初中数学竞赛辅导资料(64)
最大 最小值
甲内容提要
1. 求二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0),的最大、最小值常用两种方法:
①配方法:原函数可化为y=a(x+a
b 2)2+a b a
c 442
-.
∵在实数范围内(x+
a
b 2)2
≥0, ∴若a>0时,当x=-a b
2 时, y 最小值=a b ac 442-;
若a<0时,当x=-a
b
2 时, y 最大值=a b ac 442-.
②判别式法:原函数可化为关于x 的二次方程ax 2+bx+c -y=0.
∵x 在全体实数取值时,
∴ △≥0
即b 2-4a(c -y)≥0, 4ay ≥4ac -b 2.
若a>0,y ≥a b ac 442-,这时取等号,则y 为最小值a b ac 442
-;
若a<0,y ≤a b ac 442-,这时取等号,则y 为最大值a
b a
c 442
-.
有时自变量x 定在某个区间内取值,求最大、最小值时,要用到临界点,一般用配方
法方便.
2. 用上述两种方法,可推出如下两个定理:
定理一:两个正数的和为定值时,当两数相等时,其积最大. 最大值是定值平方的四分之一.
例如:两正数x 和y , 如果x+y=10, 那么xy 的积有最大值,最大值是25.
定理二:两个正数的积为定值时,当两数相等时,其和最小. 最小值是定值的算术平方根的2倍.
例如:两正数x 和y ,如果xy=16, 那么 x+y 有最小值,最小值是8. 证明定理一,可用配方法,也叫构造函数法. 设a>0, b>0, a+b=k . (k 为定值).
那么ab=a(k -a)
=-a 2+ka=-(a -2
1
k)2+42k .
当a=2
k
时,ab 有最大值42k .
证明定理二,用判别式法,也叫构造方程法. 设a>0, b>0, ab=k (k 为定值),再设 y=a+b. 那么y=a+
a
k
, a 2-ya+k=0.(这是关于a 的二次议程方程) ∵ a 为正实数,
∴△≥0. 即(-y)2-4k ≥0, y 2-4k ≥0.
∴y ≤-2k (不合题意舍去); y ≥2k . ∴ y 最小值=2k .
解方程组???==+.
2k ab k b a ,
得a=b=k .
∴当a=b=k 时,a+b 有最小值 2
k .
3. 在几何中,求最大、最小值还有下列定理:
定理三:一条边和它的对角都有定值的三角形,其他两边的和有最大值. 当这两边相
等时,其和的值最大.
定理四:一条边和这边上的高都有定值的三角形,其他两边的和有最小值. 当这两边相等时,其和的值最小.
定理五:周长相等的正多边形,边数较多的面积较大;任何正多边形的面积都小于同周长的圆面积. 乙例题
例1. 已知:3x 2+2y 2=6x, x 和y 都是实数,
求:x 2+y 2 的最大、最小值.
解:由已知y 2=2
362
x
x -, ∵y 是实数, ∴y 2≥0.
即2
362x x -≥0, 6x -3x 2 ≥0, x 2-2x ≤0.
解得 0≤x ≤2.
这是在区间内求最大、最小值,一般用配方法,
x 2+y 2=x 2+2362
x x -=-21( x -3)2+2
9
在区间0≤x ≤2中,当x=2 时,x 2+y 2有最大值 4.
∴当x=0时,x 2+y 2=0是最小值 .
例2. 已知:一个矩形周长的数值与它面积的数值相等.
求:这个矩形周长、面积的最小值. 解:用构造方程法.
设矩形的长,宽分别为 a, b 其周长、面积的数值为k. 那么2(a+b)=ab=k.
即 ???
??
==+.
21k ab k b a ,
∴a 和b 是方程 x 2-
2
1
kx+k=0 的两个实数根. ∵a, b 都是正实数,∴△≥0. 即(-
2
k )2
-4k ≥0. 解得k ≥16;或k ≤0 . k ≤0不合题意舍去.
∴当k ≥16取等号时,a+b, ab 的值最小,最小值是16. 即这个矩形周长、面积的最小值是16.
例3. 如图△ABC 的边BC=a, 高AD=h, 要剪下一个 矩形EFGH ,问EH 取多少长时,
矩形的面积最大? 最大面积是多少? 解:用构造函数法 设EH=x, S 矩形=y, 则GH=x
y
. ∵△AHG ∽△ABC ,
∴h
x
h a x y
-= . ∴ y=4)2()(2ah h x h a h x h ax +
--=-. ∴当x=2h 时,y 最大值 =4ah
.
即当EH=2h 时,矩形面积的最大值是4
ah
.
例4. 如图已知:直线m ∥n ,A ,B ,C 都是定点,AB=a, AC=b, 点P 在AC 上,BP 的
延长线交直线m 于D. 问:点P 在什么位置时,S △PAB +S △PCD 最小? 解:设∠BAC=α,PA=x, 则PC=b -x. ∵m ∥n ,∴
PA PC
AB CD =
. ∴CD=x x b a )(- S △PAB +S △PCD =21axSin α+21x
x b a )
(-(b -x) Sin α
=2
1
aSin α()222x x bx b x +-+
=2
1
aSin α(2x+)22b x b -. a h
X
A
B
C
D
H E
G
F
n
m
x b
a P
A C
B D
∵2x ×x b 2=2b 2 (定值), 根据定理二,2x +x
b
2
有最小值.
∴ 当2x =x b 2, x=b 22
1时,
S △PAB +S △PCD 的最小值是 (2-1)abSin α.
例5.已知:Rt △ABC 中, 内切圆O 的半径 r=1.
求:S △ABC 的最小值.
解:∵S △ABC =
2
1
ab ∴ab =2S △. ∵2r=a+b -c, ∴c=a+b -2r.
∴a+b -2r=2
2
b a + .
两边平方,得 a 2+b 2+4r 2+2ab -4(a+b)r= a 2+b 2. 4r 2+2ab -4(a+b)r=0.
用r=1, ab=2S △ 代入, 得 4+4S △-4(a+b) =0. a+b=S △+1.
∵ab=2S △ 且a+b=S △+1.
∴a, b 是方程x 2-(S △+1)x+2S △=0 的两个根. ∵a,b 是正实数, ∴△≥0,
即 [-(S △+1)]2-4×2S △ ≥0, S △2-6S △+1≥0 .
解得 S △≥3+22或S △≤3-22. S △≤3-22不合题意舍去. ∴S △ABC 的最小值是3+22.
例6.已知:.如图△ABC 中,AB=26+
,∠C=30 . 求:a+b 的最大值.
解:设 a+b=y , 则b=y -a.
根据余弦定理,得 (26+
)2=a 2+(y -a)2-2a(y -a)Cos30
写成关于a 的二次方程: (2+3)a 2-(2+3)ya+y 2-(8+43)=0.
∵a 是实数, ∴△≥0.
即(2+3)2y 2-4(2+3)[y 2-(8+43)]≥0,
y 2-(8+43)2 ≤0 .
∴ -(8+43)≤y ≤(8+43). ∴a+b 的最大值是8+43.
a
b
c
r=1
O
B
C
A
c
a b
30
A
B
C
又解:根据定理三 ∵AB 和∠C 都有定值. ∴当a=b 时,a+b 的值最大.
由余弦定理,(26
)2
=a 2
+b 2
-2abCos30
可求出 a=b=4+23. ………
丙练习64
1. x 1,x 2,x 3,x 4,x 5 满足. x 1+x 2+x 3+x 4+x 5=. x 1x 2x 3x 4x 5,那么. x 5的最大值是______. (1988年全国初中数学联赛题)
2. 若矩形周长是定值20cm,那么当长和宽分别为____,____时,其面积最大,最大面积是______.
3. 面积为100cm 2的矩形周长的最大值是________.
4. a, b 均为正数且a+b=ab,那么 a+b 的最小值 是________.
5. 若x>0, 则x+
x
9
的最小值是________. 6.
如图直线上有A 、B 、C 、D 四个点.那么到A ,B ,C ,D 距离之和为最小值的点,位于
_________,其和的最小值等于定线段___________..
(1987年全国初中数学联赛题)
7. 如右图△ABC 中,AB=2,AC=3,Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ是
以AB ,BC ,CA 为边的正方形,则阴影部份的面积 的和的最大值是____________.
(1988年全国初中数学联赛题)
8. 下列四个数中最大的是 ( )
(A ) tan48 +cot48 ..(B)sin48 +cos48 . (C) tan48 +cos48 . (D)cot48 +sin48
.
(1988年全国初中数学联赛题)
9.已知抛物线y=-x 2+2x+8与横轴交于B ,C 两点,点D 平分BC ,若在横轴上侧的点A 为抛物线上的动点,且∠BAC 为锐角,则AD 的取值范围是__________
(1986年全国初中数学联赛题)
10. 如图△ABC 中,∠C=Rt ∠,CA=CB=1,点P 在AB 上, PQ ⊥BC 于Q.问当P 在AB 上什么位置时,S △APQ 最大? 11. △ABC 中,AB=AC=a ,以BC 为边向外作等边
三角形BDC ,问当∠BAC 取什么度数时AD 最长?
12. 已知x 2+2y 2=1, x,y 都是实数,求2x+5y 2的最大值、最小值.
13. △ABC 中∠B=
60,AC=1,求BA+BC 的最大值及这时三角形的形状.
14. 直角三角形的面积有定值k,求它的内切圆半径的最大值.
15. D ,E ,F 分别在△ABC 的边BC 、AC 、AB 上,若BD ∶DC=CE ∶EA=AF ∶FA =k ∶(1-k) (0 16.△ABC 中,BC=2,高AD=1,点P ,E ,F 分别在边BC ,AC ,AB 上,且四边形PEAF 是平行四边形.问点P 在BC 的什么位置时,S PEAF 的值最大? C D A B A B C ⅠⅡ ⅢA B C P Q c a b 30 A B C 初中数学竞赛专题选讲观察法 一、内容提要 数学题可以猜测它的结论(包括经验归纳法),但都要经过严谨的论证,才能确定是否正确. 观察是思维的起点,直觉是正确思维的基础. 观察法解题就是用清晰的概念,直觉的思维,根据题型的特点,得出题解或猜测其结论,再加以论证. 敏锐的洞察力来自对概念明晰的理解和熟练的掌握. 例如:用观察法写出方程的解,必须明确方程的解的定义,掌握方程的解与方程的系数这间的关系. 一元方程各系数的和等于零时,必有一个解是1;而奇次项系数的和等于偶次项系数的和时,则有一个根是-1;n 次方程有n 个根,这样才能判断是否已求出全部的根,当根的个数超过方程次数时,可判定它是恒等式. 对题型的特点的观察一般是注意已知数据,式子或图形的特征,分析题设与结论,已知与未知这间的联系,再联想学过的定理,公式,类比所做过的题型,试验以简单的特例推导一般的结论,并探求特殊的解法. 选择题和填空题可不写解题步骤,用观察法解答更能显出优势. 二、例题 例1. 解方程:x+x 1=a+a 1. 解:方程去分母后,是二次的整式方程,所以最多只有两个实数根. 根据方程解的定义,易知 x=a ;或x= a 1. 观察本题的特点是:左边x 11=? x , 右边a 11=?a . (常数1相同). 可推广到:若方程f(x)+a m a x f m +=)((am ≠0), 则f(x)=a ; f(x)= a m . 如:方程x 2+22255a a x +=, x 2+3x -83202=+x x (∵8=10-1020). 都可以用上述方法解. 例2. 分解因式 a 3+b 3+c 3-3abc. 分析:观察题目的特点,它是a, b, c 的齐三次对称式. 若有一次因式,最可能的是a+b+c ;若有因式a+b -c,必有b+c -a, c+a -b ; 若有因式a+b, 必有b+c, c+a ; 若有因式b -c,必有c -a, a -b. 解:∵用a=-b -c 代入原式的值为零, ∴有因式a+b+c. 故可设 a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)[m(a 2+b 2+c 2)+n(ab+bc+ca)]. 比较左右两边a 3的系数,得m=1, 比较abc 的系数, 得 n=-1. ∴a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c) (a 2+b 2+c 2-ab -bc -ca) 例3. 解方程x x =++++3333. 欧拉(Euler)线: 同一三角形的垂心、重心、外心三点共线,这条直线称为三角形的欧拉线; 且外心与重心的距离等于垂心与重心距离的一半。 九点圆: 任意三角形三边的中点,三高的垂足及三顶点与垂心间线段的中点,共九个点共圆,这个圆称为三角形的九点圆; 其圆心为三角形外心与垂心所连线段的中点,其半径等于三角形外接圆半径的一半。 费尔马点: 已知P为锐角△ABC内一点,当∠APB=∠BPC=∠CPA=120°时,PA+PB+PC的值最小,这个点P称为△ABC的费尔马点。 海伦(Heron)公式: 塞瓦(Ceva)定理: 在△ABC中,过△ABC的顶点作相交于一点P的直线,分别 交边BC、CA、AB与点D、E、F,则(BD/DC)·(CE/EA)·(AF/FB)=1;其逆亦真。 密格尔(Miquel)点: 若AE、AF、ED、FB四条直线相交于A、B、C、D、E、F六点, 构成四个三角形,它们是△ABF、△AED、△BCE、△DCF, 则这四个三角形的外接圆共点,这个点称为密格尔点。 葛尔刚(Gergonne)点: △ABC的内切圆分别切边AB、BC、CA于点D、E、F, 则AE、BF、CD三线共点,这个点称为葛尔刚点。 西摩松(Simson)线: 已知P为△ABC外接圆周上任意一点,PD⊥BC,PE⊥ACPF⊥AB,D、E、F为垂足, 则D、E、F三点共线,这条直线叫做西摩松线。 黄金分割: 把一条线段(AB)分成两条线段,使其中较大的线段(AC)是原线段(AB) 与较小线段(BC)的比例中项,这样的分割称为黄金分割。 帕普斯(Pappus)定理: 已知点A1、A2、A3在直线l1上,已知点B1、B2、B3在直线l2上,且A1 B2与A2 B1交于点X,A1B3与A3 B1交于点Y,A2B3于A3 B2交于 点Z,则X、Y、Z三点共线。 初中数学竞赛辅导资料(65) 图象法 甲内容提要 1. 在第45讲(一元二次方程)中,根据根的判别式和根与系数的关系,介绍了存在实数 根,有理数根,整数根的充分必要条件. 2. 要讨论两个实数根的符号,则可以建立不等式组.方程ax 2+bx+c=0中, ① 有两个实数根的充分必要条件是?? ?≥?≠0 a ②有两个正实数根的充要条件是?????? ??? >>≥?00-0a c a b (a ≠0包含在0 >a c 之中) ③有一正一负实数根的充要条件是 00均已包含在内) ④有一正一负实根且负根绝对值较大的充要条件是???????<-<00a b a c 3. 在较小区间内讨论实数根,则常利用图象来建立不等式组. 4. 一些含有绝对值符号的方程、不等式的题解,也可借助图象. 乙例题 例1..已知:方程7x 2-(k+13)x+k 2-k -2=0的两个实数根x 1,x 2满足:0 解这个不等式组得?? ? ??><<<->-<.30422 1k k k k k 或;;或 ∴原不等式组解集是 -2 初中数学竞赛辅导资料(12) 用交集解题 甲内容提要 1. 某种对象的全体组成一个集合.组成集合的各个对象叫这个集合的元素.例如6的正约数集合记作{6的正约数}={1,2,3,6},它有4个元素1,2,3,6;除以3余1的正整数集合是个无限集,记作{除以3余1的正整数}={1,4,7,10……},它的个元素有无数多个. 2. 由两个集合的所有公共元素组成的一个集合,叫做这两个集合的交集 例如6的正约数集合A ={1,2,3,6},10的正约数集合B ={1,2,5,10},6与10的公约数集合C ={1,2},集合C 是集合A 和集合B 的交集. 3. 几个集合的交集可用图形形象地表示, 右图中左边的椭圆表示正数集合, 右边的椭圆表示整数集合,中间两个椭圆 的公共部分,是它们的交集――正整数集. 不等式组的解集是不等式组中各个不等式解集的交集. 例如 不等式组? ??<->)2(2)1(62 x x 解的集合就是( ) 不等式(1)的解集x >3和不等式(2)的解集x >2的交集,x >3. 4.一类问题,它的答案要同时符合几个条件,一般可用交集来解答.把符合每个条件的所有的解(即解的集合)分别求出来,它们的公共部分(即交集)就是所求的答案. 有时可以先求出其中的一个(一般是元素最多)的解集,再按其他条件逐一筛选、剔除,求得答案.(如例2) 乙例题 例1. 一个自然数除以3余2,除以5余3,除以7余2,求这个自然数的最小值. 解:除以3余2的自然数集合A ={2,5,8,11,14,17,20,23,26,……} 除以5余3的自然数集B ={3,8,13,18,23,28,……} 除以7余2自然数集合C ={2,9,16,23,30,……} 集合A 、B 、C 的公共元素的最小值23就是所求的自然数. 例2. 有两个二位的质数,它们的差等于6,并且平方数的个位数字相同,求这两个数. 解: 二位的质数共21个,它们的个位数字只有1,3,7,9,即符合条件的质数它们的个位数的集合是{1,3,7,9}; 其中差等于6的有:1和7;3和9;13和7,三组; 平方数的个位数字相同的只有3和7;1和9二组. 同时符合三个条件的个位数字是3和7这一组 故所求质数是:23,17; 43,37; 53,47; 73,67共四组. 例3. 数学兴趣小组中订阅A 种刊物的有28人,订阅B 种刊物的有21人,其中6人两种都订,只有一人两种都没有订,问只订A 种、只订B 种的各几人?数学兴趣小组共有几人? 解:如图左、右两椭圆分别表示订阅A 种、B 种刊物的人数集合,则两圆重叠部分就是它们 初中数学竞赛重要定理、公式及结论 代数篇 【乘法公式】 完全平方公式:(a±b)2=a2±2ab+b2, 平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2, 立方和(差)公式:(a±b)(a2 ?ab+b2)=a3±b3 多项式平方公式:(a+b+c+d)2=a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd 二项式定理:(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3 (a±b)4=a4±4a3b+6a2b2±4ab3+b4) (a±b)5=a5±5a4b+10a3b2±10a2b3+5ab4±b5) ………… 在正整数指数的条件下,可归纳如下:设n为正整数(a+b)(a2n-1- a2n-2b+a2n-3b2- … +ab2n-2- b2n-1)=a2n-b2n(a+b)(a2n-a2n-1b+a2n-2b2n-…-ab2n-1+b2n)=a2n+1+b2n+1 类似地:(a-b)(a n-1+a n-2b+a n-3b2+…+ab n-2+b n-1)=a n-b n 公式的变形及其逆运算 由(a+b)2=a2+2ab+b2得a2+b2=(a+b)2-2ab 由(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+b3+3ab(a+b) 得a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b) 由公式的推广③可知:当n为正整数时 a n- b n能被a-b 整除,a2n+1+b2n+1能被a+b整除,a2n-b2n能被a+b 及a-b整除。重要公式(欧拉公式) (a+b+c)(a2+b2+c2+ab+ac+bc)=a3+b3+c3-3abc 【综合除法】一个一元多项式除以另一个一元多项式,并不是总能整除。当被 除式f(x)除以除式g(x),(g(x)≠0) 得商式q(x)及余式r(x)时,就有下列等式: f(x)=g(x)q(x)-r(x) 其中r(x)的次数小于g(x)的次数,或者r(x)=0。当r(x)=0时,就是f(x)能被g(x)整除。 【余式定理】多项式f(x)除以x-a所得的余数等于f(a)。 【因式分解方法】拆项、添项、配方、待定系数法、求根法、对称式和轮换对称式等。 【部分分式】把一个分式写成几个简单分式的代数和,称为将分式化为部分分式,它是分式运算的常用技巧。分式运算的技巧还有:换元法、整体法、逐项求和、拆项求和等。 【素数和合数】2是最小的素数,也是唯一的一个既是偶数又是素数的数. 初中数学竞赛专题选讲 识图 一、内容提要 1.几何学是研究物体形状、大小、位置的学科。 2.几何图形就是点,线,面,体的集合。点是组成几何图形的基本元素。《平面几何学》只研究在同一平面内的图形的形状、大小和相互位置。 3.几何里的点、线、面、体实际上是不能脱离物体而单独存在的。因此单独研究点、线、面、体,要靠正确的想像 点:只表示位置,没有大小,不可再分。 线:只有长短,没有粗细。线是由无数多点组成的,即“点动成线”。面:只有长、宽,没有厚薄。面是由无数多线组成的,“线动成面”。4.因为任何复杂的图形,都是由若干基本图形组合而成的,所以识别图形的组合关系是学好几何的重要基础。 识别图形包括静止状态的数一数,量一量,比一比,算一算;运动状态中的位置、数量的变化,图形的旋转,摺叠,割补,并合,比较等。还要注意一般图形和特殊图形的差别。 二、例题 例1.数一数甲图中有几个角(小于平角)?乙图中有几个等腰三角形?丙图中有几全等三角形?丁图中有几对等边三角形? E 解:甲图中有10个角:∠AOB, ∠AOC,∠BOC,∠BOD,∠COD, ∠COE,∠DOE,∠DOA,∠EOA,∠EOB.如果OA和OC成一直线,则少一个∠AOC,余类推。 乙图中有5个等腰三角形:△ABC,△ABD,△BDC,△BDE,△DEC 丙图中有全等三角形4对:(设AC和DB相交于O) △AOB≌△COD,△AOD≌△BOC,△ABC≌△CDA,△BCD≌△DAB。 丁图中共有等边三角形48个: 边长1个单位:顶点在上▲的个数有 1+2+3+4+5=15 顶点在下▼的个数有 1+2+3+4=10 边长2个单位:顶点在上▲的个数有 1+2+3+4=10 顶点在下▼的个数有 1+2=3 边长3个单位:顶点在上▲的个数有 1+2+3=6 边长4个单位:顶点在上▲的个数有 1+2=3 边长5个单位:顶点在上▲的个数有 1 以上要注意数一数的规律 例2.设平面内有6个点A 1,A 2,A 3,A 4,A 5,A 6,其中任意3个点都不在同 一直线上,如果每两点都连成一条线,那么共有线段几条?如果要使图形不 出现有4个点的两两连线,那么最多可连成几条线段?试画出图形。 (1989年全国初中数学联赛题) 解:从点A 1与其他5点连线有5条,从点A 2与其他4点(A 1除外)连线 有4条,从A 3与其他3点连线有3条(A 1,A 2除外)……以此类推,6个 点两两连线共有线段1+2+3+4+5=15(条),或用每点都与其他5点 连线共5×6再除以2(因重复计算)。 要使图形不出现有4个点的两两连线,那么每点只能与其他4个点连线, 共有(6×4)÷2=12(条)如下图:其中有3对点不连线:A 1A 4,A 2A 5, A 3A 6 A 3 1 2 例3.如图水平线与铅垂线相交于O ,某甲沿水平线,某乙铅垂线同时匀速 前进,当甲在O 点时,乙离点O 为500米,2分钟后,甲、乙离点O 相 等;又过8分钟,甲、乙再次离点O 相等。求甲和乙的速度比。 解:如图设甲0,乙0为开始位置,甲1,乙1为前进2分钟后位置,甲2,乙2 乙2 为再前进8分钟的位置。再设甲,乙的速度分别为每分钟x,y 米,根据题意得 ? ??-=-=500101025002y x y x 甲 O 甲1 甲2 解得12x=8y 乙1 ∴x ∶y=2∶3 初中数学竞赛辅导资料之因式分解 甲内容提要和例题 我们学过因式分解的四种基本方法:提公因式法,运用公式法,十字相乘法,分组分解法。下面再介紹两种方法 1.添项拆项。是.为了分组后,能运用公式(包括配方)或提公因式 例1因式分解:①x4+x2+1②a3+b3+c3-3abc ①分析:x4+1若添上2x2可配成完全平方公式 解:x4+x2+1=x4+2x2+1-x2=(x2+1)2-x2=(x2+1+x)(x2+1-x) ②分析:a3+b3要配成(a+b)3应添上两项3a2b+3ab2 解:a3+b3+c3-3abc=a3+3a2b+3ab2+b3+c3-3abc-3a2b-3ab2 =(a+b)3+c3-3ab(a+b+c) =(a+b+c)[(a+b)2-(a+b)c+c2]-3 ab(a+b+c) =(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc) 例2因式分解:①x3-11x+20②a5+a+1 ①分析:把中项-11x拆成-16x+5x 分别与x5,20组成两组,则有公因式可提。(注意这里 16是完全平方数) ②解:x3-11x+20=x3-16x+5x+20=x(x2-16)+5(x+4) =x(x+4)(x-4)+5(x+4) =(x+4)(x2-4x+5) ③分析:添上-a2和a2两项,分别与a5和a+1组成两组,正好可以用立方差公式 解:a5+a+1=a5-a2+a2+a+1=a2(a3-1)+ a2+a+1 =a2(a-1)( a2+a+1)+ a2+a+1= (a2+a+1)(a3-a2+1) 2.运用因式定理和待定系数法 定理:⑴若x=a时,f(x)=0, [即f(a)=0],则多项式f(x)有一次因式x-a ⑵若两个多项式相等,则它们同类项的系数相等。 例3因式分解:①x3-5x2+9x-6②2x3-13x2+3 B 14. ⊙O 的直径AB=4cm,A C 是⊙O 的弦,030,BAC O D AC ∠=⊥于 E ,则阴影部分面积为 cm 2 第12题图 第14题图 第15题图 15. 如图,已知双曲线()011>= x x y ,()042>=x x y ,点P 为双曲线x y 42=上的一点,且PA⊥x 轴于点A ,PB⊥y 轴于点B ,PA 、PB 分别交双曲线x y 11=于D 、C 两点,则△PCD 的面积为 16. 如图,抛物线y=ax 2+bx+c(与x 轴的一个交点A 在点 (-2,0)和(-1,0)之间(包括这两点),顶点C 是 矩形DEFG 上(包括边界和内部)的一个动点, 则a 的取值范围是 . 三. 全面答一答(本题有8个小题,共66分) 解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤。如果觉得有的题目有点困难,那么把自己能写出的解答写出一部分也可以。 17. (本小题满分6分) 已知二次函数y =ax 2+bx -3的图象经过点A (2,-3),B (-1,0). (1)求二次函数的解析式; (2)要使该二次函数的图象与x 轴只有一个交点,应把图象沿y 轴向上平移几个单位? 18. (本小题满分6分)已知⊙O1与⊙O2交于A 、B ,AC 、AD 是两圆的 直径.求证:C 、B 、D 在同一条直线上. 19. (本小题满分6分) 如图,已知点A (-4,2)、B (n ,-4)是一次函数y=kx+b 的图象与反 比例函数x m y =图象的两个交点. (1)求此反比例函数的解析式和点B 的坐标; (2)根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数值的x 的取值范围. 20. (本小题满分8分) 为了迎接我校新校区的建成,学校对中心花坛进行了改造,改造后安装了一个大理石 初中数学竞赛常用公式Last revision on 21 December 2020 初中数学常用公式 1 过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短 7 平行公理经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行,这两条直线也互相平行 9 同位角相等,两直线平行 10 内错角相等,两直线平行 11 同旁内角互补,两直线平行 12两直线平行,同位角相等 13 两直线平行,内错角相等 14 两直线平行,同旁内角互补 15 定理:三角形两边的和大于第三边 16 推论:三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理:三角形三个内角的和等于180° 18 推论1:直角三角形的两个锐角互余 19 推论2:三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论3:三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等 22边角边公理(SAS):有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理( ASA):有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论(AAS):有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理(SSS):有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边、直角边公理(HL):有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理1:在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理2:到一个角的两边的距离相同的点,在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30 等腰三角形的性质定理:等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角) 31 推论1:等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 33 推论3:等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于60° 34 等腰三角形的判定定理:如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(等角对等边) 35 推论1:三个角都相等的三角形是等边三角形 36 推论 2:有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 37 在直角三角形中,如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 39 定理:线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 40 逆定理:和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上 41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合 42 定理1:关于某条直线对称的两个图形是全等形 43 定理 2:如果两个图形关于某直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平分线 44定理3:两个图形关于某直线对称,如果它们的对应线段或延长线相交,那么交点在对称轴上 45逆定理:如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称 初三数学竞赛选拔试题(含答案)-初中三年级数学试题练习、期中期末试卷、测验题、复习 资料-初中数学试卷-试卷下载 初三数学竞赛选拔试题 一、选择题: (每小题5分,共35分) 1 .2003减去它的,再减去剩余的再减去剩余的……依次类推,一直减去剩余的则最后剩下的数是(B) (A) (B)1 (C) (D)无法计算 2. 若x3+ax2+bx+8有两个因式x+1和x+2,则a+b的值是(D) (A)7(B)8(C)15(D)21 3. ΔABC的周长是24,M是AB的中点,MC=MA=5,则ΔABC的面积是(C ) (A)12(B)16(C)24(D)30 4. DE为∆ABC中平行于AC的中位线,F为DE中点,延长AF交BC于G,则∆ABG 与∆ACG的面积比为(A) (A)1:2(B)2:3(C)3:5(D)4:7 5. 三角形三条高线的长为3,4,5,则这三角形是(C) (A)锐角三角形(B)直角三角形(C)钝角三角形(D)形状不能确定 6. 已知关于x的方程有不同的实数根,其中m为整数,且仅有一个实根的整数部分是2,则m的值为(A) (A)–2(B)–3(C)–2或–3(D)不存在 7. 在凸四边形ABCD中,DA=DB=DC=BC,则这个四边形中最大角的度数是( A) (A)120º(B)135º(C)150º(D)165º 二、填空题: (每小题5分,共35分) 1. 若在方程y(y+x)=z+120 中,x,y,z都是质数,而z是奇数,则x= 2 .y= 11 .z= 23. 2. 将2003x2-(20032-1)x-2003 因式分解得 (x-2003)(2003x+1). 3.正三角形ABC所在平面内有一点P,使得⊿PAB、⊿PBC、⊿PCA都是等腰三角形,则这样的P 点有 10个 4.已知直角梯形ABCD中,AD⊿BC,AB=BC,⊿A=,⊿D=,CD的垂直平分线交CD于E,交BA于的延长线于F,若AD=9,则BF=9; 5.已知四边形的四个顶点为A(8,8),B(-4,3),C(-2,-5),D(10,-2),则四边形在第一象限内的部分的面积是 6.小明和小刚在长90米的游泳池的对边上同时开始游泳,小明每秒游3米,小刚每秒游2米,他们来回游了12分钟,若不计转向的时间,则他们交汇的次数是20。 7.一副扑克牌有54张,最少抽取16张,方能使其中至少有2张牌有相同的点数? 三、(本题满分15分) 下表是某学校参加一次数学竞赛中参赛同学做对题目的情况记录表,第一行的值表示做对的题目的题数,第二行的值表示做对相应题目的同学人数。 做对的题数 0 1 初中数学竞赛常用公式内部编号:(YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128) 初中数学常用公式 1 过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短 7 平行公理经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行,这两条直线也互相平行 9 同位角相等,两直线平行 10 内错角相等,两直线平行 11 同旁内角互补,两直线平行 12两直线平行,同位角相等 13 两直线平行,内错角相等 14 两直线平行,同旁内角互补 15 定理:三角形两边的和大于第三边 16 推论:三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理:三角形三个内角的和等于180° 18 推论1:直角三角形的两个锐角互余 19 推论2:三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论3:三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等 22边角边公理(SAS):有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理( ASA):有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论(AAS):有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理(SSS):有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边、直角边公理(HL):有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理1:在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理2:到一个角的两边的距离相同的点,在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30 等腰三角形的性质定理:等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角) 31 推论1:等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 33 推论3:等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于60° 34 等腰三角形的判定定理:如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(等角对等边) 35 推论1:三个角都相等的三角形是等边三角形 36 推论 2:有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 37 在直角三角形中,如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 39 定理:线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 40 逆定理:和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上 41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合 42 定理1:关于某条直线对称的两个图形是全等形 43 定理 2:如果两个图形关于某直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平分线初中数学竞赛专题选讲《观察法》
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