全国初中数学竞赛试题及答案

全国初中数学竞赛试题及

答案

The final edition was revised on December 14th, 2020.

2005年全国初中数学联赛决赛试卷

一、选择题：(每题7分，共42分) 1、化简：

11459+302

366402

＋－－

A 、无理数

B 、真分数

C 、奇数

D 、偶数

2、圆内接四条边长顺次为5、10、11、14；则这个四边形的面积为＿＿。 A 、 B 、97.5 C 、90 D 、102

3、设r ≥4，a ＝11r r+1－，b 11r r+1，

c 1r(r +r+1)

，则下列各式一定成立的是＿＿。

A 、a>b>c

B 、b>c>a

C 、c>a>b

D 、c>b>a

4、图中的三块阴影部分由两个半径为1的圆及其外公切线分割而成，如果中间一块阴影的面积等于上下两块面积之和，则这两圆的公共弦长是＿＿。

A 、5

B 、6

C 21252－π

D 2

1162－π5、已知二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示， y 记p ＝|a －b ＋c|＋|2a ＋b|，q ＝|a ＋b ＋c|＋|2a －b|，则＿＿。 A 、p>q B 、p ＝q C 、p

6、若x 1，x 2，x 3，x 4，x 5为互不相等的正奇数，满足(2005－x 1)(2005－x 2)(2005

－x 3)(2005－x 4)(2005－x 5)＝242，则22222

12345x +x +x +x +x 的未位数字是＿＿。

A 、1

B 、3

C 、5

D 、7 二、填空题(共28分)

1、不超过100的自然数中，将凡是3或5的倍数的数相加，其和为＿＿。

2、，则x ＝＿＿＿。

3、若实数x 、y 满足

3333y x =1,3+43+6＋3333

y x =1,5+45+6＋则x ＋y ＝＿＿。 4、已知锐角三角形ABC 的三个内角A 、B 、C 满足：A ＞B ＞C ，用a 表示A －B ，B －C 以及90°－A 中的最小者，则a 的最大值为＿＿＿。 三、解答题(第1题20分，第2、3题各25分)

1、a 、b 、c 为实数，ac ＜0，证明：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有大于34而小于1的根。

2、锐角ΔABC 中，AB ＞AC ，CD 、BE 分别是AB 、AC 边上的高，过D 作BC 的垂线交BE 于F ，交CA 的延长线于P ，过E 作BC 的垂线，交CD 于G ，交BA 的延长线于Q ，证明：BC 、DE 、FG 、PQ 四条直线相交于一点。

3、a 、b 、c 为正整数，且a 2＋b 3＝c 4，求c 的最小值。

2005年全国联赛决赛试卷详解

一、选择题：(每题7分，共42分) 1

、化简：

A 、无理数

B 、真分数

C 、奇数

D 、偶数

解：

=

14=

=

==-

所以选D

2、圆内接四条边长顺次为5、10、11、14；则这个四边形的面积为＿＿。

A 、

B 、97.5

C 、90

D 、102 解：由题意得：

52＋142－2×5×14×cos α＝102＋112－2×10×11×cos(180°－α)

∴221－140cos α＝221＋220 cos α ∴cos α＝0

∴α＝90°

∴四边形的面积为：5×7＋5×11＝90 ∴选C

3、设r ≥4，a ＝11r r+1－，b

，c

，则下列各式一

定成立的是＿＿。

A 、a>b>c

B 、b>c>a

C 、c>a>b

D 、c>b>a 解法1：用特值法，取r=4，则有

a=1114520=－，b

＝(251 1.03622020

-==≈

， c

＝)

52 1.182020==≈

∴c>b>a ，选D

解法2：a ＝()

11111r r r r =

++－， b

＝

==

c ＝

()()

()()())

()()()())

()

4,111111111110

111,111110

111,:,D

r r r r r r r

r r r r r r r r r r r r r r r r a b

r r r r r

r r

r r

r r r r r r r r

r r

b c a b c ≥∴+++=+++?=++->?

∴+>++<++-+=

++>++>+<<<故又 故综上所述选　

解法3：∵r ≥4 111

r r +＜1

∴111111111a b r r r r r r =<=+++

c ＝111111r r r r b r r r r +-+->==++

∴a

4、图中的三块阴影部分由两个半径为1的圆及其外公切线分割而成，如果中间一块阴影的面积等于上下两块面积之和，则这两圆的公共弦长是＿＿。

A 、5

B 6

C 21252－π

D 2

1162－π解：由图形割补知圆面积等于矩形ABCD 的面积 ∴212,2

AB AB π

π?=∴=

由垂径定理得公共弦为

2

222

1616212442πππ--??

-=?= ???

∴选D

5、已知二次函数f(x)＝ax 2

＋bx ＋c 的图象如图所示， 记p ＝|a －b ＋c|＋|2a ＋b|，q ＝|a ＋b ＋c|＋|2a －b|，则＿＿。

A 、p>q

B 、p ＝q

C 、p

D 、p 、q 大小关系不能确定 解：由题意得：a<0，b>0，c=0

∴p ＝|a －b|＋|2a ＋b|，q ＝|a ＋b|＋|2a －b| 又1,2,20,02b

b a a b a b a a

-

>∴-<∴+>+>->从而 ∴p ＝|a －b|＋|2a ＋b|＝b-a+2a+b=a+2b=2b+a ， q ＝|a ＋b|＋|2a －b|= a ＋b ＋b-2a=2b-a

∴p

x 2)(2005－x 3)(2005－x 4)(2005－x 5)＝242，则2222212345x +x +x +x +x 的未位数字是＿

＿。

A 、1

B 、3

C 、5

D 、7

解：因为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5为互不相等的正奇数，所以(2005－x 1)、(2005－x 2)、(2005－x 3)、(2005－x 4)、(2005－x 5)为互不相等的偶数

而将242分解为5个互不相等的偶数之积，只有唯一的形式：242＝2·(-2)·4·6·(-6)

所以(2005－x 1)、(2005－x 2)、(2005－x 3)、(2005－x 4)、(2005－x 5)分别等于2、(-2)、4、6、(-6)

所以(2005－x 1)2＋(2005－x 2)2＋(2005－x 3) 2＋(2005－x 4) 2＋(2005－x 5) 2

＝22＋(-2) 2＋42＋62＋(-6) 2＝96

展开得：()()222222

123451234552005-4010x +x +x +x +x +x +x +x +x +x 96?= ()()22222212345

12345x +x +x +x +x =96-52005+4010x +x +x +x +x 1mod10A

∴?≡ ，选　

二、填空题(共28分)

1、不超过100的自然数中，将凡是3或5的倍数的数相加，其和为＿＿。 解：(3×1＋3×2＋……3×33)＋(5×1＋5×2＋……5×20)－(15×1＋15×2＋……15×6)＝1683＋1050－315＝2418

2

、，则x ＝＿＿＿。

解：分子有理化得：，

∵x ≠0，

∴2=

两边平方化简得：72x -=

再平方化简得：212421x 8x 48=0()73

x x --==-，解之得或舍去

3、若实数x 、y 满足3333y x =1,3+43+6＋3333y

x =1,5+45+6＋则x ＋y ＝＿＿。

解法1：假设x ＋y ＝a ，则y ＝a －x

()()()()()()()()

()

333333332

3

3

3

3

33

3

3

3

3

3

36343634,64343

3436461x a x x a ∴++=++-++=+?+?+?＋－即

()()()()()()()()

()

333333332

3

3

3

3

33

3

3

3

3

3

56545654,64545

5456462x a x x a ∴++=++-++=+?+?+?＋－即

()()()()()()()2

2

333333333333332153535345363456a a -=-+-?+-?∴=+++－得：

=432

解法2：易知3333

35146x y

t t t +=++、是关于的方程

的两根 化简得：()()23333334664460t x y t x y -+---+-?=

33333

3

3

3

35463456432

x y x y +=+--∴+=+++=由韦达定理得：

4、已知锐角三角形ABC 的三个内角A 、B 、C 满足：A ＞B ＞C ，用a 表示A －B ，B －C 以及90°－A 中的最小者，则a 的最大值为＿＿＿。

解：{}min ,,90A B B C A α=--?-　

()()()(),,90623902709015901575,60,4515A B B C A A B B C A A B C A B B C A A B C αααααα∴≤-≤-≤?-∴≤-+-+?-=?-++=?

∴≤?

-=-=?-=?=?=?=??

另一方面，当时，

有满足题设条件，故

可取得最大值

三、解答题(第1题20分，第2、3题各25分)

1、a 、b 、c 为实数，ac ＜0

，证明：一元二次方程ax 2

＋bx ＋c ＝0有大于34

而小于1的根。

解：设()2f x ax bx c =++

()()

()()

393141641

9121616

f f a b c a b c a b c a b c ????

?=++++ ? ?????=++++则

2a+3b+∴

()(

)(

)

2912169163333330

a b c a b c a c a a c a c a c a c c ??∴++++=--+--+ ? ?

??

??-??=++??????

??=+

∴()3104f f ??

? ???

＜

∴一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有大于34

而小于1的根.

2、锐角ΔABC 中，AB ＞AC ，CD 、BE 分别是AB 、AC 边上的高，DE 与BC 的延长线于交于T ，过D 作BC 的垂线交BE 于F ，过E 作BC 的垂线交CD 于G ，证明：F 、G 、T 三点共线。

证法1：设过D 、E 的垂线分别交BC 于M 、N ，在Rt △BEC 与Rt △BDC

理得：

CE 2

＝CN ·CB ，BD 2

＝BM ·BC

∴2

2

CN CE

BM BD = 又Rt △CNG ∽Rt △DCB ，Rt △BMF ∽Rt △BEC ， ∴,BD CE

GN CN FM BM CD BE

=

?=? ∴()221GN BD BE CN BD BE CE BE CE FM CD CE BM CD CE BD BD CD

???=?=?=??? 在Rt △BEC 与Rt △BDC 中，由面积关系得：BE ·CE ＝EN ·BC ，BD ·CD ＝DM ·BC

∴

()2BE CE EN TN

BD CD DM TM

?==?

由(1)(2)得：

,

GN TN

GN FM F G T FM TM =∴又，、、

证法2：设CD 、BE 相交于点H △ABC 的垂心，记DF 、EG 、AH 与BC 分别为M 、

N 、R

∵DM ∥AR ∥EN ∴DF AH EG

FM HR GN

==

由合比定理得：

,,.DM EN GN EN TN

F G T FM GN FM DM TM

=∴==故、、三点共线 证法3：在△ABC 中，直线DET 分别交BC 、CA 、AB 于T 、E 、D 得：

1(1)BT CE AD

TC EA DB

??= 设CD 、BE 相交于点H ，则H 为△垂心，AH ⊥BC

∵DF ⊥BC 、EG ⊥BC ∴AH ∥DF ∥EG ∴

(),,11CE CG AD HF BT CG HF

EA GH DB FB TC GH FB

==??=代入得 由梅涅劳斯定理的逆定理得：F 、G 、T 三点共线.

证法4：连结FT 交EN 于G ’

'

'DF EG FM G N

=

为了证明F 、G 、T DF EG

FM GN

=

即可 ∵1

212sin sin sin sin BDF BMF BD BF ABE S DF BD ABE

FM S BM BF CBE BM CBE

???∠∠===??∠∠ 1212sin sin sin sin CEG CMG CE CG ACD S EG CE ACD GN S CN CG BCD CN BCD

???∠∠===??∠∠ 又

,BD BC CE BC

BM BD CN CE

==

∴sin ,sin DF BC ABE FM BD CBE ∠=∠()sin 1sin EG BC ACD GN CE BCD

∠=∠ ∵CD ⊥AB 、BE ⊥CA ，∴B 、D 、E 、C 四点共圆 ∴∠ABE ＝∠ACD (2)

又

,sin sin sin sin BD CE

BC BD CBE CE BCD BCD CBE

==∴∠=∠∠∠ (3)

将(2) (3)代入（1）得：DF EG

FM GN

=

，故F 、G 、T 三点共线. 3、设a 、b 、c 为正整数，且a 2＋b 3＝c 4，求c 的最小值。 解：显然c ＞1.由题设得：(c 2-a)(c 2+a)=b 3

若取()22

22

1,2b b c a b c c a b ?+-==?+=?则 由大到小考察b ，使

()

12

b b +为完全平方数，易知当b ＝8时，

c 2＝36，则c=6，从而a=28。下面说明c 没有比6更小的正整数解，列表如下：

显然，表中c 4-x 3的值均不是完全平方数。故c 的最小值为6

参考答案：一、1、D 原式14

=

+=-2、C ∵52+142=221=102+112 ∠A 、 ∠C 都是直角 3、D

4、D

5、C

6、A

二、1、2418 2、127 3、x ＋y ＝33＋43＋53＋63＝432 4、15°

三、1、略 2、略 3、c 的最小值为6。

2015年秋七年级上数学竞赛试题含答案

2015年七年级上学期 数学竞赛试题 一、填空题（每小题4分，共40分） 1. 甲、乙、丙、丁四个数之和等于－90，甲数减－4，乙数加－4，丙数乘－4，丁数除－4 彼比相等，则四个数中的最大的一个数比最小的一个数大＿＿ 2.计算（－21 24+ 7 113÷ 24 113－ 3 8）÷1 5 12=＿＿＿。 3. 已知与是同类项，则＝＿＿。 4. 有理数在数轴上的位置如图1所示，化简 5．某班学生去参加义务劳动，其中一组到一果园去摘梨子，第一个进园的学生摘了1个梨子，第二个学生摘了2个，第三个学生摘了3个，……以此类推，后来的学生都比前面的学生多摘1个梨子，这样恰好平均每个学生摘了6个梨子，请问这组学生的人数为＿＿＿＿. 6. 小明骑车自甲地经乙地，先上坡后下坡，到达乙地后立即返回甲地，共用34分钟，已知上坡速度是400米／分，下坡速度是450米／分，则甲地到乙地的路程是＿＿米。 7. 学校开运动会，班长想分批买汽水给全班50名师生喝，喝完的空瓶根据商店规定每5个 空瓶又可换一瓶汽水，则至少要买瓶汽水，才能保证每人喝上一瓶汽水. 8. 有这样一个衡量体重是否正常的简单算法。一个男生的标准体重（以公斤为单位）是其 身高（以厘米为单位）减去110。正常体重在标准体重减标准体重的10％和加标准体重的10之间。已知甲同学身高161厘米，体重为W，如果他的体重正常，则W的公斤数的取值范围是_____. 9. m、n、l都是二位的正整楼，已知它们的最小公倍数是385，则m+n+l的最大值是＿＿。

10. 已知x =5时，代数式ax 3+bx －5的值是10，当x =－5时，代数式ax 3+bx +5=＿＿。 二、选择题（每小题5分，共30分） 1.－|－3|的相反数的负倒数是（ ） （A ）－13 （B ）13 （C ）－3 （D ）3 2. 如图2所示，在矩形ABCD 中，AE =B =BF =21AD =3 1AB =2， E 、H 、G 在同一条直线上，则阴影部分的面积等于( ) (A)8. (B)12． (C)16． (D)20． 3. 十月一日亲朋聚会，小明统计大家的平均年龄恰是38岁，老爷爷说，两年前的十月一日 也是这些人相聚，那么两年前相聚时大家的平均年龄是（ ）岁。 （A ）38 （B ）37 （C ）36 （D ）35 4．探险队要达到目的地需要坐船逆流而上，途中不小心把地图掉入水中，当有人发现后， 船立即掉头追这张地图，已知，船从掉头到追上地图共用了5分钟，那么，这个人发现地图掉到水中是 （ ）. （A ）4分钟后 （B ）5分钟后 （C ）6分钟后 （D ）7分钟后 5. 秋季运动会上，七年级（1）班的萌萌、路佳、王玉三人一起进行百米赛跑（假定三人 均为匀速直线运动）．如果当萌萌到达终点时，路佳距终点还有10米，王玉距终点还有20 米．那么当路佳到达终点时，王玉距终点还有（ ） Ａ．10米 Ｂ．889米 Ｃ．1119 米 Ｄ．无法确定 6．已知a ≤2，b ≥－3，c ≤5,且a －b ＋c ＝10，则a ＋b ＋c 的值等于（ ）。 （A ）10 （B ）8 （C ）6 （D ）4 三、解答题（每小题10分，共30分）

2003年全国初中数学竞赛试题参考答案

2003年全国初中数学竞赛试题 一、选择题 1、若4x-3y-6z=0.x+2y-7z=0(xyz ≠0)，则代数式2222 22103225z y x z y x ---+的值等于( )． （A ）-21 （B ）-219 （C ）-15 （D ）-13 2．在本埠投寄平信，每封质量不超过20g 时付邮费0．80元，超过20g 而不超过40g 时付邮费l ．60元，依次类推，每增加20g 需增加邮费0．80元(信的质量在100g 以内)．如果某人所寄一封信的质量为72.5g ，那么他应付邮费( )． (A)2.4元 (B)2.8元 (C)3元 (D)3.2元 3.如图所示， ( )． (A)3600 (B)4500 (C)5400 (D)720 4.四条线段的长分别为9，5，x ，1(其中x 为正实数)，用它们拼成两个直角三角形，且AB 与CD 是其中的两条线段(如图)，则x 可取值的个数为( )． (A)2个 (B)3个 (C)4个 (D)6个 5.某校初三两个毕业班的学生和教师共100人一起在台阶上拍毕业照留念，摄影师要将其排列成前多后少的梯形队阵(排数≥3)，且要求各行的人数必须是连续的自然数，这样才能最后一排的人均站在前一排两人间的空档处，那么，满足上述要求的排法的方案有( )． (A)1种 (B)2种 (C)4种 (D)O 种 二、填空题 6．已知 那么 . 7．若实数x ，y ，z 满足 则xyz 的值为 . 8．观察下列图形： 根据图①、②、③的规律，图④中三角形的个数应为 。 9．如图所示，已知电线杆AB 直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面 CD 和地面BC 上，如果CD 与地面成450 ，则∠A ＝600 ，CD ＝4m,BC=(4 )m 电线杆AB 的长为 m. 10．已知二次函数y=ax 2 +bx+c(其中a 是正整数)的图像经过点A(一1，4)与点B(2，1)，并且与x 轴有两个不同的交点，则b+c 的最大值为 ． 三，解答题. 11．如图所示，已知AB 是⊙0的直径，BC 是⊙0的切线，0C 平行于弦AD ，过点D 作DE ⊥AB 于点E ， 连接AC ，与DE 交于点P ．问EP 与PD 是否相等?证明你的结论． 12．某人租用一辆汽车由A 城前往B 城，沿途可能经过的城市以及通过两城市之间所需的时间(单位：小时)如图所示．若汽车行驶的平均速度为80千米／小时，而汽车每行驶l 千米需要的平均费用为1．2元．试指出此人从A 城出发到8城的最短路线(要有推理过程)，并求出所需费用最少为多少元? =∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠G F E D C B A ,31+=x =---++2 1 4121,2 x x x ,3 71,11,41 =+=+=+x x z y y x 226-

2018全国初中数学竞赛试题及参考答案

中国教育学会中学数学教学专业委员会 “《数学周报》杯”2018年全国初中数学竞赛试题 答题时注意： 1．用圆珠笔或钢笔作答； 2．解答书写时不要超过装订线； 3．草稿纸不上交. 一、选择题<共5小题，每小题7分，共35分. 每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分） 1．设1a ，则代数式32312612a a a +--的值为( >. .，0y >，且满足3y y x xy x x y ==，，则x y +的值为( >. .

七年级数学竞赛试题及答案

普定县城关镇第一中学2011——2012学年度第一学期 七年级数学竞赛试题 学校： 班级： 姓名： ★亲爱的同学，经过这段时间的中学数学学习，你的数学能力一定有了较大的提高，展示你才能的机会来了！祝你在这次数学竞赛中取得好成绩！别忘了要沉着冷静、细心答题哟！ 一、选择题(每小题6分，共36分) 1、如果m 是大于1的偶数，那么m 一定小于它的……………………（ ） A 、相反数 B 、倒数 C 、绝对值 D 、平方 2、当ｘ＝－2时， 37ax bx +-的值为9，则当ｘ＝2时，3 7ax bx +-的值是 （ ） A 、－23 B 、－17 C 、23 D 、17 3、255 ，344 ，533 ，622 这四个数中最小的数是………………………（ ） A. 255 B. 344 C. 533 D. 622 4、把14个棱长为1的正方体，在地面上堆叠成如图1所示的立体，然后将露出的表面部分染成红色．那么红色部分的面积为 （ ）． A 、21 B 、24 C 、33 D 、37 5、有理数的大小关系如图2所示，则下列式子 中一定成立的是…… （ ） A 、c b a ++＞0 B 、c b a <+ C 、c a c a +=- D 、a c c b ->-

6、某动物园有老虎和狮子，老虎的数量是狮子的2倍。每只老虎每天吃肉4.5千克，每只狮子每天吃肉3.5千克，那么该动物园的虎、狮平均每天吃肉…… …… （ ） A 、 625千克 B 、 725千克 C 、825千克 D 、9 25千克 二、填空题(每小题6分，共36分) 7、定义a*b=ab+a+b,若3*x=27，则x 的值是_____ 8、三个有理数ａ、ｂ、ｃ之积是负数，其和是正数，当x ＝ c c b b a a + + 时，则 ______29219=+-x x 。 9、当整数m ＝_________ 时，代数式 1 36 -m 的值是整数。 10、A 、B 、C 、D 、E 、F 六足球队进行单循环比赛，当比赛到某一天时，统计出A 、B 、C 、D 、E 、五队已分别比赛了5、4、3、2、1场球，则还没与B 队比赛的球队是______ 。 11、甲从A 地到B 地，去时步行，返回时坐车，共用x 小时，若他往返都座车，则全程 只需x 3 小时，，若他往返都步行，则需____________小时。 12、 ._______2007 20061431321211=?+?+?+?K 三、解答题(共28分) 13、现将连续自然数1至2009按图中的方式排列成一个长方形队列，再用正方形任意框出16个数。（14分） （1）设任意一个这样的正方形框中的最小数为n ，请用n 的代数式表示该框中的16个数，然后填入右表中相应的空格处，并求出这16个数中的最小数和最大数，然后填入右表中相应的空格处，并求出这16个数的和。（用n 的代数式表示） （2）在图中，要使一个正方形框出的16个数之和和分别等于832、2000、2008是否可能？若不可能，请说明理由；若可能，请求出该正方形框出的16个数中的最小数和最大数。 图1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 · · · · · · · 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 图2

全国初中数学竞赛试题及解答

A B C D 全国初中数学竞赛试卷及解析 一、选择题（本题共6小题，每小题5分，满分30分．每小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中只有一个是正确的。请将正确答案的代号填在题后的括号里） 1、设a ，b ，c 的平均数为M ，a ，b 的平均数为N ，N ，c 的平均数为P ，若c b a ，则M 与P 的大小关系是（ ） A 、P M B 、P M C 、P M D 、不确定 答案：B 解析：∵3c b a M ，2b a N ，222c b a c N P ，12 2c b a P M ∵ c b a ∴012 2122 c c c c b a P M ，即0 P M ，即P M 2、某人骑车沿直线旅行，先前进了a 千米，休息了一段时间，又原路返回b 千米（a b ），再前进c 千米，则此人离起点的距离S 与时间t 的关系示意图是（ ） 答案：C 解析：因为图（A ）中没有反映休息所消耗的时间；图（B ）虽表明折返后S 的变化，但没有表示消耗的时间；图（D ）中没有反映沿原始返回的一段路程，唯图（C ）正确地表述了题意。 3、甲是乙现在的年龄时，乙10岁；乙是甲现在的年龄时，甲25岁，那么（ ） A 、甲比乙大5岁 B 、甲比乙大10岁 C 、乙比甲大10岁 D 、乙比甲大5岁 答案：A 解析：由题意知3×（甲－乙）151025 ∴甲－乙＝5。 4、一个一次函数图象与直线4 95 45 x y 平行，与x 轴、y 轴的交点分别为A 、B ，并且过点（－1，－25），则在线段AB 上（包括端点A 、B ），横、纵坐标都是整数的点有（ ） A 、4个 B 、5个 C 、6个 D 、7个 答案：B 解析：在直线AB 上，横、纵坐标都是整数的点的坐标是N x 41 ，N y 525 ，（N 是整数）．在线段AB 上这样的点应满足041 N ，且0525 N ，∴54 1 N ，即1 N ，2，3，4，5 5、设a ，b ，c 分别是ABC 的三边的长，且 c b a b a b a ，则它的内角A 、B 的关系是

七年级上册数学竞赛试题

学校 班级 姓名 …………………………密……………………………封………………………线………………………………… 2018-2019学年七年级（上）趣味数学竞赛试题 满分：100分 考试时间：100分钟 一、选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1．下列方程中，是一元一次方程的是( ) （A ）2332 =-+x x （B ） 1124=-x (C) 1=+y x (D)01 =+y y 2．在解方程 21x －－3 3 2x ＋＝1时，去分母正确的是 A 、3（x －1）－2（2＋3x ）＝1 B 、3（x －1）－2（2x ＋3）＝6 C 、3x －1－4x ＋3＝1 D 、3x －1－4x ＋3＝6 3．关于x 的方程2(1)0x a --=的解是3,则a 的值是（ ） A ．4 B ．—4 C ．5 D ．—5 4. 某工厂计划每天烧煤a 吨，实际每天少烧b 吨，则m 吨煤可多烧（ ）天. A ．m m a b - B ．m a b - C ．m m a a b -- D ．m m a b a - - 5. 若a ＝b ，则下列式子正确的有（ ） ①a －2＝b －2 ②1 3 a ＝12 b ③－34 a ＝－34 b ④5a －1＝5b －1． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6.数学竞赛共有10道题，每答对一道题得5分，不答或答错一道题倒扣3分，要得到34分必须答对的题数是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 7．方程2x+1=3与2-3 x a -=0的解相同，则a 的值是（ ） A.7 B.0 C.3 D.5 8．下面是一个被墨水污染过的方程： +=-x x 32 1 2，答案显示此方程的解是x=-1, 被墨水遮盖的是一个常数，则这个常数是（ ） A ．1 B ．－1 C 9．某个体户在一次买卖中同时卖出两件上衣，售价都是165元，若按成本价计算，其中一件盈利25％，另一件亏损25％，在这次买卖中他 （ ） A 、赚22元 B 、赚36元 C 、亏22元 D 、不赚不亏. 10．有m 辆客车及n 个人，若每辆乘40人，则还有10人不能上车，若每辆客车乘43 人，则只有1人不能上车，有下列四个等式： ①1431040-=+m m ；②4314010+=+n n ；③43 1 4010-= -n n ；④1431040+=+m m ， 其中正确的是( ). A ．①② B ．②④ C ．①③ D ．③④ 二、填空题（共8小题，每题3分，共24分） 11．当x= 时，式子5x+2与3x ﹣4的值相等． 12. 若5 a b = ，则_________=5，根据是______________. 13．若式子 14x -的值比式子24 x -的值少5，那么x =__________. 14.若 m 1x 5m -=（）是一元一次方程，则m 的值是 _____________. 15．若2x y +=，8x =，则y 的取值为_____________. 16.小丽在解关于x 的方程-x+5a=13时，误将-x 看作x ，得到方程的解为x=－2，则 原方程的解是_____________. 17.刘俊问王老师的年龄时，王老师说：“我像你这么大时，你才3岁；等你到了我这么大时，我就45岁了．”问王老师今年__________岁． 18.一项机械加工作业，用4台A 型车床，5天可以完成：用4台A 型车床和2台B 型车床，3天可以完成；用3台B 型车床和9台C 型车床，2天可以完成。若A 型、B 型和C 型车床各一台一起工作6天后，只余下一台A 型车床继续工作，则再用

历年初中数学竞赛真题库(含答案)

1991年全国初中数学联合竞赛决赛试题 第一试 一、选择题 本题共有8个小题，每小题都给出了（A ）、（B ）（C ）、（D ）四个答案结论，其中只有一个是正确的．请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内． １． 设等式y a a x a y a a x a ---=-+-)()(在实数范围内成立，其中a ，x ，y 是 两两不同的实数，则2 22 23y xy x y xy x +--+的值是 （A ）3 ； （B ）31； （C ）2； （D ）3 5 ． 答（ ） ２． 如图，AB ‖EF ‖CD ，已知AB =20，CD =80，BC =100，那么EF 的值是 （A ） 10； （B ）12； （C ） 16； （D ）18． 答（ ） ３． 方程012=--x x 的解是 （A ） 251±； （B ）25 1±-； （C ） 251±或251±-； （D ）2 5 1±-±． 答（ ） ４． 已知：)19911991(2 11 1 n n x --=（n 是自然数）．那么n x x )1(2+-，的值是 （Ａ）11991-； （Ｂ）11991--； （Ｃ）1991)1(n -； （Ｄ）11991)1(--n ． 答（ ） ５． 若M n 1210099321=?????Λ，其中Ｍ为自然数，n 为使得等式成立的最大的自然数，则Ｍ （Ａ）能被２整除，但不能被３整除； （Ｂ）能被３整除，但不能被２整除； （Ｃ）能被４整除，但不能被３整除； （Ｄ）不能被３整除，也不能被２整除．

答（ ） ６． 若a ，c ，d 是整数，b 是正整数，且满足c b a =+，d c b =+，a d c =+，那么 d c b a +++的最大值是 （Ａ）1-；（Ｂ）5-；（Ｃ）0；（Ｄ）１． 答（ ） ７． 如图，正方形OPQR 内接于ΔABC ．已知ΔAOR 、ΔBOP 和ΔCRQ 的面积分别是11=S ， 32=S 和13=S ，那么，正方形OPQR 的边长是 （Ａ）2；（Ｂ）3；（Ｃ）2 ；（Ｄ）3． 答（ ） ８． 在锐角ΔABC 中， 1= AC ，c AB =，ο60=∠A ，ΔABC 的外接圆半径R ≤1，则 （Ａ）21< c < 2 ； （Ｂ）0< c ≤2 1 ； 答（ ） （C ）c > 2； （D ）c = 2． 答（ ） 二、填空题 １．Ｅ是平行四边形ABCD 中BC 边的中点，AE 交对角线BD 于G ，如果ΔBEG 的面积是１，则平行四边形ABCD 的面积是 ． ２．已知关于x 的一元二次方程02=++c bx ax 没有实数解．甲由于看错了二次项系数，误求得两根为２和４；乙由于看错了某一项系数的符号，误求得两根为－１和４，那么，=+a c b 32 ． 3．设m ，n ，p ，q 为非负数，且对一切x >０，q p n m x x x x )1(1)1(+=-+恒成立，则 =++q p n m 22)2( ． ４．四边形ABCD 中，∠ ABC ο135=，∠BCD ο120=，AB 6=，BC 35-=， CD = 6，则AD = ． 第二试 1 1=S 3S =1 32=S

全国初中数学竞赛试题及答案79416

中国教育学会中学数学教学专业委员会 全国初中数学竞赛试题 一、选择题（共5小题，每小题6分，共30分.） 1（甲）．如果实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，那 22 ||()|| a a b c a b c ++-++可以化简为（）． （A）2c a-（B）22 a b -（C）a-（D）a 1（乙）．如果22 a=- 1 1 1 2 3a + + + 的值为（）． （A）2 -（B）2（C）2 （D） 22 2（甲）．如果正比例函数y = ax（a ≠ 0）与反比例函数 y = x b（b ≠0 ）的图象有两个交点，其中一个交点的坐标为（－3，－2），那么另一个交点的坐标为（）． （A）（2，3）（B）（3，－2）（C）（－2，3） （D）（3，2） 2（乙）．在平面直角坐标系xOy中，满足不等式x2＋y2≤2x ＋2y的整数点坐标（x，y）的个数为（）． （A）10 （B）9 （C）7 （D）5 3（甲）．如果a b，为给定的实数，且1a b <<，那么

1121 a a b a b ++++，， ，这四个数据的平均数与中位数之差的 绝对值是（ ）． （A ）1 （B ） 214a - （C ）12 （D ）1 4 3（乙）．如图，四边形ABCD 中，AC ，BD 是对角线， △ABC 是等边三角形．30ADC ∠=?，AD = 3，BD = 5， 则CD 的长为（ ）． （A ）23 （B ）4 （C ）52 （D ）4.5 4（甲）．小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币．小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的n 倍”；小玲对小倩说：“你若给我n 元，我的钱数将是你的2倍”，其中n 为正整数，则n 的可能值的个数是（ ）． （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 4（乙）．如果关于x 的方程 2 0x px q p q --=（，是正整数）的正根小于3， 那么这样的方程的 个数是（ ）． （A ） 5 （B ） 6 （C ） 7 （D ） 8 5（甲）．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，3，4，5，6．掷两次骰子，设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0，1，2，3的概率为0123p p p p ，，，，则 0123p p p p ，，，中最大的是（ ）． （A ）0p （B ）1p （C ）2p （D ）3p 5（乙）．黑板上写有1 11123100 ，　， ，，　共100个数字．每次操作先从黑板上的数中选取2个数 a b ，，然后删去a b ，，并在黑板上写上数a b ab ++，则经过99次操作后，黑板上剩下的数 是（ ）． （A ）2012 （B ）101 （C ）100 （D ）99 二、填空题（共5小题，每小题6分，共30分） 6（甲）．按如图的程序进行操作，规定：程序运行 从“输入一个值x ”到“结果是否>487？”为一次

最新全国初中数学竞赛试题及答案

全国初中数学竞赛试题及参考答案 一．选择题（5×7'=35'） 1.对正整数n ，记n ！=1×2×...×n,则1!+2!+3!+...+10!的末位数是( )． A ．0 B ．1 C ．3 D ．5 【分析】5≥n 时，n ！的个位数均为0，只考虑前4个数的个位数之和即可，1+2+6+4=13，故式子的个位数是3. 本题选C ． 2.已知关于x 的不等式组??????? <-+->-+x t x x x 2 353 52恰好有5个整数解，则t 的取值范围是( )． 2116.-<<-t A 2116.-<≤-t B 2116.-≤<-t C 2 116.-≤≤-t D 【分析】20232 35352<<-????????<-+->-+x t x t x x x ，则5个整数解是15,16,17,18,19=x ． 注意到15=x 时，只有4个整数解．所以 2116152314-≤<-?<-≤t t ，本题选C 3.已知关于x 的方程x x x a x x x x 22222--=-+-恰好有一个实根，则实数a 的值有( )个． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【分析】422222222+-=?--=-+-x x a x x x a x x x x ，下面先考虑增根： ⅰ）令0=x ，则4=a ，当4=a 时，0,1,022212===-x x x x （舍）； ⅱ）令2=x ，则8=a ，当8=a 时，2,1,0422212=-==--x x x x （舍）； 再考虑等根： ⅲ）对04222=-+-a x x ，270)4(84= →=--=?a a ，当21,272,1==x a . 故27, 8,4=a ，2 1,1,1-=x 共3个.本题选C ．

2018七年级上数学竞赛试题

七年级（上）数学竞赛试题 班级 姓名 得分: 一、填空题（每小题3分，共30分） 1、有理数在数轴上的位置如图1所示，化简 2、已知：5||=a ，且0=+b a ，则_______=-b a ； 3、若0232=--a a ，则______6252 =-+a a 4、 已知x=5时，代数式ax 3+ bx －5的值是10，当x=－5时，代数式ax 3+bx+5= 。 5.（-2124 +7113 ÷24113 －38 ）÷1512 = 。 6. 已知 与是同类项，则＝＿＿。 7、.有一列数，按照下列规律排列：1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，5，5，5，5，6，6，6，6，6，6，7，……这列数的第200个数是__________. 8、._______2019 20181431321211=?+?+?+? 9、某班学生去参加义务劳动，其中一组到一果园去摘梨子，第一个进园的学生摘了1个梨子，第二个学生摘了2个，第三个学生摘了3个，……以此类推，后来的学生都比前面的学生多摘1个梨子，这样恰好平均每个学生摘了6个梨子，请问这组学生的人数为 人。 10、某班45人参加一次数学比赛，结果有35人答对了第一题，有27人答对了第二题，有41人答对了第三题，有38人答对了第四题，则这个班四道题都对的同学至少有 人. 二、选择题（每小题3分，共24分） 11、(－0.125)2018×(－8)2019的值为（ ） （A ）－4 （B ）4 (C)－8 (D)8 12、若,,,a b c m 是有理数，且23,2a b c m a b c m ++=++=，那么b 与c （ ） （A ）互为相反数 （B ）互为倒数 （C ）互为负倒数 （D ）相等 13.有理数a 等于它的倒数，则a 2016是（ ）

2018年全国初中数学竞赛试题及解答

2018年全国初中数学竞赛试题及解答 一、选择题（只有一个结论正确） 1、设a,b,c 的平均数为M ，a,b 的平均数为N ，N ，c 的平均数为P ，若a>b>c ，则M 与P 的大小关系是（ ） （A ）M ＝P ；（B ）M ＞P ；（C ）M ＜P ；（D ）不确定。 2、某人骑车沿直线旅行，先前进了a 千米，休息了一段时间，又原路返回b 千米（ba 1,b>b 1, c>c 1,，则S 与S 1的大小关系一定是（ ）。 （A ）S ＞S 1；（B ）S ＜S 1；（C ）S ＝S 1；（D ）不确定。 二、填空题 7、已知: a 23 331a a a ++＝________。 8、如图，在梯形ABCD 中，AB∥DC，AB ＝8，BC ＝ ∠BCD＝45°，∠BAD＝120°，则梯形ABCD 的面积等于________。 9、已知关于的方程 (a-1)x 2 +2x-a-1=0的根都是整数，那么符合条件的整数有_______个。 10、如图，工地上竖立着两根电线杆AB 、CD ，它们相距15米，分别自两杆上高出地面4米、6米的A 、C 处，向两侧地面上的E 、D ；B 、F 点处，用钢丝绳拉紧，以固定电线杆。那么钢丝绳AD 与BC 的交点P 离地面的高度为________米。

全国初中数学联合竞赛试题及答案

2013年全国初中数学联合竞赛试题及参考答案 第一试 一、选择题（本题满分42分，每小题7分） 1.计算（B ） （A 1 （B ）1 （C （D ）2 2.满足等式() 22 21m m m ---=的所有实数m 的和为（A ） （A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 3.已知AB 是圆O 的直径，C 为圆O 上一点，15CAB ∠=，ABC ∠的平分线交圆O 于点D ， 若CD = AB=（A ） （A ）2 （B （C ）（D ）3 4.不定方程2 3725170x xy x y +---=的全部正整数角（x,y ）的组数为（B ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 5矩形ABCD 的边长AD=3，AB=2，E 为AB 的中点，F 在线段BC 上，且BF ：FC=1：2， AF 分别与DE ，DB 交于点M ，N ，则MN=（C ） （A （B （C （D 6.设n 为正整数，若不超过n 的正整数中质数的个数等于合个数，则称n 为“好数”，那么， 所有“好数”之和为（B ） （A ）33 （B ）34 （C ）2013 （D ）2014 二、填空题（本题满分28分，每小题7分） 1.已知实数,,x y z 满足4,129,x y z xy y +=+=+-则23x y z ++= 4 2.将一个正方体的表面都染成红色，再切割成3 (2)n n >个相同的小正方体，若只有一面是 红色的小正方体数目与任何面都不是红色的小正方体的数目相同，则n= 8 3.在ABC 中，60,75,10A C AB ∠=∠==，D ，E ，F 分别在AB ，BC ，CA 上，则DEF 4.如果实数,,x y z 满足()2 2 2 8x y z xy yz zx ++-++=，用A 表示,,x y y z z x ---的 最大值，则A 的最大值为 第二试（A ）

七年级上册数学竞赛试题

七年级上册数学竞赛试题 It was last revised on January 2, 2021

学校 班级 姓名 …………………………密……………………………封………………………线………………………………… 2018-2019学年七年级（上）趣味数学竞赛试题 满分：100分 考试时间：100分钟 一、选择题（共10小题，每题3分， 共30分） 1．下列方程中，是一元一次方程的是( ) （ A ） 2332=-+x x （B ） 1124=-x (C) 1=+y x (D) 01 =+y y 2．在解方程 21x －－3 3 2x ＋＝1时，去分母正确的是 A 、3（x －1）－2（2＋3x ）＝1 B 、3（x －1）－2（2x ＋3）＝6 C 、3x －1－4x ＋3＝ 1 D 、3x －1－4x ＋3＝6 3．关于x 的方程2(1)0x a --=的解是3, 则a 的值是（ ） A ．4 B ．—4 C ． D ．—5 4. 某工厂计划每天烧煤a 吨，实际每天 少烧b 吨，则m 吨煤可多烧（ ）天. A ．m m a b - B ．m a b - C ．m m a a b -- D ．m m a b a -- 5. 若 a ＝b ，则下列式子正确的有 （ ） ①a －2＝b －2 ②13 a ＝12 b ③－34 a ＝－34 b ④5a －1＝5b －1． A. 1个 B. 2 个 C. 3个 D. 4个 6.数学竞赛共有10道题，每答对一道题得5分，不答或答错一道题倒扣3分， 要得到34分必须答对的题数是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 7．方程2x+1=3与2- 3 x a -=0的解相同，则a 的值是（ ） 8．下面是一个被墨水污染过的方程： + =-x x 32 1 2，答案显示此方程的解是x=-1,被墨水遮盖的是一个常数，则这个常数是（ ） A ．1 B ．－1 C 9．某个体户在一次买卖中同时卖出两件上衣，售价都是165元，若按成本价计算，其中一件盈利25％，另一件亏损25％，在这次买卖中他 （ ） A 、赚22元 B 、赚36元 C 、亏22元 D 、不赚不亏. 10．有m 辆客车及n 个人，若每辆乘40人，则还有10人不能上车，若每辆客车

历年初中数学竞赛真题库(含答案)

1991年全国初中数学联合竞赛决赛试题 第一试 一、选择题 本题共有8个小题，每小题都给出了（A ）、（B ）（C ）、（D ）四个答案结论，其中只有一个是正确的．请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内． ． 设等式y a a x a y a a x a ---=-+-)()(在实数范围内成立，其中a ，x ，y 是两两不 同的实数，则22223y xy x y xy x +--+的值是 （A ）3 ； （B ）31； （C ）2； （D ）35 ． 答（ ） ． 如图，AB ‖EF ‖CD ，已知AB =20，CD =80，BC =100，那么EF 的值是 （A ） 10； （B ）12； （C ） 16； （D ）18． 答（ ） ． 方程0 12=--x x 的解是 （A ）251±； （B ）25 1±-； （C ）251±或251±-； （D ）251±-± ． 答（ ） ． 已知：)19911991(21 1 1n n x --=（n 是自然数）．那么 n x x )1(2+-，的值是 （Ａ）11991-； （Ｂ）1 1991--； （Ｃ）1991)1(n -； （Ｄ）1 1991)1(--n ． 答（ ） ． 若M n 1210099321=????? ，其中Ｍ为自然数，n 为使得等式成立的最大的自然数，则Ｍ （Ａ）能被２整除，但不能被３整除； （Ｂ）能被３整除，但不能被２整除； （Ｃ）能被４整除，但不能被３整除； （Ｄ）不能被３整除，也不能被２整除． 答（ ） ． 若a ，c ，d 是整数，b 是正整数，且满足c b a =+，d c b =+，a d c =+，那么 d c b a +++的最大值是 （Ａ）1-；（Ｂ）5-；（Ｃ）0；（Ｄ）１． 答（ ） ． 如图，正方形OPQR 内接于ΔABC ．已知ΔAOR 、ΔBOP 和ΔCRQ 的面积分别是11=S ，32=S 和 1 3=S ，那么，正方形OPQR 的边长是 （Ａ）2；（Ｂ）3；（Ｃ）2 ；（Ｄ）3． 答（ ） 1 1=S

最新全国初中数学竞赛试题及答案

全国初中数学竞赛试 题及答案

仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢3 1997年全国初中数学联赛试题 第一试 一.选择题 本题共有6小题,每一个小题都给出了以(A), (B), (C), (D)为代号的四个答案,其中只有一个答案是正确的.请将正确的答案用代号填在各小题的括号内. 1.下述四个命题 (1)一个数的倒数等于自身,那么这个数是1; (2)对角线互相垂直且相等的四边形是正方形; (3)2a 的平方根是a ±; (4)大于直角的角一定是钝角. (A)1个 (B)2个; (C)3个; (D)4个. 答( ) 2.已知354 234 -<<+x ,那么满足上述不等式的整数x 的个数是 答( ) (A)4; (B)5; (C)6; (D)7. 答( ) 3.若实数c b a ,,满足9222=++c b a ,代数式222)()()(a c c b b a -+-+-的最大值是 (A)27 (B)18; (C)15; (D)12. 答( )

仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢3 4.给定平面上n 个点,已知1,2,4,8,16,32都是其中两点之间的距离,那么点数n 的最小可能值是 (A)4; (B)5; (C)6; (D)7. 答( ) 5.在梯形ABCD 中,DC AD =,030=∠B ,060=∠C ,E,M,F,N 分别为 AB,BC,CD,DA 的中点,已知BC =7,MN =3,则EF 之值为 (A)4 (B)2 14 (C)5; (D)6. 答( ) 6.如图,已知B A ∠=∠,1AA ,1PP ,1BB 均垂直于 11B A ,171=AA ,161=PP ,201=BB ,1211=B A ,则AP+PB 等于 （A ）12； （B ）13； （C ）14； （D ）15. 答( ) 二、填空题 1.从等边三角形内一点向三边作垂线,已积压这三条垂线的长分别为1,3,5,则这个等边三角形的面积是 . 2.当a 取遍0到5的所有实数值时,满足)83(3-=a a b 的整数b 的个数是 .

七年级下册数学竞赛试卷

七年级下册数学竞赛试卷 一填空题（每题3分共30分） 1． 若则。 2．若，则=_________________。 3．已知x 2+x-1=0，则x 3+2x 2+2007=_________________。 4若x 2+2（m-3）x+16是完全平方式，则m=_________________。 5.△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，且BD =CD ，若AB =3，则AC =__ __ 6如图（1），⊿ABC 中，∠A = 40°，∠B = 72°，CE 平分∠ACB ，CD ⊥AB 于D ，DF ⊥CE ，则∠CDF = 7.如图（2）所示，∠BDC=148°，∠B=34°，∠C=38°，那么∠A=___ D C B A F （1） （2） 、8.12) 12)(12)(12)(12)(12(3216842-+++++= _________________。 9.乘积22221111(1)(1)(1)(1)23910 ----=_________________。 10.若a 2+b 2=6a-4b-13,则a 2-b 2=_________________。 二 选择题（每题3分共24分） 1 如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐的角是1200，第二次拐的

角是1500，第三次拐的角是∠C ，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C 是（ ） A, 120 0 B,1300 C, 1400 D, 1500 2.已知 ， ， ， 则、、、的大小关系为：（ ） A 、 B 、 C 、 D 、 3. 用小数表示3×10－2的结果为（ ） A 、 －0.03 B 、 －0.003 C 、 0.03 D 、 4. 当x ＝－2时， 37ax bx +-的值为9，则当x ＝2时，37ax bx +-的值是（ ） A 、－23 B 、－17 C 、23 D 、17 5、设b a ,是非零有理数，且ab b a b a 32,0)(2 22 +=+则的值为（ ） A 、 3 1 B 、3 C 、1 D 、—1 6、如图所示，A H ∥DG ∥BC ，DF ∥AC ，图中和∠ACB 相等的角（不包括自身）有 （ ） F A 、 3个 B 、4个 C 、5个 D 、6个 7..如果有2003名学生排成一列，按1，2，3，4，3，2，1，2，3，4，3，2，1。。。。。。 的规律报数，那么第2003 位同学所报的数是（ ） A.1 B.2 C.3 D .4 8. 如果2-x ＋x －2＝0，那么x 的取值范围是（ ）

2018年全国初中数学竞赛试题及答案

１ 2018年全国初中数学竞赛试题及答案 考试时间：2018年4月1日上午9：30—11：30 一、选择题：（共5小题，每小题6分，满分30分．以下每小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的．请将正确选项的代号填入题后括号里．不填、多填或错填都得0分） 1．方程组?????=+=+6 12y x y x 的实数解的个数为（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 解：选（A ）。当x ≥0时，则有y －|y|=6,无解；当x<0时，则y ＋|y|=18,解得：y=9,此时x=－3. 2．口袋中有20个球，其中白球9个，红球5个，黑球6个．现从中任取10个球，使得白球不少于2个但不多于8个，红球不少于2个，黑球不多于3个，那么上述取法的种数是（ ） （A ）14 （B ）16 （C ）18 （D ）20 解：选（B ）。只用考虑红球与黑球各有4种选择：红球（2,3,4,5），黑球（0,1,2,3）共4×4＝16种 3．已知a 、b 、c 是三个互不相等的实数，且三个关于x 的一元二次方程02 =++c bx ax ， 02 =++a cx bx ，02 =++b ax cx 恰有一个公共实数根，则 ab c ca b bc a 2 22++的值为（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 解：选（D ）。设这三条方程唯一公共实数根为t ，则20a t b t c ++ =，20bt ct a ++=，2 0ct at b ++= 三式相加得：2 ()(1)0a b c t t ++++=，因为210t t ++≠，所以有a+b+c=0,从而有333 3a b c abc ++=， 所以 ab c ca b bc a 222++＝333 a b c abc ++＝33abc abc = 4．已知△ABC 为锐角三角形，⊙O 经过点B ，C ，且与边AB ，AC 分别相 交于点D ，E ．若⊙O 的半径与△ADE 的外接圆的半径相等，则⊙O 一定经 过△ABC 的（ ） （A ）内心 （B ）外心 （C ）重心 （D ）垂心 解：选（B ）。如图△ADE 外接圆的圆心为点F ，由题意知：⊙O 与⊙F 且弧DmE ＝弧DnE ，所以∠EAB ＝∠ABE ，∠DAC ＝∠ACD ， 即△ABE 与△ACD 都是等腰三角形。分别过点E ，F 作AB ，AC 相交于点H ，则点H 是△ABC 的外心。又因为∠KHD ＝∠ACD ， 所以∠DHE+∠ACD ＝∠DHE+∠KHD ＝180°，即点H ，D ，C ，E 在同一个圆上， 也即点H 在⊙O 上，因而⊙O 经过△ABC 的外心。 5．方程2563 2 3 +-=++y y x x x 的整数解x (，)y 的个数是（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）3 （D ）无穷多 解：选（A ）。原方程可变形为：x(x+1)(x+2)+3x(x+1)=y(y-1)(y+1)+2，左边是6的倍数，而右边不是6的倍数。