应用随机过程-教学大纲

《应用随机过程》教学大纲“Applied Stochastic Process” Course Outline

课程编号：152063A

课程类型：专业选修课

总学时：48 讲课学时：48 实验（上机）学时：0

学分：3

适用对象：经济学、管理学、统计学、金融学等

先修课程：概率论与数理统计、线性代数、微积分

Course Code: 152063A

Course Type: Discipline basic course

Periods: 48 Lecture: 48 Experiment (Computer): 0

Credits: 3

Applicable Subjects:Economics, Management, Statistics, Finance etc.

Preparatory Courses: Probability and Mathematical Statistics, Linear Algebra, Mathematical Analysis

一、课程的教学目标

这是一门向经济学和管理学相关专业本科生介绍随机过程的理论方法和实际应用的专业选修课程。本课程在学生已经扎实掌握概率论和数理统计基础知识的前提下，介绍随机过程中的基本概念和结果。本课程主要训练学生的如下能力：（1）灵活组合运用微积分，线性代数和概率论解决数学问题的能力；（2）进一步的抽象思维和符号运算能力；（3）把实际问题抽象为理论模型，再把理论结果结合实际情况进行解释的能力；（4）利用计算机和MATLAB软件解决复杂计算问题和无解析解的问题的能力。学习完本课程后，学生们能对随机过程及其应用有基本的认识，并且具有今后进一步学习高级随机过程理论,现代金融工程和随机控制理论和从事相关工作的专业基础。

The course of Applied Stochastic Process introduces theory and application of stochastic process to undergraduate students. Students are assumed to have already finished their study of undergraduate level probability and statistics. Students train the

following abilities this course: (1) methodologically applying calculus, linear algebra and probability theory to new mathematical problems; (2) advanced logical reasoning and symbol handling; (3) building mathematical models from real world problems, and then translating mathematical results back to fit the original question; (4) employing computers and MATLAB software to solve computationally complexed problems and/or problems without closed form solution. Upon finishing the course, students can gain a basic understanding of the theory and application of stochastic process, and build a foundation for studying advanced stochastic process theory, modern financial engineering and stochastic control theory, as well as performing relevant work.

二、教学基本要求

本课程讲述随机过程的基础理论结果及其应用。随机过程是比随机变量更深入一步的数学概念，理解随机过程必须建立在学生扎实深入的学好概率论，掌握随机变量的性质的基础上。同时，本课程还要求学生对微积分和线性代数有深刻的掌握，并能灵活运用已有知识去解决新问题。随机过程属于数学中较难理解的概念，同时学生们很可能在先修课程中就有不明白的地方。因此，任课教师需要精心设计教学计划和编写课件，做到能深入浅出的阐述相关理论。同时在授课中要及时与学生交流并发现学生知识结构中的薄弱点有针对性的进行讲解。本课程重点讲解随机过程中的最基本要素：泊松过程，更新过程和马尔科夫过程。尽量做到让学生对这些最重要的概念有全面深刻的了解，从而能举一反三学习更广泛深入的知识。

本课程将讲述大量例子来与理论相结合。并计划安排少量计算机实践来向学生解释实际中处理问题的方法。教学中，鼓励学生课前预习，课上安排课堂讨论，提高学生的课堂参与积极性，以便学生能够深入理解知识要点；课后让学生完成作业并对部分习题进行课堂讲解。

课程的考核方式及其所占权重如下：

出勤10%

作业20%

期末闭卷考试70%

在上述考核方式中，作业来自于课本中的理论和实践习题；期末闭卷考试考查理论知识和解决应用题的能力。

This course introduces basic results and applications of stochastic process. Stochastic process lays its foundation on and is a further development of the concept of random variables. For this reason, students are expected to have already had a firm grasp of undergraduate level probability and statistic knowledge, as well as calculus and linear algebra. Students should also be able to use what they already have known methodologically to solve new problems. Stochastic process falls into the category of “hard” mathematics for undergraduate level students. On the other hand, most undergraduate students have difficulties understanding at least certain mathematical knowledge they have already learned. Under these circumstances, the lecturer is required to carefully design the structure of instruction and the lecture notes to ensure hard concepts are instilled step by step following special examples and concepts easier to understand. During the instruction, the lecturer should be keen to spot weak points of students’ knowledge structure and clear the obstacle hindering progress. The course is built around three fundamental concepts in stochastic process: Poisson process, renewal process and Markov process. Once students are able to comprehend those seminal building blocks, they will explore other vast areas of this subject much faster.

The course will introduce numerous examples along with theory knowledge. Students are encouraged to read relevant materials before the class. Discussions will be organized in the class to facilitate better understanding. Problem sets is given after class, and some of them will be analyzed in later classes.

The methods of evaluation of this course and their weights are as follows:

Attendance10%

Assignments20%

Final Exam (closed)70%

In the methods of evaluation above, the assignments come from the theoretical and application exercises in the textbook. The closed form final exam focuses on the examination of knowledge in theory.

三、各教学环节学时分配

教学课时分配

四、教学内容

第一章绪论

第一节什么是随机过程

第二节第一个例子：股票价格

第三节连续和离散随机变量

第四节分布函数和密度函数

第五节期望和方差

第六节联合分布和独立

教学重点、难点：随机过程概念

课程的考核要求：无

Chapter 1 Introduction

Section 1 What is a stochastic process?

Section 2 First example: the dynamic of stock price

Section 3 Discrete and continuous random variable

Section 4 Probability and cumulative density functions Section 5 Expectation and variance of random variables Section 6 Joint distribution and independence

Key and Difficult Points: the conception of a stochastic process Evaluation Requirements: no

第二章概率论回顾

第一节重要的离散分布

1.1伯努利分布

1.2二项分布

1.3泊松分布

1.4几何分布

1.5负二项分布

第二节重要的连续分布

2.1 均匀分布

2.2 正态分布

2.3 对数正态分布

第三节矩和矩生成函数

第四节马尔科夫不等式

第五节大数定律

第六节中心极限定理

第七节随机变量的转换

7.1 分布函数法

7.2 密度函数法

7.3 多元随机变量的转换

7.4 示例：对数正态分布的密度函数

第八节贝叶斯公式

第九节条件期望，条件矩，条件方差

第十节拉普拉斯变换

第十一节卷积

教学重点、难点：条件期望和随机变量的转换

课程的考核要求：掌握现代概率论基础中的基本概念和定理

Chapter 2 Review of probability theory

Section 1 Important discrete distributions

1.1 Bernoulli distribution

1.2 Binominal distribution

1.3 Poisson distribution

1.4 Geometric distribution

1.5 Negative binominal distribution

Section 2 Important continuous distributions

2.1 Uniform distribution

2.2 Normal distribution

2.3 Log-normal distribution

Section 3 Moment and moment generating function

Section 4 Markov inequality

Section 5 Law of large numbers

Section 6 Central Limiting Theorem

Section 7 Transformation of random variables

7.1 CDF method

7.2 PDF method

7.3 Transformation of multi-dimensional random variables

7.4 Examples: the PDF of log-normal distribution

Section 8 The Bayesian formula

Section 9 Conditional expectation, conditional moments and conditional variance Section 10 Laplace transforms

Section 11 Convolution

Key and Difficult Points: conditional expectation and transformation of random variables

Evaluation Requirements:understand fundamentals of modern probability theory, including notations and theorems

第三章泊松过程

第一节泊松过程的定义

1.1独立增量

1.2泊松过程在给定时间点呈现泊松分布

1.3示例：电话服务中心

第二节泊松过程的基本假设

2.1 计数过程

2.2 连续时间域上的离散过程

2.3 平稳独立增量

2.4 多个到达的概率为高阶无穷小

第三节泊松过程的分布公式

第四节到达时间和间隔到达时间

第五节泊松过程，到达时间和间隔到达时间之间的等价关系

第六节生成泊松到达时间

第七节示例：有线电视公司

教学重点、难点：泊松过程的基本性质以及泊松过程和到达时间及间隔到达时间的等价

课程的考核要求：了解泊松过程的定义和基本性质

Chapter 3 Poisson Process

Section 1 Definition of Poisson process

1.1Independent increment

1.2Poisson process at a given time is a Poisson distribution

1.3An example of a phone call center

Section 2 General assumptions of Poisson process

2.1 Counting process

2.2 Discrete valued on a continuous time domain

2.3 Stationary and independent increment

2.4 Higher order infinitesimal for multiple arrivals

Section 3 The distribution formula of the Poisson process

Section 4 Arrival time and interarrival time

Section 5 Equivalence between the Poisson process, the arrival times and the interarrival times

Section 6 Generating Poisson arrival times

Section 7 An example of cable company

Key and Difficult Points: fundamental properties of Poisson process and the equivalence between it and its arrival times and interarrival times

Evaluation Requirements: understand the definition of Poisson process and its basic properties

第四章非齐次泊松过程

第一节定义

1.1变化的到达率

1.2独立增量

1.3多个到达概率为高阶无穷小

第二节非齐次泊松过程的间隔到达时间和到达时间以及非齐次泊松过程的分布

2.1 非齐次泊松过程和间隔到达时间和到达时间的等价

2.2 首次到达时间的分布

2.3 后续间隔到达时间的条件分布

2.4 在给定时间内出现n次到达的概率

2.5 非齐次泊松过程分布的推导

第三节非齐次泊松过程是特殊的齐次泊松过程

第四节各种非齐次泊松过程之间的转换

第五节非齐次泊松过程和齐次泊松过程之间的转换

第六节示例：出租车服务

第七节非齐次泊松过程的应用

教学重点、难点：非齐次泊松过程和齐次泊松过程的联系和区别

课程的考核要求：掌握非齐次泊松过程的性质和分布

Chapter 4 Nonhomogeneous Poisson process

Section 1 Definition

1.4Time-varying arrival rate

1.5Independent increment

1.6Higher order infinitesimal for multiple arrivals

Section 2 Interarrival times and arrival times of nonhomogeneous Poisson process and distribution of nonhomogeneous Poisson process

2.1 Equivalence between nonhomogeneous Poisson process and its interarrival times and arrival times

2.2 Distribution of the first interarrival time

2.3 Conditional distribution of consequential interarrival times

2.4 The probability of a specific arrival case with n arrivals on a given time interval

2.5 Getting the distribution of nonhomogeneous Poisson process

Section 3 Nonhomogeneous Poisson process as a special case of Poisson process Section 4 Transformation between different nonhomogeneous Poisson processes Section 5 From nonhomogeneous to homogeneous Poisson process

Section 6 Example: Car service on Galveston Beach

Section 7 Applications of nonhomogeneous Poisson process

Key and Difficult Points: the resemblance and distinction between nonhomogeneous and homogeneous Poisson processes

Evaluation Requirements:understand definition, property and distribution of nonhomogeneous Poisson process

第五章复合泊松过程

第一节定义

第二节复合泊松过程的性质

2.1 复合泊松过程的独立平稳增量

2.2 复合泊松过程的方差大于期望

2.3 复合泊松过程的期望分解

第三节复合泊松过程的推广

第四节“口吃”过程及其应用

第五节对数泊松过程

教学重点、难点：复合泊松过程和构成它的泊松过程的联系

课程的考核要求：掌握复合泊松过程的构造以及它的几个特殊性质

Chapter 5 Compound Poisson process

Section 1 Definition

Section 2 Properties

2.1 Independence and increment-stationarity of compound Poisson process from the underlying Poisson process

2.2 Variance is always greater than expectation

2.3 Decomposition of expectation

Section 3 Generalization of compound Poisson process

Section 4 The stuttering Poisson process and its application

Section 5 The logarithmic Poisson process

Key and Difficult Points: the property of compound Poisson process comes from its underlying Poisson process

Evaluation Requirements:understand the definition and several special property of compound Poisson process

第六章排队论基础

第一节排队论是现实世界中队列的抽象

第二节随机队列的构造

2.1顾客的到达过程

2.2 服务器和服务时间的分布

2.3 等待空间

第三节无限个服务器的队列

第四节有限个服务器的队列

4.1 等待服务和队列的形成

4.2 服务时间的指数分布和多个服务器的并行服务速率

第五节状态概率向量

第六节队列系统的微分差分方程

6.1 状态之间的转换

6.2 当存在空闲服务器时

6.3当不存在空闲服务器时

6.4转移向量和转移矩阵

第七节有限等待空间

第八节“口吃”泊松队列

第九节两个随机队列的级联

教学重点、难点：随即队列的状态空间和转移矩阵

课程的考核要求：了解随机队列和现实队列的联系以及随机队列的数学描述。

Chapter 6 Elementary queuing theory

Section 1 Queuing theory as a generalization from the actual queue and waiting practice in the real world

Section 2 Structure of a stochastic queue

2.1 The arrival process of customers

2.2 The servers and its associated service time distribution

2.3 The waiting space

Section 3 The queue with infinite number of servers

Section 4 The queue with finite number of servers

4.1 Waiting for service and formation of the queue

4.2 Exponential distribution assumption of service time and service rate

of multiple servers

Section 5 State probability vector of the queue

Section 6 The differential-difference equations of the queue system

6.1 Transition between states

6.2 The cases of not all servers are occupied

6.3 When there are more customers than servers

6.4 The transition vectors

6.5 The transition matrix

Section 7 Limited waiting space

Section 8 The stuttering Poisson process

Section 9 Two queue systems in tandem

Key and Difficult Points: The state space and the transition matrix of stochastic queue

Evaluation Requirements:understand relationship between stochastic queue and real world queue, and the mathematical description of the stochastic queue

第七章泊松到达时间平均(PASTA)

第一节随即队列系统的渐进分布和稳态

第二节随机队列的时间平均和顾客平均

第三节缺乏预期假设和到达定理

第四节指数服务时间队列的稳态分布

教学重点、难点：渐进时间平均和顾客平均等效的条件

课程的考核要求：了解泊松到达时间的概念和它的重要性，掌握指数服务时间队列达到稳态的条件和稳态下的状态分布公式

Chapter 7 Poisson Arrival See Time Average (PASTA)

Section 1 The long-time distribution of the queue system and the steady state

Section 2 The time average and the customer average of the queue system

Section 3 Lack of Anticipation Assumption (LAA) and the arrival theorem

Section 4 Steady state vector of the queue system with exponential service time Key and Difficult Points: understand when time average will be equal to

customer average

Evaluation Requirements:understand PASTA and its importance, and the condition for an exponential queue to reach steady state and its state probability distribution under the steady state

第八章数列的生成函数

第一节数列和它的生成函数

第二节数列生成函数的性质

第三节常见数列的生成函数

第四节离散随机变量的生成函数

教学重点、难点：生成函数之间的关系取决于数列之间的关系

课程的考核要求：了解数列的生成函数的概念和基本性质，会求解简单数列的生成函数和离散随机变量的生成函数

Chapter 8 The generating function of a sequence

Section 1 The correspondence between a sequence and a composite power series Section 2 Properties of the generating function of a sequence

Section 3 Generating functions of common sequences

Section 4 Probability generating function of a discrete random variable

Key and Difficult Points: the relationship of generating functions depends on the relationship between the original sequences

Evaluation Requirements:understand the definition and basic property of generating function of sequence, solve for generating functions of simple sequences and discrete random variables.

第九章更新过程

第一节更新过程是泊松过程的推广

第二节更新过程和它的到达时间和间隔到达时间之间的等价关系

第三节更新过程的分布

第四节更新函数和更新密度

第五节更新密度的终值

第六节更新方程和更新方程的解

第七节根本更新定理

第八节停时及其应用，Wald定理

教学重点、难点：掌握得到更新方程首次到达时间期望法

课程的考核要求：了解更新方程的概念，了解更新函数，更新密度，更新方程和它的解，了解停时的概念和性质

Chapter 9 The renewal process

Section 1 Renewal process as a generalization of Poisson process

Section 2 Equivalence between renewal process and its arrival and interarrival times

Section 3 Distribution of the renewal process

Section 4 The renewal function and renewal density

Section 5 The final value of the renewal density

Section 6 The renewal-type equations and the renewal-type solution

Section 7 The key renewal theorem

Section 8 Stopping times and its applications, Wald’s theorem

Key and Difficult Points: Conditioning on first arrival time to obtain the renewal-type equation

Evaluation Requirements:understand the definition of renewal process, the renewal function and renewal density, know how the renewal-type equation is formed

and how it is solved, understand stopping times and its properties and applications.

第十章剩余寿命，当前寿命与总观测寿命

第一节更新过程的生灭性质和当前对象

第二节总观测寿命和间隔到达时间的区别

第三节剩余寿命分布的更新方程及其解

第四节剩余寿命密度和它的终值

第五节当前寿命与剩余寿命的等价关系和当前寿命的分布

第六节总观测寿命的分布

第七节间隔到达时间为均匀分布的更新过程

第八节生灭过程

第九节离散更新过程

教学重点、难点：对三种寿命的理解，总观测寿命和间隔到达时间的区别，寿命之间的等价关系

课程的考核要求：了解三种寿命的定义和它们之间的联系，了解总观测寿命和间隔到达时间的区别，能写出三种寿命的更新方程，能解释三种寿命及其密度分布的终值定理的意义

Chapter 10 Excess Life, Current Life and Total Life

Section 1 The renewal process as a birth and death process and the current occupant at a given time

Section 2 Difference between the total life and the interarrival time

Section 3 Renewal-type equation for the distribution of excess life and its solution

Section 4 Excess life density and its final value

Section 5 The equivalence between the current life and the excess life and the distribution of the current life

Section 6 The distribution of the total life

Section 7 A renewal process with uniform interarrival times

Section 8 Regenerative process

Section 9 Discrete renewal process

Key and Difficult Points: the definition and behavior of three lives, the distinction between total life and interarrival time

Evaluation Requirements: understand the definition and relationship between excess life, current life and total life, understand the difference between total life and interarrival time, be able to write down the renewal-type equation of three lives, be able to explain the intuition behind the distribution of three lives, their densities, and the final value and key renewal theorem of them

第十一章离散马尔科夫链

第一节随机过程的马尔科夫性质

第二节马尔科夫链的状态和状态空间

第三节遍历性和周期马尔科夫链

第四节吸收马尔科夫链

第五节可逆马尔科夫链

教学重点、难点：马尔科夫链的无后效性，马尔科夫链的分类

课程的考核要求：掌握马尔科夫链的根本性质，了解马尔科夫链的状态空间，会对马尔科夫链进行分类

Chapter 11 Discrete-Time Markov Chains

Section 1 Markov property

Section 2 States of the Markov Chain

Section 2 Classification of states

Section 3 Ergodic and periodic Markov Chains

Section 4 Absorbing Markov Chains

Section 5 Reversible Discrete Markov Chains

Key and Difficult Points: the memoryless property of the Markov chains, the classification of Markov chains

Evaluation Requirements:understand the Markov property, understand state space of Markov chains, can classify Markov chains

第十二章连续马尔科夫链

第一节连续马尔科夫链的定义

第二节柯尔莫格洛夫微分方程

第三节极限概率

第四节连续吸收马尔科夫链

第五节相位分布

第六节归一化

第七节连续马尔科夫奖励过程

第八节可逆连续马尔科夫链

教学重点、难点：柯尔莫格洛夫微分方程和相位分布

课程的考核要求：大致了解连续马尔科夫链的定义和性质

Chapter 12 Continuous-Time Markov Chains

Section 1 Definition

Section 2 The Kolmogorov Differential Equation

Section 3 The limiting probabilities

Section 4 Absorbing continuous-time Markov Chains

Section 5 Phase-Type distributions

Section 6 Uniformization

Section 7 Continuous-Time Markov reward processes

Section 8 Reversible continuous-time Markov Chains

Key and Difficult Points: The Kolmogorov Differential Equation and phase-type equations

Evaluation Requirements:roughly understand the definition of continuous-time Markov chains and its properties

五、其它

授课老师应根据学生的能力适当调节课程进度和内容

Instructor should adjust the course schedule and content according to the capability of students.

六、主要参考书

[1] Edward P.C. Kao "An Introduction to Stochastic Processes", China Machine Press (ISBN: 7-111-12414-6/O?327).

[2] Amir Dembo (revised by Kevin Ross), "Stochastic Processes" (Lecture Notes), Department of Statistics, Stanford University.

《通信原理》课程教学大纲.

《通信原理》课程教学大纲 课程编号： 课程名称：《通信原理》 参考学时：60 实验学时：18 先修课及后续课：先修课：电路原理、模拟电子技术基础、数字电子技术基础 后续课：现代DSP技术 （一）说明部分 1．课程性质 本课程是通信工程、电子信息工程本科专业的一门重要的专业基础课，授课对象为在校本、专科学生。该课程设置的目的是使学生学习和掌握通信原理的基本知识，为后续专业课程的学习打下良好的基础。 2．教学目标及意义 通过本课程的学习使学生掌握通信系统基础理论知识，使学生掌握典型通信系统的组成、工作原理、性能特点、基本分析方法、工程计算方法和实验技能等。了解通信技术当前发展状况及未来发展方向。为学生学习后续专业课程提供必要的基础知识和理论背景，为学生形成良好的专业素质打好基础。 3．教学内容和要求 通信系统是通信、电子信息及相关专使学生学习和掌握通信原理的基本知识，它运用了高等数学、概率论、线性代数等专业数学知识，以及信号与线性系统分析方法，进一步为学生在确知信号的谱分析、随机信号（随机过程）和噪声的统计分析方面打下坚实的数理基础。在此基础上要求学生掌握模拟通信系统的基本知识、分析方法和噪声性能。掌握模拟信号数字化技术的基础理论。重点分析数字通信系统的数学模型、误码特性、差错控制编码。并从最佳接收观点提出统计通信理论的基础知识，使学生能够掌握当前通信系统建模和优化的思维方法。 本课程配有通信原理实验，主要涉及的内容有对模拟信号的数字化部分如：脉冲幅度调制PAM、脉冲编码调制PCM、增量调制△M等；有数字信号的调制部分如：二相PSK（DPSK）、FSK等。 4．教学重点、难点 教学的重点在于模拟信号的编码、数字信号的传输及差错控制部分。其中基带传输部分介绍的无码间串扰系统及频带传输部分介绍的最佳接收是难点。 5．教学方法和手段 本课程需要运用先修的高等数学、概率论、线性代数等专业数学知识，信号与系统分析方法，又涉及到后续专业课程的各个领域，本课的理论性和应用性均较强。因此教学上采用课内和课外教学相结合。课内以课堂教学为主，课后学生自学部分内容的形式，课外教学则

(完整版)答案应用随机过程a

山东财政学院 2009—2010学年第 1 学期期末考试《应用随机过程》试卷(A ) （考试时间为120分钟） 参考答案及评分标准 考试方式： 闭卷 开课学院 统计与数理学院 使用年级 07级 出题教师 张辉 一． 判断题（每小题2分，共10分，正确划√，错误划ⅹ） 1. 严平稳过程一定是宽平稳过程。（ⅹ ） 2. 非周期的正常返态是遍历态。（√ ） 3. 若马氏链的一步转移概率阵有零元，则可断定该马氏链不是遍历的。（ⅹ ） 4. 有限马尔科夫链没有零常返态。（√ ） 5．若状态i 有周期d, 则对任意1≥n , 一定有：0)(?nd ii p 。（ⅹ ） 二． 填空题（每小题5分，共10分） 1. 在保险公司的索赔模型中，设索赔要求以平均每月两次的速率的泊松过程到达保险公司，若每次赔付金额是均值为10000元的正态分布，一年中保险公司的平均赔付金额是＿＿240000元＿＿＿。 2．若一个矩阵是随机阵，则其元素满足的条件是：（1）任意元素非负（2）每行元素之和为1。 三． 简答题（每小题5分，共10分） 1． 简述马氏链的遍历性。 答：设) (n ij p 是齐次马氏链{}1,≥n X n 的n 步转移概率，，如果对任意 I j i ∈,存在不依赖于i 的极限0)(?=j n ij p p ，则称齐次马氏链{}1,≥n X n 具有遍历性。 2． 非齐次泊松过程与齐次泊松过程有何不同？

答：非齐次泊松过程与齐次泊松过程的不同在于：强度λ不再是常数，而是与t 有关，也就是说，不再具有平稳增量性。它反映了其变化与时间相关的过程。如设备的故障率与使用年限有关，放射物质的衰变速度与衰败时间有关，等等。 四． 计算、证明题（共70分） 1. 请写出C —K 方程，并证明之. （10分） 解： 2. 写出复合泊松过程的定义并推算其均值公式. （15分） 解：若{}0),(≥t t N 是一个泊松过程，是Λ,2,1,=i Y i 一族独立同分布的随机变量，并且与{}0),(≥t t X 也是独立的， )(t X =∑=t N i i Y 1，那么{}0),(≥t t X 复合泊松过程

《应用随机过程》教学大纲

《应用随机过程》课程教学大纲 课程代码：090541007 课程英文名称：Applications Stochastic Processes 课程总学时：40 讲课：40 实验：0 上机：0 适用专业：应用统计学 大纲编写（修订）时间：2017.6 一、大纲使用说明 （一）课程的地位及教学目标 随机过程是现代概率论的一个重要的组成部分，其理论产生于上世纪初期，主要是由物理学、生物学、通讯与控制、管理科学等方面的需求而发展起来的。它是研究事物的随机现象随时间变化而产生的情况和相互作用所产生规律的学科。随机过程的理论为许多物理、生物等现象提供诸多数学模型，同时为研究这类现象提供了数学手段。本课程为统计学专业的专业课程，通过本课程的学习，掌握随机过程的基本概念、基本理论、内容和基本方法，了解随机过程的重要应用，为后继课程学习提供知识准备，另一方面，随机过程的发展也是人们认识客观世界的一个重要组成部分，它有助于学生辩证唯物主义世界观的培养。 （二）知识、能力及技能方面的基本要求 1.基本知识：通过本科程的学习，使学生掌握，要求学生掌握随机过程的基本概念、二阶矩过程的均方微积分、马尔可夫过程的基本理论、平稳过程的基本理论、鞅和鞅表示、维纳过程、Ito定理、随机微分方程等理论和方法。 2.基本能力：通过本课程的学习，使学生能较深刻地理解随机过程的基本理论、思想和方法，并能应用其解决实践中遇到的随机问题，从而提高学生的数学素质，加强学生开展科研工作和解决实际问题的能力。 3.基本技能：掌握建立随机数学模型、分析和解决问题方面的技能，为进一步自学有关专业应用理论课程作好准备。 （三）实施说明 本大纲是根据沈阳理工大学关于制订本科教学大纲的原则意见专门制订的。在制订过 程中参考了其他学校相关专业应用随机过程教学大纲。 本课程思维方式独特，还需要学生有较高的微积分基础，教学中应注意概率意义的解 释和学生基础情况的把握，处理好抽象与具体，偶然与必然、一维与多维，理论与实践的关系。本课程内容分概率论与数理统计两部分，在教学中应充分注意两者之间的联系，重视基本概念，讲清统计思想。 （四）对先修课的要求 本课的先修课程：数学分析，高等代数，概率论。 （五）对习题课的要求 由于本课程内容多学时少，习题课在大纲中未作安排，建议教师授课过程中灵活掌 握；对于学生作业中存在的问题，建议通过课前和课后答疑解决。通过习题课归纳总结章节知识解决重点难点内容。 （六）课程考核方式 1.考核方式：考试 2.考核目标：在考核学生基本知识、基本原理和方法的基础上，重点考核学生解决实际问题的能力。 3.成绩构成：本课程的总成绩主要由两部分组成：平时成绩20-30％；期末成绩70-80％; 平时成绩构成：出勤，测验，作业。其中测验为开卷，随堂测验。

应用随机过程教学大纲

遵义师范学院课程教学大纲 应用随机过程教学大纲 （试行） 课程编号：280020 适用专业：统计学 学时数：48 学分数：____________ 2.5_______ 执笔人：黄建文审核人：_____________________ 系别：数学教研室：统计学教研室

编印日期：二?一五年七月 课程名称：应用随机过程 课程编码： 学分：2.5 总学时：48 课堂教学学时：32 实践学时：16 适用专业：统计学先修课程：高等数学、线性代数、概率论、测度论或者实变函数（自学） 一、课程的性质与目标： （一）该课程的性质 《应用随机过程》课程是普通高等学校统计学专业必修课程。它是在学生掌握了数学分析、线性代数和概率论等一定的数学专业理论知识的基础上开设的，要求学生掌握随机过程的基本理论和及其研究方法。 （二）该课程的教学目标 （1）从生活中的需要出发，结合研究随机现象客观规律性的特点，并根据随机过程的内容和知识结构，着重从随机过程的基本理论和基本方法出发，就实际应用中的典型随机过程做应用研究，并在理论、观点和方法上予以总结、提高及应用。 （2）对各个章节的教学，随机过程侧重于基本思想和基本方法的探讨，介绍随机过程的基本概念，建立以分布函数等研究相关问题概率的实际应用思路，寻求解决统计和随机过程问题的方法。着重基本思想及方法的培养和应用。 （3）结合学生实际，利用生活中的实例进行分析，培养学生的辩证唯物主义观点。 二、教学进程安排

三、教学内容与要求 第一章预备知识 【教学目标】 通过本章的学习，复习并扩展概率论课程的内容，为学习随机过程打下良好的基础，提供必备的数学工具。 【教学内容和要求】 随机过程以概率论为其主要的基础知识，为此，本章主要对概率空间；随机 变量与分布函数；随机变量的数字特征、矩母函数与特征函数；独立性和条件期望；随机变量序列的收敛性与极限定理等常用到的概率论基本知识作简要的回顾和扩展。其中概率空间，矩母函数和特征函数的定义及性质、条件期望、收敛性、极限定理等既是本章的重点，又是本章的难点。 【课外阅读资料】 《应用随机过程》，林元烈编，清华大学出版社。 【作业】 0, x W0 1. 已知连续型随机变量X的分布函数为F（x） = *Aarcsinx, 0

应用随机过程教学大纲

《应用随机过程A》课程教学大纲 课程编号： L335001 课程类别：专业限选课适用专业：统计学专业 学分数：3学分学时数： 48学时 应修（先修）课程：数学分析、概率统计、微分方程、高等代数 一、本课程的地位和作用 应用随机过程是数学与应用数学专业的专业限选课程，是统计学专业的专业课程之一。随机过程是研究客观世界中随机演变过程规律性的学科，随机过程的研究对象为随时间变化的随机现象，即随时间不断变化的随机变量，通常被视为概率论的动态部分。随着科学技术的发展，它已广泛地应用于通信、控制、生物、地质、经济、管理、能源、气象等许多领域，国内外许多高等工科院校在研究生中设此课程，大量工程技术人员对随机分析的方法也越来越重视。通过本课程的学习，使学生初步具备应用随机过程的理论和方法来分析问题和解决问题的能力。 二、本课程的教学目标 使学生掌握随机过程的基本知识，通过系统学习，学生的概率理论数学模型解决随机问题的能力得到更加进一步的提高，特别在经济应用上，通过本课程的学习，可以让数学专业的学生很方便地转向在金融管理、电子通讯等应用领域的研究。 三、课程内容和基本要求 ?”记号标记既（用“*”记号标记难点内容，用“?”记号标记重点内容，用“* 是重点又是难点的内容。） 第一章预备知识 1．教学基本要求 （1）掌握概率空间, 随机变量和分布函数, 矩母函数和特征函数的概念和相关性质。 （2）掌握条件概率, 条件期望和独立性的概念和相关性质。 （3）了解概率中收敛性的概念和相互关系。 2．教学内容 （1）概率空间 （2）▽随机变量和分布函数

（3）▽*数字特征、矩母函数和特征函数 （4）▽*条件概率、条件期望和独立性 （5）收敛性 第二章随机过程的基本概念和类型 1．教学基本要求 （1）掌握随机过程的定义。 （2）了解有限维分布族和Kolmogorov定理。 （3）掌握独立增量过程和独立平稳增量过程概念。 2．教学内容 （1）基本概念 （2）▽*有限维分布和Kolmogorov定理 （3）▽随机过程的基本类型 第三章 Poisson过程 1．教学基本要求 （1）了解计数过程的概念。 （2）掌握泊松过程两种定义的等价性。 （3）掌握泊松过程的到达时刻的分布、等待时间的分布和来到时刻的条件分布。（4）了解泊松过程的推广。 2．教学内容 （1）▽ Poisson过程 （2）▽* 与Poisson过程相联系的若干分布 （3）* Poisson过程推广 第四章更新过程 1．教学基本要求 （1）掌握更新过程的定义和基本性质。 （2）掌握更新函数、更新方程。 （3）了解更新定理及其应用，更新过程的若干推广。 （4）了解更新过程的若干推广。 2．教学内容

应用随机过程试题及答案

应用随机过程试题及答案 一．概念简答题（每题5 分，共40 分） 1. 写出卡尔曼滤波的算法公式 2. 写出ARMA（p,q）模型的定义 3. 简述Poisson 过程的随机分流定理 4. 简述Markov 链与Markov 性质的概念 5. 简述Markov 状态分解定理 6．简述HMM 要解决的三个主要问题得分B 卷（共9 页）第2 页7. 什么是随机过程，随机序列？8．什么是时齐的独立增量过程？二．综合题（每题10 分，共60 分） 1 ．一维对称流动随机过程n Y , 0 1 0, , n n k k Y Y X ? ? ? ? 1 ( 1) ( 1) , 2 k k k X p x p x ? ? ? ? ? 具有的概率分布为且1 2 , , ... X X 是相互独立的。试求1 Y 与2 Y 的概率分布及其联合概率分布。 2. 已知随机变量Y 的密度函数为其他而且，在给定Y=y 条件下，随机变量X 的条件密度函数为? ? 其他试求随机变量X 和Y 的联合分布密度函数( , ) f x y . 得分B 卷（共9 页）第3 页 3. 设二维随机变量( , ) X Y 的概率密度为( ,其他试求p{x<3y} 4．设随机过程( ) c o s 2 , ( , ) , X t X t t ? ? ? ? ? ? X 是标准正态分布的随机变量。试求数学期望( ) t E X ，方差( ) t D X ，相关函数1 2 ( , ) X R t t ，协方差1 2 ( , ) X C t t 。B 卷（共9 页）第4 页5 ．设马尔科夫链的状态空间为I={0,1}, 一步转移概率矩阵为

金融随机过程-教学大纲

《金融随机过程》教学大纲 课程编号：111012A 课程类型：专业选修课 总学时：32 学分：2 适用对象：金融工程专业 先修课程：数学分析、线性代数、概率论 一、教学目标 本课程面向具有一定的金融学和数学基础，并对金融量化分析方法感兴趣的金融工程专业高年级学生。本课程在介绍金融随机过程基础理论同时，联系并且生动的分析金融建模中的实例，从量化的角度研究金融学中的一些问题，本课程亦可视为金融风险测度与管理的先导课程。 通过本课程教学，主要实现以下几个目标： 目标1：帮助学生了解金融学（特别是在金融衍生品定价及其风险管理领域）中的重要量化工具，例如：随机过程，随机微积分和偏微分方程，以及Monte Carlo 模拟等模型的数值实现方法。 目标2：通过金融案例教学的方式讲解量化方法在金融建模中的应用； 目标3：帮助学生从量化分析的角度理解金融学中的一些问题，为学生未来继续学习金融工程相关知识或者从事金融量化研究打下基础。 二、教学内容及其与毕业要求的对应关系

本课程在介绍金融随机过程基础理论同时，联系并且生动的分析金融建模中的实例, 各部分穿插进行，整体课程自成体系。同时，如果时间允许我们将邀请来自量化金融业界的专家结合课程进度为同学们做精彩的报告。我们将根据课程的进展选取如下所列举的内容： 量化工具部分主要介绍条件数学期望、随机过程，鞅、Markov过程，随机游动、Brownian运动、Poisson过程、以及Ito随机积分, Ito公式，随机分析中的一些重要工具（例如Girsanov变换测度等），随机微分方程；偏微分方程相关内容以金融衍生品定价为动机介绍其应用，数学方法方面我们将初步介绍偏微分方程随机微积分的联系(Feynman-Kac定理) 等，抛物型方程初值问题的求解方法。 数值实现方法部分将生动的穿插在理论工具的介绍中，主要介绍Monte Carlo 模拟（随机数产生，重要分布的模拟，随机过程的模拟，提高模拟性能的方差降低方法，随机微分方程的离散模拟等），二项（或多项）格点方法，偏微分方程的数值解等。 量化方法在金融建模中的应用实例大致涉及随机建模和数值方法在金融衍生品定价中的应用。如时间允许我们将从量化原理的角度探讨近期金融衍生品（例如Stocks Index Futures和Credit Default Swap）在我国的发展。 该课程在继概率论与数理统计后，进一步介绍金融领域的随机过程知识，不仅强化与完善了金融专业学生的数理知识体系；而采用结合金融案例的方式进行讲解，更能使学生在充分夯实数理功底的基础上，结合金融实际问题进行思考学习，训练了学生应用数理思维分析金融问题的能力，而这恰是金融工程专业学生的毕业要求之一。 三、各教学环节学时分配

应用随机过程复习资料

1 [()()][()()]()E X t X s D X t X s t s λ-=-=- 由于(0)0X =故 ()[()][()(0)]X m t E X t E X t X t λ==-= 2()[()][()(0)]X t D X t D X t X t σλ==-= 2 2 22(,)[()()]{()[()()()]}[()(0)][()()][()][()(0)][()()][()]{[()]}()()(1) X R s t E X s X t E X s X t X s X s E X s X X t X s E X s E X s X E X t X s D X s E X s s t s s s st s s t λλλλλλλλ==-+=--+=--++=-++=+=+ (,)(,)()()X X X X B s t R s t m s m t s λ=-= ()()[]exp{(1)}iuX t iu X g u E e t e λ==- 2 定理3.2 设{(),0}X t t ≥是具有参数λ的泊松分布， {,1}n T n ≥是对应的时间间隔序列，则随机变量n T 是独立同 分布的均值为1λ的指数分布 Proof:注意到1{}T t >发生当且仅当泊松过程在区间[0,]t 内没有事件发生，因而1{}{()0}t P T t P X t e λ->=== 即111(){}1{}1t T F t P T t P T t e λ-=≤=->=- 所以1T 是服从均值为1λ的指数分布.利用泊松过程的独立、 平稳增量性质，有 21{|}{()()0}{()(0)0}t P T t T s P X t s X s P X t X e λ->==+-==-== 即222(){}1{}1t T F t P T t P T t e λ-=≤=->=- 对任意的1n ≥和121,,,...,0n t s s s -≥有 21111{|,...,}{()(0)0}t n n P T t T s T s P X t X e λ--->===-== 即(){}1n t T n F t P T t e λ-=≤=- 所以对任一n T 其分布是均值为1 λ的指数分布. 所以1,0 (){}0,0n t T n e t F t P T t t λ-?-≥=≤=?

随机过程及其应用-清华大学

4.1(等待时间的和)设诚恳按照参数λ的Poisson 过程来到公交站，公交车于时刻t 发出，那么在],0[t 时间段内到达的乘客等待时间总和的期望应该如何计算那？ 对于某一个乘客而言，假设其到达时间为k t ，那么他等待时间就是 k t t -所以乘客总的等待时间为∑=-=) (0)()(t N k k t t t S 使用条件期望来处理平均等待))(|)(())((n t N t E E t S E == 对于某已成了而言，其到达时刻k t 随机],0[t 内均匀分布的随机变量。但在车站上，乘客是先后到达次序排队，所以在n t N =)(的条件下， n t t t ,...,,21形成了独立均匀分布的顺序统计量。不过就他们的和n t t ++...1而言，可以那他们看着顺序统计量，也可以把他们看着不排顺序的n 各独立的],0[t 内均匀分布的随机变量，所以 2))((2)2)(())((2 2)())(|)((2 0t t N E t t t N E t E E nt nt nt t E nt n t N t E E n k k λ= ===- =-==∑=从而有 4.2(数值记录)设},{N n X n ∈是一独立同分布的非负期望随机变量序列。定义风险率)(t λ如下) (1) ()(t F t f t -= λ 这里)()(t F t f 和分别是k X 的概率密度分布和分布函数。定义随机过程 )(t N 如下}),,..,max(:{#)(01t X X X X n t N n n n ≤>=- 这里A #表示集合A 中的元素个数。如果把)(t N 中的时间t 看做时间，那么)(t N 是一个非齐次Poisson 过程。事实上，由于k X 彼此独立，所以)(t N 具有独立增量性。很明显0)0(=N ，于是只需要检查一个时间微元内)(t N 的状态。

应用随机过程习题课二

习题 1. 设随机过程{(,),}X t t ω-∞<<+∞只有两条样本函数 12(,)2cos ,(,)2cos ,X t t X t t x ωω==--∞<<+∞ 且1221 (),()33P P ωω==，分别求： （1）一维分布函数(0,)F x 和(,)4F x π ； （2）二维分布函数(0,;,)4F x y π ； （3）均值函数()X m t ； （4）协方差函数(,)X C s t . 2. 利用抛掷一枚硬币一次的随机试验，定义随机过程 1 2 cos ()2t X t πωω?=??出现正面出现反面 且“出现正面”与“出现反面”的概率相等，各为1 2 ，求 1）画出{()}X t 的样本函数 2）{()}X t 的一维概率分布，1 (;)2F x 和(1;)F x 3）{()}X t 的二维概率分布121 (,1;,)2 F x x 3. 通过连续重复抛掷一枚硬币确定随机过程{()}X t cos ()2 t t X t t π?=? ?在时刻抛掷硬币出现正面 在时刻抛掷硬币出现反面 求：（1）1(,),(1,)2F x F x ； （2）121 (,1;,)2 F x x 4. 考虑正弦波过程{(),0}X t t ≥，()cos X t t ξω=，其中ω为正常数，~(0,1)U ξ. （1）分别求3,,,424t ππππωωωω = 时()X t 的概率密度(,)f t x . （2）求均值函数()m t ，方差函数()D t ，相关函数(,)R s t ，协方差函数(,)C s t . 5. 给定随机过程： ()X t t ξη=+ ()t -∞<<+∞ 其中r. v. (,)ξη的协方差矩阵为1334C ?? = ??? ， 求随机过程{(),}X t t -∞<<+∞的协方差函数. 6. 考虑随机游动{(),0,1,2,}Y n n =

应用随机过程学习汇总

应用随机过程学习汇总

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应用随机过程学习总结 一、预备知识：概率论 随机过程属于概率论的动态部分，即随机变量随时间不断发展变化的过程，它以概率论作为主要的基础知识。 1、概率空间方面，主要掌握sigma代数和可测空间，在随机过程中由总体样本空间所构成的集合族。符号解释： sup表示上确界， inf表示下确界。 本帖隐藏的内容 2、数字特征、矩母函数与特征函数：随机变量完全由其概率分布来描述。其中由于概率分布较难确定，因此通常计算随机变量的数字特征来估算分布总体，而矩母函数和特征函数便用于随机变量的N阶矩计算，同时唯一的决定概率分布。 3、独立性和条件期望：独立随机变量和的分布通常由卷积来表示，对于同为分布函数的两个函数，卷积可以交换顺序，同时满足结合律和分配率。条件期望中，最重要的是理解并记忆E(X) = E[E(X|Y)] = intergral(E(X|Y=y))dFY(y)。 二、随机过程基本概念和类型 随机过程是概率空间上的一族随机变量。因为研究随机过程主要是研究其统计规律性，由Kolmogorov定理可知，随机过程的有限维分布族是随机过程概率特征的完整描述。同样，随机过程的有限维分布也通过某些数值特征来描述。 1、平稳过程，通常研究宽平稳过程：如果X(t1)和X(t2)的自协方差函数 r(t1,t2)=r(0,t-s)均成立，即随机过程X(t)的协方差函数r(t,s)只与时间差 t-s有关，r(t) = r(-t)记为宽平稳随机过程。 因为一条随机序列仅仅是随机过程的一次观察，那么遍历性问题便是希望将随即过程的均值和自协方差从这一条样本路径中估计出来，因此宽平稳序列只需满足其均值遍历性原理和协方差遍历性原理即可。 2、独立增量过程：若X[Tn]– X[T(n-1)]对任意n均相互独立，则称X(t)是独立增量过程。若独立增量过程的特征函数具有可乘性，则其必为平稳增量过程。 兼有独立增量和平稳增量的过程称为平稳独立增量过程，其均值函数一定是时间t的线性函数。

应用随机过程-综述

H a r b i n I n s t i t u t e o f T e c h n o l o g y 课程设计（论文） 课程名称：应用随机过程 设计题目：综述 院系：电子与信息工程学院 班级： 09硕通信一班 设计者： 学号： 指导教师：田波平 设计时间： 2009-11至2009-12 哈尔滨工业大学

哈尔滨工业大学课程设计任务书

特征函数在随机过程研究中的作用与意义 1.特征函数的定义 在介绍特征函数在随机过程研究中的作用和意义之前，首先介绍一下特征函数的定义。 特征函数是一个统计平均值，它是由随机变量X 组成的新的随机变量j X e ω的数学期望，记为： ()()j X E e ωωΦ= （1） 当X 为连续随机变量时，则X 的特征函数可表示成 ()()i X i x Ee f x e dx ωωω∞ -∞ Φ== ? （2） 其中()f x 为X 的概率密度函数。 对于随机过程的特征函数的定义与随机变量的特征函数的定义一致。 对任意时刻t ,随机过程的一维特征函数为： () (,)[](,)i X t i x X t E e f x t e dx ωωω∞ -∞ Φ== ? （3） 2.特征函数的性质 以下本文不加证明的给出特征函数的几个性质： (1) |()|(0)1ωΦ≤Φ=； (2) 共轭对称性()()ωωΦ-=Φ； (3) 特征函数()ωΦ在区间(,)-∞∞上一致连续； (4) 设随机变量Y aX b =+，其中,a b 是常数，则()()ib Y X e a ω ωωΦ=Φ； 其中(),()X Y ωωΦΦ分别表示随机变量,X Y 的特征函数。上式对于随机过程同样适用。 (5) 设随机变量,X Y 相互独立，又Z X Y =+，则()()()Z X Y ωωωΦ=ΦΦ； 此式表示两个相互独立随机变量之和的特征函数等于各自特征函数的乘积。 3.特征函数在随机过程研究中的作用与意义 由于特征函数在随机过程中和随机变量中的定义是一致的，仅是将X 变为X (t ),将概率密度函数也做相应的变化即可。故本文为方便起见，将随机过程和随机变量的特征函数的作用与意义做统一的讨论。 利用特征函数求随机过程的概率密度

应用随机过程 期末复习资料

第一章 随机过程的基本概念 一、随机过程的定义 例1：医院登记新生儿性别，0表示男，1表示女，X n 表示第n 次登记的数字，得到一个序列X 1 ， X 2 ， ·，记为{X n ，n=1,2, ·}，则X n 是随机变量，而{X n ，n=1,2, ·}是随机过程。 例2：在地震预报中，若每半年统计一次发生在某区域的地震的最大震级。令X n 表示第n 次统计所得的值，则X n 是随机变量。为了预测该区域未来地震的强度，我们就要研究随机过程{X n ，n=1,2, ·}的统计规律性。 例3：一个醉汉在路上行走，以概率p 前进一步，以概率1-p 后退一步（假设步长相同）。以X(t)记他t 时刻在路上的位置，则{X(t), t ≥0}就是（直线上的）随机游动。 例4：乘客到火车站买票，当所有售票窗口都在忙碌时，来到的乘客就要排队等候。乘客的到来和每个乘客所需的服务时间都是随机的，所以如果用X(t)表示t 时刻的队长，用Y(t)表示t 时刻到来的顾客所需等待的时间，则{X(t), t ∈T}和{Y(t), t ∈T}都是随机过程。 定义：设给定参数集合T ，若对每个t ∈T, X(t)是概率空间),,(P ?Ω上的随机变量，则称{X(t), t ∈T}为随机过程，其中T 为指标集或参数集。 E X t →Ω:)(ω，E 称为状态空间，即X(t)的所有可能状态构成的集合。 例1：E 为{0,1} 例2：E 为[0, 10] 例3：E 为},2,2,1,1,0{ -- 例4：E 都为), 0[∞+

注：（1）根据状态空间E 的不同，过程可分为连续状态和离散状态，例1，例3为离散状态，其他为连续状态。 （2）参数集T 通常代表时间，当T 取R, R +, [a,b]时，称{X(t), t ∈T}为连续参数的随机过程；当T 取Z, Z +时，称{X(t), t ∈T}为离散参数的随机过程。 （3）例1为离散状态离散参数的随机过程，例2为连续状态离散参数的随机过程，例3为离散状态连续参数的随机过程，例4为连续状态连续参数的随机过程。 二、有限维分布与Kolmogorov 定理 随机过程的一维分布：})({),(x t X P x t F ≤= 随 机 过 程 的 二 维 分 布 ： T t t x t X x t X P x x F t t ∈≤≤=21221121,,},)(,)({),(21 随机过程的n 维分布： T t t t x t X x t X x t X P x x x F n n n n t t t n ∈≤≤≤= ,,},)(,)(,)({),,(21221121,,21 1、有限维分布族：随机过程的所有一维分布，二维分布，…n 维分布等的全体 }1,,,),,,({2121,,21≥∈n T t t t x x x F n n t t t n 称为{X(t), t ∈T}的有限维分布族。 2、有限维分布族的性质： （1）对称性：对（1,2，…n ）的任一排列),,(21n j j j ，有 ),,(),,(21,,,,21212 1 n t t t j j j t t t x x x F x x x F n n n j j j = （2）相容性：对于m

(完整)应用随机过程学习总结(2),推荐文档

应用随机过程学习总结 一、预备知识：概率论 随机过程属于概率论的动态部分，即随机变量随时间不断发展变化的过程，它以概率论作为主要的基础知识。 1、概率空间方面，主要掌握sigma代数和可测空间，在随机过程中由总体样本空间所构成的集合族。符号解释： sup表示上确界， inf表示下确界。 本帖隐藏的内容 2、数字特征、矩母函数与特征函数：随机变量完全由其概率分布来描述。其中由于概率分布较难确定，因此通常计算随机变量的数字特征来估算分布总体，而矩母函数和特征函数便用于随机变量的N阶矩计算，同时唯一的决定概率分布。 3、独立性和条件期望：独立随机变量和的分布通常由卷积来表示，对于同为分布函数的两个函数，卷积可以交换顺序，同时满足结合律和分配率。条件期望中，最重要的是理解并记忆E(X) = E[E(X|Y)] = intergral(E(X|Y=y))dFY(y)。 二、随机过程基本概念和类型 随机过程是概率空间上的一族随机变量。因为研究随机过程主要是研究其统计规律性，由Kolmogorov定理可知，随机过程的有限维分布族是随机过程概率特征的完整描述。同样，随机过程的有限维分布也通过某些数值特征来描述。 1、平稳过程，通常研究宽平稳过程：如果X(t1)和X(t2)的自协方差函数 r(t1,t2)=r(0,t-s)均成立，即随机过程X(t)的协方差函数r(t,s)只与时间差 t-s有关，r(t) = r(-t)记为宽平稳随机过程。 因为一条随机序列仅仅是随机过程的一次观察，那么遍历性问题便是希望将随即过程的均值和自协方差从这一条样本路径中估计出来，因此宽平稳序列只需满足其均值遍历性原理和协方差遍历性原理即可。 2、独立增量过程：若X[Tn]– X[T(n-1)]对任意n均相互独立，则称X(t)是独立增量过程。若独立增量过程的特征函数具有可乘性，则其必为平稳增量过程。 兼有独立增量和平稳增量的过程称为平稳独立增量过程，其均值函数一定是时间t的线性函数。

随机过程习题答案

随机过程习题解答（一） 第一讲作业： 1、设随机向量的两个分量相互独立，且均服从标准正态分布。 （a）分别写出随机变量和的分布密度 （b）试问：与是否独立？说明理由。 解：（a） （b）由于： 因此是服从正态分布的二维随机向量，其协方差矩阵为： 因此与独立。 2、设和为独立的随机变量，期望和方差分别为和。 （a）试求和的相关系数； （b）与能否不相关？能否有严格线性函数关系？若能，试分别写出条件。 解：（a）利用的独立性，由计算有： （b）当的时候，和线性相关，即 3、设是一个实的均值为零，二阶矩存在的随机过程，其相关函数为 ，且是一个周期为T的函数，即，试求方差 函数。 解：由定义，有： 4、考察两个谐波随机信号和，其中：

式中和为正的常数；是内均匀分布的随机变量，是标准正态分布的随机变量。 （a）求的均值、方差和相关函数； （b）若与独立，求与Y的互相关函数。 解：（a） （b） 第二讲作业： P33/2．解： 其中为整数，为脉宽 从而有一维分布密度： P33/3．解：由周期性及三角关系，有： 反函数，因此有一维分布： P35/4. 解：(1) 其中 由题意可知，的联合概率密度为：

利用变换：，及雅克比行列式： 我们有的联合分布密度为： 因此有： 且V和相互独立独立。 （2）典型样本函数是一条正弦曲线。 （3）给定一时刻，由于独立、服从正态分布，因此也服从正态分布，且 所以。 （4）由于： 所以因此 当时， 当时， 由（1）中的结论，有： P36/7．证明： (1) (2) 由协方差函数的定义，有：

P37/10. 解：（1） 当i =j 时；否则 令 ，则有 第三讲作业： P111/7．解： （1 ）是齐次马氏链。经过 次交换后，甲袋中白球数仅仅与次交换后的状态有关，和之前的状态和交换次数无关。 （2）由题意，我们有一步转移矩阵： P111/8．解：（1）由马氏链的马氏性，我们有： （2）由齐次马氏链的性质，有： （2）

《应用随机过程》课程教学大纲 - 南京财经大学教务处

《随机过程》课程教学大纲 适用专业：数学与应用数学 执笔人：肖丽华 审定人：王宏勇 系负责人：张从军 南京财经大学应用数学系

《随机过程》课程教学大纲 课程代码：300069 英文名：Stochastic Processes 课程类别：专业选修课 适用专业：数学与应用数学 前置课：数学分析、线性代数、概率论、数理统计 后置课： 学分：2学分 课时：54课时 主讲教师：孙春燕等 选定教材：刘次华,随机过程（第二版）[M]，武汉：华中科技大学出版社，2001. 课程概述： 随机过程是数学与应用数学专业继数学分析、线性代数、概率论、数理统计后的一门专业课程。随机过程是研究客观世界中随机演变过程的规律性，是以概率论为基础且是概率论的深入与发展的一门学科。它在控制、经济、金融和管理等方面应用极为广泛。 教学目的： 通过随机过程理论知识的学习，达到培养学生解决实际问题，特别是解决具体随机规律现象的问题能力，学生学习这门课程应该达到三个目标。（1）建立随机过程的思维方法。（2）掌握随机问题的统计特性及数学模型。（3）通过经济、金融及管理等专业相关例题的讨论，初步掌握应用随机过程理论来分析问题和解决问题的能力。 教学方法： 本课程采用“引出问题，建立模型，理论分析，课堂讨论，实际应用，总结提高”的教学方式，使学生在掌握随机过程基本理论、思想和方法的基础上，力求活跃思考，理论结合实际地进行学习、

分析、归纳、提炼和解决问题，提高他们的数学素质和数学修养，提升他们开展科技活动和社会实践的能力以及开展科研工作的能力。 各章教学要求及教学要点 第一章预备知识 学时分配：6学时 教学要求： 补充和加强概率论知识。理解母函数的概念，掌握母函数的方法；掌握特征函数的定义及性质，了解特征函数与分布函数一一对应的关系。 教学内容： 第一节概率空间 一、随机试验。 二、样本空间。 三、事件及概率空间的定义。 第二节随机变量及其分布 一、分布函数。 二、联合分布函数及其性质。 第三节随机变量的数字特征 一、随机变量的数学期望及其性质。 二、随机变量的方差及其性质。 第四节特征函数、母函数和拉氏变换 一、特征函数的定义及其性质。 二、母函数的定义及其性质。 第五节n维正态分布

(完整版)随机过程习题和答案

一、1.1设二维随机变量(,)的联合概率密度函数为： 试求:在时,求。 解： 当时，＝ ＝ 1.2 设离散型随机变量X服从几何分布： 试求的特征函数，并以此求其期望与方差。解：

所以： 2.1 袋中 红球，每隔单位时间从 袋中有一个白球，两个任取一球后放回，对每对应随机变量 一个确定的t ?? ? ? ? = 时取得白球 如果对 时取得红球 如果对 t e t t t X t 3 )( . 维分布函数族 试求这个随机过程的一 2.2 设随机过程，其中是常数，与是相互独立的随机变量，服从区间上的均匀分布，服从瑞利分布，其概率密度为 试证明为宽平稳过程。 解：（1） 与无关

（2） ， 所以 （3） 只与时间间隔有关，所以 为宽平稳过程。 2.3是随机变量，且，其中设随机过程U t U t X 2cos )(=求：，.5)(5)(==U D U E .321）方差函数）协方差函数；（）均值函数；（（ 2.4是其中，设有两个随机过程U Ut t Y Ut t X ,)()(32==.5)(=U D 随机变量，且 数。试求它们的互协方差函 2.5， 试求随机过程是两个随机变量设B At t X B A 3)(,,+=的均值),(+∞-∞=∈T t 相互独若函数和自相关函数B A ,.),()(),2,0(~),4,1(~,21t t R t m U B N A X X 及则且立 为多少？

3.1一队学生顺次等候体检。设每人体检所需的时间服从均值为2分 钟的指数分布并且与其他人所需时间相互独立，则1小时内平均有多少学生接受过体检？在这1小时内最多有40名学生接受过体检的概率是多少（设学生非常多，医生不会空闲） 解：令()N t 表示(0,)t 时间内的体检人数，则()N t 为参数为30的 poisson 过程。以小时为单位。 则((1))30E N =。 40 300 (30)((1)40)!k k P N e k -=≤=∑。 3.2在某公共汽车起点站有两路公共汽车。乘客乘坐1,2路公共汽车的强度分别为1λ，2λ，当1路公共汽车有1N 人乘坐后出发；2路公共汽车在有2N 人乘坐后出发。设在0时刻两路公共汽车同时开始等候乘客到来，求（1）1路公共汽车比2路公共汽车早出发的概率表达式；（2）当1N =2N ，1λ=2λ时，计算上述概率。 解： 法一：（1）乘坐1、2路汽车所到来的人数分别为参数为1λ、2λ的poisson 过程，令它们为1()N t 、2()N t 。1 N T 表示1()N t =1N 的发生时 刻，2 N T 表示2()N t =2N 的发生时刻。 1 11 1111111()exp()(1)! N N N T f t t t N λλ-= -- 2 22 1222222()exp()(1)! N N N T f t t t N λλ-= -- 1 2 121 2 1 2 2 1 112,12|1221 1122212(,)(|)()exp() exp() (1)! (1)! N N N N N N N N N T T T T T f t t f t t f t t t t t N N λλλλ--== ----

应用随机过程期末复习资料

第一章 随机过程的基本概念 一、随机过程的定义 例1：医院登记新生儿性别，0表示男，1表示女，X n 表示第n 次登记的数字，得到一个序列X 1 ， X 2 ， ···，记为{X n ，n=1,2, ···}，则X n 是随机变量，而{X n ，n=1,2, ···}是随机过程。 例2：在地震预报中，若每半年统计一次发生在某区域的地震的最大震级。令X n 表示第n 次统计所得的值，则X n 是随机变量。为了预测该区域未来地震的强度，我们就要研究随机过程{X n ，n=1,2, ···}的统计规律性。 例3：一个醉汉在路上行走，以概率p 前进一步，以概率1-p 后退一步（假设步长相同）。以X(t)记他t 时刻在路上的位置，则{X(t), t ≥0}就是（直线上的）随机游动。 例4：乘客到火车站买票，当所有售票窗口都在忙碌时，来到的乘客就要排队等候。乘客的到来和每个乘客所需的服务时间都是随机的，所以如果用X(t)表示t 时刻的队长，用Y(t)表示t 时刻到来的顾客所需等待的时间，则{X(t), t ∈T}和{Y(t), t ∈T}都是随机过程。 定义：设给定参数集合T ，若对每个t ∈T, X(t)是概率空间),,(P ?Ω上的随机变量，则称{X(t), t ∈T}为随机过程，其中T 为指标集或参数集。 E X t →Ω:)(ω，E 称为状态空间，即X(t)的所有可能状态构成的集合。 例1：E 为{0,1} 例2：E 为[0, 10] 例3：E 为},2,2,1,1,0{Λ-- 例4：E 都为),0[∞+ 注：（1）根据状态空间E 的不同，过程可分为连续状态和离散状态，例1，例3为离散状态，其他为连续状态。 （2）参数集T 通常代表时间，当T 取R, R +, [a,b]时，称{X(t), t ∈T}为连续参数的随机过程；当T 取Z, Z +时，称{X(t), t ∈T}为离散参数的随机过程。 （3）例1为离散状态离散参数的随机过程，例2为连续状态离散参数的随机过程，例3为离散状态连续参数的随机过程，例4为连续状态连续参数的随机过程。 二、有限维分布与Kolmogorov 定理 随机过程的一维分布：})({),(x t X P x t F ≤= 随机过程的二维分布：T t t x t X x t X P x x F t t ∈≤≤=21221121,,},)(,)({),(21 随机过程的n 维分布：