新教材北师大版高中数学必修二 高中数学常用解题公式结论

数学公式

一．三角函数

1.三角函数的定义：正弦：sin y r α=

；余弦：cos x r α=；正切：tan y

x

α=；其中：r =2.诱导公式：π倍加减名不变，符号只需看象限；半π加减名要变，符号还是看象限。 3.和差公式：①sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±（伞科科伞，符号不反） ②cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=（科科伞伞，符号相反） ③tan tan tan()1tan tan αβ

αβαβ

±±=

（上同下相反）

4.二倍角公式：①sin 22sin cos ααα=

②2222cos 2cos sin 12sin 2cos 1ααααα=-=-=- ③2

2tan tan 21tan α

αα

=- 5.降幂公式：①.sin 2sin cos 2ααα=

②.21cos 2sin 2αα-=③.21cos 2cos 2

α

α+=

6.辅助角公式:sin cos ).(tan ,0)b

a wx

b wx wx a a

ϕϕ+=+=>

7.正弦定理：

2sin sin sin a b c

R A B C ===

8.余弦定理：①222

222cos 2cos 2b c a A a b c bc A bc

+-=

⇔=+- ②222

222cos 2cos 2a c b B b a c ac B ac +-=

⇔=+- ③222

222cos 2cos 2a b c C c a b ab C ab

+-=

⇔=+- 9.三角形最值原理：三角形中一个角及其对边已知时、另外两边或两角相等时周长取得最小值，面积取得最大值；

二．平面向量

1.向量加法的作图：上终下起，中间消去；AB BC AC +=

2.向量减法的作图：起点相同，倒回来读；C C A -AB =B

3.向量平行的判定：(1)向量法://=a b b a λ⇔; (2)向量法: 1221//0a b x y x y ⇔-=

4.向量垂直的判定：(1)向量法: 0a b a b ⊥⇔=; (2)向量法: 12120a b x x y y ⊥⇔+=

5.向量的数量积公式：(1)向量法: cos a b a b θ=; (2)向量法: 1212=a b x x y y +

6.向量的夹角公式：(1)向量法: cos =

a b a b

θ; (2)向量法: cos θ

7.a 方向上的单位向量: (1)向量法: a e a

=; (2)向量法: 121=x a e a x ⎛

⎫

= +⎝ 8.证明A 、B 、C 三点共线两种方法：(1)两个向量,AB AC 共线且有一个公共点A ；

(2)(1)

PA xPB yPC x y =++=

三．立体几何初步

1.多面体的内切球半径：123n

V

r S S S =

++⋅⋅⋅+

2.长方体的外接球半径：2R =

3.直棱锥的外接球半径：22

2()2

2sin h R r a r A ⎧=+⎪⎪⎨

⎪=⎪⎩

4.正棱锥的外接球半径：222()2sin R

r h R a r A ⎧=+-⎪

⎨=⎪

⎩

5.正三角形的性质：高：

h =

，面积：2S = 6.正三角形与圆：

内切圆半径：r =

，外接圆半径：R =，且21

R r =

7.正四面体的高：斜高：h =斜，正高：h =正

8.正四面体与球：内切球半径r ，外接球半径R ，且31

R r

=且r R h +=正

2021年高中数学新北师大版必修第二册 第六章 6.2 柱、锥、台的体积 教案

柱、锥、台的体积 【教学过程】 一、基础铺垫 柱体、锥体、台体的体积公式： 其中S′、S分别表示上、下底面的面积，h表示高，r′和r分别表示上、下底面圆的半径，R表示球的半径． 二、合作探究 1.求柱体的体积 【例1】如图所示的几何体，上面是圆柱，其底面直径为6 cm，高为3 cm，下面是正六棱柱，其底面边长为4 cm，高为2 cm，现从中间挖去一个直径为2 cm的圆柱，求此几何体的体积．

[解] V 六棱柱＝34×42×6×2＝483(cm 3)， V 圆柱＝π·32×3＝27π(cm 3)， V 挖去圆柱＝π·12×(3＋2)＝5π(cm 3)， ∴此几何体的体积： V ＝V 六棱柱＋V 圆柱－V 挖去圆柱＝(483＋22π)(cm 3)． 【规律方法】 计算柱体体积的关键及常用技巧 （1）计算柱体体积的关键：确定柱体的底面积和高. （2）常用技巧： ①充分利用多面体的截面及旋转体的轴截面，构造直角三角形，从而计算出底面积和高. ②由于柱体的体积仅与它的底面积和高有关，而与柱体是几棱柱，是直棱柱还是斜棱柱没有关系，所以我们往往把求斜棱柱的体积通过作垂直于侧棱的截面转化成求直棱柱的体积. 2.求锥体的体积 【例2】 在如图三棱台ABC -A 1B 1C 1中，AB ∶A 1B 1＝1∶2，求三棱锥A 1-ABC ，三棱锥B -A 1B 1C ，三棱锥C -A 1B 1C 1的体积之比． [思路探究] AB ∶A 1B 1＝1∶2―→S △ABC ∶S △A 1B 1C 1―→ 计算VA 1-ABC ―→计算VC -A 1B 1C 1―→计算VB -A 1B 1C [解] 设棱台的高为h ，S △ABC ＝S ，则S △A 1B 1C 1＝4S . ∴VA 1-ABC ＝13S △ABC ·h ＝13Sh ， VC -A 1B 1C 1＝13S △A 1B 1C 1·h ＝43Sh .

北师大版高中数学必修二第二章圆与方程小结与复习教案

第二章圆与方程小结与复习 一、教材分析：本章在第二章“直线与方程”的基础上，在直角坐标系中建立圆的方程，并通过圆的方程研究直线与圆、圆与圆的位置关系。在直角坐标系中建立几何对象的方程，并通过方程研究几何对象，这是研究几何问题的重要方法，通过坐标系把点与坐标、曲线与方程联系起来，实现空间形式与数量关系的结合。坐标法是贯穿本章的灵魂，在教学中要让学生充分的感受体验。 二、教学目标：1．了解解析几何的基本思想，了解用坐标法研究几何问题；掌握圆的标准方程和一般方程，加深对圆的方程的认识。2．能根据给定的直线、圆的方程判断直线与圆、圆与圆的位置关系，能用直线与圆的方程解决一些简单问题。3．了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置，会用空间两点间的距离公式。4．通过本节的复习，使学生形成系统的知识结构，掌握几种重要的数学思想方法，形成一定的分析问题和解决问题的能力。 三、教学重点：解析几何解题的基本思路和解题方法的形成。 教学难点：整理形成本章的知识系统和网络。 四、教学过程： （一）．知识要点：学生阅读教材142P 的小结部分． （二）．典例解析： 1．例1。(1)求经过点A(5,2),B(3,2),圆心在直线2x─y─3=0上的圆的方程; (2)求以O(0,0),A(2,0),B(0,4)为顶点的三角形OAB 外接圆的方程 解：(1)设圆心P(x 0,y 0),则有⎩⎨⎧-+-=-+-=--2 020202000) 2()3()2()5(032y x y x y x , 解得 x 0=4, y 0=5, ∴半径r=10, ∴所求圆的方程为(x─4)2 +(y─5)2 =10 (2)采用一般式,设圆的方程为x 2+y 2 +Dx+Ey+F=0,将三个已知点的坐标代入列方程组解得：D=─2, E=─4, F=0 点评：第(1),(2)两小题根据情况选择了不同形式 2．例2。设A （－c ，0）、B （c ，0）（c >0）为两定点，动点P 到A 点的距离与到B 点的距离的比为定值a （a >0），求P 点的轨迹 分析：给曲线建立方程是解析几何的两个主要问题之一，其基本方法就是把几何条件代数化；主要问题之二是根据方程研究曲线的形状、性质，即用代数的方法研究几何问题

北师大版高中数学必修二教师用书：2-1-2-2 直线方程的两点式和一般式

二 直线方程的两点式和一般式 1．直线方程的两点式 2.直线方程的截距式 3.直线方程的一般式 (1)定义：关于x 、y 的二元一次方程 Ax ＋By ＋C ＝0_(A 、B 不同时为0)表示的是一条直线，我们把它叫作直线方程的一般式． (2)适用范围：平面直角坐标系中任意一条直线都可用直线方程的一般式来表示． (3)系数的几何意义 当B ≠0时，y ＝－A B x －C B ，它表示平面直角坐标系中一条不垂直

于x 轴的直线(其中－A B 就是直线的斜率)． 当B ＝0时，则A ≠0，所以有x ＝－C A ，它表示平面直角坐标系中一条与x 轴垂直的直线． 1．已知两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，其中x 1≠x 2，y 1≠y 2，求通过这两点的直线方程． [★答案☆] y －y 1＝y 2－y 1x 2－x 1(x －x 1)，即y －y 1y 2－y 1＝x －x 1 x 2－x 1 . 2．过点(1,3)和(1,5)的直线能用两点式表示吗？为什么？过点(2,3)，(5,3)的直线呢？ [★答案☆] 不能，因为1－1＝0，而0不能做分母．过点(2,3)，(5,3)的直线也不能用两点式表示． 3．截距式方程能否表示过原点的直线？ [★答案☆] 不能．因为ab ≠0，即有两个非零截距． 4．当B ≠0时，方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)表示怎样的直线？B ＝0呢？ [★答案☆] 当B ≠0时，由Ax ＋By ＋C ＝0，得y ＝－A B x －C B ，所以该方程表示斜率为－A B ，在y 轴上截距为－C B 的直线； 当B ＝0时，A ≠0，由Ax ＋By ＋C ＝0，得x ＝－C A ， 所以该方程表示一条垂直于x 轴的直线． 题型一 直线的两点式方程 【典例1】 已知A (－3,2)，B (5，－4)，C (0，－2)，在△ABC 中， (1)求BC 边的方程； (2)求BC 边上的中线所在直线的方程．

新教材北师大版高中数学必修二 高中数学常用解题公式结论

数学公式 一．三角函数 1.三角函数的定义：正弦：sin y r α= ；余弦：cos x r α=；正切：tan y x α=；其中：r =2.诱导公式：π倍加减名不变，符号只需看象限；半π加减名要变，符号还是看象限。 3.和差公式：①sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±（伞科科伞，符号不反） ②cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=（科科伞伞，符号相反） ③tan tan tan()1tan tan αβ αβαβ ±±= （上同下相反） 4.二倍角公式：①sin 22sin cos ααα= ②2222cos 2cos sin 12sin 2cos 1ααααα=-=-=- ③2 2tan tan 21tan α αα =- 5.降幂公式：①.sin 2sin cos 2ααα= ②.21cos 2sin 2αα-=③.21cos 2cos 2 α α+= 6.辅助角公式:sin cos ).(tan ,0)b a wx b wx wx a a ϕϕ+=+=> 7.正弦定理： 2sin sin sin a b c R A B C === 8.余弦定理：①222 222cos 2cos 2b c a A a b c bc A bc +-= ⇔=+- ②222 222cos 2cos 2a c b B b a c ac B ac +-= ⇔=+- ③222 222cos 2cos 2a b c C c a b ab C ab +-= ⇔=+- 9.三角形最值原理：三角形中一个角及其对边已知时、另外两边或两角相等时周长取得最小值，面积取得最大值； 二．平面向量 1.向量加法的作图：上终下起，中间消去；AB BC AC += 2.向量减法的作图：起点相同，倒回来读；C C A -AB =B 3.向量平行的判定：(1)向量法://=a b b a λ⇔; (2)向量法: 1221//0a b x y x y ⇔-=

高中数学第一章推理与证明2综合法和分析法教材基础北师大选修2-2讲解

高中数学第一章推理与证明2综合法和分析法教材基础北师大 选修2-2讲解 第一篇：高中数学第一章推理与证明2综合法和分析法教材基础北师大选修2-2讲解 §2 综合法和分析法 在数学中,常用推理和证明来证明一个命题,证明是引用一些真实的命题来确定某一命题真实性的思维形式,在过去的学习中,我们曾经用直接证明或间接证明两类方法证明过许多命题.本节的内容就是学习直接证明的两种方法:综合法和分析法.高手支招1细品教材 一、演绎推理 1.概念:从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,这种推理称为演绎推理. 2.演绎推理的特点 (1)演绎的前提是一般性原理,演绎所得的结论是蕴涵于前提之中的个别、特殊事实,结论完全蕴涵于前提之中.(2)在演绎推理中,前提与结论之间存在必然的联系.只要前提是真实的,推理的形式是正确的,那么结论也必定是正确的.因而演绎推理是数学中严格证明的工具.(3)演绎推理是一种收敛性的思维方法,它缺少创造性,但却具有条理清晰、令人信服的论证作用,有助于科学的理论化和系统化.状元笔记 演绎推理是由一般到特殊的推理;演绎推理的特征是:当前提为真时,结论必然为真.【示例】判断下列推理,哪些为合情推理,哪些不是合情推理。 (1)a//b,b//c,则a//c;（2)a⊥b,b⊥c,则a⊥c;（3)三角形的内角和为180°,四边形的内角和为360°,五边形的内角和为540°, ……,所以n边形的内角和为(n-2)×180°;(4)今天是星期日,7天之后也是星期日.思路分析：根据实际问题中推理所得问题的真假来判断是否为合情推理.答案：合情推理为(1)(3)(4),不是合情推理的是(2).二、直接证明 1.概念直接从原命题的条件逐步推得结论成立,这种证明方法叫直接证明.2.答案：直接证明的一般形式 本题条件⎫⎪已知定义⎪⎬⇒Λ本题结论

北师大版高中数学必修第二册《两角和与差的三角函数公式》说课稿

北师大版高中数学必修第二册《两角和与差的三角函数公式》 说课稿 一、课程背景 本课程是高中数学必修课程的一部分，属于北师大版高中 数学必修第二册内容。本节课主要介绍两角和与差的三角函数公式。通过学习本课程，学生将能够理解和掌握两角和与差的三角函数公式的推导过程和应用范围，培养学生的数学逻辑思维和问题解决能力。 二、教学目标 1.理解两角和与差的三角函数公式的概念及推导过程； 2.能够熟练运用两角和与差的三角函数公式进行计算； 3.培养学生的逻辑思维和问题解决能力。 三、教学重点 1.掌握两角和与差的三角函数公式的推导过程； 2.理解两角和与差的三角函数公式的应用范围。 四、教学内容 1.两角和的三角函数公式的推导过程 –介绍两角和的概念，并引入正弦、余弦、正切的概念； –利用代数方法推导出正弦、余弦的两角和公式，并注重解释公式的几何意义； –利用正弦、余弦的两角和公式推导出正切的两角和公式。 2.两角差的三角函数公式的推导过程 –介绍两角差的概念，并引入正弦、余弦、正切的概念；

–利用代数方法推导出正弦、余弦的两角差公式，并注重解释公式的几何意义； –利用正弦、余弦的两角差公式推导出正切的两角差公式。 3.两角和与差的三角函数公式的应用 –结合实际问题，通过示例和练习题来演示两角和与差的三角函数公式的应用； –引导学生运用两角和与差的三角函数公式解决与实际问题相关的数学计算题。 五、教学方法 1.归纳法教学法：通过引导学生观察、总结和归纳， 帮助学生理解和掌握两角和与差的三角函数公式的推导过程。 2.实践探究法：通过实际问题的引入，让学生在实际 应用中感受两角和与差的三角函数公式的重要性和实用性，激发学生的学习兴趣和求知欲。 3.情景模拟法：通过情景模拟，让学生参与到具体问 题的解决过程中，培养学生的问题解决能力和逻辑思维能力。 六、教学步骤 1.引入（5分钟） –简要介绍两角和与差的概念，激发学生对本节课的兴趣； –提出学习两角和与差的三角函数公式的重要性，并引发学生思考公式的推导过程。 2.两角和的三角函数公式的推导（15分钟） –介绍正弦、余弦的两角和公式的推导过程，理解为两个角的和对应于一个三角函数；

北师大版高中数学必修第二册《半角公式》说课稿

北师大版高中数学必修第二册《半角公式》说课稿 一、教材背景 《半角公式》是北师大版高中数学必修第二册的一章内容，它是高中数学中的一项重要知识点。在本章中，学生将学习如何将角度转化为弧度，并且通过半角公式来求解与三角函数相关的问题，进一步加深对三角函数的理解和应用。 二、教学目标 1.知识目标： –理解角度和弧度的关系，熟练进行角度和弧度的转换； –掌握半角公式的引入和推导，熟练运用半角公式进行计算； –理解半角公式的几何意义，掌握应用半角公式解决几何问题。 2.能力目标： –培养学生的逻辑思维和推理能力； –培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。 3.情感目标： –培养学生对数学的兴趣，增强其对数学的探索和应用的兴趣； –培养学生的合作意识和团队协作能力。 三、教学重点与难点 1.教学重点： –半角公式的引入和推导； –运用半角公式解决实际问题。 2.教学难点：

–核心概念的理解：角度和弧度的关系； –半角公式的推导和应用。 四、教学过程 1. 导入与引入（5分钟） - 导入 老师可以通过提问的方式导入，例如：你们小时候见过什 么样的旋转物体？ - 引入 老师可以用一个实际生活中的例子引入：同学们，我们在 日常生活中经常遇到旋转的物体，比如车轮、风扇等，那么我 们如何描述这些旋转的物体的角度呢？请大家思考一下。 2. 角度与弧度的关系（15分钟） - 角度与弧度的概念解释 首先，老师对角度和弧度的概念进行解释：角度是描述旋 转的度量单位，常用符号为°；弧度是描述角度的弧长与半径 之比，常用符号为rad。 - 角度与弧度的转换 接着，老师介绍角度与弧度的转换方式：1圆周角= 360°，而1圆周角= 2πrad，所以角度与弧度之间的转换公式为：1° = π/180 rad。 3. 弧度制与角度制的运算（20分钟） 老师通过例题和计算的方式，引导学生进行弧度制和角度 制的运算，例如： - 弧度制换角度制：π/6 rad = ？° - 角度制换弧度制：45° = ？rad

新教材高中数学第1章三角函数§3弧度制学案含解析北师大版必修第二册

新教材高中数学学案含解析北师大版必修第二册： §3 弧度制 学 习 任 务 核 心 素 养 1.了解角的另外一种度量方法——弧度制．(重点、难点) 2．能够熟练地在角度制和弧度制之间进行换算．(重点) 3．掌握弧度制中弧长公式和扇形的面积公式．(重点) 1．通过弧度制的建立过程，培养逻辑推理素养． 2．通过弧度制与角度制的换算以及弧长公式和扇形的面积公式的应用，提升数学运算素养． 度量长度可以用米、英尺等不同的单位制，度量重量可以用千克、磅等不同的单位制，不同的单位制能给解决问题带来方便，角的度量也可以用不同的单位制，那么测量角除了角度外，是否还有其它单位，它是怎样定义的？ 这就是本节课我们要重点研究的问题． 知识点1 弧度制的定义 在单位圆中，长度等于1的弧所对的圆心角为1弧度的角，它的单位符号是rad ，读作弧度．以弧度作为单位来度量角的方法，称作弧度制． 1.在给定半径的圆中，弧长一定时，圆心角确定吗？ [提示] 确定． 知识点2 角度与弧度的互化 角度化弧度 弧度化角度 360°＝2π rad 2π rad ＝360° 180°＝π rad π rad ＝180° 1°＝π 180 rad ≈0.017_45 rad 1 rad ＝⎝⎛⎭⎫ 180π°≈57°18′ 2.(1)在角度制中，把圆周角等分成360份，其中的一份是多少度？ (2)在弧度制中，把圆周角等分成360份，其中的一份是多少弧度？ [提示] (1)1度；(2)π 180 弧度． 1.(1)与120°角终边相同的角为( ) A ．2k π－2π 3 (k ∈Z ) B ．11π3

C ．2k π－10π 3(k ∈Z ) D ．(2k ＋1)π＋2π 3 (k ∈Z ) (2)－ 23π 12 化为角度应为( ) A ．－345° B ．－15° C ．－315° D ．－375° (1)C (2)A [(1)120°＝2π3且2k π－10π3＝(2k －4)π＋2π 3(k ∈Z )， ∴120°与2k π－10π 3(k ∈Z )，终边相同． (2)－ 23π12＝－23 12 ×180°＝－345°.] 知识点3 弧长与扇形面积公式 设扇形的半径为r ，弧长为l ，α(0<α<2π)为其圆心角，则 α为度数 α为弧度数 扇形的弧长 l ＝απr 180 l ＝αr 扇形的面积 S ＝απr 2 360 S ＝12lr ＝12 αr 2 2.已知扇形的半径为12，弧长为18，则扇形圆心角为________． 32 [由弧长公式l ＝αR ，得α＝l R ＝1812＝32 .] 类型1 弧度制的概念 【例1】 下列说法中，错误的是( ) A ．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位 B ．1度的角是周角的1360，1弧度的角是周角的12π C ．根据弧度的定义，180°一定等于π弧度 D ．不论是用角度制还是用弧度制度量角，角的大小均与圆的半径大小有关 D [A 正确； 1度的角是周角的1360，1弧度的角是周角的1 2π，B 正确； 根据弧度的定义，180°一定等于π弧度，C 正确． 根据角度制与弧度制的定义，无论是用角度制还是用弧度制度量角，角的大小均与圆的半径大小无关，而是与弧长和半径的比值有关，所以D 错误，故选D.] 1.“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位.1度的角是周角的

高中数学北师大版2019必修第二册教案两角和与差的余弦公式及其应用

两角和与差的余弦公式及其应用 【教学过程】 一、问题导入 （1）我们已经知道了30°，45°的正弦、余弦值，那么，能否根据这些值求出cos15°的值呢？ （2）一般地，怎样根据α与β的三角函数值求出cos（α-β）的值？ 二、新知探究 1．利用两角和与差的余弦公式化简求值 【例1】（1）cos 345°的值等于（）。 A．2－6 4B． 6－2 4 C．2＋6 4D．－ 2＋6 4 （2）化简下列各式： ①cos（θ＋21°）cos（θ－24°）＋sin（θ＋21°）sin（θ－24°）； ②－sin 167°·sin 223°＋sin 257°·sin 313°。 思路探究：利用诱导公式，两角差的余弦公式求解。 （1）C；[cos 345°＝cos（360°－15°） ＝cos 15°＝cos（45°－30°）＝cos 45°·cos 30°＋sin 45°·sin 30° ＝6＋2 4。] （2）解：①原式＝cos[θ＋21°－（θ－24°）] ＝cos 45°＝ 2 2，所以原式＝ 2 2；

②原式＝－sin （180°－13°）sin （180°＋43°）＋sin （180°＋77°）·sin （360°－47°） ＝sin 13°sin 43°＋sin 77°sin 47° ＝sin 13°sin 43°＋cos 13°cos 43° ＝cos （13°－43°）＝cos （－30°）＝32。 [教师小结] （一）在两角和与差的余弦公式中，α，β可以是单个角，也可以是两个角的和或差，在运用公式时常将两角的和或差视为一个整体。 （二）在两角和与差的余弦公式求值应用中，一般思路是： （1）把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接求值。 （2）在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角和或差的余弦公式的结构形式，然后逆用公式求值。 2．给值（式）求值 【例2】（1）已知cos α＝35，α∈⎝ ⎛⎭ ⎪⎫32π，2π，则cos α－π3＝________。 （2）α，β为锐角，cos （α＋β）＝1213，cos （2α＋β）＝35，求cos α的值。 思路探究：（1）可先求得sin α，再用两角差的余弦公式求cos ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫α－π3； （2）可考虑拆角，即α＝（2α＋β）－（α＋β）来求cos α。 答案：（1）3－4310；[因为cos α＝35，α∈⎝ ⎛⎭ ⎪⎫32π，2π， 所以sin α＝－45， 所以cos ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫α－π3＝cos αcos π3＋sin αsin π3 ＝35×12＋⎝ ⎛⎭ ⎪⎫－45×32＝3－4310。] （2）解：因为α，β为锐角，所以0<α＋β<π。 又因为cos （α＋β）＝1213，所以0<α＋β<π2，所以0<2α＋β<π。 又因为cos （2α＋β）＝35，所以0<2α＋β<π2， 所以sin （α＋β）＝513，sin （2α＋β）＝45， 所以cos α＝cos[（2α＋β）－（α＋β）] ＝cos （2α＋β）·cos （α＋β）＋sin （2α＋β）·sin （α＋β）

高中数学北师大版2019必修第二册教案余弦定理与正弦定理

余弦定理与正弦定理 【教学过程】 一、问题导入 预习教材内容，思考以下问题： 1．余弦定理的内容是什么？ 2．余弦定理有哪些推论？ 二、新知探究 1.已知两边及一角解三角形 例1：（1）（2018·高考全国卷Ⅱ）在△ABC 中，cos C 2＝5 5，BC ＝1，AC ＝5，则AB ＝（） A ．42 B ．30 C ．29 D ．25 （2）已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝5，c ＝2，cos A ＝2 3，则b ＝（） A ．2 B ．3 C ．2 D ．3 解析：（1）因为cos C ＝2cos 2C 2－1＝2×15－1＝－3 5，所以由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2 －2AC ·BC cos C ＝25＋1－2×5×1×⎝ ⎛⎭ ⎪⎫ －35＝32，所以AB ＝42，故选A ． （2）由余弦定理得5＝22＋b 2－2×2b cos A ， 因为cos A ＝2 3，所以3b 2－8b －3＝0， 所以b ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＝－13舍去．故选D ． 答案：（1）A （2）D

互动探究： 变条件：将本例（2）中的条件“a＝5，c＝2，cos A＝2 3”改为“a＝2，c＝23，cos A＝ 3 2”，求b为何值？ 解：由余弦定理得： a2＝b2＋c2－2bc cos A， 所以22＝b2＋（23）2－2×b×23× 3 2， 即b2－6b＋8＝0，解得b＝2或b＝4． 【规律方法】 解决“已知两边及一角”解三角问题的步骤 （1）用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出此边长．（2）再用余弦定理和三角形内角和定理求出其他两角． 2.已知三边（三边关系）解三角形 例2：（1）在△ABC中，已知a＝3，b＝5，c＝19，则最大角与最小角的和为（）A．90°B．120° C．135°D．150° （2）在△ABC中，若（a＋c）（a－c）＝b（b－c），则A等于（） A．90°B．60° C．120°D．150° 解析：（1）在△ABC中，因为a＝3，b＝5，c＝19， 所以最大角为B，最小角为A， 所以cos C＝a2＋b2－c2 2ab＝ 9＋25－19 2×3×5＝ 1 2，所以C＝60°，所以A＋B＝120°，所以△ABC中 的最大角与最小角的和为120°．故选B． （2）因为（a＋c）（a－c）＝b（b－c），所以b2＋c2－a2＝bc，所以cos A＝b2＋c2－a2 2bc＝ 1 2．因为A∈（0°，180°），所以A＝60°． 答案：（1）B （2）B 【规律方法】 已知三角形的三边解三角形的方法 先利用余弦定理的推论求出一个角的余弦，从而求出第一个角；再利用余弦定理的推论求

高中数学知识点分析北师大版必修2

高中数学必修2知识点 一、直线与方程 〔1〕直线的倾斜角 定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角.特别地,当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度.因此,倾斜角的取值X 围是0°≤α＜180° 〔2〕直线的斜率 ①定义：倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率.直线的斜率常用k 表示.斜率反映直线与轴的倾斜程度. 当[ ) 90,0∈α时,0≥k ； 当() 180,90∈α时,0当21x x =时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角为90°； <2>k 与P 1、P 2的顺序无关；<3>以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得； <4>求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到. 〔3〕直线方程 ①点斜式：)(11x x k y y -=-直线斜率k ,且过点()11,y x 注意：当直线的斜率为0°时,k=0,直线的方程是y =y 1. 当直线的斜率为90°时,直线的斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示．但因l 上每一点的横坐标都等于x 1,所以它的方程是x =x 1. ②斜截式：b kx y +=,直线斜率为k ,直线在y 轴上的截距为b ③两点式：112121 y y x x y y x x --=--〔1212,x x y y ≠≠〕直线两点()11,y x ,()22,y x ④截矩式：1x y a b += 其中直线l 与x 轴交于点(,0)a ,与y 轴交于点(0,)b ,即l 与x 轴、y 轴的截距分别为,a b . ⑤一般式：0=++C By Ax 〔A ,B 不全为0〕 注意：错误!各式的适用X 围 错误!特殊的方程如： 平行于x 轴的直线：b y =〔b 为常数〕； 平行于y 轴的直线：a x =〔a 为 常数〕； 〔4〕直线系方程：即具有某一共同性质的直线 〔一〕平行直线系 平行于已知直线0000=++C y B x A 〔00,B A 是不全为0的常数〕的直线系：

北师大版高中数学必修第二册2-1两角和与差的余弦公式及其应用2-2两角和与差的正弦、正切公式及其应用

§2 两角和与差的三角函数公式 2.1 两角和与差的余弦公式及其应用 2.2 两角和与差的正弦、正切公式及其应用 基础巩固 知识点一:两角和与差的余弦公式 1.cos 24°cos 36°-cos 66°cos 54°等于( A ) (A)1 2 (B)√32 (C)-1 2 (D)-√32 2.已知锐角α满足sin α=√63 ,则cos(π 6 -α)等于( A ) (A) 3+√66 (B) 3-√66 (C)- 3+√66 (D)√6-3 6 解析:由题意可得cos α=√3 3 , cos(π 6 -α)=cos π 6 cos α+sin π 6 sin α=√32 ×√33+12 ×√63= 3+√6 6 .故选A. 知识点二:两角和与差的正弦、正切公式 3.tan 525°等于( A ) (A)-2+√3 (B)-2-√3 (C)2-√3 (D)2+√3 4. 1-tan15°1+tan15° 的值为( B ) (A)13 (B)√3 3 (C)1 (D)2√3 3

解析:1-tan15° 1+tan15°= tan45°-tan15° 1+tan45°tan15° =tan 30°=√33 .故选B. 5. 1-tan27°tan33°tan27°+tan33°等于( A ) (A)√3 3 (B)√3 (C)tan 6° (D)1tan6° 解析:tan27°+tan33° 1-tan27°tan33° =tan(27°+33°)=tan 60°=√3, 所以 1-tan27°tan33° tan27°+tan33°=√3=√3 3 .故选A. 6.sin 70°sin 50°+cos 110°sin 40°= . 解析:sin 70°sin 50°+cos 110°sin 40°= sin 70°cos 40°-cos 70°sin 40°= sin(70°-40°)=1 2. 答案:1 2 能力提升 7.在△ABC 中,∠B=60°,2AB=3BC,则tan A 的值为( A ) (A)√32 (B)1 2 (C)2 (D)3 解析:在△ABC 中,由正弦定理可得AB sinC = BC sinA ,故AB BC = sinC sinA =32 , 因为A+B+C=π,故 sin (B+A )sinA =32 ,整理得 √3 2cosA+12 sinA sinA =32 ,解得tan A=√32 .故选A. 8.已知π2 <β<α<3π4 ,cos(β-α)=12 13 ,sin(β+α)=-35 ,则cos 2α等于 ( D ) (A)63 65 (B)-63 65 (C)33 65 (D)-33 65 解析:因为π2 <β<α<3π 4 , 所以-π4 <β-α<0,π<α+β<3π 2 ,

高中数学北师大版数学公式必修

高中数学必修重要公式 1. 如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2, 当x ．1．< x ．．2．时，都有f(x ．．．1．)f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是减函数．．． ． 2. 如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．－．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做奇函数．．． ． 都有f(．．－．x)=．．．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做偶函数．．． ． 3.（1）对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =． （3）常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么 ①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a M M N N -=③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a N a N =⑤log log (0,)b n a a n M M b n R b = ≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b N N b b a = >≠且 4.空间几何体的表面积（1） 圆柱 ( 2) 圆锥2 r rl S ππ+= (3)球的表面积2 4R S π= 5.空间几何体的体积 (1)柱体 h S V ⨯=底 (2)锥体 h S V ⨯=底31 (3)球体 33 4 R V π= 6.直线的点斜式方程：直线l 经过点) ,(000y x P ，且斜率为k ，则 )(00x x k y y -=- 7.直线的斜截式方程：已知直线l 的斜率为k ，且与y 轴的交点为),0(b ，则 b kx y += 8.点到直线距离公式：点),(00y x P 到直线0:=++C By Ax l 的距离为：2 2 00B A C By Ax d +++= 9.（1）圆的标准方程：2 2 2 ()()x a y b r -+-=，（2）圆的一般方程：02 2=++++F Ey Dx y x ， 10.（1）古典概型的使用条件：试验结果的有限性和所有结果的等可能性。 （2）古典概型的解题步骤；①求出总的基本事件数； ②求出事件A 所包含的基本事件数，然后利用公式P （A ）=总的基本事件个数包含的基本事件数 A 11.几何概型的概率公式P （A ）=积）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积） 的区域长度（面积或体构成事件A ； 12、设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ，它与原点的距离是( ) 0r r = >， 则sin y r α=， cos x r α=， ()tan 0y x x α=≠． 三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正． 13、角三角函数的基本关系()2 21sin cos 1αα+= ；()sin 2tan cos α αα = ．. 14、函数的诱导公式：口诀：奇变偶不变，符号看象限． 15、两角和与差的正弦、余弦和正切公式： ⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； 222r rl S ππ+=

新教材2020-2021学年北师大版高中数学第二册学案-3-第1课时-二倍角公式-含解析-D

§3二倍角的三角函数公式第1课时二倍角公式 学 习目标核心素养 1.会从两角和的正弦、余弦、正切公式推 导出二倍角的正弦、余弦、正切公式．(难点) 2．能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换并能灵活地将公式变形运用．(重点、难点)1.通过对二倍角公式的推导，培养学生逻辑推理素养． 2. 通过利用二倍角公式求值、化简和证明，培养学生数学运算素养. 1．二倍角公式 sin 2α＝2sin αcos α，(S2α) cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α，(C2α) tan 2α＝ 2tan α 1－tan2α . (T2α) 2．二倍角公式的变形(1)公式的逆用 2sin αcos α＝sin 2α，sin αcos α＝1 2sin 2α， cos2α－sin2α＝cos_2α， 2tan α 1－tan2α ＝tan 2α. (2)二倍角公式的重要变形——升幂公式和降幂公式升幂公式 1＋cos 2α＝2cos2_α，1－cos 2α＝2sin2_α， 1＋cos α＝2cos2α 2，1－cos α＝2sin 2 α 2. 降幂公式 cos2α＝1＋cos 2α 2，sin 2α＝ 1－cos 2α 2.

思考：1.什么情况下sin 2α＝2sin α，tan 2α＝2tan α？ 提示：一般情况下，sin 2α≠2sin α，例如sin π3≠2sin π 6，只有当α＝k π(k ∈Z )时，sin 2α＝2sin α才成立．只有当α＝k π(k ∈Z )时，tan 2α＝2tan α成立． 2．sin 3α用二倍角公式展开是什么？ 提示：sin 3α＝2sin 3α2cos 3α 2. 1．已知sin α＝35，cos α＝4 5，则sin 2α等于( ) A ．75 B ．125 C ．1225 D ．2425 D [sin 2α＝2sin αcos α＝2×35×45＝24 25.] 2．计算cos 215°－sin 215°结果等于( ) A ．12 B ．22 C ．33 D ．32 D [cos 215°－sin 215°＝cos 30°＝3 2.] 3．已知α为第三象限角，cos α＝－3 5，则tan 2α＝________. －247 [因为α为第三象限角，cos α＝－35，所以sin α＝－45，所以tan α＝43，所以tan 2α＝ 2tan α1－tan 2α ＝－24 7.] 给角求值问题

2019-2020学年北师大版高中数学必修二教师用书：复习课2 解析几何初步 Word版含答案

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复习课（二) 解析几何初步 一、直线与方程 我们是如何建立直线的点斜式方程的？你能总结建立这个方程的一般步骤吗？ 写出直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程，并指出这些方程中系数的几何意义． 结合直线方程一般式的讨论,体会分类讨论的思想；选择合适的分类标准，使讨论不重不漏． 【典例1】光线沿直线y＝2x＋1的方向射到直线y＝x上，被y＝x 反射后的光线所在的直线方程是（) A．y＝错误!x－错误!B．y＝2x＋错误! C．y＝错误!x＋错误!D．y＝错误!x＋1 ［解析] 解法一： 解方程组错误!得交点P（－1，－1), 如图，在入射线y＝2x＋1上任取一点A（1，3)，A点关于直线y＝x 的对称点为B，则B点的坐标为(3,1)，由光学知识可知反射线经过P、B 两点． ∴反射光线的方程是错误!＝错误! 即y＝错误!x－错误!.选A. 解法二：解方程组错误!得交点P（－1,－1)．

由于入射线的斜率等于2大于1， 所以反射线的斜率必小于1，过点P(－1，－1）且斜率小于1的反射线所在直线方程的纵截距必小于0，从而排除B、C、D，选A. [答案］A 本题主要应用直线的斜率、倾斜角、截距、两直线所成的角及轴对称等概念．解法一是应用光学知识和轴对称概念而求解的；解法二是由已知条件判断反射线的纵截距必为负值,从而用排除法求解的． 二、求圆的方程 求圆的方程主要是根据圆的标准方程和一般方程，利用待定系数法求解，采用待定系数法求圆的方程的一般步骤为： 第一步：选择圆的方程的某一形式． 第二步：由题意得a，b，r(或D，E,F)的方程（组）． 第三步：解出a,b，r(或D，E，F)． 第四步:代入圆的方程． 【典例2】根据条件求下列圆的方程． (1)求经过A（6,5），B(0，1)两点，并且圆心在直线3x＋10y＋9＝0上的圆的方程； (2）求半径为错误!，圆心在直线y＝2x上，被直线x－y＝0截得的弦长为4错误!的圆的方程． ［解］（1）由题意知，线段AB的垂直平分线方程为 3x＋2y－15＝0， ∴由错误! 解得错误! ∴圆心C（7，－3），半径为r＝|AC｜＝错误!。

2021_2022学年新教材高中数学第6章立体几何初步章末综合提升学案含解析北师大版必修第二册 (1

第6章立体几何初步 类型1 平面的根本性质与应用 1．证明点共线问题的常用方法 根本事实法先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，再根据根本事实3证明这些点都在交线上 同一法选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上

证明假如干线共点的根本思路是先找出两条直线的交点，再证明其他直线都经过该点．而证明直线过该点的方法是证明点是以该直线为交线的两个平面的公共点． 3．证明点、直线共面问题的常用方法 纳入平面法先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内 辅助平面法先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合 【例1】如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，B1C1的中点，AC ∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q，直线A1C与平面BDEF的交点为R. (1)证明：B，D，E，F四点共面． (2)证明：P，Q，R三点共线． (3)证明：DE，BF，CC1三线共点． [证明](1)连接B1D1，因为EF是△D1B1C1的中位线，所以EF∥B1D1. 在正方体ABCD­A1B1C1D1中，B1D1綊BD， 所以EF∥BD.所以EF，BD确定一个平面，即B，D，E，F四点共面． (2)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，设A1ACC1确定的平面为α， 又设平面BDEF为β，因为Q∈A1C1，所以Q∈α. 又因为Q∈EF，所以Q∈β. 如此Q是α与β的公共点，同理，P点也是α和β的公共点，所以α∩β＝PQ. 又因为A1C∩β＝R，所以R∈A1C. 所以R∈α且R∈β.如此R∈PQ. 故P，Q，R三点共线． (3)因为EF∥BD，且EF≠BD， 所以DE与BF一定相交，设交点为M，

2019-2020学年度北师大版高中数学必修二学案：第二章 疑难规律方法

——教学资料参考参考范本——2019-2020学年度北师大版高中数学必修二学案：第二章 疑难规律方法 ______年______月______日 ____________________部门

20xx最新20xx北师大版高中数学必修二学案：第二章疑难规律 方法 1.直线的倾斜角在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把x轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l重合所成的角，叫作直线l 的倾斜角，当直线l和x轴平行时，它的倾斜角为0°.解读(1)直线的倾斜角分两种情况定义：第一种是与x轴相交的直线；第二种是与x轴平行或重合的直线.这样定义可以使平面内任何一 条直线都有唯一的倾斜角. (2)从运动变化的观点来看，当直线与x轴相交时，直线的倾斜角是由 x轴按逆时针方向转动到与直线重合时所转过的角. (3)不同的直线可以有相同的倾斜角. (4)直线的倾斜角直观地描述了直线相对x轴正方向的倾斜程度. 2.直线的斜率我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫作这条直线的斜率.斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α.经过两点P1(x1，y1)，P2(x2， y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝.解读(1)斜率坐标公式与两点的顺序无关，即两点的纵坐标和横坐标 在公式中的前后顺序可以同时颠倒. (2)所有的直线都有倾斜角，但并不是所有的直线都有斜率.当倾斜角是90°时，直线的斜率不存在，但并不是说该直线不存在，而此时直 线垂直于x轴.

(3)斜率和倾斜角都是反映直线相对于x轴正向的倾斜程度的，通常情 况下求斜率比求倾斜角方便. (4)当x1＝x2，y1≠y2时直线没有斜率. 3.两条直线平行的判定对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，有 l1∥l2⇔k1＝k2.解读(1)利用上述公式判定两条直线平行的前提条件有两个：一是两 条直线不重合，二是两条直线的斜率都存在. (2)当两条直线的斜率都不存在时，l1与l2的倾斜角都是90°，此时 也有l1∥l2. 4.两条直线垂直的判定如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于－1；反之，如果它们的斜率之积等于－1，那么它们互相垂直，即 l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.解读(1)利用上述公式判定两条直线垂直的前提条件是两条直线都有 斜率. (2)两条直线中，若一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等 于零，则这两条直线也垂直. 2 直线斜率的三种求法 直线的斜率是用来衡量直线的倾斜程度的一个量，是确定直线方程的重要因素，还能为以后直线与直线位置关系及直线与圆位置关系的进 一步学习打好基础. 一、根据倾斜角求斜率

新教材北师大版高中数学必修第二册第四章三角恒等变换 学案(知识点考点汇总及配套习题)

第四章三角恒等变换 1同角三角函数的基本关系........................................................................................ - 1 - 2两角和与差的三角函数公式.................................................................................. - 11 - 3二倍角的三角函数公式.......................................................................................... - 42 - 1同角三角函数的基本关系 学习任务核心素养 1．理解同角三角函数的基本关系式sin2x ＋cos2x＝1，sin x cos x＝tan x．(重点、难点) 2．会运用以上两个基本关系式进行求值、化简、证明．(重点、难点)1．通过对同角三角函数基本关系式的推导，培养学生逻辑推理素养． 2．通过利用三角函数基本关系式求值、化简和证明，培养学生数学运算素养． 气象学家洛伦兹1963年提出一种观点：南美洲亚马逊河流域热带雨林中的一只蝴蝶，偶尔扇动几下翅膀，可能在两周后引起美国德克萨斯的一场龙卷风．这就是理论界闻名的“蝴蝶效应”，此效应本意是说事物初始条件的微弱变化可能会引起结果的巨大变化．蝴蝶扇翅膀成为龙卷风的导火索．从中我们还可以看出，南美洲亚马逊河流域热带雨林中的一只蝴蝶与北美德克萨斯的龙卷风看来是毫不相干的两种事物，却会有这样的联系，这也正验证了哲学理论中事物是普遍联系的观点． 蝴蝶效应 问题既然感觉毫不相干的事物都是相互联系的，那么“同一个角”的三角函数一定会有非常密切的关系！到底是什么关系呢？