第六章 机械振动简谐振动的运动方程：

简谐振动的运动学

简谐振动的运动学 本节主要讲解：根据简谐振动的动力学方程求其运动学方程，并讨论简谐运动的运动学特征。 一 . 简谐振动的运动学方程 方程的解为：⑴ ⑴式就是简谐振动的运动学方程，该式又是周期函数，故简谐振动是围绕平衡位置的周期运动。 二 . 描述简谐振动的物理量 1 . 周期（T ） 完成一次全振动所用的时间： 对弹簧振子： 2. 频率（） 单位时间内完成的全振动的次数： 的含义：个单位时间内完成的全振动的次数，即圆频率。 3. 振幅

物体离开平衡位置的最大位移。 振幅可以由初始条件决定。如：t=0 时刻，， 由⑴式可得：, ∴⑵ 4. 位相和初位相 振动系统的状态指：任意瞬时的位移和速度。但仅知振幅频率还不够，还须知道 才能完全决定系统的运动状态。 叫简谐振动的相位。 当时，叫初相位。 由：⑶ 若：已知初始条件：，则⑶式有： ⑷ ⑸ ⑷，⑸式中的任意二个即可确定初位相。 相位差：两振动相位之差。 讨论：

⑴若 是 的整数倍，则振动同相位； ⑵若 是 奇数倍，则振动相位相反； ⑶若 ，则称 超前 ； ⑷若 ，则称 落后 。 相位差的不同，表明二振动有不同程度的参差错落，振动步调不同。 例 1 ：一弹簧振子， 时， 求振动的初位相 。 解 ： ∴ 在第一象限， 例 2 ：讨论振动的位移，速度和加速度之间的关系。 解 ： 设： ， 则：

所以：速度的位相比位移的位相超前 加速度的位相比速度的位相超前； 加速度的位相比位移的位相超前。 理解：加速度对时间的积累才获得速度，速度对时间的积累获得位移。 总结： ⑴简谐振动是周期性运动； ⑵简谐振动各瞬时的运动状态由振幅 A 频率及初相位决定，或者说，由振幅和相位决定。 ⑶简谐振动的频率是由振动系统本身固有性质决定的，而振幅和初相位不仅决定于系统本身性质，而且取决于初始条件。 三 . 简谐振动的图象：图线 描述：质点在各个时刻的偏离平衡位置的位移。 中学里经常做正弦、余弦函数的图象，故不再多讲，请看书。 四 . 简谐振动的矢量表示法： 用旋转矢量的投影表示简谐振动。 如图示：

第8章常微分方程边值问题的数值解法

第8章 常微分方程边值问题的数值解法 引 言 第7章介绍了求解常微分方程初值问题的常用的数值方法；本章将介绍常微分方程的边值问题的数值方法。 只含边界条件(boundary-value condition)作为定解条件的常微分方程求解问题称为常微分方程的边值问题(boundary-value problem). 为简明起见，我们以二阶边值问题为 则边值问题(8.1.1)有唯一解。 推论 若线性边值问题 ()()()()()(),, (),()y x p x y x q x y x f x a x b y a y b αβ '''=++≤≤?? ==? (8.1.2) 满足 (1) (),()p x q x 和()f x 在[,]a b 上连续； (2) 在[,]a b 上, ()0q x >, 则边值问题(8.1.1)有唯一解。 求边值问题的近似解，有三类基本方法： (1) 差分法(difference method)，也就是用差商代替微分方程及边界条件中的导数，最终化为代数方程求解；

(2) 有限元法(finite element method)； (3) 把边值问题转化为初值问题，然后用求初值问题的方法求解。 差分法 8.2.1 一类特殊类型二阶线性常微分方程的边值问题的差分法 设二阶线性常微分方程的边值问题为 (8.2.1)(8.2.2) ()()()(),,(),(), y x q x y x f x a x b y a y b αβ''-=<

简谐运动的描述物理教案

简谐运动的描述物理教案 教学目标： 1.知识与技能 (1)知道简谐运动的振幅、周期和频率的含义。理解周期和频率的关系。 (2)知道振动物体的固有周期和固有频率，并正确理解与振幅无关。 (3)理解振动图像的物理意义，能利用图像求振动物体的振幅、周期及任意时刻的位移;会将振动图像与振动物体在某时刻位移与位置对应，并学会在图象上分析与位移x有关的物理量。 (4)知道简谐运动的公式表示X=Asinwt，知道什么是简谐运动的圆频率，知道简谐运动的圆频率和周期的关系。 2.过程与方法：观察砂摆演示实验中拉动木板匀速运动，让学生学会这是将质点运动的位移按时间扫描的基本实验方法。 3.渗透物理方法的教育：提高学生观察、分析、实验能力和动手能力，从而让学生知道实验是研究物理科学的重要基础。 教学重点：振幅、周期和频率的物理意义;简谐运动图象的物理意义 教学难点：理解振动物体的固有周期和固有频率与振幅无关;振动图象与振动轨迹的区别;圆频率与周期的关系 教学器材：弹簧振子，音叉，课件;砂摆实验演示：砂摆、砂子、玻璃板(或长木板) 教法与学法：实验观察、讲授、讨论，计算机辅助教学 教学过程设计: 第一课时 1.新课引入 上节课讲了简谐运动的现象和受力情况。我们知道振子在回复力作用下，总以某一位置为中心做往复运动。现在我们观察弹簧振子的运动。将振子拉到平衡位置O的右侧，放手后，振子在O点的两侧做往复运动。振子的运动是否具有周期性? 在圆周运动中，物体的运动由于具有周期性，为了研究其运动规律，我们引入了角速度、周期、转速等物理量。为了描述简谐运动，也需要引入新的物理量，即振幅、周期和频率。

板书二振幅、周期和频率(或投影) 2.新课讲授 实验演示：观察弹簧振子的运动，可知振子总在一定范围内运动。说明振子离开平衡 位置的距离在一定的数值范围内，这就是我们要学的第一个概念――振幅。 板书1、振动的振幅 在弹簧振子的振动中，以平衡位置为原点，物体离开平衡位置的距离有一个最大值。 如图所示(用投影仪投影)，振子总在AA’间往复运动，振子离开平衡位置的最大距离为 OA或OA’，我们把OA或OA’的大小称为振子的振幅。 板书(1)、振幅A：振动物体离开平衡位置的最大距离。 我们要注意，振幅是振动物体离开平衡位置的最大距离，而不是最大位移。这就意味着，振幅是一个数值，指的是最大位移的绝对值。 板书振幅是标量，表示振动的强弱。 实验演示：轻敲一下音叉，声音不太响，音叉振动的振幅较小，振动较弱。重敲一下 音叉，声音较响，音叉振动的振幅较大，振动较强。振幅的单位和长度单位一样，在国际 单位制中，用米表示。 板书(2)、单位：m 由于简谐运动具有周期性，振子由某一点开始运动，经过一定时间，将回到该点，我 们称振子完成了一次全振动。振子完成一次全振动，其位移和速度的大小、方向如何变化? 学生讨论后得出结论：振子完成一次全振动，其位移和速度的大小、方向与从该点开 始运动时的位移和速度的大小、方向完全相同。 在匀速圆周运动中，物体运动一个圆周，所需时间是一定的。观察振子的运动，并用 秒表或脉搏测定振子完成一次全振动的时间，我们通常测出振子完成20～30次全振动的 时间，从而求出平均一次全振动的时间。可以发现，振子完成一次全振动的时间是相同的。 板书2、振动的周期和频率 (1)、振动的周期T：做简谐运动的物体完成一次全振动的时间。 振动的频率f：单位时间内完成全振动的次数 (2)、周期的单位为秒(s)、频率的单位为赫兹(Hz)。 板书(3)、周期和频率都是表示振动快慢的物理量。两者的关系为T=1/f或f=1/T

第八章常微分方程数值解

151 第八章 常微分方程数值解 在工程和科学技术的实际问题中，常常需求解常微分方程。但由常微分方程理论可 知，常微分方程中往往只有少数较简单和典型的方程可求出其解析解。在大多数情况下，常微分方程只能用近似法求解。这种近似解法可分为两大类：一类是近似解析法，如级数解法、逐次逼近法等；另一类则是数值解法，它给出方程在一些离散点上的近似解。 本章主要讨论一阶常微分方程的初值问题： ()()?????==0 ,y a y y x f dx dy b x a ≤≤ （8.1） 从理论上讲，只要方程中的()y x f ,连续且关于y 满足李普希兹（Lipschitz ）条件，即存在常数L ，使 ()()2121,,y y L y x f y x f -≤- 则常微分方程存在唯一解)(x y y =。 所谓微分方程数值解，就是求微分方程的解()x y 在一系列离散节点 b x x x x a n n =<<<<=-110 处()i x y 的近似值i y ),,1,0(n i =. 相邻的两个节点之间的距离i i i x x h -=+1称为由i x 到1+i x 的步长，通常取为常数h 。 求数值解，首先应将微分方程离散化，常用的方法有： （1） 用差商代替微商 若用向前差商代替微商，即 ()() ()()()i i i i i x y x f x y h x y x y ,1='≈-+ )1,,1,0(-=n i 代入（8.1）中的微分方程，则得 ()1+i x y ()()()i i i x y x hf x y ,+≈

152 记)(i x y 的近似值i y ，则由上式右端可计算出)(1+i x y 的近似值，即 ()i i i i y x hf y y ,1+=+ )1,,1,0(-=n i （8.2） （2） 数值积分法 利用数值积分法左矩形公式 ()()i i x y x y -+1=()()()i i x x y x hf dx x y x f i i ,,1 ≈? + 可得同样算法 ()i i i i y x hf y y ,1+=+ （3） 用泰勒（Taylor ）公式 将函数)(x y 在i x 处展开，取一次Taylor 多项式近似，则得 ()()h x y x y i i +=+1()()i i x y h x y '+≈()()()i i i x y x hf x y ,+= 从而也得到离散化得计算公式 ()i i i i y x hf y y ,1+=+ §1 欧拉（Euler ）方法 1.1欧拉方法 对一阶微分方程（8.1），把区间[]b a ,作n 等分：b x x x x a n n =<<<<=-110 ， 则分点为 ih a x i +=， n a b h -= ),2,1(n i = 由以上讨论可知，无论用一阶向前差商，还是用数值积分法左矩形公式，或者用泰勒公式取前两项都可得到同样的离散化计算公式 ()i i i i y x hf y y ,1+=+ 并将初值条件代入，则得到数值算法： () ()? ? ?=+=+a y y y x hf y y i i i i 01, ),2,1(n i = （8.3） 称其为欧拉方法。 几何上欧拉方法就是用一条折线近似表示曲线()x y y =（如图8-1）。因此欧拉方法又称为欧拉折线方法。

郑州大学研究生课程数值分析复习---第八章 常微分方程数值解法

郑州大学研究生课程（2012-2013学年第一学期）数值分析 Numerical Analysis 习题课 第八章常微分方程数值解法

待求解的问题：一阶常微分方程的初值问题/* Initial-Value Problem */: ?????=∈=0 )(] ,[),(y a y b a x y x f dx dy 解的存在唯一性（“常微分方程”理论）：只要f (x , y ) 在[a , b ] ×R 1 上连续，且关于y 满足Lipschitz 条件，即存在与x , y 无关的常数L 使 对任意定义在[a , b ] 上的y 1(x ) 和y 2(x ) 都成立，则上述IVP 存在唯一解。 1212|(,)(,)||| f x y f x y L y y ?≤?一、要点回顾

§8.2 欧拉(Euler)法 通常取(常数),则Euler 法的计算格式 h h x x i i i ==?+1?? ?=+=+) (),(001x y y y x hf y y i i i i i =0,1,…,n ( 8.2 )

§8.2 欧拉(Euler)法(1) 用差商近似导数 )) (,()()()()(1n n n n n n x y x hf x y x y h x y x y +=′+≈+?? ?=+=+) (),(01a y y y x hf y y n n n n 差分方程初值问题向前Euler 方法h x y x y x y n n n ) ()()(1?≈ ′+)) (,() ()(1n n n n x y x f h x y x y ≈?+))(,()(n n n x y x f x y =′

第8章 常微分方程数值解法 本章主要内容： 1.欧拉法、改进欧拉法 2

第8章 常微分方程数值解法 本章主要内容： 1．欧拉法、改进欧拉法. 2．龙格-库塔法。 3．单步法的收敛性与稳定性。 重点、难点 一、微分方程的数值解法 在工程技术或自然科学中，我们会遇到的许多微分方程的问题，而我们只能对其中具有较简单形式的微分方程才能够求出它们的精确解。对于大量的微分方程问题我们需要考虑求它们的满足一定精度要求的近似解的方法，称为微分方程的数值解法。本章我们主要 讨论常微分方程初值问题?????==00 )() ,(y x y y x f dx dy 的数值解法。 数值解法的基本思想是：在常微分方程初值问题解的存在区间[a,b]内，取n+1个节点a=x 0＜x 1＜…＜x N =b （其中差h n = x n –x n-1称为步长，一般取h 为常数，即等步长），在这些节点上把常微分方程的初值问题离散化为差分方程的相应问题，再求出这些点的上的差分方程值作为相应的微分方程的近似值（满足精度要求）。 二、欧拉法与改进欧拉法 欧拉法与改进欧拉法是用数值积分方法对微分方程进行离散化的一种方法。 将常微分方程),(y x f y ='变为() *+=?++1 1))(,()()(n x n x n n dt t y t f x y x y 1．欧拉法（欧拉折线法） 欧拉法是求解常微分方程初值问题的一种最简单的数值解法。 欧拉法的基本思想：用左矩阵公式计算（＊）式右端积分，则得欧拉法的计算公式为：N a b h N n y x hf y y n n n n -= -=+=+)1,...,1,0(),(1 欧拉法局部截断误差 11121 )(2 ++++≤≤''=n n n n n x x y h R ξξ或简记为O （h 2）。

第八章 常微分方程答案(2012[1].6)

例1 微分方程221y x y xy '=-+-满足1)0(=y 的特解为 ． 解：2 2 2(1)(1)(1)(1)11dy dy y x y x dx x dx y y '=-+? =-?=-++?? 解得 2 arctan 2 x y x C =-+，由0 14 x y C π ==?= 则方程的特解为 2arctan 24 x y x π=-+ 或 2tan()24x y x π =-+ 例2 解微分方程3 23 x xy y y -='． 解：323x xy y y -='即为3 2 1y x y y x ?? ???'=?? - ??? ，为齐次微分方程.令y u y xu y u xu x ''=?=?=+， 由已知321 u y u '=-，整理得211 u du dx u x -=， 两边积分得 2 22ln ln ln ln 2ln 22u u y u x C Cy Cy x ?? -=+?=?= ??? 则方程的通解为 2 2ln y Cy x ?? = ??? . 例3 微分方程x y y x ln =+'满足1)1(=y 的特解为 ． 解：原方程整理得1ln x y y x x '+ =，为一阶线性非齐次微分方程. 由通解公式得 11 ln 1ln ln 1dx dx x x x C y e e dx C xdx C x x x x - ??????=+=+=-+???????? 由1)1(=y 解得2C =，所以微分方程x y y x ln =+'满足1)1(=y 的特解为2 ln 1.y x x =-+

例4 微分方程3 1 y xy y += '的通解为 ． 解： 3 3dx dx xy y yx y dy dy =+? -=， 通解为 2 22 32 22232y y y ydy ydy e y e dy C Ce y x e y e dy C --???? +????? ???? =-?-? ?=+=?? 例5 解微分方程y x y y x 24=-'． ……① 解 原方程可化为y x y x y =?- '4 （2 1 =α的贝努里方程），即 x y x y y =?-'4 1 ……② 作换元y u = ，则 y y dx du 2' = ，②可化为 22x u x dx du =-（一阶线性非齐次方程） ……③ 由常数变易法可得③的通解为： )2ln (2x C x u + =， 故原方程通解为 )2 ln (2x C x y + =． 例6 已知函数(),()f x g x 满足x e x g x f x f x g x g x f 2)()(),()(),()(=+='='，且()00f =， 求)()()(x g x f x F =所满足的一阶微分方程，并求)(x F 的表达式． 解：(1) 由)()()()()(x g x f x g x f x F '+'='=)()(2 2x f x g + =)()(2)]()([2 x g x f x g x f -+)(242x F e x -=, 可见，)(x F 所满足的一阶微分方程为 2()2()4(0)0 x F x F x e F '?+=? =?．

大学物理A第九章简谐振动

第九章 简谐振动 一、填空题（每空3分） 9-1 质点作简谐振动，当位移等于振幅一半时，动能与势能的比值为 ，位移等于 时，动能与势能相等。（3:1,A ） 9-2两个谐振动方程为()120.03cos (),0.04cos 2()x t m x t m ωωπ==+则它们的合振幅为 。（0.05m ） 9-3两个同方向同频率的简谐振动的表达式分别为X 1=6.0×10-2cos( T π2t+4 π ) (SI) , X 2=4.0×10-2cos(T π 2t -43π) (SI) ,则其合振动的表达式为______(SI).( X=2.0×10-2cos( T π2t+4 π ) (SI)) 9-4一质点作周期为T 、振幅为A 的简谐振动，质点由平衡位置运动到2 A 处所需要的最短时间为_________。（ 12 T ） 9-5 有两个同方向同频率的简谐振动，其表达式分别为 )4 cos(1π ω+ =t A x m 、 )4 3 cos(32πω+=t A x m ，则合振动的振幅为 。(2 A) 9-6 已知一质点作周期为T 、振幅为A 的简谐振动，质点由正向最大位移处运动到2 A 处所需要的最短时间为_________。 ( 6 T ) 9-7有两个同方向同频率的简谐振动，其表达式分别为 )75.010cos(03.01π+=t x m 、 )25.010cos(04.02π-=t x m ，则合振动的振幅为 。 （0.01m ） 9-8 质量0.10m kg =的物体，以振幅2 1.010m -?作简谐振动，其最大加速度为2 4.0m s -?，通 过平衡位置时的动能为 ；振动周期是 。(-3 2.010,10s J π?) 9-9一物体作简谐振动，当它处于正向位移一半处，且向平衡位置运动，则在该位置时的相位为 ；在该位置，势能和动能的比值为 。（π） 9-10质量为0.1kg 的物体，以振幅21.010m -?作谐振动，其最大加速度为14.0m s -?，则通过最大位移处的势能为 。（3210J -?）

振动运动学

振动运动学 1. 选择题 题号：10111001 分值：3分 难度系数等级：1 物体做简谐运动时，下列叙述中正确的是 （A ）在平衡位置加速度最大； （B ）在平衡位置速度最小； （C ）在运动路径两端加速度最大； （D ）在运动路径两端加速度最小。 [ ] 答案：（C ） 题号：10111002 分值：3分 难度系数等级：1 一弹簧振子，当0t =时，物体处在/2x A =（A 为振幅）处且向负方向运动，则它的初相为 （A ） π3； （B ）π6 ； （C ）-π3； （D ）-π 6。 [ ] 答案：（A ） 题号：10111003 分值：3分 难度系数等级：1 两个同周期简谐振动曲线如图所示。x 1的相位比x 2的相位 (A) 落后π/2 ； (B) 超前π/2 ； (C) 落后π ； (D) 超前π 。 [ ] 答案：（B ） 题号：10111004 分值：3分 难度系数等级：1 把单摆摆球从平衡位置向位移正方向拉开，使摆线与竖直方向成一微小角度θ ，然后由静止放手任其振动，从放手时开始计时。若用余弦函数表示其运动方程，则该单摆振动的初相为 (A) π ； (B) π/2 ； (C) 0 ； (D) θ 。 [ ] 答案：（C ）

题号：10111005 分值：3分 难度系数等级：1 一弹簧振子，当0t =时，物体处在/2x A =-（A 为振幅）处且向负方向运动，则它的初相为 （A ） π3 ； （B ）-π3 ； （C ）23π- ； （D ）23π 。 [ ] 答案：（D ） 题号：10112006 分值：3分 难度系数等级：2 一质点作简谐振动，振幅为A ，在起始时刻质点的位移为/2A ，且向x 轴的正方向运动，代表此简谐振动的旋转矢量图为 (C) [ ] 答案：（B ） 题号：10112007 分值：3分 难度系数等级：2 一质点作简谐振动，周期为T 。当它由平衡位置向x 轴正方向运动时，从二分之一最大位移处到最大位移处这段路程所需要的时间为 (A) T /12 ； (B) T /8 ； (C) T /6 ； (D) T /4 。 [ ] 答案：（C ） 题号：10112008 分值：3分 难度系数等级：2 已知一质点沿ｙ轴作简谐振动。其振动方程为3 cos()4 y A t ωπ=+。与之对应的振动曲线是

《§1.1简谐运动》公开课教学设计

《§1.1简谐运动》公开课教学设计 授课教师：杨清泉授课班级：平山中学k二3 授课时间：2010-4-8星期四授课地点：物理实验室 （一）【教学目标】 知识与技能： 1.通过观察与分析，了解什么是机械振动。 2.掌握简谐运动回复力的特征。 3.掌握在一次全振动过程中回复力、加速度、速度随偏离平衡位置的位移变化的定性规律 过程和方法： 1、通过观察演示实验，概括出机械振动的特征，培养学生的观察、概括能力． 2、指导学生建立物理模型的科学方法，培养学生从实际问题中抽象出物理模型的能力。 情感、态度与价值观： 1、渗透物理学方法的教育，运用理想化方法，突出主要因素，忽略次要因素，抽象出物理模型——弹簧振子，研究弹簧振子在理想条件下的振动。 2、把物理知识延伸到生活的应用中去，让学生亲自体会到物理的实用性，激发他们学习物理的热情。（二）【教学重点】 1．掌握简谐运动的回复力特征．2．简谐运动的相关运动物理量的变化规律 （三）【教学难点】 1．偏离平衡位置的位移与运动学中的位移概念容易混淆． 2．在一次全振动中速度的变化． （四）【教学方法】 多媒体辅助教学、实验法（相关视频）、启发式的讲授课、讨论总结法、 （五）【教学教具】 多媒体课件、气垫弹簧振子、乒乓球、橡皮筋、铁架台、 （六）【新课过程】 一、导入新课 由一颗乒乓球说起物体运动状态： a：匀速直线运动；b：由静止释放——自由落体；c：水平抛出——平抛 d：线拉住在水平面内转动——匀速圆周运动 提问：若将系在铁架台上的乒乓球向下拉——运动特点？ 二、新课教学 （一）机械振动 1.定义：物体在平衡位置附近做往复运动，简称振动。（P3） 2.特点：a：有一平衡位置（即做机械振动的物体静止时所处的位置）b：往复运动（平 衡位置附近） 1）：学生举例：………… 2）：教师举例演示：[演示实验] 图1（a）一端固定的钢板尺图1（b）单摆

第二节 简谐运动的描述

第二节 简谐运动的描述 【学习目标】 1、 能结合简谐运动的振动图像说出简谐运动的振幅、周期和频率 2、 能结合数学的观点初步体会相位的概念 3、 能写出简谐运动的表达式能画出简谐运动的振动图像 【新课教学】 一、全振动（看课本第5页） 请写出下列几种情况下弹簧振子一次全振动的过程 1、 从E 点开始向右运动 2、 从E 点水平向左的运动 3、 从A 点开始运动 4、 从O 点水平向右的运动 二、描述简谐运动的物理量——振幅、周期和频率（看课本第5—6页） 例题1、如图是弹簧振子的振动图像，由图像试判断振子的振幅、周期、频率及其简谐运动的表达式 例题2、弹簧振子以O 点为平衡位置在B 、C 两点间做简谐运动，BC 相距20cm ，某时刻振子处于B 点，经0.5s ，振子首次到达C 点，求： （1） 振子的振幅 （2） 振子的周期和频率 二、简谐运动的表达式（看课本第7—8页） 例题3：两个简谐运动的表达式分别为x1=4asin （4πbt + 2π），x2=2asin （4πbt+2 3π），求他们的振幅之比，各自的频率，以及他们的相位差。 例题4/：如图是甲乙两振子的简谐振动图像 1、 甲乙两振子的振幅之比 2、 甲乙两振子的频率之比 3、 甲乙两振子的相位差

思考：弹簧振子在T、1/2T、1/4T内经过的路程与振幅的关系 1、振子在一个周期内经过的路程及N个周期内通过的路程是多少/ 2、半个周期内通过的路程及N个半周期内通过的路程是多少？ 3、1/4个周期内通过的路程与振幅的关系？请结合例二说明？ 【夯实基础】 1、下列说法正确的是（） A 物体完成一次全振动，通过的位移是4个振幅 B 物体在1/4个周期内通过的路程是1个振幅 C 物体在一个周期内通过的路程是4个振幅 D 物体在3/4个周期内通过的路程是3个振幅 2、如图示，弹簧振子在BC间做简谐运动，O为平衡位置，BC间距离为10cm，B到C 的运动时间为1s，则（） A 从O C O振子做了一次全振动 B 振动周期为1s，振幅是10cm C 经过两次全振动，通过的路程是20cm D 从B开始经过3s，振子通过的路程是30cm 3、如图所示为质点的振动图像，下列判断真确的是（） A 质点振动的周期是8s B 振幅是正负2cm C 4s质点的速度为负 D 10s末质点的速度为0 4、质点做简谐运动，从质点经过某一位置时开始计时，下 列说法正确是（） A 当质点再次经过此位置时，经历的时间为一个周期 B 当质点的速度再次与零时刻的速度相同时，经过的时间是一个周期 C 当质点的位移再次与零时刻相同时，经过的时间是一个周期 D 当质点经过的路程为振幅的2倍时，经过的时间为半个周期 5、弹簧振子的振幅增大到原来的4倍，其振动频率将 A、增大到原来的4倍 B、增大到原来的2倍 C、变为原来的1/2 D、仍保持不变 6、一个质点经过平衡位置O，在A、B间做简谐运动，如图所示，它的振动图像如图所示，设向右为正方向，则OB= cm，第0.2s末质点的速度方向，第0.7s 时，质点的位置在区间，质点从O运动到B再到A需时间t= s，在4s 内完成次全振动。 7、如图所示是两个简谐运动的振动图像，它们的相位差 是多少？

简谐振动总结

★简谐运动 简谐运动（Simple harmonic motion）（SHM）（直译简单和谐运动）是最基本也最简单的机械振动。当某物体进行简谐运动时，物体所受的力跟位移成正比，并且总是指向平衡位置。它是一种由自身系统性质决定的周期性运动。（如单摆运动和弹簧振子运动）实际上简谐振动就是正弦振动。故此在无线电学中简谐信号实际上就是正弦信号。 如果质点的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律，即它的振动图像（x-t图像）是一条正弦曲线，这样的振动叫做简谐运动。 定义 如果做机械振动的质点，其位移与时间的关系遵从正弦（或余弦）函数规律，这样的振动叫做简谐运动，又名简谐振动。因此，简谐运动常用 作为其运动学定义。其中振幅A，角频率，周期T，和频率f的关系分别 为：、 。 科学结论 振幅、周期和频率 简谐运动的频率（或周期）跟振幅没有关系，而是由本身的性质（在单摆中由初始设 定的绳长）决定，所以又叫固有频率。 一般简谐运动周期, 其中m为振子质量，k为振动系统的回复力系数。 一般，若振子受重力与弹力二力等效k=k,但平衡位置为kx=mg时所在位置。 单摆运动周期

其周期 （π为圆周率）这个公式仅当偏角很小时才成立。T与振幅（a<5°）都和摆球质量无关，仅限于绳长<<地球半径。[2] 扩展：由此可推出，据此可利用实验求某地的重力加速度。 周期公式证明 为了使示意图更加简洁，全部假设k=1，这样的话以为F回=-kx（并且在此强调此处负号只表示方向，不表示数值，所以在证明中使用数值关系时全部忽略负号），所以回复力F数值上和在图中的线段长度等于位移x，所以在两个示意图中都是用一条线表示的。一般简谐运动周期公式证明 因为简谐运动可以看做圆周运动的投影，所以其周期也可以用圆周运动的公式来推导。圆周运动的；很明显v无法测量到，所以根据 得到。 其中向心力F便可以用三角函数转换回复力得到即 （F=-kx中负号只表示方向，所以在这省略）。 所以得到； 因为x与r之间的关系是：x=rcosα，所以上式继续化简得到： 。 然后再将v带入之前的圆周运动T中，即可得到 。

第2章 2 简谐运动的描述

2．简谐运动的描述 学习目标：1.[物理观念]理解振幅、周期和频率，了解相位． 2.[科学思维]能用简谐运动的表达式描述简谐运动． ☆阅读本节教材，回答第35页“问题”并梳理必要的知识点．教材第35页问题提示：根据简谐运动的周期性、振动快慢的特点，物理学引入了振幅、周期和频率描绘简谐运动． 一、描述简谐运动的物理量 1．振幅 (1)定义：振动物体离开平衡位置的最大距离，叫作振动的振幅．用A表示，国际单位为米(m)． (2)物理含义：振幅是描述振动范围的物理量；振幅的大小反映了振动的强弱和振动系统能量的大小． 2．周期(T)和频率(f) 内容周期频率 定义 做简谐运动的物体完成一次全 振动所需要的时间 物体完成全振动的次数与所用 时间之比 单位秒(s)赫兹(Hz) 物理含义都是表示振动快慢的物理量 联系f＝ 1 T 注意：不管以哪个位置作为研究起点，做简谐运动的物体完成一次全振动的时间总是相同的． 3．相位：在物理学中，周期性运动在各个时刻所处的不同状态用不同的相

位来描述． 二、简谐运动的表达式 1．表达式：简谐运动的表达式可以写成 x ＝A sin ()ωt ＋φ或x ＝A sin ? ?? ??2πT t ＋φ 2．表达式中各量的意义 (1)“A ”表示简谐运动的“振幅”． (2)ω是一个与频率成正比的物理量，叫简谐运动的圆频率． (3)“T ”表示简谐运动的周期，“f ”表示简谐运动的频率，它们之间的关 系为T ＝1f . (4)“2πT t ＋φ”或“2πft ＋φ”表示简谐运动的相位． (5)“φ”表示简谐运动的初相位，简称初相． 说明： 1．相位ωt ＋φ是随时间变化的一个变量． 2．相位每增加2π就意味着完成了一次全振动． 1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)振幅就是振子的最大位移． (×) (2)从任一个位置出发又回到这个位置所用的最短时间就是一个周期． (×) (3)振动物体的周期越大，表示振动得越快． (×) (4)简谐运动的位移表达式与计时时刻物体所在位置无关． (×) 2．(多选)如图所示，弹簧振子以O 点为平衡位置，在B 、C 间振动，则( ) A ．从 B →O → C →O →B 为一次全振动 B ．从O →B →O → C →B 为一次全振动 C ．从C →O →B →O →C 为一次全振动 D ．B 、C 两点关于O 点对称

高三物理简谐运动的公式描述

简谐运动的公式描述教案 教学目标 1．知识与技能 (1)会用描点法画出简谐运动的运动图象． (2)知道振动图象的物理含义，知道简谐运动的图象是一条正弦或余弦曲线． (3)了解替代法学习简谐运动的位移公式的意义． (4)知道简谐运动的位移公式为x=A sin（ωt＋?），了解简谐运动位移公式中各量的物理含义． (5)了解位相、位相差的物理意义． (6)能根据图象知道振动的振幅、周期和频率、位相． 2．过程与方法 (1)通过“讨论与交流”匀速圆周运动在Ⅳ方向的投影与教材表1—3—1中数据的比较，并描出z—t函数曲线，判断其结果，使学生获知匀速圆周运动在x方向的投影和简谐运动的图象一样，是一条正弦或余弦曲线． (2)通过用参考圆替代法学习简谐运动的位移公式和位相，使学生懂得化难为易 以及应用已学的知识解决问题． (3)通过课堂讲解习题，可以巩固教学的知识点与清晰理解重点与难点． 3．情感、态度与价值观 (1)通过本节的学习，培养学生学会用已学的知识使难题化难为易、化繁为简， 科学地寻找解决问题的方法． (2)培养学生合作学习、探究自主学习的学习习惯． ●教学重点, 难点 1.简谐运动位移公式x=A sin（ωt＋?）的推导 2.相位, 相位差的物理意义.. ●教学过程 教师讲授 简谐振动的旋转矢量法 在平面上作一坐标轴OX，由原点O作一长度等于振幅的矢量A 。 t=0,矢量与坐标轴的夹角等于初相? 矢量A以角速度w逆时针作匀速圆周运动，研究端点M 在x 轴上投影点的运动，1.M 点在x 轴上投影点的运动 x=A sin（ωt＋?）为简谐振动。 x代表质点对于平衡位置的位移，t代表时间，简谐运动的三角函数表示 回答下列问题 a:公式中的A代表什么? b:ω叫做什么?它和f之间有什么关系? c:公式中的相位用什么来表示? d:什么叫简谐振动的初相?

《简谐运动》教案

简谐运动 一、教学目的 1、知识与能力： （1）认识弹簧振子 （2）通过观察和分析，理解简谐运动的位移——时间图像是一条正弦曲线，培养分析和概括能力； 2、过程与方法：经历对简谐运动运动学特征的探究过程，加深领悟用图像描绘运动的方法； 3、情感、态度、价值观：培养学习物理的兴趣，陶冶热爱生活的情操。 二、教学重点：简谐运动位移——时间图像的建立及图像的物理含义 三、教学难点：简谐运动位移——时间图像的建立 四、教具：水平弹簧振子、竖直弹簧振子、单摆、振铃、托盘天平、物体平衡仪、音叉、乒乓球等。 五、教学过程 [引入]今天我们开始学习第十一章机械振动，第一节简谐运动（板书）。首先请大家欣赏一段古筝演奏。 问题1：古筝为什么能够发出声音？（琴弦的振动） 问题2：还有哪些乐器是靠琴弦的振动发出声音的？（小提琴、大提琴、吉他、二胡、琵琶等） 振动在我们生活中十分常见 问题3：能不能再举例一些生活中类似这样的振动？（说话时声带振动等；剧烈而令人恐惧的振动——地震） 我们实验室也普遍存在这样的振动，请大家仔细观察，演示如：天平指针的振动、音叉的振动、单摆的振动、水平弹簧振子、竖直弹簧振子。在我们演示的振动中有水平方向的振动也有竖直方向的振动。 问题4：它们具有共同的特征是什么？（在某一中心位置来回运动，强化“往复”和“周期性”） 我们把这个中心位置叫做平衡位置（原来静止的位置，标出竖直弹簧振子的平衡位置，把振动的物体叫做振子） 一、机械振动：物体在平衡位置附近所做的往复运动。简称为振动 特点：往复性、周期性 简图示意： 实际的振动是非常复杂的，大家已经观察到刚刚的振动在阻力的作用下，有些很快就停下来，有些振动的幅度正在减弱。为了研究的方便，我们

简谐运动位移公式推导

简谐运动位移公式推导 问题：质量为m 的系于一端固定的轻弹簧（弹簧质量可不计）的自由端。如图（a ）所示， 将物体略向右移，在弹簧力作用下，若接触面光滑，m 物体将作往复运动，试求位移x 与时间t 的函数关系式。 图（a ） 分析：m 物体在弹力F 的作用下运动，显然位移X 与弹力F 有关，进而由弹簧联想起胡克定律，但结果只有位移与时间，故要把弹力F 替换成关于X 与t 的量，再求解该微分方程。 推导：取物体平衡位置O 为坐标原点,物体运动轨迹为X 轴，向右为正。设弹力为F, 由胡克定律 F =?kX ,K 为劲度系数，负号表示力与位移方向相反。 根据牛顿第二定律，m 物体加速度a=dv dt =d2X dt 2=F m =-k m x (1) 可令k m =ω2 (2) 代入（a ）,得 d2X dt 2=?ω2X 或d2X dt 2+ω2X=0 (3) 显然，想求出位移X 与时间t 的函数关系式，须解出此微分方程

求解：对于d2X dt 2+ω2X=0，即X ’’+ ω2X=0 (4) (4)式属可将阶的二阶微分方程， 若设X ’=u ，消去t,就要把把X ”转化为关于X 与t 的函数，那么 X ’’=dX"dt = du dx dx dt =u du dx , u du dx +ω2X=0, u du dx =?ω2X 下面分离变量再求解微分方程，然后两边积分，得 ∫udu =?ω2∫Xdx 得 12u 2=? 12 ω2 x 2+C ，即u 2=? ω2 x 2+C1 (5) u=x ’,x ’=√C1? ω2 x 2 =dx dt (6) 再次分离变量，dx √C1? ω=dt (7) 两边积分，右边=t ，但左边较为复杂， 经过仔细思考，笔者给出一种求解方法： 运用三角代换，令X=√C1ω cos z (7)式左边化为d cos z ωsin z =?sin zdz ωsin z =-dz ω, 两边积分，得 -–z ω =t+C2 由此可得， X=√C1ω cos (ωt+ωC2),

已知一质点沿y轴作简谐振动其振动方程为y

重庆邮电大学2008-2009学年第 1 学期 4. 已知一质点沿ｙ轴作简谐振动。其振动方程为y = A cos(ωt + 3π/4)。与之对应的振动 曲线是： 5. [ ] 6. 在简谐波传播过程中，沿传播方向相距为λ（λ 为波长）的两点的振动速度必定： 7. (A) 大小相同，而方向相反． (B) 大小和方向均相同． 8. (C) 大小不同，方向相同． (D) 大小不同，而方向相反． [ ] 9. 如图所示，一个电荷为q 的点电荷位于立方体的A 角上，则通过侧面abcd 的电场 强度通量等于： 10. (A) q/60 (B) q/120 (C) q/240 (D) q/480 [ ] 11. 如图所示，半径为R 的均匀带电球面，总电荷为Q ，设无穷远处的电势为零，则球 内距离球心为r 的P 点处的电场强度的大小和电势为: 12. (A) E = 0, U = Q /40r (B) E = 0, U = Q /4 0R 13. (C) E = Q /4 0r 2 , U = Q /40r (D) E = Q /4 0r 2 , U = Q /4 0R 14. [ ] 一 选择题（每题3分，共36分） 1. 如图所示，湖中有一小船，有人用绳绕过岸上一定高度处的定滑轮拉湖中的船向 岸边运动．设该人以匀速率v 0 收绳，绳不伸长、湖水静止，则小船的运动是 2. (A) 匀加速运动． (B) 匀减速运动． 3. (C) 变加速运动． (D) 变减速运动. 2. 质量分别为m 和M 的滑块A 和B ，叠放在光滑水平桌面上，如图所示。A 、B 间 静摩擦系数为μs ，滑动摩擦系数为μk ，系统原处于静止。今有一水平力作用于A 上，要使A 、B 不发生相对滑动，则应有： 3. (A) F μs mg (B) F μs (1+m /M )mg 4. (C) F μs (m +M )g (D) F μk (1+m /M )mg [ ] 3. 两个通有电流的平面圆线圈相距不远，如果要使其互感系数近似为零，则应调整 线圈的取向使 4. (A) 两线圈平面都平行于两圆心连线． 5. (B) 两线圈平面都垂直于两圆心连线． 6. (C) 一个线圈平面平行于两圆心连线，另一个线圈平面垂直于两圆心连线． 7. (D) 两线圈中电流方向相反． [ ]