γ伽马函数与多伽马函数

函数与多伽马函数

定义

函数可以通过欧拉（Euler）第二类积分定义：

对复数，我们要求。

Γ函数还可以通过对做泰勒展开，解析延拓到整个复平面：

这样定义的Γ函数在全平面除了以外的地方解析。

Γ函数也可以用无穷乘积的方式表示：

这样定义的Γ函数在全平面解析

[编辑] 无穷乘积

函数可以用无穷乘积表示：

其中是欧拉-马歇罗尼常数。

[编辑] Gamma积分

[编辑] 递推公式

函数的递推公式为：，

对于正整数，有

，

可以说函数是阶乘的推广。

[编辑] 递推公式的推导

我们用分部积分法来计算这个积分：

当时，。当趋于无穷大时，根据洛必达法则，有：

.

因此第一项变成了零，所以：

等式的右面正好是。因此，递推公式为：

。

[编辑] 重要性质

Γ函数在实轴上的函数图形

?当时，

?欧拉反射公式：

由此可知当时，。

?乘法定理：

。

。

?补充：

此式可用来协助计算t分布概率密度函数、卡方分布概率密度函数、分布概率密度函数等的累计概率。

[编辑] 特殊值

[编辑] 导数

[编辑] 复数值

[编辑] 斯特灵公式

斯特灵公式能用以估计Γ函数的增长速度。

[编辑] 解析延拓

Γ函数的绝对值函数图形

注意到在Γ函数的积分定义中若取为实部大于零之复数、则积分存在，而且在右半复平面上定义一个全纯函数。利用函数方程

并注意到函数在整个复平面上有解析延拓，我们可以在时设

从而将函数延拓为整个复平面上的亚纯函数，它在有单极点，留数为

多伽玛函数

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阶多伽玛函数是伽玛函数的第个对数导数。

在这里

是双伽玛函数，是伽玛函数。函数有时称为三伽玛函数。

伽玛函数的

对数，以及最

初几个多伽

玛函数

积分表示法

多伽玛函数可以表示为：

当Re z >0和m > 0时成立。对于m = 0，参见双伽玛函数的定义。[编辑] 递推关系

多伽玛函数具有以下的递推关系：

[编辑] 乘法定理

乘法定理给出：

其中。对于，则是双伽玛函数：

[编辑] 级数表示法

多伽玛函数有以下的级数表示法：

对m > 0和任何不等于负数的复数z都成立。还可以用赫尔维茨ζ函数来表示：

[编辑] 泰勒级数

z = 1时，泰勒级数为：

当|z| < 1时收敛。在这里，ζ是黎曼ζ函数。这个级数可以很容易从赫尔维茨ζ函数的泰勒级数推出。这个级数也可以用来推导出一些有理ζ级数。

神奇的Gamma函数 (上)

神奇的Gamma函数 (上) rickjin 关键词：特殊函数, 欧拉 G a m m a函数诞生记 学高等数学的时候，我们都学习过如下一个长相有点奇特的Gamma函数 Γ(x)=∫∞0t x?1e?t dt 通过分部积分的方法，可以推导出这个函数有如下的递归性质 Γ(x+1)=xΓ(x) 于是很容易证明，Γ(x)函数可以当成是阶乘在实数集上的延拓，具有如下性质 Γ(n)=(n?1)! 学习了Gamma 函数之后，多年以来我一直有两个疑问： ? 1.这个长得这么怪异的一个函数，数学家是如何找到的； ? 2.为何定义Γ函数的时候，不使得这个函数的定义满足Γ(n)=n!而是Γ(n)=(n?1)! 最近翻了一些资料，发现有不少文献资料介绍Gamma 函数发现的历史，要说清楚它需要一定的数学推导，这儿只是简要的说一些主线。

1728年，哥德巴赫在考虑数列插值的问题，通俗的说就是把数列的通项公式定义从整数集合延拓到实数集合，例如数列1,4,9,16,?可以用通项公式n2自然的表达，即便n为实数的时候，这个通项公式也是良好定义的。直观的说也就是可以找到一条平滑的曲线y=x2通过所有的整数点(n,n2)，从而可以把定义在整数集上的公式延拓到实数集合。一天哥德巴赫开始处理阶乘序列1,2,6,24,120,720,?,我们可以计算2!,3!, 是否可以计算 2.5!呢？我们把最初的一些(n,n!)的点画在坐标轴上，确实可以看到，容易画出一条通过这些点的平滑曲线。 但是哥德巴赫无法解决阶乘往实数集上延拓的这个问题，于是写信请教尼古拉斯.贝努利和他的弟弟丹尼尔.贝努利，由于欧拉当时和丹尼尔.贝努利在一块，他也因此得知了这个问题。而欧拉于1729 年完美的解决了这个问题，由此导致了Γ函数的诞生，当时欧拉只有22岁。 事实上首先解决n!的插值计算问题的是丹尼尔.贝努利，他发现，

统计函数GAMMADIST

统计函数GAMMADIST 适用于: Microsoft Office Excel 2003 用途 返回伽玛分布。可以使用此函数来研究具有偏态分布的变量。伽玛分布通常用于排队分析。 语法 GAMMADIST(x,alpha,beta,cumulative) X 为用来计算伽玛分布的数值。 Alpha 分布参数。 Beta 分布参数。如果beta = 1，函数GAMMADIST 返回标准伽玛分布。 Cumulative 为一逻辑值，决定函数的形式。如果cumulative 为TRUE，函数GAMMADIST 返回累积分布函数；如果为FALSE，则返回概率密度函数。 说明 如果x、alpha 或beta 为非数值型，函数GAMMADIST 返回错误值#VALUE!。 如果x < 0，函数GAMMADIST 返回错误值#NUM!。 如果alpha ≤ 0 或beta ≤ 0，函数GAMMADIST 返回错误值#NUM!。 伽玛概率密度函数的计算公式如下： 标准伽玛概率密度函数为： 当alpha = 1 时，函数GAMMADIST 返回如下的指数分布：

对于正整数n，当alpha = n/2，beta = 2 且cumulative = TRUE 时，函数GAMMADIST 以自由度n 返回(1-CHIDIST(X))。 当alpha 为正整数时，函数GAMMADIST 也称为爱尔朗(Erlang) 分布。示例 如果您将示例复制到空白工作表中，可能会更易于理解该示例。 操作方法 1. 创建空白工作簿或工作表。 2. 请在“帮助”主题中选取示例。不要选取行或列标题。 从帮助中选取示例。 3. 按Ctrl+C。 4. 在工作表中，选中单元格A1，再按Ctrl+V。 5. 若要在查看结果和查看返回结果的公式之间切换，请按Ctrl+`（重音符），或 在“工具”菜单上，指向“公式审核”，再单击“公式审核模式”。 1 2 3 4 A B 数据说明 10 用来计算伽玛分布的数值9 Alpha 分布参数 2 Beta 分布参数 公式说明（结果）

神奇的Gamma函数

神奇的Gamma函数 (上) 关键词：特殊函数, 欧拉 G a m m a函数诞生记 学高等数学的时候，我们都学习过如下一个长相有点奇特的Gamma函数 通过分部积分的方法，可以推导出这个函数有如下的递归性质 于是很容易证明，函数可以当成是阶乘在实数集上的延拓，具有如下性质 学习了Gamma 函数之后，多年以来我一直有两个疑问： 1.这个长得这么怪异的一个函数，数学家是如何找到的；

2.为何定义函数的时候，不使得这个函数的定义满足而 是 最近翻了一些资料，发现有不少文献资料介绍Gamma 函数发现的历史，要说清楚它需要一定的数学推导，这儿只是简要的说一些主线。 1728年，哥德巴赫在考虑数列插值的问题，通俗的说就是把数列的通项公式 定义从整数集合延拓到实数集合，例如数列可 以用通项公式自然的表达，即便为实数的时候，这个通项 公式也是良好定义的。直观的说也就是可以找到一条平滑的曲线 通过所有的整数点，从而可以把定义在整数集上的公式延拓 到实数集合。一天哥德巴赫开始处理阶乘序列 ,我们可以计算, 是否可以计算 呢？我们把最初的一些的点画在坐标轴上，确实可以看到，容易画出一条通过这些点的平滑曲线。

但是哥德巴赫无法解决阶乘往实数集上延拓的这个问题，于是写信请教尼古拉斯.贝努利和他的弟弟丹尼尔.贝努利，由于欧拉当时和丹尼尔.贝努利在一块，他也因此得知了这个问题。而欧拉于1729 年完美的解决了这个问题， 由此导致了函数的诞生，当时欧拉只有22岁。 事实上首先解决的插值计算问题的是丹尼尔.贝努利，他发现， 如果都是正整数，如果，有 于是用这个无穷乘积的方式可以把的定义延拓到实数集合。例如， 取, 足够大，基于上式就可以近似计算出 。 欧拉也偶然的发现可以用如下的一个无穷乘积表达

了解伽马(GAMMA、伽马值、光度、灰度系数)

了解伽马（GAMMA、伽马值、光度、灰度系数）来源：pconline 日期：2007-08-26 00:05 一. 在哪见过、听说过Gamma？ * 还用说，Adobe Gamma * 常听说MAC的默认Gamma是1.8，PC的是2.2 * 我的显卡驱动程序里有Gamma调节 * 我下载了一个软件，也可以调节显示器的Gamma * WinDVD播放器带Gamma校正功能 * ACDSEE的曝光调节里可以调Gamma * ACDSEE的选项中有Enable Gamma Correction * XV Viewer 能以参数-gamma 2.2 启动（x window也可以） * PNG文件里有Gamma校正 * Photoshop里当然也有 * ICC Profile也和Gamma有关？ * 摄像头、数码相机、扫描仪？胶片？……中也有提到Gamma的…… 这些都是怎么回事？

图：显卡（驱动程序）上的Gamma设置 图：ACDSEE中的曝光调节

二. 什么是Gamma？ 2.1. 显示器Gamma曲线 Gamma可能源于CRT（显示器/电视机）的响应曲线，即其亮度与输入电压的非线性关系。 图：一典型显示器的响应曲线，非常接近指数函数 (说明：上图中输入值为数字化的，即通常的RGB值，但可以理解数/模转换是线 性的，所以它和输入电压是等效的) 归一化后，我们通常可以用一简单的函数来表示： output = input ^ gamma gamma就是指数函数中的幂。

图：归一化的Gamma曲线 注意上图曲线的一些特性： * 端点是不变的，即不管gamma值如何变化，0对应的输出始终是0，1的输出始终是1（这一特性会被用到）。这可能是gamma又被叫作“灰度”系数的原因吧。 * gamma > 1时，曲线在gamma=1斜线的下方；反之则在上方。 另外说明一下，虽然是以显示器作为例子，但可扩展到一般的图像相关的输入/输出设备。Gamma曲线应该是普遍存在的，即使它不是严格的指数关系，可能还是会这么通称。至少我知道的数码机机/摄像头里的sensor也存在gamma 曲线及gamma校正。 2.2. 检查显示系统的Gamma值 在PC上，好像还没有什么软件方法可以得到系统的Gamma值（4.1会说明这一点）。有人做了一些图片，可以粗略估计。其原理和Adobe Gamma类似。

伽马函数在概率统计中的应用

韩山师范学院 学生毕业论文 （ 2011届） 题目（中文）伽马函数在概率统计中的应用（英文）The Application of the Γ–Function in the Probability 系别：数学与信息技术系 专业：数学与应用数学班级： 20071112 姓名：史泽龙学号: 2007111205 指导教师：屈海东讲师 韩山师范学院教务处制

诚信声明 我声明，所呈交的毕业论文是本人在老师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据我查证，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，我承诺，论文中的所有内容均真实、可信。 毕业论文作者签名：签名日期：年月日

摘要: 本文阐述了Γ函数的定义及其特殊性质, 并就如何利用Γ函数的特定性质解决概率应用中的一些特定问题进行了探讨和分析. 分析说明: 应用Γ函数收敛的性质, 可间接求解概率积分值; 利用Γ函数表示分布的密度;可表征F分布的密度函数. 这些分析及其结论对于函数的具体应用, 对于求解概率论中的一些具体实用问题具有重要的参考价值. 关键词: Γ函数; 收敛性; 概率积分; 密度函数

Abstract: Expounds the definition of Γ function and its special properties, and how to use the specific nature solution Γ function in some specific questions the probability application is discussed and analyzed. Γ function analysis and explanation: application of nature, but indirect convergent solution probability integral value; Use the density of Γ function says distribution; F distribution can be characterized the density function analysis and conclusions. These specific application for function for solving some of the specific practical problems probability has important reference value. Keywords:Gamma function;Convergence; Probability integral;Density function

Γ分布函数

Γ分布函数算法新解及其应用 李世才吴戈堂林莺 (广西南宁水利电力设计院) 摘要从Γ函数与不完全Γ函数的恒等关系出发，导出了Γ(α)与lnΓ(α)的精确解析式，并在文[1]的基础上导出Γ分布函数新算法的精确解析式。把迄今Γ(α)、lnΓ(α)和Γ分布函数的计算只能应用各种逼近的近似公式现状，提高到精确解析式的计算水平，并归纳为收敛的级数展式和连分式展式的数值计算，使其算法统一成为现实。用新算法的通用数学模型设计的电算程序，对实际工程的计算和文[2～4]中的全部算例及文[5，6]中的有关数表进行了验证比较，结果表明新算法更为优越。 关键词Γ函数Γ分布函数算法新解精确解析式数学模型数值计算。 本文于1996年6月15日收到，广西自然科学基金资助项目，桂科［自］9912010. 统计学、分子结构论、特殊函数、工程水文分析与计算、水文学的汇流计算等应用和研究领域，经常会遇到Γ函数、Γ分布函数和其逆函数的数值计算问题。文[1]对几种常见的数值积分法进行了分析比较，并给出Γ分布函数通用算法的综合解析表达式 (1) 式中α为参变量(α>0)，x为自变量(x≥0)，T的表达式为 (2) 电算实践表明：一些特殊问题的计算中，需要程序参与计算的各个变量(含常数)都按双精度(16位有效数字)或高精度(任意指定精度)运行，而计算Γ(α)和lnΓ(α)的各种逼近算法公式[1～5]最多只能求得10至12位有效数字，这样即使应用双精度计算P(α,x)，最多也只能达到与Γ(α)或lnΓ(α)同样的精度，并且有时会加速计算过程的误差传播和积累，从而导致死循环、迭代过程不收敛、计算结果失真等不良的现象。要解决这些问题，可以将Γ(α)和lnΓ(α)

gamma函数的性质

gamma函数的性质 Beta函数和Gamma函数是最基本也是最重要的两个特殊函数，它们如同基石般奠定了整个特殊函数论大厦的基础。部分理论应用如下：应用 a.Beta函数和Gamma函数提供了大部分超几何函数（Hypergeometric functions）的理论基础。Gauss 超几何级数的积分表示便是借助了Beta积分。而Mellin-Barnes积分表示则是借助了Gamma函数的性质，这使得超几何级数在复平面上的延拓得以通过一种统一的形式得以实现。应用b.分数阶微积分，也就是通常牛顿-莱布尼茨微积分的推广，也依赖于Beta和Gamma函数的定义。你可以看一下Riemann-Liouville分数阶积分的定义。而由整数阶导数到分数阶导数（复数阶导数）的插值就是来源于Gamma函数实际上是阶乘n!的插值这一性质。应用c.Riemann zeta function 的一个基本的积分表示其核心就是Gamma函数。而许多zeta函数的推广都离不开Gamma函数。应用https://www.sodocs.net/doc/f712275928.html,place变换和Mellin变换，这两个十分重要的积分变换，可以十分好的统一在Gamma函数的积分表示上。也就是说，Gamma函数是指数函数的Mellin变换，同时还是幂函数的Laplace变换。应用e.Beta函数本身可以用来构造概率分布。而高维的Beta函数，例如Dirichlet, Liouville型的Beta函数也在概率统计中有这重要的应用价值。应用f. Selberg 构造的一个特别重要的multidimensional Beta integral在解决Macdonald Conjecture的过程中也起到了很大的作用。而它本身现在也成为了一个十分重要的研究对象。总之，从Gamma和Beta函数出发，已经生长出了足够我们穷

zt9专题九 关于Gamma函数与Beta函数的关系及应用

专题九 关于Γ函数与B 函数的关系及应用 问题1：欧拉函数是什么东西？如何定义的？ 答： 欧拉函数是Γ函数与B 函数 的统称。其中若下面的含参变量广义积分收敛，则分别 称为Γ函数与B 函数。即： (s)Γ= 1 s x x e dx +∞--? (1) (p,q)B = 1 1 1 (1) p q x x dx ---? (2) (1)式称为伽马函数，（2）式称为贝塔函数，二者统称为欧拉函数 ，Γ函数与B 函数实质上是含参变量广义积分表示的两个特殊函数． 问题2：Γ函数与B 函数的定义域是什么？ 答：（一）、Γ函数的定义域：(s)Γ的定义域为0s >. 事实上，（1）当s 1≥时，0x =不是被积函数的瑕点，因此取1p >都有 1 l i m ()0p s x x x x e --→+∞ = ，由柯西判别法知（1）的积分是收敛． （2）当s<1时，0x =是被积函数的瑕点，此时，有 (s)Γ=1 1 1 01 s x s x x e dx x e dx +∞ ----+ ?? =()()I s J s + 其中()J s 对任何s 都是收敛的， 又110 lim ()lim 1s s x x x x x x e e + + ----→→==，所以1 10 s x dx -?与 1 1 0s x x e dx --?在0x =点是等价的，当11s ->-时，1 1 s x dx -?是收敛，当11s -≤-时， 1 1 s x dx -? 是发散．所以当01s <<时(s)Γ是收敛的． 综上可知(s)Γ的定义域为0s >. （二）、B 函数的定义域：0,0p q >>。 事实上，(p,q)B =1 1 11 1 1 1 1 1 2100 2 (1) (1) (1) p q p q p q x x dx x x dx x x dx -------= -+ -?? ? =I J + 而I ，J 在各自的区间内只有一个瑕点。又 1111 lim (1)lim (1)1p p q q x x x x x x + + ----→→-=-= ∴ 在0x =，1p x -与11(1)p q x x ---等价，∴ 当11p -<时，1 p x -收敛， 所以0p >时， 1 1 (1) p q x x ---在0x =收敛．

Gamma分布与指数分布

Gamma分布与指数分布 "Gamma分布gamma distribution; form of gamma distribution;" 在学术文献中的解释 1、在地震序列的有序性、地震发生率的齐次性、计数特征具有独立增量和平稳增量情况下,可以导出地震发生i次时间的概率密度为Gamma密度函数(亦称为Gamma分布) Γ(x)称为伽马函数，它是用一个积分式定义的，不是初等函数。伽马函数有性质：Γ(x+1)=xΓ(x)，Γ(0)=1，Γ(1/2)=√π，对正整数n，有Γ(n+1)=n！伽马分布里面Γ(α,β)（分布函数已经了解）。α,β个指代何种意义的参数？比如在化工里面有这样一个问题，说反应器管道的长度L服从Γ(α,β)分布，那么α,β是和管道形状和尺度相关的参数。α,β是两个分布调整参量，该分布的期望=C+(α/β),也就是说α/β调整期望；分布的方差=α/β^2，由此并不需要单独定义二者，应该共同对分布起作用！ 伽马函数Γ（z）的定义域是，C-{-n,n=0,1,2,...},其中C为复数域， Re（z）>0时，常见的积分是收敛，也就是说Γ（z）可用常见的积分定义。 如1种常见的积分：Γ（z）=∫{0

均值是a/入 方差是a/(入^2) 指数分布 如果随机变量X的概率密度为 公式 P（X≥0）=λ乘以(e的－λX次方）;p(x<0)=0 则称X遵从指数分布（参数为λ）。 在概率论和统计学中，指数分布（Exponential distribution）是一种连续概率分布。指数分布可以用来表示独立随机事件发生的时间间隔，比如旅客进机场的时间间隔、中文维基百科新条目出现的时间间隔等等。 许多电子产品的寿命分布一般服从指数分布。有的系统的寿命分布也可用指数分布来近似。它在可靠性研究中是最常用的一种分布形式。指数分布是伽玛分布和威布尔分布的特殊情况，产品的失效是偶然失效时，其寿命服从指数分布。 指数分布可以看作当威布尔分布中的形状系数等于1的特殊分布，指数分布的失效率是与时间t无关的常数，所以分布函数简单。

伽马函数表

伽马函数表 ()()001>=Γ?+∞ --x dt t e x x t x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1.00 0000 9994 9988 9983 9977 9971 9966 9960 9954 9949 1.01 9943 9938 9932 9927 9921 9916 9910 9905 9899 9894 1.02 9888 9883 9878 9872 9867 9862 9856 9851 9846 9841 1.03 9835 9830 9825 9820 9815 9810 9805 9800 9794 9789 1.04 9784 9779 9774 9769 9764 9759 9755 9750 9745 9740 1.05 9735 9730 9725 9721 9716 9711 9706 9702 9697 9692 1.06 9687 9683 9678 9673 9669 9664 9660 9655 9651 9646 1.07 9642 9637 9633 9628 9624 9619 9615 9610 9606 9602 1.08 9597 9593 9589 9584 9580 9576 9571 9567 9563 9559 1.09 9555 9550 9546 9542 9538 9534 9530 9526 9522 9518 1.10 9514 9509 9505 9501 9498 9494 9490 9486 9482 9478 1.11 9474 9470 9466 9462 9459 9455 9451 9447 9443 9440 1.12 9436 9432 9428 9425 9421 9417 9414 9410 9407 9403 1.13 9399 9396 9392 9389 9385 9382 9378 9375 9371 9368 1.14 9364 9361 9357 9354 9350 9347 9344 9340 9337 9334 1.15 9330 9327 9324 9321 9317 9314 9311 9308 9304 9301 1.16 9298 9295 9292 9289 9285 9282 9279 9276 9273 9270 1.17 9267 9264 9261 9258 9255 9252 9249 9246 9243 9240 1.18 9237 9234 9231 9229 9226 9223 9220 9217 9214 9212 1.19 9209 9206 9203 9201 9198 9195 9192 9190 9187 9184 1.20 9182 9179 9176 9174 9171 9169 9166 9163 9161 9158 1.21 9156 9153 9151 9148 9146 9143 9141 9138 9136 9133 1.22 9131 9129 9126 9124 9122 9119 9117 9114 9112 9110 1.23 9108 9105 9103 9101 9098 9096 9094 9092 9090 9087 1.24 9085 9083 9081 9079 9077 9074 9072 9070 9068 9066 1.25 9064 9062 9060 9058 9056 9054 9052 9050 9048 9046 1.26 9044 9042 9040 9038 9036 9034 9032 9031 9029 9027 1.27 9025 9023 9021 9020 9018 9016 9014 9012 9011 9009 1.28 9007 9005 9004 9002 9000 8999 8997 8995 8994 8992 1.29 8990 8989 8987 8986 8984 8982 8981 8979 8978 8976 1.30 8975 8973 8972 8970 8969 8967 8966 8964 8963 8961 1.31 8960 8959 8957 8956 8954 8953 8952 8950 8949 8948 1.32 8946 8945 8944 8943 8941 8940 8939 8937 8936 8935 1.33 8934 8933 8931 8930 8929 8928 8927 8926 8924 8923 1.34 8922 8921 8920 8919 8918 8917 8916 8915 8914 8913 1.35 8912 8911 8910 8909 8908 8907 8906 8905 8904 8903 1.36 8902 8901 8900 8899 8898 8897 8897 8896 8895 8894 1.37 8893 8892 8892 8891 8890 8889 8888 8888 8887 8886

γ伽马函数与多伽马函数

函数与多伽马函数 定义 函数可以通过欧拉（Euler）第二类积分定义： 对复数，我们要求。 Γ函数还可以通过对做泰勒展开，解析延拓到整个复平面： 这样定义的Γ函数在全平面除了以外的地方解析。 Γ函数也可以用无穷乘积的方式表示： 这样定义的Γ函数在全平面解析 [编辑] 无穷乘积 函数可以用无穷乘积表示： 其中是欧拉-马歇罗尼常数。 [编辑] Gamma积分

[编辑] 递推公式 函数的递推公式为：， 对于正整数，有 ， 可以说函数是阶乘的推广。 [编辑] 递推公式的推导 我们用分部积分法来计算这个积分： 当时，。当趋于无穷大时，根据洛必达法则，有： . 因此第一项变成了零，所以： 等式的右面正好是。因此，递推公式为： 。 [编辑] 重要性质

Γ函数在实轴上的函数图形 ?当时， ?欧拉反射公式： 由此可知当时，。 ?乘法定理： 。 。 ?补充： 此式可用来协助计算t分布概率密度函数、卡方分布概率密度函数、分布概率密度函数等的累计概率。 [编辑] 特殊值 [编辑] 导数 [编辑] 复数值 [编辑] 斯特灵公式 斯特灵公式能用以估计Γ函数的增长速度。

[编辑] 解析延拓 Γ函数的绝对值函数图形 注意到在Γ函数的积分定义中若取为实部大于零之复数、则积分存在，而且在右半复平面上定义一个全纯函数。利用函数方程 并注意到函数在整个复平面上有解析延拓，我们可以在时设 从而将函数延拓为整个复平面上的亚纯函数，它在有单极点，留数为 多伽玛函数 维基百科，自由的百科全书 跳转至：导航，搜索 阶多伽玛函数是伽玛函数的第个对数导数。 在这里 是双伽玛函数，是伽玛函数。函数有时称为三伽玛函数。