辽宁省营口市盖州市第二高级中学2021届高三第一学期期中考试试卷
辽宁省营口市盖州市第二高级中学2021届高三第一学期期
中考试数学试卷
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合2{|1}A x x ==，2{|20,}B x x x x =+-<∈Z ，则B A ?= ( ) A ．{1}-
B ．{1}
C ．{1,1}-
D ．{1,0,1}-
2．在复平面内，复数(2i)z -对应的点位于第二象限，则复数z 可取( ) A ．2
B ．1-
C ．i
D ．2i +
3．已知x ，y ∈R ，则“1x y +≤”是“12x ≤且1
2
y ≤”的( ) A ．充分且不必要条件 B ．必要且不充分条件 C ．充分且必要条件
D ．不充分也不必要条件
4．从3名男生和2名女生共5名同学中抽取2名同学，若抽到了1名女同学，则另1名女同学也被抽到的概率为 ( ) A ．
1
10
B ．18
C ．12
D ．17
5．5
1()2x x
-
的展开式中3x 的系数为 ( ) A ．52-
B ．5-
C ．5
D ．52
6．已知函数e e ()ln 2
x x
f x -+=，则( )
A ．()f x 是奇函数，且在(,)-∞+∞上单调递增
B ．()f x 是奇函数，且在(,)-∞+∞上单调递减
C ．()f x 是偶函数，且在(0,)+∞上单调递增
D ．()f x 是偶函数，且在(0,)+∞上单调递减
7．在△ABC 中，1
cos 3
A =，2A
B =，3B
C =，则△ABC 的面积为( )
A ．1
B ．2
C ．
D ．8．若1x =是函数3221
()(1)(3)3
f x x a x a a x =++-+-的极值点，则a 的值为( )
A ．2-
B ．3
C ．2-或3
D ．3-或2
二．选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。
9.在某次高中学科知识竞赛中，对4 000名考生的参赛成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，60分以下视为不及格，若同一组中数据用该组区间中间值作代表值，则下列说法中正确的是 ( )
A ．成绩在[70,80)的考生人数最多
B ．不及格的考生人数为1 000
C ．考生竞赛成绩的平均分约为70.5分
D ．考生竞赛成绩的中位数为75分
10.已知函数f (x )＝3cos (2x －π
3)(x ∈R )，下列结论错误的是( )
A ．函数f (x )的最小正周期为π
B ．函数f (x )的图象关于点(5π
6，0)对称
C ．函数f (x )在区间[0，π
2]上是减函数
D ．函数f (x )的图象关于直线x ＝π
6
对称
11．已知下列四个结论正确的是 ( ) A ．a >b ?ac >bc B ．函数y ＝sin x ＋4
sinx (0 C ．a >b >0，c >d >0?a d >b c D ．函数y ＝2－3x －4 x (x >0)的最大值为2－43 12．若函数f (x )在R 上可导，且满足f (x )－xf ′(x )>0，则下列命题正确的是( ) A ．3f (1) B ．3f (1)>f (3) C ．3f (3) D ．2f (2)>f (4) 第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 三．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。 13．若两个单位向量a ，b 的夹角为60?，则|2|-=a b ________． 14．学校组织学生参加社会调查，某小组共有3名男同学，4名女同学．现从该小组中选出3名同学分别到甲乙丙三地进行社会调查，若选出的同学中男女均有，则不同的安排方法有________． 15．已知θ是第四象限角，且tan (θ－π4)＝－43，则sin(θ＋π 4)＝______． 16．已知函数f (x )＝ln(x 3－3x )的单调递减区间为______． 四．解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.（本小题满分10分） 已知函数()sin()(0,)22f x x π πω?ω?=+>-<<的最小正周期是π，8 x π =是它图象的一条对称轴直线． （Ⅰ）求,ω?； （Ⅱ）若()2 f α = 04 π α-<<，求sin α的值． 18.（本小题满分12分） 商品的销售价格与销售量密切相关，为更精准地为商品确定最终售价，商家对商品A 按以下单价进行试售，得到部分的数据如下： （1）求销量y 关于x 的线性回归方程； （2）预计今后的销售中，销量与单价服从（1）中的线性回归方程，已知每件商品A 的成本是10元，为了获得最大利润，商品A 的单价应定为多少元？（结果保留整数） （参考数据： 5 1 275 i i y ==∑， 5 1 4648 i i i x y ==∑， 5 2 1 1455 i i x ==∑） （参考公式：()()( ) 1 12 2 21 1 n n i i i i i i n n i i i i x x y y x y nxy b x x x nx ====---= = --∑∑∑∑，a y bx =-）． 19．（本小题满分12分） 已知曲线2()(15)e x f x x ax =+-，曲线()y f x =在0x =处的切线为90x y b ++=． （1）求a ，b 值； （2）函数()f x 在区间[2 ，2]上的最大值与最小值． 20．（本小题满分12分） 司机在开机动车时使用手机是违法行为，会存在严重的安全隐患，危及自己和他人的生命. 为了研究司机开车时使用手机的情况，交警部门调查了100名机动车司机，得到以下统计： 在55名男性司机中，开车时使用手机的有40人，开车时不使用手机的有15人；在45名女性司机中，开车时使用手机的有20人，开车时不使用手机的有25人． （1）完成下面的22?列联表，并判断是否有99.5%的把握认为开车时使用手机与司机的性别有关； （2）以上述的样本数据来估计总体，现交警部门从道路上行驶的大量机动车中随机抽检3辆，记这3辆车中司机为男性且开车时使用手机的车辆数为X ，若每次抽检的结果都相互独立，求X 的分布列和数学期望()E X ． 参考公式与数据： 参考数据： 参考公式() ()()()()2 2n ad bc a b c d a c b d χ-= ++++，其中n a b c d =+++. 21.（本小题满分12分） 已知向量m ＝(cos x ，sin x )，n ＝(cos x ，3cos x )，x ∈R ，设函数f (x )＝m ·n ＋1 2. (1)求函数f (x )的解析式及单调递增区间； (2)设a ，b ，c 分别为△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，若f (A )＝2，b ＋c ＝22，△ABC 的面积为1 2，求a 的值． 22.（本小题满分12分） 已知关于x 的函数g （x ）=﹣a ln x （a ∈R ），f （x ）=x 2g （x ）． （1）当a =﹣2时，求函数g （x ）的单调区间； （2）若f （x ）在区间（，e ）内有且只有一个极值点，试求a 的取值范围． 参考答案 一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 二．选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。 三．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。 13 14.180种 15．3 5 16．(－1，0) 四．解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.（本小题满分10分） 解：（Ⅰ）由题意 2π πω =，2ω=， …………（2分） 直线8 x π = 是()f x 图象的一条对称轴，所以()18 f π =±， …………（3分） 即sin( )14 π ?+=±，()4 k k π ?π=+ ∈Z ， 因为22ππ?- <<，所以4 π ?=； …………（5分） （Ⅱ）因为()2 10f α = ，即sin()410 πα+=， 由04πα- <<得044 ππ α<+<， 所以cos()4 10 π α+ == ， 因此sin sin[()]44 π π αα=+ - …………（8分） sin()cos cos()sin 4444ππππ αα=+-+ 102102 = ?-? =． …………（10分） 18.（本小题满分12分） 解：（1） ()1 1516171819175x = ++++=， …………（2分） 5 1 127555 5i i y y ====∑， …………（4分） 212 2 1 464851755 2.71455517 n n i i i i i x x y nx y b nx ==--??∴= = =--?-∑∑， …………（6分） ()55 2.717100.9 a y bx ∴=-=--?=. …………（8分） ∴销量y 关于x 的线性回归方程为 2.7100.9y x =-+； …………（10分） （2）设商品A 的单价应定为x 元，则利润()2 2.7100.910 2.799.9w x x x x x =-+-=-+， ∴当 99.9 18.5195.4x =- =≈-时，获得的利润最大． …………（12分） 19.（本小题满分12分） 解：（1）2()[(2)15]e x f x x a x a '=+++-． 由题设(0)9f '=-，(0)f b =-，于是6a =，15b =． …………（6分） （2）由（1）知2()(615)e x f x x x =+-，()(1)(9)e x f x x x '=-+． 令()0f x '=得1x =或9x =-，其中1∈[2-，2]，9-?[2-，2]． 因为2(2)23e f --=-，(1)8e f =-，2(2)e f =，所以函数()f x 在区间[2-，2]上的最大值为 2e ，最小值为8e -． …………（12分） 20．（本小题满分12分） 解：（1）由已知数据可得22?列联表如下： ()2 2100402515208.2497.879 60405545 χ??-?= ≈???＞ ∴有99.5%的把握认为开车时使用手机与司机的性别有关…………（6分） （2）随机抽检1辆，司机为男性且开车时使用手机的概率 402 1005p = = 有题意可知：X 可取值是0,1,2,3，且 235X B ?? ???, ()0 3 032327055125P X C ????∴=== ? ?????；()1 2 132354155125P X C ????=== ? ? ?? ??； ()2 1 23 2336255125P X C ????=== ? ?????；()3 33238355125P X C ????=== ? ? ???? 则X 的分布列为： 数学期望()2 3 1.2 5E X =?=…………（12分） 21.（本小题满分12分） 解：(1)由题意知f (x )＝cos 2x ＋3sin x cos x ＋12＝sin (2x ＋π6)＋1，令2x ＋π6∈[－π2＋2k π，π 2＋2k π]， k ∈Z ，解得x ∈[－π3＋k π，π 6 ＋k π]，k ∈Z ， ∴函数f (x )的单调递增区间为[－π3＋k π，π 6＋k π]，k ∈Z . …………（6分） (2)∵f (A )＝sin (2A ＋π6)＋1＝2，∴sin (2A ＋π 6 )＝1.
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