学 授课教师上课时间2013 年7月日第（）次课课时：2 课时 教学课题角平分线的性质 教学目标 （1）利用三角形全等得出、掌握角平分线的性质并运用性质进行证明 （2）角平分线的画法 重点难点 利用三角形全等得出、掌握角平分线的性质并运用性质进行证明角平分线的画法的基本 作图；角平分线的性质并运用性质进行证明 教学过程 1．角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等 用数学符号可表示： ∵点P在∠AOB的平分线上（或OP平分∠AOB） PD⊥OA，PE⊥OB ∴PD = PE 考点一. 1、基本作图：平分已知角 已知：AOB ∠ 求作：AOB ∠的平分线 练习（1）：画一个钝角的平分线 练习（2）：画平角的平分线 考点二： 2、证明命题：角平分线上的点到角两边的距离相等 我们要证明一个命题时，按照以下步骤进行，即： （1）明确命题中的已知和求证 （2）根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证 （3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程 O D P E B A

5.已知，如图，CE ⊥AB,BD ⊥AC,∠B=∠C ，BF=CF 。求证：AF 为∠BAC 的平分线. 思路点拨：由已知条件与待求证的结论，应想到角平分线的判定定理。 解析：∵CE ⊥AB,BD ⊥AC （已知） ∴∠CDF=∠BEF=90° ∵∠DFC=∠BFE(对顶角相等) BF=CF(已知) ∴△DFC ≌△EFB(AAS) ∴DF=EF(全等三角形对应边相等) ∵FE ⊥AB,FD ⊥AC （已知） ∴点F 在∠BAC 的平分线上(到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上) 即AF 为∠BAC 的平分线 基础闯关 1.在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 是∠BAC 的角平分线，若BC ＝5㎝，BD ＝3㎝，则点D 到AB 的 距离为 。 2.∠AOB 的平分线上一点M ，M 到OA 的距离为1.5㎝，则M 到OB 的距离为 ㎝。 3.如图，∠A ＝90°，BD 是△ABC 的角平分线，AC ＝8㎝，DC ＝3DA ，则点D 到BC 的距离为 。 4.如图，∠1＝∠2，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别为D ，E ，下列结论错误的是（ ） A 、PD ＝PE B 、OD ＝OE C 、∠DPO ＝∠EPO D 、PD ＝OD 5.三角形中到三边距离相等的点是（ ） A 、三条边的垂直平分线的交点 B 、三条高的交点 C 、三条中线的交点 D 、三条角平分线的交点 6.如图，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，且DB ＝DC ， 求证：BE ＝CF 。 第3题图 D A B C 2 1D A P O E B 第4题图 F C D A B E 第6题图

(完整版)角平分线的性质教案

第十一章角平分线的性质 一学习目标 1. 了解角是轴对称图形和角平分线的定义，会用尺规作一个角的平分线； 2. 掌握角平分线的性质和判定； 3. 综合应用角的平分线的性质和判定解决相关问题。 二重点、难点 重点：角平分线的性质和判定。 难点：角平分线的性质和判定的综合应用。 三考点分析 对角平分线的定义及角平分线的作法进行单独命题在中考中是比较少见的，但这两个知识点属于基础知识，出题者往往将其与线段的垂直平分线、等腰三角形、四边形等知识综合在一起进行命题，题型多为作图题，属中档难度题。 角平分线的性质是本章的重要内容，它是除了用三角形全等证明线段相等之外的又一个证明线段相等的重要方法。中考命题中，多将角平分线的作法及性质与其他知识点结合在一起进行考查，题型多为选择、填空、作图题，分值在3~6分。这就要求学生必须熟练掌握用尺规作图法作角平分线的要领，并会应用角平分线的定义、性质解决相关问题。 四课时安排 安排一小时 五教学方法 探究归纳法，实践法 六教学过程 1.知识梳理 1）角平分线的定义 2）角平分线的尺规作法 3）角平分线的性质 4）角平分线的判定 2.新授 知识点一作角平分线 例1：如图，已知点C为直线AB上一点，过C作直线CM，使CM AB ⊥于C。 思路分析： 由于AB是直线，要求作CM AB ∠的平分线。根据角平分线的尺规作 ⊥，实际上就是要作平角ACB 图法就可以作出直线CM。 解答过程： 作法： 1、以C为圆心，适当的长为半径画弧，与CA、CB分别交于点D、E；

2、分别以D、E为圆心，大于1 2 DE的长为半径画弧，使两弧交于点M； 3、作直线CM。 所以，直线CM即为所求。 解题后的思考： 此题要求“大于1 2 DE的长为半径”的理由是：半径如果小于 1 2 DE，则两弧无法相交；而半径如果等 于1 2 DE，则两弧交点位于C点处，无法作出直线CM。 在数学学习中，不光要知道怎么做题，还要知道为什么要这样做。 小结： 本题属于作图题。在解决作图题时要求做到规范地使用尺规，规范地使用作图语言，规范地按照步骤 作出图形，并且作图的痕迹要保留，不能擦掉。 知识点二角平分线的性质 角平分线上的点到角的两边的距离相等。 角平分线性质的符号语言： Q P在AOB ∠的平分线上 PD OA ⊥于D，PE OB ⊥于E ∴PD PE = 例2：如图，AD是ABC ?的角平分线，DE AB ⊥，DF AC ⊥，垂足分别是,E F。连接EF，交AD于点G。说出AD与EF之间有什么关系？证明你的结论。 思路分析：

人教版数学八年级上册12.3《角的平分线的性质》第二课时参考教案

§12．3 角的平分线的性质（二） 教学目标 （一）教学知识点：角的平分线的性质 （二）能力训练要求 1．会叙述角的平分线的性质及“到角两边距离相等的点在角的平分线上”．2．能应用这两个性质解决一些简单的实际问题． （三）情感与价值观要求 通过折纸、画图、文字一符号的翻译活动，培养学生的联想、探索、概括归纳的能力，激发学生学习数学的兴趣． 教学重点：角平分线的性质及其应用． 教学难点：灵活应用两个性质解决问题． 教学方法：探索、归纳的方法． 教学过程 一．创设情境，引入新课 [师]请同学们拿出准备好的折纸与剪刀，自己动手，剪一个角，把剪好的角对折，使角的两边叠合在一起，再把纸片展开，你看到了什么？把对折的纸片再任意折一次，然后把纸片展开，又看到了什么？ 二．导入新课 角平分线的性质即已知角的平分线，能推出什么样的结论． 操作： 1．折出如图所示的折痕PD、PE． 2．你与同伴用三角板检测你们所折的折痕是否符合图示要求． 画一画： 按照折纸的顺序画出一个角的三条折痕，并度量所画PD、PE是否等长？ 拿出两名同学的画图，放在投影下，请大家评一评，以达明确概念的目的．

问题1：你能用文字语言叙述所画图形的性质吗？ 问题2：（出示投影片） 能否用符号语言来翻译“角平分线上的点到角的两边的距离相等”这句话．请填下表： 学生通过讨论作出下列概括： 已知事项：OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，D、E为垂足． 由已知事项推出的事项：PD=PE． 【师】如何证明？请同学们试一试。 证明：略（详见课本P49页）。 于是我们得角的平分线的性质： 在角的平分线上的点到角的两边的距离相等． [师]那么，在角的内部到角的两边距离相等的点是否在角的平分线上呢？（出示投影） 问题3：根据下表中的图形和已知事项，猜想由已知事项可推出的事项，并用符号语言填写下表：

角的平分线的性质教案(教学设计)

角平分线的性质 【教学目标】 1．亲历如何作角平分线过程，体验分析归纳得出角平分线的性质，进一步发展学生的探究、交流能力。 2．掌握作角平分线的方法。 3．熟练运用角平分线的性质解题。 【教学重难点】 重点：掌握作角平分线的方法。 难点：熟练运用角平分线的性质解题。 【教学过程】 一、直接引入 师：今天这节课我们主要学习角平分线的性质，这节课的主要内容有，如何作角平分线，探究角平分线的性质，并且我们要掌握这些知识的具体应用，能熟练解决相关问题。 二、讲授新课 （1）教师引导学生在预习的基础上了解如何作角平分线，形成初步感知。 （2）首先，我们先来学习角平分线的性质，它的具体内容是 ①角平分线上的点到角两边的距离相等； ②角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。 它是如何在题目中应用的呢？我们通过一道例题来具体说明。 例1．如图，AOC BOC ∠=∠点P 在OC 上，PD OA PE OB ⊥⊥，垂足分别为D E ，。求证PD PE =。 证明：PD OA PE OB ⊥⊥， 90PDO PEO ∴∠=∠=?，

在PDO 和PEO 中，PDO PEO AOC BOC OP OP ∠=∠??∠=∠??=? ()PDO PEO AAS ∴? PD PE ∴= 例2．如图，ABC 的角平分线BM CN ，，相交于点P ,求证点P 到AB BC CA ，，的距离相等。 证明：过点P 作PD PE PF ，，分别垂直于AB BC CA ，，，垂足分别为D E F ，，。 BM 是ABC 的角平分线，点P 在BM 上， PD PE ∴= 同理PE PF = PD PE PF ∴== 即点P 到AB BC CA ，，的距离相等。 三、课堂总结 1．这节课我们主要讲了： （1）如何作角平分线。 （2）角平分线的性质： ①角平分线上的点到角两边的距离相等； ②角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。 2．角平分线的性质在解题中的具体应用。 四、习题检测 1．如图，在直线MN 上求作一点 P 使点P 到射线OA 和OB 的距离相等。

角的平分线的性质 优秀教学设计

《11.3角的平分线的性质》教学设计 一、设计理念 角平分线性质一课，教学过程采用“引导--发现"教学模式，借助电子白板、PPT、几何画板和微课等教学工具，多角度的创设问题情景，让学生在操作、演示、猜想、验证等探究活动中，以独立思考、合作交流的形式，完成对知识的发现、生成、应用和自我构建，促进学生数学学习的个性化发展！ 二、教材分析和学情分析 这是一节新授课，是学习轴对称和直角三角形的基础；八年级学生具备有一定的观察、推理能力，思维的广阔性和敏捷性比较欠缺，因此本课我采用了“引导--发现”的教学模式进行教学，利用教学课件为学生搭建的探究平台。 三、教学目标： 掌握作已知角的平分线的方法和角平分线性质；能运用角平分线及其性质解决有关的数学问题。 在探究角的平分线的性质定理的过程中,进一步发展学生的推理证明意识和解决问题的能力， 通过让学生经历动手操作，合作交流，自主探究等过程，培养学生用数学知识解决问题的能力和数学建模能力,增强学生探究问题的兴趣，激发学生应用数学的热情. 四、教学重点、难点： 重点：用尺规作已知角的平分线的方法角平分线的性质定理的证明及运用，难点：角平分线的性质的探究 五、教学过程： 《探究活动一》创设情境导入新课- - -角的平分线 1、在练习纸上画一个角，怎样得到这个角的平分线呢？ 1、这段视频说明了什么问题？

2、如果前面活动中的纸片换成木板、钢板等没法折的角，又该怎么办呢？ ［教学说明］用微课创设情境导入新课，以问题做为本课的切入点，激发学生探究学习的兴趣，为新课的开展创造了良好的教学氛围！本课中的微课都是有几何画板制作的特效，用录屏软件CS7录制的！ 《探究活动二》合作交流探究新知- - -探究角平分仪的作法 问题：工人师傅常用如图所示的简易平分角的仪器来画角的平分线（出示仪器的电子模型，介绍仪器特点--有两对边相等），将A点放在角的顶点处，AB和AD沿角的两边放下，过AC画一条射线AE，AE即为∠BAD的平分线． 看一看:教师播放微视频，学生观看角平分仪作角平分线的过程。 说一说：学生用三角形全等知识说明这个仪器的操作原理。 ［教学说明］教材中利用分角仪的静态图片，叙述了分角仪的使用方法；教学中我做了一个模型--电子教具来演示分角仪的使用方法，充分利用现代信息技术，让静态的图片动起来，实现了信息技术与数学教学的有效融合，使课堂更加生动高效。 想一想：能否利用尺规作已知角的平分线？ 自己动手做做看．然后与同伴交流操作心得． 分小组完成这项活动，教师可参与到学生活动中，及时发现问题，给予启发和指导，使讲评更具有针对性。 画一画：教师根据学生的叙述，利用电子白板中的电子圆规作已知角的平分线的方法： 已知：∠AO B． 求作：∠AOB的平分线．

八年级数学上册 角的平分线的性质教案2 (新版)新人教版(1)

角的平分线的性质 教学目标 1、角的平分线的性质 2．会叙述角的平分线的性质及“到角两边距离相等的点在角的平分线上”． 3．能应用这两个性质解决一些简单的实际问题． 教学重点 角平分线的性质及其应用． 教学难点 灵活应用两个性质解决问题． 教学过程 Ⅰ．创设情境，引入新课 拿出课前准备好的折纸与剪刀，剪一个角，把剪好的角对折，使角的两边叠合在一起，再把纸片展开，看到了什么？把对折的纸片再任意折一次，然后把纸片展开，又看到了什么？分析：第一次对折后的折痕是这个角的平分线；再折一次，又会出现两条折痕，而且这两条折痕是等长的．这种方法可以做无数次，所以这种等长的折痕可以折出无数对． Ⅱ．导入新课 角平分线的性质即已知角的平分线，能推出什么样的结论． 折出如图所示的折痕PD、PE． 画一画： 按照折纸的顺序画出一个角的三条折痕，并度量所画PD、PE是否等长？ 投影出下面两个图形，让学生评一评，以达明确概念的目的．

结论：同学乙的画法是正确的．同学甲画的是过角平分线上一点画角平分线的垂线，而不是过角平分线上一点作两边的垂线段，所以他的画法不符合要求． 问题1：如何用文字语言叙述所画图形的性质吗？ [生]角平分线上的点到角的两边的距离相等． 问题2：能否用符号语言来翻译“角平分线上的点到角的两边的距离相等”这句话．请填下表： 已知事项：OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，D、E为垂足． 由已知事项推出的事项：PD=PE． 于是我们得角的平分线的性质： 在角的平分线上的点到角的两边的距离相等． [师]那么到角的两边距离相等的点是否在角的平分线上呢？（出示投影）问题3：根据下表中的图形和已知事项，猜想由已知事项可推出的事项，并用符号语言填写下表：

角平分线的性质

12.3 角的平分线的性质 一、教学分析 1．教学内容分析 本节课是新人教版教材《数学》八年级上册第12.3节第一课时内容，是在七年级学习了角平分线的概念和前面刚学完证明直角三角形全等的基础上进行教学的．内容包括角平分线的作法、角平分线的性质及初步应用．作角的平分线是基本作图，角平分线的性质为证明线段或角相等开辟了新的途径，体现了数学的简洁美，同时也是全等三角形知识的延续，又为后面角平分线的判定定理的学习奠定了基础．因此，本节内容在数学知识体系中起到了承上启下的作用．同时教材的安排由浅入深、由易到难、知识结构合理，符合学生的心理特点和认知规律．2．教学对象分析 刚进入八年级的学生观察、操作、猜想能力较强，但归纳、运用数学意识的思想比较薄弱，思维的广阔性、敏捷性、灵活性比较欠缺，需要在课堂教学中进一步加强引导．根据学生的认知特点和接受水平，我把第一课时的教学任务定为：掌握角平分线的画法及会用角平分线的性质定理解题，同时为下节判定定理的学习打好基础． 3．教学环境分析 利用多媒体技术可以方便地创设、改变和探索某种数学情境，在这种情境下，通过思考和操作活动，研究数学现象的本质和发现数学规律．根据如今各学校实际教学环境及本节课的实际教学需要，我选择多媒体、投影仪等教学系统辅助教学，将有关教学内容用动态的方式展示出来，让学生能够进行直观地观察，并留下清晰的印象，从而发现变化之中的不变．这样，吸引了学生的注意力，激发了学生学习数学的兴趣，有利于学生对知识点的理解和掌握． 二、教学目标 1、知识与技能： 1.掌握作已知角的平分线的尺规作图方法。 2. 利用逻辑推理的方法证明角平分线的性质，并能够利用其解决问题． 2、过程与方法： 1.在探究作已知角的平分线和角平分线的性质的过程中，发展几何直觉。 2.提高综合运用三角形全等的有关知识解决问题的能力. 3.初步了解角的平分线的性质在生活、生产中的应用. 3、情感态度价值观： 充分利用多媒体教学及学生手工操作，培养学生探究问题的兴趣，增强解决问题的信心，获得解决问题的成功体验，激发学生应用数学的热情．

人教版八年级上册数学《角的平分线的性质》教案1

§13．3 角的平分线的性质 §13．3．1 角的平分线的性质（一） 教学目标 （一）教学知识点 角平分线的画法． （二）能力训练要求 1．应用三角形全等的知识，解释角平分线的原理． 2．会用尺规作一个已知角的平分线． （三）情感与价值观要求 在利用尺规作图的过程中，培养学生动手操作能力与探索精神． 教学重点 利用尺规作已知角的平分线． 教学难点 角的平分线的作图方法的提炼． 教学方法 讲练结合法． 教具准备 多媒体课件（或投影）． 教学过程 Ⅰ．提出问题，创设情境 问题1：三角形中有哪些重要线段． 问题2：你能作出这些线段吗？ [生甲]三角形中有三条重要线段，它们分别是：三角形的高，三角形的中线，三角形的角的平分线． 过三角形的顶点作这个顶点的对边的垂线，交对边于一点，顶点与垂足的连线就是这个三角形的高． 取三角形一边的中点，此中点与这个边对应顶点的连线就是这条边的中线．用量角器量出三角形的角的大小，量角器零度线与这个角的一边重合，这个角一半所对应的线就是这个角的角平分线． [生乙]我不同意你对角平分线的描述，三角形的角平分线是一条线段，而一个已知角的平分线是一条射线，这两个概念是有区别的． [师]你补充得很好．数学是一门严密性很强的学科，你的这种精神值得我们学习． 如果老师手里只有直尺和圆规，你能帮我设计一个作角的平分线的操作方案吗？ Ⅱ．导入新课 [生]我记得在学直角三角形全等的条件时做过这样一 个题： 在∠AOB的两边OA和OB上分别取OM=ON，MC⊥OA，NC ⊥OB．MC与NC交于C点． 求证：∠MOC=∠NOC．

通过证明Rt △MOC ≌Rt △NOC ，即可证明∠MOC=∠NOC ，所以射线OC 就是∠AOB 的平分线． 受这个题的启示，我们能不能这样做： 在已知∠AOB 的两边上分别截取OM=ON ，再分别过M 、N 作MC ⊥OA ，NC ⊥OB ，MC?与NC 交于C 点，连接OC ，那么OC 就是∠AOB 的平分线了． [师]他这个方案可行吗？ （学生思考、讨论后，统一思想，认为可行） [师]这位同学不仅给了操作方法，而且还讲明了操作原理．这种学以致用，?联想迁移的学习方法值得大家借鉴． 议一议：下图是一个平分角的仪器，其中AB=AD ，BC=DC ．将点A 放在角的顶点，AB 和AD 沿着角的两边放下，沿AC 画一条射线AE ，AE 就是角平分线．你能说明它的道理吗？ 教师活动： 播放多媒体课件，演示角平分仪器的操作过程，使学 生直观了解得到射线AC 的方法． 学生活动： 观看多媒体课件，讨论操作原理． [生1]要说明AC 是∠DAC 的平分线，其实就是证明∠ CAD=∠CAB ． [生2]∠CAD 和∠CAB 分别在△CAD 和△CAB 中，那么 证明这两个三角形全等就可以了． [生3]我们看看条件够不够． AB AD BC DC AC AC =??=??=? 所以△ABC ≌△ADC （SSS ）． 所以∠CAD=∠CAB ． 即射线AC 就是∠DAB 的平分线． [生4]原来用三角形全等，就可以解决角相等．线段相等的一些问题．看来温故是可以知新的． 老师再提出问题： 通过上述探究，能否总结出尺规作已知角的平分线的一般方法．自己动手做做看．然后与同伴交流操作心得． （分小组完成这项活动，教师可参与到学生活动中，及时发现问题，给予启发和指导，使讲评更具有针对性） 讨论结果展示： 作已知角的平分线的方法： 已知：∠AOB ． 求作：∠AOB 的平分线． 作法： （1）以O 为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA 、OB 于M 、N ． （2）分别以M 、N 为圆心，大于12MN 的长为半径作弧．两弧在∠AOB 内部交