北师大版数学必修一第1章 1

第一章 §1

A 级 基础巩固

1．下列对象能构成集合的是导学号 00814017( D ) A ．江西某中学所有有爱心的女生 B ．青岛某中学部分特长生 C ．中国的著名歌唱家 D ．大于π的自然数

[解析] A 中“有爱心”的标准不明确，B 中“部分”不明确，C 中“著名歌唱家”的标准不明确，D 中π≈3.14，所以大于π的自然数为4,5,6，….

2．集合M 是由大于－2且小于1的实数构成的，则下列关系式正确的是导学号 00814018( D )

A ．5∈M

B ．0?M

C ．1∈M

D ．－π

2

∈M

[解析] 5>1，故A 错；－2<0<1，故B 错；1不小于1，故C 错；－2<－π

2

<1，故D

正确．

3．由x 2，x 组成一个集合A ，A 中含有2个元素，则实数x 的取值可以是导学号 00814019( B )

A ．0

B ．－1

C ．1

D ．－1或1 [解析] 验证法：若x ＝0时，x 2＝0，不合题意； 若x ＝1时，x 2＝1，不合题意；

若x ＝－1时，x 2＝1，符合题意，故选B ． 4．给出下列语句： ①N 中最小的元素是1； ②若a ∈N ，则－a ?N ；

③若a ∈N ，b ∈N ，则a ＋b 的最小值是2； ④0∈?.

其中正确语句的个数为导学号 00814020( A ) A ．0 B ．1 C ．2

D ．3

[解析] 自然数集中最小的元素是0，故①③不正确；对于②，若a ∈N ，即a 是自然数，当a ＝0时，－a 仍为自然数，所以②也不正确；空集不含有任何元素，所以④不正确．故选A ．

5．若集合{a ，b ，c }中的元素是△ABC 的三边长，则△ABC 一定不是导学号 00814021( B )

A ．锐角三角形

B ．等腰三角形

C ．钝角三角形

D ．直角三角形

[答案] B

[解析] 根据集合中元素的互异性，可知三角形的三边长不相等，故选B ．

6．若集合A ＝{x ∈R |ax 2＋ax ＋1＝0}中只有一个元素，则a ＝导学号 00814022( A ) A ．4 B ．2 C ．0

D ．0或4 [解析] 本题考查分类讨论思想及一元二次方程问题．若a ＝0，则有1＝0显然不成立；若a ≠0，则有a 2－4a ＝0即a ＝0或a ＝4，所以a ＝4.

7．用符号“∈”或“?”填空：导学号 00814023 (1)3_∈__R; (2)1

4_∈__Q ；

(3)2_∈__N ＋； (4)0.3_?__Z . [解析] (1)∵3是实数，∴3∈R ； (2)∵14是有理数，∴1

4∈Q ；

(3)∵N ＋是正整数集，∴2∈N ＋； (4)∵0.3是小数，∴0.3?Z .

8．方程ax 2＋5x ＋c ＝0的解集是{12，1

3}，则a ＝_－6__，c ＝_－1__.导学号 00814024

[解析] 依题意得－5a ＝12＋13且c a ＝12×1

3

，解得a ＝－6，c ＝－1.

9．集合A ＝{x |kx 2－8x ＋16＝0}，若集合A 中只有一个元素，试求实数k 的值，并用列

举法表示集合A．导学号00814025

[解析]当k＝0时，原方程变为－8x＋16＝0，

解得x＝2.

此时集合A＝{2}．

当k≠0时，要使一元二次方程kx2－8x＋16＝0有两个相等的实根，只需Δ＝64－64k ＝0，即k＝1.

此时方程的解为x1＝x2＝4，集合A＝{4}，满足题意．

综上所述，实数k的值为0或1.

当k＝0时，A＝{2}；当k＝1时，A＝{4}．

10．设A＝{2,3，a2＋2a－3}，B＝{|a＋3|,2}，已知5∈A，且5?B，求a的值.导学号00814026

[解析]∵5∈A，∴a2＋2a－3＝5.

∴a＝2或a＝－4.

又∵5?B，∴|a＋3|≠5.

∴a≠2且a≠－8.

∴a＝－4.

B级素养提升

1．由a2,2－a,4组成一个集合A，A中含有3个元素，则实数a的取值可以是导学号00814027(C)

A．1 B．－2

C．6 D．2

[解析]解法1：验证法：若a＝1时，a2＝1,2－a＝1，不满足集合中元素的互异性；若a＝－2或2时，a2＝4，也不满足集合中元素的互异性，故a＝6，选C．解法2：直接法：由集合中元素的互异性可知，a2≠4，

∴a≠±2.

又a2≠2－a，∴a2＋a－2≠0，

∴a ≠1且a ≠－2，故选C ．

2．已知集合A ＝{0,1,2}，则集合B ＝{x －y |x ∈A ，y ∈A }中元素的个数是导学号 00814028( C )

A ．1

B ．3

C ．5

D ．9

[解析] ∵x ∈A ，y ∈A ，

当x ＝0时，由y ＝0,1,2得，x －y ＝0，－1，－2； 当x ＝1时，由y ＝0,1,2得，x －y ＝1,0，－1； 当x ＝2时，由y ＝0,1,2得，x －y ＝2,1,0.

由集合中元素的互异性可知，B ＝{－2，－1,0,1,2}中共5个元素．

3．集合{14，25，12，47，58}可用特征性质描述法表示为__{x |x ＝n

n ＋3，n ∈N ＋，

n ≤5}__.导学号 00814029

[解析] 将分母改写为连续自然数，考虑分子与分母间的关系.14、25、36、47、58，可得n

n ＋3，

n ∈N ＋，n ≤5.

4．设－5∈{x |x 2－ax －5＝0}，则集合{x |x 2－4x －a ＝0}中所有元素之和为_2__.导学号 00814030

[解析] ∵－5是方程x 2－ax －5＝0的根， ∴25＋5a －5＝0， ∴a ＝－4，

∴x 2－4x －a ＝x 2－4x ＋4＝0， ∴x ＝2，∴该集合中所有元素之和为2.

5．用另一种方法表示下列集合.导学号 00814031 (1){－3，－1,1,3,5}； (2){x ||x |≤3，x ∈Z }； (3){1,22,32,42，…}；

(4)已知M ＝{2,3}，P ＝{(x ，y )|x ∈M ，y ∈M }，写出集合P ； (5)集合A ＝{x ∈Z |－2≤x ≤2}，B ＝{x 2－1|x ∈A }，写出集合B ．

[解析](1){x|x＝2k－1，k∈Z且－1≤k≤3}．

(2){－3，－2，－1,0,1,2,3}．

(3){x|x＝n2，n∈N＋}．

(4)P＝{(2,2)，(3,3)，(2,3)，(3,2)}．

(5)A＝{－2，－1,0,1,2}，

所以B＝{3,0，－1}．

6．下列三个集合：导学号00814032

①{x|y＝x2＋1}；

②{y|y＝x2＋1}；

③{(x，y)|y＝x2＋1}．

(1)它们是不是相同的集合？

(2)它们的各自含义是什么？

[解析](1)它们是不相同的集合．

(2)集合①是函数y＝x2＋1的自变量x所允许的值组成的集合．因为x可以取任意实数，所以{x|y＝x2＋1}＝R.

集合②是函数y＝x2＋1的所有函数值y组成的集合．

由二次函数图像知y≥1，

所以{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}．

集合③是函数y＝x2＋1图像上所有点的坐标组成的集合．

C级能力拔高

集合A＝{x|x＝3n＋1，n∈Z}，B＝{x|x＝3n＋2，n∈Z}，C＝{x|x＝6n＋3，n∈Z}.导学号00814033

(1)若c∈C，是否存在a∈A，b∈B，使c＝a＋b成立？

(2)对于任意a∈A，b∈B，是否一定有(a＋b)∈C？请证明你的结论．

[解析](1)令c＝6m＋3，则c＝3m＋1＋3m＋2(m∈Z)．令a＝3m＋1，b＝3m＋2，则c ＝a＋b，故若c∈C，一定有a∈A，b∈B，使c＝a＋b成立．

(2)不一定有(a＋b)∈C．证明如下：

设a＝3m＋1，b＝3n＋2，m，n∈Z，则a＋b＝3(m＋n)＋3，因此当m＋n＝2k(k∈Z)时，a＋b＝6k＋3∈C；当m＋n＝2k＋1(k∈Z)时，a＋b＝6k＋6?C．