分式的定义有意义无意义的条件

8上分式的定义、有意义、无意义的条件一．选择题（共17小题）

1．代数式中，分式的个数是（）

B．2 C．A．1 3 D．4

、2．在式子、、、、中，分式的个数有（）

A． 2 个B．3个C．4个D．5个

），，，+，9x+，中，分式的个数是（3．在式子，2D．3 ．B A．5 ．4 C

①4．有理式：，②，③，④中，是分式的有（）①②③④③④①③①②DCB．．A．．

），，，中，是分式的有（5．在个．个．A 1 个B．2个C．3 4D

有意义的条件是（）6．分式2 ≠xx≠4 2

≠﹣且x≠2

或C．x≠2x≠﹣2x A．B．D ．

）7．下列分式一定有意义的是

（

D．A．B ．C．

．当8a为任何实数时，下列分式中一定有意义的一个是（）

CB A．．．．D

）有意义的条件是（9．分式0 a≠±a≠bb 0

≠b0

≠ba ≠0且．A．．B ．C D

等于（）x．若分式10没意义，则1 ±．1．A B 0．DC﹣1 ．取什么数时，下列分式总是有意义的是（x．无论11）

．BC ．A

D ．．

.

12有意义的正确说法是（．关于分式）y

x=﹣都为0

D．x、A．x 、y不都为y0 都不为0

C．x、yB．

）x有意义，则13．分式应满足（

7 x≠5

A．≠﹣≠7且x5

．x≠﹣D．xCB．x=7

）14．分式的值为正数的条件是（2 ＜﹣1＜x．2且x≠﹣1 C x AD．x＞2 ．＜2 B．x ＜）x取何值，分式都有意义的是（15．（2013?西陵区模拟）下列各式中，无论

．B．D．C

A．

）有意义的取值为（16．（2006?宁波）使式子1 x≠1 ≠±x 0 x ≠﹣1

D．B．C．A．x ＞

）有意义，则x17．要使分式的取值范围是（3 x≠B．x x≠3

≠﹣1 A．≠且C．x≠﹣1x≠3

D．x﹣1或13小题）二．填空题（共

．x的取值为_________有意义，则x_________．19．若分式有意义，则18．若要使分式

．的取值范围为_________20．要使分式有意义，则x

．_________21．已知分式，则x的取值范围是

时，分式_________有意义．22．当x

时，分式_________有意义．23．当x

．有意义，则x需要满足_________24．分式

．的取值范围是x．若分式_________无意义，则25 ．_________a26．请写出一个关于的分式，使它当a取任何实数时都有意义：

．无意义，则a，b满足的条件是_________27．若分式

分式的定义学案

分式的定义 主备人：王军 审核人： 姓名 班级 学习目标： 1．了解分式产生的背景和分式的概念，了解分式与整式概念的区别与联系。 2．掌握分式有意义的条件，认识事物间的联系与制约关系。 重点：了解分式的形式B A （A 、 B 是整式），并理解分式概念中的一个特点：分母中含有字母；一个要求：字母的取值限制于使分母的值不得为零. 难点：分式的一个特点：分母含有字母；一个要求：字母的取值限制于使分母的值不能为零. 预习导学：1．阅读课本第65—67页。 2．完成下列练习，看看他们的答案和我们以前学过的整式有什么不同？ （1）正n 边形的每个内角为多少度？ （2）一箱苹果售价a 元，箱子与苹果的总质量为m kg ，箱子的质量为n kg ，则每千克苹果的售价是多少中一种图书的原价是每册a 元，现降价x 元销售，当这种图书的元？ （3）有两块棉田，有一块x 公顷，收棉花m 千克，第二块y 公顷，收棉花n 千克，这两块棉田平均每公顷的棉产量是多少？ （4）文林书店库存一批图书，其库存全部售出时，其销售额为b 元.降价销售开始时，文林书店这种图书的库存量是多少？ 答案：（1） （2） （3） （4） 不同之处： 合作探求：1．分式的定义： (1)定义： (2)你认为定义中应注意什么问题？ (3)练习：课本67页知识技能第1题。 2．分式有意义的条件： (1)分式B A 有意义的条件是：______________； (2)课本67页随堂练习第1题。 3．分式值为零的条件： (1)分式B A 的值为零的条件是：______________； (2)当x 取何值时，下列分式的值为零？ ①x x 231-+ ②112--x x ③3 3--x x

分式基础知识讲解

分式(基础)知识讲解

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分式的概念和性质(基础) 【学习目标】 1. 理解分式的概念,能求出使分式有意义、分式无意义、分式值为0的条件． 2.掌握分式的基本性质，并能利用分式的基本性质将分式恒等变形，进而进行条件计算. 【要点梳理】 要点一、分式的概念 一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子A B 叫做分式.其中A叫做分子,B叫做分母． 要点诠释:（1）分式的形式和分数类似，但它们是有区别的.分数是整式，不是分式，分式是两个整式相除的商式.分式的分母中含有字母；分数的分子、分母中都不含字母. (2)分式与分数是相互联系的:由于分式中的字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般 性;分数是分式中字母取特定值后的特殊情况． （3）分母中的“字母”是表示不同数的“字母”,但π表示圆周率,是一个常数,不是字母, 如a π 是整式而不能当作分式． （4)分母中含有字母是分式的一个重要标志，判断一个代数式是否是分式不能先化简，如 2 x y x 是 分式，与xy有区别，xy是整式，即只看形式，不能看化简的结果. 要点二、分式有意义，无意义或等于零的条件 1.分式有意义的条件:分母不等于零. ２.分式无意义的条件:分母等于零. 3．分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零. 要点诠释:(１）分式有无意义与分母有关但与分子无关,分式要明确其是否有意义，就必须分析、讨论分母中所含字母不能取哪些值,以避免分母的值为零. （2)本章中如果没有特殊说明,所遇到的分式都是有意义的，也就是说分式中分母的值不等于零. (3）必须在分式有意义的前提下,才能讨论分式的值. 要点三、分式的基本性质 分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于０的整式，分式的值不变,这个性质叫做分式的基本性质,用式子表 示是:A A M A A M B B M B B M ?÷ == ?÷ ，（其中M是不等于零的整式）. 要点诠释：（1)基本性质中的Ａ、Ｂ、Ｍ表示的是整式．其中B≠0是已知条件中隐含着的条件，一般在解题过程中不另强调；M≠０是在解题过程中另外附加的条件，在运用分式的基本性质时，必 须重点强调M≠0这个前提条件. （2)在应用分式的基本性质进行分式变形时,虽然分式的值不变,但分式中字母的取值

分式概念及意义知识讲解

分式的意义和性质 一、分式的概念 1、用A、B表示两个整式，A÷B可以表示成的形式，其中A叫做分式的分子，B叫做 分式的分母，如果除式B中含有字母，式子就叫做分式。这就是分式的概念。研究分式就从这里展开。 2、既然除式里含有字母的有理代数式叫做分式，那么，在分式里分母所包含的字母，就不 一定可以取任意值。分式的分子A可取任意数值，但分母B不能为零，因为用零做除数没有 意义。一般地说，在一个分式里，分子中的字母可取任意数值，但分母中的字母，只能取不使分母等于零的值。 3.（1）分式：，当B=0时，分式无意义。 （2）分式：，当B≠0时，分式有意义。 （3）分式：，当时，分式的值为零。 （4）分式：，当时，分式的值为1。 （5）分式：，当时，即或时，为正数。 （6）分式：，当时，即或时，为负数。 （7）分式：，当时或时，为非负数。

三、分式的基本性质： 1、学习分式的基本性质应该与分数的基本性质类比。不同点在于同乘以或同除以同一个不等于零的整式，这个整式可以是数也可以是字母，只要是不为零的整式。 2、这个性质可用式子表示为：（M为不等于零的整式） 3、学习基本性质应注意几点： （1）分子与分母同乘或同除的整式的值不能为零； （2）易犯错误是只乘（或只除）分母或只乘（或只除）分子； （3）如果分子或分母是多项式时，必须乘以多项式的每一项。 4、分式变号法则的依据是分式的基本性质。 5、分式的分子，分母和分式的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，如下列式子： ，。 四、约分： 1、约分是约去分子、分母中的公因式。就是用分式中分子和分母的公因式去除分子和分母，使分式化简为最简分式，最简分式又叫既约分式。 2、约分的理论依据是分式的基本性质。 3、约分的方法： （1）如果分式的分子和分母都是几个因式乘积的形式，就约去分子和分母中相同因式的最低次幂，当分子和分母的系数是整数时，还要约去它们的最大公约数。 例1，请说出下列各式中哪些是整式，那些是分式？（1）（2）（3） （4）

分式定义

17.1.1．分式的概念 一、素质教育目标 （一）知识储备点 理解并掌握分式、有理式的概念，正确识别分式是否有意义，能掌握分式的值是否等于零的方法． （二）能力培养点 通过分数类比，概括出分式的概念，培养学生观察、猜想、类比的能力，通过有理式概念的归纳，培养学生归纳、分析问题的能力，通过整式与分式的区别，培养学生分类问题的能力． （三）情感体验点 分式、有理式的概念，渗透数学概念的简洁美与对称美，学生在学习过程中自主探索，在类比中得出新的知识，让学生在自主探索中得到成功的喜悦，形成良好的学习氛围，得到数学能力的最大满足．通过类比方法的教学，培养学生对事物之间是普遍联系又是变化发展的辩证观点的再认识． 二、教学设想 1．重点：使学生理解并掌握分式、有理式的概念． 2．难点：正确识别分式是否有意义，通过类比分数的意义，?加强对分式意义的理解．3．疑点：分式的值在什么情况下等于零． 4．课型与基本教学思路：新授课．本节课通过具体例题，?由分数的表示类比分式的表示法，得出分式的概念，归纳出有理数的概念，并能识别分式是否有意义及分式的值是否等于零． 三、媒体平台 教具、学具准备：自制投影胶片． 四、课时安排 1课时 五、教学步骤 （一）教学流程 1．情境导入 （投影显示）问题： （1）面积为2m2的长方形，一边长3m，则它的另一边长为多少？ （2）面积为Sm2的长方形，一边长am，则它的另一边长为多少？ （3）一箱苹果售价为P元，总量m千克，箱重n千克，则每千克苹果的售价是多少？ 2．课前热身 （复习提问） （1）把下列两个数相除的形式表示成分数的形式：3÷4；4÷3；8÷7；-8÷3；3÷（-8）（2）分数中的分子、分母与除式中的被除数、除数是什么关系？ （3）为什么分数的分母不能为零？ 3．合作探究 （1）整体感知：A．让学生通过问题讨论并回答：①面积为2m2的长方形，一边长3m，则它的另一边长为m；②面积为Sm2的长方形，一边长am，则它的另一边长为m； ③一箱苹果售价为P元，总重m千克，箱重n千克，则每千克苹果的售价是元．学生发现两个整式相除，不能整除时结果可用分数表示．B．教师总结：形如（A、B是整式，且B中含有字母，B≠0）的式子叫做分式．其中A叫做分式的分子，B?叫做分式的分母．整式和分式统称有理数，即

分式知识点总结

分式知识点总结 1.分式的定义：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。 2.分式有意义、无意义的条件： 分式有意义的条件：分式的分母不等于0； 分式无意义的条件：分式的分母等于0。 3.分式值为零的条件： 当分式的分子等于0且分母不等于0时，分式的值为0。 （分式的值是在分式有意义的前提下才可以考虑的，所以使分式为0的条件是A＝0，且B≠0.） （分式的值为0的条件是：分子等于0，分母不等于0，二者缺一不可。首先求出使分子为0的字母的值，再检 验这个字母的值是否使分母的值为0.当分母的值不为0时，就是所要求的字母的值。） 4.分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不 变。 用式子表示为（），其中A、B、C是整式 注意：（1）“C是一个不等于0的整式”是分式基本性质的一个制约条件； （2）应用分式的基本性质时，要深刻理解“同”的含义，避免犯只乘分子（或分母）的错误； （3）若分式的分子或分母是多项式，运用分式的基本性质时，要先用括号把分子或分母括上，再乘或除以同一 整式C； （4）分式的基本性质是分式进行约分、通分和符号变化的依据。 5.分式的通分： 和分数类似，利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母分式化成 相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。 通分的关键是确定几个式子的最简公分母。几个分式通分时，通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分

母，这样的分母就叫做最简公分母。求最简公分母时应注意以下几点： （1）“各分母所有因式的最高次幂”是指凡出现的字母（或含字母的式子）为底数的幂选取指数最大的； （2）如果各分母的系数都是整数时，通常取它们系数的最小公倍数作为最简公分母的系数； （3）如果分母是多项式，一般应先分解因式。 6.分式的约分： 和分数一样，根据分式的基本性质，约去分式的分子和分母中的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫 做分式的约分。约分后分式的分子、分母中不再含有公因式，这样的分式叫最简公因式。 约分的关键是找出分式中分子和分母的公因式。 （1）约分时注意分式的分子、分母都是乘积形式才能进行约分；分子、分母是多项式时，通常将分子、分母 分解因式，然后再约分； （2）找公因式的方法： ①当分子、分母都是单项式时，先找分子、分母系数的最大公约数，再找相同字母的最低次幂，它们的积就 是公因式； ②当分子、分母都是多项式时，先把多项式因式分解。 易错点：（1）当分子或分母是一个式子时，要看做一个整体，易出现漏乘（或漏除以）； （2）在式子变形中要注意分子与分母的符号变化，一般情况下要把分子或分母前的“—”放在分数线前； （3）确定几个分式的最简公分母时，要防止遗漏只在一个分母中出现的字母； 7.分式的运算： 分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。 分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 用式子表示是： 提示：（1）分式与分式相乘，若分子、分母是单项式，可先将分子、分母分别相乘， 然后约去公因式，化为最简 分式；若分子、分母是多项式，先把分子、分母分解公因式，看能否约分， 然后再相乘； （2）当分式与整式相乘时，要把整式与分式的分子相乘作为积的分子，分母不变

分式的概念教学设计

1.1 分式 1.1.1分式的概念 （第1课时） 教学目标 1 了解分式的概念。 2 通过具体情境感受分数的基本性质并类比得出分式的基本性质。 3理解分式有意义的条件。 教学重点、难点： 重点：分式的概念和性质难点：理解分式的性质。 教学过程 一创设情境，导入新课 探究： 1把三个一样的苹果分给4位小朋友，每位小朋友分到多少苹果？你怎么分给他们？（交流讨论） （1）每位小朋友分3 4 （2）分法： ①每个苹果切成四个相等的小块，共12块，每人分3块，这3块占一个苹果 的3 4 ②为了每个小朋友吃起来方便，每个苹果切成8块，共24块，每人分6块， 这六块占一个苹果的6 8 。 想想这两种分法分得的是否一样多？（36 = 48，即：3326 == 4428 ? ? ）由此表明了什 么？

分数的分子和分母都乘以或除以一个不等于零的数，分数的值不变。 分数的分子与分母约去共因数，分数的值不变。 这就是分数的基本性质。 2 (1)把上面问题变为：把3个一样的苹果分给n(m>0)位小朋友，每位小朋友分到多少苹果？ 用除法表示：3n ÷，用分数表示为：3n ，33n n ÷、相等吗？（33=n n ÷）这里的n 可以是实数吗？（n 不能为0） (2) 334n 与有什么区别？（后者分母含有字母）我们把前者叫分数，后者叫分式，什么叫分式呢？分式有没有和分数一样的性质？ 这节课我们来学习-----分式的基本性质。（板书课题） 二 合作交流，探究新知 1 分式的概念 填空： （1 ）如果小王用a 元人民币买了b 袋相同的瓜子，那么每袋瓜子的价格是______元。 （2）一个梯形木板的面积是6 2m ，如果梯形上底是am ，下底是bm ，那么这个梯形的高是________m. (3) 两块面积分别为a 亩，b 亩的稻田m kg ，n kg ，这两块稻田平均每亩产稻谷________kg. 观察多项式：12a m n b a b a b +++、、这些代数式有什么共同点特点？（分子分母都是整式，分母含有字母） 一般地，如果f 、g 分别表示两个整式，并且g 中含有字母，那么代数式 f g 叫分式。

分式定义与意义

10.1 分式定义及意义 一、复习引入： 1、什么是单项式？多项式？举例说明。 2、根据条件列出代数式 ①半径为 r 的圆的面积 。 ②长方形的宽为 am ，长比宽多 5m ，求该长方形的面积； 。 ③面积为 10 cm 2 的长方形花坛， 如果原计划长为 b cm ，后决定延长 3cm ，那么它的宽用代数 式表示为 。 ④底为（ a-2） cm ，面积为 s cm 2 的三角形的高为 。 思考：观察所列代数式①②与③④有何区别？ 。 二、引导思维、自学感知 1、观察③④，试总结分式定义： 一般地，用 A 、B 表示 ，A ÷B （ B ≠0）可以表示为 的 形式。如果 B 中含有 ，那么我们把式子 （ ）叫分式。 （另一种定义：分母中含有 的代数式叫分式） 例 1 下列各式是分式吗？如果不是，请说明理由。 ⑴ 3x x 2 （ x ≠ -2） ⑵ x 2 3 例 2 当 x 取什么值时，下列各式有意义？ 3x x 1 x 3 ⑴ ⑵ ⑶ x 1 2x 3 (x 2)( x 1) 小结：分式有意义的条件： 2、巩固练习（一） ： 1、下列各式哪些是分式？哪些是整式？ 1 a 5 x 2 y 2 x m n ⑹ 1 2 1 ⑴ ⑵ ⑶ y ⑷ ⑸ b b 2a 3 x 2 3 2、x 取什么值时，下列分式有意义？ x 2 ⑴ x 3 2x 3 2x 3 ⑷ 9 2x 1 ⑵ ⑶ 2 2 5x 6 3x 5 1 x x 2、例题分析 例 1、当 x 是什么数时，分式 2x 1 的值等于零？ 例 2、若分式 x 1 的值为零，求 x 的值。 3x 2 x 1 例 3、当 x 取什么值时，分式 x 2 9 值为零？ x 3 小结：分式的值为零的条件： 。

【青岛版】八年级数学上册专题突破讲练：分式有意义的条件及基本性质试题

分式有意义的条件及基本性质 1. 分式有意义的条件 分式有意义的条件：分式的分母不等于零。 分式的值为零的条件：（1）分子为0；（2）分母不为0。这两个条件缺一不可。 2. 分式的基本性质 分式的分子与分母都乘（或除）以同一个不等于0的整式，分式的值不变。用式子表示为： C B C A B A ??= ，C B C A B A ÷÷=，()0≠C ，其中A 、B 、C 都是整式。 注意条件： ①C 是一个不等于0的整式，如 1 41 21212 -+=-x x x ，其中必须满足012≠+x ； ②要深刻理解“都”“同一个”两个关键的含义，避免犯只乘分子（或分母）的错误； ③若分式的分子或分母是多项式，要先用括号把分子或分母括上，再乘（或除）以同一整式C ； ④分式的基本性质是分式进行约分、通分和符号变化的依据。 3. 分式的约分、通分 解析定义 方法技巧 注意条件 约分 利用分式的基本性质，一般要约去分子和分母 所有的公因式，使所得 结果成为最简分式或者整式。 找公因式方法： ①约去系数的最大公约数； ②约去分子、分母相同因式的最低次幂。 约分时，分子或分母若是多项式，能分解则必须先进行因式分解，再找出分子和分母的公因式进行约分。 通分 利用分式的基本性质，是把几个异分母的分式 分别化成相同分母的分式。通分保证：（1）各 分式与原分式相等；（2）各分式分母相同。 确定最简公分母的方法： ①各分母系数的最小公倍数； ②各分母所含有的因式； ③各分母所含相同因式的最高次幂； ④所得的系数与各字母（或因式）的最高次幂的积（其中系数都取正数）。 通分时，①要先确定各 分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母；②分子或分母是多项式，能分解则必先进行因式分解，再确定最简公倍数进行通分。

分式定义及意义

10.1 分式定义及意义 一、复习引入： 1、什么是单项式多项式举例说明。 2、根据条件列出代数式 ①半径为r 的圆的面积 。 ②长方形的宽为am ，长比宽多5m ，求该长方形的面积； 。 ③面积为102cm 的长方形花坛，如果原计划长为b cm ，后决定延长3cm ，那么它的宽用代数式表示为 。 ④底为（a-2）cm ，面积为s 2cm 的三角形的高为 。 思考：观察所列代数式①②与③④有何区别 。 二、引导思维、自学感知 1、观察③④，试总结分式定义：一般地，用A 、B 表示 ，A ÷B （B ≠0）可以表示为 的形式。如果B 中含有 ，那么我们把式子 （ ）叫分式。 （另一种定义：分母中含有 的代数式叫分式） 例1 下列各式是分式吗如果不是，请说明理由。 ⑴23+x x （x ≠ -2） ⑵3 2+x 例2 当x 取什么值时，下列各式有意义 ⑴ 13-x x ⑵3 21+-x x ⑶)1)(2(3+-+x x x 小结：分式有意义的条件： 2、巩固练习（一）： 1、下列各式哪些是分式哪些是整式 ⑴b 1 ⑵325+-a a ⑶y x y x --22 ⑷π x ⑸2n m + ⑹1312-b 2、x 取什么值时，下列分式有意义

⑴123++x x ⑵5332+-x x ⑶2132x x -- ⑷65922+--x x x 2、例题分析 例1、当x 是什么数时，分式2 312+-x x 的值等于零 例2、若分式11+-x x 的值为零，求x 的值。 例3、当x 取什么值时，分式3 92--x x 值为零 小结：分式的值为零的条件： 。 巩固练习：（二） 1、当x 取什么值时，下列分式值为零 ⑴x 352- ⑵392--x x ⑶2652-+-x x x ⑷622-+-x x x 三、拓展提高： 1、若分式 x 352-值小于零，求x 的取什么值范围。 2、若132+-x x ＞0成立，求x 的取值范围。 3、当x 为何值时分式 2)1(1-+x x 的值为正数 4、当a 为何值时，2)1(4+a 的值为1 四、课堂小结： 通过本节课你有什么收获 五、课堂检测 1、下列各式44b -，57+a ，14+a ，b a +2，6 -πx 是分式的有（ ）

人教版同步教参数学八年级-分式：分式的基本概念和性质

分式 第 1 节 分式的基本概念和性质 【知识梳理】 1．分式的定义 （1）分式的概念：一般地，如果A ，B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子B A 叫做分式． （2）因为0不能做除数，所以分式的分母不能为0． （3）分式是两个整式相除的商，分子就是被除式，分母就是除式，而分数线可以理解为除号，还兼有括号的作用． （4）分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母，亦即从形式上看是B A 的形式，从本质上看分母必须含有字母，同时，分母不等于零，且只看初始状态，不要化简． 2．分式有意义的条件 （1）分式有意义的条件是分母不等于零． （2）分式无意义的条件是分母等于零． （3）分式的值为正数的条件是分子、分母同号． （4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号． 3．分式的值为零的条件 分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零． 注意：“分母不为零”这个条件不能少． 4．分式的基本性质 （1）分式的基本性质： 分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变． （2）分式中的符号法则： 分子、分母、分式本身同时改变两处的符号，分式的值不变． 【方法技巧】利用分式的基本性质可解决的问题 1．分式中的系数化整问题：当分子、分母的系数为分数或小数时，应用分数的性质将分式的分子、分母中的系数化为整数．

2．解决分式中的变号问题：分式的分子、分母及分式本身的三个符号，改变其中的任何两个，分式的值不变，注意分子、分母是多项式时，分子、分母应为一个整体，改变符号是指改变分子、分母中各项的符号． 3．处理分式中的恒等变形问题：分式的约分、通分都是利用分式的基本性质变形的．5．约分 （1）约分的定义：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分． （2）确定公因式要分为系数、字母、字母的指数来分别确定． ①分式约分的结果可能是最简分式，也可能是整式． ②当分子与分母含有负号时，一般把负号提到分式本身的前面． ③约分时，分子与分母都必须是乘积式，如果是多项式的，必须先分解因式． （3）规律方法总结：有约分的概念可知，要首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分． 6．通分 （1）通分的定义：把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分． （2）通分的关键是确定最简公分母． ①最简公分母的系数取各分母系数的最小公倍数． ②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂的积． （3）规律方法总结：通分时若各分式的分母还能分解因式，一定要分解因式，然后再去找各分母的最简公分母，最简公分母的系数为各分母系数的最小公倍数，因式为各分母中相同因式的最高次幂，各分母中不相同的因式都要作为最简公分母中的因式，要防止遗漏因式．7．最简分式 最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式． 8．最简公分母 （1）最简公分母的定义： 通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母． （2）一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里．

分式定义

10.1 分 式 导 学 案 学习目标：1、了解分式产生的背景和分式的概念以及分式与整式概念的区别与联系。 2、掌握分式有意义的条件，进一步理解用字母表示数的意义，发展符号感。 3、以描述实际问题中的数量关系为背景，体会分式是刻画现实生活中数量关系 的一类代数式。 重点： 分式的概念和分式有意义的条件。 难点： 分式的特点和分式有意义的条件。 一、课前预习： 1、 什么是整式？ 2、 下列各式中，哪些是整式？哪些不是整式？两者有什么区别？ a 21；2x+y ；2y x - ；a 1 ；x y x 2- ；3a ；5 . 3、 自主探究：通过探究发现，a s 、s V 、v +20100、v -2060与分数一样，都是 的形式，分数的分子A 与分母B 都是 ，并且B 中都含有 。 4、 归纳：分式的意义： 。上面所看到的a 1 、x y x 2-、a s 、s V 、v +20100、v -2060都是 。 我们小学里学过的分数有意义的条件是 。 那么分式有意义的条件是 。 二、课堂展示： 例1、在下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？ （1）、5x-7 ；（2）、3x 2-1 ；（3）123+-a b ；（4）、7 )(p n m +；（5）、—5 ； （6）、1222-+-x y xy x 、（7）、72；（8）、c b +54。 分是有： 整式有： 例2、x 为何值时，下列分式有意义？ （1）、1 -x x ； （2）、15622++-x x x （3）、242+-a a ； 例3、x 为何值时，下列分式的值为0？

（1）、1 1+-x x ；（2）、392+-x x ；（3）、112+-a a （4）11--x x 三、随堂练习： P 5的“练习” 四、课堂检测： 1、下列各式中，（1）y x y x -+（2）1 32+x （3）x x 13-（4）π22y xy x ++（5）14.3--πb a （6）0.整式是 ，分式是 。（只填序号） 2、当x= 时，分式2 +x x 没有意义。3、当x= 时，分式112+-x x 的值为0 。 4、当x= 时，分式22x x +的值为正，当x= 时，分式1 132+-a a 的值非负。 5、甲,乙两人分别从两地同时出发,若相向而行,则a 小时相遇;若同而行则b 小时甲追上乙,那么甲的速度是乙的速度的（ ）倍. Ａ.b b a + Ｂ.b a b + Ｃ.a b a b -+ Ｄ.a b a b +- 6、“循环赛”是指参赛选手间都要互相比赛一次的比赛方式．如果一次乒乓球比赛有x 名选手报名参加，比赛方式采用“循环赛”，那么这次乒乓球比赛共有 场 7、使分式6 3||2---x x x 没有意义的x 的取值是（ ）A.―3、B.―2、C. 3或―2、D. ±3 五、小结与反思：

分式的概念、列分式、分式有意义的条件

教学内容：P1～4 目标：（1）理解分式的概念并能判断分式， （2）会根据实际问题列分式表示， （3）掌握分式有意义的条件。 重点：理解分式有意义的条件。 难点：能熟练地求得分式有意义的条件。 教学活动： 一、复习引入。复习：单项式，多项式，整式。 二．知识与方法 1．什么叫分式（P3）？ 2．什么叫有理式？ 3．分式有无意义的条件是什么？ 三、题型与解法 题型之一：分式的判定 例1．（P4练习）下列式子中，哪些是分式？哪些是整式？两类式子的区别是什么？ x 1，3x ，5343+b ，352-a ，22y x x -，n m n m +-，121222+-++x x x x ，)(3b a c -。 跟进练习：（P8习题）下列各式中，哪些是整式，哪些是分式？ a 1，1-x ，m 3，3 b ，b a c -，b a 26+，)(43y x +，5122++x x ，n m n m +-。 题型之二：列式并判断 例2．（P8习题）填空并判断所填式子是否为分式： （1）一位作家先用m 天写完了一部小说的上集，又用n 天写完下集，这部小说（上、下集）共120万字，这位作家平均每天的写作量为 。 （2）走一段长10千米的路，步行用2x 小时，骑自行车所用时间比步行所用时间的一半少0.2小时，骑自行车的平均速度为 。 （3）甲完成一项工作需t 小时，乙完成同样工作比甲少用1小时，乙的工作效率为 。 跟进练习：（P4练习）列式表示下列各量： （1）某村有n 个人，耕地40公顷，人均耕地面积为 公顷； （2）△ABC 的面积为S ，BC 边长为a ，高AD 为 ； （3）一辆汽车行驶a 千米用b 小时，它的平均车速为 千米/时；一列火车行驶a 千米比这辆汽车少用1小时，它的平均车速为 千米/时。 题型之三：分式有无意义的条件 例3．（P3例1）填空： （1）当x 时，分式x 32有意义；（2）当x 时，分式1 -x x 有意义；

第一节 分式的基本概念与性质-学而思培优

第一节分式的基本概念与性质 一、课标导航 二、核心纲要 1.分式概念 一般地，如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母(B≠O)，那么式子B A 叫做分式， 注：在理解分式的概念时，注意以下四点 (1)分式的分母中必须含有字母； (2)分式的分母的值不为O ； (3)分式是写成两式相除的形式，中间以分数线隔开； (4)判断分式时需要看最初形式． 2．有理式 整式与分式统称为有理式． 3．分式有意义的条件 两个整式相除，除数不能为O ，故分式有意义的条件是分母不为O ； 当分母为0时，分式无意义． 4．分式的值 (1)分式的值为零：必须满足分式的分子为零，且分式的分母不能为零，注意是“同时”． 即00=?=A B A 且.0=/ B (2)分式的值为1：满足分式的分子与分母相等，且分式的分母不能为零， 即.01=/=?=B A B A (3)分式的值为-1：满足分式的分子与分母互为相反数，且分式的分母不能为零. 即 .01=/-=?=B A B A (4)分式的值为正：满足分式的分子与分母同号， 即???>>?>000B A B A 或???? <<00B A (5)分式的值为负：满足分式的分子与分母异号． 即 ???<>?<000B A B A 或????><00B A 5.分式的基本性质 分式的分子与分母同时乘以（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，

即：).0(,=/÷÷==m m b m a b a bm am b a 注：①在运用分式的基本性质时，前提条件是m≠0； ②强调“同时”，分子分母都要乘以或者除以同一个“非零”的整式； 6．约分 (1)概念：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分． (2)步骤： ①如果分式的分子和分母都是单项式或者是几个因式乘积的形式，将它们的公因式约去； ②分式的分子和分母都是多项式，将分子和分母分别分解因式，再将公因式约去． (3)公因式的确定：系数取分子和分母系数的最大公约数，字母取分子和分母中的相同字母，指数取次数低的，即为它们的公因式． 7.最简分式 一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式．约分时，一般将一个分式化为最简分式． 8．通分 (1)概念：把几个异分母分式分别化为与原分式值相等的同分母分式，叫做分式的通分． (2)步骤 ①求出所有分式分母的最简公分母； ②将所有分式的分母变为最简公分母．同时各分式按照分母所扩大的倍数，相应扩大各自的分子． (3)最简公分母的确定：系数取各分母系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂及单独字母的幂的乘积． 本节重点讲解：四个定义，一个性质，一种求值，一个条件． 三、全能突破 基 础 演 练 1．在x x x y x y y x x --+2,4,,3,0,3π中，是整式的有 ；是分式的有 2．当x 时，分式 53+x 有意义；当x 的值为 时，分式53+x 的值为1． 3．如果分式x x x 55||2+-的值为O ，那么x 的值是( )． 0.A 5.B 5.-C 5.±D 4． (1)分式 2)1(2?+-x x 的值为正数的条件是( )． 2.x D (2)使分式 5 2762+-x x 的值是负数的x 的取值范围是( )． 76.x B 0.

分式(1)(分式概念、基本性质)

分式（1）（分式概念、基本性质） 一、基础知识梳理： 1.分式的概念：一般地，如果A ，B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子B A 做分式。A 叫做分子，B 叫做分母. 分式的概念要注意以下几点： （1）分式是两个整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分数线则可以理解为除号，还含有括号的作用； （2）分式的分子可以含字母，也可以不含字母，但分母必须含有字母； （3）分式有意义的条件是分母不能为0. 2.分式的基本性质：分式的分子分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变. 3.分式的约分 (1)约分的概念：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分． (2)分式约分的依据：分式的基本性质． (3)分式约分的方法：把分式的分子与分母分解因式，然后约去分子与分母的公因式． 4.最简分式的概念：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式． 二、针对性练习： （一）、填空题： 1.对于分式 1 22 x x -+（1）当________时，分式的值为0 ； （2）当________时，分式的值为1；（3）当________时，分式无意义； （4）当________时，分式有意义. 2．填充分子，使等式成立； ()2 22(2)a a a -= ++； ()22233x x x -=-+- 3．填充分母，使等式成立：() 22 23434254x x x x -+-=- -- ； ()2 1a a a c ++=（a ≠0）. 4．化简：233812a b c a bc =_______；6425633224a b c a b c = ；22 4488a b a b -=- ；

(完整版)分式知识点总结和题型归纳

分式知识点总结和题型归纳 （一）分式定义及有关题型 题型一：考查分式的定义: 一般地，如果A ，B 表示两个整数，并且B 中含有字母，那么式子 B A 叫做分式，A 为分子，B 为分母。【例1】下列代数式中：y x y x y x y x b a b a y x x -++-+--1 , ,,21,2 2 π，是分式的有： . 题型二：考查分式有意义的条件 分式有意义：分母不为0（0B ≠） 分式无意义：分母为0（0B =） 【例1】当x 有何值时，下列分式有意义 （1） 44+-x x （2）232+x x （3）122-x （4）3||6--x x （5）x x 11- （2）使分式 53-+x x ÷79 -+x x 有意义的x 应满足 . （3）若分式3 21 +-x x 无意义，则x= . 题型三：考查分式的值为0的条件 分式值为0：分子为0且分母不为0（? ??≠=00 B A ） 【例1】当x 取何值时，下列分式的值为0. （1）3 1 +-x x （2） 4 2 ||2 --x x （3） 6 5322 2----x x x x 【例2】当x 为何值时，下列分式的值为零： （1）4 |1|5+--x x （2） 5 62522+--x x x 题型四：考查分式的值为正、负的条件 分式值为正或大于0：分子分母同号（?? ?>>00B A 或???<<00 B A ） 分式值为负或小于0：分子分母异号（???<>00B A 或? ??><00 B A ） （1）当x 为何值时，分式x -84为正； （2）当x 为何值时，分式2 )1(35-+-x x 为负；

分式的概念和性质(基础)知识讲解

分式的概念和性质（基础） 【学习目标】 1. 理解分式的概念，能求出使分式有意义、分式无意义、分式值为0的条件. 2．掌握分式的基本性质，并能利用分式的基本性质将分式恒等变形，进而进行条件计算. 【要点梳理】 【高清课堂403986 分式的概念和性质知识要点】 要点一、分式的概念 一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子A B 叫做分式.其中A 叫做分子，B叫做分母. 要点诠释：（1）分式的形式和分数类似，但它们是有区别的.分数是整式，不是分式，分式是两个整式相除的商式.分式的分母中含有字母；分数的分子、分 母中都不含字母. （2）分式与分数是相互联系的：由于分式中的字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性；分数是分式中字母取特定值后的特殊情况. （3）分母中的“字母”是表示不同数的“字母”，但π表示圆周率，是一个 常数，不是字母，如a π 是整式而不能当作分式. （4）分母中含有字母是分式的一个重要标志，判断一个代数式是否是分式 不能先化简，如 2 x y x 是分式，与xy有区别，xy是整式，即只看形式， 不能看化简的结果. 要点二、分式有意义，无意义或等于零的条件 1.分式有意义的条件：分母不等于零. 2.分式无意义的条件：分母等于零. 3.分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零. 要点诠释：（1）分式有无意义与分母有关但与分子无关，分式要明确其是否有意义，就必须分析、讨论分母中所含字母不能取哪些值，以避免分母的值为零. （2）本章中如果没有特殊说明，所遇到的分式都是有意义的，也就是说分式中分母的值不等于零. （3）必须在分式有意义的前提下，才能讨论分式的值. 要点三、分式的基本性质 分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做 分式的基本性质，用式子表示是：A A M A A M B B M B B M ?÷ == ?÷ ，（其中M是不等于零的整式）. 要点诠释：（1）基本性质中的A、B、M表示的是整式.其中B≠0是已知条件中隐含着的条件，一般在解题过程中不另强调；M≠0是在解题过程中另外附加 的条件，在运用分式的基本性质时，必须重点强调M≠0这个前提条件. （2）在应用分式的基本性质进行分式变形时，虽然分式的值不变，但分式中字母的取值范围有可能发生变化.例如：，在变形后， 字母x的取值范围变大了. 要点四、分式的变号法则

分式的定义及分式有意义的条件

一：分式的定义及分式有意义的条件复习：3223yx?yxyx?2：幂的运算：1 2、3、22?y9xy?4x?4因式分解： 1、提公因式法新课 1 2、表示两个相除，且除式中含有的代数式叫做分、公式法： 式。请写出三个分式。练习： 2、下列代数式中，哪些是整式？哪些是分式？75aa?a?= 化简； 1.22?4?4xa?2xx?31b3x?2yab,,,,,,,,.2）下列计算错误的是（ ?2xa?1?5aabx722????3a???a?a A.、因为除数不能为零，所以 分式中字母的取值不能3使分母为零，否则分式就没有意义了。当分母的值为22????4a???a?a B. 时，分式无意义；当分母的值不为时，分式有意义。1123????5a???a?a C. 无意义；4、当时， 分式有意义；当时，分式xxx?x11?33????6aa???a? D.无有意义；当时，分式当时，分式8??84x4x意义；5442 3.aa??2a?a?a计算：1x?x?1无当时，分式有意义；当时，分式1?2x?12x 意义；4）、下列计算正确的是（2x?有意义；当时，分式当时，分式??2???? ??23??2?x363n?mmnmm?? D.C.无意义；???? 42824m?3m32xx?1? B.A.m?m?m 2x?1x?????3332abb??a?x 1）、计算：（5?x?2b当无意义，则。时，分式 b?x2 5、当分式同时满足条件①②时，分式值为零。234449x?3（）（－））（a?2+a2a的值为零； 6、当时，分式2x? x2当时，分式的值为零。338244（））（－（－））（2b?3ab2a+2?3x 6 分解因式。1x?22423y?x8?y10xyx2 1、对于分式例53x?x? ①当取什么数时，分式有意义x取什么数时，分式的值为零？②当2??1?,?x1y?4x25?③当时，分式的值分别是多少？ 1 / 5 程之比为。ma元，箱子与苹果的总质量为、一箱苹果售价3n kgkg）。问每千），其中箱子的质量为（（、甲、乙两人从一条公路的某处出发，同向而2例当？多少元苹果的售价是克aa b ﹥千MM，乙每时行行。已知甲每时行，千5.n?0,m?10,a?15.2时，每千克苹果的售价b小时出发，那么甲追上乙需要多少。如果乙提前1是多少元？5b?,a?6时，求甲追上乙所需的时间。时间？当 qqpb）吨，每天用煤﹥（14、某厂的仓库里有煤,?5,b?5a有意义吗？它所思考：若取分式 p吨煤吨，若从现在开始，每天节省1吨煤，则b?a表示的实际情境是什么？可多用多少天？

分式的基本概念及性质

分式的概念： 当两个整数不能整除时，出现了分数；类似的当两个整式不能整除时，就出现了分式． 一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子A B 叫做分式． 整式与分式统称为有理式． 在理解分式的概念时，注意以下三点： ⑴分式的分母中必然含有字母； ⑵分式的分母的值不为0； ⑶分式必然是写成两式相除的形式，中间以分数线隔开． 分式有意义的条件： 两个整式相除，除数不能为0，故分式有意义的条件是分母不为0，当分母为0时，分式无意义． 如：分式1 x ，当0 x≠时，分式有意义；当0 x=时，分式无意义． 分式的值为零： 分式的值为零时，必须满足分式的分子为零，且分式的分母不能为零，注意是“同时”． 分式的基本性质： 分式的基本性质：分式的分子与分母同时乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变． 上述性质用公式可表示为：a am b bm =， a a m b b m ÷ = ÷ (0 m≠)． 注意：①在运用分式的基本性质时，基于的前提是0 m≠； ②强调“同时”，分子分母都要乘以或者除以同一个“非零”的数字或者整式； ③分式的基本性质是约分和通分的理论依据． 一、分式的基本概念 【例1】在下列代数式中，哪些是分式？哪些是整式？ 1 t ，(2) 3 x x+， 221 1 x x x -+ - ， 24 x x + ， 5 2 a ，2m， 2 1 321 x x x + -- ， 3 π x - ， 32 3 a a a + 【例2】代数式 2222 113 1 321223 x x x a b a b ab m n xy x x y +-- +++ + ，，，，，，，中分式有（） A.1个 B.1个 C.1个 D.1个 分式的基本概念及性质

01++分式的概念及意义

第7章因式分解 7.1分式 第一课时 分式的概念及意义

基础巩固 1. 有理式①，②，③，④中，是分式的有（ ） A．①② B．③④ C．①③ D．①②③④ 2. 分式中，当x=-a时，下列结论正确的是（ ） A．分式的值为零； B．分式无意义 C．若a≠-时，分式的值为零； D．若a≠时，分式的值为零 3. 下列各式中，可能取值为零的是（ ） A． B． C． D． 4. 下列各式，，x+y，，-3x2，0中，是分式的有___________；是整式的 有___________；是有理式的有_________． 5. 当x______时，分式无意义 6. 当x______时，分式的值为1；当x_______时，分式的值为-1． 7. 当x取什么值时，分式无意义？ 8.当x取什么值时，分式有意义？ 9.当x取什么值时，分式值为0？ 10.当x取什么值时，分式值为1？ 11. 一箱苹果售价a元，箱子与苹果的总质量为m kg，箱子的质量为n kg，则每千克苹果的售价是多少元？ 要点突破 1.分式的概念: 分子、分母都是整式且分母中含有字母的代数式叫做分式.

注意： (1)分式是两个整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而 分数线可以理解为除号，同时分数线还含有括号的作用，例如表示（a ＋b）÷(c－d). (2)分式的分子和分母都是整式，但是分子可以含字母．也可以不 含字母，而分母中必须含有字母．下列式子中，它们的分母中都不含有 字母，所以都不是分式，而是整式. 2. 分式是否有意义，与分子无关．只要分母不等于零，分式就有意 义． “分式的值为零”包含两层意思：一是分式有意义，二是分子的值为 零，不要误解为“只要分子的值为零，分式的值就是零”． 典例精析 例1. 已知y=，x取哪些值时： 1 y的值是零； ⑵分式无意义; ⑶分式的值为1. 【解析】⑴y值为零即分式的值为0,需满足分子为0,分母不为0---x- 1=0,2-3x≠0,所以当x=1时, y的值是零; ⑵分式无意义,即为分母为0----2-3x=0,即x=时，分式无意义． ⑶分式的值为1,只需满足x-1=2-3x,所以x=时, 分式的值为1. 【点评】 “分式的值为零”包含两层意思：一是分式有意义，二是分 子的值为零，不要误解为“只要分子的值为零，分式的值就是零”．无 意义则是需要分母为0即可.至于分式的值为1时,只要满足分子分母相等 就行. 能力拓展 12. 使分式无意义，x的取值是（ ） A．0 B．1 C．-1 D．±1 13. (教材作业第4题变式)已知分式有意义，则x的取值范围为( ) A.x≠－1 B.x≠3 C.x≠－1且x≠3 D.x≠－1或x≠3 14．若分式的值为零，则m取值为( ) A.m=±1 B.m=－1 C.m=1 D.m的值不存在 15.当x满足________时，分式的值为负数. 16. (教材例1变式题)当x_______时，分式的值为正；当x______时，