考研高数笔记

第一章 函数、极限、连续

第1节 函数

a)

反函数和原函数关于y=x 对称。

b) 只有定义域关于原点对称的函数才能讨论奇偶性。 c) 多个奇函数之和为奇函数；多个偶函数之和为偶函数。

d)

2k 个奇函数的乘积是偶函数；2k+1个奇函数的乘积是偶函数；任意个偶函数的乘积还是偶函数。(k=0,1,2......)。

e) 如果f(x)是周期函数，周期为T ，则f(ax+b)也是周期函数，周期为|T/a|。

f) 基本初等函数包括：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。初等

函数即上述五大类函数，以及它们有限次的四则运算与复合而成的函数。 g) 一切初等函数在其定义域内都是连续的。

第2节 极限

a) 左右极限存在且相等?极限存在。

b) 如果函数在X 0极限为A ，则可以将函数改写为f(X)=A+ɑ(x)，其中

0=(x)ɑlim 0

x x →。

（等价无穷小）

c) 极限存在?极限唯一。（极限唯一性）

d) A x =→)(f lim 0

x x ，且A>0，则在x 的邻域内，f(x)>0。（保号性）

e) 函数f(x)在点x=x 0存在极限，则存在该点的一个去心邻域U ，在U 内f(x)有界。

（有界性） f) 当limf(x)=A ，limg(x)=B ，那么

lim(f(x)+g(x))=limf(x)+limg(x)=A+B lim(f(x)-g(x))=limf(x)-limg(x)=A-B lim(f(x)*g(x))=limf(x)*limg(x)=A*B lim(f(x)/g(x))=limf(x)/limg(x)=A/B limg(x)不等于0

lim(f(x))^n=(limf(x))^n=A n

lim(f(x)^g(x))=A b

（极限的四则运算）

g) 有限个无穷小之和仍然是无穷小。有限个无穷小之积仍然是无穷小。无穷小和有界

量乘积仍然是无穷小。 h) )

()(lim x g x f =l

i. l=0，f(x)=o(g(x)). ii. l=∞，f(x)是g(x)低阶.

iii.0

x g x f )]

([)

(lim

=l(l ≠0)，则称f(x)是g(x)的k 阶无穷小。 i) 等价无穷小代换：

x →0时，x ~sinx ~tanx ~arcsinx ~arctanx ~e x

-1~ln(1+x)

1-cosx ~21x 2 =》1-cos αx ~2

αx

2

x

1+-1~2

1x

=》α)x 1(+-1~αx

tanx-x ~3

13x

x-sinx ~6

13x

特殊的，x →0时a x -1~xlna

j) 只有因子才能进行等价无穷小的代换。

k) 要注重推广形式。例如【x →0时，x ~sinx 】，如果当x →x 0

时，f(x)→0，那么将

原式中x 换成f(x)也成立。 l) 求极限的方法：

i. 利用函数的连续性（极限值等于函数值）。利用极限的四则运算性质。 ii. 抓头公式（处理多项式比值的极限）。

1. 抓小头公式。（x →0）

2. 抓大头公式。（x →∞）（分子分母同除最高次项）（极限为【最高次项

的系数比】）

iii.两个准则：

1. 夹逼准则

2. 单调有界必有极限 iv. 两个重要极限：

1.

x

sinx lim

x →=1 （利用单位圆和夹逼准则进行证明）

2.

e x

x

=+

∞

→)11(lim x

e =+→x

10

x )

x 1(lim （利用单调有界准则进行证明）

口诀：倒倒抄。（结合抓头公式）

v. 无穷小的运算性质、等价无穷小的代换

1. 有限个无穷小之和为无穷小。有限个无穷小之积为无穷小。无穷小与有界

量乘积为无穷小。 2. 12种等价无穷小的代换。

vi. 左右极限：求分段函数分段点的极限值。

vii.利用导数的定义求极限。导数定义：增量比，取极限。构造出“增量比”的形

式，则极限就是导数。 viii.

定积分的定义求极限。（处理多项求和的形式）

ix. 泰勒公式

1.

泰勒公式中系数表达式：

f (f )(f 0)

f !

(f ?f 0)f

2. 当f 0=0的时候，泰勒公式则称为麦克劳林公式。

常用的麦克劳林公式：

e x

sinx cosx ln(x+1) (1+x)m

x. 洛必达法则

使用前提：（1）分子分母都趋向于0。（2）分子分母的极限都存在。（3）分子分母导数的比值为一个定值或为无穷。 第一层次

00

∞∞

第二层次

0*∞：转换成0

或∞

∞

∞-∞：通分化为00

（常用换元的方法求解） 第三层次

1∞

∞0

00

使用f ff 进行转化。

第3节连续与间断

a)连续

某点：极限值=函数值?函数在该点连续

开区间：在该区间中每个点都是连续的，则在开区间连续。

闭区间：开区间连续切在端点连续

b)间断

第一类间断点（左右极限都存在）

可去间断点：左右极限相等

跳跃间断点：左右极限不相等

第二类间断点（左右极限至少有一个不存在）

无穷间断点：因趋于无穷而造成的不存在。

振荡间断点：因振荡而不存在。

c)初等函数的连续性

i.基本初等函数在相应的定义域内连续。

ii.区间I上的连续函数做四则运算形成的新函数在I上仍然是连续函数。

iii.连续函数经过有限次的复合仍为连续函数。

iv.原函数连续且单调，反函数必为连续且单调。

v.一切初等函数在相应定义区间内连续。

d)闭区间连续函数的性质

如果f(x)在[a,b]连续，则：

1.f(x)在[a,b]有界。

2.有最大最小值

3.介值定理

4.零点定理：f(a)*f(b)<0，a、b之间必有零点。

第二章一元函数微分学

第1节导数与微分

1导数

a)导数定义：增量比，取极限。

b)左导数和右导数存在且相等?导数存在

c)函数在某点的导数值即函数在该点的切线的斜率。

d)导数的物理意义：对路程函数中的t求导为瞬时速度.etc

e)导数的经济意义：边际成本、边际收益、边际利润。

?f′(f)

f)函数的相对变化率（弹性）：f

f

g)可导与连续的关系：可导必连续，连续不一定可导。

h) 偶函数的导数是奇函数。

2 微分

微分定义：自变量?x沿着切线方向的增量?y。

3 求导法则

a) 导数微分表（4组16个）。 b) 导数的四则运算。

c) 反函数的导数：原函数导数的倒数。 d)

复合函数求导法则。

e) 参数方程求导：dy dx

=dy dt

/

ff

ff

f) 隐函数求导：左右两侧同时求导，y 当作x 的函数处理。 g) 对数求导法

i. 幂指函数：先将等式两边同时化为ln 的真数，再运用隐函数求导法则。 ii. 连乘函数：先将等式两边同事化为ln 的真数，变成连加，再运用隐函数求导

法则。

4 高阶导数

a) 莱布尼茨公式：[u (x )v (x )](f )

=∑f f f f f =0f

(f )(f )f (f ?f )(f ) b) 反函数的二阶导数：?f ′′(f )

[f ′(f )]3

c) 参数方程的二阶导数：f ′′f ′?f ′f ′′

(f ′)3

第2节 微分中值定理

1 罗尔中值定理

条件：（1）f(x)在[a,b]连续。（2）f(x)在(a,b)可导。（3）f(a)=f(b)。

结论：在a 和b 之间必有一个值f 使得f ’(f )=0。

几何意义：在该条件下的函数，必可在在其区间内找到一点使得切线斜率为0。

引申---费马引理

y=f(x)，若x0为y=f(x)的极值点，则f’(x0)=0。

2拉格朗日中值定理

条件：（1）f(x)在[a,b]连续。（2）f(x)在(a,b)可导。

结论：在a和b之间必有一个值f使得f’(f)=f(f)?f(f)

f?f

。

几何意义：在该条件下的函数，必可在其区间内找到一点使得切线斜率与端点连线斜率相等。

拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广。

证明：使用曲线减去两端点连线得出一个函数，再对该函数应用罗尔中值定理。

使用该定理的信号：要求证的式子中有一个端点处函数值之差。

3柯西中值定理

条件：（1）f(x)、g(x)在[a,b]连续。（2）f(x)、g(x)在(a,b)可导。且g’(x)≠0

结论：在a和b之间必有一个值f使得f′(f)

f′(f)=f(f)?f(f)

f(f)?f(f)

。

柯西中值定理是拉格朗日中值定理推广。

证明：使用参数方程，将f(x)和g(x)作为参数表示。证明过程与拉格朗日中值定理相同。

使用该定理的信号：要求证的式子中有两个端点处函数值之差。

4泰勒中值定理

泰勒中值定理即带有拉格朗日余项的泰勒公式。

f(f)=∑f(f)(f0)

f!

(f?f0)f+

f(f+1)(f)

(f+1)!

(f?f0)f+1

∞

f=0

拉格朗日中值定理是带有拉格朗日余项的泰勒中值定理的特例。

使用该定理的信号：高阶导数。

使用方法：（1）确认n的取值，一般根据高阶导数的阶数选取。（2）确认x0的取值，一般选取题中已知导数值的点。（3）确认x的取值，一般为题中所给已知值的点或端点和极值点。

第3节微分学的应用

1单调性、极值

单调性：

f’(x)>0的区间，f(x)单调增的区间；f’(x)<0的区间，f(x)单调减的区间。

极值：

极值点和导数为零的点没有充要条件关系。

可导函数的极值点，对应的导数值为0。（费马引理） 驻点（导数为0的点）不一定是极值点。

第一判定法：若在f 0的邻域内，f 0左右导数异号，则f 0是一个极值点。

第二判定法：f 0为驻点，且在f 0处，f(x)的二阶导数存在。通过二阶导数的符号

进行判定。

2 最值（闭区间）

最值可能出现在（1）极值点（2）区间端点。

3 凹凸、拐点

凹凸：

视觉定位：俯视 凹函数：f (

f 1+f 22)≤f (f 1)+f (f 2)2 凸函数：f (f 1+f 22)≥f (f 1)+f (f 2)

2

凹函数：f ’’(x)>0 凸函数：f ’’(x)<0

拐点：可能出现在f ’’(x)=0或f ’’(x)不存在的点，但不一定是。

4 渐近线

水平渐近线：当f(x)趋向于∞时，极限存在，则该极限为水平渐近线。

铅直渐近线：当f(x)趋向于f 0时，极限趋向于∞，则f 0为该函数的铅直渐近线。 斜渐近线：当f(x)趋向于∞时，f(x)-(kx+b)=0，则(kx+b)为该函数的斜渐近线。其中，k=

f (f )

f ，b=lim f →∞

[f (f )?ff ]。 5 函数图像的描绘

利用极值点、拐点、与坐标轴交点、单调性、凹凸性、渐近线进行描绘。

6 曲率

弧微分：ds=√1+[f ′(f )]2ff 曲率即：角度在单位弧长的变化。

曲率：K =ff ff =ff /ff

ff /ff

=

|f ′′|

[(1+(y ′)2]32

曲率半径：ρ=1

f

曲率圆：从弧上某点出发，向凹侧沿法线方向移动ρ的长度，即得到曲率圆的圆心。

第三章 一元函数积分学

第1节 不定积分

(一)

定义

’(x)=f(x)，称F(x)为f(x)的原函数。[F(x)+C]’=f(x)，称F(x)+C 为f(x)的原函数组。2.∫f (f )ff =f (f )+f 为f(x)的不定积分。 (二)

性质

1.∫f ′(f )ff =∫f (f )ff =f (f )+f

2.∫[f (f )ff ]′=[f (f )+f ]′=f (f )

3.∫ff (f )ff =f ∫f (f )ff

4.∫(f 1(f )±f 2(f ))ff =∫f 1(f )ff ±∫f 2(f )ff (三) 基本几分公式

24个公式=13（基本导数表）+11（常用公式） (四)

积分方法

1.凑微分法（第一换元法）

∫f [f (f )]?f ′(f )ff =f [f (f )]+C 有13个常用公式。 2.换元法（第二换元法）

∫f (f )ff =∫f [f (f )]?f ′(f )ff =F(t)+C=F[f ?1(f )]+f f (f )可导且存在反函数。（根式换元、三角换元、倒代换） 3.分部积分法

∫f (f )ff (f )=f (f )f (f )?∫f (f )ff (f )

口诀：反对幂指三，谁先出现谁留下。

第2节 定积分

(一) 定义：分割，近似，求和，取极限。

几何意义：曲线与x 轴所围面积的代数和。 (二) 性质：

1. ∫f (f )ff =0f

f

2. ∫f (f )ff =?∫f (f )ff f

f f f

3. ∫ff (f )ff =f ∫f (f )ff f

f f f

4. ∫[f 1(f )±f 2(f )]=∫f 1(f )ff ±∫f 2(f )ff f

f f f f f

5. ∫f (f )ff =f f ∫f (f )ff +f f ∫f (f )ff f

f

6. 若f(x)≥0，x ∈[a,b]，则∫f (f )ff ≥0f

f

7. 若f(x)≥g(x) ，x ∈[a,b]，则∫f (f )ff ≥∫f (f )ff f

f f f

8.

m ≤f(x)≤M ，x ∈[a,b]，则m(b-a)≤ ∫f (f )ff f

f ≤M(b-a)

(三) 基本定理

1.积分中值定理：f(x)在[a,b]连续，则在[a,b]中存在一点ξ，使得∫f (x )ff =

f

f f (ξ)(b ?a )

常把f(ξ) 称为积分平均值。 2.变限积分：函数

变上限φ(x )=∫f (f )ff f

f φ′(f )=f (f ) 变下限φ(x )=∫f (f )ff f f φ′(f )=?f (f )

φ(x )=∫f (f )ff f (f )

f

φ′(f )=f [f (f )]?f′(f ) φ(x )=∫f (f )ff f

f (f ) φ′(f )=?f [f (f )]?f′(f ) φ(x )=∫f (f )ff f (f )

f (f )

φ′(f )=f [f (f )]?f ′(f )?

f [f (f )]?f′(f )

3.牛顿-莱布尼茨公式:

F’(x)=f(x)则∫f (f )ff =f

f f (f )|f f =f (f )?f (f )

第3节 反常积分（广义积分）

定积分：（1）有限区间。（2）区间内有界。 (一)

无穷区间上的广义积分

∫f (f )ff =lim f →+∞

∫f (f )ff f

f +∞

f ，若极限存在，称广义积分是收敛的。若

极限不存在，称广义积分是发散的。

∫f (f )ff =lim f →?∞

∫f (f )ff f

f f

?∞ ，若极限存在，称广义积分是收敛的。若

极限不存在，称广义积分是发散的。

∫f (f )ff =∫f (f )ff +∫f (f )ff +∞

f f ?∞+∞

?∞ ，若两个广义积分极限都存在，称原广义积分是收敛的。若至少有一个广义积分极限不存在，称原广义积分是发散的。

常用公式：∫ff

f

f (f >0)+∞f

当P>0时收敛，值为

f 1?f

f ?1

。当p>1时发散。

(二) 无界函数的广义积分（瑕积分）

f(x)在a 点无界：∫f (f )ff =lim f →0

+∫f (f )ff f

f +f f

f ，若极限存在，称积分

收敛。若极限不存在，称积分发散。

f(x)在b 点无界：∫f (f )ff =lim f →0

+∫f (f )ff f ?f

f

f f ，若极限存在，称积分

收敛。若极限不存在，称积分发散。

f(x)在c 点无界：∫f (f )ff =∫f (f )ff +∫f (f )ff f

f f f f f ，若两个广义积分极限都存在，称原广义积分是收敛的。若至少有一个广义积分极限不存在，称原广义积分是发散的。

第4节 定积分的应用

(一) 微元法：U

1.确定变量x ，确定x 的范围[a,b]。 →Du=f(x)dx

=∫ff =∫f (f )ff f

f (二) 几何问题

1.面积：

（1）直角坐标系

（2）极坐标系：S=∫ff =∫12

f 2(f )ff f f

极坐标系转化为直角坐标系：f 2=f 2+f 2,x =ρcosθ,y =ρsinθ,θ=

arctan f

f

2.体积：

（1）截面面积已知的几何体的体积：V=∫ff =∫f (f )ff f

f

（2）旋转体的体积：绕x 轴转：V=∫ff 2(f )ff f f ；绕y 轴转：V=∫ff 2(f )ff f

f

V=∫2fff (f )ff f

f

3.曲线的弧长 （1）参数方程：S=∫√[f ′(f )]2+[f ′(f )]2f

f dt （2）直角坐标系：S=∫√+[(f )f f dx

（3）极坐标系：S=∫√[f ′(f )]2+[f (f )]2f f d θ

(三) 物理问题

运用微元法三步求解。

第四章 多元函数微分学

第1节 基本概念

（1） 多元函数：

二元函数：z=f(x,y) D 定义域

几何意义：曲面

（2） 二元函数的极限：

趋向方式有无数种，若不同趋向方式得到的极限不同，则极限不存在（极限唯一性）。

（3） 二元函数的连续

极限值等于函数值，则函数在该点连续。 闭区域上连续函数的性质：

D 为闭区域，f(x,y)在D 上连续，则： 1. f(x,y)在D 上有界。 2. 存在最大最小值。 3. 可应用介值定理。 4. 可应用零点定理。

第2节 偏导数与全微分

（1） 偏导数：z=f(x,y)

对x 的偏导数：lim

?f →0

f (f +?f ,f )?f (f ,f )

?f =?f

?f =f f ′(f ,f )=f 1′

(f ,f )

对y 的偏导数：lim

?f →0

f (f ,f +?f )?f (f ,f )?f =

?f ?f

=f f ′(f ,f )=f 2′

(f ,f )

二阶偏导数：若f f ′f ′(f ,f )和f f ′f ′(f ,f )连续，则f f ′f ′(f ,f )等于

f f ′f ′(f ,f )。 （2） 全微分：z=f(x,y)

若?f =A ?f +B ?f +o(√?f 2+?f 2)则z 可微。

dz=Adx+Bdy+ o(√?f 2+?f 2)= ?f ?f ff +?f

?f dy

（3） 偏导数与全微分的关系

全微分存在?函数连续

全微分存在?

?f ?f

、

?f ?f

存在

?f

?f 、?f

?f 连续?可微

（4） 偏导数的计算

直接计算：对不求导的变量当作常量处理（二元→一元）。 多元复合函数求导（链式法则）

=f(u,v) u=u(x,y) v=v(x,y)

?f

?f

=?f ?f ??f ?f +?f ?f ??f

?f

?f

?f

=?f ?f ??f ?f +?f ?f ??f

?f 画树状图找到求导路径

隐函数的偏导数

左右同时求导

多元隐函数求导公式：

?f

?f =?f f

′f f ′ ?f ?f =?f f ′f f

′ 第3节 多元函数微分学的应用（数二只要求极值、最值问题）

（1） 二元函数的极值问题（无条件）

极值点：可能是一阶偏导数为零或不存在的点。

判定极值点：当求出某点可能为极值点(f 0,f 0)，带入f 0=?2f

?f 2、f 0=?2f

?f ?f 、f 0=?2f

?f 2。 计算f 02?f 0f 0。当其 小于零：

f 0>0为极小值点 f 0<0为极大值点 大于零：

不是极值点 等于零： 无法判断

（2） 条件极值

先构造拉格朗日函数，再求各值的偏导数。 （3）

闭区域上的最值

1. 先找极值。

2. 边界点（条件极值）。

3. 比较，选出最大最小值。

第五章 重积分

第1节 二重积分

（1） 几何意义：f(x,y)>0，以D 为底，以f(x,y)为顶的曲顶柱体的体积。 （2） 计算

a) 直角坐标系下：?f (f ,f )ff =f ∫ff f f ∫f (f ,f )ff f 2

(f )

f 1

(f )

口诀：后

积先定限

b) 极坐

标系

下

：

先积r 后积

θ ?f (f ,f )ff =f

∫ff f

f ∫f (fffff ,fffff )fff f 2(f )

f 1

(f ) 坐标系选择： 极坐标系：

1. D ：圆（环）、扇（环）

(x,y)：f 2+f 2、f

f

除此之外一般选择直角坐标系。

第六章 常微分方程

第1节 基本概念

1. 常微分方程

含未知函数的导数的方程。

2. 阶

未知函数有几阶导，就是几阶的微分方程。

3. 解

通解：含有任意常数的个数与阶数相同。 特解：通解中的任意常数确定。

初始条件：y(f 0)=f 0，f ′(f 0)=f 1，…，f (f ?1)(f 0)=f f ?1

4. 线性方程

y 和y 的各阶导数都是以一次式出现的。

第2节 一阶微分方程

1. 可分离变量的微分方程：

转化：

ff ff =f(x)?g(x)?∫ff

f (f )

=∫f (f )ff 两边同时积分

2. 齐次微分方程：

如果ff ff =f(f f )，那么设f

f =u ，则y=x ?u(x)

那么

ff ff =u(x)+x ff

ff

带入原方程

得：u+x ?ff

ff =f(u) ? ff

f (f )?f =

ff

f

（可分离变量） 3. 一阶线性微分方程

通式：f ′+P(x)?y=Q(x)，若Q(x)，则称之为一阶线性齐次微分方程。

一阶线性齐次微分方程通解：y=C ?f ?∫f (f )ff

一阶线性非齐次微分方程通解：y=f ?∫f (f )ff (∫f (f )?f ∫f (f )ff ff +f )

第3节 高阶微分方程

1. 可降阶的高阶微分方程

a) f (f )=f (f )

逐次积分解决。

b)f′′=f(f,f′)

令u(x)=f′,则f′(f)=f′′。代入原式。

c)f′′=f(f,f′)

令f′=p(y),则f′′=f′(f)?p(y)。代入原式。

2.线性微分方程解的结构

通式（二阶为例）：f′′+P(x)f′+Q(x)?y=f(x) 若f(x)=0则为齐次。

（1）若y(x)为齐次的解，则ky(x)仍然是它的解。

（2）若f1(f),f2(f)是齐次的解，则f1f1(f)+f1f2(f)仍然是它的解。

（3）接（2）若f1(f),f2(f)线性无关，则f1f1(f)+f1f2(f)是它的通解。

（4）若Y是齐次的通解，f?是非齐次的特解，则y=Y+f?是非齐次的通解。

3.二阶常系数线性微分方程

通式：f′′+P f′+Qy=f(x)

齐次：f′′+P f′+Qy=0

特征方程：f2+ff+f=0

a)?=f2?4f>0，有两个不等实根f1、f2。

则Y=f1f f1f+f2f f2f是齐次方程的通解。

b)?=f2?4f=0，有两个相等实根f。

则Y=f1f ff+f2ff ff=f ff(f1+f2f)是齐次方程的通解。

c)?=f2?4f<0，有两个不等虚根α±iβ。

则Y=f ff(f1fffff+f2fffff)是齐次方程的通解。

非齐次：对应的齐次通解，加上本身特解。

只有两种f(x)能找到特解：

a)f(x)=f ff?f f(f)f?=f f?f ff?f f(f)

f是特征方程的k重根。Qn是和Pn相同形式多项式。

b)f(x)=f ff[f f(f)?Cosωx+f f(f)?sinωx]

f?=f f?f ff[f f(f)?Cosωx+f f?(f)?sinωx]

m=max{n,l}

f+iω是特征方程的k重根。

看我是怎么整理考研数学笔记的

得数学者得天下，数学的重要性不言自明，一定要好好准备，我高中，大学数学底子还不错，自己也努力了，感觉数学里面最容易的还是线性代数和概率论和数理统计，因为题型有限，变化不大，对比历年真题就会发现。真正难的是高数，因为花样太多了，虽然考点有限，但是怎么个综合法，你就不知道了，所以高数题目要多见识，今年考研高数证明题我就看过很类似的，所以很快就做出来了，没见过的同学都不知道怎么下手。我今年数学考得不太好的 原因是我线性代数和概率论各算错一道题目，后悔死了，所以大家在准备考研时，别忘记提 醒自己时刻细心做题。数学的辅导书我很反感陈文登的，比较支持李永乐的，蔡遂林的也不错。 我数学资料做了一大批。要不我把做过的辅导书点评下，仅供参考！ 2008数学大纲解析：由于2009没出版，只能用2008的，这是本好书，都是真题，分析透彻，建议买。 轻轻松松考高分线代概率历年真题分类解析——李永乐，这本书对历年真题对比分析， 让你知道考研真正考什么？该准备什么。强烈推荐。 2006考研数学历年真题解析与指导--高教，图书馆借的，现在不出版了，也是分析真题, 像大纲解析，如果图书馆有的话，可以看看。 2009数学考试分析--高教，近3年的试题分析，数一到数四都包括，花2天时间琢磨出题的变化，觉得不错，你会发现一些规律。 武钟祥的历年真题分析，这是我认为真题分析最全面最好的书，里面涵盖了所以年份的试题，数一到数四的都有，大家要知道，数学题目经常是今年数学一考了，明年后年可能数学三考，只是变换出题的方式，大家不要只看数学一的题目。强烈推荐。其实上面这么多 书我觉得最好的还是这本，有一本就够了。 线性代数辅导讲义--李永乐，这本书要多看几遍，越看越好，越看越懂，然后做真题。强烈推荐。 概率论与数理统计辅导讲义--龚兆仁，还可以，有些地方有些繁琐，有些根本不会考的也作了详细介绍。 数学基础过关660题--李永乐。不是很必要买，做了没什么感觉。 陈文登的复习指南，我不推荐买，原因就不说了，你们在网上搜搜看评价，本人用过，的确不怎么样。 李永乐的全书，贴合实际，但是稍显繁琐，很多同学到了11月底才看完，根本没时间去想，思 考。感觉知识点是全，是细，但是你记起来就不容易了。数学的记不像政治，数学 要练习，多思考才能有体会，才能记得深刻，最后才能灵活用。如果买全书的话，要注意时

考研数学重点笔记

第一部分 第一章集合与映射 §1.集合 §2.映射与函数 本章教学要求：理解集合的概念与映射的概念，掌握实数集合的表示法，函数的表示法与函数的一些基本性质。 第二章数列极限 §1.实数系的连续性 §2.数列极限 §3.无穷大量 §4.收敛准则 本章教学要求：掌握数列极限的概念与定义，掌握并会应用数列的收敛准则，理解实数系具有连续性的分析意义，并掌握实数系的一系列基本定理。 第三章函数极限与连续函数 §1.函数极限 §2.连续函数 §3.无穷小量与无穷大量的阶 §4.闭区间上的连续函数 本章教学要求：掌握函数极限的概念，函数极限与数列极限的关系，无穷小量与无穷大量阶的估计，闭区间上连续函数的基本性质。 第四章微分 §1.微分和导数 §2.导数的意义和性质 §3.导数四则运算和反函数求导法则 §4.复合函数求导法则及其应用 §5.高阶导数和高阶微分 本章教学要求：理解微分，导数，高阶微分与高阶导数的概念，性质及相互关系，熟练掌握求导与求微分的方法。 第五章微分中值定理及其应用 §1.微分中值定理 §2＇法则 §3.插值多项式和公式 §4.函数的公式及其应用 §5.应用举例 §6.函数方程的近似求解 本章教学要求：掌握微分中值定理与函数的公式，并应用于函数性质的研究，熟练运用L＇法则计算极限，熟练应用微分于求解函数的极值问题与函数作图问题。 第六章不定积分

§1.不定积分的概念和运算法则 §2.换元积分法和分部积分法 §3.有理函数的不定积分及其应用 本章教学要求：掌握不定积分的概念与运算法则，熟练应用换元法和分部积分法求解不定积分，掌握求有理函数与部分无理函数不定积分的方法。 第七章定积分（§1 —§3） §1.定积分的概念和可积条件 §2.定积分的基本性质 §3.微积分基本定理 第七章定积分（§4 —§6） §4.定积分在几何中的应用 §5.微积分实际应用举例 §6.定积分的数值计算 本章教学要求：理解定积分的概念，牢固掌握微积分基本定理：牛顿—莱布尼兹公式，熟练定积分的计算，熟练运用微元法解决几何，物理与实际应用中的问题，初步掌握定积分的数值计算。 第八章反常积分 §1.反常积分的概念和计算 §2.反常积分的收敛判别法 本章教学要求：掌握反常积分的概念，熟练掌握反常积分的收敛判别法与反常积分的计算。 第九章数项级数 §1.数项级数的收敛性 §2.上级限与下极限 §3.正项级数 §4.任意项级数 §5.无穷乘积 本章教学要求：掌握数项级数敛散性的概念，理解数列上级限与下极限的概念，熟练运用各种判别法判别正项级数，任意项级数与无穷乘积的敛散性。 第十章函数项级数 §1.函数项级数的一致收敛性 §2.一致收敛级数的判别与性质 §3.幂级数 §4.函数的幂级数展开 §5.用多项式逼近连续函数 本章教学要求：掌握函数项级数（函数序列）一致收敛性概念，一致收敛性的判别法与一致收敛级数的性质，掌握幂级数的性质，会熟练展开函数为幂级数，了解函数的幂级数展开的重要应用。

考研高等数学145分高手整理完整经典笔记(考研必备免费下载)

最新下载(https://www.sodocs.net/doc/c810403359.html,) 中国最大、最专业的学习资料下载站转载请保留本信息 数学重点、难点归纳辅导 第一部分 第一章集合与映射 §1.集合 §2.映射与函数 本章教学要求：理解集合的概念与映射的概念，掌握实数集合的表示法，函数的表示法与函数的一些基本性质。 第二章数列极限 §1.实数系的连续性 §2.数列极限 §3.无穷大量 §4.收敛准则 本章教学要求：掌握数列极限的概念与定义，掌握并会应用数列的收敛准则，理解实数系具有连续性的分析意义，并掌握实数系的一系列基本定理。 第三章函数极限与连续函数 §1.函数极限 §2.连续函数 §3.无穷小量与无穷大量的阶 §4.闭区间上的连续函数 本章教学要求：掌握函数极限的概念，函数极限与数列极限的关系，无穷小量与无穷大量阶的估计，闭区间上连续函数的基本性质。 第四章微分 §1.微分和导数 §2.导数的意义和性质 §3.导数四则运算和反函数求导法则 §4.复合函数求导法则及其应用 §5.高阶导数和高阶微分 本章教学要求：理解微分，导数，高阶微分与高阶导数的概念，性质及相互关系，熟练掌握求导与求微分的方法。 第五章微分中值定理及其应用 §1.微分中值定理 §2.L＇Hospital法则 §3.插值多项式和Taylor公式 §4.函数的Taylor公式及其应用 §5.应用举例

§6.函数方程的近似求解 本章教学要求：掌握微分中值定理与函数的Taylor公式，并应用于函数性质的研究，熟练运用L＇Hospital法则计算极限，熟练应用微分于求解函数的极值问题与函数作图问题。 第六章不定积分 §1.不定积分的概念和运算法则 §2.换元积分法和分部积分法 §3.有理函数的不定积分及其应用 本章教学要求：掌握不定积分的概念与运算法则，熟练应用换元法和分部积分法求解不定积分，掌握求有理函数与部分无理函数不定积分的方法。 第七章定积分（§1 —§3） §1.定积分的概念和可积条件 §2.定积分的基本性质 §3.微积分基本定理 第七章定积分（§4 —§6） §4.定积分在几何中的应用 §5.微积分实际应用举例 §6.定积分的数值计算 本章教学要求：理解定积分的概念，牢固掌握微积分基本定理：牛顿—莱布尼兹公式，熟练定积分的计算，熟练运用微元法解决几何，物理与实际应用中的问题，初步掌握定积分的数值计算。 第八章反常积分 §1.反常积分的概念和计算 §2.反常积分的收敛判别法 本章教学要求：掌握反常积分的概念，熟练掌握反常积分的收敛判别法与反常积分的计算。 第九章数项级数 §1.数项级数的收敛性 §2.上级限与下极限 §3.正项级数 §4.任意项级数 §5.无穷乘积 本章教学要求：掌握数项级数敛散性的概念，理解数列上级限与下极限的概念，熟练运用各种判别法判别正项级数，任意项级数与无穷乘积的敛散性。 第十章函数项级数 §1.函数项级数的一致收敛性 §2.一致收敛级数的判别与性质 §3.幂级数

考研高数笔记

考研高数笔记 SANY标准化小组 #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#

第一章 函数、极限、连续 第1节 函数 a) 反函数和原函数关于y=x 对称。 b) 只有定义域关于原点对称的函数才能讨论奇偶性。 c) 多个奇函数之和为奇函数；多个偶函数之和为偶函数。 d) 2k 个奇函数的乘积是偶函数；2k+1个奇函数的乘积是偶函数；任意个偶函数的乘积还是偶函数。(k=0,1,2......)。 e) 如果f(x)是周期函数，周期为T ，则f(ax+b)也是周期函数，周期为 |T/a|。 f) 基本初等函数包括：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角 函数。初等函数即上述五大类函数，以及它们有限次的四则运算与复合而成的函数。 g) 一切初等函数在其定义域内都是连续的。 第2节 极限 a) 左右极限存在且相等?极限存在。 b) 如果函数在X 0极限为A ，则可以将函数改写为f(X)=A+ɑ(x)，其中 0=(x)ɑlim 0 x x →。（等价无穷小） c) 极限存在?极限唯一。（极限唯一性） d) A x =→)(f lim 0 x x ，且A>0，则在x 的邻域内，f(x)>0。（保号性） e) 函数f(x)在点x=x 0存在极限，则存在该点的一个去心邻域U ，在U 内 f(x)有界。（有界性） f) 当limf(x)=A ，limg(x)=B ，那么 lim(f(x)+g(x))=limf(x)+limg(x)=A+B lim(f(x)-g(x))=limf(x)-limg(x)=A-B lim(f(x)*g(x))=limf(x)*limg(x)=A*B lim(f(x)/g(x))=limf(x)/limg(x)=A/B limg(x)不等于0 lim(f(x))^n=(limf(x))^n=A n lim(f(x)^g(x))=A b （极限的四则运算） g) 有限个无穷小之和仍然是无穷小。有限个无穷小之积仍然是无穷小。无 穷小和有界量乘积仍然是无穷小。 h) ) ()(lim x g x f =l

考研高数精品笔记

精心整理 第一章 函数、极限、连续 第1节 函数 a) 反函数和原函数关于y=x 对称。 b) 只有定义域关于原点对称的函数才能讨论奇偶性。 c) 多个奇函数之和为奇函数；多个偶函数之和为偶函数。 d) 2k 个奇函数的乘积是偶函数；2k+1个奇函数的乘积是偶函数；任意个偶函数的乘积还是偶函数。(k=0,1,2......)。 e) 如果f(x)是周期函数，周期为T ，则f(ax+b)也是周期函数，周期为|T/a|。 f) 基本初等函数包括：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。初等函数即上述五大类函 数，以及它们有限次的四则运算与复合而成的函数。 g) 一切初等函数在其定义域内都是连续的。 第2节 极限 a) 左右极限存在且相等?极限存在。 b) 如果函数在X 0极限为A ，则可以将函数改写为f(X)=A+ɑ(x)，其中0=(x)ɑlim 0 x x →。（等价无穷小） c) 极限存在?极限唯一。（极限唯一性） d) A x =→)(f lim 0 x x ，且A>0，则在x 的邻域内，f(x)>0。（保号性） e) 函数f(x)在点x=x 0存在极限，则存在该点的一个去心邻域U ，在U 内f(x)有界。（有界性） f) 当limf(x)=A ，limg(x)=B ，那么 lim(f(x)+g(x))=limf(x)+limg(x)=A+B lim(f(x)-g(x))=limf(x)-limg(x)=A-B lim(f(x)*g(x))=limf(x)*limg(x)=A*B lim(f(x)/g(x))=limf(x)/limg(x)=A/B limg(x)不等于0 lim(f(x))^n=(limf(x))^n=A n lim(f(x)^g(x))=A b （极限的四则运算） g) 有限个无穷小之和仍然是无穷小。有限个无穷小之积仍然是无穷小。无穷小和有界量乘积仍然是无穷小。 h) ) ()(lim x g x f =l i. l=0，f(x)=o(g(x)). ii. l=∞，f(x)是g(x)低阶. iii.0

150分考研学长精心整体总结的数学笔记(看了至少能提高80分)

150分考研学长自己进行总结整理的数学笔记——呕心沥血之作，对大家绝对有很大帮助！！！题记：得数学者得天下，数学的重要性不言自明，一定要好好准备，我高中， 大学数学底子还不错，自己也努力了，感觉数学里面最容易的还是线性代数和概率论和数理统计，因为题型有限，变化不大，对比历年真题就会发现。真正难的是高数，因为花样太多了，虽然考点有限，但是怎么个综合法，你就不知道了，所以高数题目要多见识，今年考研高数证明题我就看过很类似的，所以很快就做出来了，没见过的同学都不知道怎么下手。我今年数学考得不够好的原因是我线性代数和概率论各算错一道题目，后悔死了，所以大家在准备考研时，别忘记提醒自己时刻细心做题。数学的辅导书我个人比较反感陈文登的，蛮支持李永乐的，蔡遂林的也不错。我数学资料做了一大批。要不我把做过的辅导书点评下，仅供参考！ 一、辅导书点评 2008数学大纲解析：由于2009没出版，只能用2008的，这是本好书，都是真题，分析透彻，建议买。 轻轻松松考高分线代概率历年真题分类解析——李永乐，这本书对历年真题对比分析，让你知道考研真正考什么？该准备什么。强烈推荐。 2006考研数学历年真题解析与指导--高教，图书馆借的，现在不出版了，也是分析真题，很像大纲解析，如果图书馆有的话，可以看看。 2009数学考试分析--高教，近3年的试题分析，数一到数四都包括，花2天时间琢磨出题的变化，觉得不错，你会发现一些规律。 黄庆怀考研高数辅导书--北航出版社出版，这是我见过最好的高数辅导书，有条理有深度，值得买。

武钟祥的历年真题分析，这是我认为真题分析最全面最好的书，里面涵盖了所以年份的试题，数一到数四的都有，大家要知道，数学题目经常是今年数学一考了，明年后年可能数学三考，只是变换出题的方式，大家不要只看数学一的题目。强烈推荐。其实上面这么多书我觉得最好的还是这本，有一本就够了。 线性代数辅导讲义--李永乐，这本书要多看几遍，越看越好，越看越懂，然后做真题。强烈推荐。 概率论与数理统计辅导讲义--龚兆仁，还可以，有些地方有些繁琐，有些根本不会考的也作了详细介绍。 数学基础过关660题--李永乐。不是很必要买，做了没什么感觉。 陈文登的复习指南,不推荐，原因就不说了，你们在网上搜搜看评价，本人用过感觉一般，也许不适合我吧。 李永乐的全书，贴合实际，但是稍显繁琐，很多同学到了11月底才看完，根本没时间去想，思考。感觉知识点是全，是细，但是你记起来就不容易了。数学的记不像政治，数学要练习，多思考才能有体会，才能记得深刻，最后才能灵活用。如果买全书的话，要注意时间安排好，多花点时间去思考，不要只顾看题目了。 蔡遂林，胡金德，王式安的考试虫考研数学基础教程，我用过高数部分，还不错，线代部分用李永乐的足以，概率是王式安编的，还过得去吧，毕竟他们都是老一辈命题专家，讲的深入浅出。 经典400题---李永乐，这算是很不错的模拟题了，虽然难度不小，但是综合性大，对你整合知识查缺补漏很有好处，而且每年有新题目出现，虽然10套题有8套左右和往年会一样的，但是至少有2套是新的啊。最后冲刺135分---前提是你时间充足，这本书比较系统的对题型分类了，都是选了些偏难的题目。 考研模拟考场15套--陈文登，说是15套，去除一些没必要的陈旧题目和凑数的真题，完全可以搞个8套嘛，我们几个哥们一起用，大家反映都极其很一般。 合肥工业大学最后5套--比较好的题目，规范，建议大家考虑。 陈文登的客观题题型总结--提供和介绍了一些独到的解题方法，推荐有时间可以买一本。

考研学长手把手的教你考研数学是怎么做好笔记

考研过来人详细介绍自己的考研数学是怎么做好笔记，怎么总结的，值得借鉴！！ 得数学者得天下，数学的重要性不言自明，一定要好好准备，我高中，大学数学底子还不错，自己也努力了，感觉数学里面最容易的还是线性代数和概率论和数理统计，因为题型有限，变化不大，对比历年真题就会发现。真正难的是高数，因为花样太多了，虽然考点有限，但是怎么个综合法，你就不知道了，所以高数题目要多见识，今年考研高数证明题我就看过很类似的，所以很快就做出来了，没见过的同学都不知道怎么下手。我今年数学考得不够好的原因是我线性代数和概率论各算错一道题目，后悔死了，所以大家在准备考研时，别忘记提醒自己时刻细心做题。数学的辅导书我比较反感陈文登的，蛮支持李永乐的，蔡遂林的也不错。我数学资料做了一大批。要不我把做过的辅导书点评下，仅供参考！ 2008数学大纲解析：由于2009没出版，只能用2008的，这是本好书，都是真题，分析透彻，建议买。 轻轻松松考高分线代概率历年真题分类解析——李永乐，这本书对历年真题对比分析，让你知道考研真正考什么？该准备什么。强烈推荐。 2006考研数学历年真题解析与指导--高教，图书馆借的，现在不出版了，也是分析真题，很像大纲解析，如果图书馆有的话，可以看看。 2009数学考试分析--高教，近3年的试题分析，数一到数四都包括，花2天时间琢磨出题的变化，觉得不错，你会发现一些规律。 武钟祥的历年真题分析，这是我认为真题分析最全面最好的书，里面涵盖了所以年份的试题，数一到数四的都有，大家要知道，数学题目经常是今年数学一考了，明年后年可能数学三考，只是变换出题的方式，大家不要只看数学一的题目。强烈推荐。其实上面这么多书我觉得最好的还是这本，有一本就够了。 线性代数辅导讲义--李永乐，这本书要多看几遍，越看越好，越看越懂，然后做真题。强烈推荐。

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考研高数笔记 文档编制序号：[KK8UY-LL9IO69-TTO6M3-MTOL89-FTT688]

第一章 函数、极限、连续 第1节 函数 a) 反函数和原函数关于y=x 对称。 b) 只有定义域关于原点对称的函数才能讨论奇偶性。 c) 多个奇函数之和为奇函数；多个偶函数之和为偶函数。 d) 2k 个奇函数的乘积是偶函数；2k+1个奇函数的乘积是偶函数；任 意个偶函数的乘积还是偶函数。(k=0,1,2......)。 e) 如果f(x)是周期函数，周期为T ，则f(ax+b)也是周期函数，周 期为|T/a|。 f) 基本初等函数包括：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、 反三角函数。初等函数即上述五大类函数，以及它们有限次的四则运算与复合而成的函数。 g) 一切初等函数在其定义域内都是连续的。 第2节 极限 a) 左右极限存在且相等?极限存在。 b) 如果函数在X 0极限为A ，则可以将函数改写为f(X)=A+ɑ(x)，其中 0=(x)ɑlim 0 x x →。（等价无穷小） c) 极限存在?极限唯一。（极限唯一性） d) A x =→)(f lim 0 x x ，且A>0，则在x 的邻域内，f(x)>0。（保号性）

e) 函数f(x)在点x=x 0存在极限，则存在该点的一个去心邻域U ，在 U 内f(x)有界。（有界性） f) 当limf(x)=A ，limg(x)=B ，那么 lim(f(x)+g(x))=limf(x)+limg(x)=A+B lim(f(x)-g(x))=limf(x)-limg(x)=A-B lim(f(x)*g(x))=limf(x)*limg(x)=A*B lim(f(x)/g(x))=limf(x)/limg(x)=A/B limg(x)不等于0 lim(f(x))^n=(limf(x))^n=A n lim(f(x)^g(x))=A b （极限的四则运算） g) 有限个无穷小之和仍然是无穷小。有限个无穷小之积仍然是无穷 小。无穷小和有界量乘积仍然是无穷小。 h) ) ()(lim x g x f =l i. l=0，f(x)=o(g(x)). ii. l=∞，f(x)是g(x)低阶. iii. 0

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第一章 函数、极限、连续 第1节 函数 a) 反函数和原函数关于y=x 对称。 b) 只有定义域关于原点对称的函数才能讨论奇偶性。 c) 多个奇函数之和为奇函数；多个偶函数之和为偶函数。 d) 2k 个奇函数的乘积是偶函数；2k+1个奇函数的乘积是偶函数；任意个偶函数的乘 积还是偶函数。(k=0,1,2......)。 e) 如果f(x)是周期函数，周期为T ，则f(ax+b)也是周期函数，周期为|T/a|。 f) 基本初等函数包括：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。初等 函数即上述五大类函数，以及它们有限次的四则运算与复合而成的函数。 g) 一切初等函数在其定义域内都是连续的。 第2节 极限 a) 左右极限存在且相等?极限存在。 b) 如果函数在X 0极限为A ，则可以将函数改写为f(X)=A+ɑ(x)，其中 0=(x)ɑlim 0x x →。（等价无穷小） c) 极限存在?极限唯一。（极限唯一性） d) A x =→)(f lim 0x x ，且A>0，则在x 的邻域内，f(x)>0。（保号性） e) 函数f(x)在点x=x 0存在极限，则存在该点的一个去心邻域U ，在U 内f(x)有界。（有 界性） f) 当limf(x)=A ，limg(x)=B ，那么 lim(f(x)+g(x))=limf(x)+limg(x)=A+B lim(f(x)-g(x))=limf(x)-limg(x)=A-B lim(f(x)*g(x))=limf(x)*limg(x)=A*B lim(f(x)/g(x))=limf(x)/limg(x)=A/B limg(x)不等于0 lim(f(x))^n=(limf(x))^n=A n lim(f(x)^g(x))=A b （极限的四则运算） g) 有限个无穷小之和仍然是无穷小。有限个无穷小之积仍然是无穷小。无穷小和有界 量乘积仍然是无穷小。 h) ) ()(lim x g x f =l i. l=0，f(x)=o(g(x)).

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第一章 函数、极限、连续 第1节 函数 a) 反函数和原函数关于y=x 对称。 b) 只有定义域关于原点对称的函数才能讨论奇偶性。 c) 多个奇函数之和为奇函数；多个偶函数之和为偶函数。 d) 2k 个奇函数的乘积是偶函数；2k+1个奇函数的乘积是偶函数；任意个偶函数的乘积还是偶函数。(k=0,1,2......)。 e) 如果f(x)是周期函数，周期为T ，则f(ax+b)也是周期函数，周期为|T/a|。 f) 基本初等函数包括：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。初等 函数即上述五大类函数，以及它们有限次的四则运算与复合而成的函数。 g) 一切初等函数在其定义域内都是连续的。 第2节 极限 a) ? b) 左右极限存在且相等?极限存在。 c) 如果函数在X 0极限为A ，则可以将函数改写为f(X)=A+ɑ(x)，其中 0=(x)ɑlim 0 x x →。 （等价无穷小） d) 极限存在?极限唯一。（极限唯一性） e) A x =→)(f lim 0 x x ，且A>0，则在x 的邻域内，f(x)>0。（保号性） f) 函数f(x)在点x=x 0存在极限，则存在该点的一个去心邻域U ，在U 内f(x)有界。（有界性） g) 当limf(x)=A ，limg(x)=B ，那么 lim(f(x)+g(x))=limf(x)+limg(x)=A+B lim(f(x)-g(x))=limf(x)-limg(x)=A-B lim(f(x)*g(x))=limf(x)*limg(x)=A*B lim(f(x)/g(x))=limf(x)/limg(x)=A/B limg(x)不等于0 lim(f(x))^n=(limf(x))^n=A n lim(f(x)^g(x))=A b （极限的四则运算） h) # i) 有限个无穷小之和仍然是无穷小。有限个无穷小之积仍然是无穷小。无穷小和有界量乘积仍然是无穷小。 j) ) ()(lim x g x f =l

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第一章 函数、极限、连续 第1节 函数 a) 反函数和原函数关于y=x 对称。 b) 只有定义域关于原点对称的函数才能讨论奇偶性。 c) 多个奇函数之和为奇函数；多个偶函数之和为偶函数。 d) 2k 个奇函数的乘积是偶函数；2k+1个奇函数的乘积是偶函数；任意个偶函数的 乘积还是偶函数。(k=0,1,2......)。 e) 如果f(x)是周期函数，周期为T ，则f(ax+b)也是周期函数，周期为|T/a|。 f) 基本初等函数包括：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。 初等函数即上述五大类函数，以及它们有限次的四则运算与复合而成的函数。 g) 一切初等函数在其定义域内都是连续的。 第2节 极限 a) 左右极限存在且相等?极限存在。 b) 如果函数在X 0极限为A ，则可以将函数改写为f(X)=A+ɑ(x)，其中 0=(x)ɑlim 0 x x →。（等价无穷小） c) 极限存在?极限唯一。（极限唯一性） d) A x =→)(f lim 0 x x ，且A>0，则在x 的邻域内，f(x)>0。（保号性） e) 函数f(x)在点x=x 0存在极限，则存在该点的一个去心邻域U ，在U 内f(x)有 界。（有界性） f) 当limf(x)=A ，limg(x)=B ，那么 lim(f(x)+g(x))=limf(x)+limg(x)=A+B

lim(f(x)-g(x))=limf(x)-limg(x)=A-B lim(f(x)*g(x))=limf(x)*limg(x)=A*B lim(f(x)/g(x))=limf(x)/limg(x)=A/B limg(x)不等于0 lim(f(x))^n=(limf(x))^n=A n lim(f(x)^g(x))=A b （极限的四则运算） g) 有限个无穷小之和仍然是无穷小。有限个无穷小之积仍然是无穷小。无穷小和 有界量乘积仍然是无穷小。 h) ) ()(lim x g x f =l i. l=0，f(x)=o(g(x)). ii. l=∞，f(x)是g(x)低阶. iii. 0

考研高数笔记

考研高数笔记 文件排版存档编号：[UYTR-OUPT28-KBNTL98-UYNN208]

第一章 函数、极限、连续 第1节 函数 a) 反函数和原函数关于y=x 对称。 b) 只有定义域关于原点对称的函数才能讨论奇偶性。 c) 多个奇函数之和为奇函数；多个偶函数之和为偶函数。 d) 2k 个奇函数的乘积是偶函数；2k+1个奇函数的乘积是偶函数；任意个偶 函数的乘积还是偶函数。(k=0,1,2......)。 e) 如果f(x)是周期函数，周期为T ，则f(ax+b)也是周期函数，周期为 |T/a|。 f) 基本初等函数包括：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函 数。初等函数即上述五大类函数，以及它们有限次的四则运算与复合而成的函数。 g) 一切初等函数在其定义域内都是连续的。 第2节 极限 a) 左右极限存在且相等?极限存在。 b) 如果函数在X 0极限为A ，则可以将函数改写为f(X)=A+ɑ(x)，其中 0=(x)ɑlim 0 x x →。（等价无穷小） c) 极限存在?极限唯一。（极限唯一性） d) A x =→)(f lim 0 x x ，且A>0，则在x 的邻域内，f(x)>0。（保号性）

e) 函数f(x)在点x=x 0存在极限，则存在该点的一个去心邻域U ，在U 内f(x) 有界。（有界性） f) 当limf(x)=A ，limg(x)=B ，那么 lim(f(x)+g(x))=limf(x)+limg(x)=A+B lim(f(x)-g(x))=limf(x)-limg(x)=A-B lim(f(x)*g(x))=limf(x)*limg(x)=A*B lim(f(x)/g(x))=limf(x)/limg(x)=A/B limg(x)不等于0 lim(f(x))^n=(limf(x))^n=A n lim(f(x)^g(x))=A b （极限的四则运算） g) 有限个无穷小之和仍然是无穷小。有限个无穷小之积仍然是无穷小。无穷 小和有界量乘积仍然是无穷小。 h) ) ()(lim x g x f =l i. l=0，f(x)=o(g(x)). ii. l=∞，f(x)是g(x)低阶. iii. 0

2013 【张宇】考研高数 高清手写版笔记(完整版)

目录 第一讲极限 一极限定义 (3) 二极限性质 (4) 三函数极限基本计算 (8) 四综合计算 (11) 五数列极限计算 (14) 六函数连续与间断 (16) 第二讲一元函数微积分 一概念 (17) 1. 导数 (18) 2. 微分 (20) 3. 不定积分 (21) 4. 定积分 (23) 5. 变限积分 (28) 6. 反常积分 (29) 二计算 (29) 1. 求导 (29) 2. 求积 (33) 三应用 (40) 1. 微分应用 (40) 2. 积分应用 (43) 四逻辑推理 (43) 1. 中值定理 (49) 2. 等式证明 (50) 3. 不等式证明 (51) 第三讲多元函数的微分学（公共部分） 一概念 (51) 1. 极限的存在性 (51) 2. 极限的连续性 (52) 3. 偏导数的存在性 (52) 4. 可微性 (53) 5. 偏导数的连续性 (54) 二计算 (54) 三应用 (56) 第四讲二重积分（公共部分）

一概念与性质 (59) 二计算 (60) 1. 基础题 (60) 2. 技术题 (61) 三综合计算 (62) 第五讲微分方程 一概念及其应用 (63) 二一阶方程的求解 (64) 三高阶方程的求解 (66) 第六讲无穷级数 一数项级数的判敛 (67) 二幂级数求收敛域 (69) 三展开与求和 (69) 四傅里叶级数 (71) 第七讲多元函数微分学 一基础知识 (73) 二应用 (75) 第八讲多元函数积分学 一三重积分 (76) 二第一型曲线、曲面积分 (78) 1. 一线 (78) 2. 一面 (79) 三第二型曲线、曲面积分 (80) 1. 二线 (81) 2. 二面 (83)