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熵的应用

【摘要】熵是物理学中的重要概念，熵在现代科学技术中的作用越来越广泛，与现代科学技术的关系也越来越紧密。本文从热力学熵、玻尔兹曼熵、信息熵几方面简述了熵的概念，探讨了熵在信息论、自然科学、生命科学、人类社会和生态环境等领域中的应用。

【关键词】熵,熵的应用

Entropy and its Application

GUO Xiaoling, Xu Lingting, Wu Xiaoxuan

【Abstract 】Entropy is an important concept of physics. Relationship between them is getting closer. The concept of entropy is describedr from thermodynamics entropy, Boltzmann entropy, and information entropy. It is discussed according to the application in information, nature science, life science, human society and environment ecosystem.

【Key words 】Entropy, Application

1石破天惊——“熵”概念的诞生

最早引入熵的是Clausius ，在1854年他引入了态函数熵，用以表述热力学第二定律。 Clausius 根据可逆卡诺循环用完全宏观的方法导出了Clausius 等式：接着他又推导出，两确定状态之间的任一可逆过程的热温比的积分相等，与过程的具体情况无关。即

克劳修斯将这个态函数称为熵，以符号S 表示。[1]

2“熵”概念的理解

2.1“熵”的宏观意义——热力学熵

?=可逆循环0T

Q d ??=2121b a T

Q d T Q d T Q d

热力学只能对熵作的定义。能量不可用程度与熵产生量有关。即一切实际过程中能量的总值虽然不变，但其可利用的程度总随着不可逆过程导致的熵的产生而降低，使能量退化。

2.2“熵”的微观意义——统计物理熵

Boltzmann 提出：系统的熵S 与W 之间满足关系式S=klnW ，而宏观系统的无序度是以微观状态数W 来表示的。所以熵是系统微观粒子无序度大小的度量。

2.3第三种熵——信息熵

信息论创始人Shannon 发现信息与熵的微观表达式相似。信息是熵的对立面，因为熵是系统无序度的度量，而获得信息却减少系统的熵。把熵的概念引用到信息论中，称为信息熵，即：

三种熵的基本精神是一致的, “热力学熵”主要用于宏观系统, “统计物理熵”主要用于微观系统,信息熵主要用于信息系统。

3熵的应用

1983年物理学家R.Emden 在“冬季为什么要生火？”一文中写道：“在自然过程的庞大工厂里，熵原理起着经理的作用，因为它规定整个企业的经营方式和方法，而能原理仅仅充当簿记，平衡贷方和借方。”随着科技发展，人们越来越深刻认识到熵的重要性不亚于能量。

3.1黑洞熵——用“熵”研究黑洞

Hawking 等科学家通过理论计算得出黑洞的熵和表面积成正比，也和它的质量平方成正比，从而断定黑洞是一种熵值特高的高熵态。

熵有统计意义，所以对黑洞熵的理解可以加深对黑洞本质的理解。为了探求黑洞熵的本质，人们发展了各种求熵方法，包括砖墙方法等。研究发现，黑洞的熵主要是视界面附近量∑=-=N i i

i P p K S 11ln T

d dS Q r =

子态的贡献。于是对砖墙模型进行了改进，提出了薄层模型，该模型仅考虑视界附近的一层薄层，可自然地避免砖墙模型的红外截断。

科学家用“熵”研究黑洞热辐射：

1974年Hawking 发现了黑洞的热辐射，这一发现不仅解决了黑洞热力学中当时存在的矛盾，而且深入地揭示了量子力学、热力学与引力之间的内在联系，是黑洞物理学上的划时代的里程碑。[2]

2000年Parikh 和Wilczek 在考虑辐射粒子的自引力作用的情况下，将黑洞的Hawking 辐射理解成一种量子隧穿过程，得到黑洞视界处粒子的量子隧穿率与黑洞熵有关。因此我们可以利用黑洞视界附近的熵密度对黑洞的热辐射进行了研究，可以得到黑洞的热辐射总满足Stefan-Boltzmann 定律。

其中

()18,23)(45422)(32T F r f h hv h B m a c k M

B ????????-+=δεεπ()19,3120022????

? ??-+--=∧=????? ???'?=r r Q E r r g f h h h r r h M h λ]()20,cos 2cos 31200sin 2323223222θθθλθr r r Q E r r Q E r r g F h h h h h h r r h a a M h -??? ??++--+-????-=∧=????? ???'?=()()()21,2345,,223

2????????-+=F r f k h hv h B a c v δεε?θσπ()

()()22.,,4

T M v B m ?θσ=

[3]

将熵的理论运用于黑洞的研究中，不仅可以更接近更方便地研究黑洞的性质，而且更加可以在量子层面更深入研究黑洞，从而进一步了解黑洞的微观本质。

3.2信息熵在测量精度分析中的应用

Shannon 把信息量作为信息论的中心概念，用马尔科夫过程的统计特性，给出了信息熵公式：用式(1)来表述不确定性与随机事件的连带关系，可一举解决定量描述信息的难题.这意味着通过信息论，熵的应用将会超出自然科学的一些领域.

信息熵在检测领域的应用，在对某一物理量进行测量前，待测量x 在其取值范围内有确定的分布规律p(x)，但它具体落在此取值范围内的哪一点处却是不确定的.根据信息论原理，可用信息熵度量这一不确定性为

作了测量实验α后，降低为

H α(X)又称为残留熵. 则由实验α带来的关于待测量x 的信息量为

仍未获得的那部分信息量(即残留熵)则反映了测量误差的大小。

熵不确定性概念可利用于机器人位姿精度理论体系。[4]

熵在度量系统运动的混乱或者无规则的程度方面有着重要的作用。我们可以对噪声驱动的动力系统的信息熵演化、熵流与熵产生以及熵变化率进行研究，分析出系统耗散参数和准单色噪声等对噪声的影响，熵可以运用于信息获取以及信息处理中如何减少噪声的干扰等实际应用领域。

()3.)(log ()()('

'dxdx x p x p x p X a

a a H ??-=()

2,)(log )()(?-=dx x p x p X H ()

4).()('

x x H H I a a x -=?)1.(ln p p i

i C H ∑-=

3.3生命赖“负熵”为生

薛定谔认为生命赖以“负熵”为生，就像是有机体本身吸引了一串负熵去抵消它在生活中产生的熵的增加，从而使它自身维持在一个稳定而又很低的熵的水平上。即：从有机体所处的环境中不断吸取秩序。

熵的原理不仅帮助人们更进一步了解遗传信息怎么以一定的方式反映在蛋白质分子结构上，深入探讨生物高聚物中的信息。同时熵也可以运用克隆技术的发展等等。

3.4熵致有序（熵在材料科学中的作用）

1949年，Onsager关注于液晶的相变问题。他将棒状的液晶分子看成除了分子之间不可穿透性之外不存在其他相互作用力的硬棒系统[5]，将系统的熵分为取向熵和平动熵。

如果分子间距逐步减小，棒状分子的运动将其他分子阻碍，直到所有棒都相互嵌住。此时取向熵仍然保持原值，但平动熵却大量减少。如若此时所有分子都顺向排列起来，取向熵减少，但每个分子周围容许运动的体积都有所增大，从而使平动熵增大超出取向熵的减少。可以设想，存在某一临界分子间距，当分子浓度大于此临界值时，棒状分子会自发的顺向排列起来，发生了各向同性液体到丝状液晶的相变。这就是熵致有序。

近年来，采用化学自组装方法，合成从微米到纳米尺度的、各种各样的介观有序结构，已经成为当今材料科学的热门问题，而熵致有序乃是这类科学实践的重要指导方针。

3.5通过熵减少来实现高弹性形变

在外力作用下将物体拉伸或压缩，就会偏离其平衡态，使自由能F=U-TS增大，可见内能U和熵S对于自由能都有贡献。U描述的是常规固体的弹性行为；S是软物质经常出现高弹性的根源。

对于软物质，拉伸前柔性聚合物呈松塌的平衡状态，热运动使它采取不同的位形，使其对应于熵的极大值[6]。如果对其两端加拉力，它可以将这一分子逐渐变直而不影响其分子

内各原子间的间距。因而它未对键力作功，而是减少分子线段可以采用位形数（即：使熵降低），在此情况下恢复力表现为对抗熵的下降，实质上是一种熵力。熵力要比键力微弱得多。这样一来，弹性形变变得轻而易举，而且可以达到甚大的伸长量。

3.6致冷技术

制冷技术的关键在于从被冷却的物体之中抽取热量，相当于抽取熵。随着物体之中的熵的减少，物体的温度下降，气体可能凝结成为液体，液体凝固为固体。

通过这个原理，科学家们发明了很多种类的致冷机，如蒸发致冷机，稀释致冷机。凝固通常是熵减小的过程，一般不能用于致冷。而玻梅郎丘克却发现在 3He 在加压凝固过程中，由于核自旋无序化的效应，可以导致熵的增大，从而提出了新的致冷原理。使用此法可达到mK 量级的极低温。而4He 的蒸发致冷是采用绝热退磁致冷的技术。在顺磁盐的一般情况下，磁矩的排列是混乱的。外加磁场将导致磁矩的排列有序化，达到低熵态。若在绝热条件下退掉磁场，磁矩的排列随机趋于混乱，所对应熵的增加必须由环境吸取热量，导致温度的下降。

3.7广义熵在现代农业研究中的应用

近十年来，在农业研究领域内定义的广义熵有农业系统熵、土壤系统熵、作物生态系统熵等；按照类统计物理学方法定义的广义熵有土壤信息熵、生态系统信息熵、土壤温度熵等。例如:

农业系统熵可定义为通过各种折算，农业系统的广义熵可通过下式来定量计算

若?S<0,说明系统为高产低耗系统，负值愈大，说明效率愈高。显然，这个用农业系统熵来评价农业系统优劣的方法是一种较为客观和理想的方法。

3.8熵在量子通讯及信息处理中的应用

?=G

dH S )kg J S （质量

投入能量相当的标准煤产出能量投入相当标准煤的能量-=?

Phoenix等人将熵的理论应用于量子光学领域，光场与原子相互作用系统中有关量子场熵演化规律的研究引起人们的重视，并取得重大成果。

例如量子纠缠现象是量子物理区别于经典物理最不可思议的特征，它不仅为检验定域理论违背量子力学提供了有力的工具，而且可用于量子信息处理。[7]利用量子约化熵理论研究激光场与囚禁在谐振势中的离子单量子共振相互作用系统中的量子场熵的演化特征，通过对数值的研究，可以讨论离子质心在驻波激光场中的位置以及囚禁离子初始状态对量子场熵演化特征的影响。

利用熵研究出的这些特性，对于纠缠态的制备以及利用囚禁离子进行量子通讯等信息处理过程有很大的参考价值。

4结论

自从引入熵的概念以来，随着科技的不断发展，熵原理被广泛地运用于黑洞学说、信息论、自然科学、生命科学、人类社会和生态环境等各个领域，熵的应用对人类发展的各个方面有着不可忽视的重要作用。

参考文献：

[1]秦允豪.普通物理学教程.热学.第二版.北京：高等教育出版社，2004.6

[2]Koga JI，Meada KI 1995 Phys. Rev.D 52 7006

[3]Snyder H S 1947 Phys. Rev.71 38

[4]刘桂雄，阎华，魏东源. 熵概念的发展及在精度理论中的应用. 1998,25(12)

[5][6]冯端，冯少彤.溯源探幽：熵的世界.北京：科学出版社，2005

[7]Hawking SW 1975 Commun. Math. Phys. 36 6377

熵的应用和意义

浅谈熵的意义及其应用摘要：介绍了熵这个概念产生的原因，以及克劳修斯对熵变的定义式；介绍了玻尔兹曼从微观角度对熵的定义及玻尔兹曼研究工作的重要意义；熵在信息、生命和社会等领域的作用；从熵的角度理解人类文明和社会发展与环境的关系。关键词：克劳修斯熵玻尔兹曼熵信息熵生命熵社会熵 0 前言：熵是热力学中一个非常重要的物理量，其概念最早是由德国物理学家克劳修斯（R.Clausius）于1854年提出，用以定量阐明热力学第二定律，其表达式为 dS=(δQ/T)rev。但克劳修斯给出的定义既狭隘又抽象。1877年，玻尔兹曼（L.Boltzmann）运用几率方法，论证了熵S与热力学状态的几率W之间的关系，并由普朗克于1900给出微观表达式S=k logW,其中k为玻尔兹曼常数。玻尔兹曼对熵的描述开启了人们对熵赋予新的含义的大门，人们开始应用熵对诸多领域的概念予以定量化描述，促成了广义熵在当今自然及社会科学领域的广泛应用【1】【2】。 1 熵的定义及其意义由其表达式可知，克劳修克劳修斯所提出的熵变的定义式为dS=(δQ/T)rev ，斯用过程量来定义状态函数熵，表达式积分得到的也只是初末状态的熵变，并没有熵的直接表达式，这给解释“什么是熵”带来了困难。【1】直到玻尔兹曼从微观角度理解熵的物理意义，才用统计方法得到了熵的微观表达式：S=k logW。这一公式对应微观态等概出现的平衡态体系。若一个系统有W个微观状态数，且出现的概率相等，即每一个微观态出现的概率都是p=1/W，则玻尔兹曼的微观表达式还可写为：S=-k∑plogp。玻尔兹曼工作的杰出之处不仅在于它引入了概率方法，为体系熵的绝对值计算提供了一种可行的方案，而且更在于他通过这种计算揭示了熵概念的一般性的创造意义和价值：上面所描述的并不是体系的一般性质量和能量的存在方式和状态，而是这些质量和能量的组构、匹配、分布的方式和状态。玻尔兹曼的工作揭示了正是从熵概念的引入起始，科学的视野开始从对一般物的质量、能量的研究转入对一般物的结构和关系的研究，另外，玻尔兹曼的工作还为熵概念和熵理论的广义化发展提供了科学依据。正是玻尔兹曼开拓性的研究，促使熵概念与信息、负熵等概念联姻，广泛渗透，跨越了众多学科，并促

信息熵理论

信息熵理论在通信系统中，信息从发送到接收的传输过程是一个有干扰的信息复制过程。对每一个具体的应用而言，传输的信息是确定的，有明确的应用目的。对一个通信系统而言主，不同的用户要传送的具体的信息内容是不同的，则如何从这些繁杂的具体信息中提炼出它们的共同特征，并可进行量化估计是shannon 信息论研究的基础。所谓量化估计就是用提炼的共同特征估计与某些具体内容所对应的需要传输的信息量大小。信息量定义的另一个重要特征是它能保证信息量值的大小与具体的信息内容无关。 1.定义信息熵：设X 是一个离散的随机变量，其定义空间为一个字符集E 。 ()()E x x X P x p ∈==,，表示相应的概率分布函数，则 ()()()()x p x p X H x log ∑-=称为离散随机变量的熵。有时记()()()()(){}X p E x p x p p H p x log log -=-=∑ {}p E 表示以概率分布()x p 对某随机变量或随机函数求概率平均。 2.定义联合熵：设X ﹑Y 是丙个离散的随机变量，（X,Y ）的联合概率分布函数为()()y Y x X P y x p ===,,，则 ()()()y x p y x P Y X H x y ,log ,,∑∑-= 称为离散随机变量X 与Y 的联合熵。有时记为： ()()()(){}Y X p E y x p y x p Y X H p x y ,log ,log ,,-=-=∑∑ 3.定义条件熵：如果()(),,~,y x p Y X 则条件熵()X Y H /定义为 ()()() ∑=-=x x X Y H x p X Y H // ()()()∑∑- =x y x y p x y p x p /log / ()()∑∑-=x y x y p y x p /log , (){}X Y p E /log -= 条件熵等于零的条件为()1==Y X p 事实上，对任意的y x ,都有()()0/log /=x y p x y p ，从而得()()1/0/==x y p x y p 或，又因为X 与Y 是取值空间完全相同的随机变量，所以有()1/=X Y p

现代熵理论在社会科学中的应用

现代熵理论在社会科学中的应用摘要：文章简述了热学熵的理论及其统计解释,介绍了熵增原理，最大最小熵原理，对现代熵理论在人类社会，生态环境，致冷技术上的应用作了浅显的说明，使人类意识到加强熵观念以维护良好社会秩序及生态环境的必要性，最后讲解了现代熵理论在社会科学中的应用对我的启发与影响。关键词: 现代熵现代熵理论现代熵与人类社会现代熵与生态环境现代熵与致冷技术制冷技术现代熵理论的应用对我的启发正文：一. 现代熵理论的基本概念 1. 热熵的基本概念克劳修斯引入了状态函数熵，记为 S。他采用宏观分析的方法得出 : 对于一个封闭系统 , 可逆过程的熵变 dS与系统从外界所吸收的热量 dQ和系统的温度 T之间存在如下关系: dS = dQ T 上式称为熵的克劳修斯关系式。由此定义的熵称为热力学熵 (或宏观熵 , 克劳修斯熵 ) 。 2. 统计熵 (或玻尔兹曼熵 )的概念在克劳修斯给出热力学熵的定义以后 ,玻尔兹曼又从微观 (气体动理论 )的角度 , 深入研究了状态函数熵 , 给出了一个统计物理学的解释。在等概率原理的前提下 , 任一给定的宏观状态所包含的微观状态数的数目称为该宏观状态的热力学概率 , 用 Q表示。据此 , 玻尔兹曼对气体分子的运动过程进行了研究 ,将熵 S和热力学概率Ω联系起来得出 S∝ lnΩ的关系 ,在 1900年由普朗克引进比例常数 k而成为 S = klnΩ。这就是统计物理的玻尔兹曼熵关系式 ,其中 k为玻尔兹曼常量。由此定义的熵称为统计熵 (或玻尔兹曼熵 )。二．现代熵理论的原理现代熵理论有熵增加原理，最大最小熵原理等。 1. 熵增原理：处于平衡态的孤立系统的熵增加原理在定义熵的概念以后 ,克劳修斯把热力学第二定律中熵用式中等号对应可逆过程 , 大于号对应不可逆过程。即在绝热过程中熵不可能减少，这就是熵增原理。

熵函数的来历及统计学意义

熵函数的来历及统计学意义 12级物理学阴爽热力学第一定律就是能量守恒与转换定律，但是它并未涉及能量转换的过程能否自发地进行以及可进行到何种程度。热力学第二定律就是判断自发过程进行的方向和限度的定律，它有不同的表述方法：热量不可能自发地从低温物体传到高温物体；热量不可能从低温物体传到高温物体而不引起其他变化；不可能从单一热源取出热量使之全部转化为功而不发生其他变化；第二类永动机是不可能造成的。热力学第二定律是人类经验的总结，它不能从其他更普遍的定律推导出来，但是迄今为止没有一个实验事实与之相违背，它是基本的自然法则之一。由于一切热力学变化（包括相变化和化学变化）的方向和限度都可归结为热和功之间的相互转化及其转化限度的问题，那么就一定能找到一个普遍的热力学函数来判别自发过程的方向和限度。可以设想，这种函数是一种状态函数，又是一个判别性函数（有符号差异），它能定量说明自发过程的趋势大小，这种状态函数就是熵函数。如果把任意的可逆循环分割成许多小的卡诺循环，可得出 ∑(δQi/Ti)r=0 (1) 即任意的可逆循环过程的热温商之和为零。其中，δQi为任意无限小可逆循环中系统与环境的热交换量；Ti为任意无限小可逆循环中系统的温度。上式也可写成? ∮(δQr/T)=0 (2) 克劳修斯总结了这一规律，称这个状态函数为“熵”，用S来表示，即 dS=δQr/T (3) 对于不可逆过程，则可得? dS>δQr/T (4) 或 dS－δQr/T>0 (5) 这就是克劳修斯不等式，表明了一个隔离系统在经历了一个微小不可逆变化后，系统的熵变大于过程中的热温商。对于任一过程（包括可逆与不可逆过程），则有? dS－δQ/T≥0 (6)

信息熵的应用

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信息熵在球员选拔中的应用摘要:.本课题通过研究信息熵的定义和性质,运用p c -分析法,通过统计一场球赛中各个球员的各项技术指标并该场球赛中各个队员的信息熵,自信息等值,得到球员选拔过程中对球员的评判方法.并以此法选出优秀的球员,根据信息熵的性质指出每个球员的不足之处,为今后的训练指明了方向. 关键字:信息熵;P-C分析法;球员选拔 Information entropy application in selecting players Abstract: Shannon information entropy presented expressions in 1948, which pioneered information theory. Now more and more international competitions, how to select best players on behalf of the state competition become critical .This issue through the definition and nature of information entropy, use of p c -law to come the assessment of each player, and select a good player, and point out the inadequacties of each player based on information entropy, that should be strengthened in future training exercises. Key Words: Information Entropy; P-C Analysis; Selecting Players

信息熵理论的应用研究

信息熵理论的应用研究 [摘要] 广告活动是信息的活动，信息熵是信息活动的度量标准。本文利用信息熵理论对广告活动中的信息处理、广告传播、广告效果测定和广告受众进行了论证，指出了广告信息活动的规律。 [关键词] 信息熵；负熵；广告活动；广告受众广告是一种非人际的信息传播，是信息交流的工具。广告系统实质上是信息系统，它具备了信息传播的五要素：谁——通过什么媒介——对谁——说了什么——取得了什么效果。广告的信息传播包括：广告发布者(包括广告主、广告制作者和传播者，即信息源)、广告信息内容、广告媒介、广告受众、广告效果等要素。信息熵理论是描述信息系统发展的基本理论，利用信息熵从信息的角度分析广告行为、预判广告活动的发展趋势，是研究广告活动的一种新方法。一、熵、信息熵与广告活动的理论分析熵是一个重要的物理概念，热力学中的熵通常被用于表征一个物理系统的无序程度。随着科学综合化的发展，熵又远远超出物理学范围。1948年，香农(shannon)第一次将熵这一概念引入到信息论中，从此，熵这一概念被广泛用于信息的度量，在自然科学和社会科学众多领域中得到广泛应用，并成为一些新学科的理论基础，由狭义熵发展为广义熵。正如爱因斯坦的评价那样：“熵理论对于整个科学来说是第一法则”。熵表示的是系统固有的、规律性的本质。在没有外界作用下，一个系统的熵越增，不可用能就越大，动力越小；换言之，一个系统的熵不相同时，对于相等的进程，它们的利用价值可以大不相同。一个孤立系统的熵永不减少，这叫做熵增原理。根据这一原理，以熵变为判据，不仅可以判断过程进行的方向，而且还能给出孤立系统达到平衡的条件。熵增原理揭示了一切自发过程都是不可逆的这一共同本质。为了打破平衡，必须与外部系统交换熵，从外部系统得到的熵称为负熵，目的是使本系统的熵值减少，更具有活力。

信息熵及其性质和应用

青岛农业大学本科生课程论文论文题目信息熵及其性质和应用学生专业班级信息与计算科学09级2班学生学号姓名20093992 指导教师吴慧完成时间2012年06月25日 2012 年06月25日

课程论文任务书学生姓名指导教师吴慧论文题目信息熵及其性质和应用论文内容（需明确列出研究的问题）：研究信息熵的目的就是为了更深入的了解信息熵，更好的了解信息熵的作用，更好地使用它解决现实生活中的问题。文中介绍了信息熵的定义和性质及其应用。使我们对信息熵有跟深入的了解。资料、数据、技术水平等方面的要求：论文要符合一般学术论文的写作规范，具备学术性、科学性和一定的创造性。文字要流畅、语言要准确、论点要清楚、论据要准确、论证要完整、严密，有独立的观点和见解。内容要理论联系实际，计算数据要求准确，涉及到他人的观点、统计数据或计算公式等要标明出处，结论要写的概括简短。参考文献的书写按论文中引用的先后顺序连续编码。发出任务书日期06月15日完成论文日期06月25日教研室意见（签字）院长意见（签字）

信息熵及其性质和应用信息与计算科学专业指导教师吴慧摘要：信息熵是随机变量不确定性的度量，文中从信息熵的定义出发，结合信息熵的性质，介绍了目前信息熵在具体问题中的应用。信息是一个十分通俗而又广泛的名词，它是人类认识世界、改造世界的知识源泉。人类社会发展的速度，在一定程度上取决于人类对信息利用的水平，所以对信息的度量就很有必要。香农提出信息的一种度量，熵的定义形式，它是随机变量不确定性的度量，文中主要介绍熵的性质及其应用。关键词；信息熵性质应用 Information entropy and its properties and Application Student majoring in Information and Computing Science Specialty dongqiang Tutor WuHui Abstract：information entropy is a measure of uncertainty of random variable, this paper from the definition of information entropy, combined with the nature of information entropy, information entropy, introduced the specific issues in the application https://www.sodocs.net/doc/e510233376.html,rmation is a very popular and wi dely noun, it is human understanding of the world, transforming the world knowledge source . The human society development speed, depend on on certain level the human make use of information level, so the measurement information is necessary.Shannon put forward the informa-tion a kind of measurement, the definition of entropy form, it is the uncertainty of random variable metric, this paper mainly introduces the property of entropy and its application. Key words:information entropy properties application

信息熵在图像处理中的应用

信息熵在图像处理中的应用摘要：为了寻找快速有效的图像处理方法，信息理论越来越多地渗透到图像处理技术中。文章介绍了信息熵在图像处理中的应用，总结了一些基于熵的图像处理特别是图像分割技术的方法，及其在这一领域内的应用现状和前景同时介绍了熵在织物疵点检测中的应用。 Application of Information Entropy on Image Analysis Abstract ：In order to find fast and efficient methods of image analysis ，information theory is used more and more in image analysis ．The paper introduces the application of information entropy on the image analysis ，and summarizes some methods of image analysis based on information entropy ，especially the image segmentation method ．At the same time ，the methods and application of fabric defect inspection based on information entropy ale introduced ．信息论是人们在长期通信实践活动中，由通信技术与概率论、随机过程、数理统计等学科相结合而逐步发展起来的一门新兴交叉学科。而熵是信息论中事件出现概率的不确定性的量度，能有效反映事件包含的信息。随着科学技术，特别是信息技术的迅猛发展，信息理论在通信领域中发挥了越来越重要的作用，由于信息理论解决问题的思路和方法独特、新颖和有效，信息论已渗透到其他科学领域。随着计算机技术和数学理论的不断发展，人工智能、神经网络、遗传算法、模糊理论的不断完善，信息理论的应用越来越广泛。在图像处理研究中，信息熵也越来越受到关注。 1 信息熵 1948年，美国科学家香农(C ．E ．Shannon)发表了一篇著名的论文《通信的数学理论》。他从研究通信系统传输的实质出发，对信息做了科学的定义，并进行了定性和定量的描述。他指出，信息是事物运动状态或存在方式的不确定性的描述。其通信系统的模型如下所示：图1 信息的传播信息的基本作用就是消除人们对事物的不确定性。信息熵是信息论中用于度量信息量的一个概念。假定X 是随机变量χ的集合，p （x ）表示其概率密度，计算此随机变量的信息熵H （x ）的公式是 P （x ，y ）表示一对随机变量的联合密度函数，他们的联合熵H （x ，y ）可以表示为信息熵描述的是信源的不确定性，是信源中所有目标的平均信息量。信息量是信息论的中心概念，将熵作为一个随机事件的不确定性或信息量的量度，它奠定了现代信息论的科学理论基础，大大地促进了信息论的发展。设信源X 发符号a i ，的概率为Pi ，其中i=1，2，…，r ，P i >O ，要∑=r i Pi 1=1，则信息熵的代数定义形式为：

热力学熵及其应用的理解

内蒙古师范大学物理与电子信息学院学年论文姓名：邢阿木古冷学号：20082116014 年级：08级物理蒙班学院：物理与电子信息学院指导老师：松林

热力学熵及其应用的理解邢阿木古冷（20082116014） (内蒙古师范大学物理与电子信息学院，内蒙古呼和浩特 010022) 摘要：热力学熵是表征系统无序度混乱度的态函数。熵函数最初是由克劳修斯提出来的。他认为系统的熵总是自发的朝着系统无序度混乱度增加的方向进行的，这个思是很重要的。因此熵的概念在我们生活中有很高的参考价值。本论文中我想从我了解的方面对熵及其应用价值进行简单的介绍。关键词：熵；应用；熵增加原理 1.引言熵的引出是人们在生活实践，生产实践和科学实验的经验总结，它们既不涉及物质的微观结构，也不能用数学加以推导和证明。但它的正确性已被无数次的实验结果所证实。而且从热力学严格地导出的结论都是非常精确和可靠的。有关该定律的发现和演变历程是本文讨论的重点。熵是有关热和功等能量形式相互转化的方向与限度的规律，进而推广到有关物质变化过程的方向与限度的普遍规律。由于在生活实践中，自发过程的种类极多，熵的应用非常广泛，诸如社会熵概念的引出，熵与生命代谢的关系，熵与肿瘤的关系等。本文做简单介绍。 2.正文 2.1熵概念的引入在19世纪60年代，有人曾十分戏剧性地描绘了“世界末日”的情景：“宇宙越是接近于其熵为一最大值的极限状态，它继续发生变化的可能就越小；当它完全达到这个状态时，就不会再出现进一步的变化了，宇宙将永远处于一种惰性的死寂状态。”这就是轰动一时的“宇宙热寂论”。然而不久，“宇宙热寂论”就被科学证明是错误的。这个错误观点的提出者就是德国科学家克劳修斯，但是由他提出的“熵”的概念和热力学第二定律却是正确的。为了进一步推动热的动力学说，克劳修斯把理论和实验结合起来，进行深入的研究。在研究卡诺热机操作循环过程中，他发现热量在减少的同时，却可以看出有一个量在整个循环的过程中自始至终保持不变。如果是在理想过程中的话，那么这个比值是个常数，而且从不会减少。这也就是说，在密闭系统中，系统的热量和系统的绝对温度的比值在任何过程中都是增长的。这个不小的发现使克劳修斯惊喜不已，他隐约感觉到自己的研究又将出现新的突破。于是，他不断地实验，反复地论证，把所有的精力都倾注在这个“恒量”的研究之中。1854年，克劳修斯把研究的结果以论文的形式予以发表，在文中，他提出了著名的“克劳修斯不等式”，得出了卡诺热机效率的公式，并推广到任何一个可逆的循环之中。1865年，克劳修斯发表了《力学的热理论的主要方程之便于应用的形式》一文，在文中明确表达了“熵”的概念。熵是物质的状态函数，即状态一定时，物质的

最大熵原理在气象学中的应用

第六章最大熵原理在气象学中的应用上一章我们把熵原理作了简要介绍，并附带提及了它在一些领域的应用。由于熵原理的普遍的适用性，因而认真分析它在气象上的应用潜力是十分值得的。很显然，用熵原理说明的气象学中的问题越多，不仅越加显示熵原理的重要性，显示宇宙真理的统一性，而且也为气象学找到了新的理论武器，而这势必也提高了气象学的科学性和实用性。在这一章我们就重点讨论最大熵原理怎样应用于各种气象问题之中，以及由此得出的结果。把最大熵原理用于说明气象现象大致包含如下步骤： ◆首先把气象问题归结为某种分布函数(这在第二章已列出约30个分布函数的个例)。 ◆找出形成上述分布函数的物理(气象)过程中有哪些重要的约束条件。 ◆从物理(气象)过程含有随机性引出对应的熵达到极大值(即随机性导致最混乱)。 ◆进行数学处理，从熵理论导出分布函数。 ◆用实际资料验证理论结果(如不符，可再重复上述过程)。后边的介绍就是把上述步骤分别用于各个具体的气象分布问题中，并从中逐步加深对最大熵原理的认识。另外，从70年代以来Paltridge[1]等人从热力学熵平衡角度研究地球纬圈上的气温分布的工作，也应属于试着用熵原理的一种事例。这个工作中尽管在原理上尚有不清楚之处，但其结果与实况的一致性和引用极值原理都是很有意义的。鉴于汤懋苍[2]近年对此已有介绍，我们这里就不再评述

了。顺便指出，早在上世纪，从力学中发展起来的最小作用原理就从力学领域体现了自然界遵守某种极值原理的精神。在气象界，罗伦茨[3]在60年代就设想大气也应当遵守某种极值原理。而我们指出有一些气象分布函数可以从熵达极大的角度推导出来，这可以看成是罗伦茨思想从统计角度(非决定论角度)的具体体现。所以，最大熵原理在气象学中的应用不仅应看作是随机论(非决定论)的胜利，也应当看成广义的极值原理的胜利。 §1 大气的温度场和气压场从最大熵原理出发，很容易说明大气中的温度场和气压场的分布。在第二章第4节我们已经论证了大气的温度场和气压场的分布。对气压场，我们从简单的分析得出它应是均匀分布，对温度场则从平均图上得出其分布也是均匀分布。这就是说，如果从大气中纯随机地抽取一个空气样品，则其气压(气温)为各种可能值的出现概率都是相等的，或者说各种可能的气压(温度)占有的大气质量是一样的。图2．5 就是其代表。大气温度为什么恰为均匀分布(它竟然遵守如此简单的分布，确实有些出人意料！）? 形成现今温度分布的原因当然是太阳辐射和大气的对外辐射，这使我们想到如图6．1的极简单的模型。图的左侧有一高温的恒定热源，其温度为T1，左侧有一低温的恒定热汇，其温度为T0。介质处于T1和T0两个温度之间，它的温度在各处不会都是T1或T0，从而构成了一个温度场。如果介质仅能从左右两端吞吐热量而其他界面与外界绝缘，那么介质中的温度场理应会形成如图所示的等温线呈均匀分布之形状。此时介质上的温度分布函数应为均匀分布，对此我们也可以从解热传导方程中得出来。

信息熵及其性质和应用

农业大学本科生课程论文论文题目信息熵及其性质和应用学生专业班级信息与计算科学09级2班学生学号 20093992 指导教师吴慧完成时间2012年06月25日 2012 年 06 月 25 日

课程论文任务书学生指导教师吴慧论文题目信息熵及其性质和应用论文容（需明确列出研究的问题）：研究信息熵的目的就是为了更深入的了解信息熵，更好的了解信息熵的作用，更好地使用它解决现实生活中的问题。文中介绍了信息熵的定义和性质及其应用。使我们对信息熵有跟深入的了解。资料、数据、技术水平等方面的要求：论文要符合一般学术论文的写作规，具备学术性、科学性和一定的创造性。文字要流畅、语言要准确、论点要清楚、论据要准确、论证要完整、严密，有独立的观点和见解。容要理论联系实际，计算数据要求准确，涉及到他人的观点、统计数据或计算公式等要标明出处，结论要写的概括简短。参考文献的书写按论文中引用的先后顺序连续编码。发出任务书日期 06月15日完成论文日期 06月25日教研室意见（签字）院长意见（签字）

熵最大原理

一、熵物理学概念宏观上：热力学定律——体系的熵变等于可逆过程吸收或耗散的热量除以它的绝对温度（克劳修斯，1865）微观上：熵是大量微观粒子的位置和速度的分布概率的函数，是描述系统中大量微观粒子的无序性的宏观参数（波尔兹曼，1872）结论：熵是描述事物无序性的参数，熵越大则无序。二、熵在自然界的变化规律——熵增原理一个孤立系统的熵，自发性地趋于极大，随着熵的增加，有序状态逐步变为混沌状态，不可能自发地产生新的有序结构。当熵处于最小值, 即能量集中程度最高、有效能量处于最大值时, 那么整个系统也处于最有序的状态,相反为最无序状态。熵增原理预示着自然界越变越无序三、信息熵（1）和熵的联系——熵是描述客观事物无序性的参数。香农认为信息是人们对事物了解的不确定性的消除或减少，他把不确定的程度称为信息熵（香农，1948 ）。随机事件的信息熵：设随机变量ξ，它有A1，A2，A3，A4，……，An共n种可能的结局，每个结局出现的概率分别为p1，p2，p3，p4，……，pn，则其不确定程度，即信息熵为（2）信息熵是数学方法和语言文字学的结合。一个系统的熵就是它的无组织程度的度量。熵越大，事件越不确定。熵等于0，事件是确定的。举例：抛硬币， p（head）=0.5，p（tail）=0.5 H（p）=-0.5log2（0.5）+（-0.5l og2（0.5））=1 说明：熵值最大，正反面的概率相等，事件最不确定。四、最大熵理论在无外力作用下，事物总是朝着最混乱的方向发展。事物是约束和自由的统一体。事物总是在约束下争取最大的自由权，这其实也是自然界的根本原则。在已知条件下，熵最大的事物，最可能接近它的真实状态。

熵函数

熵函数方法一： A=-(0.3*log2(0.3)+0.1*log2(0.1)+0.21*log2(0.21)+0.09*log2(0.09) +0.05*log2(0.05)+0.25*log2(0.25)); disp(A) 2.3549 方法二： A=[0.3 0.1 0.21 0.09 0.05 0.25]; B=-sum(A.*log2(A)); disp(B) 2.3549 平均互信息方法一： A=[0.3 0.1 0.21 0.09 0.05 0.25]; B=[0.1 0.23 0.4 0.27;0.2 0.2 0.3 0.3;0.06 0.65 0.2 0.09;0.1 0.4 0.2 0.3;0.7 0.1 0.1 0.1;0.3 0.1 0.3 0.3]; C=A*B D=-sum(C.*log2(C))%H(Y) E=-(B.*log2(B)) F=sum(A*E) %（H（Y|X）） G=D-F %(H(Y)- H（Y|X）) C = 0.1816 0.2915 0.2900 0.2369 D = 1.9755

0.3322 0.4877 0.5288 0.5100 0.4644 0.4644 0.5211 0.5211 0.2435 0.4040 0.4644 0.3127 0.3322 0.5288 0.4644 0.5211 0.3602 0.3322 0.3322 0.3322 0.5211 0.3322 0.5211 0.5211 F = 1.7617 G = 0.2137 方法二： A=[0.3 0.1 0.21 0.09 0.05 0.25]; B=[0.1 0.23 0.4 0.27;0.2 0.2 0.3 0.3;0.06 0.65 0.2 0.09;0.1 0.4 0.2 0.3;0.7 0.1 0.1 0.1;0.3 0.1 0.3 0.3]; C=-sum((A*B).*log2(A*B))-sum(A*-(B.*log2(B))); disp(C) 0.2137 平均失真度Dmax和Dmin Dmin(先取小再求和) A=[0.3 0.1 0.21 0.09 0.05 0.25] B=[0.1 0.23 0.4 0.27;0.2 0.2 0.3 0.3;0.06 0.65 0.2 0.09;0.1 0.4 0.2 0.3;0.7 0.1 0.1 0.1;0.3 0.1 0.3 0.3]'%转置 C=min(B) D=A.*C Dmin=sum(D) A = 0.3000 0.1000 0.2100 0.0900 0.0500 0.2500

信息熵及其性质和应用复习课程

信息熵及其性质和应用

青岛农业大学本科生课程论文论文题目信息熵及其性质和应用学生专业班级信息与计算科学09级2班学生学号姓名 20093992 指导教师吴慧完成时间2012年06月25日 2012 年 06 月 25 日

课程论文任务书学生姓名指导教师吴慧论文题目信息熵及其性质和应用论文内容（需明确列出研究的问题）：研究信息熵的目的就是为了更深入的了解信息熵，更好的了解信息熵的作用，更好地使用它解决现实生活中的问题。文中介绍了信息熵的定义和性质及其应用。使我们对信息熵有跟深入的了解。资料、数据、技术水平等方面的要求：论文要符合一般学术论文的写作规范，具备学术性、科学性和一定的创造性。文字要流畅、语言要准确、论点要清楚、论据要准确、论证要完整、严密，有独立的观点和见解。内容要理论联系实际，计算数据要求准确，涉及到他人的观点、统计数据或计算公式等要标明出处，结论要写的概括简短。参考文献的书写按论文中引用的先后顺序连续编码。发出任务书日期 06月15日完成论文日期 06月25日教研室意见（签字）院长意见（签字）

熵函数的唯一性和有根概率树

熵函数的唯一性和有根概率树苏驷希在信息论中，对于离散随机变量X 的熵的计算公式来自 C.E.Shannon 。 () ()[()]()log()p x x H X I x p x x E ==-∑ （1）或者简单记为： 12()(,,...,)n H X H p p p =，其中i p 为X 的概率分布（2）下面来说明，如果不考虑常数差别，这个公式是唯一的。由于()H X 用来度量X 的不确定性，则它应该满足下面三个条件， [1] ()H X 是概率的连续函数； [2] 当X 是等概率随机变量时，()H X 应该是X 取值符号数n 的增函数； [3] 可加性；其中第一和第二个条件简单，并且容易理解；下面简单说明第三个条件，考虑一个有三个结果的试验α， 1231 2 3 :( )a a a p p p α 它的熵为： 123()(,,)H X H p p p = (3) 为了确定那一个结果出现，可以考虑两个相继的试验。在第一次试验 1α中，先确定是1a 出现，还是2a 或3a 出现，它的熵为 1123()(,)H X H p p p =+。如果1a 出现，则结果确定，无须第二次试验；如果2a 或3a 出现，则需要做第二次试验2α以确定是2a 或3a 出现，试验

2α的熵为32 22323 ()( ,)p p H X H p p p p =++。由于整个试验不确定性的客观性，应该有： 32 123123232323 (,,)(,)()( ,)p p H p p p H p p p p p H p p p p =+++++ （4）下面来考虑C.E.Shannon 的定理。定理1 唯一满足条件[1]，[2]和[3]的()H X 有下面的形式， 1()()log()log n i i x i H X C p x x C p p ==-=-∑∑，其中C 为正常数（5）证明：记11 1(,,...,)()H f n n n n =，当然()f n 为n 的单调增函数。然后考虑一个有nm 个结果的等概试验，将它分解为m 个有n 个等概结果的试验，根据[3]，应该有： 1()()()()()f nm f m m f n f m f n m =+=+ （6）根据微积分知识，满足（6）的单调增函数一定有形式 ()log f n C n =，其中C 为正常数（7）为了证明一般的情形，先假设所有的i p 为有理数，不妨认为 1 i i n k k n p n == ∑。然后考虑一个有1 n k k n =∑个等概结果的试验α，并且这个试验 α被认为是两类相继的试验，其中第一类试验i α的概率是i p ，而i α包括有i n 个等概试验结果，而第二个试验是在出现试验i α的基础上，考虑它是i n 个等概结果中的那一个，则根据[3]有： 121 1 log (,,...,)log n n i n i i i i C n H p p p C p n ===+∑∑ 整理得：

最大熵原理及其应用

论文名称：最大熵原理及其应用班级：13级通信工程班专业：通信工程学号：学生姓名：指导老师：时间：2015年11月8日摘要熵是源于物理学的基本概念，后来Shannon在信息论中引入了信息熵的概念，它在统计

物理中的成功使人们对熵的理论和应用有了广泛和高度的重视。最大熵原理是一种在实际问题中已得到广泛应用的信息论方法。本文从信息熵的概念出发，对最大熵原理做了简要介绍，并论述了最大熵原理的合理性，最后提及它在一些领域的应用，通过在具体例子当中应用最大熵原理，展示该原理的适用场合，以期对最大熵原理及其应用有更深刻的理解。关键词：熵；信息熵；最大熵原理；不适定性问题引言科学技术的发展使人类跨入了高度发展的信息化时代。在政治、军事、经济等各个领域，信息的重要性不言而喻，有关信息理论的研究正越来越受到重视，信息论方法也逐渐被广泛应用于各个领域。信息论一般指的是香农信息论，主要研究在信息可以度量的前提下如何有效地、可靠地、安全地传递信息，涉及消息的信息量、消息的传输以及编码问题。1948年C.E.Shannon 为解决通信工程中不确定信息的编码和传输问题创立信息论，提出信息的统计定义和信息熵、互信息概念，解决了信息的不确定性度量问题，并在此基础上对信息论的一系列理论和方法进行了严格的推导和证明，使以信息论为基础的通信工程获得了巨大的发展。信息论从它诞生的那时起就吸引了众多领域学者的注意，他们竞相应用信息论的概念和方法去理解和解决本领域中的问题。近年来，以不确定性信息为研究对象的信息论理论和方法在众多领域得到了广泛应用，并取得了许多重要的研究成果。迄今为止，较为成熟的研究成果有:A.N.Kolmogorov在1956年提出的关于信息量度定义的三种方法——概率法，组合法，计算法；A.N.Kolmogorov在1968年阐明并为J.Chaitin在1987年系统发展了的关于算法信息的理论。这些成果大大丰富了信息理论的概念、方法和应用范围。在信息论中，最大熵的含义是最大的不确定性，它解决的一大类问题是在先验知识不充分的条件下进行决策或推断等。熵方法在谱估计、图象滤波、图象重建、天文信号处理、专家系统等中都有广泛的应用。最大熵原理在实际问题中的应用近年来一直在不断地发展。 1.信息熵的概念信息熵是将熵概念成功地扩展到信息科学领域。熵是描述客观事物无序性的参数，它最早是由R.Clausius于1865年引入热力学中的一个物理概念，通常称之为热力学熵。后来L.Boltzmann赋予熵统计意义上的解释，称之为统计热力学熵。1929年，匈牙利科学家

信息熵的matlab程序实例

求一维序列的信息熵（香浓熵）的matlab程序实例对于一个二维信号，比如灰度图像，灰度值的范围是0-255，因此只要根据像素灰度值(0-255)出现的概率，就可以计算出信息熵。但是，对于一个一维信号，比如说心电信号，数据值的范围并不是确定的，不会是(0-255)这么确定，如果进行域值变换，使其转换到一个整数范围的话，就会丢失数据，请高手指点，怎么计算。比如数字信号是x(n),n=1~N (1)先用Hist函数对x(n)的赋值范围进行分块，比如赋值范围在0~10的对应第一块，10~20的第二块，以此类推。这之前需要对x(n)做一些归一化处理 (2)统计每一块的数据个数，并求出相应的概率 (3)用信息熵公式求解以上求解方法获得的虽然是近似的信息熵，但是一般认为，这么做是没有问题的求一维序列的信息熵的matlab程序代码如下：（已写成调用的函数形式）测试程序： fs=12000; N=12000; T=1/fs; t=(0:N-1)*T; ff=104; sig=0.5*(1+sin(2*pi*ff*t)).*sin(2*pi*3000*t)+rand(1,length(t)); Hx=yyshang(sig,10) %———————求一维离散序列信息熵matlab代码 function Hx=yyshang(y,duan) %不以原信号为参考的时间域的信号熵 %输入：maxf:原信号的能量谱中能量最大的点 %y:待求信息熵的序列 %duan:待求信息熵的序列要被分块的块数 %Hx:y的信息熵 %duan=10;%将序列按duan数等分，如果duan=10,就将序列分为10等份 x_min=min(y); x_max=max(y); maxf(1)=abs(x_max-x_min); maxf(2)=x_min; duan_t=1.0/duan; jiange=maxf(1)*duan_t; % for i=1:10 % pnum(i)=length(find((y_p>=(i-1)*jiange)&(y_p

熵的应用

熵的应用和意义

信息熵理论

现代熵理论在社会科学中的应用

熵函数的来历及统计学意义

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