当前位置：搜档网 › 极坐标系

极坐标系

标有多个角度的极坐标网格.

在数学中, 极坐标系是一个二维坐标系统。该坐标系统中的点由一个夹角和一段相对中心点——极点（相当于我们较为熟知的直角坐标系中的原点）的距离来表示。极坐标系的应用领域十分广泛，包括数学、物理、工程、航海(en:Navigation)以及机器人领域。在两点间的关系用夹角和距离很容易表示时，极坐标系便显得尤为有用；而在平面直角坐标系中，这样的关系就只能使用三角函数来表示。对于很多类型的曲线，极坐标方程是最简单的表达形式，甚至对于某些曲线来说，只有极坐标方程能够表示。

在极坐标系中表示点

点(3,60°) 和点(4,210°)

正如所有的二维坐标系，极坐标系也有两个坐标轴：r(半径坐标) 和θ(角坐标、极角或方位角，有时也表示为φ或t)。r坐标表示与极点的距离,θ坐标表示按逆时针方向坐标距离0°射线（有时也称作极轴）的角度，极轴就是在平面直角坐标系中的X轴正方向。[6]

比如，极坐标中的(3,60°)表示了一个距离极点3个单位长度、和极轴夹角为60°的点。(?3,240°) 和(3,60°)表示了同一点，因为该点的半径为在夹角射线反向延长线上距离极点3个单位长度的地方(240° ?180° = 60°)。

极坐标系中一个重要的特性是，平面直角坐标中的任意一点，可以在极坐标系中有无限种表达形式。通常来说，点(r, θ)可以任意表示为(r, θ ± n×360°)或(?r, θ ± (2n+ 1)180°)，这里n是任意整数。[7]如果某一点的r坐标为0，那么无论θ取何值，该点的位置都落在了极点上。

使用弧度单位

极坐标系中的角度通常表示为角度或者弧度，使用公式2π rad = 360°.具体使用哪一种方式，基本都是由使用场合而定。航海(en:Navigation)方面经常使用角度来进行测量，而物理学的某些领域大量使用到了半径和圆周的比来作运算，所以物理方面更倾向使用弧度。[8]

在极坐标系与平面直角坐标系（笛卡尔坐标系）间转换

极坐标系中的两个坐标r和θ可以由下面的公式转换为直角坐标系下的坐标值

由上述二公式，可得到从直角坐标系中x和y两坐标如何计算出极坐标下的坐标

[9]在x= 0的情况下：若y为正数θ= 90° (π/2 radians); 若y为负, 则θ= 270° (3π/2 radians).

极坐标方程

用极坐标系描述的曲线方程称作极坐标方程，通常表示为r为自变量θ的函数。极坐标方程经常会表现出不同的对称en:Symmetry形式，如果r(?θ) = r(θ)，

则曲线关于极点(0°/180°)对称，如果r(π?θ) = r(θ)，则曲线关于极点(90°/270°)对称，如果r(θ?α) = r(θ)，则曲线相当于从极点逆时针（en:counterclockwise）旋转(en:Rotational symmetry)α°。[9]

圆

A circle with equation r(θ) = 1.

在极坐标系中，圆心在(r0, φ) 半径为a的圆的方程为

该方程可简化为不同的方法，以符合不同的特定情况，比如方程

表示一个以极点为中心半径为a的圆。[10]

直线

经过极点的射线由如下方程表示

其中φ为射线的倾斜角度，若 m为直角坐标系的射线的斜率，则有φ= arctan

m。任何不经过极点的直线都会与某条射线垂直。[11]这些在点(r

, φ)处的直

线与射线θ = φ垂直，其方程为

玫瑰线

一条方程为r(θ) = 2 sin 4θ的玫瑰线.

极坐标的玫瑰线(polar rose)是数学曲线中非常著名的曲线，看上去像花瓣，它只能用极坐标方程来描述，方程如下：

如果k是整数，当k是奇数时那么曲线将会是k个花瓣，当k是偶数时曲线将是2k个花瓣。如果k为非整数，将产生圆盘(disc)状图形，且花瓣数也为非整数。注意：该方程不可能产生4的倍数加2（如2，6，10……）个花瓣。变量a代表玫瑰线花瓣的长度。

阿基米德螺线

方程r(θ) = θ for 0 < θ < 6π的一条阿基米德螺线.

阿基米德螺线在极坐标里使用以下方程表示:

改变参数a将改变螺线形状，b控制螺线间距离，通常其为常量。阿基米德螺线有两条螺线，一条θ > 0，另一条θ < 0。两条螺线在极点处平滑地连接。把其中一条翻转90°/270°得到其镜像，就是另一条螺线。

圆锥曲线

Ellipse, showing semi-latus rectum

圆锥曲线方程如下：

其中l表示半径，e表示离心率。如果e < 1，曲线为椭圆，如果e = 1，曲线为抛物线，如果e > 1，则表示双曲线。

其他曲线

由于坐标系统是基于圆环的，所以许多有关曲线的方程，极坐标要比直角坐标系(笛卡尔形式)简单得多。比如lemniscates, en:lima?ons, and en:cardioids。

复数

复数的通常（en:rectangular）形式为a + bi，在极坐标中也可以表示为两种不同的方式：

1., 簡寫為

等同于欧拉方程（en:Euler's formula）。[12]复数在直角坐标系和极坐标系的转换通过以下公式实现：

其中

复数的乘法、除法以及指数以及开方运算，在极坐标中会比在直角坐标中容易得多，他们分别是：

?乘法:

?除法:

?指数 (棣美弗定理，De Moivre's formula):

矢量微积分

微积分可适用于极坐标系下表达的等式。令为位置矢量，

由r与随时间t变化的θ表达，是方向上的单位矢量，是以为起始顺时针旋转的角度单位矢量。第一和第二个位置的表达式是：

令为被一条连接焦点与曲线上一点的线所划分出的区域，则就是由和所构平行四边形区域的一半。

所以，整个区域就是关于时间的积分。

应用

行星运动的开普勒定律

Kepler's second law

另見：Kepler's laws of planetary motion

极坐标提供了一个表达开普拉行星运行定律的自然数的方法。开普勒第一定律，认为环绕一颗恒星运行的行星轨道形成了一个椭圆，这个椭圆的一个焦点在质心上。上面所给出的二次曲线部分的等式可用于表达这个椭圆。开普勒第二定律，即等域定律，认为连接行星和它所环绕的恒星的线在等时间间隔所划出的区域是

面积相等的，即是常量。这些等式可由牛顿运动定律（en:Newton's laws of motion）推得。在开普勒行星运动定律（en:Kepler's laws of planetary motion）

中有相关运用极坐标的详细推导。

三维空间

极坐标系可被扩展到三维空间中，形成圆柱坐标系和球形坐标系两个不同的坐标系。

圆柱坐标系

2 points plotted with cylindrical coordinates

与将直角坐标系扩展为三维的方法相似，圆柱坐标系是在二维极坐标系的基础上增添了第三条用于测量高于平面的点的高度的坐标所构成的。这第三条坐标通常表示为h。所以圆柱坐标表示为(r, θ, h)。

通过以下公式，圆柱坐标可用直角坐标表达：

球坐标系

A point plotted using spherical coordinates

球坐标系也可以运用坐标(ρ, φ, θ)扩展为三维，其中ρ是距离球心的距离，φ是距离z轴的角度（称作余纬度或顶角，角度从0到180°），θ是距离x 轴的角度（与极坐标中一样）。这个坐标系被称作球坐标系，与用于地球的经度和纬度相似，纬度就是余角φ，取决于δ＝90°－φ，经度可通过l=θ-180°算得。[13]

通过以下公式，球坐标可用直角坐标表达：

各种坐标系的定义

各种坐标系的定义一：空间直角坐标系空间直角坐标系的坐标原点位于参考椭球的中心，Z轴指向参考椭球的北极，X 轴指向起始子午面与赤道的交点， Y轴位于赤道面上切按右手系于X轴呈90度夹角，某点中的坐标可用该点在此坐标系的各个坐标轴上的投影来表示。空间直角坐标系可用如下图所示：二：大地坐标系：大地坐标系是采用大地纬度、经度和大地高程来描述空间位置的。纬度是空间的点与参考椭球面的法线与赤道面的夹角；经度是空间的点与参考椭球的自转轴所在的面与参考椭球的起始子午面的夹角；大地高是空间的点沿着参考椭球的法线方向到参考椭球面的距离。附：经度和纬度的详细概念，呵呵。经度和纬度都是一种角度。经度是个面面角，是两个经线平面的夹角。因所有经线都是一样长，为了度量经度选取一个起点面，经1884年国际会议协商，决定以通过英国伦敦近郊、泰晤士河南岸的格林尼治皇家天文台（旧址）的一台主要子午仪十字丝的那条经线为起始经线，称为本初子午线。本初子午线平面是起点面，终点面是本地经线平面。某一点的经度，就是该点所在的经线平面与本初子午线平面间的夹角。在赤道上度量，自本初子午线平面作为起点面，分别往东往西度量，往东量值称为东经度，往西量值称为西经度。由此可见，一地的经度是该地对于本初子午线的方向和角距离。本初子午线是0°经度，东经度的最大值为180°，西经度的最大值为180°，东、西经180°经线是同一根经线，因此不分东经或西经，而统称180°经线。纬度是个线面角。起点面是赤道平面，线是本地的地面法线。所谓法线，即垂直于参考扁球体表面的线。某地的纬度就是该地的法线与赤道平面之间的夹角。纬度在本地经线上三：平面坐标系（这里主要将gis中高斯－克吕格尔平面直角坐标系，不是数学里面的平面坐标系）高斯－克吕格尔平面直角坐标系 Gauss-Krüger plane rectangular coordinates system

直角坐标与极坐标的区别与转换

直角坐标直角坐标系在数学中应用广泛，是数学大厦最重要的根基之一。在平面内画两条直角坐标直角坐标互相垂直，并且有公共原点的数轴。其中横轴为X轴，纵轴为Y轴。这样我们就说在平面上建立了平面直角坐标系，简称直角坐标系。直角坐标中的点直角坐标中的点坐标：对于平面内任意一点C，过点分C别向X轴、Y轴作垂线，垂足在X 轴、Y轴上的对应点a,b分别叫做点C的横坐标、纵坐标，有序数对（a,b）叫做点C的坐标。坐标平面：坐标系所在平面。坐标原点：两坐标轴的公共原点。象限：X轴和Y轴把坐标平面分成四个象限，右上面的叫做第一象限，其他三个部分按逆时针方向依次叫做第二象限、第三象限和第四象限。象限以数轴为界，横轴、纵轴上的点不属于任何象限。

极坐标极坐标系 polar coordinates 在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系。在平面上取定一点O，称为极点。从O出发引一条射线Ox，称为极轴。再取定一个长度单位，通常规定角度取逆时针方向为正。这样，平面上任一点P的位置就可以用线段OP的长度ρ以及从Ox到OP 的角度θ来确定，有序数对（ρ，θ）就称为P点的极坐标，记为P（ρ，θ）；ρ称为P 点的极径，θ称为P点的极角。当限制ρ≥0，0≤θ<2π时，平面上除极点Ο以外，其他每一点都有唯一的一个极坐标。极点的极径为零，极角任意。若除去上述限制，平面上每一点都有无数多组极坐标，一般地，如果（ρ，θ）是一个点的极坐标，那么（ρ，θ+2nπ），（－ρ，θ+（2n+1）π），都可作为它的极坐标，这里n 是任意整数。平面上有些曲线，采用极坐标时，方程比较简单。例如以原点为中心，r为半径的圆的极坐标方程为ρ=r 等速螺线的极坐标方程为ρ=aθ 。此外，椭圆、双曲线和抛物线这3种不同的圆锥曲线，可以用一个统一的极坐标方程表示。极坐标系到直角坐标系的转化：在极坐标系与平面直角坐标系（笛卡尔坐标系）间转换极坐标系中的两个坐标ρ和θ可以由下面的公式转换为直角坐标系下的坐标值 x=ρcosθ y=ρsinθ 由上述二公式，可得到从直角坐标系中x和y两坐标如何计算出极坐标下的坐标θ=arctany/x ( x不等于0) 在x= 0的情况下：若y为正数θ= 90° (π/2 radians)；若y为负，则θ= 270° (3π/2 radians). 极坐标的方程用极坐标系描述的曲线方程称作极坐标方程，通常表示为r为自变量θ的函数。极坐标方程经常会表现出不同的对称形式，如果r(?θ) = r(θ)，则曲线关于极点

各种坐标系含义

WGS 84 是常用的经纬度的椭球面，也是一个公开的基准面。正转换:经纬度-->高斯投影坐标。大地基准面用于高斯投影，或者高斯分带投影，无论是54，80，还是wgs84，都有可能。在不同的基准面下，同一个点的经纬度不同，投影坐标也不同。地理坐标网（经纬网）为了制作和使用地图的方便，高斯－克吕格投影的地图上绘有两种坐标网：地理坐标网和直角坐标网。在我国1：1万－1：10万地形图上，经纬线只以图廓的形式表现，经纬度数值注记在内图廓的四角，在内外图廓间，绘有黑白相间或仅用短线表示经差、纬差1’的分度带，需要时将对应点相连接，就构成很密的经纬网。在1：20万－1：100万地形图上，直接绘出经纬网，有时还绘有供加密经纬网的加密分割线。纬度注记在东西内外图廓间，经度注记在

南北内外图廓间。直角坐标网（方里网）直角坐标网是以每一投影带的中央经线作为纵轴（X轴），赤道作为横轴（Y轴）。纵坐标以赤道我0起算，赤道以北为正，以南为负。我国位于北半球，纵坐标都是正值。横坐标本应以中央经线为0起算，以东为正，以南为负，但因坐标值有正有负，不便于使用，所以又规定凡横坐标值均加500公里，即等于将纵坐标轴向西移500公里。横坐标从此纵轴起算，则都成正值。然后，以公里为单位，按相等的间距作平行于纵、横轴的若干直线，便构成了图面上的平面直角坐标网，又叫方里网。5 Geographic Coordinate System和Projection Coordinate System的区别和联系：地理坐标系统(Geographic Coordinate System) 1、首先理解地理坐标系（Geographic coordinate system），Geographic coordinate system直译为地理坐标系统，是以经纬度为地图的存储单位的。很明显，Geographic coordinate system是球面坐标系统。我们要将地球上的数字化信息存放到球面坐标系统上，如何进行操作呢？地球是一个不规则的椭球，如何将数据信息以科学的方法存放到椭球上？这必然要求我们找到这样的一个椭球体。这样的椭球体具有特点：可以量化计算的。具有长半轴，短半轴，偏心率。以下几行便是Krasovsky_1940椭球及其相应参数。 Spheroid: Krasovsky_1940 Semimajor Axis: 6378245.000000000000000000 Semiminor Axis: 6356863.018773047300000000 Inverse Flattening（扁率）: 298.300000000000010000 然而有了这个椭球体以后还不够，还需要一个大地基准面将这个椭球定位。在坐标系统描述中，可以看到有这么一行：Datum: D_Beijing_1954 表示，大地基准面是D_Beijing_1954。 -------------------------------------------------------------------------------- 有了Spheroid和Datum两个基本条件，地理坐标系统便可以使用。完整参数： Alias: Abbreviation: Remarks: Angular Unit: Degree (0.017453292519943299) Prime Meridian（起始经度）: Greenwich (0.000000000000000000) Datum（大地基准面）: D_Beijing_1954 Spheroid（参考椭球体）: Krasovsky_1940 Semimajor Axis: 6378245.000000000000000000 Semiminor Axis: 6356863.018773047300000000 Inverse Flattening: 298.300000000000010000 投影坐标系统(Projection Coordinate System) 2、接下来便是Projection coordinate system（投影坐标系统），首先看看投影坐标系统中的一些参数。Projection: Gauss_Kruger Parameters: False_Easting: 500000.000000 False_Northing: 0.000000 Central_Meridian: 117.000000 Scale_Factor: 1.000000

极坐标系的概念

二、极坐标系的概念教学目标：知识与技能：理解极坐标的概念,掌握极坐标和直角坐标的互化关系式过程与方法：能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别. 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。教学重点难点：教学重点：理解极坐标的意义,对极坐标和直角坐标的互化关系式的理解教学难点：能够在极坐标系中用极坐标确定点位置,互化关系式的掌握教学过程：一、复习引入：情境1：如图为某校园的平面示意图，假设某同学在教学楼处。（1）他向东偏60°方向走120M后到达什么位置？该位置惟一确定吗？（2）如果有人打听体育馆和办公楼的位置，他应如何描述？问题1：为了简便地表示上述问题中点的位置，应创建怎样的坐标系呢？问题2：如何刻画这些点的位置？这一思考，能让学生结合自己熟悉的背景，体会在某些情况下用距离与角度来刻画点的位置的方便性，为引入极坐标提供思维基础．二、讲解新课：从情镜2中探索出：在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置。这种用方向和距离表示平面上一点的位置的思想，就是极坐标的基本思想。 1、极坐标系的建立：在平面上取一个定点O，自点O引一条射线OX，同时确定一个单位长度和计算角度的正方向（通常取逆时针方向为正方向），这样就建立了一个极坐标系。（其中O称为极点，射线OX称为极轴。）强调:极点、极轴、长度单位、角度单位和它的方向构成极坐标系的四要素，缺一不可。极坐标系就是用长度和角度来确定平面内点的位置 2、极坐标系内一点的极坐标的规定对于平面上任意一点M，用ρ表示线段OM的长度，用θ表示从Ox到OM ρθ就叫做M的的角度，ρ叫做点M的，θ叫做点M的，有序数对(,) . 强调:一般地，不作特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数．特别地，当点M在极点时，它的极坐标为(0，θ)，θ可以取任意实数．三．典型例题例1 写出下图中各点的极坐标 A（）B（）C（） D（）E（）F（）G（）【反思感悟】(1)写点的极坐标要注意顺序：极径ρ在前，极角θ在后，不能把顺序搞错了． ①平面上一点的极坐标是否唯一？若不唯一，那有多少种表示方法？

高中数学第一讲坐标系四柱坐标系与球坐标系简介1柱坐标系学案含解析新人教A版选修4_4

1．柱坐标系柱坐标系 (1)定义：建立空间直角坐标系Oxyz ，设P 是空间任意一点，它在Oxy 平面上的射影为 Q ，用(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ＜2π)表示点Q 在平面Oxy 上的极坐标，这时点P 的位置可用有之间的)z ，θ，ρ(表示．这样，我们建立了空间的点与有序数组R)∈z ()z ，θ，ρ(序数组一种对应关系．把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(ρ，θ，z )叫做点 R. ∈z ，2π＜θ≥0,0≤ρ，其中)z ，θ，ρ(P 的柱坐标，记作P (2)空间点P 的直角坐标(x ，y ，z )与柱坐标(ρ，θ，z )之间的变换公式为 ???? ? x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z. 由公式求出ρ，再由tan θ＝y x 求θ. 由公式???? ? x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， z ＝z ，得ρ2＝x 2＋y 2 ，即ρ2 ＝12 ＋(3)2 ＝4，∴ρ＝2. tan θ＝y x ＝3，又x >0，y >0，点在第一象限．∴θ＝π 3 ， ∴点A 的柱坐标为? ?? ??2，π3，5. 已知点的直角坐标，确定它的柱坐标关键是确定ρ和θ，尤其是θ，要注意求出tan θ后，还要根据点所在象限确定θ的值(θ的范围是已知点P 的柱坐标为? ?? ??4，π3，8，求它的直角坐标．直接利用公式求解．

由变换公式???? ? x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， z ＝z 得 x ＝4cos π 3 ＝2，y ＝4sin π3 ＝23，z ＝8. ∴点P 的直角坐标为(2,23，8)．已知柱坐标，求直角坐标，利用变换公式 ???? ? x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z 即可． 3．点N 的柱坐标为? ?? ??2，π2，3，求它的直角坐标．解：由变换公式???? ? x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， z ＝z ，得 x ＝ρcos θ＝2cos π 2 ＝0，y ＝ρsin θ＝2sin π2 ＝2，故点N 的直角坐标为(0,2,3)． 4．已知点A 的柱坐标为(1，π，2)，B 的柱坐标为? ?? ??2，π2，1，求A ，B 两点间距离．解：由x ＝ρcos θ，得x ＝cos π＝－1. 由y ＝ρsin θ，得y ＝sin π＝0. ∴A 点的直角坐标为(－1,0,2)．同理，B 点的直角坐标为(0,2,1)． ∴|AB |＝－1－＋－＋－＝ 6. 故A ，B 两点间的距离为 6. 课时跟踪检测(五) 一、选择题 1．设点M 的直角坐标为(1，－3，2)，则它的柱坐标是( ) A.? ????2，π3，2 B.? ????2，2π3，2 C.? ????2，4π3，2 D.? ?? ??2，5π3，2

坐标系的概念

坐标系的概念东伪偏移falseEasting falEastng ：投影平面中为避免横轴(经度方向)坐标出现负值,而所加的偏移量.我国规定将高斯-克吕格投影各带纵坐标轴西移500公里,因此高斯-克吕格投影东伪偏移值为500公里。如:500000,表示投影的东伪偏移值为500公里。北伪偏移falseNorthing falNorthng ：投影平面中为避免纵轴(纬度方向)坐标出现负值,而所加的偏移量,高斯-克吕格投影需在此注明北伪偏移值,我国高斯-克吕格投影北伪偏移值为0 。如:0,表示投影的北伪偏移值为0 。一：需要用到的几个基本概念-------- 球面坐标系 1. 几个常涉及到的名词的中英文对照：地形面（Topography）；大地水准面（Geoid）；参考椭球面（Reference Ellipsoid）；基准（Datum）； 2. 基准：就是一组用于描述其他量的量，比如，描述空间位置的基准为位置基准；描述时间的基准为时间基准。具体的例子如：位置基准-----椭球有原点、尺度、定向；时间基准-----起点、尺度等。 3. 坐标系转换：首先坐标参照系是由基准和坐标系两部分构成的，坐标系转换实质上是在基准相同的情况下，坐标系之间的相互转换。比如：在同一基准下（即地球椭球的参数、定位、定向等不变），同一个点既可以用空间直角坐标表示，也可以用大地坐标表示；或者在站心坐标系中，同一个点级可以用站心地平坐标表示，也可以用站心极坐标法表示。（从这我们也就很容易地明白了：基准转换实质上是基准发生了变化即椭球及其定位定向发生了改变）（无论基准和坐标系哪一个发生了变化就会导致坐标参照系的改变） 4. 基准转换：实质上是将同一点从某一个基准或坐标参照系下的坐标转换到另一种坐标基准或者坐标参照系下去，即两种基准（椭球参数、定位、定向）之间的转换。比如：旧BJ54坐标系下的坐标和CGCS2000大地坐标系之间的转换（因为前者是参心坐标系，后者是地心坐标系） 5. 大地基准：是指用于定义地球参考椭球的一系列参数，主要包括：椭球的大小和形状-----只要有长半轴a(Semo--major Axis)和扁率f (Flattening)即可（注意扁率和偏心率不是一个概念），其他参数均可由他们两个推导得出；椭球短半轴(Semi--minor Axis)指向（Orientation）：通常与地球的自转轴平行；（另外它还和极移和章动有联系）椭球中心的位置：根据需要确定，若为地心则称为地心椭球，否则称为参心椭球；（注意参考和参心的不同含义）

极坐标系的概念及其性质(含答案)

极坐标系的概念及其性质典题探究例1 写出图中A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 各点的极坐标)20,0(πθρ<≤>. 例2在下面的极坐标系里描出下列各点例3 如图，用点A ，B ，C ，D ，E 分别表示教学楼，体育馆，图书馆，实验楼，办公楼的位置.建立适当的极坐标系，写出各点的极坐标 . (3,0)(6,2)(3,)245(5,)(3,)(4,)365(6,) 3A B C D E F G ππππππ

例4已知点),(θρQ ，分别按下列要求求出点P 的一个极坐标. （1）P 是点Q 关于极点O 的对称点；（2）P 是点Q 关于极轴的对称点. 演练方阵 A 档（巩固专练） A ．(5，?) B ．(5，) C ．(5，?) D ．(?5，?) A ．(?2，3) B ．(?2，3) C ．(2，?3 ) D ．(2，?3) 4.在极坐标系中,与(ρ,θ)关于极轴对称的点是( )

A ．),(θρ B ．),(θρ- C ．),(πθρ+ D ．),(θπρ- 5.如图，在平面内取一个 O ，叫做；自极点O 引一条射线Ox ，叫做；在选定一个及其计算角度的（通常取逆时针方向为正方向），这样就建立了一个。 6.设M 是平面内一点，极点O 与M 的距离||OM 叫做点M 的，记为；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的，记为。有序数对叫做点M 的，记作。 7． )6 , 4(π A 、)65, 4(πB )67,4(πC )6,4(π-D )6 13,4(πE 表示同一个点的是 . 8.写出图中各点的极坐标： 9.如图，在极坐标系中，写出点A ，B ，C 的极坐标，并标出点)3 5,5.3(),43, 4(),6 ,2(πππ F E D 所在的位置.

高中数学第一讲坐标系四柱坐标系与球坐标系简介导学案新人教A版选修44

四柱坐标系与球坐标系简介庖丁巧解牛知识·巧学一、柱坐标系定义：如图1-4-1，建立空间直角坐标系O-xyz ，设P 是空间任意一点，它在Oxy 平面上的射影为Q ，用(ρ,θ)(ρ≥0,0≤θ<2π)来表示点Q 在平面Oxy 上的极坐标.这时点P 的位置可用有序数组(ρ,θ,z)(z∈R )表示.这样，就建立了空间的点与有序数组(ρ,θ,z)之间的一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(ρ,θ,z)叫做点P 的柱坐标，记作P(ρ,θ,z)，其中ρ≥0,0≤θ<2π,-∞

直角坐标与极坐标的区别与转换

直角坐标求助编辑百科名片直角坐标系在数学中应用广泛，是数学大厦最重要的根基之一。目录定义相关参量编辑本段定义在平面内画两条直角坐标直角坐标互相垂直，并且有公共原点的数轴。其中横轴为X轴，纵轴为Y轴。这样我们就说在平面上建立了平面直角坐标系，简称直角坐标系。编辑本段相关参量直角坐标中的点

直角坐标中的点坐标：对于平面内任意一点C，过点分C别向X轴、Y轴作垂线，垂足在X 轴、Y轴上的对应点a,b分别叫做点C的横坐标、纵坐标，有序数对（a,b）叫做点C的坐标。坐标平面：坐标系所在平面。坐标原点：两坐标轴的公共原点。象限：X轴和Y轴把坐标平面分成四个象限，右上面的叫做第一象限，其他三个部分按逆时针方向依次叫做第二象限、第三象限和第四象限。象限以数轴为界，横轴、纵轴上的点不属于任何象限。极坐标极坐标系目录极坐标系极坐标系到直角坐标系的转化：极坐标的方程极坐标系极坐标系到直角坐标系的转化：极坐标的方程展开编辑本段极坐标系 polar coordinates 在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系。在平面上取定一点O，称为极点。从O出发引一条射线Ox，称为极轴。再取定一个长度单位，通常规定角度取逆时针方向为正。这样，平面上任一点P的位置就可以用线段OP的长度ρ以及从Ox到OP 的角度θ来确定，有序数对（ρ，θ）就称为P点的极坐标，记为P（ρ，θ）；ρ称为P 点的极径，θ称为P点的极角。当限制ρ≥0，0≤θ<2π时，平面上除极点Ο以外，其他

每一点都有唯一的一个极坐标。极点的极径为零，极角任意。若除去上述限制，平面上每一点都有无数多组极坐标，一般地，如果（ρ，θ）是一个点的极坐标，那么（ρ，θ+2nπ），（－ρ，θ+（2n+1）π），都可作为它的极坐标，这里n 是任意整数。平面上有些曲线，采用极坐标时，方程比较简单。例如以原点为中心，r为半径的圆的极坐标方程为ρ=r 等速螺线的极坐标方程为ρ=aθ 。此外，椭圆、双曲线和抛物线这3种不同的圆锥曲线，可以用一个统一的极坐标方程表示。编辑本段极坐标系到直角坐标系的转化：在极坐标系与平面直角坐标系（笛卡尔坐标系）间转换极坐标系中的两个坐标ρ和θ可以由下面的公式转换为直角坐标系下的坐标值 x=ρcosθ y=ρsinθ 由上述二公式，可得到从直角坐标系中x和y两坐标如何计算出极坐标下的坐标θ=arctany/x ( x不等于0) 在x= 0的情况下：若y为正数θ= 90° (π/2 radians)；若y为负，则θ= 270° (3π/2 radians). 编辑本段极坐标的方程用极坐标系描述的曲线方程称作极坐标方程，通常表示为r为自变量θ的函数。极坐标方程经常会表现出不同的对称形式，如果r(?θ) = r(θ)，则曲线关于极点（0°/180°）对称，如果r(π?θ) = r(θ)，则曲线关于极点（90°/270°）对称，如果r(θ-α) = r(θ)，则曲线相当于从极点逆时针方向旋转α°。圆方程为r(θ) = 1的圆。在极坐标系中，圆心在(r0, φ) 半径为a的圆的方程为r^2-2rr0cos(θ-φ)+r0^2=a^2 该方程可简化为不同的方法，以符合不同的特定情况，比如方程r(θ)=a表示一个以极点为中心半径为a的圆。直线经过极点的射线由如下方程表示θ=φ ,其中φ为射线的倾斜角度，若m为直角坐标系的射线的斜率，则有φ = arctan m。任何不经过极点的直线都会与某条射线垂直。这些在点（r0, φ）处的直线与射线θ = φ 垂直，其方程为 r(θ)=r0sec(θ-φ)

3 极坐标系的概念(教师版)

3 极坐标系的概念主备：审核：学习目标： 1.理解极坐标的概念，弄清极坐标系的结构； 2.理解广义极坐标系下点的极坐标(,)ρθ与点之间的多对一的对应关系； 3.已知一点的极坐标会在极坐标系中描点，以及已知点能写出它的极坐标. 学习重点：极坐标系的理解与应用学习难点：极坐标系的概念；加强与直角坐标系的联系理解极坐标系的概念，通过实例的应用与分析突破难点. 学习过程：一、课前准备阅读教材57P P -的内容，体会极坐标系的建立过程.并回顾以下问题： 1. 在直角坐标系中，要确定一个点的位置，只需要确定这个点的横坐标和纵坐标就可以了；反过来，知道了一个点的坐标，就可以在直角坐标系中找到这个点，并且这个点是唯一的.就是说直角坐标系中，点与坐标之间是一一对应的关系. 2.除了直角坐标系能够确定点的位置，还有其他方法吗？比如说，禅城相对于荷城来说，在什么位置？某同学说：禅城在荷城的东偏北40 ，距离荷城41公里的地方，这种方法是不是直角坐标系的表示方法？ 3．在《解三角形》中，我们经常遇到这样的问题：某船在海岛西偏南30 方向，距离海岛60海里处，或两船在灯塔东南方向10海里处相遇.这样的定位方法使用了两个什么量？二、新课导学：（一）新知：（1）思考：右图是某校园的平面示意图，假设某同学在教学楼处，请回答下列问题： ①你会怎样描述图书馆、体育馆、办公楼、实验楼的相对位置？这些描述的对应位置是否惟一确定？ ②他向东偏北60°方向走120m 后到达什么位置？该位置惟一确定吗？ ③如果有人打听体育馆和办公楼的位置，他应如何描述？探究结果： ①方位描述与直角坐标描述，位置都是惟一确定的. ②到达图书馆，该位置惟一确定. ③正东方向60m 处与西北方向50m 处. （2）极坐标系的概念 ①极坐标系的建立：在平面上取一个定点O ，自点O 引一条射线Ox ，同时确定一个单位长度和计算角度的正方向（通常取逆时针方向为正方向），这样就建立了一个极坐标系. （其中O 称为极点，射线Ox 称为极轴.） ②极坐标系内一点的极坐标的规定：对于平面上任意一点M ，用ρ表示线段OM 的长度，用办公楼 E 实验楼D C 图书馆 B 体育馆 A 教学楼 60m 50m 120m 60° 45°

坐标的基本概念

坐标的基本概念坐标系的由来传说中有这么一个故事：有一天，笛卡尔（1596—1650，法国哲学家、数学家、物理学家）生病卧床，但他头脑一直没有休息，在反复思考一个问题：几何图形是直观的，而代数方程则比较抽象，能不能用几何图形来表示方程呢？这里，关键是如何把组成几何的图形的点和满足方程的每一组“数”挂上钩。他就拼命琢磨。通过什么样的办法、才能把“点”和“数”联系起来。突然，他看见屋顶角上的一只蜘蛛，拉着丝垂了下来，一会儿，蜘蛛又顺着丝爬上去，在上边左右拉丝。蜘蛛的“表演”，使笛卡尔思路豁然开朗。他想，可以把蜘蛛看做一个点，它在屋子里可以上、下、左、右运动，能不能把蜘蛛的每个位置用一组数确定下来呢？他又想，屋子里相邻的两面墙与地面交出了三条线，如果把地面上的墙角作为起点，把交出来的三条线作为三根数轴，那么空间中任意一点的位置，不是都可以用这三根数轴上找到的有顺序的三个数来表示吗？反过来，任意给一组三个有顺序的数，例如3、2、1，也可以用空间中的一个点P来表示它们。同样，用一组数（a，b）可以表示平面上的一个点，平面上的一个点也可以用一组二个有顺序的数来表示。于是在蜘蛛的启示下，笛卡尔创建了直角坐标系。

一、大地坐标系大地坐标系是大地测量中以参考椭球面为基准面建立起来的坐标系。地面点的位置用大地经度、大地纬度和大地高度表示。大地坐标系的确立包括选择一个椭球、对椭球进行定位和确定大地起算数据。一个形状、大小和定位、定向都已确定的地球椭球叫参考椭球。参考椭球一旦确定，则标志着大地坐标系已经建立。大地坐标系是以地球椭球赤道面和大地起始子午面为起算面并依地球椭球面为参考面而建立的地球椭球面坐标系。它是大地测量的基本坐标系，其大地经度L、大地纬度B和大地高H为此

极坐标系的概念教案

课题:选修4-4《1.2.1极坐标系的概念》执教人：高朝孟执教班级：高二年级（18,26,27）班执教时间：2016年06月18日一、教学目标： 1、知识与技能：（1）理解极坐标的概念，弄清极坐标系的结构（建立极坐标系的四要素）；（2）理解广义极坐标系下点的极坐标（ρ，θ）与点之间的多对一的对应关系；（3）已知一点的极坐标会在极坐标系中描点，以及已知点能写出它的极坐标。 2、过程与方法：能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系中刻画点的位置. 3、情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。二、学情分析学生在学习了数轴、平面直角坐标系、空间直角坐标系的初步知识的基础上，积累了一定类比、归纳推理等数学思维方法，对极坐标思想有一定的了解。三、教学重点难点：教学重点：理解极坐标的意义。教学难点：能够在极坐标系中用极坐标确定点位置。三、教学过程：一、问题情境，导入新课：情境1：钓鱼岛问题：中国海警如何确定日本渔船？ 3：利用数学建模，从问题情境中发现数学问题：分析利用方向、距离确定位置，

引出另一种更简单的坐标思想—极坐标的思想。二、讲解新课： 1、合作探究，概念形成。（1）学生阅读教材P8-P10页；（2）学生表述极坐标的建立，教师结合学生表述，展示PPT对极坐标的概念作深入分析。极坐标系的建立：在平面上取一个定点O，自点O引一条射线OX，同时确定一个单位长度和计算角度的正方向（通常取逆时针方向为正方向），这样就建立了一个极坐标系。（其中O称为极点，射线OX称为极轴。）强调:极点、极轴、长度单位、角度单位和它的方向构成极坐标系的四要素，缺一不可。极坐标系就是用长度和角度来确定平面内点的位置。 2、极坐标系内一点的极坐标的表示对于平面上任意一点M，用ρ表示线段OM的长度，用θ表示从OX到OM的角度，ρ叫做点M的，θ叫做点M的，有序数对(,) ρθ就叫做M的 . 强调:一般地，不作特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数．特别地，当点M在极点时，它的极坐标为(0，θ)，θ可以取任意实数． 3、典型例题例1 写出下图中各点的一个极坐标 A（）B（）C（） D（）E（）F（）G（）【反思感悟】 (1)写点的极坐标要注意顺序：极径ρ在前，极角θ在后，不能

坐标系及直角坐标与极坐标间的互化

课题：坐标系及直角坐标与极坐标间的互化【学习目标】 1.通过实例了解平面直角坐标系的建立与应用,掌握直角坐标系中的伸缩变换,并灵活地进行变换. 2.通过实例了解极坐标系的建立,会用极坐标表示极坐标系内的点,掌握极坐标的应用. 3.理解极坐标与直角坐标间的相互转化,掌握转化公式,并运用公式实现极坐标与直角坐标间的相互转化. 【重点难点预测】重点：极坐标的定义难点：直角坐标与极坐标间的互化【学法指导】小组合作、讨论交流【导学流程】一、创设情境为了得到函数y=2sin2x的图象,需把函数y=sinx的图象进行怎样的变换? 二、课前预习导学问题1:对上述函数图象进行伸缩变换,即先把函数y=sinx的图象上所有的点沿着,再沿着,即可得到函数y=2sin2x的图象. 问题2:平面直角坐标系中坐标伸缩变换的定义,设点P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点,在变换?:的作用下,点P(x,y)对应到点(x,y) P''',称?为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换. 问题3:极坐标系是如何建立的?点M的极坐标是如何定义的? 在平面内取一个定点O,叫作极点;自极点O引一条射线Ox,叫作;再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其(通常取方向),这样就建立了一个. 对于平面内任意一点M,用表示点M到极点O的距离,用表示以Ox为始边,以OM为终边的角度,其中ρ叫作,θ叫作,有序数对(ρ,θ)就叫作点M 的,记为. 问题4:直角坐标与极坐标如何互化? 将点M的极坐标(ρ,θ)化为直角坐标(x,y)的关系式为; 将点M的直角坐标(x,y)化为极坐标(ρ,θ)的关系式为. 三、基础学法交流1.直角坐标P(10,5)按照伸缩变换公式 1 2 1 2 x x y y ?' = ?? ? ?'= ?? 变换后的坐标是( ). A.P'(10,10) B.P'(5,10) C.P'(10,-5) D.P'(5,5) 2.将点P(-2,2)变换为P'(-6,1)的伸缩变换公式为( ). A. 1 3 2 x x y y ?' = ? ? ?'= ? B. 1 2 3 x x y y ?' = ? ? ?'= ? C. 3 1 2 x x y y '= ? ? ? '= ?? D. 3 2 x x y y '= ? ?' = ? 3.点P 的直角坐标为(,那么它的极坐标可表示为. 4.在同一平面直角坐标系中,经过伸缩变换 1 2 1 3 x x y y ?' = ?? ? ?'= ?? 后,曲线C:x2+y2=36变为何种曲线,其曲线方程是什么? 四、展示提升：图形的伸缩变换例一、求满足由曲线2x2-3y2=12变成曲线x2-y2=1的图形变换的伸缩变换. 极坐标例二、已知极坐标系中点(2,) 2 A π ,3) 4 B π,O(0,0),则△AOB为( ). A.等边三角形 B.顶角为钝角的等腰三角形 C.顶角为锐角的等腰三角形 D.等腰直角三角形

极坐标系与极坐标方程

一、坐标系 1、数轴它使直线上任一点P 都可以由惟一的实数x 确定 2、平面直角坐标系在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系。它使平面上任一点P 都可以由惟一的实数对（x,y ）确定。 3、空间直角坐标系在空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，当取定这三条直线的交点为原点，并确定了度量单位和这三条直线方向，就建立了空间直角坐标系。它使空间上任一点P 都可以由惟一的实数对（x,y,z ）确定。二、平面直角坐标系的伸缩变换定义：设P （x ，y ）是平面直角坐标系中的任意一点，在变换???>=>=). 0(')0(,':μμλλφy y x x ④的作用下，点P （x ，y ）对应到点P ’（x ’，y ’），称?为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。三．例题讲解例1 在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形。（1）2x+3y=0；（2）x 2+y 2=1 三、极坐标系 1、极坐标系的建立：在平面上取一个定点O ，自点O 引一条射线OX ，同时确定一个单位长度和计算角度的正方向（通常取逆时针方向为正方向），这样就建立了一个极坐标系。（其中O 称为极点，射线OX 称为极轴。） 2、极坐标系内一点的极坐标的规定对于平面上任意一点M ，用 ρ 表示线段OM 的长度，用 θ 表示从OX 到 OM 的角度，ρ 叫做点M 的极径， θ叫做点M 的极角，有序数对（ρ，θ）就叫做M 的极坐标。特别强调：由极径的意义可知ρ≥0;当极角θ的取值范围是[0,2π)时,平面上的点(除去极点)就与极坐标（ρ，θ）建立一一对应的关系 .们约定,极点的极坐标是极径ρ=0,极角是任意角. 3、负极径的规定在极坐标系中，极径ρ允许取负值，极角θ也可以去任意的正角或负角当ρ＜0时，点M （ρ，θ）位于极角终边的反向延长线上，且OM=ρ。 M （ρ，θ）也可以表示为))12(,()2,(πθρπθρ++-+k k 或 )(z k ∈ 4、数学应用例1 写出下图中各点的极坐标 A （4，0） B （2 ） C （） D （） E （） F （） G （）规定：极点的极坐标是ρ=0，θ可以取任意角。变式训练

人教a版高中数学选修4-4习题第一讲坐标系单元检测卷

单元检测卷(一) (测试时间：120分钟评价分值：150分) 一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．在极坐标系中，已知M ? ???? －5，π3，下列所给出的不能表示点 M 的坐标的是( ) D ? ????－5，－5π3 1．A 2．在极坐标系中，点(ρ，θ)与点(－ρ，π－θ)的位置关系是( ) A ．关于极轴所在直线对称 B ．关于极点对称 C ．重合 D ．关于直线θ＝π 2(ρ∈R)对称 3．在极坐标系中，已知点P 1? ????2，π4、P 2? ???? －3，－π4，则|P 1P 2|的值为( )

B ．5 4．将y ＝sin x 的图像横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的1 2，再将纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的2倍，所得图象的函数解析式为( ) A ．y ＝2sin 12x B ．y ＝1 2sin 2x C ．y ＝2sin 2x D ．y ＝12sin 1 2x 4．答案：D 5．极坐标方程ρ＝1表示( ) A ．直线 B ．射线 C ．圆 D ．椭圆 5．C 6．在极坐标系中，过点? ???? 2，π3且与极轴垂直的直线方程为( ) A ．ρ＝－4cos θ B ．ρcos θ－1＝0 C ．ρsin θ＝－ 3 D ．ρ＝－3sin θ 6．解析：设M (ρ，θ)为直线上除? ???? 2，π3以外的任意一点，则有 ρcos θ＝2·cos π 3，则ρcos θ＝1，经检验? ????2，π3符合方程．

答案：B 7．曲线的极坐标方程为ρ＝4sin θ，化为直角坐标方程是( ) A ．x 2＋(y ＋2)2＝4 B ．x 2＋(y －2)2＝4 C ．(x －2)2＋y 2＝4 D ．(x ＋2)2＋y 2＝4 7．B 8．在极坐标系中，已知点A ? ????－2，－π2，B ? ?? ?? 2， 3π4，O (0，0)，则△ABO 为( ) A ．正三角形 B ．直角三角形 C ．锐角等腰三角形 D ．直角等腰三角形 9．两圆ρ＝2cos θ，ρ＝2sin θ的公共部分面积是( ) －1 2 B ．π－2 －1 10．已知点P 1 的球坐标是P 1? ???? 23，π6，π4，P 2的柱坐标是

常用坐标系与高程系简介

常用坐标系与高程系简介 2009-09-27 10:06:45| 分类：GIS技术| 标签：|字号大中小订阅坐标系的概念 1.坐标系的定义：如果空间上任意一点P的位置，可以用一组基于某一时间系统时刻t的空间结构的数学描述来确定，则这个空间结构可以称为坐标系，数学描述称为P点在该坐标系中的坐标。牛顿运动学原理要求坐标系是惯性的，惯性是每个物体所固有的当没有外力作用时保持静止或匀速直线运动的属性，基于这个特性，惯性坐标系的定义需与时间无关，通常这样的坐标系需要三个属性来描述(这应该是三维空间的本性吧)，首先一个是原点(O)，就是坐标系的中心点，第二个是过原点的任意直线(这里称为Z轴)，第三个是过原点且与Z轴不重合的任意直线(这里称为X轴)，如果X轴与Z轴垂直，会带来较优美的数学描述，我们称这样的坐标系是笛卡尔坐标系。P点的位置可以用P到原点的距离r，OP与Z轴的夹角，OP与X 轴的夹角来描述(当然也可以有其它等价描述)，可以证明这个描述确定的P点是唯一的。 2.GPS领域常用坐标系模型：在GPS测量中，最常用的坐标系模型是协议地球坐标系，该坐标系随同地球一起旋转，讨论随地球一起自转的目标位置，用这类坐标系方便；另外一类是协议天球坐标系，这个坐标系随同太阳系一同旋转，与地球自转无关，讨论卫星轨道运动时，用这类坐标系方便。天球坐标系的定义是这样的，原点是地球质心(O)，Z轴指向地球自转轴(天极，向北为正)，X轴指向春分点，根据春分点的定义可以证明X轴与Z轴互相垂直，且X轴在赤道面上，同时为数学描述方便，引入与XOZ成右手旋转关系的Y轴。因为地球自转轴受其它天体影响(日、月)在空间产生进动，使得春分点变化(章动和岁差)，导致用“瞬时天极”定义的坐标系不断旋转，而旋转的坐标系表现出非惯性的特性，不能直接应用牛顿定律。我们可以用某一历元时刻的天极和春分点(协议天极和协议春分点)定义一个三轴指向不变的天球坐标系，称为固定极天球坐标系。地球坐标系的定义是这样的，原点为地球质心(O)，Z轴为地球自转轴，X轴指向地球上赤道的某一固定“刚性”点，所谓“刚性”是指其自转速度与地球一致，同时也为数学描述方便，引入与XOZ成右手旋转关系的Y轴。地球不是一个严格刚性的球体，Z轴在地球上随时间而变，称为极移，同天球坐标系一样，需要指定一个固定极为Z轴，这样的地球坐标系称为固定极地球坐标系。可以证明当观察地球上的物体时，该坐标系是惯性的。如果一个坐标系OXYZ，O不是地球质心，Z轴与地球自转轴平行，则这个坐标系具有与地球相同的自转角速度，我们也把此类坐标系称为地球坐标系。 3.协议坐标系统：那么，什么是“协议”坐标系呢？通常，理论上坐标系由定义的坐标原点和坐标轴指向来确定。坐标系一经定义，任意几何点都具有唯一一组在该坐标系内的坐标值，反之，一组该坐标系内的坐标值就唯一定义了一个几何点。实际应用中，在已知若干参考点的坐标值后，通过观测又可反过来定义该坐标系。可以将前一种方式称为坐标系的理论定义。而由一系列已知点所定义的坐标系称为协议坐标系，这些已知参考点构成所谓的坐标框架。在点位坐标值不存在误差的情况下，这两种方式对坐标系的定义是一致的。事实上点位的坐标值通常是通过一定的测量手段得到，它们总是有误差的，由它们定义的协议坐标系与原来的理论定义的坐标系会有所不同，凡依据这些点测定的其它点位坐标值均属于这一协议坐标系而不属于理论定义的坐标系。由坐标框架定义的固定极天球坐标系和固定极地球坐标系，称为协议天球坐标系和协议地球坐标系。

极坐标系

各种坐标系的定义

最新极坐标练习题(含详细答案)

直角坐标与极坐标的区别与转换

各种坐标系含义

极坐标系的概念

高中数学第一讲坐标系四柱坐标系与球坐标系简介1柱坐标系学案含解析新人教A版选修4_4

坐标系的概念

极坐标系的概念及其性质(含答案)

高中数学第一讲坐标系四柱坐标系与球坐标系简介导学案新人教A版选修44

直角坐标与极坐标的区别与转换

3 极坐标系的概念(教师版)

坐标的基本概念

极坐标系的概念教案

坐标系及直角坐标与极坐标间的互化

极坐标系与极坐标方程

人教a版高中数学选修4-4习题第一讲坐标系单元检测卷

常用坐标系与高程系简介

相关文档

最新文档