盘点动点轨迹问题的基本图形

盘点动点轨迹问题的基本图形

动点轨迹问题是中考的重要压轴点.受学生解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该压轴点往往成为学生在中考中的一个坎，致使该压轴点成为学生在中考中失分的一个黑洞.掌握该压轴点的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径。本文就动点轨迹问题的基本图形作一详述，

动点轨迹基本类型为直线型和圆弧型.归纳一下，动点轨迹为直线型的有:①平面内到定直线的距离等于定长的点的轨迹是直线(线段);②平面内与定直线的夹角为定角的点的轨迹是直线(线段).动点轨迹是圆弧型的有:①平面内到一定点的距离为定长的点的轨迹是圆(圆弧);②平面内与两定点的张角是定角的点的轨迹是圆

一、直线型类型一

例1 如图1，已知半圆⊙O 的半径为2，初始位置与直线l 相切于点C ，直径AB 与直线l 平行，将半圆⊙O 在直线l 上无滑动地滚动至直径AB 与直线l 垂直，求圆心O 在此过程中形成的轨迹的长.

简解 ∵在滚动过程中⊙O 与直线l 相切，

∴圆心O 与直线l 的距离为半径长2，

∴圆心O 的轨迹是一线段，长度为

14圆弧长， 即弧长122 4

BC ππ=??=. 小结 此例因动点O 到定直线l 的距离为定长，所以基本图形为直线型类型一.这是动点轨迹入门级题目.

例2 如图2，已知线段6AB =，P 为线段AB 上一动点，分别以AP 、BP 为边在线段AB 的同侧作等边APC ?和等边BPD ?，连结CD ，取CD 得中点Q ，在点P 从A 点到B 点运动的过程中，求点Q 运动路径的长.

简解 过点C 作CM AB ⊥于M 点，过点D 作DN AB ⊥于N 点;

过点Q 作QG AB ⊥于G 点，则////QG CM DN .

则四边形CMND 是梯形，且QG 是中位线， ∴1()2

QG CM DN =+

1)2AP =

)AP BP =+

6QG =

=(定值). ∴点Q 运动路径是AB 上侧与AB 平行的一条线段.

通过点P 分别与点A 、点B 重合，运用极端法可知点Q 运动路径是以AB 为边的等边三角形的中位线，

∴Q 点轨迹的长度为132

AB =. 小结 此例因动点Q 到定直线AB 的距离为定长，所以基本图形为直线型类型一因动点较多，需抓住主动点P 对从动点Q 的制约作用以确定动点Q 的轨迹，继而运用极端法求得轨迹的长度.

二、直线型类型二

例3 如图3，已知ABC ?是边长为6的等边三角形，角平分线AD 交BC 于D 点，P 是直线AD 上一动点，连结CP ，以CP 为边向下作等边三角形PCQ ?，连结DQ ，求DQ 长度的最小值.

简解 连结BQ ，过点D 作DH BQ ⊥于H 点.

∵60ACB PCQ ∠=∠=?，

∴ACP BCQ ∠=∠.

又∵CA CB =，CP CQ =，

∴ACP BCQ ???，

∴30CBQ CAP ∠=∠=?，

即点Q 的轨迹为过B 点且与BC 成30°角的直线.

∴当DH BQ ⊥时的垂线段DH 即为所求的DQ 长度的最小，

∴在Rt BDH ?中求得min 1322

DQ DH BD ===. 小结 此例因动点Q 与定直线BC 的夹角为定角，所以基本图形为直线型类型二.须知当动点轨迹为直线时，定点与动点连线的最短距离为垂线段的长度.

例4 如图4，已知Rt ABC ?中点P 是边AC 所在直线上一动点，连结BP ，以BP 为斜边作等腰直角BPQ ?，点F 为边AC 上一定点且2CF =，连结FQ ，求FQ 长度的最小值.

简解 过点Q 作直线AC 的垂线，交AC 延长线于点N ，过点B 作BM NQ ⊥于点M .

易证得QMB PNQ ???，

∴BM NQ CN ==.

连结CQ ，则45QCN ∠=?

即点Q 的轨迹为过C 点且与CN 成45°角的直线，

∴当FH CQ ⊥时的FH 的长度即为所求FQ 最小值，

即min 22

FQ FH ===. 小结 此例因动点Q 与定直线AC 的夹角为定角，所以基本图形为直线型类型二.须知

图形中有等腰直角三角形存在时可运用构造全等三角形转移等量这一基本方法.

三、圆弧形类型一

例5 如图5，已知正方形ABCD 的边长为4，P 、Q 分别是边AB 、BC 上的动点，且4PQ =，M 是PQ 的中点，求DM 的最小值.

简解 连结BM . ∵114222

BM PQ =

=?=(定值)， ∴M 在以B 为圆心2BM =为半径的圆上， ∴当,,B M D 三点共线时DM 取最小值，

即最小值为2DM BD BM =-=.

小结 此例因动点M 与定点B 的距离为定长，所以基本图形为圆弧型类型一.须知圆外一点与圆上动点的最大距离为d r +，最小距离为d r -.

例6 如图6，正六边形ABCDEF 的边长为2，两顶点,A B 分别在x 轴和y 轴上运动.求顶点D 到原点O 的距离的最大值和最小值.

简解 取AB 中点P ，连结OP ，DP . ∵112

OP AB ==(定值)， ∴点P 是在以O 为圆心，112r AB =

=为半径的圆上.

又由Rt DBP ?，求得PD ==(定值)，

∴PD OP OD PD OP -≤≤+.

①当,,O P D 三点共线且P 在线段OD 上时，OD PD OP =+1;

②当,,O P D 三点共线且P 在线段DO 延长线上时，OD PD OP =-1. 小结 此例因动点P 与定点O 的距离为定长，所以基本图形为圆弧型类型一.须知两定长线段在共线时可求得折线最大长度为12d d +，最小值为12d d -.

四、圆弧型类型二

例7 如图，E 、F 是正方形ABCD 的边AD 上的两个动点，且满足AE DF =，连结CF 交BD 于点G ，连结BE 交AG 于点H .若正方形的边长为2，求线段DH 长度的最小值.

简解 易证得BAE CDF ???，

∴ABE DCF ∠=∠.

又GAD GCD ???，

∴GAD DCF ∠=∠，

∴ABE GAD ∠=∠.

∵90GAD BAH ∠+∠=?，

∴90ABE BAH ∠+∠=?，

即90BHA ∠=?(定角)，

∴点H 在以AB 的中点(设为O )为圆心，AB 为半径的圆(四分之一圆弧)上. 连结OD ，交⊙O 于P 点，

当点H 运动到点P 时，DH 取得最小值1OD OP -=.

小结 此例因动点H 与两定点A 、B 的张角为定角，所以基本图形为圆弧型类型二.由例5的方法可求得圆外一点与圆上动点的最小距离.

例8 如图8，以(0,1)G 为圆心，半径为2的圆与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 、

D 两点，点

E 为⊙G 上一动点，C

F AE ⊥于点F ，求当点E 从点B 出发顺时针运动到点D 时，点F 所经过的路径长.

简解 ∵90AFC ∠=? (定角)，

∴点F 在以AC 的中点(设为M )为圆心，

12

AC 为半径的圆上. 当点E 在B 点时，点F 在O 点; 当点E 在D 点时，点F 在A 点，

∴点F 所经过的路径为弧OA .

∵在Rt AOC ?中30ACO ∠=?，

∴260AMO ACO ∠=∠=?，

∴弧长602360OA π=?=. 小结 此例因动点F 与两定点A 、C 的张角为定角，所以基本图形为圆弧型类型二.由例2的极端法确定圆弧的起点和终点，从而求得路径圆弧长.

结束语构建基本图形形成解决问题的思维模式是初中几何教学的重要方法.本文就动点轨迹的基本图形作了比较系统的分类，为学生解决此类问题提供了一个可行的途径.但在实际教学中要注意防止过于固化而禁锢学生的思维，阻碍学生创造性思维、发散性思维的形成.

高中数学动点轨迹问题专题讲解

动点轨迹问题专题讲解 一．专题内容： 求动点(, )P x y 的轨迹方程实质上是建立动点的坐标, x y 之间的关系式，首先要分析形成轨迹的点和已知条件的内在联系，选择最便于反映这种联系的坐标形式，寻求适当关系建立等式，常用方法有： （1）等量关系法．．．．．：根据题意，列出限制动点的条件等式，这种求轨迹的方法叫做等量关系法，利用这种方法时，要求对平面几何中常用的定理和解析几何中的有关基本公式很熟悉． （2）定义法．．．：如果动点满足的条件符合某种已知曲线（如圆锥曲线）的定义，可根据其定义用待定系数法求出轨迹方程． （3）转移代入法．．．．．：如果所求轨迹上的点(, )P x y 是随另一个在已知曲线C ：(, )0F x y =上的动点00(, )M x y 的变化而变化，且00, x y 能用, x y 表示，即0(, )x f x y =，0(, )y g x y =，则将00, x y 代入已知曲线(, )0F x y =，化简后即为所求的轨迹方程． （4）参数法．．．：选取适当的参数（如直线斜率k 等），分别求出动点坐标, x y 与参数的关系式，得出所求轨迹的参数方程，消去参数即可． （5）交轨法．．．：即求两动直线交点的轨迹，可选取同一个参数，建立两动直线的方程，然后消去参数，即可（有时还可以由三点共线，斜率相等寻找关系）．

注意：轨迹的完备性和纯粹性！一定要检验特殊点和线！ 二．相关试题训练 （一）选择、填空题 1．（ ）已知1F 、2F 是定点，12||8F F =，动点M 满足12||||8MF MF +=，则动点M 的轨迹是 （A ）椭圆 （B ）直线 （C ）圆 （D ）线段 2．（ ）设(0,5)M ，(0,5)N -，MNP ?的周长为36，则MNP ?的顶点P 的轨迹方程是 （A ）22125169x y + =（0x ≠） （B ）22 1144169 x y +=（0x ≠） （C ） 22116925x y +=（0y ≠） （D ）22 1169144 x y +=（0y ≠） 3．与圆2240x y x +-=外切，又与y 轴相切的圆的圆心轨迹方程是 ； 4．P 在以1F 、2F 为焦点的双曲线22 1169 x y -=上运动，则12F F P ?的重心G 的轨迹方程是 ； 5．已知圆C ： 22(16x y +=内一点)A ，圆C 上一动点Q ， AQ 的垂直平

动点的轨迹问题

动点的轨迹问题 根据动点的运动规律求出动点的轨迹方程，这是解析几何的一大课题：一方面求轨迹方程的实质是将“形”转化为“数”，将“曲线”转化为“方程”，通过对方程的研究来认识曲线的性质；另一方面求轨迹方程是培养学生数形转化的思想、方法以及技巧的极好教材。该内容不仅贯穿于“圆锥曲线”的教学的全过程，而且在建构思想、函数方程思想、化归转化思想等方面均有体现和渗透。 轨迹问题是高考中的一个热点和重点，在历年高考中出现的频率较高，特别是当今高考的改革以考查学生创新意识为突破口，注重考查学生的逻辑思维能力，运算能力，分析问题和解决问题的能力，而轨迹方程这一热点，常涉及函数、三角、向量、几何等知识，能很好地反映学生在这些能力方面的掌握程度。 求轨迹方程的的基本步骤：建设现代化（检验） 建（坐标系）设（动点坐标）现（限制条件，动点、已知点满足的条件）代（动点、已知点坐标代入）化（化简整理）检验（要注意定义域“挖”与“补”） 求轨迹方程的的基本方法： 1．直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不 需要特殊的技巧，易于表述成含 x,y 的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法。 2．定义法：运用解析几何中一些常用定义（例如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发 直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程。 3.代入法：动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点 P（x,y）却随另一动点Q（x ' ， y ' ）的运动而有规律的运动，且动点 Q 的轨迹为给定或容易求得，则可先将 x ',y ' 表示为 x,y的式子，再代入 Q 的轨迹方程，然而整理得 P 的轨迹方程，代入法也称相关点法。 4.参数法：求轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量（参数），使 x,y 之间建立起联系，然而再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程。 5.交轨法：求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参数，例如求两动直线的交点时常用此法，也可以引入参数来建立这些动曲线的联系，然而消去参数得到轨迹方程。可以说是参数法的一种变种。 6.转移法：如果动点 P 随着另一动点 Q 的运动而运动，且 Q 点在某一已知曲线上运动，那么只需将 Q 点的坐标来表示，并代入已知曲线方程，便可得到 P 点的轨迹方程。

专题_解析几何中的动点轨迹问题

专题：解析几何中的动点轨迹问题 学大分教研中心 周坤 轨迹方程的探解析几何中的基本问题之一，也是近几年各省高考中的常见题型之一。解答这类问题，需要善于揭示问题的部规律及知识之间的相互联系。本专题分成四个部分，首先从题目类型出发，总结常见的几类动点轨迹问题，并给出典型例题；其次从方法入手，总结若干技法（包含高考和竞赛要求，够你用的了...）；然后，精选若干练习题，并给出详细解析与答案，务必完全弄懂；最后，回顾高考，列出近几年高考中的动点轨迹原题。OK ，不废话了，开始进入正题吧... Part 1 几类动点轨迹问题 一、动线段定比分点的轨迹 例1 已知线段AB 的长为5，并且它的两个端点A 、B 分别在x 轴和y 轴上滑动，点P 在段AB 上，(0)AP PB λλ=>，求点P 的轨迹。 ()()()00P x y A a B b 解：设，，，，，， ()( )0 11101a a x x y b b y λλλλλλλ+???=+=??? +??++?=??=? ?+? ， 2225a b +=代入 () () 2 2 2 2 2 1125y x λλλ +++ = () () 2 2 2 2 2 125 2511x y λλλ+ =++

2225 14 P x y λ=+= 当时，点的轨迹是圆；① 1P y λ>当时，点的轨迹是焦点在轴上的椭圆;② 01P x λ<<当时，点的轨迹是焦点在轴上的椭圆③； 例2 已知定点A(3,1),动点B 在圆O 224x y +=上,点P 在线段AB 上,且BP:PA=1:2,求点P 的轨迹的方程. ()()113P x y B x y AB BP =-解：设，，，，有 ()()()()11 33131313x x y y ?+-= ?+-? ? +-?=?+-? 11332 312 x x y y -?=??? -?=??化简即： 22114x y +=代入 22 3331422x y --???? += ? ????? 得 所以点P 的轨迹为()2 2 116139x y ? ?-+-= ?? ? 二、两条动直线的交点问题 例3 已知两点P （-1,3），Q （1,3）以及一条直线:l y x = AB 在l 上移动（点A 在B 的左下方），求直线PA 、QB 交点M 的轨迹的方程 ()()()11M x y A t t B t t ++解：设，，，，，， ()()1313PM x y PA t t =+-=+-，，，，

动点的轨迹问题

动点的轨迹问题 根据动点的运动规律求出动点的轨迹方程，这是解析几何的一大课题：一方面求轨迹方程的实质是将“形”转化为“数”，将“曲线”转化为“方程”，通过对方程的研究来认识曲线的性质；另一方面求轨迹方程是培养学生数形转化的思想、方法以及技巧的极好教材。该内容不仅贯穿于“圆锥曲线”的教学的全过程，而且在建构思想、函数方程思想、化归转化思想等方面均有体现和渗透。 轨迹问题是高考中的一个热点和重点，在历年高考中出现的频率较高，特别是当今高考的改革以考查学生创新意识为突破口，注重考查学生的逻辑思维能力，运算能力，分析问题和解决问题的能力，而轨迹方程这一热点，常涉及函数、三角、向量、几何等知识，能很好地反映学生在这些能力方面的掌握程度。 求轨迹方程的的基本步骤：建设现代化（检验） 建（坐标系）设（动点坐标）现（限制条件，动点、已知点满足的条件）代（动点、已知点坐标代入）化（化简整理）检验（要注意定义域“挖”与“补”） 求轨迹方程的的基本方法： 1．直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊的技巧，易于表述成含x,y 的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法。 2．定义法：运用解析几何中一些常用定义（例如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程。 3.代入法：动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点P(x,y)却随另一动点Q(x ’，y ’)的运动而有规律的运动，且动点Q 的轨迹为给定或容易求得，则可先将x ’,y ’表示为x,y 的式子，再代入Q 的轨迹方程，然而整理得P 的轨迹方程，代入法也称相关点法。 4.参数法：求轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量（参数），使x,y 之间建立起联系，然而再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程。 5.交轨法：求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参数，例如求两动直线的交点时常用此法，也可以引入参数来建立这些动曲线的联系，然而消去参数得到轨迹方程。可以说是参数法的一种变种。 6.转移法：如果动点P 随着另一动点Q 的运动而运动，且Q 点在某一已知曲线上运动，那么只需将Q 点的坐标来表示，并代入已知曲线方程，便可得到P 点的轨迹方程。 7.几何法：利用平面几何或解析几何的知识分析图形性质，发现动点运动规律和动点满足的条件，然而得出动点的轨迹方程。 8.待定系数法：求圆、椭圆、双曲线以及抛物线的方程常用待定系数法求。 9.点差法：求圆锥曲线中点弦轨迹问题时，常把两个端点设为),(),,(2211y x B y x A 并代入圆锥曲线方程，然而作差求出曲线的轨迹方程。 此部分内容主要考查圆锥曲线，圆锥曲线的定义是根本，它是相应标准方程和几何性质的“源”。对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识，“回归定义”是一种重要的解题策略。 二、注意事项： 1. 求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中，发现动点P 的运动规律，即P 点满足的等量关系，因此要学会动中求静，变中求不变。

立体几何中的动点轨迹问题讲解

立体几何中的动点轨迹问题讲解 这类问题在高考中并不常见，或者说在高考中出现得并不明显，但在用空间向量求二面角时偶尔会遇到一种题目，即需要用到的点并不是一个确定的点，而是在一个面上的动点，且这个点还满足一些特定的值或平面几何关系，此时需要根据条件确定出动点所在的轨迹，在每年高考前的模拟题中也会遇到这种题目，若在选填中，则一般位于压轴或次压轴位置，求几何体中动点的轨迹或者与轨迹求值相关的问题，在解析几何中满足条件的动点都会有特定的轨迹，动点绝不是乱点，在几何体中依旧如此。 这种题目做法和平面几何求轨迹方程类似，因为点在面内(非平面)，所求的轨迹一般有四种，即线段型，平面型，二次曲线型，球型，这四种情况没有过于明显的界限，知道就好，下列题目中就不再分门别类的去叙述了。 立体几何中与动点轨迹有关的题目归根到底还是对点线面关系的认知，其中更多涉及了平行和垂直的一些证明方法，在此类问题中要么很容易的看出动点符合什么样的轨迹(定义)，要么通过计算(建系)求出具体的轨迹表达式，和解析几何中的轨迹问题并没有太大区别。 题目中可以找到与AM垂直且包含OP的平面，这样动点P的轨迹就知道了，从O点向底面作垂线，垂足为O'，连接BO',可知AM⊥平面OO'B，即可得知P的轨迹。

但题目是在规则的正方体中，直线OP和AM为异面直线，两者成90°的特殊角度，根据射影法求异面直线的夹角方法，我们只需确定出OP在底面上的投影位置即可。 与上题类似，需要找到一个与BD1垂直且包含AP的平面，根据三垂线定理可知BD1⊥AC，BD1⊥AB1，所以BD1⊥平面ACB1，平面ACB1与有侧面的交线为B1C，所以点P的轨迹为线段B1C

最新圆锥曲线轨迹问题(教师版)

第四讲 有关圆锥曲线轨迹问题（教师版） 根据动点的运动规律求出动点的轨迹方程，这是解析几何的一大课题：一方面求轨迹方程的实质是将“形”转化为“数”，将“曲线”转化为“方程”，通过对方程的研究来认识曲线的性质；另一方面求轨迹方程是培养学生数形转化的思想、方法以及技巧的极好教材。该内容不仅贯穿于“圆锥曲线”的教学的全过程，而且在建构思想、函数方程思想、化归转化思想等方面均有体现和渗透。 求轨迹方程的的基本步骤：建设现代化（检验） 建（坐标系）设（动点坐标）限（限制条件，动点、已知点满足的条件）代（动点、已知点坐标代入）化（化简整理）检验（要注意定义域“挖”与“补”） 求轨迹方程的的基本方法：直接法、定义法、相关点法、参数法、交轨法、向量法等。 1．直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊的技巧，易于表述成含x,y 的等式，就得到轨迹方程，这 种方法称之为直接法； 例1、已知直角坐标系，点Q （2，0），圆C 方程为 12 2=+y x ，动点M 到圆C 的切线长与 MQ 的比等于常数)0(>λλ，求动点M 的轨迹。 【解析】设MN 切圆C 于N ，则 2 22ON MO MN -=。),(y x M ,则 2 222)2(1y x y x +-=-+λ化简得 0)41(4))(1(2 2222=++-+-λλλx y x 当1=λ时，方程为54x =，表示一条直线。 当1≠λ时，方程化为2 2 22 222)1(31)12(-+=+--λλλλy x 表示一个圆。 【练习】如图，圆1O 与圆2O 的半径都是1，124O O =. 过动点P 分别作圆2O 、圆2O 的切线PM PN ， （M N ，分别为切点），使得2PM PN =. 试建立适当的坐标系，并求动点P 的轨迹方程. 【解析】以12O O 的中点O 为原点，12O O 所在直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则1(20)O -， ，2(20)O ，. 由已知2PM PN =，得222PM PN =. 因为两圆半径均为1，所以 22 1212(1)PO PO -=-. 设()P x y ，，则2222(2)12[(2)1]x y x y ++-=-+-， 即22(6)33x y -+=.(或221230x y x +-+=) y x Q M N O

动点问题中的最值、最短路径问题(解析版)

专题01 动点问题中的最值、最短路径问题 动点问题是初中数学阶段的难点，它贯穿于整个初中数学，自数轴起始，至几何图形的存在性、几何图形的长度及面积的最值，函数的综合类题目，无不包含其中. 其中尤以几何图形的长度及面积的最值、最短路径问题的求解最为繁琐且灵活多变，而其中又有一些技巧性很强的数学思想（转化思想），本专题以几个基本的知识点为经，以历年来中考真题为纬，由浅入深探讨此类题目的求解技巧及方法. 一、基础知识点综述 1. 两点之间，线段最短； 2. 垂线段最短； 3. 若A、B是平面直角坐标系内两定点，P是某直线上一动点，当P、A、B在一条直线上时，PA PB 最大，最大值为线段AB的长（如下图所示）； （1）单动点模型 ~ 作图方法：作已知点关于动点所在直线的对称点，连接成线段与动点所在直线的交点即为所求点的位置. 如下图所示，P是x轴上一动点，求PA+PB的最小值的作图.

P是∠AOB内一点，M、N分别是边OA、OB上动点，求作△PMN周长最小值. 作图方法：作已知点P关于动点所在直线OA、OB的对称点P’、P’’，连接P’P’’与动点所在直线的交点M、N即为所求. O 5. 二次函数的最大（小）值 ()2 y a x h k =-+，当a>0时，y有最小值k；当a<0时，y有最大值k. 二、主要思想方法 利用勾股定理、三角函数、相似性质等转化为以上基本图形解答. （详见精品例题解析） ~ 三、精品例题解析 例1. （2019·凉山州）如图，正方形ABCD中，AB=12，AE=3，点P在BC上运动（不与B、C重合），过点P作PQ⊥EP，交CD于点Q，则CQ的最大值为

动点轨迹问题

专题动点轨迹问题 ——直线、圆弧型路径 自查: (2018 广州25题)如图12,在四边形ABCD中,∠B＝60°,∠D＝30°,AB＝B C、 (1)求∠A＋∠C得度数; (2)连接BD,探究AD,BD,CD三者之间得数量关系,并说明理由; (3)若AB＝1,点E在四边形ABCD内部运动,且满足,求点E运动路径得长度、 一．几何模型 (1) 直线型路径 ①【定距离判断直线型路径】 当某一动点到某条直线得距离不变时,该动点得路径为直线、 ②【定角度判断直线型路径】 当某一动点与定线段得一个端点连接后所成得角度不变,该动点得路径为直线、 (2)圆弧型路径 ①【用一中同长定圆】 到定点得距离等于定长得点得集合就是圆、 ②【用定弦对定角定圆】 当某条边与该边所对得角就是定值时,该角得顶点得路径就是圆弧、 二．典例分析 例1如图,矩形ABCD中,AB=6,AD=8,点E在边AD上,且AE:ED=1:3.动点P从点A出发,沿AB 运动到点B停止.过点E作EF⊥PE交射线BC于点F,设M就是线段EF得中点,则在点P运动得整个过程中,点M运动路线得长为、 例2如图,△ABC与△ADE都就是等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90°,AB=AC=2,O为AC中点,若点D在直线BC 上运动,连接OE,则在点D运动过程中,线段OE得最小值就是为、 例3如图,在等腰Rt△ABC中,AC=BC=,点P在以斜边AB为直径得半圆上,M为PC得中点,当点P沿半圆从点A 运动至点B时,点M运动得路径长就是、 例4 在正方形ABCD中,AD=2,点E从点D出发向终点C运动,点F从C出发向终点B运动,且始终保持DE=CF、连接AE,DF交于点P,则点P运动得路径长就是、 三、巩固练习 1、如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,点D就是平面内得一个动点,且AD=2,M为BD得中点,在D点运动过程中,线段CM长度得取值范围就是、 1题图 2题图 3题图 2.如图,等边三角形ABC中,BC=6,D、E就是边BC上两点,且BD=CE=1,点P就是线段DE上得一个动点,过点P分别作AC、AB得平行线交AB、AC于点M、N,连接MN、AP交于点G,则点P由点D移动到点E得过程中,线段BG扫过得区域面积为、

一类动点轨迹问题的探求---“阿波罗尼斯圆”

一类动点轨迹问题的探求 专题来源：学习了“椭圆的标准方程”后，对于，我们可以进一步研究： 2PA PB a +=，各自的轨迹方程如何？ 2,2, 2PA PA PB a PA PB a a PB -=== 引例：已知点与两定点的距离之比为，那么点的坐标应满足什(,)M x y (0,0),(3,0)O A 1 2 M 么关系？（必修2 P103 探究·拓展） 探究 已知动点与两定点、的距离之比为，那么点的轨迹是什么？ M A B (0)λλ>M 背景展示 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一 类题1： (1994,全国卷) 已知直角坐标平面上点Q (2，0)和圆C ：x 2+y 2=1，动点M 到圆C 的切线长与|MQ |的比等于常数λ(λ>0).求动点M 的轨迹方程，说明它表示什么曲线. 本小题考查曲线与方程的关系，轨迹概念等解析几何的基本思想以及综合运用知识的能力. 解：如图，设MN 切圆于N ，则动点M 组成的集合是 P={M ||MN |=λ|MQ |}，式中常数λ>0. ——2分 因为圆的半径|ON |=1，所以|MN |2=|MO |2－|ON |2=|MO |2－1. ——4分 设点M 的坐标为(x ，y )，则 ——5分 ()222 2 21y x y x +-=-+λ整理得(λ2－1)(x 2+y 2 )－4λ2x +(1+4λ2)=0. 经检验，坐标适合这个方程的点都属于集合P .故这个方程为所求的轨迹方程. ——8分

动点轨迹问题(基础教育)

专题 动点轨迹问题 —— 直线、圆弧型路径 自查： （2018 广州25题）如图12，在四边形ABCD 中，∠B ＝60°，∠D ＝30°，AB ＝B C . （1）求∠A ＋∠C 的度数； （2）连接BD ，探究AD ，BD ，CD 三者之间的数量关系，并说明理由； （3）若AB ＝1，点E 在四边形ABCD 内部运动，且满足2 2 2 +CE AE BE ，求点E 运动路径的长度.

一．几何模型 （1）直线型路径 ①【定距离判断直线型路径】 当某一动点到某条直线的距离不变时，该动点的路径为直线. ②【定角度判断直线型路径】 当某一动点与定线段的一个端点连接后所成的角度不变，该动点的路径为直线. （2）圆弧型路径 ①【用一中同长定圆】 到定点的距离等于定长的点的集合是圆. ②【用定弦对定角定圆】 当某条边与该边所对的角是定值时，该角的顶点的路径是圆弧. 二．典例分析 例1如图，矩形ABCD中，AB=6，AD=8，点E在边AD上，且AE：ED=1：3．动点P从点A出发，沿AB 运动到点B停止．过点E作EF⊥PE交射线BC于点F，设M是线段EF的中点，则在点P运动的整个过程中，点M运动路线的长为 .

例2如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC=2，O为AC中点，若点D在直线BC上运动，连接OE，则在点D运动过程中，线段OE的最小值是为 . 2，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点，当点P沿半例3如图，在等腰Rt△ABC中，AC=BC=2 圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是 . 例4 在正方形ABCD中，AD=2，点E从点D出发向终点C运动，点F从C出发向终点B运动，且始终保持DE=CF.连接AE，DF交于点P，则点P运动的路径长是 .

专题四：求动点轨迹方程5种方法(解析版)

专题四：求动点轨迹方程5种方法（解析版） 一、直接法 步骤：1、建立恰当的坐标系，设动点坐标()y x ，； 2、由已知条件列出几何等量关系式，建立关于y x ，的方程()0=y x f ，； 3、化简整理； 4、检验，检验点轨迹的纯粹性与完备性。 [例1] 已知圆O 的方程是022 2 =-+y x ，圆O '的方程是01082 2 =+-+x y x ，如图所示。由动点P 向圆O 和圆O '所引的切线长相等，求动点P 的轨迹方程。 【解析】 设()y x P ，，由圆O 的方程为：22 2 =+y x ，圆O '的方程为 ()6422=+-y x 。由已知得BP AP =，所以22BP AP =， 所以2222B O P O OA OP '-'=-，则622 2-'=-P O OP 。 所以()6422 2 22-+-=-+y x y x ，化简得2 3= x 。 所以动点P 的轨迹方程为2 3=x 。 [练习1] 已知平面上两定点()20-， M ，()20，N ，点P 满足MN PN MN MP ?=?，求点P 的轨迹方程。 【解析】 设()y x P ，，则()2+=y x MP ，，()40，=MN ，()y x PN --=2，，因为MN PN MN MP ?=?，所以 ()()222424y x y -+=+，所以()2222y x y -+=+。 两端同时平方得：2 2 2 4444y y x y y +-+=++，整理得：y x 82 =。 所以点P 的轨迹方程为y x 82 = 二、定义法 步骤：1、分析几何关系； 2、由曲线的定义直接得出轨迹方程。

探求动点轨迹 破解最值问题

探求动点轨迹 破解最值问题 最值问题是近几年中考的热点与难点之一，尤其是一类线段的最值问题备受命题人青睐.这类线段有以下特点:线段的一个端点为定点，另一个端点为动点.解决此类问题的关键是构建动点的轨迹(直线型、曲线型).下面，笔者略举数例加以说明. 一、直线型轨迹 当动点在线段、射线、直线上运动时，则称动点轨迹为直线型，这样的动点主要有三类:定线定距离、定线定夹角、定点等距离。此时可将“点点距离”转化为“点线距离”，利用“垂线段最短”求解最值. 1.定线定距离 例1 ( 2019年泰安中考题)如图1，矩形ABCD 中，4,2,AB AD E ==为AB 的中点，F 为EC 上一动点，P 为DF 中点，连结PB ，则PB 的最小值是( ) (A)2 (B)4 (D) 分析如图1，过点P 作PQ CE ⊥交CE 于点Q ，可证PQF DEF ??:，于是 1 2 PQ DE ==可知点P 到CE ，即点P 在平行于CE 的直线l 上运动.故线段PB 的最小值转化为点B 到直线l 的垂线段BM 的长(如图2)， BM = 评注若动点P 到定直线l 的距离为定值，则动点P 的轨迹是平行于l 的直线. 2.定线定夹角 例2 如图3，在矩形ABCD 中，3AB =，30DCA ∠=?，点F 是对角线AC 上的一个动点，连结DF ，以DF 为斜边作30DFE ∠=?的直角三角形DEF ，使点E 和点A 位于DF 两侧，点F 从点A 到点C 的运动过程中，则CE 的最小值是 . 分析 如图4，以AD 为斜边作30DAG ∠=?的Rt DAG ?，连接EG .因为

1 2 DE DG DF AD ==，EDG FDA ∠=∠，所以EDG FDA ??:，故60DGE DAF ∠=∠=?.可知动点E 在与DG 成60?夹角的射线GE 上运动，CE 的最小值转化为点C 到该射线的垂线段CH 的长(如图5)。 易得AD = DG = ，34DH =，所以94 CH =. 评注 若动点P 与定线段AB 形成的PAB ∠为定值，则动点P 的轨迹是一条射线. 3.定点等距离 例3 如图6，在平面直角坐标系中，已知(2,4)A ，(1,0)P ，B 为y 轴上的动点，以AB 为边构造ABC ?，使点C 在x 轴上，90BAC ∠=?. M 为BC 的中点，则PM 的最小值为 . 分析 如图7，连结,AM OM .在Rt OBC ?中，90BOC ∠=?，M 为BC 的中点，则 12OM BC = .同理1 2 AM BC =，所以OM AM =.可知动点M 的运动轨迹是线段AO 的垂直平分线l ，故PM 的最小值是点P 到l 的垂线段PN 的长(如图8).

高中数学动点轨迹问题专题讲解

动点轨迹问题专题讲解 一．专题容： 求动点(, )P x y 的轨迹方程实质上是建立动点的坐标, x y 之间的关系式，首先要分析形成轨迹的点和已知条件的在联系，选择最便于反映这种联系的坐标形式，寻求适当关系建立等式，常用方法有： （1）等量关系法．．．．．：根据题意，列出限制动点的条件等式，这种求轨迹的方法叫做等量关系法，利用这种方法时，要求对平面几何中常用的定理和解析几何中的有关基本公式很熟悉． （2）定义法．．．：如果动点满足的条件符合某种已知曲线（如圆锥曲线）的定义，可根据其定义用待定系数法求出轨迹方程． （3）转移代入法．．．．．：如果所求轨迹上的点(, )P x y 是随另一个在已知曲线C ：(, )0F x y =上的动点00(, )M x y 的变化而变化，且00, x y 能用, x y 表示，即0(, )x f x y =，0(, )y g x y =，则将00, x y 代入已知曲线(, )0F x y =，化简后即为所求的轨迹方程． （4）参数法．．．：选取适当的参数（如直线斜率k 等），分别求出动点坐标, x y 与参数的关系式，得出所求轨迹的参数方程，消去参数即可． （5）交轨法．．．：即求两动直线交点的轨迹，可选取同一个参数，建立两动直线的方程，然后消去参数，即可（有时还可以由三点共线，斜率相等寻找关系）． 注意：轨迹的完备性和纯粹性！一定要检验特殊点和线！ 二．相关试题训练 （一）选择、填空题 1．（ ）已知1F 、2F 是定点，12||8F F =，动点M 满足12||||8MF MF +=，则动点M 的轨迹是 （A ）椭圆 （B ）直线 （C ）圆 （D ）线段 2．（ ）设(0,5)M ，(0,5)N -，MNP ?的周长为36，则MNP ?的顶点P 的轨迹方程是 （A ） 22125169x y +=（0x ≠） （B ）22 1144169 x y +=（0x ≠） （C ） 22116925x y +=（0y ≠） （D ）22 1169144 x y +=（0y ≠） 3．与圆2 2 40x y x +-=外切，又与y 轴相切的圆的圆心轨迹方程是 ； 4．P 在以1F 、2F 为焦点的双曲线 22 1169 x y -=上运动，则12F F P ?的重心G 的轨迹方程是 ； 5．已知圆C ：22 (16x y +=一点()A ，圆C 上一动点Q ， AQ 的垂直平

(完整版)立体几何中的轨迹问题(总结+讲义+练习),推荐文档

立体几何中的轨迹问题 在立体几何中，某些点、线、面依一定的规则运动，构成各式各样的轨迹，探求空间轨迹与求平面轨迹类似，应注意几何条件，善于基本轨迹转化．对于较为复杂的轨迹，常常要分段考虑，注意特定情况下的动点的 位置，然后对任意情形加以分析判定，也可转化为平面问题．对每一道轨迹命题必须特别注意轨迹的纯粹性与 完备性． 立体几何中的最值问题一般是指有关距离的最值、角的最值或面积的最值的问题．其一般方法有： 1、几何法：通过证明或几何作图，确定图形中取得最值的特殊位置，再计算它的值； 2、代数方法：分析给定图形中的数量关系，选取适当的自变量及目标函数，确定函数解析式，利用函数 的单调性、有界性，以及不等式的均值定理等，求出最值． 轨迹问题 【例1】如图，在正四棱锥S－ABCD 中，E 是BC 的中点，P 点在侧面△ SCD 内及其边界上运动，并且总是保持PE ⊥AC．则动点P 的轨迹与△SCD 组 成的相关图形最有可能的是( ) A.B．C． 解析：如图，分别取CD、SC 的中点F、G，连结EF、EG、FG、BD．设AC 与BD 的交点为O，连结SO，则动点P 的轨迹是△SCD 的中位线FG．由正四棱锥可得SB⊥AC，EF⊥AC．又∵EG∥SB ∴EG⊥AC ∴AC⊥平面EFG， ∵P∈FG，E∈平面EFG， ∴AC⊥PE． 另解：本题可用排除法快速求解．B 中P 在D 点这个特殊位置，显然不满足PE ⊥AC；C 中P 点所在的轨π 迹与CD 平行，它与CF 成4角，显然不满足PE ⊥AC；D 于中P 点所在的轨迹与CD 平行，它与CF 所成的角 为锐角，显然也不满足PE ⊥AC． 评析：动点轨迹问题是较为新颖的一种创新命题形式，它重点体现了在解析几何与立体几何的知识交汇处 设计图形．不但考查了立体几何点线面之间的位置关系，而且又能巧妙地考查求轨迹的基本方法，是表现最为 活跃的一种创新题型．这类立体几何中的相关轨迹问题，如“线线垂直”问题，很在程度上是找与定直线垂直的 平面，而平面间的交线往往就是动点轨迹． 【例2】(1)如图，在正四棱柱ABCD —A 1 B1C1D1中，E、F、G、H 分别是CC1、C1D1、DD1、DC 的中点，N 是BC 的中点，点M 在四边形EFGH 及其内部运动，则M 满足时，有MN∥平面B1BDD1． (2)正方体ABCD —A1B1C1D1中，P 在侧面BCC1B1及其边界上运动，且总保持AP⊥BD1，则动点P 的轨迹是线段B1C ． (3)正方体ABCD —A1B1C1D1中，E、F 分别是棱A1B1，BC 上的动点，且A1E=BF，P 为EF 的中点，则点P 的轨迹是线段MN(M、N 分别为前右两面的中心)． (4)已知正方体ABCD —A1B1C1D1的棱长为1，在正方体的侧面BCC1B1上到点A 距离为的点的集合形成一条曲线，那么这条曲线的形状是，它的长度是． A (1) C1 A E C (2) 1 A1 (3) 1 C1 A C (4) 若将“在正方体的侧面BCC 1 B1上到点A 距离为的点的集合”改为“在正方体表面上与点A 距离为的 点的集合”那么这条曲线的形状又是，它的长度又是． B

动点的轨迹问题

动点的轨迹问题

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动点的轨迹问题 根据动点的运动规律求出动点的轨迹方程，这是解析几何的一大课题:一方面求轨迹方程的实质是将“形”转化为“数”，将“曲线”转化为“方程”,通过对方程的研究来认识曲线的性质；另一方面求轨迹方程是培养学生数形转化的思想、方法以及技巧的极好教材。该内容不仅贯穿于“圆锥曲线”的教学的全过程，而且在建构思想、函数方程思想、化归转化思想等方面均有体现和渗透。 轨迹问题是高考中的一个热点和重点，在历年高考中出现的频率较高，特别是当今高考的改革以考查学生创新意识为突破口,注重考查学生的逻辑思维能力,运算能力,分析问题和解决问题的能力,而轨迹方程这一热点，常涉及函数、三角、向量、几何等知识,能很好地反映学生在这些能力方面的掌握程度。 求轨迹方程的的基本步骤：建设现代化(检验） 建(坐标系)设（动点坐标)现（限制条件,动点、已知点满足的条件）代(动点、已知点坐标代入）化（化简整理)检验（要注意定义域“挖”与“补”) 求轨迹方程的的基本方法： １．直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系,这些条件简单明确,不需要特殊的技巧,易于表述成含x,ｙ的等式,就得到轨迹方程,这种方法称之为直接法。 2．定义法:运用解析几何中一些常用定义（例如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发直接写出轨迹方程,或从曲线定义出发建立关系式,从而求出轨迹方程。 3.代入法：动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点Ｐ(ｘ,ｙ)却随另一 动点Q(x’，y’)的运动而有规律的运动，且动点Q的轨迹为给定或容易求得，则可先将ｘ’,ｙ’表示为x，y的式子，再代入Ｑ的轨迹方程，然而整理得P的轨迹方程，代入法也称相关点法。 4.参数法:求轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标、纵坐标之间的关系,则可借助中 间变量（参数）,使x,y之间建立起联系,然而再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程。 ５.交轨法：求两动曲线交点轨迹时,可由方程直接消去参数,例如求两动直线的交点时常用此法,也可以引入参数来建立这些动曲线的联系，然而消去参数得到轨迹方程。可以说是参数法的一种变种。 6.转移法:如果动点P随着另一动点Ｑ的运动而运动,且Q点在某一已知曲线上运动，那

高中数学 轨迹问题专题

轨迹问题专题 一.综述 (一)求动点的轨迹方程的基本步骤: ⒈依据题目建立适当的坐标系，设出动点M （x ,y ）的坐标. ⒉写出点M 的集合(几何关系）. ⒊将几何关系转化为代数关系,列出方程f (x ,y )=0,化简方程为最简形式. 4.检验特殊点,进行必要的文字说明. (二)高考中常见的求轨迹方程的方法有: 1.直译法与定义法, 2.相关点法; 3.参数法; 4.交轨法 (三)求轨迹方程一般以解答题第一问的形式出现,偶尔也会在小题中考查. 二.例题精讲 破解规律 例1. 设圆的圆心为A ，直线l 过点B （1,0）且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E .证明为定值，并写出点E 的轨迹方程. 分析: 题目中要求证明为定值,容易知道, E 的轨迹是椭圆,根据条件求出相关的参数即可. 222150x y x ++-=EA EB +EA EB +

点评:平面几何相关知识是解决本题的关键,平时学习中要加以重视. 规律总结: (1)直译法求轨迹方程:题目给出的条件可以直接得到一个关于动点坐标的关系式,化简即可. (2)定义法求轨迹方程:轨迹方程问题中,若能得到与我们所学过的圆锥曲线定义相符的结论,可以根据相应圆锥曲线的定义求出相关的参数,从而得到方程. (3)定义法求轨迹方程本质上还是直译法,只是我们利用了直译法得到的结论. 现学现用1:如图，矩形中， 且, 交于点.若点的轨迹是曲线的一部分，曲线关于轴、轴、原点都对称,求曲线的轨迹方程. 例2. 已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动.求线段的中点的轨迹的方程； 规律总结:相关点法求轨迹方程: 题中涉及了两个动点N 、M ,且点N 的运动是有规律的(轨迹方程已知)，而M 的运动是由N 的运动而引发的，这样的题目可采用相关点法求动点M 的轨迹方程.基本方法是设M 的坐标,再反解出N 的坐标,然后带入N 所在曲线的轨迹方程,整理即可. 现学现用2: 设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：上，过M 做x 轴ABCD ()()()()2,0,2,0,2,2,2,2A B C D --,AM AD DN DC λλ==u u u u v u u u v u u u v u u u v []0,1,AN λ∈BM Q Q P P x y P AB B ()6,5A ()()22 1:434C x y -+-=AB P 2C 2212 x y +=

专题08 动点类题目旋转问题探究(解析版)

专题08 动点类题目旋转问题探究 题型一：旋转问题中三点共线问题 例1．（2019?绍兴）如图1是实验室中的一种摆动装置，BC在地面上，支架ABC是底边为BC的等腰直角三角形，摆动臂AD可绕点A旋转，摆动臂DM可绕点D旋转，AD=30，DM=10. （1）在旋转过程中， ①当A、D、M三点在同一直线上时，求AM的长. ②当A、D、M三点为同一直角三角形的顶点时，求AM的长. （2）若摆动臂AD顺时针旋转90°，点D的位置由△ABC外的点D1转到其内的点D2处，连接D1D2，如图2，此时∠AD2C=135°，CD2=60，求BD2的长. 【分析】（1）①根据点D及M的运动轨迹为圆，根据位置关系判断出点A、D、M三点在同一直线上时有两种情况，点D在A与M之间或点M在A与D之间；②由题意知D、M均可能为直角顶点，分类讨论求解；（2）由题意知△AD1D2是等腰直角三角形，连接CD1，△ABD2≌△ACD1，由∠D1D2C=90°，利用勾股定理求得CD1的值，即为BD2的值. 【答案】见解析. 【解析】解：（1）①点D在A与M之间时，AM=AD+DM=30+10=40. 点M在A与D之间时，AM=AD－DM=30－10=20. ②当∠ADM=90°时， 由勾股定理得AM = 当∠AMD=90°时， 由勾股定理得AM = D D M

（2）∵摆动臂AD 顺时针旋转90°，点D 的位置由△ABC 外的点D 1转到其内的点D 2处， ∴AD 1=AD 2，∠D 1AD 2=90°， ∴∠AD 1D 2=∠AD 2D 1=45°，D 1D 2=∵∠AD 2C =135°， ∴∠D 1D 2C =90°， 连接D 1C ，如下图所示， ∵∠BAD 2+∠D 2AC =∠CAD 1+∠D 2AC =90°， ∴∠BAD 2=∠CAD 1 ∵AB =AC ，AD 2=AD 1， ∴△ABD 2≌△ACD 1 ∴BD 2= CD 1 在Rt △D 1D 2C 中，由勾股定理得：D 1C =. 题型二：旋转与全等及直角三角形存在性问题 例2．（2019?金华）如图，在等腰Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AB =点D ，E 分别在边AB ，BC 上，将线段ED 绕点E 按逆时针方向旋转90°得到EF . （1）如图1，若AD=BD ，点E 与点C 重合，AF 与DC 相交于点O ,求证：BD=2DO . （2）已知点G 为AF 的中点. ①如图2，若AD=BD ，CE =2，求DG 的长. ②若AD =6BD ,是否存在点E ,使得△DEG 是直角三角形？若存在，求CE 的长；若不存在，试说明理由. 图1 图2 图3

精编初中数学几何动点问题分类专题汇总全书

初中数学几何动点问题分类专题汇总全书近几年有关“线段最值”的中考试题层出不穷，形式多样，往往综合了几何变换、函数等方面的知识，具有一定的难度，具有很强的探索性，通过研究发现， 这些问题尽管形式多样、背景复杂、变化不断，但都可以通过几何变换转化为常 见的基本问题． 最值题目类型多：作图、计算；有求差最大，求和最小；求周长最小、求时间最 短；求最值、已知最值求待定系数等；对称载体多：几乎涉及到初中全部的轴 对称图形（角、线段、等腰三角形、等腰梯形、菱形、正方形、抛物线、圆、坐 标轴）. 我们知道“对称、平移、旋转”　是三种保形变换。通过这三种几何变换可以实现 图形在保持形状、大小不变的前提下而使其位置发生变化，具有更紧凑的位置关系或组合成新的有利论证的基本图形．通过几何变换移动线段的位置是解决最值 问题的有效手段，题目是千变万化的，但是运用几何变换把最值问题转化为基本 问题却是不变的。 数学问题是千变万化的，几何变换的应用也不是单一的，有些问题需要多种变换 的组合才能解决，看看以下策略对解决问题能否奏效。 （1）去伪存真。刨去不变的线段，看清楚究竟是几段和的最小值问题，必须仔 细研究题目的背景，搞清楚哪些是动点、哪些是定点、哪些是定长。 （2）科学选择。捕捉题目的信号，探索变换的基础，选择变换的手段．平移把 不“连”的线段“接”起来，旋转把“碰头”的线段“展”开来重“接”，对称把在同侧的线段翻折过去重组，因此“不连——平移、碰头——旋转、同侧——对称”是一般的思路；对称变换的基础是轴对称图形，平移变换的基础是平行线，旋转变换的基础是等线段，所以选择哪种几何变换还要看题目中具备何种变换的基础信息。（3）怎么变换？对称变换一般以动点所在直线为对称轴，构建定点（直线）的 对称点（直线），如有多个动点就必须作多次变换；平移一般是移动没有公共端 点的两条线段中的某一条，与另一条对“接”；旋转变换一般以定点为旋转中心旋 转60°或90°。 （4）怎么求值？几何变换成了“两折线”或“三折线”后，根据“两点之间线段最短”

动点的轨迹问题

动点得轨迹问题 根据动点得运动规律求出动点得轨迹方程，这就是解析几何得一大课题：一方面求轨迹方程得实质就是将“形”转化为“数”，将“曲线”转化为“方程”，通过对方程得研究来认识曲线得性质；另一方面求轨迹方程就是培养学生数形转化得思想、方法以及技巧得极好教材。该内容不仅贯穿于“圆锥曲线”得教学得全过程，而且在建构思想、函数方程思想、化归转化思想等方面均有体现与渗透。 轨迹问题就是高考中得一个热点与重点，在历年高考中出现得频率较高，特别就是当今高考得改革以考查学生创新意识为突破口，注重考查学生得逻辑思维能力，运算能力，分析问题与解决问题得能力，而轨迹方程这一热点，常涉及函数、三角、向量、几何等知识，能很好地反映学生在这些能力方面得掌握程度。 求轨迹方程得得基本步骤：建设现代化（检验） 建（坐标系）设（动点坐标）现（限制条件，动点、已知点满足得条件）代（动点、已知点坐标代入）化（化简整理）检验（要注意定义域“挖”与“补”）求轨迹方程得得基本方法： 1．直接法：如果动点运动得条件就就是一些几何量得等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊得技巧，易于表述成含x,y得等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法。 2．定义法：运用解析几何中一些常用定义（例如圆锥曲线得定义），可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程。 3、代入法：动点所满足得条件不易表述或求出，但形成轨迹得动点P(x,y)却随另一动点Q(x’，y’)得运动而有规律得运动，且动点Q得轨迹为给定或容易求得，则可先将x’,y’表示为x,y得式子，再代入Q得轨迹方程，然而整理得P得轨迹方程，代入法也称相关点法。 4、参数法：求轨迹方程有时很难直接找到动点得横坐标、纵坐标之间得关系，则可借助中间变量（参数），使x,y之间建立起联系，然而再从所求式子中消去参数，得出动点得轨迹方程。 5、交轨法：求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参数，例如求两动直线得交点时常用此法，也可以引入参数来建立这些动曲线得联系，然而消去参数得到轨迹方程。可以说就是参数法得一种变种。 6、转移法：如果动点P随着另一动点Q得运动而运动，且Q点在某一已知曲线上运动，那么只需将Q点得坐标来表示，并代入已知曲线方程，便可得到P点得轨迹方程。 7、几何法：利用平面几何或解析几何得知识分析图形性质，发现动点运动规律与动点满足得条件，然而得出动点得轨迹方程。