矢量代数基础

平面向量的概念、运算及平面向量基本定理

05—平面向量的概念、运算及平面向量基本定理 突破点(一)平面向量的有关概念 知识点：向量、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、相反向量 考点 平面向量的有关概念 ［典例］⑴设a , b 都是非零向量，下列四个条件中，使 向=而成立的充分条件是( ) A . a =- b B . a // b C . a = 2b D . a // b 且 |a|= |b| ⑵设a o 为单位向量，下列命题中：①若 a 为平面内的某个向量，贝U a = |a| a o ;②若a 与a o 平行，则 a = |a|a o ;③若a 与a o 平行且|a|= 1,则a = a o .假命题的个数是( ) A . o B . 1 C . 2 D . 3 ［解析］⑴因为向量合的方向与向量a 相同，向量￡的方向与向量b 相同，且￡，所以向量a 与 |a| |b| |a| |b| 向量b 方向相同，故可排除选项 A , B , D.当a = 2b 时，a =警=b ，故a = 2b 是耳=g 成立的充分条件. |a| |2b| |b| |a| |b| (2)向量是既有大小又有方向的量， a 与|a|a o 的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若 a 与a o 平行，则a 与a o 的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时 a =- |a|a o ，故②③也是假命题.综上 所述，假命题的个数是 3. ［答案］(1)C (2)D _ _［易错提醒」_____________ _____________ 厂7i)两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小 ［…(2)大小与方向是向量的两个要素?j 分别是向量的代数特征与几何特征； (3)向量可以自由平移，任意一组平行向量都可以移到同一直线上. 突破点(二)平面向量的线性运算 1. 向量的线性运算： 加法、减法、数乘 2. 平面向量共线定理： 向量b 与a(a ^ o )共线的充 要条件是有且只有一个实数 人使得b = 1 ［答案］(1)D ⑵1 —…_［方法技巧丄—――――_—_ _―_—_ _―_……_ _―_…_ _―_…_ _―_…_ _―_…「 i 1.平面向量的线性运算技巧： ⑴不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解. ⑵含图形的情况：将它们转化到 ］ 三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示岀来求解. 2?利用平面向量的线性运算求参数的一般思路： (1)没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置. (2)利用平行四 边形法则或三角形法贝U 进行转化丄转化为要求的向量形式._ _ (3) 比较，观察可知所求.__________ 考点二 平面向量共线定理的应用 ［例2Lu 设两个非零向J a 和b 不共鈿 平面向量的线性运算 …uuur …"uLu r 考点一 ~~uuur ----- u uur ［例 1］ (1)在厶 ABC 中，AB = c , AC = b.若点 D 满足 BD = 2 DC 12 5 2 A.3b + 3C B.gC — 3b 2 1 2 1 C.gb — 3c D.gb + 3C uuuu 1 uuur ⑵在△ ABC 中，N 是AC 边上一点且 AN = NC , P 是BN 上一点, 数m 的值是 ______________ . uuur umr ［解析］(1)由题可知BC = AC - uuur + BD = c + 2 1 —c)= 3b + §c,故选 D. uuuu 1 uuur (2)如图，因为AN = 2 NC ，所以 uuur 2 uuuu m AB + 3 AN ?因为B ，P ，N 三点共线, ―uuur ，贝U AD =( ) UULT uuur 2 uuur 若 AP = m AB + 9 AC ，则实 2 uuir 2 uuir uur uuur uuur uuur UULT AB = b — c , '^BD = 2 DC ,「.BD = 3 BC = 3(b — c)，则 AD = AB uuuu 1 uuur AN = 3 AC ，所以 2 所以m +3= 1,则 UULT uuur 2 uuur AP = m AB + 9 AC = 1 m = 3.

矢量的基本代数运算

矢量的基本代数运算

《微分几何简介》笔记 Ch.1 矢量代数及其在解析几何中的简单应用 §1 矢量代数 定义：矢量即既有大小，又有方向的量（数学量、物理量等）。 1.1 直角坐标系-点的坐标与矢的分量 在三维空间中，取任意一点O 和任意彼此垂直的三个右旋的（即构成右手系的）单位矢量 1 e ，2 e ，3 e ，构成一个直角坐标系（或标架）。用 ] ,,;[321e e e O =σ表示；O 称为σ的原点，1 e ，2 e ，3 e 称为σ 的基矢(或底矢)。 若P 为空间任意一点，以O 为始点，P 为终点的矢量OP =r 称为P 点在标架σ里的径矢。P 点在σ里的坐标1 x ，2 x ，3 x 就是r 径矢在σ里的分量： 3 32 211e e e r x x x ++= 若P 、Q 为空间两点，它们在σ里的径矢依次为 3 32211e e e r x x x ++=，3 3221 1e e e s y y y ++= 则矢量 3 33222111)()()(e e e r s x y x y x y OP OQ PQ -+-+-=-=-=

其中) 3,2,1(=-i x y i i 就是该矢量在σ里的分量。各分量 均为0的矢量称为零矢。 在同一标架里，两个矢量相等的充要条件是它们的分量依次相等。 矢量3 3221 1e e e αa a a ++=的长为 23 2 2 21a a a ++=α 若1=α，α为单位矢量（幺矢）。0≠α，则 α/i a 叫做α在σ里的方向余弦，它们是α和1 e 间的角] ,0[π之间的余弦。零矢没有方向余弦。 1.2 矢量的基本代数运算 现有矢量3 3221 1e e e αa a a ++=和3 3221 1e e e βb b b ++=，则 1） 矢量和：矢量加法按照平行四边形（或三角形）法则。 3 33222111)()()(e e e βαb a b a b a +++++=+ 2） 矢量差：矢量减法同样按照平行四边形（或三角形）法则，为加法的逆运算。 3 3 3 2 2 2 1 1 1 )()()(e e e βαb a b a b a -+-+-=- 3） 纯量（或数量）乘矢量：若λ为纯量，则 3 32 21 1e e e αa a a λλλλ++= 4） 数积（点乘）：矢量α，β的数积是纯量 θcos 3 32 21 1βαβα=++=?b a b a b a

向量及向量的基本运算

向量及向量的基本运算 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

向量及向量的基本运算 一、教学目标：1．理解向量的有关概念，掌握向量的加法与减法、实数与向量 的积、向量的数量积及其运算法则，理解向量共线的充要条件. 2．会用向量的代数运算法则、三角形法则、平行四边形法则解决有关问题．不断培养并深化用数形结合的思想方法解题的自觉意识. 二、教学重点：向量的概念和向量的加法和减法法则． 三、教学过程： （一）主要知识： 1）向量的有关概念 ①向量：既有大小又有方向的量。向量一般用c b a ,,……来表示，或用有向线段 的起点与终点的大写字母表示，如：AB 。向量的大小即向量的模（长度），记作|AB |。 ②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行。< 注意与0的区别> ③单位向量：模为1个单位长度的向量。 ④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量。任意一组平行向量都 可以移到同一直线上。相反向量：我们把与向量a 长度相等，方向相反的向量叫做a 的相反向量。记作-a 。 ⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量。相等向量经过平移后总可以重合， 记为b a =。 2）向量加法 ①求两个向量和的运算叫做向量的加法。设b BC a AB ==,，则 a +b =BC AB +=AC 。向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”。 说 明：（1）a a a =+=+00； （2）向量加法满足交换律与结合律；

3)向量的减法 ① 相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a 的相反向量。记作a -, 零向量的相反向量仍是零向量。关于相反向量有： （i ）)(a --=a ； (ii) a +(a -)=(a -)+a =0 ； (iii)若a 、b 是互为相反向量，则a =b -,b =a -,a +b =0 。 ②向量减法：向量a 加上b 的相反向量叫做a 与b 的差，记作：)(b a b a -+=-。求两个向量差的运算，叫做向量的减法。 b a -的作图法：b a -可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量（a 、b 有 共同起点）。 注：（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。 （2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点。 4)实数与向量的积 ①实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度与方向规定如下： （Ⅰ）a a ?=λλ； （Ⅱ）当0>λ时，λa 的方向与a 的方向相同；当0<λ时，λa 的方向与a 的 方向相反；当0=λ时，0 =a λ，方向是任意的。 ②数乘向量满足交换律、结合律与分配律。实数与向量的积的运算律：设λ、μ为实数，则

向量和向量的基本运算

向量及向量的基本运算 一、教学目标：1．理解向量的有关概念，掌握向量的加法与减法、实数与向量的积、向 量的数量积及其运算法则，理解向量共线的充要条件. 2．会用向量的代数运算法则、三角形法则、平行四边形法则解决有关问题．不断培养并深化用数形结合的思想方法解题的自觉意识. 二、教学重点：向量的概念和向量的加法和减法法则． 三、教学过程： （一）主要知识： 1）向量的有关概念 ①向量：既有大小又有方向的量。向量一般用c b a ,,……来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：。向量的大小即向量的模（长度），记作||。 ②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行。<注意与0的 区别> ③单位向量：模为1个单位长度的向量。 ④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量。任意一组平行向量都可以移到同一 直线上。相反向量：我们把与向量a 长度相等，方向相反的向量叫做a 的相反向量。记作-a 。 ⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量。相等向量经过平移后总可以重合，记为b a =。 2）向量加法 ①求两个向量和的运算叫做向量的加法。设b a ==,，则a +b =+=。向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”。 说明：（1）a a a =+=+00； （2）向量加法满足交换律与结合律； 3)向量的减法 ① 相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a 的相反向量。记作a -,零向量的相反向量仍是零向量。关于相反向量有： （i ）)(a --=a ； (ii) a +(a -)=(a -)+a =0 ； (iii)若a 、b 是互为相反向量，则a =b -,b =a -,a +b =0 。 ②向量减法：向量a 加上b 的相反向量叫做a 与b 的差，记作：)(b a b a -+=-。求 两个向量差的运算，叫做向量的减法。 b a -的作图法：b a -可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量（a 、b 有共同起点）。 注：（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量 的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。 （2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点。

矢量分析

矢量代数 赵黎晨

第一节 矢量分析与场论基础 在电动力学中应用较多的数学知识是矢量分析与场论基础。因而,我们首先对这两方面的有关内容进行总结归纳.主要是为了应用,而不追求数学上的严格. 一、矢量代数 1.两个矢量的点乘、叉乘 若 123(,,)a a a a = 123(,,)b b b b = 则 a , b 的点乘(也称标量积) 112233a b a b a b a b ?=++ (cos a b b a a b α?=?= ) a ,b 的叉乘(也称矢量积) )()()(1221331132233213 2 1 321 3 21b a b a e b a b a e b a b a e b b b a a a e e e b a -+-+-==? 的大小 b a ?sin a b α ，α为a , b 的夹角 方向：既垂直于a ，又垂直于b ,与b a ,满足右手螺旋关系。 叉乘的不可交换性 a b b a ?-=? 2.三个矢量的混合积 112233()()()()c a b c a b c a b c a b ??=?+?+? =)()()(122133113223321b a b a c b a b a c b a b a c -+-+- 几何解释:以c b a ,,为棱的平行六面体的体积 性质：(1)轮换不变性，在点乘号,叉乘号位置不变的情况下,把矢量按顺序轮换,其混合积不变. ()()()a b c b c a c a b ??=??=?? (2)若只把两个矢量对调,混合积反号。 ()()()(a b c a c b b a c c b a ??=-??=-??=-??

平面向量基本概念与运算法则(含基础练习题)

平面向量1 1.数量和向量的区别： 数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向、大小，不能比较大小。 2.向量的表示方法： ①用有向线段表示；②用字母b a ,等表示；③用有向线段的起点与终点字母表示：AB ；向量AB 的大小——长度称为向量的模，记作|AB |。 3.有向线段： 具有方向的线段叫做有向线段，三要素：起点、方向、长度。 向量与有向线段的区别： ⑴向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，这两个向量就是相同的向量； ⑵有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向，也是不同的有向线段。 4.零向量、单位向量概念： ①长度为0的向量叫零向量，记作0。 ②长度为1个单位长度的向量，叫做单位向量。 说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小。 5.相等向量的定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量。 说明：⑴向量a 与b 相等，记作a =b ； ⑵零向量与零向量相等； ⑶任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段表示，并且与有向线段的起点无关。 6.平行向量的定义： ①方向相同或相反的非零向量叫平行向量； ②我们规定0与任一向量平行。 说明：⑴综合①②才是平行向量的完整定义； ⑵向量c b a 、、 平行，记作c b a ////。 二、向量的运算法则 1.向量的加法 某人从A 到B ，再从B 到C ，则两次的位移和：AC BC AB =+； ⑴向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法。 ⑵三角形法则：AC BC AB b a =+=+ ⑶四边形法则：OC AC OA OB OA b a =+=+=+ 三角形法则 四边形法则

矢量的基本代数运算

《微分几何简介》笔记 Ch.1 矢量代数及其在解析几何中的简单应用 §1 矢量代数 定义：矢量即既有大小，又有方向的量（数学量、物理量等）。 1.1 直角坐标系-点的坐标与矢的分量 在三维空间中，取任意一点O 和任意彼此垂直的三个右旋的（即构成右手系的）单位矢量1e ，2e ，3e ，构成一个直角坐标系（或标架）。用],,;[321e e e O =σ表示；O 称为σ的原点，1e ，2e ，3e 称为σ的基矢(或底矢)。 若P 为空间任意一点，以O 为始点，P 为终点的矢量OP =r 称为P 点在标架σ里的径矢。P 点在σ里的坐标1x ，2x ，3x 就是r 径矢在σ里的分量： 332211e e e r x x x ++= 若P 、Q 为空间两点，它们在σ里的径矢依次为 332211e e e r x x x ++=，332211e e e s y y y ++= 则矢量 333222111)()()(e e e r s x y x y x y OP OQ PQ -+-+-=-=-= 其中)3,2,1(=-i x y i i 就是该矢量在σ里的分量。各分量均为0的矢量称为零矢。 在同一标架里，两个矢量相等的充要条件是它们的分量依次相等。 矢量332211e e e αa a a ++=的长为 2 32221a a a ++=α 若1=α，α为单位矢量（幺矢）。0≠α，则 α/i a 叫做α在σ里的方向余弦，它们是α和1e 间的角],0[π之间的余弦。零矢没有方向余弦。 1.2 矢量的基本代数运算 现有矢量332211e e e αa a a ++=和332211e e e βb b b ++=，则

矢量的基本代数运算

矢量的基本代数运算 《微分几何简介》笔记 Ch.1矢量代数及其在解析几何中的简单应用 §1矢量代数 定义：矢量即既有大小，又有方向的量（数学量、物理量等）。 1.1直角坐标系-点的坐标与矢的分量 在三维空间中，取任意一点O和任意彼此垂直的三个右旋的（即构成右手系的）单位矢量e i，e2， e3，构成一个直角坐标系（或标架）。用[O；e,e2,e3]表示；O称为的原点，e i，e2，e3称为的基矢（或底矢）。 若P为空间任意一点，以0为始点，P为终点的矢量r OP称为P点在标架里的径矢。P 点在里的坐

标x i, X2，X3就是r径矢在里的分量： r X i e i X2e2 X a e a 若P、Q为空间两点，它们在里的径矢依次为 r X i e i X2e2 X a e a，s y i e i y z e? y a e a 则矢量 PQ OQ OP s r （y i xje i （y? X2）e2 （y a X a）e a

其中y i X i （i 1,2,3） 就是该矢量在 里的分量。各分量 均为0的矢量称为零矢。 在同一标架里，两个矢量相等的充要条件是 它们的分量依次相等 若|a 1 , a 为单位矢量（幺矢）。|a 0，则 a i / a 叫做a 在里的方向余弦，它们是a 和e i 间的角［0, 之间 的余弦。零矢没有方向余弦。 i ）矢量和：矢量加法按照平行四边形（或三 角 形）法则。 a B (a i b i )e i (a 2 b 2 )e 2 (a 3 b 3 )e 3 2） 矢量差：矢量减法同样按照平行四边形 （或 三角形）法则，为加法的逆运算。 a B （a i b i ）e i （a ? b 2）e 2 （a 3 b 3）e 3 3） 纯量（或数量）乘矢量：若 为纯量，则 况 a 〔e i a 2e 2 a 3e 3 4）数积（点乘）：矢量a , B 的数积是纯量 a B a i b i a 2b 2 a 3b 3 a Bcos 矢量a a ?e 2 a 3e 3 的长为 1.2矢量的基本代数运算 现有矢量a a i e i a 2e 2 a 3e 3 和 B b i e i b 2e 2 b 3e 3 a 2 2 a ? a 3

向量及向量的基本运算

创作编号：BG7531400019813488897SX 创作者： 别如克* 向量及向量的基本运算 一、教学目标：1．理解向量的有关概念，掌握向量的加法与减法、实数与向量的 积、向量的数量积及其运算法则，理解向量共线的充要条件. 2．会用向量的代数运算法则、三角形法则、平行四边形法则解决有关问题．不断培养并深化用数形结合的思想方法解题的自觉意识. 二、教学重点：向量的概念和向量的加法和减法法则． 三、教学过程： （一）主要知识： 1）向量的有关概念 ①向量：既有大小又有方向的量。向量一般用c b a ,,……来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：。向量的大小即向量的模（长度），记作||。 ②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行。<注意 与0的区别> ③单位向量：模为1个单位长度的向量。 ④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量。任意一组平行向量都可以移 到同一直线上。相反向量：我们把与向量a 长度相等，方向相反的向量叫做a 的相反 向量。记作-a 。 ⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量。相等向量经过平移后总可以重合，记为 b a =。 2）向量加法 ①求两个向量和的运算叫做向量的加法。设b a ==,，则a +b =+=。 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”。 说明：（1）a a a =+=+00； （2）向量加法满足交换律与结合律； 3)向量的减法 ① 相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a 的相反向量。记作a -,零向量的相反向量仍是零向量。关于相反向量有： （i ）)(a --=a ； (ii) a +(a -)=(a -)+a =0 ；

平面向量基本概念与运算法则及相对应练习题(含答案)

平面向量1 一、向量的基本概念 思考：生活中有哪些量是既有大小又有方向的？哪些量只有大小没有方向？ 向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量。 回答下列问题： (1).数量与向量有何区别？ (2).如何表示向量？ (3).有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么？ (4).长度为零的向量叫什么向量？长度为1的向量叫什么向量？ 1.数量和向量的区别： 数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向、大小，不能比较大小。 2.向量的表示方法： ①用有向线段表示；②用字母a 、b(黑体)等表示；③用有向线段的起点与终点字母表示：AB ；向量AB 的大小——长度称为向量的模，记作|AB |。 3.有向线段： 具有方向的线段叫做有向线段，三要素：起点、方向、长度。 向量与有向线段的区别： ⑴向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，这两个向量就是相同的向量； ⑵有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向，也是不同的有向线段。 4.零向量、单位向量概念： ①长度为0的向量叫零向量，记作0。 ②长度为1个单位长度的向量，叫做单位向量。 说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小。 5.满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量？ 相等向量的定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量。 说明：⑴向量a 与b 相等，记作a =b ； ⑵零向量与零向量相等； ⑶任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段表示，并且与有向线段的起点无关。 6.平行向量的定义： ①方向相同或相反的非零向量叫平行向量； ②我们规定0与任一向量平行。 说明：⑴综合①②才是平行向量的完整定义； ⑵向量c b a 、、平行，记作c b a ////。 二、向量的运算法则 1.向量的加法 问题：数可进行加法运算：1+2=3，那么向量的加法是怎样定义的？长度是1的向量与长度是2的向量相加是一定是长度为3的向量呢？ ①某人从A 到B ，再从B 按原方向到C ，则两次的位移和：AC BC AB =+；

矢量场的数学讲解

矢量场的数学 §1 矢量场的微分运算 一、 矢量代数和函数微分运算 矢量 有大小和方向，且满足矢量运算的法则。 矢量代数运算的几个结果 ①=?B A 标量 ② ??? ? ???---==?k B A B A j B A B A i B A B A B B B A A A k j i x y y x x z x z y z z y z y x z y x ?)(?)(?)(???B A ③0A A =? ④0)B A (A =?? ⑤）（）B A )(C B (A ??=??=??C A C B ⑥）（）（）B A C C A B C B (A ?-?=?? 多元函数微分运算的两个公式 z)y,f(x,-z)z y,y x,f(x z)y,f(x,?+?+?+=?， ⑦ 偏导数含义：看作常数将为变量仅以z y dx df x f x ,,x ,=??。 ⑧ ，

二、标量场和矢量场 什么是场 指在空间连续分布的某种客体。 标量场z)y,T(x,：指每一点由一个标量给定的那种空间分布的客体。 等值面(线) 矢量场z)y,(x,f ：指每一点由一个矢量给定的那种空间分布的客体。 如电场、磁场、电流场、速度矢量场),,(z y x v 等。 矢量场的场线 标量场和矢量场随时间的变化 t)z,y,T(x, t)z,y,(x,f （t T ??，t f ?? ）或（22t T ??，22t f ?? ） 标量场和矢量场随空间的变化 某点的场与相邻点的场之间的关系 三、标量场对空间的一阶微商——梯度 标量场),,(z y x T 对空间的微商 标量场T 在场点P 随空间的变化与方向有关，沿不同方向T 对空间距离的微商不相同。 证明T 的三个分量微商构成一个矢量 两个无限靠近的场点P 1和P 2， P 1坐标为)z ,y ,x (， P 2坐标为)z z ,y y ,x x (?+?+?+， )z ?

矢量的基本代数运算

Ch.2 曲线论 §1曲线与矢函数 一般地说，若一个矢量r 决定于一个（纯量）变数t ，我们就把它叫做变量t 的矢函数，写成)(t r 。 在标架],,;[321e e e O =σ中，曲线的（分量式）参数矢方程为： 332211)()()()(e e e r r t x t x t x t ++== §2矢函数的导矢与曲线的切线 某矢函数在某点连续的充要条件是其各分量在该点都连续。 若矢函数 332211)()()()(e e e r t x t x t x t ++= 在t 0连续，则其导矢为 3032021010 0)()()()()(e e e r r t x t x t x t t dt d t '+'+'== ' 导矢函数 332211 )()()()(e e e r t x t x t x t '+'+'= 有时也简称为导矢。 设 21)(t t t t ≤≤=Γ，：r r 为任意空间曲线。若矢函数在闭节],[21t t 里每一个t 值连续，则曲线Γ成为连续曲线。 导矢的几何意义：0)(0≠'t r 保证曲线Γ在t 0值对应点的切线存在而且)(0t r '代表这条切线的方向。)(0t r '就叫做Γ在该点的一个切（线）矢（量）。 若在闭节],[21t t 里，0)(≠'t r 而且连续，则Γ的切线随着切点的移动而连续变动位置，这样的曲线叫做光滑曲线。 矢函数的微分 dt t d )(r r '=，)(t dt d r r '= 这个定义在形式上和纯量函数一样。 若1r ，2r ，3r 是含纯量变数t 的矢函数，λ 为t 的纯量函数，则 r r r '+'=λλλ)(dt d

向量代数的基本运算解读

向量代数的基本运算 为了便于学习，我们把有关知识结合图形计算器做一简要总结。 向量代数的基本运算包括： 1.向量的表示：向量有两种表示方法，即和AB 。如果A(a1，a2，a3)(二维情形时A(a1，a2)，我们一般都指的是三维情形)，B(b1，b2，b3)，那么AB =[b1-a1，b2-a2，b3-a3]。在TI ?92中代数和几何都可以给出向量的表示。(参阅案例二中的图6.1. 2.1和6.1.2.2) 2.向量的加法和减法：有关这方面的基本知识不再重复。主要掌握平行四边形法则和三角形法则。TI -92图形计算器能够在代数运算和几何直观上双重实现。但要注意的是，在图形计算器中，向量被看成是特殊的矩阵，也就是行阵或列阵。 3.向量的数乘：设=[a1，a2，a3]，λ是一个实数，那么λ与的乘积λa 等于[λa1，λa2，λa3]。其几何意义是把向量a 沿同向(当)0时>λ放大λ倍，或把向量a 沿反向(当)0时<λ放大λ倍。 4.向量的数量积(点积，内积)：向量a 与向量的点积是一个数量，其值等于向量的长度(模)与向量的长度(模)的乘积再乘以它们夹角θ的余弦，即 θb a =?，其中θ是向量与b 的交角。 向量点积的坐标表示为332211b a b a b a b a ++=?，其中=[a1，a2，a3]，=[b1，b2，b3]。 两个向量垂直的充分必要条件是它们的点积等于零。 b a b a ⊥?=?0即。 在计算器中键入dotp(a,b)可以计算向量的点积。 由两个向量的点积可以计算出在两个向量的夹角，也就是 =θcos 运算符为，然后输入dotp(a,b)/(norm(a)*norm(b))，具体和6.1.3.2。

矢量代数与空间解析几何习题

一. 已知, 问: 系数 为何值时, 向量 垂直. 解. =. 所以. 二. 求同时垂直于矢量的单位矢量. 解. 假设所求矢量为, 则 , 的模 = 所以= 三. 若, , , 式中, 化简表达式. 解. = () + 3()() + 1 =

四. 求平行四边形面积, 若已知对角线为矢量, , . 解. 假设平行四边形的二边为矢量 不妨假设, 所以 平行四边形面积= 五. 设, , 其中问: 1. k为何值时, ; 2.k为何值时, 为邻边的平行四边形面积为6. 解. 1. . 所以, k =－2; 2. 平行四边形面积为的模. 所以 6=, 所以,

六. 求通过三平面的交点, 且平 行于平面的平面方程. 解. 所求平面平行于, 所以该平面的法矢为(1, 1, 2). 三平面的交点为, 解得x = 1, y = 1, z = 1. 所以所求平面为 即 七. 过平面x + 28y－2z + 17 = 0 和平面5x + 8y－z + 1 = 0的交线, 作球面 的切平面, 求切平面方程. 解. 过平面x + 28y－2z + 17 = 0 和平面5x + 8y－z + 1 = 0的交线的平面方程为 即 假设平面和球面的切点为, 于是在该点的法矢量为. 所以得 到: 由第二式解出和的关系, 代入第一式, 并注意到第三式, 于是得到

再次代入第一式, 得到 , 当, 得到所求平面为; 当, 得到所求平面为 八. 设为两条共面直线, 的方程为, 通过点(2,－3, －1), 且与x轴正向夹角为, 与z轴正向夹锐角, 求的方程. 解. 因为与x轴正向夹角为, 与z轴正向夹锐角, 所以可以假定的方向矢量为(m, n, 1), 其中m > 0. x轴的单位矢量为(1, 0, 0). 由矢量夹角公式可得 (*) 上的点(7, 3, 5), 上的点(2,－3,－1)构成矢量(5, 6, 6)与的方向矢量(1, 2, 2)、的方向矢量(m, n, 1)共面. 所以混合积为0, 即