考研自动控制原理习题集及其解答

自动控制原理习题及其解答

第一章（略） 第二章

例2-1 弹簧，阻尼器串并联系统如图2-1示，系统为无质量模型，试建立系统的运动方程。

解：(1) 设输入为y r ，输出为y 0。弹簧与阻尼器并联平行移动。

(2) 列写原始方程式，由于无质量按受力平衡方程，各处任何时刻，均满足∑=0F ，

则对于A 点有

021=-+K K f F F F

其中，F f 为阻尼摩擦力，F K 1，F K 2为弹性恢复力。 (3) 写中间变量关系式

220110)()

(y K F Y Y K F dt

y y d f F K r K r f =-=-?

=

(4) 消中间变量得 020110y K y K y K dt

dy f dt dy f r r

=-+- (5) 化标准形 r r Ky dt

dy

T y dt dy T +=+00 其中:2

15

K K T +=

为时间常数，单位[秒]。

2

11

K K K K +=

为传递函数，无量纲。

例2-2 已知单摆系统的运动如图2-2示。 (1) 写出运动方程式 (2) 求取线性化方程 解：（1）设输入外作用力为零，输出为摆角θ ，摆球质量为m 。 （2）由牛顿定律写原始方程。

h mg dt

d l m --=θθ

sin )(22

其中，l 为摆长，l θ 为运动弧长，h 为空气阻力。

（3）写中间变量关系式

)(dt

d l

h θα= 式中，α为空气阻力系数dt

d l θ

为运动线速度。

（4）消中间变量得运动方程式

0sin 22=++θθθmg dt d al dt

d ml （2-1)

此方程为二阶非线性齐次方程。

（5）线性化

由前可知，在θ ＝0的附近，非线性函数sin θ ≈θ ，故代入式（2-1）可得线性化方程为

022=++θθ

θmg dt d al dt

d ml 例2-3 已知机械旋转系统如图2-3所示，试列出系统运动方程。

解：（1）设输入量作用力矩M f ，输出为旋转角速度ω 。 （2）列写运动方程式

f M f dt

d J

+-=ωω

式中， f ω为阻尼力矩，其大小与转速成正比。

（3）整理成标准形为

f M f dt

d J

=+ωω

此为一阶线性微分方程，若输出变量改为θ，则由于 dt

d θω= 代入方程得二阶线性微分方程式

f M dt d f dt

d J =+θ

θ22 例2-4 设有一个倒立摆安装在马达传动车上。如图2-4所示。

图2-2 单摆运动

图2-3 机械旋转系统

倒立摆是不稳定的，如果没有适当的控制力作用在它上面，它将随时可能向任何方向倾倒，这里只考虑二维问题，即认为倒立摆只在图2-65所示平面内运动。控制力u 作用于小车上。假设摆杆的重心位于其几何中心A 。试求该系统的运动方程式。

解：(1) 设输入为作用力u ，输出为摆角θ 。

(2) 写原始方程式，设摆杆重心A 的坐标为（X A ，y A ）于是 X A ＝X ＋l sin θ X y = l cos θ

画出系统隔离体受力图如图2－5所示。

摆杆围绕重心A 点转动方程为：

θθθ

cos sin 22Hl Vl dt

d J -=

（2－2）

图2-4 倒立摆系统 图2-5 隔离体受力图