与三角形有关的线段精品讲义

一、学习与应用

（一）如图，点A,B,C,D,E在同一条直线上，则图中有条线段。

（二）如图，已知线段AB=8cm,点C为AB的中点，则AC= =

（三）一个三角形底是5cm，高是7cm，面积是．

（四）一个三角形的面积是4.8m2，与它等底等高的平行四边形的面积是．

（五）直角三角形底3，高4，斜边5，求面积，斜边上的高

（六）有长度分别为3cm,4cm,5cm和6cm的四根木棒，从中任取三根，可以组成个

不同的三角形。

知识点一：三角形

（一）三角形有关概念

（1）三角形的定义：由不在同一条上的三条线段顺次相接组成的图

形叫做三角形．

（2）三角形的基本元素：

①三角形的三条边：即组成三角形的；

②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的；

三角形的一边与另一边的延长线所组成的角叫做三角形的．

③三角形的顶点：即相邻两边的公共．

（3）三角形的特征：

①有线段；

②三个顶点同一直线上；

③三角形是一个的图形，顺次相接．

（4）三角形的符号：

①三角形用符号“”表示．顶点是A、B、C的三角形，记作“”，读作

“三角形ABC”；注意：△ABC是三角形ABC的符号标记，单独的△没有意义。

“凡事预则立，不预则废”．科学地学习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性．

知识要点——复习和课堂学习

认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己学习过程中的疑

惑认真听课学习，请在虚线部分填写预习内容，在实线部分填写课堂学习内容．课堂笔记

或者其它补充填在右栏．

知识回顾---复习

学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？

②三角形ABC的边AB可用边AB所对的角C的小写字母c表示，AC可用b表示，BC可用a 表示．

例1：如图，以下图形中三角形的个数是（）

【变式】如图，以下图形中三角形的个数是（）

（二）三角形的分类

（1）按边分类：

?

?

?

?

?

?

?

?

不等边三角形

三角形　底边和腰不相等的等腰三角形

__________　

______________

要点诠释：

①不等边三角形：三边都不__________的三角形

②等腰三角形：有两条边的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫

做，另外一边叫做，两腰的夹角叫，腰与底边夹角叫做．

③等边三角形：三边都__________的三角形

（2）按角分类：

?

?

?

?

?

?

?

?

直角三角形

三角形　_______三角形

_________　

钝角三角形

要点诠释：

①锐角三角形：三个内角都是的三角形

②钝角三角形：有一个内角为的三角形

例2：已知△ABC的三边长为a,b,c满足0

)

(2=

-

+

-c

a

c

b，则△ABC是（）

A.直角三角形

B.等边三角形

C.不等边三角形

D.无法确定

【变式】下列说法正确的是（）

A.三角形可分为等边三角形和不等边三角形

B.三角形可分为等腰直角三角形、锐角三角形和钝角三角形

C.三角形可分为等边三角形、不等边三角形以及腰与底不相等的等腰三角形

D.有一个角为75°的三角形是锐角三角形

知识点二：三角形三边间的关系

定理：三角形任意两边之和第三边．

推论：三角形任意两边之差第三边．定理的数学语言：如图1，

| b－c |

a b c

b c a

a c b

?

?

??

?

?

＋＞

＋＞

＋＞

要点诠释：

（1）理论依据：两点之间最短．

（2）给出三条线段的长度，判断它们能否构成三角形．判断方法常用的有两种（设a、

b、c为三边的长）：

①a+b>c，，c+a>b都能成立，则以a、b、c为三边的长可以构成一个三

角形（此法一般不用）；

②|b－c|

的线段，且，则以a、b、c为三边的长可构成一个三角形．

（3）已知三角形两边的长，可以确定第三边的取值范围：设三角形的两边的长为a、b，则第三边的长c的取值范围是．

（4）证明线段之间的不等关系．

例3：有一个三角形的两边长分别为2和11，第三边为整数，则符合条件的三角形有（） A.2个 B.3个 C.4个 D.5个

知识点三：三角形的高、中线、角平分线

（一）三角形的高

从三角形的一个顶点向它的所在直线作垂线，和之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．

三角形的高的数学语言：

如图2，AD是△ABC的高，或AD是△ABC的BC边上的高，或AD⊥BC于D，或∠ADB＝∠ADC＝∠90°．

注意：AD是△ABC的高?∠ADB＝∠ADC＝°（或AD⊥BC于D）；

例4：分别作出下列三角形的三条高

要点诠释：

（1）三角形的高是；

（2）三角形有三条高，且相交于一点，这一点叫做三角形的_______．

（3）三角形的三条高：

①锐角三角形的三条高在三角形部，三条高的交点也在三角形部；

②钝角三角形有两条高在三角形的部，且三条高的交点在三角形的

部；

③直角三角形三条高的交点是直角三角形的．

（二）三角形的中线

三角形的一个顶点与它的对边的连线叫三角形的中线．

三角形的中线的数学语言：

1BC．如图3，AD是△ABC的中线或AD是△ABC的BC边上的中线或BD＝CD＝

2

1______．

即AD是△ABC的中线 BD＝______＝

2

要点诠释：

（1）三角形的中线是；

（2）三角形三条中线全在三角形部；

（3）三角形三条中线交于三角形部一点，这一点叫三角形的．（4）中线把三角形分成面积的两个三角形．

例5：等腰三角形一腰上的中线将此三角形的周长分成15cm和12cm两部分，试求此三角形的腰长。

【变式】已知BD是△ABC的中线，AB=5，BC=3，△ABD和△BCD的周长

差是（）

A.2

B.3

C.6

D.不能确定

（三）三角形的角平分线

从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线．

三角形的角平分线的数学语言：

如图4，AD 是△ABC 的角平分线，或∠BAD ＝∠CAD 且点D 在BC 上．

即AD 是△ABC 的角平分线?∠BAD ＝∠DAC ＝2

1

______ （或∠BAC ＝2∠BAD ＝2∠DAC ） 要点诠释：

（1）三角形的角平分线是 ；

（2）三角形三条角平分线交于三角形 部一点，这一点叫做三角形的 ．

（3）可以用 或 画三角形的角平分线． 例6：在△ABC 中，的高和平分线，分别是，，ABC AE AD C B ??=∠?=∠,4080

的度数为则DAE ∠（ ）

【变式】如图，已知BOC COD AOB AOD

S S S S

????===，试求，，653

知识点四：三角形的稳定性

如果三角形的三边固定，那么三角形的形状大小就完全固定了，这个性质叫做三角形的 ． 要点诠释：

（1）三角形的形状固定是指三角形的三个 角不会改变，大小固定指三条 不改变．

（2）三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条（或两条）木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理．

（3）四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在窗框未安好之前，先在窗框上斜着钉一根木板，使它不变形．

类型一：三角形的概念

例1．图5中以BC为边的三角形有几个？用符号表示这些三角形．

举一反三：

【变式1】在图5中，以A为顶点的三角形有几个？用符号表示这些三角形．

【变式2】在图5中，具有公共边AB的三角形有几个？用符号表示这些三角形．

类型二：三角形三边关系

例2．下列长度的各组线段中，能组成三角形的是（）

A．3cm，12cm，8cm B．6cm，8cm，15cm

C．2.5cm，3cm，5cm D．6.3cm，6.3cm，12.6cm

举一反三：

【变式1】已知三条线段的比是：①1：3：4；②1：2：3；③1：4：6；④3：3：6；⑤6：6：10；⑥3：4：5．其中可构成三角形的有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

【变式2】若五条线段的长分别是1cm、2cm、3cm、4cm、5cm，则以其中三条线段为边可构成个三角形.

【变式3】已知三角形的两边长分别4cm和9cm，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是（）

A．13cm B．6cm C．5cm D．4cm

经典例题-自主学习

认真分析、解答下列例题，尝试总结提升各类型题目的规律和技巧，然后完成举

一反三．若有其它补充可填在右栏空白处．

【变式4】已知a、b、c是△ABC的三边，化简|a+b-c|+|b-a-c|-|c+b-a|．

思路点拨：运用三角形三边的关系确定绝对值内式子的符号，然后根据绝对值的法则去绝对值．

☆【变式5】用7根火柴棒首尾顺次连结摆成一个三角形，能摆成不同的三角形的个数．

思路点拨：解题的关键是确定出最大边的范围．

例3．若三角形的两边长分别是2和7，则第三边长c的取值范围是．

思路点拨：三角形的两边a、b，那么第三边c的取值范围是．

解析：三角形的两边长分别是2和7，则第三边长c的取值范围是

，即．

举一反三：

【变式1】如果三角形的两边长分别为2和6，则周长L的取值范围是（）A．6

【变式2】已知等腰三角形的两边长分别为4cm和7cm，且它的周长大于16cm，则第三边长为．

☆例4．已知等腰三角形一腰上的中线将这个三角形的周长分为9cm和15cm两部分，求这个三角形的腰长和底边的长．

思路点拨：本题分种情况讨论，但讨论的结果不一定有两个正确答案，要加以合理取舍．

举一反三：

【变式】小芳要画一个有两边长分别为5cm和6cm的等腰三角形，则这个等腰三角形的周长是（）

A．16cm B．17cm C．16cm或17cm D．11cm

类型三：三角形的高、中线、角平分线

例5．如图6，在锐角△ABC中，CD、BE分别是AB、AC上的高，?且CD、BE交于一点P，若∠A=50°，则∠BPC的度数是（）

A．150° B．130°C．120°D．100°