(精选)复变函数第二章答案
第二章 解析函数
1．用导数定义，求下列函数的导数： (1) ()Re .f x z z = 解: 因
0()()lim z f z z f z z
?→+?-?0()Re()Re lim z z z z z z z
z
?→+?+?-=? 0Re Re Re lim
z z z z z z z z
?→?+?+??=?
0Re lim(Re Re )z z
z z z z
?→?=+?+? 0
00
Re lim(Re )lim(Re ),z x y z x
z z
z z z x i y ?→?→?→??=+=+??+? 当0z ≠时,上述极限不存在,故导数不存在；当0z =时,上述极限为0,故导数为
0.
2．下列函数在何处可导?何处不可导?何处解析?何处不解析? (1) 2().f z z z =? 解:
22222222()||()()()(),
f z z z z z z z z
x y x iy x x y iy x y =?=??=?=++=+++
这里2222(,)(),(,)().u x y x x y v x y y x y =+=+
2222222,2,2,
2.
x y y x u x y x v x y y u xy v xy =++=++==
要,x y y x u v u v ==-，当且当0,x y ==而,,,x y x y u u v v 均连续，故2().f z z z =?仅在0z =处可导，处处不解析. (2) 3223()3(3).f z x xy i x y y =-+-
解: 这里322322(,)3,(,)3.33,x u x y x xy v x y x y y u x y =-=-=-
226,6,33,y x y u xy v xy v x y =-==-
四个偏导数均连续且,x y y x u v u v ==-处处成立,故()f z 在整个复平面上处处可导,也处处解析.
3．确定下列函数的解析区域和奇点,并求出导数.
(1)
(,).az b
c d cz d
++至少有一不为零 解: 当0c ≠时，()az b f z cz d +=+除d z c =-外在复平面上处处解析, d
z c =-为奇点,
2
22
()()()()()()()()().()()
az b f z cz d
az b cz d cz d az b cz d a cz d c az b ad cb cz d cz d +''=+''++-++=++-+-==++
当0c =时，显然有0d ≠，故()az b f z d +=
在复平面上处处解析，且()a
f z d
'=. 4.若函数()f z 在区域D 内解析,并满足下列条件之一,试证()f z 必为常数. (1) ()f z 在区域D 内解析; (2) 2;v u =
(3) arg ()f z 在D 内为常数;
(4) (,,).au bv c a b c +=为不全为零的实常数 证 (1) 因为()f z 在D 中解析,所以满足C R -条件
,,u v u v
x y y x
????==-???? 又()f z u iv =-也在D 中解析,也满足C R -条件
()(),.u v u v x y y x
??-??-==-???? 从而应有
0u u v v x y x y
????====????恒成立,故在D 中,u v 为常数, ()f z 为常数. (2) 因()f z 在D 中解析且有2()f z u iu =+,由C R -条件,有
2,2.u u u x y u u u y
x ???=?????
???=-????
则可推出
0u u x y
??==??,即u C =(常数).故()f z 必为D 中常数. (3) 设()f z u iv =+,由条件知arctan v C u
=,从而
22(/)(/)
0,0,1(/)1(/)v u v u y x v u v u ????==++ 计算得
2
222
()/0v u u u v u
x x u v
??-??=+，2222()/0,v u u u v u y y u v ??-??=+ 化简,利用C R -条件得
0,0.u
u u v y x u u u v x
y ???--=????
?
???-=???? 所以0,u u x y ??==??同理0,v v
x y
??==??即在D 中,u v 为常数,故()f z 在D 中为常数.
(4) 法一：设0,a ≠则()/,u c bv a =-求导得
,,u b v
u b v
x a x
y a y
????=-=-???? 由C R -条件
,,u b u
v b v x a y
x a y
????==???? 故,u v 必为常数,即()f z 在D 中为常数.
设0,0,0a b c =≠≠则bv c =,知v 为常数,又由C R -条件知u 也必为常数,所以()f z 在D 中为常数.
法二：等式两边对,x y 求偏导得：0
0x x y
y au bv au bv +=??+=?，由C R -条件，我们有
0,00x y x x y y au bu u a b bu au u b a -=-???
??=? ? ?
+=?????
即， 而220a b +≠，故0x y u u ==，从而u 为常数，即有()f z 在D 中为常数.
5.设()f z 在区域D 内解析,试证: 22
2222()|()|4|()|.f z f z x y
??'+=??
证: 设 222(),|()|,f z u iv f z u v =+=+
222(),|()|()().u u u u f z i f z x y x y
????''=-=+???? 而
22222
222222222
2
2
2
22222222()|()|()()2()()()(),
f z u v u v x y x y
u u v v u u v v u v u v x
x x x y y y y ????+=+++??????????????=+++++++????????????
又()f z 解析,则实部u 及虚部v 均为调和函数.故
222222220,
0.u u
v v
u v x y
x y
????=+==+=????V V
则
22222222()|()|4(()())4|()|.u u
f z f z x y x y
????'+=+=???? 6.由下列条件求解解析函数().f z u iv =+ (1)22()(4);u x y x xy y =-++ 解: 因
22363,u v x xy y x y
??==+-??所以 22(363)v x xy y dy =+-?
22333(),x y xy y x ?=+-+
又
222263(),363,()3,v u
xy y x x xy y x x x x
????''=++=--=-??而所以 则 3()x x C ?=-+.故
22223322222
2
223()()(4)(33)
(1)()(1)()2(1)2(1)(1)()2(1)(1)(2)(1)f z u iv
x y x xy y i x y xy y x C i x x iy y i x iy x y i xy i Ci z i x y xyi iz i Ci i z x y xyi Ci i z Ci
=+=-++++--+=-+--+-+--+=---?-+=---+=-+
(2) 23;v xy x =+ 解: 因
23,2,v v
y x x y
??=+=??由()f z 解析,有 22,2().u v x u xdx x y x y
φ??====+???
又
23,u v y y x ??=-=--??而(),u y y
φ?'=?所以()23,y y φ'=--则2()3.y y y C φ=--+ 故 22()3(23).f z x y y C i xy x =--+++ (3) 2(1),(2);u x y f i =-=- 解: 因
2,2(1),u u y x x y ??==-??由()f z 的解析性,有2(1),v u
x x y
??=-=--??
22(1)(1)(),v x dx x y φ=--=--+?
又
2,v u y y x ??==??而(),v y y
φ?'=?所以2()2,(),y y y y C φφ'==+则
22(1),v x y C =--++
故
22()2(1)((1)),f z x y i x y C =-+--++
由(2)f i =-得(2)(1),f i C i =-+=-推出0.C =即
222
2
()2(1)(21)
(21)(1).
f z x y i y x x i z z i z =-+-+-=-+-=--
7.设sin ,px v e y =求p 的值使v 为调和函数,并求出解析函数().
f z u iv =+
解: 要使(,)v x y 为调和函数,则有0.xx yy v v v ?=+=即
2sin sin 0,px px p e y e y -=
所以1p =±时,v 为调和函数,要使()f z 解析,则有,.x y y x u v u v ==-
1(,)cos cos (),1sin ()sin .px px
x px
px y u x y u dx e ydx e y y p
u e y y pe y p
φφ===
+'=-
+=-??
所以
11
()()sin ,()()cos .px px y p e y y p e y C p p
φφ'=-=-+
即(,)cos ,px u x y pe y C =+故
(cos sin ),1,()(cos sin ),
1.
x z x
z
e y i y C e C p
f z e y i y C e C p -?++=+=??--+=-+=-??
8．试解方程：
(1) 1z e =+
解
: (2)3
12(cos sin )23
3
i k z
e i e
π
ππ
π
+=+=+=
ln 2(2)
3
,0,1, 2.i k e k π
π++==±±
故
ln 2(2),0,1, 2.3
z i k k π
π=++=±±
(2) ln ;2
i
z π=
解: 2cos
sin
.2
2
i
z e i i π
π
π
==+=
9．求下列各式的值。 (1) cos ;i
解 ()()11
cos .22
i i i i e e e e i --++=
= (2) (34);Ln i -+
解: (34)ln5(34) -+=+-+ Ln i iArg i
4
ln 5(2arctan ).3i k ππ=++-
(3) 1(1);i i +-
解: 1(1)(1)(1)i i Ln i i e ++--=
(1)(2)4224424
)sin(ln ).44i i k k i k k e
e
e
i πππππππ
πππ??
+-+??
???
?+-+-??
??+-==?
?=+???
?
(4) 33;i -
解: 3(3)ln3(3)(ln32)3i i i k i e e π---+==
(3)ln323ln32ln3227(cosln 3sin ln 3).
i k k i i k e e e e e
i πππ
-+-=?=?=-
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复变函数试题与答案
第一章 复数与复变函数 一、 选择题 1．当i i z -+= 11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3 )2(π = +z arc ，6 5)2(π = -z arc ，那么=z （ ） （A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2321+- （D ）i 2 123+- 3．复数)2 ( tan πθπ θ<<-=i z 的三角表示式是（ ） （A ）)]2 sin()2 [cos(sec θπ θπθ+++i （B ）)]2 3sin()23[cos(sec θπ θπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++-i （D ）)]2 sin()2[cos(sec θπ θπθ+++-i 4．若z 为非零复数，则2 2z z -与z z 2的关系是（ ） （A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 22 2=- （C ）z z z z 22 2≤- （D ）不能比较大小 ５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（ ） （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 ６．一个向量顺时针旋转 3 π ，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为 i 31-，则原向量对应的复数是（ ） （A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3
７．使得2 2 z z =成立的复数z 是（ ） （A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 ８．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（ ） （A ）i +- 43 （B ）i +43 （C ）i -4 3 （D ）i --43 ９．满足不等式 2≤+-i z i z 的所有点z 构成的集合是（ ） （A ）有界区域 （B ）无界区域 （C ）有界闭区域 （D ）无界闭区域 10．方程232= -+i z 所代表的曲线是（ ） （A ）中心为i 32-，半径为2的圆周 （B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周 （C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周 （D ）中心为i 32-，半径为２的圆周 11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（ ） （A ） 22 1 =+-z z （B ）433=--+z z （C ） )1(11<=--a az a z （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则=-)(21z z f （ ） （A ）i 44--（B ）i 44+（C ）i 44-（D ）i 44+- 13．0 0) Im()Im(lim 0z z z z x x --→（ ） （A ）等于i （B ）等于i -（C ）等于0（D ）不存在 14．函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（ ） （A ）),(y x u 在),(00y x 处连续（B ）),(y x v 在),(00y x 处连续 （C ）),(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续（D ）),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续
复变函数第二章标准答案
复变函数第二章答案
————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：
第二章 解析函数 1．用导数定义，求下列函数的导数： (1) ()Re .f x z z = 解: 因 0()()lim z f z z f z z ?→+?-?0()Re()Re lim z z z z z z z z ?→+?+?-=? 0Re Re Re lim z z z z z z z z ?→?+?+??=? 0Re lim(Re Re )z z z z z z ?→?=+?+? 0 00 Re lim(Re )lim(Re ),z x y z x z z z z z x i y ?→?→?→??=+=+??+? 当0z ≠时,上述极限不存在,故导数不存在；当0z =时,上述极限为0,故导数为0. 2．下列函数在何处可导?何处不可导?何处解析?何处不解析? (1) 2().f z z z =? 解: 22222222()||()()()(), f z z z z z z z z x y x iy x x y iy x y =?=??=?=++=+++ 这里2222(,)(),(,)().u x y x x y v x y y x y =+=+ 2222222,2,2, 2. x y y x u x y x v x y y u xy v xy =++=++== 要,x y y x u v u v ==-，当且当0,x y ==而,,,x y x y u u v v 均连续，故2().f z z z =?仅在0z =处可导，处处不解析. (2) 3223()3(3).f z x xy i x y y =-+- 解: 这里322322(,)3,(,)3.33,x u x y x xy v x y x y y u x y =-=-=- 226,6,33,y x y u xy v xy v x y =-==- 四个偏导数均连续且,x y y x u v u v ==-处处成立,故()f z 在整个复平面上处处可导,也处处解析. 3．确定下列函数的解析区域和奇点,并求出导数. (1) (,).az b c d cz d ++至少有一不为零
复变函数论第三版课后习题答案 2
第一章习题解答 （一） 1 ．设z =z 及Arcz 。 解：由于3i z e π -== 所以1z =，2,0,1, 3 Arcz k k ππ=-+=±。 2 ．设121z z =，试用指数形式表示12z z 及12 z z 。 解：由于6412,2i i z e z i e ππ -==== 所以()6 46 4 12 12222i i i i z z e e e e π πππ π --=== 54()14612 26 11222i i i i z e e e z e πππππ +-===。 3．解二项方程440,(0)z a a +=>。 解：1 244 4 (),0,1,2,3k i i z a e ae k ππ π+====。 4．证明2 2 21212122()z z z z z z ++-=+，并说明其几何意义。 证明：由于2 2 2 1212122Re()z z z z z z +=++ 2 2 2 12 12122Re()z z z z z z -=+- 所以2 2 21212 122()z z z z z z ++-=+ 其几何意义是：平行四边形对角线长平方和等于于两边长的和的平方。 5．设z 1，z 2，z 3三点适合条件：0321=++z z z ,1321===z z z 。证明z 1，z 2，z 3是内 接于单位圆 1 =z 的一个正三角形的顶点。 证 由于1 321 ===z z z ，知 321z z z ?的三个顶点均在单位圆上。 因为 3 33 31z z z == ()[]()[]212322112121z z z z z z z z z z z z +++=+-+-= 21212z z z z ++= 所以， 1212 1-=+z z z z ， 又 ) ())((1221221121212 21z z z z z z z z z z z z z z +-+=--=- ()322121=+-=z z z z
最新复变函数第二章答案
第二章 解析函数 1．用导数定义，求下列函数的导数： (1) ()Re .f x z z = 解: 因 0()()lim z f z z f z z ?→+?-?0()Re()Re lim z z z z z z z z ?→+?+?-=? 0Re Re Re lim z z z z z z z z ?→?+?+??=? 0Re lim(Re Re )z z z z z z ?→?=+?+? 0 00 Re lim(Re )lim(Re ),z x y z x z z z z z x i y ?→?→?→??=+=+??+? 当0z ≠时,上述极限不存在,故导数不存在；当0z =时,上述极限为0,故导数为0. 2．下列函数在何处可导?何处不可导?何处解析?何处不解析? (1) 2().f z z z =? 解: 22222222()||()()()(), f z z z z z z z z x y x iy x x y iy x y =?=??=?=++=+++ 这里2222(,)(),(,)().u x y x x y v x y y x y =+=+ 2222222,2,2, 2. x y y x u x y x v x y y u xy v xy =++=++== 要,x y y x u v u v ==-，当且当0,x y ==而,,,x y x y u u v v 均连续，故2().f z z z =?仅在0z =处可导，处处不解析. (2) 3223()3(3).f z x xy i x y y =-+- 解: 这里322322(,)3,(,)3.33,x u x y x xy v x y x y y u x y =-=-=- 226,6,33,y x y u xy v xy v x y =-==- 四个偏导数均连续且,x y y x u v u v ==-处处成立,故()f z 在整个复平面上处处可导,也处处解析. 3．确定下列函数的解析区域和奇点,并求出导数. (1) (,).az b c d cz d ++至少有一不为零
复变函数第二章学习方法导学
第二章 解析函数 解析函数是复变函数论研究的中心和主要对象，它是一类具有某种特性的可微（可导）函数，并在理论和实际问题中有着广泛的应用． 本章，我们首先介绍复变函数的极限与连续，并从复变函数的导数概念出发，引入解析函数，导出复变函数可导和解析的主要条件——柯西—黎曼条件，并给出判断函数可导和解析的一类充分必要条件（它是用复变函数的实部和虚部两个二元实函数所具有的微分性质来表达的充要条件）；其次，介绍几类基本初等解析函数，这些函数实际上是数学分析中大家所熟知的初等函数在复数域上的推广，并研究它们的有关性质． 一、基本要求 1．掌握复变函数的极限和连续的概念，能对照数学分析中极限和连续的性质，平行地写出复变函数的极限与连续的相应性质（比如极限和连续的四则运算性、极限和连续的局部不等性（由于复数没有大小的规定，因此，此性质是与局部保号性相对应的性质）、极限与连续的局部有界性、极限存在的柯西准则、极限的归结原则和复合函数的连续性等），并能熟练地运用四则运算性和复合函数的连续性求函数的极限或判断函数的连续性． 2．熟练掌握复变函数的极限和连续与其实部、虚部两个二元实函数的极限和连续的等价关系，能利用这种关系借助二元实函数的极限或连续简洁地求复变函数的极限或讨论复变函数的连续性；能利用这种关系借助有界闭集上二元连续函数的整体性质简洁地证明有界闭集上复变连续函数的整体性质（比如：有界性，最大模和最小模的存在性，一致连续性）．另外，关于对具体函数的一致连续性的讨论，大家还要掌握利用下面的结论来判断函数不一致连续的有效方法，结论如下： 复变函数()f z 在点集E ?￡上一致连续?对任意两个点列n z ，n z 'E ∈，只要0()n n z z n '-→→∞，总有()()0()n n f z f z n '-→→∞．
复变函数习题答案第2章习题详解
第二章习题详解 1． 利用导数定义推出： 1) () 1 -=n n nz z ' （n 为正整数） 解： ()()()()()z z z z z n n z nz z z z z z z n n n n n z n n z n ????????-?? ??? ?++-+ += -+= --→→ 2 2 1 12 1lim lim ' ()() 1 1 2 1 12 1----→=?? ? ?? ?++-+ = n n n n z nz z z z n n nz ??? lim 2) 211z z -=?? ? ??' 解： () ()2 11 111 1z z z z z z z z z z z z z z z z z - =+-= +-= - += ?? ? ??→→→?????????lim lim lim ' 2． 下列函数何处可导？何处解析？ 1) ()iy x z f -=2 解：设()iv u z f +=，则2x u =，y v -= x x u 2=??， 0=??y u ， 0=??x v ，1-=??y v 都是连续函数。 只有12-=x ，即2 1- =x 时才满足柯西—黎曼方程。 ()iy x z f -=∴2 在直线2 1- =x 上可导，在复平面内处处不解析。 2) ()3 3 32y i x z f += 解：设()iv u z f +=，则3 2x u =，3 3y v = 2 6x x u =??， 0=??y u ， 0=??x v ， 2 9y y v =??都是连续函数。 只有2 2 96y x =，即032=± y x 时才满足柯西—黎曼方程。 ()3 3 32y i x z f +=∴在直线 032=± y x 上可导，在复平面内处处不解析。 3) ()y ix xy z f 2 2 += 解：设()iv u z f +=，则2 xy u =，y x v 2 =
复变函数论作业及答案
习题1 第一章 复数与复变函数 1.12z = =求|z|，Argz 解：123212 2 =??? ? ??+??? ??=z Argz=arctan 212-+2k π=23k π π+-, ,2,1,0±±=k 2．已知2 11i z += ,=2z i -3,试用指数形式表示2 1 21z z z z 及 解：2 11i z += i e 4 π = =2z i -3i e 6 2π -= 所以21z z =i e 6 2π -i e 4 πi e 12 2π - = 2 1z z i i i i e e e e 125)64(64 21212π π ππ π ===+- 3． 解二项方程440z a += )0(>a 解 由440z a +=得44z a =- 则二次方程的根为 k w a = （k=0,1,2,3） =24k i e a ππ+? （k=0,1,2,3） 0w =4 i e a π? =234 4 1(1)2 i i a w e a e a i ππ π+?===-+
54 2(1)2i a w e a i π==-- 74 3(1)2 i a w e a i π==- 4 .设1z 、2z 是两个复数，求证： ),Re(2||||||212221221z z z z z z -+=- 证明：()() 21212 21z z z z z z --=- () 2 12 22 121212 2211 2212 221Re 2z z z z z z z z z z z z z z z z -+=--+=---= 5． 设123z ,z ,z 三点适合条件： 1230z z z ++=及1231z z z === 试证明123z ,z ,z 是一个内接于单位圆周1z =的正三角形的顶点。 证明：设111z x iy =+，222z x iy =+，333z x iy =+ 因为1230z z z ++= ∴1230x x x ++=，1230y y y ++= ∴123x x x =--，123y y y =-- 又因为1231z z z === ∴三点123z ,z ,z 在单位圆周上，且有222222112233x y x y x y +=+=+ 而()()2 2 22112323x y x x y y +=+=+ ()()2 223231x x y y ∴+++= ()232321x x y y ∴+=- 同理=+)(22121y y x x ()()131********x x y y x x y y +=+=- 可知()()()()()()2 2 2 2 2 2 121223231313x x y y x x y y x x y y -+-=-+-=-+-
复变函数第二章习题答案精编版.doc
第二章解析函数 1-6 题中： （1）只要不满足 C-R 条件，肯定不可导、不可微、不解析 （2）可导、可微的证明：求出一阶偏导u x, u y, v x, v y，只要一阶偏导存在且连续，同时满足C-R 条件。 （3）解析两种情况：第一种函数在区域内解析，只要在区域内处处可导，就处处解析；第二种情况函数在某一点解析，只要函数在该点及其邻域内处处可导则在该点解析，如果只在该点可导，而在其邻域不可导则在该点不解析。 （4）解析函数的虚部和实部是调和函数，而且实部和虚部守C-R 条件的制约，证明函数区域内解析的另一个方法为：其实部和虚部满足调和函数和C-R 条件，反过来，如果函数实部或者虚部不满足调和函数或者C-R 条件则肯定不是解析函数。 解析函数求导： f ( z) u x iv x 4、若函数f ( z)在区域 D上解析，并满足下列的条件，证明 f ( z) 必为常数。 （1）f z 0 z D 证明：因为 f ( z) 在区域上解析，所以。 令 f (z) u( x, y) iv ( x, y) ，即 u v , u v f (z) u i v 0 。 x y y x x y 由复数相等的定义得：u v u v x y 0, 0 。 y x 所以， u( x, y) C1(常数)，v( x, y) C2(常数)，即 f (z) C1 iC2为 常数。 5、证明函数在z 平面上解析，并求出其导数。 （1） e x ( xcos y y sin y) ie x ( y cos y x sin y).
证明：设 f z u x, y iv x, y = e x ( x cos y y sin y) ie x ( y cos y xsin y). 则 u , y x ( x cos y y sin y ) ， v x, y x x e e ( y cos y x sin y) u e x ( x cos y ysin y) e x cos y v e x cos y y sin ye x x cos ye x x ； y u e x ( x sin y sin y y cos y) ； v e x ( y cos y x sin y sin y) y x 满足 u v , u v 。 x y y x 即函数在 z 平面上 ( x, y) 可微且满足 C-R 条件，故函数在 z 平面上 解析。 f (z) u i v e x (x cos y y sin y cos y) ie x ( y cos y x sin y sin y) x x 8、（1）由已知条件求解析函数 f ( z) u iv u x 2 y 2 xy f (i ) 1 i 。 ， ， 解： u x 2x y, u y 2 y x 由于函数解析，根据 C-R 条件得 u x v y 2x y 于是 y 2 v 2xy (x) 2 其中 ( x) 是 x 的待定函数，再由 C —R 条件的另一个方程得 v x 2y ( x) u y 2y x ， x 2 所以 (x) x ，即 (x) c 。 2 于是 v y 2 x 2 c 2xy 2 2 又因为 f (i ) 1 i ，所以当 x 0, y 1 ，时 u 1 1 1 ， v c 1得 c 2 2
第二章 复变函数钟玉泉版习题解答提示
第二章 习题解答提示 （一） 1.（定理）设连续曲线[]βα,),(:∈=t t z z C ，有[]),(0)(00βα∈≠'t t z ，则（试证）曲线C 在点)(0t z 有切线。 分析 1）在)(0t z 的某去心领域内能联结割线()(10t z t z ； 2）割线的极限位置就是切线。 证1）,0>?δ使}{\),(0001t t t t δδ+-∈?，有)()(01t z t z ≠，即C 在)(0t z 的 对应去心领域内无重点，即能够连接割线()(10t z t z ，否则就存在数列{},01t t n →使 )()(01t z t z n =。于是 0) ()(lim )(0 10100 1=--='→t t t z t z t z n n t t n ， 这与假设矛盾。 2）01001),(t t t t t >?+∈δ， [],)()(arg ) ()(arg 010 101t z t z t t t z t z -=-- [])()(arg lim 010 t z t z t t -∴→（对)(0t z 割线)()(10t z t z 倾角的极限） ?? ????--=--=→→01010101)()(lim arg )()(arg lim 010 1t t t z t z t t t z t z t t t t )(a r g 0t z '=。 因此,割线确实有极限位置,即曲线C 在点)(0t z 的切线存在,其 倾角为)(arg 0t z '. 3. 设 ?? ?? ?=≠+==+++-. 0, 0; 0,)(2 23333 )(z iy x z z f y x y x i y x 试证)(z f 在原点满足..R C -条件,但却不可微. 证 1) 有公式(2.5)及(2.6)有
复变函数课后部分习题解答
（1）(3-i) 5 解：3-i=2[cos( -30°)+isin(-30°)] =2[cos30°- isin30°] (3-i)5 =25[cos(30°?5)-isin(30°?5)] =25(-3/2-i/2) =-163-16i
（2）（1+i ）6 解：令z=1+i 则x=Re （z ）=1，y=Im （z ）=1 r=z =22y x +=2 tan θ=x y =1 Θx>0,y>0 ∴θ属于第一象限角 ∴θ= 4 π ∴1+i=2（cos 4π+isin 4 π ） ∴（1+i ）6=（2）6（cos 46π+isin 4 6π ） =8（0-i ） =-8i 1.2求下式的值 (3)61-
因为 -1=（cos π+sin π） 所以 6 1-=[cos(ππk 2+/6)+sin(ππk 2+/6)] (k=0,1,2,3,4,5,6). 习题一 1.2（4）求(1-i)3 1的值。
解：(1-i)3 1 =[2(cos-4∏+isin-4 ∏ )]31 =62[cos(12)18(-k ∏)+isin(12 ) 18(-k ∏)] (k=0,1,2) 1.3求方程3z +8=0的所有根。 解：所求方程的根就是w=38- 因为-8=8（cos π+isin π） 所以38-= ρ [cos(π+2k π)/3+isin(π+2k π)/3] k=0,1,2
其中ρ=3r=38=2 即 w=2[cosπ/3+isinπ/3]=1—3i 1 w=2[cos(π+2π)/3+isin(π+2π)/3]=-2 2 w=2[cos(π+4π)/3+isin(π+4π)/3]= 1—3i 3 习题二 1.5 描出下列不等式所确定的区域或者闭区域，并指明它是有界还是无界的，单连通还是多连通的。 (1) Im(z)>0 解：设z=x+iy 因为Im(z)>0，即，y>0
复变函数试题与答案
第一章 复数与复变函数 一、 选择题 1．当i i z -+=11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3)2(π =+z arc ，6 5)2(π=-z arc ，那么=z （ ） （A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2321+- （D ）i 2123+- 3．复数)2( tan πθπθ<<-=i z 的三角表示式是（ ） （A ）)]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++i （B ）)]2 3sin()23[cos(sec θπθπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos( sec θπθπθ+++-i （D ）)]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++-i 4．若z 为非零复数，则22z z -与z z 2的关系是（ ） （A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 222=- （C ）z z z z 222≤- （D ）不能比较大小 ５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点) ,(y x 的轨迹是（ ） （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 ６．一个向量顺时针旋转3 π，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为i 31-，则原向量对应的复数是（ ）
（A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3 ７．使得22z z =成立的复数z 是（ ） （A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 ８．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（ ） （A ）i +-43 （B ）i +43 （C ）i -43 （D ）i --4 3 ９．满足不等式 2≤+-i z i z 的所有点z 构成的集合是（ ） （A ）有界区域 （B ）无界区域 （C ）有界闭区域 （D ）无界闭区域 10．方程232=-+i z 所代表的曲线是（ ） （A ）中心为i 32-，半径为2的圆周 （B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周 （C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周 （D ）中心为i 32-，半径为２的圆周 11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（ ） （A ）22 1=+-z z （B ）433=--+z z （C ）)1(11<=--a az a z （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则=-)(21z z f （ ） （A ）i 44-- （B ）i 44+ （C ）i 44- （D ）i 44+- 13．0 0)Im()Im(lim 0z z z z x x --→（ ） （A ）等于i （B ）等于i - （C ）等于0 （D ）不存在 14．函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（ ）
复变函数测试题及答案-精品
第一章 复变函数测试题及答案-精品 2020-12-12 【关键字】条件、充分、关系、满足、方向、中心 一、 选择题 1．当i i z -+= 11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3 )2(π = +z arc ，6 5)2(π = -z arc ，那么=z （ ） （A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2321+- （D ）i 2 123+- 3．复数)2 (tan πθπ θ<<-=i z 的三角表示式是（ ） （A ）)]2sin()2[cos( sec θπθπ θ+++i （B ）)]2 3sin()23[cos(sec θπ θπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos( sec θπθπθ+++-i （D ）)]2 sin()2[cos(sec θπ θπθ+++-i 4．若z 为非零复数，则22z z -与z z 2的关系是（ ） （A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 222=- （C ）z z z z 222≤- （D ）不能比较大小 ５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点) ,(y x 的轨迹是（ ） （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 ６．一个向量顺时针旋转 3 π ，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为
i 31-，则原向量对应的复数是（ ） （A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3 ７．使得2 2 z z =成立的复数z 是（ ） （A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 ８．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（ ） （A ）i +- 43 （B ）i +43 （C ）i -43 （D ）i --4 3 ９．满足不等式 2≤+-i z i z 的所有点z 构成的集合是（ ） （A ）有界区域 （B ）无界区域 （C ）有界闭区域 （D ）无界闭区域 10．方程232= -+i z 所代表的曲线是（ ） （A ）中心为i 32-，半径为2的圆周 （B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周 （C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周 （D ）中心为i 32-，半径为２的圆周 11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（ ） （A ） 22 1 =+-z z （B ）433=--+z z （C ） )1(11<=--a az a z （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则=-)(21z z f （ ） （A ）i 44-- （B ）i 44+ （C ）i 44- （D ）i 44+- 13．0 0) Im()Im(lim 0z z z z x x --→（ ） （A ）等于i （B ）等于i - （C ）等于0 （D ）不存在 14．函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（ ）
复变函数D卷答案
湖南科技学院二○○ 年 学期期末考试 专业 年级 试题 考试类型：闭卷 试卷类型：D 卷 考试时量： 120 分钟 一（共7分，每小题1分) 1．nLnz Lnz n =（n 为正整数） （ ） 2．),(),()(y x iv y x u z f +=在区域D 内解析，则在区域D 内),(y x u 是),(y x v 的共轭调 函数。 （ ） 3．函数在可去奇点处的留数为0。 （ ） 4．0是2sin )(z z z f = 的一阶极点。 ( ) 5．复数0的辐角主值为0。 （ ） 6．在复变函数中，0cos ,0sin ,1|cos |,1|sin |2 2 ≥≥≤≤z z z z 同样成立。 （ ） 7．解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的实部),(y x u 和虚部),(y x v 都是其解析区域内的调 和函数。 （ ） 二 、填空题（共28分，每小题4分) 1． i i -1=_________. 2．? =-2 |1|2 z z dz = 。 3． dz z c ?=__________。 （其中c 是从1到的直线段） 4．幂级数n n n z n ∑ +∞ =1 的收敛半径R =
5．0为 )1()(2-=z e z z f 的 阶零点。 6．2 ||2(1)(3)z dz z z =--?=____________ 7． )1(Re z z s z +∞== 。 8.1z =+arg z =_______________。 三 、计算题（共39分) 1. 已知),(),()(y x iv y x u z f +=在z 平面上是解析函数，且2 33),(xy x y x u -=，求解)(z f ， 使得i f 2)0(=。（12分） 2. 求 ) 1(1 -z z 在10<
第1章复变函数习题-答案~习题详解
第一章习题详解 1． 求下列复数z 的实部与虚部，共轭复数、模与辐角： 1) i 231 + 解： ()()()13 2349232323231231i i i i i i -=+-=-+-=+ 实部：13 3 231= ??? ??+i Re 虚部：132231-=?? ? ??+i Im 共轭复数：1323231i i += ?? ? ??+ 模：131 1323231 2 22=+= +i 辐角：πππk arctg k arctg k i i Arg 232213 3132 2231231+? ?? ??-=+-=+??? ??+=??? ??+arg 2) i i i -- 131 解： ()()()2 532332113311131312i i i i i i i i i i i i i i -=-+-=++---=+-+-=-- 实部：2 3131=??? ??--i i i Re 虚部：25131-=?? ? ??--i i i Im 共轭复数：253131 i i i i +=?? ? ??-- 模：2 34 4342531312 22= =+= --i i i 辐角：πππk arctg k arctg k i i i i i i Arg 235223252131131+??? ??-=+???? ? ??-=+??? ??--=??? ??--arg
3) ()()i i i 25243-+ 解： ()()()2 26722672 72625243i i i i i i i --= -+= --= -+ 实部：()()2725243-=?? ? ??-+i i i Re 虚部：()()1322625243-=- =?? ? ??-+i i i Im 共轭复数：()()226725243i i i i +-= ?? ? ??-+ 模： ()() 292522627252432 2 =?? ? ??-+??? ??-=-+i i i 辐角：()()ππk arctg k arctg i i i Arg 272622722625243+??? ??=+????? ? ?--=??? ??-+ 4) i i i +-21 8 4 解：i i i i i i 3141421 8-=+-=+- 实部：( )1421 8=+-i i i Re 虚部：( )3421 8-=+-i i i Im 共轭复数：() i i i i 314218+=+- 模：103142221 8 =+=+-i i i 辐角：( )()πππk arctg k arctg k i i i i i i Arg 2321324421821 8 +-=+?? ? ??-=++-=+-arg 2． 当x 、y 等于什么实数时，等式 ()i i y i x +=+-++13531成立？ 解：根据复数相等，即两个复数的实部和虚部分别相等。有： ()()()i i i y i x 8235131+=++=-++ ?? ?=-=+8321y x ? ??==?111 y x 即1=x 、11=y 时，等式成立。
复变函数习题答案第2章习题详解
第二章习题详解 1． 利用导数定义推出： 1) ()1-=n n nz z '（n 为正整数） 解： ()()()()()z z z z z n n z nz z z z z z z n n n n n z n n z n ????????-??????++-++=-+=--→→ 2210 0121lim lim ' ()()11210121----→=??????++-+= n n n n z nz z z z n n nz ??? lim 2) 211z z -=?? ? ??' 解： ()()2000111111z z z z z z z z z z z z z z z z z -=+-=+-=-+=??? ??→→→?????????lim lim lim ' 2． 下列函数何处可导？何处解析？ 1) ()iy x z f -=2 解：设()iv u z f +=，则2x u =，y v -= x x u 2=??，0=??y u ，0=??x v ，1-=??y v 都是连续函数。 只有12-=x ，即2 1- =x 时才满足柯西—黎曼方程。 ()iy x z f -=∴2在直线21-=x 上可导，在复平面内处处不解析。 2) ()3332y i x z f += 解：设()iv u z f +=，则32x u =，33y v = 26x x u =??，0=??y u ，0=??x v ，29y y v =??都是连续函数。 只有2296y x =，即032=±y x 时才满足柯西—黎曼方程。 ()3332y i x z f +=∴在直线032=±y x 上可导，在复平面内处处不解析。 3) ()y ix xy z f 22+= 解：设()iv u z f +=，则2xy u =，y x v 2=
复变函数习题及解答
第一章 复变函数习题及解答 1.1 写出下列复数的实部、虚部；模和辐角以及辐角的主值；并分别写成代数形式，三角形式和指数形式．(其中,,R αθ为实常数) （1）1--； （2） ππ2(cos isin )33-； （3）1cos isin αα-+； （4）1i e +； （5）i sin R e θ； （6）i + 答案 （1）实部－1；虚部 2；辐角为 4π 2π,0,1,2,3 k k +=±±； 主辐角为 4π3 ；原题即为代数形式；三角形式为 4π4π2(cos isin )33+；指数形式为 4π i 3 2e ． （2）略为 5π i 3 5π5π 2[cos sin ], 233i e + （3）略为 i arctan[tan(/2)][2sin()]2c e αα （4）略为 i ;(cos1isin1)ee e + （5）略为：cos(sin )isin(sin )R R θθ+ （6）该复数取两个值 略为 i i isin ),arctan(1isin ),πarctan(1θθθθθθθθ+==+==+ 1.2 计算下列复数 1）() 10 3i 1+-；2）()3 1i 1+-； 答案 1）3512i 512+-；2）()1 3π/42k π i 6 3 2e 0,1,2k +=； 1.3计算下列复数 （1 （2 答案 （1
（2）(/62/3)i n e ππ+ 1.4 已知x 为实数，求复数的实部和虚部． 【解】 令i ,(,)p q p q R =+∈，即,p q 为实数域(Real).平方得 到 22 12()2i x p q xy +=-+，根据复数相等，所以 即实部为 ,x ± 虚部为 说明 已考虑根式函数是两个值，即为±值． 1.5 如果 ||1,z =试证明对于任何复常数,a b 有| |1 az b bz a +=+ 【证明】 因为||1,11/z zz z z =∴=∴=，所以 1.6 如果复数b a i +是实系数方程 ()011 10=++++=--n n n n a z a z a z a z P 的根，则b a i -一定也是该方程的根． 证 因为0a ，1a ，… ，n a 均为实数，故00a a =，11a a =，… ，n n a a =．且 ()()k k z z =，故由共轭复数性质有：()()z P z P =．则由已知()0i ≡+b a P ．两端 取共轭得 即()0i ≡-b a P ．故b a i -也是()0=z P 之根． 注 此题仅通过共轭的运算的简单性质及实数的共轭为其本身即得证．此结论说明实系数多项式的复零点是成对出现的．这一点在代数学中早已被大家认识．特别地，奇次实系数多项式至少有一个实零点． 1.7 证明：2222 12 1212||||2(||||)z z z z z z ++-=+,并说明其几何意义． 1.8 若 (1)(1)n n i i +=-，试求n 的值. 【解】 因为 22 2244444444(1)2(cos sin )2(cos sin ) (1)2(cos sin )2(cos sin )n n n n n n n n n n n n i i i i i i ππππππππ+=+=+-=-=-
复变函数第二章习题标准答案
第二章解读函数 1-6题中： （1）只要不满足C-R 条件，肯定不可导、不可微、不解读 （2）可导、可微的证明：求出一阶偏导y x y x v v u u ,,,，只要一阶偏导存在且连续，同时满足C-R 条件。 （3）解读两种情况：第一种函数在区域内解读，只要在区域内处处可导，就处处解读；第二种情况函数在某一点解读，只要函数在该点及其邻域内处处可导则在该点解读，如果只在该点可导，而在其邻域不可导则在该点不解读。 （4）解读函数的虚部和实部是调和函数，而且实部和虚部守C-R 条件的制约，证明函数区域内解读的另一个方法为：其实部和虚部满足调和函数和C-R 条件，反过来，如果函数实部或者虚部不满足调和函数或者C-R 条件则肯定不是解读函数。 解读函数求导：x x iv u z f +=')( 4、若函数)(z f 在区域D 上解读，并满足下列的条件，证明)(z f 必为常数。 （1）证明：因为)(z f 在区域上解读，所以。 令),(),()(y x iv y x u z f +=，即x v y u y v x u ??-=????=??,0=??+??='y v i x u z f )(。 由复数相等的定义得： 00=??-=??=??=??x v y u y v x u ,。 所以，1C y x u =),((常数)，2C y x v =),((常数)，即21iC C z f +=)(为常数。 5、证明函数在平面上解读，并求出其导数。 （1） ()()0f z z D '=∈z (cos sin )(cos sin ).x x e x y y y ie y y x y -++
复变函数(第四版)课后习题答案
习题一解答 1．求下列复数的实部与虚部、共轭复数、模与辐角。 （3）(3+ 4i )(2 5i ) ； （4）i 8 4i 21 + i 1 3+ 2i 1 3i 1 i （1） ； （2） ； i 2i 3+ 2i = (3+ 2i )(3 2i ) = 1 (3 2i ) 1 3 2i 13 解 （1） 所以 ? 1 ?3+ 2i ↑ 13 ? = ← 3， Im ?? ←= 2 1 ? Re ? , 13 ?3+ 2i ↑ 2 2 1 3+ 2i = 1 1 3+ 2i = ?? 3 ? +?? 3 ? 13 (3+ 2i )， ， 13 13 ? 13 ? = 13 Arg ? 1 3+ 2i ? ? = arg ? 1 3+ 2i ? ? + 2k π 2 = arctan + 2k ,k = 0,±1,±2," 3 1 3i i 3i (1+ i ) = i 1 ( 3+ 3i )= 3 5 （2） 1 i = i ( i ) (1 i )(1+ i) i, i 2 2 2 所以 ?1 3i ? 3 , Re ? ?i 1 i ↑←= 2 ?1 3i ? ←= 5 Im ? ?i 1 i ↑ 2 2 2 1 3i = + i 5， 3 1 3i 1 i = ? ? +? ? = 34， 3 5 i 1 i ? 1 3i 2 2 i 2 2 2 1 3i ? + 2k π Arg = arg i 1 i ? i 1 i ? = arctan 5 + 2k π, k = 0,±1,±2,". 3 （3） (3+ 4i )(2 5i ) = (3+ 4i )(2 5i )( 2i ) = (26 7i )( 2i ) 2i (2i )( 2i ) 4 = 7 26i = 7 13i 2 2 所以 ?(3+ 4i )(2 5i )? Re ? ←= 7 ， ? 2i ↑ 2 ?(3+ 4i )(2 5i )? Im ? ←↑= 13， ? 2i