极坐标系
鸡西市第十九中学学案
(2)已知M 的极坐标为（ρ，θ）且，ρR ∈，说明满足上述条件的点M 训练
1、 若ABC ?的的三个顶点为),6
7,3(),65,8(5(判断三角形的形状ππC B A
高中数学选修4--4简单曲线的极坐标方程教案
三 简单曲线的极坐标方程 课 题: 1、圆的极坐标方程 教学目标： 1、掌握极坐标方程的意义 2、能在极坐标中给出简单图形的极坐标方程 教学重点、极坐标方程的意义 教学难点：极坐标方程的意义 教学方法：启发诱导，讲练结合。 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 问题情境 1、直角坐标系建立可以描述点的位置极坐标也有同样作用？ 2、直角坐标系的建立可以求曲线的方程 极坐标系的建立是否可以求曲线方程？ 学生回顾 1、直角坐标系和极坐标系中怎样描述点的位置？ 2、曲线的方程和方程的曲线（直角坐标系中）定义 3、求曲线方程的步骤 4、极坐标与直角坐标的互化关系式: 二、讲解新课： 1、引例．如图，在极坐标系下半径为a 的圆的圆心坐标为 (a ,0)(a >0)，你能用一个等式表示圆上任意一点， 的极坐标(ρ,θ)满足的条件？ 解：设M (ρ,θ)是圆上O 、A 以外的任意一点，连接AM ， 则有：OM=OAcos θ，即：ρ＝2acos θ ①， 2、提问：曲线上的点的坐标都满足这个方程吗？ 可以验证点O(0,π/2)、A(2a ,0)满足①式. 等式①就是圆上任意一点的极坐标满足的条件. 反之，适合等式①的点都在这个圆上. 3、定义：一般地，如果一条曲线上任意一点都有一个极坐标适合方程 0),(=θρf 的点在曲线上，那么这个方程称为这条曲线的极坐标方程，这条曲线称为这个极坐标方程的曲线。 例1、已知圆O 的半径为r ，建立怎样的坐标系， 可以使圆的极坐标方程更简单？ ①建系； ②设点；M （ρ，θ） ③列式；OM ＝r ， 即：ρ＝r
④证明或说明. 变式练习：求下列圆的极坐标方程 (１)中心在Ｃ(a ,0)，半径为a ； (２)中心在(a,π/2)，半径为a ； (３)中心在Ｃ(a ,θ０)，半径为a 答案：(1)ρ＝2acos θ (2) ρ＝2asin θ (3)0cos()a ρθθ-＝２ 例2．（1）化在直角坐标方程0822=-+y y x 为极坐标方程， （2）化极坐标方程)3cos(6π θρ-= 为直角坐标方程。 三、课堂练习： 1.以极坐标系中的点(1,1)为圆心，1为半径的圆的方程是 (C) ()() .2cos .2sin 44.2cos 1.2sin 1A B C D ππρθρθρθρθ????=-=- ? ?? ?? ?=-=- 2.极坐标方程分别是ρ＝cos θ和ρ＝sin θ的两个圆的圆心距是多少？ 2 sin (4)π πρθρθρθρ3．说明下列极坐标方程表示什么曲线 (1)＝２cos(-) (2)＝cos(-)4 3 (3)＝3 ＝６ 2222423020x y x y x y x y x +-+==+==．填空： (1)直角坐标方程的 极坐标方程为＿＿＿＿＿＿＿ (2)直角坐标方程－＋１的极坐标方程为＿＿＿＿＿＿＿ (3)直角坐标方程９的极坐标方程为＿＿＿＿＿ (4)直角坐标方程３的极坐标方程为＿＿＿＿＿＿＿ 四、课堂小结： 1．曲线的极坐标方程的概念． 2．求曲线的极坐标方程的一般步骤． 五、课外作业：教材28P 1，2 1．在极坐标系中，已知圆C 的圆心)6 ,3(π C ，半径3=r ， （1）求圆C 的极坐标方程。 （2）若Q 点在圆C 上运动，P 在OQ 的延长线上，且2:3:=OP OQ ，求动点P 的轨迹方程。
最新极坐标练习题(含详细答案)
1．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换?? ? x ′＝5x ，y ′＝3y 后，曲线C 变为曲线 x ′2＋y ′2＝1，则曲线C 的方程为( ) A ．25x 2 ＋9y 2 ＝1 B ．9x 2 ＋25y 2 ＝1 C ．25x ＋9y ＝1 D.x 225＋y 2 9＝1 2．极坐标方程ρ＝cos θ化为直角坐标方程为( ) A ．(x ＋12)2＋y 2＝1 4 B ．x 2 ＋(y ＋12)2＝1 4 C ．x 2＋(y －12)2＝1 4 D ．(x －12)2＋y 2＝1 4 答案 D 解析 由ρ＝cos θ，得ρ2＝ρcos θ，∴x 2＋y 2＝x .选D. 3．极坐标方程ρcos θ＝2sin2θ表示的曲线为( ) A ．一条射线和一个圆 B ．两条直线 C ．一条直线和一个圆 D ．一个圆 答案 C 4．在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是( ) A ．(1，π 2) B ．(1，－π 2) C ．(1,0) D ．(1，π) 答案 B 解析 由ρ＝－2sin θ，得ρ2＝－2ρsin θ，化为普通方程x 2＋(y ＋1)2＝1，其圆心坐标为(0，－1)，所以其极坐标为(1，－π 2)，故应选B. 5．设点M 的直角坐标为(－1，－3，3)，则它的柱坐标为( ) A ．(2，π 3，3) B ．(2，2π 3，3) C ．(2，4π 3，3) D ．(2，5π 3，3) 答案 C 6．(2013·安徽)在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为( )
A．θ＝0(ρ∈R)和ρcosθ＝2 B．θ＝π 2(ρ∈R)和ρcosθ＝2 C．θ＝π 2(ρ∈R)和ρcosθ＝1 D．θ＝0(ρ∈R)和ρcosθ＝1 答案 B 解析由题意可知，圆ρ＝2cosθ可化为普通方程为(x－1)2＋y2＝1. 所以圆的垂直于x轴的两条切线方程分别为x＝0和x＝2，再将两条切线方 程化为极坐标方程分别为θ＝π 2(ρ∈R)和ρcosθ＝2，故选B. 7．在极坐标系中，过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是() A．ρ＝cosθB．ρ＝sinθ C．ρcosθ＝1 D．ρsinθ＝1 答案 C 解析过点(1,0)且与极轴垂直的直线，在直角坐标系中的方程为x＝1，所以其极坐标方程为ρcosθ＝1，故选C. 8．(2013·天津)已知圆的极坐标方程为ρ＝4cosθ，圆心为C，点P的极坐标 为(4，π 3)，则|CP|＝________. 答案2 3 解析由圆的极坐标方程为ρ＝4cosθ，得圆心C的直角坐标为(2,0)，点P 的直角坐标为(2,23)，所以|CP|＝2 3. 9．(2014·唐山一中)在极坐标系中，点P(2，－π 6)到直线l：ρsin(θ－π 6)＝1的 距离是________． 答案3＋1 解析依题意知，点P(3，－1)，直线l为x－3y＋2＝0，则点P到直线
极坐标系教学设计
极坐标系(谷杨华) 一、教学目标 （一）核心素养 通过这节课学习，认识极坐标系、能在极坐标系下用极坐标表示点的位置，会进行极坐标和直角坐标的互化，在直观想象、数学抽象中感受极坐标的特点． （二）学习目标 1．通过实例，认识极坐标系，体会用极坐标表示点的特点． 2．了解用极坐标系表示点的不唯一性． 3．能进行极坐标系与平面直角坐标系的互化，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别． （三）学习重点 1．认识极坐标系的重要性． 2．用极坐标刻画点的位置． 3．会进行极坐标与直角坐标的互化． （四）学习难点 1．理解用极坐标刻画点的位置的基本思想． 2．认识点与极坐标之间的对应关系． 二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务 （1）读一读：阅读教材第8页至第11页，填空： 极坐标系的建立：在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系． 极坐标系内一点的极坐标的规定：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ.有序数对 ),(θρ叫做点M ),(θρ0≥ρ，θ可取任意 实数． （2）想一想：点与极坐标有什么关系 一般地，极坐标),(θρ与)2,(πθρk +)(Z k ∈表示同一个点．特别地，极点O 的坐标为 ))(,0(R ∈θθ．
如果规定πθρ20,0<≤>，那么除极点外，平面内的点可用惟一的极坐标),(θρ表示；同时，极坐标),(θρ表示的点也是惟一确定的． （3）写一写：极坐标系与直角坐标系如何转化 把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度.设 M 是平面内任意一点,它的直角坐标是),(y x ，极坐标是),(θρ，则： =x θρcos ， =y θρsin =2ρ22y x +， = θtan )0(≠x x y 2．预习自测 （1）在极坐标系中，下列各点中与)3,2(π 表示的不是同一个点的是( ) A ．)35,2(π- B ．)37,2(π C ．)35,2(π D ．)3 13,2(π 【知识点】极坐标系 【解题过程】由于极坐标),(θρ与)2,(πθρk +)(Z k ∈表示同一个点，检验得，选项C 不是同一个点 【思路点拨】根据点的极坐标定义代入验证可得 【答案】C （2）已知点A 的直角坐标为)2,0(，则点A 的极坐标为（ ） A ．)2,2(π B ．)0,2( C ．)2,2(π D ．)2,2(π - 【知识点】极坐标与直角坐标互化 【解题思路】根据极坐标与直角坐标互化公式可得：22022=+=ρ，显然2 π θ= 【思路点拨】由极坐标与直角坐标互化可得 【答案】A （3）已知点M 的极坐标为)4,3(π ，则点M 的直角坐标为（ ） A ．)3,3( B ．)223,223( C ．)2 3 3,23( D ．)33,3( 【知识点】极坐标与直角坐标互化 【解题思路】根据极坐标与直角坐标互化公式可得：2 2 3sin ,223cos = ===θρθρy x 【思路点拨】由极坐标与直角坐标互化可得
直角坐标与极坐标的区别与转换
直角坐标 直角坐标系在数学中应用广泛，是数学大厦最重要的根基之一。 在平面内画两条 直角坐标 直角坐标 互相垂直，并且有公共原点的数轴。其中横轴为X轴，纵轴为Y轴。这样我们就说在平面上建立了平面直角坐标系，简称直角坐标系。 直角坐标中的点 直角坐标中的点 坐标：对于平面内任意一点C，过点分C别向X轴、Y轴作垂线，垂足在X 轴、Y轴上的对应点a,b分别叫做点C的横坐标、纵坐标，有序数对（a,b）叫做点C的坐标。坐标平面：坐标系所在平面。 坐标原点：两坐标轴的公共原点。 象限：X轴和Y轴把坐标平面分成四个象限，右上面的叫做第一象限，其他三个部分按逆时针方向依次叫做第二象限、第三象限和第四象限。象限以数轴为界，横轴、纵轴上的点不属于任何象限。
极坐标 极坐标系 polar coordinates 在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系。在平面上取定一点O，称为极点。从O出发引一条射线Ox，称为极轴。再取定一个长度单位，通常规定角度取逆时针方向为正。这样，平面上任一点P的位置就可以用线段OP的长度ρ以及从Ox到OP 的角度θ来确定，有序数对（ρ，θ）就称为P点的极坐标，记为P（ρ，θ）；ρ称为P 点的极径，θ称为P点的极角。当限制ρ≥0，0≤θ<2π时，平面上除极点Ο以外，其他每一点都有唯一的一个极坐标。极点的极径为零，极角任意。若除去上述限制，平面上每一点都有无数多组极坐标，一般地，如果（ρ，θ）是一个点的极坐标，那么（ρ，θ+2nπ），（－ρ，θ+（2n+1）π），都可作为它的极坐标，这里n 是任意整数。平面上有些曲线，采用极坐标时，方程比较简单。例如以原点为中心，r为半径的圆的极坐标方程为ρ=r 等速螺线的极坐标方程为ρ=aθ 。此外，椭圆、双曲线和抛物线这3种不同的圆锥曲线，可以用一个统一的极坐标方程表示。 极坐标系到直角坐标系的转化： 在极坐标系与平面直角坐标系（笛卡尔坐标系）间转换极坐标系中的两个坐标ρ和θ可以由下面的公式转换为直角坐标系下的坐标值 x=ρcosθ y=ρsinθ 由上述二公式，可得到从直角坐标系中x和y两坐标如何计算出极坐标下的坐标θ=arctany/x ( x不等于0) 在x= 0的情况下：若y为正数θ= 90° (π/2 radians)；若y为负，则θ= 270° (3π/2 radians). 极坐标的方程 用极坐标系描述的曲线方程称作极坐标方程，通常表示为r为自变量θ的函数。 极坐标方程经常会表现出不同的对称形式，如果r(?θ) = r(θ)，则曲线关于极点
举例浅谈斜坐标系的应用
举例浅谈斜坐标系的应用 少二（1）邱天异 平面上的斜坐标系不同于平面直角坐标系，组成它的两条数轴不一定互相垂直。下面将从两个例子来看斜坐标系的应用。 一：六边形镶嵌 在如图的正六边形组成的平面镶嵌中，假定六边形对边中点连线长度为2。 解： 如图，建立一个坐标系，其中的坐标轴夹30°角。 定义一个点P的坐标为： 过点P作x轴的平行线，与y轴交于点A。 记点A在y轴（y轴看成是数轴）上的对应数值是a； 用类似的方法，做y轴平行线，与x轴交于B，B在x轴上的对应数值是b。 那么，P的坐标记作(a,b)。 如图，过A作两坐标轴平行线，分别交另一坐标轴于P , Q。 易知AP=4,AQ=4 ∴A(-4,4) 易知B在y轴上，OB=2 ∴B(0,2) 往上走一格，横坐标减4，纵坐标加4； 往右上走一格，纵坐标加2。 所以，此人的位置是(-12,16) 如果使用平面直角坐标系解决这个问题，需要了解特殊三角形的三边之比，还需要进行带根号的计算。在这个例子中，我们看到，利用斜坐标系来贴合题目的特征，某些时候可以避免分数、实数计算，大大减小计算的复杂性和难度。
二：目视确定位置 人眼观察物体的原理，是从两个不同方向（左右眼）观察同一个物体，综合所得结果而找到最终实际位置。其实，从一个方向观察一个物体，相当于用平行光作出它的一个投影。我们逆向研究这个问题，抽象后如下: 在前一个问题中，我们考虑了往某一个方向前进1单位时，坐标的增量，例如，往六边形的上方前进一单位的增量是(-4,4)，右上方则是(0,2)。我们也发现这个“增量”是可以叠加的，例如往上前进1单位，再往右上前进1单位，总的增量就是(-4,6)。 直接求在OA 、OB 组成的斜坐标系中的“增量”较为困难，尝试逆向求解。 考虑在平面直角坐标系中的“增量”，则读图易知： 往OB 方向前进个单位(从P 到P')的增量是(1,b) 往OA 方向前进个单位(从P 到P'')的增量是(1,a) 那么可以看作P 从原点O 开始，沿OA 走了BP 单位，沿OB 走了AP 单位，到达(c,d)。所以可以列方程求解AP 、BP 。 解：设AP=x ，BP=y ，记k 1=, ,k 2= 。 由题意得 解得 答句略去。 x
高中数学第一讲坐标系四柱坐标系与球坐标系简介1柱坐标系学案含解析新人教A版选修4_4
1．柱坐标系 柱坐标系 (1)定义：建立空间直角坐标系Oxyz ，设P 是空间任意一点，它在Oxy 平面上的射影为 Q ，用(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ＜2π)表示点Q 在平面Oxy 上的极坐标，这时点P 的位置可用有 之间的)z ，θ，ρ(表示．这样，我们建立了空间的点与有序数组R)∈z ()z ，θ，ρ(序数组一种对应关系．把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(ρ，θ，z )叫做点 R. ∈z ，2π＜θ≥0,0≤ρ，其中)z ，θ，ρ(P 的柱坐标，记作P (2)空间点P 的直角坐标(x ，y ，z )与柱坐标(ρ，θ，z )之间的变换公式为 ???? ? x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z. 由公式求出ρ，再由tan θ＝y x 求θ. 由公式???? ? x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， z ＝z ， 得ρ2＝x 2＋y 2 ， 即ρ2 ＝12 ＋(3)2 ＝4，∴ρ＝2. tan θ＝y x ＝3， 又x >0，y >0，点在第一象限．∴θ＝π 3 ， ∴点A 的柱坐标为? ?? ??2，π3，5. 已知点的直角坐标，确定它的柱坐标关键是确定ρ和θ，尤其是θ，要注意求出tan θ后，还要根据点所在象限确定θ的值(θ的范围是 已知点P 的柱坐标为? ?? ??4，π3，8， 求 它的直角坐标． 直接利用公式求解．
由变换公式???? ? x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， z ＝z 得 x ＝4cos π 3 ＝2，y ＝4sin π3 ＝23，z ＝8. ∴点P 的直角坐标为(2,23，8)． 已知柱坐标，求直角坐标，利用变换公式 ???? ? x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z 即可． 3．点N 的柱坐标为? ?? ??2，π2，3，求它的直角坐标． 解：由变换公式???? ? x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， z ＝z ， 得 x ＝ρcos θ＝2cos π 2 ＝0，y ＝ρsin θ＝2sin π2 ＝2， 故点N 的直角坐标为(0,2,3)． 4．已知点A 的柱坐标为(1，π，2)，B 的柱坐标为? ?? ??2，π2，1，求A ，B 两点间距离． 解：由x ＝ρcos θ，得x ＝cos π＝－1. 由y ＝ρsin θ，得y ＝sin π＝0. ∴A 点的直角坐标为(－1,0,2)． 同理，B 点的直角坐标为(0,2,1)． ∴|AB |＝ －1－ ＋－ ＋ － ＝ 6. 故A ，B 两点间的距离为 6. 课时跟踪检测(五) 一、选择题 1．设点M 的直角坐标为(1，－3，2)，则它的柱坐标是( ) A.? ????2，π3，2 B.? ????2，2π3，2 C.? ????2，4π3，2 D.? ?? ??2，5π3，2
高中数学选修4-4坐标系与参数方程完整教案(精选.)
选修4-4教案 教案1平面直角坐标系（1课时） 教案2平面直角坐标系中的伸缩变换（1课时）教案3极坐标系的的概念（1课时） 教案4极坐标与直角坐标的互化（1课时） 教案5圆的极坐标方程（2课时） 教案6直线的极坐标方程（2课时） 教案7球坐标系与柱坐标系（2课时） 教案8参数方程的概念（1课时） 教案9圆的参数方程及应（2课时） 教案10圆锥曲线的参数方程（1课时） 教案11圆锥曲线参数方程的应用（1课时） 教案12直线的参数方程（2课时） 教案13参数方程与普通方程互化（2课时） 教案14圆的渐开线与摆线（1课时）
课题：1、平面直角坐标系 教学目的： 知识与技能：回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法 能力与与方法：体会坐标系的作用 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 教学重点：体会直角坐标系的作用 教学难点：能够建立适当的直角坐标系,解决数学问题 授课类型：新授课 教学模式：互动五步教学法 教具：多媒体、实物投影仪 复习及预习提纲： 1平面直角坐标系中刻画点的位置的方法 2坐标系的作用 ————教学过程———— 复习回顾和预习检查 1平面直角坐标系中刻画点的位置的方法 2坐标系的作用 创设情境，设置疑问 情境1：为了确保宇宙飞船在预定的轨道上运行，并在按计划完成科学考察任务后，安全、准确的返回地球，从火箭升空的时刻开始，需要随时测定飞船在空中的位 置机器运动的轨迹。 情境2：运动会的开幕式上常常有大型团体操的表演，其中不断变化的背景图案是由看台上座位排列整齐的人群不断翻动手中的一本画布构成的。要出现正确的背景 图案，需要缺点不同的画布所在的位置。 问题1：如何刻画一个几何图形的位置？ 问题2：如何创建坐标系？ 分组讨论 刻画一个几何图形的位置，需要设定一个参照系 1、数轴它使直线上任一点P都可以由惟一的实数x确定 2、平面直角坐标系 在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系。它使平面上任一点P都可以由惟一的实数对（x,y）确定 3、空间直角坐标系 在空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，当取定这三条直线的交点为原点，并确定了度量单位和这三条直线方向，就建立了空间直角坐标系。它使空间上任一点P 都可以由惟一的实数对（x,y,z）确定 1、建立坐标系是为了确定点的位置，因此，在所建的坐标系中应满足： 任意一点都有确定的坐标与其对应；反之，依据一个点的坐标就能确定这个点的位置2、确定点的位置就是求出这个点在设定的坐标系中的坐标
《极坐标系》教学设计
1.2 极坐标系(谷杨华) 一、教学目标 （一）核心素养 通过这节课学习，认识极坐标系、能在极坐标系下用极坐标表示点的位置，会进行极坐标和直角坐标的互化，在直观想象、数学抽象中感受极坐标的特点． （二）学习目标 1．通过实例，认识极坐标系，体会用极坐标表示点的特点． 2．了解用极坐标系表示点的不唯一性． 3．能进行极坐标系与平面直角坐标系的互化，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别． （三）学习重点 1．认识极坐标系的重要性． 2．用极坐标刻画点的位置． 3．会进行极坐标与直角坐标的互化． （四）学习难点 1．理解用极坐标刻画点的位置的基本思想． 2．认识点与极坐标之间的对应关系． 二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务 （1）读一读：阅读教材第8页至第11页，填空： 极坐标系的建立：在平面内取一个定点，叫做极点；自极点引一条射线，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系． 极坐标系内一点的极坐标的规定：设是平面内一点，极点与点的距离叫做点的极径，记为；以极轴为始边，射线为终边的角叫做点的极角，记为.有序数对叫做点 为，可取任意实数． （2）想一想：点与极坐标有什么关系？ 一般地，极坐标与表示同一个点．特别地，极点的坐标为
． 如果规定，那么除极点外，平面内的点可用惟一的极坐标表示；同时，极坐标表示的点也是惟一确定的． （3）写一写：极坐标系与直角坐标系如何转化？ 把直角坐标系的原点作为极点，轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度.设是平面内任意一点,它的直角坐标是，极坐标是，则： ， ， 2．预习自测 （1）在极坐标系中，下列各点中与表示的不是同一个点的是( ) A．B．C．D． 【知识点】极坐标系 【解题过程】由于极坐标与表示同一个点，检验得，选项C不是同一个点 【思路点拨】根据点的极坐标定义代入验证可得 【答案】C （2）已知点的直角坐标为，则点的极坐标为（） A．B．C．D． 【知识点】极坐标与直角坐标互化 【解题思路】根据极坐标与直角坐标互化公式可得：，显然 【思路点拨】由极坐标与直角坐标互化可得 【答案】A （3）已知点M的极坐标为，则点M的直角坐标为（） A．B．C．D．
极坐标系的概念及其性质(含答案)
极坐标系的概念及其性质 典题探究 例1 写出图中A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 各点的极坐标)20,0(πθρ<≤>. 例2在下面的极坐标系里描出下列各点 例3 如图，用点A ，B ，C ，D ，E 分别表示教学楼，体育馆，图书馆，实验楼，办公楼的位置.建立适当的极坐标系，写出各点的极坐标 . (3,0)(6,2)(3,)245(5,)(3,)(4,)365(6,) 3A B C D E F G ππππππ
例4已知点),(θρQ ，分别按下列要求求出点P 的一个极坐标. （1）P 是点Q 关于极点O 的对称点； （2）P 是点Q 关于极轴的对称点. 演练方阵 A 档（巩固专练） A ．(5，?) B ．(5，) C ．(5，?) D ．(?5，?) A ．(?2，3) B ．(?2，3) C ．(2，?3 ) D ．(2，?3) 4.在极坐标系中,与(ρ,θ)关于极轴对称的点是( )
A ．),(θρ B ．),(θρ- C ．),(πθρ+ D ．),(θπρ- 5.如图，在平面内取一个 O ，叫做 ；自极点O 引一条射线Ox ，叫做 ；在选定一个 及其计算角度的 （通常取逆时针方向为正方向），这样就建立了一个 。 6.设M 是平面内一点，极点O 与M 的距离||OM 叫做点M 的 ，记为 ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的 ，记为 。有序数对 叫做点M 的 ，记作 。 7． )6 , 4(π A 、)65, 4(πB )67,4(πC )6,4(π-D )6 13,4(πE 表示同一个点的是 . 8.写出图中各点的极坐标： 9.如图，在极坐标系中，写出点A ，B ，C 的极坐标，并标出点)3 5,5.3(),43, 4(),6 ,2(πππ F E D 所在的位置.
CAD设计制图中的坐标系UCS怎样使用
CAD设计制图中的坐标系UCS怎样使用 在CAD设计中我们经常会调整坐标，更换作图平面，在这里就要试用【UCS】工具条了。 无论是AutoCAD软件，还是各系类的浩辰软件，在使用坐标【UCS】时操作方法都是一样的，下面我就以浩辰CAD机械软件，简单说一下CAD设计是【UCS】工具条的使用方法。 1、所有坐标命令，即【UCS】命令 次命令包含了CAD中所有的坐标命令，我们科以看命令行提示 [?/3点(3)/面(F)/删除(D)/对象(E)/原点(O)/前次(P)/还原(R)/保存(S)/视图 (V)/X/Y/Z/Z轴(ZA)/世界(W)]<世界(W)>: 在这里输入相应命令字母，就可以相应的调整坐标了。这些命令对应后续的几个命令，我就不多说了。 2、【世界坐标】命令 此命令的直接点击即可完成，用于坐标系调整后回到起初的状态，也就是无论你经坐标系做何调整后只要点击【世界坐标】它就会回到最初原点和状态。 3、【上一个UCS】命令 顾名思义，点击此命令，回到使用的上一个坐标系。 4、【对象ucs】 点击命令后，选择要定义坐标的对象即可将坐标系定义到我们想定义的位置，如图效果。 5、【视图坐标】 此功能应用较少，功能主要实现的是无论在那个视图坐标调整到xy平面作图。
6、【原点坐标】、【z轴矢量】和【3点】坐标命令 【原点坐标】：此命令以点定义坐标，点击命令后，直接点击某点，坐标系就会跟随移动到此点上。 【z轴矢量】：此命令以线定义坐标，点击命令后，直接点击两点确定一直线，坐标系z轴就会跟随一定到此两点确定的直线上。 【3点】此命令以面定义坐标，点击命令后，先点击一点确定原点，然后分别点击两点确定x轴、y轴，坐标系就会移动到相应的位置平面。 7、坐标旋转 此三个命令在更换作图平面式非常常用，用于坐标系的旋转，可分别根据x轴、y轴、z轴进行相应的坐标系旋转，操作较为简单，不做过多介绍。
高中数学第一讲坐标系四柱坐标系与球坐标系简介导学案新人教A版选修44
四 柱坐标系与球坐标系简介 庖丁巧解牛 知识·巧学 一、柱坐标系 定义：如图1-4-1，建立空间直角坐标系O-xyz ，设P 是空间任意一点，它在Oxy 平面上的射影为Q ，用(ρ,θ)(ρ≥0,0≤θ<2π)来表示点Q 在平面Oxy 上的极坐标.这时点P 的位置可用有序数组(ρ,θ,z)(z∈R )表示.这样，就建立了空间的点与有序数组(ρ,θ,z)之间的一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(ρ,θ,z)叫做点P 的柱坐标，记作P(ρ,θ,z)，其中ρ≥0,0≤θ<2π,-∞ 精锐教育学科教师辅导教案 学员编号：年级：高三课时数：3 学员姓名：辅导科目：数学学科教师：刘欢 C-极坐标与参数方程C–极坐标与参数方程C-极坐标与参数方程授课类型 授课日期及时段 教学内容 知识点概括 一、坐标系1．平面直角坐标系的建立：在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定 了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系。 2．空间直角坐标系的建立：在空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，当取定这三条直线的交 点为原点，并确定了度量单位和这三条直线方向，就建立了空间直角坐标系。 3．极坐标系的建立：在平面上取一个定点O，自点O引一条射线OX，同时确定一个单位长度和计算 角度的正方向（通常取逆时针方向为正方向），这样就建立了一个极坐标系。 （其中O称为极点，射线OX称为极轴。） ①设M是平面上的任一点，ρ表示OM的长度，θ表示以射线OX ρθ称为点M的极坐 为始边，射线OM为终边所成的角。那么有序数对(,) 标。其中ρ称为极径，θ称为极角。 约定：极点的极坐标是ρ=0，θ可以取任意角。 4．直角坐标与极坐标的互化 以直角坐标系的O 为极点，x 轴正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的单位长度平面内的任一点P 的直角坐标极坐标分别为（x ，y ）和(,)ρθ，则 二、曲线的极坐标方程 1．直线的极坐标方程：若直线过点00(,)M ρθ，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为： 00sin()sin()ρθ-α=ρθ-α 几个特殊位置的直线的极坐标方程 （1）直线过极点 （2）直线过点M(a,0)且垂直于极轴 （3）直线过(,)2M b π 且平行于极轴 2．圆的极坐标方程： 若圆心为00(,)M ρθ，半径为r 的圆方程为： 几个特殊位置的圆的极坐标方程 （1）当圆心位于极点 （2）当圆心位于(,0)M r （3）当圆心位于(,)2M r π 3．直线、圆的直角坐标方程与极坐标方程的互化 利用： x = 2ρ= 三、参数方程 直角坐标 求助编辑百科名片 直角坐标系在数学中应用广泛，是数学大厦最重要的根基之一。 目录 定义 相关参量 编辑本段定义 在平面内画两条 直角坐标 直角坐标 互相垂直，并且有公共原点的数轴。其中横轴为X轴，纵轴为Y轴。这样我们就说在平面上建立了平面直角坐标系，简称直角坐标系。 编辑本段相关参量 直角坐标中的点 直角坐标中的点 坐标：对于平面内任意一点C，过点分C别向X轴、Y轴作垂线，垂足在X 轴、Y轴上的对应点a,b分别叫做点C的横坐标、纵坐标，有序数对（a,b）叫做点C的坐标。坐标平面：坐标系所在平面。 坐标原点：两坐标轴的公共原点。 象限：X轴和Y轴把坐标平面分成四个象限，右上面的叫做第一象限，其他三个部分按逆时针方向依次叫做第二象限、第三象限和第四象限。象限以数轴为界，横轴、纵轴上的点不属于任何象限。 极坐标 极坐标系 目录 极坐标系 极坐标系到直角坐标系的转化： 极坐标的方程 极坐标系 极坐标系到直角坐标系的转化： 极坐标的方程 展开 编辑本段极坐标系 polar coordinates 在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系。在平面上取定一点O，称为极点。从O出发引一条射线Ox，称为极轴。再取定一个长度单位，通常规定角度取逆时针方向为正。这样，平面上任一点P的位置就可以用线段OP的长度ρ以及从Ox到OP 的角度θ来确定，有序数对（ρ，θ）就称为P点的极坐标，记为P（ρ，θ）；ρ称为P 点的极径，θ称为P点的极角。当限制ρ≥0，0≤θ<2π时，平面上除极点Ο以外，其他 每一点都有唯一的一个极坐标。极点的极径为零，极角任意。若除去上述限制，平面上每一点都有无数多组极坐标，一般地，如果（ρ，θ）是一个点的极坐标，那么（ρ，θ+2nπ），（－ρ，θ+（2n+1）π），都可作为它的极坐标，这里n 是任意整数。平面上有些曲线，采用极坐标时，方程比较简单。例如以原点为中心，r为半径的圆的极坐标方程为ρ=r 等速螺线的极坐标方程为ρ=aθ 。此外，椭圆、双曲线和抛物线这3种不同的圆锥曲线，可以用一个统一的极坐标方程表示。 编辑本段极坐标系到直角坐标系的转化： 在极坐标系与平面直角坐标系（笛卡尔坐标系）间转换极坐标系中的两个坐标ρ和θ可以由下面的公式转换为直角坐标系下的坐标值 x=ρcosθ y=ρsinθ 由上述二公式，可得到从直角坐标系中x和y两坐标如何计算出极坐标下的坐标θ=arctany/x ( x不等于0) 在x= 0的情况下：若y为正数θ= 90° (π/2 radians)；若y为负，则θ= 270° (3π/2 radians). 编辑本段极坐标的方程 用极坐标系描述的曲线方程称作极坐标方程，通常表示为r为自变量θ的函数。 极坐标方程经常会表现出不同的对称形式，如果r(?θ) = r(θ)，则曲线关于极点（0°/180°）对称，如果r(π?θ) = r(θ)，则曲线关于极点（90°/270°）对称，如果r(θ-α) = r(θ)，则曲线相当于从极点逆时针方向旋转α°。 圆 方程为r(θ) = 1的圆。 在极坐标系中，圆心在(r0, φ) 半径为a的圆的方程为r^2-2rr0cos(θ-φ)+r0^2=a^2 该方程可简化为不同的方法，以符合不同的特定情况，比如方程r(θ)=a表示一个以极点为中心半径为a的圆。 直线 经过极点的射线由如下方程表示θ=φ ,其中φ为射线的倾斜角度，若m为直角坐标系的射线的斜率，则有φ = arctan m。任何不经过极点的直线都会与某条射线垂直。这些在点（r0, φ）处的直线与射线θ = φ 垂直，其方程为 r(θ)=r0sec(θ-φ) 关于UG NX坐标系的介绍和运用 【坐标系简介】 建模离不开坐标系，在UG建模环境中共有3个坐标系：绝对坐标系、工作坐标系、基准坐标系。绝对坐标系是系统默认的坐标系，其原点和各坐标轴线的方向永远不变；工作坐标系也是由系统提供的，但用户可以任意地移动、旋转；基准坐标系由用户根据造型的需要可以随时创建、隐藏或删除，也可以移动、旋转。 1.工作坐标系的移动、旋转操作 如下图1所示，单击“实用工具”栏上“显示WCS”图标，可以显示或隐藏工作坐标系，当工作坐标系被移动、旋转后，又希望能恢复原始状态，就单击图标“设置为绝对WCS”即可实现。 图1 可以单击“实用工具”中的“动态”、“原点”、“旋转”、“更改”等图标，实现工作坐标系的移动、旋转、更改X轴或Y轴方向等目的。单击“旋转WCS”，又出现旋转对话框，提示可以绕什么轴旋转；单击“WCS原点”，又出现点对话框，提示可以确定移动的定位点。 实用中，对工作坐标系进行移动、旋转时，不一定要单击这些图标，一般可以直接将鼠标放在工作坐标系上，当出现图3所示的效果时，单击鼠标就出现了图2效果了，与单击“动态”图标效果是一样的。 图2 图3 如下图4所示，通过鼠标直接进行工作坐标系的移动、旋转操作。图中坐标系的绿色箭头表示可以移动坐标系的方向箭头（称为“移动柄”），绿色小球表示可以旋转坐标系的“旋转柄”，桔黄色的立方体为可移动的坐标原点。 鼠标放在立方体上，按住左键并拖动，就可实现向任意位置拖放工作坐标系了。 当鼠标放在“移动柄”上时，如下图中的（2）所示，光标侧出现双箭头，表示可以沿此轴移动坐标系，此时按住鼠标左键并拖动鼠标就可以实现沿指定坐标轴方向动态移动坐标系了，要想准确移动，可在出现的对话框中输入移动距离值。 当鼠标放在“旋转柄”上时，如下图中的（3）所示，光标侧出现一直线及一旋转箭头，表示可以绕垂直于该坐标轴线旋转坐标系，若在对话框中输入角度值，可以实现准确旋转。 图4 图1所示的图标按钮命令也只可以通过菜单操作方式激活，如下图5所示，效果是一样的。 《极坐标系》教学设计与教学反思 基本信息课题作者第一讲坐标系第2节极坐标系刘顺利教材分析本课时是新课标新增内容，于生活中的许多问题都是用方位角和距离来确定点的位置，再用直角坐标表示不太方便，这时就需要建立以角度和距离为依据的坐标系，从而建立极坐标系。新教材引进极坐标系是为了更好的解决实际问题，这充分体现了数学与实际生活的紧密关系。这节内容是本讲的重点内容，因而教科书用了比较大的篇幅从几个不同角度来引导学生学习这一内容，并利用“思考”“探究”等引导学生对极坐标的特点、极坐标与直角坐标的关系等进行讨论，以使学生通过自己的独立思考、积极探索而获得知识。这是新教材的闪光之处。学情分析学生在前一节对直角坐标系的复习过程中了解过一个用方位角和距离确定点位置的实 例，而且在那节内容中已经对用方位角和距离确定点与用坐标确定进行了对比，显然用角度和距离确定更方便，所以在本节引入极坐标概念学生比较容易接受，而且我的两个班学生上课状态都比较好，所以合作比较愉快，本节的教学也很顺利。但于学生三角函数知识非常薄弱，对于在极坐标系中一点有多个极坐标与之对应，总感觉有的学生似懂非懂，导致后面我花了些时间专门复习三角函数知识。教学目标1．知识与技能认识极坐标系；使学生能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置：体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别；能进行极坐标和直角坐标的互化。2．过程与方法在教师的引导下，利用“思考”“探究”对极坐标的特点、极坐标与直角坐标的关系等进行讨论，使学生通过自己的独立思考、积极探索而获得新知，培养学生的合作探究能力和独立思考能力。用生活实例，类比直角坐标系，使学生明白建立极坐标 3 极坐标系的概念 主备： 审核： 学习目标： 1.理解极坐标的概念，弄清极坐标系的结构； 2.理解广义极坐标系下点的极坐标(,)ρθ与点之间的多对一的对应关系； 3.已知一点的极坐标会在极坐标系中描点，以及已知点能写出它的极坐标. 学习重点：极坐标系的理解与应用 学习难点：极坐标系的概念；加强与直角坐标系的联系理解极坐标系的概念，通过实例的应用与分析突破难点. 学习过程： 一、课前准备 阅读教材57P P -的内容，体会极坐标系的建立过程.并回顾以下问题： 1. 在直角坐标系中，要确定一个点的位置，只需要确定这个点的横坐标和纵坐标就可以了；反过来，知道了一个点的坐标，就可以在直角坐标系中找到这个点，并且这个点是唯一的.就是说直角坐标系中，点与坐标之间是一一对应的关系. 2.除了直角坐标系能够确定点的位置，还有其他方法吗？比如说，禅城相对于荷城来说，在什么位置？某同学说：禅城在荷城的东偏北40 ，距离荷城41公里的地方，这种方法是不是直角坐标系的表示方法？ 3．在《解三角形》中，我们经常遇到这样的问题：某船在海岛西偏南30 方向，距离海岛60海里处，或两船在灯塔东南方向10海里处相遇.这样的定位方法使用了两个什么量？ 二、新课导学： （一）新知： （1）思考：右图是某校园的平面示意图， 假设某同学在教学楼处，请回答下列问题： ①你会怎样描述图书馆、体育馆、 办公楼、实验楼的相对位置？这些描述的对 应位置是否惟一确定？ ②他向东偏北60°方向走120m 后到 达什么位置？该位置惟一确定吗？ ③如果有人打听体育馆和办公楼的位 置，他应如何描述？ 探究结果： ①方位描述与直角坐标描述，位置都是惟一确定的. ②到达图书馆，该位置惟一确定. ③正东方向60m 处与西北方向50m 处. （2）极坐标系的概念 ①极坐标系的建立： 在平面上取一个定点O ，自点O 引一条射线Ox ，同时确定一个单位长度和计算角度的正方向（通常取逆时针方向为正方向），这样就建立了一个极坐标系. （其中O 称为极点，射线Ox 称为极轴.） ②极坐标系内一点的极坐标的规定： 对于平面上任意一点M ，用ρ表示线段OM 的长度，用 办公楼 E 实验楼D C 图书馆 B 体育馆 A 教学楼 60m 50m 120m 60° 45° 空间直角坐标系 如图1，为了确定空间点的位置，我们建立空间直角坐 标系：以 正方体为载体，以O 为原点，分别以射线OA，OC，OD′的方 向为正方向，以线段OA，OC，OD′的长为单位长，建立三条数轴：x轴、y 轴、z轴， 这时我们说建立了一个空间直角坐标系，其中点O 叫做坐标原点，x 轴、y 轴、z轴叫做坐标轴，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面、zOx平面、yOz平面，通常建立的坐标系为右手直角坐标系，即右手拇指指向x 轴的正方向， 食指指向y 轴的正方向，中指指向z轴的正方向． 二．空间直角坐标系中的坐标 空间一点 M 的坐标可用有序实数组（x，y，z）来表示，有序实数组（x，y， z）叫做点M 在此空间直角坐标系中的坐标，记作M （x，y，z），其中 x 叫做点 M 的横坐标，y 叫做点 M 的纵坐 标，z 叫做点 M 的竖坐标 [例1] 在空间直角坐标系中，作出点M（6，－2,4）． [例 2] 长方体 ABCD －A 1B 1C 1D 1中，|AB|＝a ，|BC|＝b ，|CC 1| ＝c ，将此 长方体放到空间直角坐标系中的不同位置 （如图 3），分 别写出长方体各顶点的坐标． 变式 1：棱长为 2 的正方体，将此正方体放到空间直角坐标系中 的不同位置，分别写出几何体各顶点的坐标。 2.底面为边长为 4 的菱形，高为 5 的棱柱，将此几何体放到空间直角坐标系中的不同 位置分别写出几何体各顶点的坐标。 3. 在棱长均为 2a 的正四棱锥 P －ABCD 中，建立恰当的空间直角坐标系， （1）写出正四棱锥 P －ABCD 各顶点坐标； （2）写出棱 PB 的中点 M 的坐标． 解： 连接 AC ，BD 交于点 O ，连接 PO ，∵ P －ABCD 为正四棱锥，且棱长均为 2a.∴四边形 ABCD 为正方形， 且 PO ⊥平面 ABCD.∴OA ＝ 2＝ PA 2 －OA 2 ＝ 2a 2 － 2a 2 ＝ 2a. 以O 点为坐标原点， OA ，OB ，OP 所在的直线分别为 x 轴、 y 轴、z 轴，建立空 间直角坐标系． （1）正四棱锥 P －ABCD 中各顶点坐标分别为 A （ 2a,0,0），B （0， 2a,0），C （－ 2 a,0,0）， D （0，－ 2a,0）， P （0,0， 2a ）． 0＋0 2a ＋ 0 0＋ 2a （2）∵M 为棱 PB 的中点，∴由中点坐标公式，得 M （ 2 ， 2 ， 2 ）， [ 例 3] 在空间直角坐标系中，点 P （－2,1,4）． （1）求点P 关于x 轴的对称点的坐标； （2）求点 P 关于 xOy 平面的对 称点的坐标； （3）求点 P 关于点 M （2，－ 1，－ 4）的对称点的坐标． [解] （1）由于点 P 关于 x 轴对称后，它在 x 轴的分量不变，在 y 轴、z 轴的 分量变为原来的相反数，所以对称点为 P 1（－2，－1，－ 4）． 即 M(0极坐标与参数方程复习教案
直角坐标与极坐标的区别与转换
关于UG-NX坐标系的介绍和运用
《极坐标系》教学设计与教学反思
3 极坐标系的概念(教师版)
空间坐标系与空间坐标系在立体几何中的应用有答案(1)