积分变换课后答案

1-1

1． 试证：若

()f t 满足Fourier 积分定理中的条件，则有

()()()d d 0

cos sin f t a t b t ωωωωωω+∞+∞

=+?

?

其中()()()()d d ππ11cos ,sin .a f b f ωτωττωτωττ+∞+∞

-∞-∞

==??

分析：由Fourier 积分的复数形式和三角形式都可以证明此题，请读者试

用三角形式证明.

证明：利用Fourier 积分的复数形式，有

()()j j e e d π12t t

f t f ωωτω+∞+∞--∞-∞??=

?

????? ()()j j d e d π11cos sin 2t f ωτωτωττω+∞+∞-∞-∞??=-????

??

()()()j j d 1cos sin 2

a b t t ωωωωω+∞

-∞??=

-+??? 由于()()()(),,a a b b ωωωω=-=--所以

()()()d d 11cos sin 22

f t a t b t ωωωωωω+∞+∞-∞-∞=

+?? ()()d d 0

cos sin a t b t ωωωωωω+∞+∞

=+?

?

2．求下列函数的Fourier 积分：

1）()22

21,10,1t t f t t ?-≤?=?>??; 2) ()0,

0;e sin 2,0

t

t f t t t -?

1,10

1,010,1t t f t t t ?-∞<<-?

--<

?<<+∞?

分析：由Fourier 积分的复数形式和三角形式都可以解此题，请读者试用三角形式解.

解：1）函数()22

2

1,1

0,

1t t f t t ?-≤?=?>??为连续的偶函数，其Fourier 变换为 j 21()[()]()e d 2()cos d 2(1)cos d 00t F f t f t t f t t t t t t ωωωω-+∞

+∞?====-?-∞

???F

1

2233

0sin 2cos 2sin sin 4(sin cos )2t t t t t t ωωωωωωωωωωωω????-=--+=?? ????

?(偶函数)

f (t )的Fourier 积分为

j 3

11()()e d ()cos d 0

2ππ4(sin cos )

cos d 0πt

f t F F t t ωωωωωωωωωωωω

+∞+∞==-∞+∞-=??? 2)所给函数为连续函数，其Fourier 变换为

()[]j j ω()()e d e sin 2e d 0

t

t t F f t f t t t t ωωτ---+∞===-∞??F

2j 2j j (12j j )(12j j )e e 1e e d [e e ]d 02j 2j 0

t t t t t t t t ωωω----+--+++∞+∞

-=??=-?? (12j j )(12j j )0

1e e 2j 12j j 12j j t t ωωωω+∞

-+--++??=+??-+-++?? ()2

24

252j j 1121(2)j 1(2)j 256ωωωωωω??--????=+=

?-+-+--+??（实部为偶函数，虚数为奇函数）

f (t )的Fourier 变换为

()j 1()e d 2πt f t F ωωω+∞

=-∞

? ()()2

24252j 1cos jsin d 2π256t t ωωωωωωω

??--+∞??=?--∞-+? ()()()22

2424

2

24

5cos 2sin 5sin 2cos 11d d π256π2565cos 2sin 2d π0256t t t t t t ωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωω-+--+∞+∞=+-∞-+-∞-+-++∞=-+???

这里用到奇偶函数的积分性质.

3）所给函数有间断点-1，0，1且f (-t )= - f (t )是奇函数，其Fourier 变换为

()[]j ()()e d 2j ()sin d 0

t

F f t f t t f t t t ωωω-+∞+∞===--∞??F

12j(cos 1)2j 1sin d 0t t ωωω

-=-?=?（奇函数）

f (t )的Fourier 积分为

()()j j ()e d sin d π0π0

21cos sin d π0t

f t F F t t ωωωωωωωωωω

+∞+∞=+∞-=???1=

2

其中t ≠-1，0，1（在间断点0t 处，右边f (t )应以

()()

00002

f t f t ++-代替）.

3．求下列函数的Fourier 变换，并推证下列积分结果： 1）()e

(0),t

f t ββ-=>证明：22cos πd e ;02t

t βωωβωβ

-+∞=+? 2）()e cos t

f t t -=，证明：24

2πcos d e cos ;042

t

t t ωωωω-+∞+=+? 3）sin ,π()0,πt t f t t ?≤?=?>??，证明：2

πsin ,π

sin πsin 2d 010,πt t t t ωωωω?≤+∞?=?-?>?

? 证明：1）函数()e t f t β-=为连续的偶函数，其Fourier 变换为

()()j e e d 2e cos d 0t t t

F f t t t t βωβωω---+∞+∞??===??-∞??F

()

22

22

e cos sin 22

t t t t t ββωωωβ

βωβω

-=+∞

=-+==

++ 再由Fourier 变换得

()()j 22

112e d cos d 2ππ0t

f t F t t ωβωωωβω+∞+∞=

=-∞+?? 即 22

cos πd e 02t

t βωωβωβ

-+∞=+?

2）函数()e cos t f t t -=为连续的偶函数，其Fourier 变换为

()j j ()e d e cos e d t t t F f t t t t ωωω---+∞+∞

==-∞-∞

?

?

j j j e e e e d 2

t t t t

t ω---+∞+-∞? (1j j )(1j j )(1j j )(1j j )001e d e d e d e d 200t

t t t t t t t ωωωω-+----+--+++∞+∞??=

+++??-∞-∞??

???? (1j j )(1j j )(1j j )(1j j )001e e e e 21j j 1j j 1j j 01j j 0t t t t ωωωωωωωω+--++-+++-??

+∞+∞=+++??+--∞---∞-+-+-??

24

11111

221j j 1j j 1j j 1j j 4

ωωωωωω??-+=+++=??+----+-+-+?? 再由Fourier 变换公式得

()()2j 41112()e d cos d cos d 2ππ0π04t

f t F F t t ωωωωωωωωωω+∞+∞+∞+=

==-∞+??? 即 24

2πcos d e cos 042

t

t t ωωωω-+∞+=+? 3）给出的函数为奇函数，其Fourier 变换为

()()()π

π

j j π

π

e

d sin e

d sin cos jsin d t

t

F f t t t t t t t t ωωωωω+∞---∞

--===-?

??

()()π

π

002j sin sin d j cos 1cos 1d t t t t t t ωωω??=-=+--?

??? ()()2sin 1πsin 1πsin sin 2jsin j j 1010111t t ωωωπωπ

ωπ

ωωωωω??+---??=-=-= ?

?+-+--??

?? ()()()-1

j 2112jsin πe d cos jsin d 2π2π1t

F F t t ωωωωωωωωω+∞+∞-∞-∞??==+??-??F

20sin ,π

2sin πsin d π10,

πt t t t ωωωω+∞?≤?=-=?

->??? 故

2

πsin ,π

sin πsin 2d 10,πt t t t ωωωω+∞

?≤?=?-?>?

?

4.求函数()()e 0,0t f t t ββ-=>≥的Fourier 正弦积分表达式和Fourier 余弦积分表达式.

解：根据Fourier 正弦积分公式，并用分部积分法，有

()()002sin d sin d πf t t f ωωτττω+∞+∞

??=

?

?????

002sin d sin d πe t t βτωωτω+∞+-∞??=?

????? ()220sin cos 2sin d π0e t t βτ

βωωωωωβτω+-∞??-+∞=??+??

? 2202sin d .πt ω

ωωβω

+∞=

+? 根据Fourier 余弦积分公式，用分部积分法，有

()()002cos d cos d πf t t f ωωτττω+∞+∞

??=

???

??? 002cos d cos d πe t

t βτωωτω+∞+-∞??=?

????? ()220sin cos 2cos d π0e t t βτ

βωωωωωβτω+-∞??-+∞=??+??

? 22

02cos d .πt ωωωβω+∞=+? 1-2

1．求矩形脉冲函数,0()0,A t f t τ

?≤≤?=???其他

的Fourier 变换.

解：

[]()j j j j 0

1e e

()()()e d e d 0j j t t t t A F f t f t t A t A τ

ωωωωτ

ωωω-----+∞??=====??

-∞-????F 2.设()F ω是函数()f t 的Fourier 变换，证明()F ω与()f t 有相同的奇偶性.

证明：()F ω与()f t 是一个Fourier 变换对，即 ()()j e d t F f t t ωω-+∞=-∞?

，()()j 1e d 2πt f t F ωωω+∞=-∞

? 如果()F ω为奇函数，即()()F F ωω-=-，则

()()()()()()j j 11e d e d 2π2πt t

f t F F ωωωωωω--+∞+∞-=

=---∞-∞

??

（令u ω-=）()j 1e d 2πut F u u -∞

=+∞

? （换积分变量u 为ω）()()j 1e d 2πt

F f t ωωω+∞=-=--∞

? 所以()f t 亦为奇函数.

如果()f t 为奇函数，即()()f t f t -=-，则

()()()()()j j e d e d t t

F f t t f t t ωωω----+∞+∞-==---∞-∞

?

? （令t u -=）()j e d u f u u ω--∞

=+∞

? （换积分变量u 为t ）()()j e d t f t t F ωω-+∞

=-=--∞

? 所以()F ω亦为奇函数.

同理可证()f t 与()F ω同为偶函数.

4．求函数()()e 0t f t t -=≥的Fourier 正弦变换，并推证

()20

012sin πd e α

ωαωωαω+∞

-=>+?

解：由Fourier 正弦变换公式，有

()()s s F f t ω??=??F ()0

sin f t t t ω+∞

=?d 0sin t

t t ω+∞

-=?e d ()2sin cos 10t t t ωωωω---+∞=

+e 21ω

ω=+ 由Fourier 正弦逆变换公式，有

()1

20022sin ()()sin 1s

s s t

f t F F t ωωωωωωωω+∞+∞-===????+??F d d ππ

由此，当0t α=>时，可得

()()20

sin ππd e 0122f αωαωωααω+∞

-==>+?

5．设()()f t F ω??=??F ，试证明：

1）()f t 为实值函数的充要条件是()()F F ωω-=； 2）()f t 为虚值函数的充要条件是()()F F ωω-=-.

证明： 在一般情况下，记()()()r i f t f t f t =+j 其中()r f t 和()i f t 均为t 的实值函数，且分别为()f t 的实部与虚部. 因此

()()()()[]j e d j cos jsin d t r i F f t t f t f t t t t ωωωω-+∞+∞

??==+-??-∞-∞

?? ()()()()cos sin d j sin cos d r

i r i f t t f t t t f t t f t t t ωωωω+∞+∞

????=+--????-∞-∞?

? ()()Re Im F j F ωω????=+???? 其中()()()Re cos sin d r i F f t t f t t t ωωω+∞

????=+????-∞

?

， ()a ()()()Im sin cos d r i F f t t f t t t ωωω+∞

????=--????-∞? ()b

1）若()f t 为t 的实值函数，即()()(),0r i f t t f f t ==.此时，()a 式和()b 式分别为

()()Re cos d r F f t t t ωω+∞??=??-∞? ()()Im sin d r F f t t t ωω+∞

??=-??-∞

?

所以

()()()Re jIm F F F ωωω????-=-+-????

()()()Re jIm F F F ωωω????=-=???? 反之，若已知()()F F ωω-=，则有

()()()()Re jIm Re jIm F F F F ωωωω????????-+-=-????????

此即表明()F ω的实部是关于ω的偶函数；()F ω的虚部是关于ω的奇函数.因此，必定有

()()()cos d j sin d r r

F f t t t f t t t ωωω+∞+∞

=--∞-∞??

亦即表明()()r f t f t =为t 的实值函数.从而结论1）获证.

2）若()f t 为t 的虚值函数，即()()()j ,0i r f t f f t t ==.此时，()a 式和()b 式分别为

()()Re sin d i F f t t t ωω+∞

??=??-∞

? ()()Im cos d i

F f t t t ωω+∞

??=??-∞?

所以

()()()Re jIm F F F ωωω????-=-+-????

()()Re jIm F F ωω????=-+????

()(){}

Re jIm F F ωω????=--????

()F ω=-

反之，若已知()()F F ωω-=-，则有

()()()()Re jIm Re jIm F F F F ωωωω????????-+-=-+????????

此即表明()F ω的实部是关于ω的奇函数；()F ω的虚部是关于ω的偶函数.因此，必定有

()()()sin d j cos d i i

F f t t t f t t t ωωω+∞+∞

==+-∞-∞?

?， 亦即表明()()j i f t f t =为t 的虚值函数.从而结论2）获证.

6.已知某函数的Fourier 变换sin ()F ω

ωω

=

，求该函数()f t .

解：sin ()F ω

ωω

=

为连续的偶函数，由公式有

()()j π1sin e d cos d 2π0t

f t F t ωωωωωωω

+∞+∞=

=-∞??

复变函数与积分变换试卷1-答案

《复变函数与积分变换》期末试卷1 参考答案及评分标准 第一题：填空。 1．1； 2. 连通开集； 3. 奇点； 4. 3-； 5. 圆周； 6.解析； 7. 绝对收敛； 8. 本性奇点； 9. 0 0lim()()z z z z f z →-； 10. 保角性。 第二题：选择。 1：B ；2：A ；3：C ；4：D ；5：B 。 第三题：计算。 1：13(23)13(arctan 2)22 n n L i l i k ππ-+=+-+，k Z ∈； 模2分，辐角4分 2：C 的参数方程为0(02)i z z re θθπ=+≤≤ 22(1)10001()i i n n n in n C dz ire d e d z z r e r θ ππθθθθ---==-??? 221 1 cos(1)sin(1)n n i i n d n d r r π π θθθθ--= -+ -? ? （4分） 21 01i n n π=?=?≠? 。（2分） 3：1 10 ()1n k k n n k S z z z -+==-=-∑。 （1分） 当1z <时，lim 1n n S →∞ =-，故级数收敛于1-； 当1z =时，lim 0n n S →∞ =，故级数收敛于0； 当1z =-时，lim n n S →∞ 不唯一，故级数发散； 当1z =而i z e θ=(0)θ≠时，cos sin n z n i n θθ=+，因为cos n θ和sin n θ的极限都不存在，所以lim n n S →∞ 不存在，级数发散； 当1z >时，级数显然发散。 （以下讨论每步1分） 4：显然，点ai 是函数的二阶极点。 2 22 2R e [(),]l i m [()]() ibz z ai d e s f z ai z az dz z a →=-+2 l i m []()ibz z ai d e dz z ai →=+ （4分） 2321lim ()4ibz ab z ai ibz ab ab e i z ai a e →--+==-+。 （2分） 5：0 ()()j t j t F f t e dt Ae dt τ ωωω+∞ ---∞==??()(1)0j t j t A A e e j j ωωτω ω--=-=-。 （第一步4分，结果2 分）

复变函数与积分变换习题答案

习题六 1. 求映射1 w z = 下，下列曲线的像. (1) 22x y ax += (0a ≠，为实数) 解：2222 11i=+i i x y w u v z x y x y x y ===-+++ 221 x x u x y ax a = ==+, 所以1w z =将22x y ax +=映成直线1u a =. (2) .y kx =(k 为实数) 解： 22221i x y w z x y x y = =-++ 22 2222 x y kx u v x y x y x y = =- =- +++ v ku =- 故1 w z = 将y kx =映成直线v ku =-. 2. 下列区域在指定的映射下映成什么？ （1）Im()0, (1i)z w z >=+； 解： (1i)(i )()i(+)w x y x y x y =+?+=-+ ,. 20.u x y v x y u v y =-=+-=-< 所以Im()Re()w w >. 故(1i)w z =+?将Im()0,z >映成Im()Re()w w >. (2) Re(z )>0. 00, 00. Im(w )>0. 若w =u +i v , 则2222 ,u v y x u v u v ==++ 因为0 + 故i w z = 将Re(z )>0, 00,Im(w )>0, 12 12w > (以（12,0）为圆心、 1 2为半径的圆)

复变函数及积分变换试题及答案

第一套 第一套 一、选择题（每小题3分，共21分） 1. 若（ ），则复函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+是区域D 内的连续函数。 A. (,)u x y 、(,)v x y 在区域D 内连续； B. (,)u x y 在区域D 内连续； C. (,)u x y 、(,)v x y 至少有一个在区域D 内连续； D. 以上都不对。 2. 解析函数()f z 的实部为sin x u e y =，根据柯西-黎曼方程求出其虚部为（ ）。 A.cos x e y C -+； B cos x e y C -+； C sin x e y C -+； D cos x e y C + 3. 2|2|1(2)z dz z -==-?（ ） 。 A. i π2； B. 0； C. i π4； D. 以上都不对. 4. 函数()f z 以0z 为中心的洛朗展开系数公式为（ ）。 A. 1 01 ()2()n n f d c i z ξξ πξ+= -? B. 0()!n n f z c n = C. 2 01()2n k f d c i z ξξπξ= -? D. 210! ()2()n n k n f d c i z ξξ πξ+= -? 5. z=0是函数z z sin 2 的（ ）。 A.本性奇点 B.极点 C. 连续点 D.可去奇点 6. 将点∞，0，1分别映射成点0，1，∞的分式线性映射是（ ）。 A.1 z z w -= B. z 1z w -= C. z z 1w -= D. z 11 w -= 7. sin kt =（）L （ ），（()Re 0s >）。 A. 22k s k +； B.22k s s +； C. k s -1； D. k s 1 . 二、填空题（每小题3分，共18分） 1. 23 (1)i += [1] ； ---------------------------------------- 装 --------------------------------------订 ------------------------------------- 线 ----------------------------------------------------

复变函数与积分变换课后习题答案详解

复变函数与积分变换 （修订版）主编：马柏林 （复旦大学出版社） ——课后习题答案

习题一 1. 用复数的代数形式a +ib 表示下列复数 π/43513 ; ;(2)(43);711i i e i i i i i -++++ ++. ①解i 4 πππe cos isin 44-??????=-+- ? ? ? ??? ?? ?? ②解： ()()()() 35i 17i 35i 1613i 7i 1 1+7i 17i 2525 +-+==-++- ③解： ()()2i 43i 834i 6i 510i ++=-++=+ ④解： ()31i 13 35=i i i 1i 222 -+-+=-+ 2.求下列各复数的实部和虚部(z =x +iy ) (z a a z a -∈+ ); 33 3;;;.n z i ① ：∵设z =x +iy 则 ()()()()()()()22 i i i i i i x a y x a y x y a x a y z a z a x y a x a y x a y -++-????+--+-????===+++++++ ∴ ()222 2 2 Re z a x a y z a x a y ---??= ?+??++, ()22 2Im z a xy z a x a y -?? = ?+??++． ②解： 设z =x +iy ∵ ()()()()() ()()()3 2 322222222 3223i i i 2i i 22i 33i z x y x y x y x y xy x y x x y xy y x y x y x xy x y y =+=++=-++??=--+-+??=-+- ∴ ()332 Re 3z x xy =-, ()323Im 3z x y y =-． ③解： ∵ (( )( ){ }3 3 2 3 2 111313188-+? ???== --?-?+?-????? ? ?? ?? ()1 80i 18 = += ∴Re 1=?? , Im 0=?? ． ④解： ∵ () ( )(( )2 3 3 2 3 13131i 8 ??--?-?+?-???? =?? ()1 80i 18 = += ∴Re 1 =? ? , Im 0=? ? ． ⑤解： ∵()()1,2i 211i, k n k n k k n k ?-=? =∈?=+-???￠． ∴当2n k =时，()()Re i 1k n =-，()Im i 0n =； 当 21n k =+时， ()Re i 0 n =， ()()Im i 1k n =-． 3.求下列复数的模和共轭复数 12;3;(2)(32); .2 i i i i +-+-++ ①解：2i -+= 2i 2i -+=-- ②解：33-= 33-=- ③解：()( )2i 32i 2i 32i ++=++= ()()()()()()2i 32i 2i 32i 2i 32i 47i ++=+?+=-?-=- ④解： 1i 1i 22++== ()1i 11i 222i ++-??== ??? 4、证明：当且仅当z z =时，z 才是实数． 证明：若z z =，设i z x y =+，

复变函数及积分变换习题答案

一、将下列复数用代数式、三角式、指数式表示出来。 (1) i 解：2 cos sin 2 2 i i e i ππ π ==+ (2) -1 解：1cos sin i e i πππ-==+ (3) 1+ 解：()/3122cos /3sin /3i e i πππ+==+ (4) 1cos sin i αα-+ 解： 2221cos sin 2sin 2sin cos 2sin (sin cos )2 2 2 2 22 2sin cos()sin()2sin 222222 i i i i i e παα α α α α α αααπαπαα?? - ??? -+=+=+? ?=-+-= ??? (5) 3z 解：()3333cos3sin3i z r e r i θθθ==+ (6) 1i e + 解：()1cos1sin1i i e ee e i +==+ (7) 11i i -+ 解：3/411cos3/4sin 3/411i i i i e i i i πππ--==-==+++ 二、计算下列数值 (1) 解：

1 ar 2 1 ar 2 1 ar 2 b i ctg k a b i ctg a b i ctg a π ?? + ? ?? == ? ? =? ? ? (2) 解： 6 22 6363 4 63 22 2 i k i i i i e i e e e i π ππππ ππ ???? ++ ? ? ???? ?? + ? ?? ? =+ ? ? ? ? ====+ ? ? ?=- ? (3) i i 解： ()22 22 i i k k i i e e ππ ππ ???? +-+ ? ? ???? == (4) 解： ()1/22 22 i i k k e e ππ ππ ???? ++ ? ? ???? == (5) cos5α 解：由于：()() 55 2cos5 i i e e ααα - +=， 而： ()()()() ()()()() 5 555 5 5 555 5 cos sin cos sin cos sin cos sin n n i n n n n i n n e i C i e i C i α α αααα αααα - = - - = =+= =-=- ∑ ∑ 所以： ()()()() ()()() ()()()() 5 55 5 5 55 5 4325 3 5 4325 1 cos5cos sin cos sin 2 1 cos sin11 2 5cos sin cos sin cos 5cos sin10cos sin cos n n n n n n n n n n n C i i C i i C i ααααα αα ααααα ααααα -- = -- = ??=+- ?? ?? =+- ?? =++ =-+ ∑ ∑ (6) sin5α 解：由于：()() 55 2sin5 i i e e ααα - -=， 所以：

复变函数与积分变换期末试题(附有答案)

复变函数与积分变换期末试题 一．填空题（每小题3分，共计15分） 1． 2 3 1i -的幅角是（ 2,1,0,23±±=+-k k ππ）；2. )1(i Ln +-的主值是 （ i 4 32ln 21π + ）；3. 211)(z z f +=，=)0() 5(f （ 0 ），4．0=z 是 4sin z z z -的（ 一级 ）极点；5． z z f 1 )(=，=∞]),([Re z f s （-1 ）； 二．选择题（每题3分，共15分） 1．解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为（ ）； （A ） y x iu u z f +=')(； （B ）y x iu u z f -=')(； （C ） y x iv u z f +=')(； （D ）x y iv u z f +=')(. 2．C 是正向圆周3=z ，如果函数=)(z f （ ），则0d )(=?C z z f ． （A ） 23-z ； （B ）2)1(3--z z ； （C ）2)2()1(3--z z ； （D ）2 ) 2(3 -z . 3．如果级数∑∞ =1 n n n z c 在2=z 点收敛，则级数在 （A ）2-=z 点条件收敛 ； （B ）i z 2=点绝对收敛；

（C ）i z +=1点绝对收敛； （D ）i z 21+=点一定发散． ４．下列结论正确的是( ) （A ）如果函数)(z f 在0z 点可导，则)(z f 在0z 点一定解析； (B) 如果)(z f 在C 所围成的区域内解析，则 0)(=? C dz z f （C ）如果 0)(=? C dz z f ，则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析； （D ）函数 ),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是 ),(y x u 、),(y x v 在该区域内均为调和函数． 5．下列结论不正确的是（ ）． (A) 的可去奇点；为z 1 sin ∞(B) 的本性奇点；为z sin ∞ (C) ;1sin 1 的孤立奇点为 z ∞(D) .sin 1的孤立奇点为z ∞ 三．按要求完成下列各题（每小题10分，共40分） （1）．设)()(2 2 2 2 y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求 .,,,d c b a 解：因为)(z f 解析，由C-R 条件

复变函数与积分变换(修订版复旦大学)课后的第三章习题答案

习题三 1. 计算积分2 ()d C x y ix z -+?,其中C 为从原点到点1+i 的直线段. 解 设直线段的方程为y x =,则z x ix =+. 01x ≤≤ 故 ()()1 22 1 23 1 0()1 1 (1)(1)(1)333C x y ix dz x y ix d x ix i i ix i dx i i x i -+=-++-=+=+?=+=?? ? 2. 计算积分(1)d C z z -?，其中积分路径C 为 (1) 从点0到点1+i 的直线段; (2) 沿抛物线y=x2，从点0到点1+i 的弧段. 解 (1)设z x ix =+. 01x ≤≤ ()()1 11()C z dz x ix d x ix i -=-++=?? (2)设2 z x ix =+. 01x ≤≤ ()()1 22 211()3 C i z dz x ix d x ix -=-++=?? 3. 计算积分d C z z ?，其中积分路径C 为 (1) 从点-i 到点i 的直线段; (2) 沿单位圆周|z|=1的左半圆周，从点-i 到点i; (3) 沿单位圆周|z|=1的右半圆周，从点-i 到点i. 解 (1)设z iy =. 11y -≤≤ 11 1 1 C z dz ydiy i ydy i --===??? (2)设i z e θ =. θ从32π到2π 22 332 2 12i i C z dz de i de i π π θ θππ===???

(3) 设i z e θ =. θ从32π到2π 2 32 12i C z dz de i π θ π==?? 6. 计算积分()sin z C z e z dz -???,其中C 为0 z a =>. 解 ()sin sin z z C C C z e z dz z dz e zdz -?=-????蜒 ? ∵sin z e z ?在z a =所围的区域内解析 ∴sin 0z C e zdz ?=?? 从而 ()20 22 sin 0 z i C C i z e z dz z dz adae a i e d π θ π θθ-?====?? ??蜒 故()sin 0 z C z e z dz -?=?? 7. 计算积分2 1 (1) C dz z z +??,其中积分路径C 为 （1）11:2 C z = （2） 23 :2 C z = （3） 31:2 C z i += （4） 43:2 C z i -= 解：（1）在 1 2 z = 所围的区域内， 21 (1)z z +只有一个奇点0z =. 12 1 11111 ()2002(1) 22C C dz dz i i z z z z i z i ππ= -?-?=--=+-+?? 蜒（2）在2C 所围的区域内包含三个奇点 0,z z i ==±.故 22 1 11111()20(1) 22C C dz dz i i i z z z z i z i πππ= -?-?=--=+-+?? 蜒（3）在2C 所围的区域内包含一个奇点 z i =-,故 32 1 11111()00(1) 22C C dz dz i i z z z z i z i ππ= -?-?=--=-+-+??蜒（4）在4C 所围的区域内包含两个奇点 0,z z i ==,故

复变函数与积分变换 期末试卷及答案

华南农业大学期末考试试卷（A 卷） 2007－08 学年第1学期 考试科目： 复变函数与积分变换 考试类型：（闭卷） 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题2分，共30分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括 号内。错选、多选或未选均无分。 1．下列复数中，位于第三象限的复数是（ ） A. 12i + B. 12i -- C. 12i - D. 12i -+ 2．下列等式中，不成立的等式是（ ） 4 .34arctan 3 A i π-+-的主辐角为 .arg(3)arg()B i i -=- 2.rg(34)2arg(34)C a i i -+=-+ 2 .||D z z z ?= 3．下列命题中，正确．．的是（ ） A. 1z >表示圆的内部 B. Re()0z >表示上半平面 C. 0arg 4 z π << 表示角形区域 D. Im()0z <表示上半平面 4．关于0 lim z z z z ω→=+下列命题正确的是（ ） A.0ω= B. ω不存在 C.1ω=- D. 1ω= 5．下列函数中，在整个复平面上解析的函数是（ ） .z A z e + 2 sin . 1 z B z + .tan z C z e + .sin z D z e + 6．在复平面上，下列命题中，正确．． 的是（ ） A. cos z 是有界函数 B. 2 2Lnz Lnz = .cos sin iz C e z i z =+ . ||D z = 7．在下列复数中，使得z e i =成立的是（ ）

复变函数与积分变换 复旦大学出版社 习题六答案

习题六 1. 求映射1w z = 下，下列曲线的像. (1) 22x y ax += (0a ≠，为实数) 解：2 2 2 2 11i=+i i x y w u v z x y x y x y == = - +++ 2 2 1x x u x y ax a = == +, 所以1w z = 将22x y ax +=映成直线1u a =. (2) .y kx =(k 为实数) 解： 2 2 2 2 1i x y w z x y x y = =- ++ 2 22 2 2 2 x y kx u v x y x y x y = =- =- +++ v ku =- 故1w z = 将y kx =映成直线v ku =-. 2. 下列区域在指定的映射下映成什么？ （1）Im()0, (1i)z w z >=+； 解： (1i)(i )()i(+)w x y x y x y =+?+=-+ ,. 20.u x y v x y u v y =-=+-=-< 所以Im()Re()w w >. 故(1i)w z =+?将Im()0,z >映成Im()Re()w w >. (2) Re(z )>0. 00, 00. Im(w )>0. 若w =u +i v , 则 2 2 2 2 ,u v y x u v u v = = ++ 因为0 + 故i w z = 将Re(z )>0, 00,Im(w )>0, 12 12 w > (以（12 ,0）为圆心、12 为半径的圆) 3. 求w =z 2在z =i 处的伸缩率和旋转角，问w =z 2将经过点z =i 且平行于实轴正向的曲线的切线方向映成w 平面上哪一个方向？并作图.

积分变换习题解答2-2

2－2 1．求下列函数的Laplace 变换式： 1）()232f t t t =++. 解:由[]2 132!1232132m m m t s s s s s t t +????==++=++???? 及有L L L . 2)()1e t f t t =-. 解 ：[]() () 11 11 ,e e t t t t t s s s s --????= ==- ????2 2 2+1-1L L ,L 1-. 3)()()2 1e t f t t =-. 解： ()22-1e e 2e e t t t t t t t ????=-+???? L L () () () 2 3 2 3 2 2 145 .-1-1-1s s s s s s -+= - + = -1 5）()cos f t t at =. 解: 由微分性质有: [][]() 2 2 2 222 2 d d cos cos d d s s a t at at s s s a s a -?? =-=-= ? +?? +L L 6) ()5sin 23cos 2f t t t =- 解:已知[][]2 2 2 2 sin ,cos s t t s s ω ωωω ω= = ++L L ,则 []52 2 222103sin 23cos 25 34 4 4 s t t s s s --=-= +++L 8)()4e cos 4t f t t -=. 解: 由[]2 cos 416 t s +s = L 及位移性质有 42cos 4416 e t s t s -??=??++4（＋）L . 3．若()()f t F s ??=??L ，证明（象函数的微分性质）:

20xx年4月全国自考复变函数与积分变换试题及答案解析试卷及答案解析真题.doc

??????????????????????精品自学考 料推荐?????????????????? 全国 2018 年 4 月高等教育自学考试 复变函数与积分变换试题 课程代码： 02199 一、单项选择题 (本大题共 15 小题，每小题 2 分，共 30 分 ) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的， 请将其代码填写在题后的括 号内。错选、多选或未选均无分。 1．设 z=3+4i, ，则 Re z 2=( ) A ．-7 B ． 9 C ． 16 D ．25 2．下列复数中，使等式 1 =-z 成立的是 ( ) z A ． z=e 2 i B ． z=e i i 3 i D ． z= e 4 C ． z= e 2 3．设 0

工程数学积分变换答案

工程数学积分变换答案 【篇一：复变函数与积分变换是一门内容丰富】 建立和发展与解决实际问题的需要联系密切，其理论与方法被广泛 应用在自然科学的许多领域，是机械、电子工程、控制工程，理论 物理与流体力学，弹性力学等专业理论研究和实际应用中不可缺少 的数学工具。 课程包含2部分内容：向量分析与场论，复变函数论与积分变换。 本课程的目的，是使学生掌握向量分析与场论，复变函数论，积分 变换的基本理论、基本概念与基本方法，使学生在运用向量分析与 场论，复变函数论，积分变换的思想和方法解决实际问题的能力方 面得到系统的培养和训练,为在后 继专业课程和以后的实际工作打下良好的数学基础 向量分析与场论部分 第一章向量与向量值函数分析学时：4 几何向量，几何向量的加法、数乘、数量积、向量积，向量的混合 积与三重向量积，向量值函数的定义，向量值函数的加法、数乘、 复合、数量积运算，向量值函数的极限、连续，向量值函数的导数，向量值函数的体积分、曲线积分、曲面积分，高斯公式，斯托克斯 公式。 第二章数量场学时：2 数量场的等值面，数量场的方向导数、梯度的概念，哈米尔顿算子 的用法。 第三章数量场学时：6 向量场的向量线，向量场的通量，向量场的散度，向量场的环量， 向量场的环量面密度、向量场的旋度，向量场场函数的导数与向量 场的散度、旋度及数量场的梯度之间的关系。 第四章三种特殊形式的向量场学时：4 保守场，保守场的旋度，保守场的势函数，管形场，管形场的向量势，调和场，调和函数。 复变函数与积分变换部分 第一章：复数与平面点集学时：2 复数的直角坐标表示法，三角表示法，指数表示法。复数的模和辐角，复数的四则运算。平面区域，邻域，聚点，闭集，孤立点，边 界点，边界，连通集，区域，单连通区域，多连通区域。

《复变函数与积分变换》试题及答案.

年级专业： 教学班号： 学号： 姓名: 装订线 课程名称：复变函数与积分变换考试时间：110_分钟 课程代码：7100031试卷总分：100_分 一、计算下列各题（本大题共3小题，每小题5分，总计15分） 1 ; 2、； 3、' |和它的主值 二、（8分）设 '，函数 '■在?平面的哪些点可导？若可导， 求出在可导点的导数值。 三、（10分）证明为调和函数，并求出它的共轭调和函 数。 四、（25分，每小题各5分）计算下列积分: 的正向; -de + sin 0 5. 五、（10分）将函数 gm 在下列圆环域内分别展开为洛朗级数 1. 2. ；?伫一 15界 ^： M=i ? ? 的正向; 3. ，■: 的正向; 4. 们；＜：6山「： 的正向;

(1) (2) 六、（10）1、求将上半平面lm（z>0映射到单位圆域，且满足 arg r（n =匸 ■，的分式线性映射，。 I U-1"=—- 2、平面的区域恥环犬-.被映射映射到’平面的什么区域？ 「2 （f f（t）-- 七、（5分）求矩形脉冲函数〔° 曲我的傅氏变换。 八、（6分）求’1的拉普拉斯变换。 九、（5分）求的拉氏逆变换。 十、（6分）利用拉氏变换（其它方法不得分）求解微分方程： 一、参考答案及评分标准：（本大题共3小题，每小题5分，总计15分） 1、 * _ JT It & (1 - = ]6[oos( ——) + /sin( ——)] - m + + 4 4 =16(QDS(-2JT)-F /SII M -2?)) =16 (2) 3 3、

2 1 四、参考答案及评分标准：（每小题 5分，共25分） 由柯西-黎曼方程得： ' 即 '.所以’在 ’可导. 三、参考答案及评分标准：（10分） v^= 2-3?十3穴二…欣空二= “ &x J A 2 dy 得, 卩二 J(-6砂必=-3A y 十 g(y} - r 故 -?」；、’；J/' 二、参考答案及评分标准：（ 8 分) 解： ■ 异上F ，因为 dv ov =乩——= 0,——=2y Ex d 2u 沪 口 W C?j/ ，所以 为调和函数. 证明:

复变函数与积分变换试题及答案

复变函数与积分变换试题（一） 一、填空(3分×10) 1．)31ln(i --的模 ?? ,幅角 ?? 。 2．-8ｉ的三个单根分别为: , ， 。 3．Ln ｚ在 的区域内连续。 4．z z f =)(的解极域为：? ?? ? 。 5．xyi y x z f 2)(22+-=的导数=')(z f ? ??。 ６．=?? ? ???0,sin Re 3z z s ?? ?。 ７.指数函数的映照特点是：??? ? ?? ??。 8.幂函数的映照特点是: ? ?? ? ?。 9.若)(ωF =F [f (ｔ)]，则)(t f = F )][(1ω-f ?? ??。 10．若f （t )满足拉氏积分存在条件，则L ［f (t )]= ? ? 。 二、(10分) 已知222 1 21),(y x y x v +-=,求函数),(y x u 使函数),(),()(y x iv y x u z f +=为解 析函数,且ｆ(０)=0。 三、(1０分)应用留数的相关定理计算 ?=--2||6)3)(1(z z z z dz 四、计算积分（5分×２) 1．?=-2 ||) 1(z z z dz

2．? -c i z z 3 )(cos C :绕点i 一周正向任意简单闭曲线。 五、（10分）求函数) (1 )(i z z z f -= 在以下各圆环内的罗朗展式。 1．1||0<-

积分变换课后答案

1-1 1． 试证：若 ()f t 满足Fourier 积分定理中的条件，则有 ()()()d d 0 cos sin f t a t b t ωωωωωω+∞+∞ =+? ? 其中()()()()d d ππ11cos ,sin .a f b f ωτωττωτωττ+∞+∞ -∞-∞ ==?? 分析：由Fourier 积分的复数形式和三角形式都可以证明此题，请读者试 用三角形式证明. 证明：利用Fourier 积分的复数形式，有 ()()j j e e d π12t t f t f ωωτω+∞+∞--∞-∞??= ? ????? ()()j j d e d π11cos sin 2t f ωτωτωττω+∞+∞-∞-∞??=-???? ?? ()()()j j d 1cos sin 2 a b t t ωωωωω+∞ -∞??= -+??? 由于()()()(),,a a b b ωωωω=-=--所以 ()()()d d 11cos sin 22 f t a t b t ωωωωωω+∞+∞-∞-∞= +?? ()()d d 0 cos sin a t b t ωωωωωω+∞+∞ =+? ? 2．求下列函数的Fourier 积分： 1）()22 21,10,1t t f t t ?-≤?=?>??; 2) ()0, 0;e sin 2,0 t t f t t t -???为连续的偶函数，其Fourier 变换为 j 21()[()]()e d 2()cos d 2(1)cos d 00t F f t f t t f t t t t t t ωωωω-+∞ +∞?====-?-∞ ???F

复变函数与积分变换试题与答案

复变函数与积分变换试题与答案 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.设复数z 1cos i sin 33π π =++，则arg z=（ ） A.-3π B.6π C.3π D.23π 2.w=z 2将Z 平面上的实轴映射为W 平面的（ ） A.非负实轴 B.实轴 C.上半虚轴 D.虚轴 3.下列说法正确的是（ ） A.ln z 的定义域为 z>0 B.|sin z|≤1 C.e z ≠0 D.z -3的定义域为全平面 4.设C 为正向圆周|z|=1，n C sin z dz z ?=2π i ，则整数n 为（ ） A.-1 B.0 C.1 D.2 5.设C 为正向圆周|z|=2，则2C z dz z ?=（ ） A.-2πi B.0 C.2πi D.4πi 6.设C 为正向圆周|ξ|=2，f(z)=2C sin 6 d (z) π? ??-?，则f′(1)=（ ） A.-3 i 36 π B.3 i 36π 7.设n n n 0a z ∞ =∑n n n 0b z ∞=∑和n n n n 0 (a b )z ∞=+∑的收敛半径分别为R 1，R 2和R ，则（ ） A.R=R 1 B.R=min{R 1,R 2} C.R=R 2 D.R≥min{R 1,R 2} 8.罗朗级数n n n 1n 0n 0 1z z 2∞ ∞-==+∑∑的收敛域为（ ） A.|z|<1 B.|z|<2 C.1<|z|<2 D.|z|>2 9.已知sinz=n 2n 1 n 0(1)z (2n 1)!+∞=-+∑，则Res 4sin z ,0z ?? =????（ ） A.1 B.-1 3!

复变函数与积分变换答案马柏林、李丹横、晏华辉修订版,习题2

习题二 1. 求映射1w z z =+下圆周||2z =的像. 解：设i ,i z x y w u v =+=+则 2222221i i i i i()i x y x y u v x y x y x y x y x y x y x y -+=++=++=++-++++ 因为224x y +=,所以53i 44 u iv x y +=+ 所以 54u x = ,34 v y =+ 5344 ,u v x y == 所以()()2 253442u v +=即()()222253221u v +=，表示椭圆. 2. 在映射2w z =下，下列z 平面上的图形映射为w 平面上的什么图形，设e i w ?ρ=或i w u v =+. （1）π02,4r θ<<= ； （2）π02,04 r θ<<<<; (3) x=a, y=b .(a, b 为实数) 解：设222i ()2i w u v x iy x y xy =+=+=-+ 所以22,2.u x y v xy =-= (1) 记e i w ?ρ=，则π02,4 r θ<<=映射成w 平面内虚轴上从O 到4i 的一段，即 π04,.2 ρ?<<= (2) 记e i w ?ρ=，则π0,024r θ<<<<映成了w 平面上扇形域，即π04,0.2 ρ?<<<<

(3) 记w u iv =+，则将直线x =a 映成了22,2.u a y v ay =-=即2224().v a a u =-是以原点为焦点，张口向左的抛物线将y =b 映成了22,2.u x b v xb =-= 即2224()v b b u =+是以原点为焦点，张口向右抛物线如图所示 . 3. 求下列极限. (1) 2 1lim 1z z →∞+; 解：令1z t =,则,0z t →∞→. 于是2 22 01lim lim 011z t t z t →∞→==++. (2) 0Re()lim z z z →; 解：设z =x +y i ，则Re()i z x z x y =+有 000 Re()1lim lim i 1i z x y kx z x z x kx k →→=→==++ 显然当取不同的值时f (z )的极限不同 所以极限不存在. （3） 2lim (1) z i z i z z →-+； 解：2lim (1)z i z i z z →-+=11lim lim ()()() 2z i z i z i z i z z i z i z →→-==-+-+.

复变函数与积分变换试题B卷答案

临沂大学2010—2011学年第一学期 《复变函数与积分变换》试题（B 卷）答案 一、填空题（共8题，每空3分，共30分） 1．i i 2)1(+的值为2 ln )42 (i k e ++-ππ ，主值为2ln 2 i e +-π . 2． 3 arg 4 π π < =000 1)(t t t u ，则 =*)()(21t f t f )1(t e --)(t u 。 二、证明题（共1题，每题12分，共12分） 验证xy y x y x u 2),(22+-=是调和函数，并求以),(y x u 为实部的解析函 数)(z f ，使i i f 21)(+-=. 解：（1）02,2=+?-==yy xx yy xx u u u u 故),(y x u 是调和函数。 （2）利用C —R 条件，先求出),(y x v 的两个偏导数。 y x x u y v y x y u x v 2222+=??=??+-=??-=?? 则 C dy y x dx x y y x v y x +++-=?)22()22(),(),()0,0( ??+++-=x y C dy y x dx x 0 )22()2( C y xy x +++-=222 )2()2()(2222C y xy x i xy y x z f +++-++-= C i y i x i y i x ++-+=22)()( 2(1)i z iC =-+ 由 121121)(=?+-=+-?+-=C i iC i i i f 故 i z i z f +-=2)1()( 三、计算题（共4题，每题8分，共32分） 1．?C z dz z z e 2 sin ，C 为正向圆周2||=-i z . 解：令 z e z f z sin )(=，则由高阶求导公式得： 原式i z e z e i f i z z z πππ2|)cos sin (2)0(20=+='?==

复变函数与积分变换期末考试试卷及答案

一、单项选择题(本大题共15小题，每小题2分，共30分) 1．下列复数中，位于第三象限的复数是（ ） A. 12i + B. 12i -- C. 12i - D. 12i -+ 2．下列等式中，不成立的等式是（ ） 4.34arctan 3 A i π-+-的主辐角为 .arg(3)arg() B i i -=- 2.rg(34)2arg(34)C a i i -+=-+ 2 .||D z z z ?= 3．下列命题中，正确．．的是（ ） A. 1z >表示圆的内部 B. Re()0z >表示上半平面 C. 0arg 4 z π << 表示角形区域 D. Im()0z <表示上半平面 4．关于0 lim z z z z ω→=+下列命题正确的是（ ） A.0ω= B. ω不存在 C.1ω=- D. 1ω= 5．下列函数中，在整个复平面上解析的函数是（ ） .z A z e + 2 sin . 1 z B z + .tan z C z e + .s i n z D z e + 6．在复平面上，下列命题中，正确．． 的是（ ） A. cos z 是有界函数 B. 22Lnz Lnz = .cos sin iz C e z i z =+ . ||D z = 7．在下列复数中，使得z e i =成立的是（ ） .ln 223 i A z i ππ=++ .ln 423 i B z i ππ=++ .ln 226 C z i π π=++ .l n 426 D z i π π=++ 8．已知31z i =+，则下列正确的是（ ） 12.i A z e π= 34 .i B z π= 712 .i C z e π= 3.i D z π= 9．积分 ||34 2z dz z =-?的值为（ ） A. 8i π B.2 C. 2i π D. 4i π 10．设C 为正向圆周||4z =, 则10 ()z C e dz z i π-?等于（ ） A. 1 10! B. 210! i π C. 29! i π D. 29! i π- 11．以下关于级数的命题不正确的是（ ）