【经典例题剖析】一次函数
第十一章 一次函数复习课
知识点1 一次函数和正比例函数的概念
若两个变量x ，y 间的关系式可以表示成y=kx+b （k ，b 为常数，k ≠0）的形式，则称y 是x 的一次函数（x 为自变量），特别地，当b=0时，称y 是x 的正比例函数.例如：y=2x+3，y=-x+2，y=21x 等都是一次函数，y=2
1x ，y=-x 都是正比例函数.
【说明】 （1）一次函数的自变量的取值范围是一切实数，但在实际问题中要根据函数的实际意义来确定.
（2）一次函数y=kx+b （k ，b 为常数，b ≠0）中的“一次”和一元一次方程、一元一次不等式中的“一次”意义相同，即自变量x 的次数为1，一次项系数k 必须是不为零的常数，b 可为任意常数.
（3）当b=0，k ≠0时，y= kx 仍是一次函数.
（4）当b=0，k=0时，它不是一次函数.
知识点2 函数的图象
把一个函数的自变量x 与所对应的y 的值分别作为点的横坐标和纵坐标在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象．画函数图象
一般分为三步：列表、描点、连线．
知识点 3一次函数的图象
由于一次函数y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的图象是一条直线，所以一次函数y=kx+b的图象也称为直线y=kx+b．
由于两点确定一条直线，因此在今后作一次函数图象时，只要描出适合关系式的两点，再连成直线即可，一般选取两个特殊点：直线与y轴的交点（0，b），直线
b，0）.但也不必一定选取这两个特殊与x轴的交点（-
k
点.画正比例函数y=kx的图象时，只要描出点（0，0），（1，k）即可.
知识点4 一次函数y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的性质
（1）k的正负决定直线的倾斜方向；
①k＞0时，y的值随x值的增大而增大；
②k﹤O时，y的值随x值的增大而减小．
（2）|k|大小决定直线的倾斜程度，即|k|越大，直线与x轴相交的锐角度数越大（直线陡），|k|越小，直线与x轴相交的锐角度数越小（直线缓）；
（3）b的正、负决定直线与y轴交点的位置；
①当b＞0时，直线与y轴交于正半轴上；
②当b＜0时，直线与y轴交于负半轴上；
③当b=0时，直线经过原点，是正比例函数．
（4）由于k，b的符号不同，直线所经过的象限也不同；
①如图11－18（l）所示，当k＞0，b＞0时，直线经过第一、二、三象限（直线不经过第四象限）；
②如图11－18（2）所示，当k＞0，b﹥O时，直线经过第一、三、四象限（直线不经过第二象限）；
③如图11－18（3）所示，当k﹤O，b＞0时，直线经过第一、二、四象限（直线不经过第三象限）；
④如图11－18（4）所示，当k﹤O，b﹤O时，直线经过第二、三、四象限（直线不经过第一象限）．（5）由于|k|决定直线与x轴相交的锐角的大小，k 相同，说明这两个锐角的大小相等，且它们是同位角，因此，它们是平行的．另外，从平移的角度也可以分析，例如：直线y=x＋1可以看作是正比例函数y=x向上平移一个单位得到的．
知识点3 正比例函数y=kx（k≠0）的性质
（1）正比例函数y=kx的图象必经过原点；
（2）当k＞0时，图象经过第一、三象限,y随x的增大而增大；
（3）当k＜0时，图象经过第二、四象限,y随x的增大而减小．
知识点4 点P（x0，y0）与直线y=kx+b的图象的关系
（1）如果点P（x0，y0）在直线y=kx+b的图象上，那么x0,y0的值必满足解析式y=kx+b；
（2）如果x0，y0是满足函数解析式的一对对应值，那么以x0，y0为坐标的点P（1，2）必在函数的图象上．例如：点P（1，2）满足直线y=x+1，即x=1时，y=2，则点P（1，2）在直线y=x+l的图象上；点P′（2，1）不满足解析式y=x+1，因为当x=2时，y=3，所以点P′（2，1）不在直线y=x+l的图象上．
知识点 5 确定正比例函数及一次函数表达式的条件
（1）由于正比例函
数y=kx（k≠0）中只有
一个待定系数k，故只
需一个条件（如一对x，
y的值或一个点）就可
求得k的值．
（2）由于一次函数
y=kx+b（k≠0）中有两
个待定系数k，b，需要两个独立的条件确定两个关于k，b的方程，求得k，b的值，这两个条件通常是两个点或两对x，y的值．
知识点6 待定系数法
先设待求函数关系式（其中含有未知常数系数），再根据条件列出方程（或方程组），求出未知系数，从而得到所求结果的方法，叫做待定系数法．其中未知系数也叫待定系数．例如：函数y=kx+b中，k，b就是待定系数．知识点7 用待定系数法确定一次函数表达式的一般步骤
（1）设函数表达式为y=kx+b；
（2）将已知点的坐标代入函数表达式，解方程（组）；
（3）求出k 与b 的值，得到函数表达式．
例如：已知一次函数的图象经过点（2，1）和（-1，-3）求此一次函数的关系式．
解：设一次函数的关系式为y ＝kx+b （k ≠0），
由题意可知，
???+-=-+=,
3,21b k b k 解???
????-==.35,34b k ∴此函数的关系式为y=3
534-x ．
【说明】 本题是用待定系数法求一次函数的关系式，具体步骤如下：第一步，设（根据题中要求的函数“设”关系式y=kx+b ，其中k ，b 是未知的常量，且k ≠0）；第二步，代（根据题目中的已知条件，列出方程（或方程组），解这个方程（或方程组），求出待定系数k ，b ）；第三步，求（把求得的k ，b 的值代回到“设”的关系式y=kx+b 中）；第四步，写（写出函数关系式）.
思想方法小结 （1）函数方法．
函数方法就是用运动、变化的观点来分析题中的数量关系，抽象、升华为函数的模型，进而解决有关问题的方法．函数的实质是研究两个变量之间的对应关系，灵活运用函数方法可以解决许多数学问题．
（2）数形结合法．
数形结合法是指将数与形结合，分析、研究、解决问题的一种思想方法，数形结合法在解决与函数有关的问题时，能起到事半功倍的作用．
知识规律小结（1）常数k，b对直线y=kx+b(k≠0）位置的影响．
①当b＞0时，直线与y轴的正半轴相交；
当b=0时，直线经过原点；
当b﹤0时，直线与y轴的负半轴相交．
b＞0时，直线与x轴正半轴
②当k，b异号时，即-
k
相交；
b=0时，直线经过原点；
当b=0时，即-
k
b﹤0时，直线与x轴负半轴相当k，b同号时，即-
k
交．
③当k＞O，b＞O时，图象经过第一、二、三象限；
当k ＞0，b=0时，图象经过第一、三象限；
当b ＞O ，b ＜O 时，图象经过第一、三、四象限； 当k ﹤O ，b ＞0时，图象经过第一、二、四象限； 当k ﹤O ，b=0时，图象经过第二、四象限；
当b ＜O ，b ＜O 时，图象经过第二、三、四象限．
（2）直线y=kx+b （k ≠0）与直线y=kx(k ≠0)的位置关系．
直线y=kx+b(k ≠0)平行于直线y=kx(k ≠0)
当b ＞0时，把直线y=kx 向上平移b 个单位，可得直线y=kx+b ；
当b ﹤O 时，把直线y=kx 向下平移|b|个单位，可得直线y=kx+b ．
（3）直线有y 1=k 1x+b 1与直线y 2=k 2x+b 2（k 1≠0 ，k 2≠0）的位置关系．
①k 1≠k 2?y 1与y 2相交；
②???=≠21
21b b k k ?y 1与y 2相交于y 轴上同一点（0，b 1）或（0，b 2）；
③???≠=21
21,b b k k ?y 1与y 2平行；
④??
?==21
21,b b k k ?y 1与y 2重合. 典例剖析
基本概念题
本节有关基本概念的题目主要是一次函数、正比例函数的概念及它们之间的关系，以及构成一次函数及正比例函数的条件．
例1 下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？
（1）y=-2
1x ； （2）y=-x
2
； （3）y=-3-5x ； （4）y=-5x 2； （5）y=6x-21 （6）y=x(x-4)-x 2. [分析] 本题主要考查对一次函数及正比例函数的概念的理解．
解：（1）（3）（5）（6）是一次函数，（l ）（6）是正比例函数．
例2 当m 为何值时，函数y=-（m-2）x
32-m +（m-4）
是一次函数？
[分析] 某函数是一次函数，除应符合y=kx+b 外，
还要注意条件k ≠0．
解：∵函数y=（m-2）x 32
-m +（m-4）是一次函数，
∴???≠--=-,0)2(,132m m ∴m=-2.
∴当m=-2时，函数y=（m-2）x 32
-m +（m-4）是一次函数．
小结 某函数是一次函数应满足的条件是：一次项（或自变量）的指数为1，系数不为0．而某函数若是正比例函数，则还需添加一个条件：常数项为0．
基础知识应用题
本节基础知识的应用主要包括：（1）会确定函数关系式及求函数值；（2）会画一次函数（正比例函数）图象及根据图象收集相关的信息；（3）利用一次函数的图象和性质解决实际问题；（4）利用待定系数法求函数的表达式．
例3 一根弹簧长15cm ，它所挂物体的质量不能超过18kg ，并且每挂1kg 的物体，弹簧就伸长0．5cm ，写出挂上物体后，弹簧的长度y （cm ）与所挂物体的质量x(kg ）之间的函数关系式，写出自变量x 的取值范围，
并判断y是否是x的一次函数．
[分析] （1）弹簧每挂1kg的物体后，伸长0．5cm，则挂xkg的物体后，弹簧的长度y为（l5+0．5x）cm，即y=15+0．5x．
（2）自变量x的取值范围就是使函数关系式有意义的x的值，即0≤x≤18．
(3)由y=15+0．5x可知，y是x的一次函数．
解：（l）y=15+0．5x．
（2）自变量x的取值范围是0≤x≤18．
（3）y是x的一次函数．
学生做一做乌鲁木齐至库尔勒的铁路长约600千米，火车从乌鲁木齐出发，其平均速度为58千米／时，则火车离库尔勒的距离s（千米）与行驶时间t（时）之间的函数关系式是 .
老师评一评研究本题可采用线段图示法，如图11－19所示．
火车从乌鲁木齐出发，t小时所走路程为58t千米，
此时，距离库尔勒的距离为s千米，故有58t+s=600，所以，s=600-58t．
例4 某物体从上午7时至下午4时的温度M（℃）是时间t（时）的函数：M=t2-5t+100（其中t=0表示中午12时，t=1表示下午1时），则上午10时此物体的温度为℃．
［分析］本题给出了函数关系式，欲求函数值，但没有直接给出t的具体值．从题中可以知道，t=0表示中午12时，t=1表示下午1时，则上午10时应表示成t=-2，当t=-2时，M=（-2）3-5×（-2）+100=102（℃）．答案：102
例5 已知y-3与x成正比例，且x=2时，y=7.
（1）写出y与x之间的函数关系式；
（2）当x=4时，求y的值；
（3）当y=4时，求x的值．
[分析] 由y-3与x成正比例，则可设y-3=kx，由x=2，y=7，可求出k，则可以写出关系式．
解：（1）由于y-3与x成正比例，所以设y-3=kx．
把x=2，y=7代入y-3=kx中，得
7-3＝2k，
∴k＝2．
∴y与x之间的函数关系式为y-3=2x，即y=2x+3．
（2）当x=4时，y=2×4+3=11．
1.
（3）当y＝4时，4=2x+3，∴x=
2
学生做一做已知y与x+1成正比例，当x=5时，y=12，则y关于x的函数关系式是 .
老师评一评由y与x+1成正比例，可设y与x的函数关系式为y=k（x+1）.
再把x=5，y=12代入，求出k的值，即可得出y关于x的函数关系式．
设y关于x的函数关系式为y=k（x+1）.
∵当x=5时，y=12，
∴12=（5+1）k，∴k=2．
∴y关于x的函数关系式为y=2x+2．
【注意】 y与x+1成正比例，表示y=k(x+1)，不要误认为y=kx+1.
例6 若正比例函数y=（1-2m）x的图象经过点A（x1，
y1）和点B（x2，y2），当x1﹤x2时，y1＞y2，则m的取值范围是（）
A．m﹤O B．m＞0
1D．m＞1/2
C．m﹤
2
[分析] 本题考查正比例函数的图象和性质，因为当x1＜x2时，y1＞y2，说明y随x的增大而减小，所以1-2m
1，故正确答案为D项．
﹤O,∴m＞
2
学生做一做某校办工厂现在的年产值是15万元，计划今后每年增加2万元．
（1）写出年产值y（万元）与年数x（年）之间的函数关系式；
（2）画出函数的图象；
（3）求5年后的产值．
老师评一评（1）年产值y（万元）与年数x（年）之间的函数关系式为y=15+2x．
（2）画函数图象时要特别注意到该函数的自变量取值范围为x≥0，因此，函数y=15+2x的图象应为一条射线．
画
函数y=12+5x 的图象如图11－21所示．
（3）当x=5时，y ＝15+2×5=25（万元）
∴5年后的产值是25万元．
例7 已知一次函数y=kx+b 的图象如图11－22所示，求函数表达式．
［分析］ 从图象上可以看出，它与x 轴交于点（-1，0），与y 轴交于点（0，-3），代入关系式中，求出k 为即可．
解：由图象可知，图象经过点（-1，0）和（0，-3）两点，
代入到y=kx+b 中，得
???+=-+-=,03,0b b k ∴???-=-=.
3,3b k ∴此函数的表达式为y=-3x-3.
例8 求图象经过点（2，-1），且与直线y=2x+1平行的一次函数的表达式．
［分析］图象与y=2x+1平行的函数的表达式的一次项系数为2，则可设此表达式为y=2x+b，再将点（2，-1）代入，求出b即可．
解：由题意可设所求函数表达式为y=2x+b，
∴图象经过点（2，-1），
∴-l=2×2+b．
∴b=-5，
∴所求一次函数的表达式为y=2x-5.
综合应用题
本节知识的综合应用包括：（1）与方程知识的综合应用；（2）与不等式知识的综合应用；（3）与实际生活相联系，通过函数解决生活中的实际问题．
例8 已知y+a与x+b（a，b为是常数）成正比例．（1）y是x的一次函数吗？请说明理由；
（2）在什么条件下，y是x的正比例函数？
［分析］判断某函数是一次函数，只要符合y=kx+b （k，b中为常数，且k≠0）即可；判断某函数是正比例函数，只要符合y=kx(k为常数，且k≠0)即可．解：（1）y是x的一次函数．
∵y+a与x+b是正比例函数，
∴设y+a=k(x+b)（k为常数，且k≠0）
整理得y=kx+（kb-a）．
∵k≠0，k，a，b为常数，
∴y=kx+(kb-a)是一次函数．
（2）当kb-a=0，即a=kb时，
y是x的正比例函数．
例9 某移动通讯公司开设了两种通讯业务：“全球通”使用者先交50元月租费，然后每通话1分，再付电话费0．4元；“神州行”使用者不交月租费，每通话1分，付话费0．6元（均指市内通话）若1个月内通话x 分，两种通讯方式的费用分别为y1元和y2元．（1）写出y1，y2与x之间的关系；
（2）一个月内通话多少分时，两种通讯方式的费用相同？
（3）某人预计一个月内使用话费200元，则选择哪种通讯方式较合算？
［分析］这是一道实际生活中的应用题，解题时必须对两种不同的收费方式仔细分析、比较、计算，方可
得出正确结论．
解：（1）y1=50+0．4x（其中x≥0，且x是整数）
y2=0．6x（其中x≥0，且x是整数）
(2)∵两种通讯费用相同，
∴y1=y2，
即50+0．4x=0．6x．
∴x＝250．
∴一个月内通话250分时，两种通讯方式的费用相同．
（3）当y1=200时，有200=50+0．4x，
∴x=375（分）．
∴“全球通”可通话375分．
当y2=200时，有200=0．6x，
1（分）．
∴x=333
3
1分．
∴“神州行”可通话333
3
1，
∵375＞333
3
∴选择“全球通”较合算．
例10 已知y+2与x成正比例，且x=-2时，y=0．
（1）求y与x之间的函数关
系式；
（2）画出函数的图象；
（3）观察图象，当x取何值
时，y≥0？
（4）若点（m，6）在该函数的图象上，求m的值；
（5）设点P在y轴负半轴上，（2）中的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，且S△ABP=4，求P点的坐标．［分析］由已知y+2与x成正比例，可设y+2=kx，把x=-2，y=0代入，可求出k，这样即可得到y与x之间的函数关系式，再根据函数图象及其性质进行分析，点（m，6）在该函数的图象上，把x=m，y=6代入即可求出m的值．
解：（1）∵y+2与x成正比例，
∴设y+2=kx（k是常数，且k≠0）
∵当x=-2时，y=0．
∴0+2＝k·（-2），∴k＝-1．
∴函数关系式为x+2=-x，
即y=-x-2．
（2）列表；
描点、连线，图象如图11－23所示．
（3）由函数图象可知，当x ≤-2时，y ≥0．
∴当x ≤-2时，y ≥0．
(4)∵点（m ，6）在该函数的图象上，
∴6=-m-2,
∴m ＝-8．
（5）函数y=-x-2分别交x 轴、y 轴于A ，B 两点， ∴A （-2，0），B （0，-2）．
∵S △ABP =2
1·|AP|·|OA|=4，
∴|BP|=428||8==OA . ∴点P 与点B 的距离为4．
又∵B 点坐标为(0，-2),且P 在y 轴负半轴上，
∴P 点坐标为(0，-6).
例11 已知一次函数y=（3-k ）x-2k 2+18.
(完整版)函数图象变换及经典例题练习
函数图象变换 1、平移变换（左加右减上加下减）： y=f(x)h 左移→y=f(x+h); y=f(x)h 右移→y=f(x -h); y=f(x)h 上移→y=f(x)+h; y=f(x)h 下移→y=f(x)-h. 2、对称变换： y=f(x) 轴x →y= -f(x); y=f(x) 轴y →y=f(-x); y=f(x) 原点 →y= -f(-x). y=f(x) a x =→直线y=f(2a -x); y=f(x) x y =→直线y=f -1(x); 3、翻折变换： （1）函数|()|y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像的x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴上方， 去掉原x 轴下方部分，并保留()y f x =的x 轴上方部分即可得到； （2）函数(||)y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像右边沿y 轴翻折到y 轴左边替代原y 轴左 边部分并保留()y f x =在y 轴右边部分即可得到． 4、伸缩变换： y=f(x)ω?→x y=f(ωx ); y=f(x)ω ?→y y=ωf(x). 经典题型：作已知函数的图像、知式选图或知图选式、图像应用 例1．函数1 11--=x y 的图象是（ ） 答案B 例2．如图所示，)(),(),(),(4321x f x f x f x f 是定义在]1,0[上的四个函数，其中满足性质：“对]1,0[中任意的1x 和2x ，)]()([2 1)2(2121x f x f x x f +≤+恒成立”的只有（ ） 答案A
例3、利用函数x x f 2)(=的图象，作出下列各函数的图象： （1）)1(-x f ；（2）|)(|x f ；（3）1)(-x f ；（4）)(x f -；（5）.|1)(|-x f 例4已知0>a ，且≠a 1，函数x a y =与)(log x y a -=的图象只能是图中的（ ） 答案B 例5函数)(x f y =与函数)(x g y =的图象如右上，则函数)(x f y =·)(x g 的图象是（ ） 答案A 例6 已知函数y ＝f (x )的周期为2，当x ∈[－1,1]时f (x )＝x 2，那么函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝|lg x |的图象的交点共有( )． A ．10个 B ．9个 C ．8个 D ．1个 解析：画出两个函数图象可看出交点有10个．答案 A
高中数学必修一《集合与函数的概念》经典例题
高中数学必修一第一章《集合与函数概念》综合测 试题试题整理：周俞江 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正 确答案的代号填在题后的括号内（本大题共12个小题, 每小题5分，共60分）. 1.已知全集}5,4,3,2{},3,2,1{==B A ，则=B A I ( ) A. }{5,4,3,2,1 B.{}3,2,1 C.{}3,2 D.{}7,6,3 2. 若{{}|0,|12A x x B x x =<<=≤<，则A Y B=( ) A ． {}|0x x ≤ B ．{}|2x x ≥ C ．{0x ≤≤ D ．{}|02x x << 3 .在下列四组函数中，f （x ）与g （x ）表示同一函数的是（ ） A.x x y y ==,1 B ．1,112-=+?-=x y x x y C.55 ,x y x y == D ．2)(|,|x y x y == 4.函数x x x y +=的图象是（ ） 5.0≤f 不是映射的是A ．1:3f x y x ?? →= B ．1 :2 f x y x ??→= C ．1:4f x y x ??→= D ．1:6f x y x ??→= 6.函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的公共点数目是( )． A ．1 B ．0 C ．0或1 D ．1或2 7.函数1)2(++=x k y 在实数集上是增函数，则k 的范围是（ ） A ．2-≥k B ．2-≤k C ．2->k D ．2- 9.有下面四个命题： ①偶函数的图象一定与y 轴相交； ②奇函数的图象一定通过原点； ③偶函数的图象关于y 轴对称； ④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f (x )＝0(x ∈R )． 其中正确命题的个数是( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 10.图中阴影部分所表示的集合是（ ） A.B ∩［C U (A ∪C)］ B.(A ∪B) ∪(B ∪C) C.(A ∪C)∩(C U B) D.［C U (A ∩C)］∪B 11.若函数))(12()(a x x x x f -+= 为奇函数，则=a ( ) A.21 B.32 C.43 D.1 12.已知函数x x x x f 22 11)11(+-=+-，则函数)(x f 的解析式可以是（ ） A.x x 21+ B.x x 212+- C.x x 212+ D.x x 21+- 13.二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象的对称轴是x ＝2，则有( )． A ．f (1)＜f (2)＜f (4) B ．f (2)＜f (1)＜f (4) C ．f (2)＜f (4)＜f (1) D ．f (4)＜f (2)＜f (1) 14.已知函数[](]?????∈--∈-=5,2,32,13)(,2x x x x f x 则方程1)(=x f 的解是（ ） A.2或2 B.2或3 C.2或4 D.±2或4 15.函数()f x 的定义域为),(b a ，且对其内任意实数12,x x 均有：1212()[()()]0x x f x f x --<，则()f x 在),(b a 上是 A ．增函数 B ．减函数 类型一：正比例函数与一次函数定义 1、当m 为何值时，函数y=-（m-2）x +（m-4）是一次函数？思路点拨：某函数是一次函 数，除应符合y=kx+b 外，还要注意条件k≠0．解：∵函数y=-（m-2）x +（m-4）是一次函数， ∴∴ m=-2. ∴当m=-2 时，函数y=-（m-2）x +（m-4）是一次函数．举一反三： 【变式 1】如果函数是正比例函数，那么（）. A．m=2 或m=0 B．m=2 C．m=0 D．m=1 【答案】：考虑到x 的指数为1，正比例系数k≠0，即|m-1|=1；m-2≠0，求得m=0，选C 【变式2】已知y-3 与x成正比例，且x=2时，y=7. （1）写出y 与x 之间的函数关系式； （2）当x=4时，求y的值； （3）当y=4时，求x的值．解析：（1）由于y-3 与x 成正比例，所以设y-3=kx． 把x=2，y=7 代入y-3=kx 中，得 7-3 ＝2k，∴ k ＝2．∴ y与x 之间的函数关系式为y-3=2x，即 y=2x+3． （ 2 ）当x=4 时，y=2×4+3=11． （ 3 ）当y ＝ 4 时，4=2x+3 ，∴x= . 类型二：待定系数法求函数解析式 、求图象经过点（2，-1），且与直线y=2x+1 平行的一次函数的表达式． 思路点拨：图象与y=2x+1 平行的函数的表达式的一次项系数为2，则可设此表达式为 y=2x+b，再将点（2，-1）代入，求出b 即可． 解析：由题意可设所求函数表达式为y=2x+b，∵图象经过点（ 2 ，-1 ），∴ -l=2×2+b．∴ b=-5，∴所求一次函数的表达式为y=2x-5. 总结升华：求函数的解析式常用的方法是待定系数法，具体怎样求出其中的待定系数的值，要根据具体的题设条件求出。 举一反三： 【变式 1 】已知弹簧的长度y （cm）在一定的弹性限度内是所挂重物的质量x（kg ）的一次函数，现已测得不挂重物时，弹簧的长度为6cm，挂4kg 的重物时，弹簧的长度是7.2cm， 第三章 函数的应用 1：函数的零点 【典例精析】 例题1 求下列函数的零点。 （1）y=32x 2-+x ；（2）y ＝（2 x －2）（2 x －3x ＋2）。 思路导航：判断函数零点与相应的方程根的关系，就是求与函数相对应的方程的根。 答案：（1）①当x≥0时，y=x 2 +2x －3，x 2 +2x －3=0得x=+1或x=－3（舍） ②当x ＜0时，y=x 2 －2x －3，x 2－2x －3=0得x=－1或x=3（舍） ∴函数y=x 2 +2|x|－3的零点是－1，1。 （2）由（2x －2）（2 x －3x ＋2）＝0，得（x ＋2）（x －2）（x －1）（x －2）＝0， ∴x 1＝－2，x 2＝2，x 3＝1，x 4＝2。 ∴函数y ＝（x 2 －2）（x 2 －3x ＋2）的零点为－2，2，1，2。 点评：函数的零点是一个实数，不是函数的图象与x 轴的交点，而是交点的横坐标。 例题2 方程|x 2－2x|=a 2+1 （a∈R + ）的解的个数是______________。 思路导航：根据a 为正数，得到a 2 +1＞1，然后作出y=|x 2 －2x|的图象如图所示，根据图象得到y=a 2 +1的图象与y=|x 2 －2x|的图象总有两个交点，得到方程有两解。 ∵a∈R + ∴a 2 +1＞1。而y=|x 2 －2x|的图象如图， ∴y=|x 2 －2x|的图象与y=a 2 +1的图象总有两个交点。 ∴方程有两解。 答案：2个 点评：考查学生灵活运用函数的图象与性质解决实际问题，会根据图象的交点的个数判断方程解的个数。做题时注意利用数形结合的思想方法。 例题3 若函数f （x ）＝ax ＋b 有一个零点为2，则g （x ）＝bx 2 －ax 的零点是（ ） A. 0，2 B. 0，12 C. 0，－12 D. 2，－1 2 思路导航：由f （2）＝2a ＋b ＝0，得b ＝－2a ，∴g （x ）＝－2ax 2－ax ＝－ax （2x ＋1）。令g （x ）＝0，得x 1＝0，x 2＝－1 2 ，故选C 。 答案：C 【总结提升】 1. 函数y =f （x ）的零点就是方程f （x ）=0的根，因此，求函数的零点问题通常可转化为求相应的方程的根的问题。 2. 函数与方程二者密不可分，二者可以相互转化，如函数解析式y ＝f （x ）可以看作方程y －f （x ）＝0，函数有意义则方程有解，方程有解，则函数有意义，函数与方程体现了 例1（1）关于x 的方程0142)3(22=++++m x m x 有两个实根，且一个大于1，一个小于1，求m 的取值范围； （2）关于x 的方程0142)3(22=++++m x m x 有两实根都在)4,0[内，求m 的取值范围； ⑶关于x 的方程0142)3(22=++++m x m x 有两实根在[]3,1外，求m 的取值范围 （4）关于x 的方程0142)3(22=++++m x m mx 有两实根，且一个大于4，一个小于4，求m 的取值范围. 例3已知函数3)12()(2--+=x a ax x f 在区间]2,2 3[-上的最大值为1，求实数a 的值。 解（1）令142)3(2)(2++++=m x m x x f ，∵对应抛物线开口向上，∴方程有两个实根，且一个大于1，一个小于1等价于0)1( 1集合 题型1：集合的概念，集合的表示 1．下列各项中，不可以组成集合的是（ ） A ．所有的正数 B ．等于2的数 C ．接近于0的数 D ．不等于0的偶数 2．下列四个集合中，是空集的是（ ） A ．}33|{=+x x B ．},,|),{(2 2 R y x x y y x ∈-= C ．}0|{2 ≤x x D ．},01|{2 R x x x x ∈=+- 3．下列表示图形中的阴影部分的是（ ） A ．()()A C B C B ．()()A B A C C ．()()A B B C D ．()A B C 4．下面有四个命题： （1）集合N 中最小的数是1； （2）若a -不属于N ，则a 属于N ； （3）若,,N b N a ∈∈则b a +的最小值为2； （4）x x 212 =+的解可表示为{ }1,1； 其中正确命题的个数为（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 题型2：集合的运算 例1．若集合}1,1{-=A ，}1|{==mx x B ，且A B A =?，则m 的值为（ D ） A ．1 B ．1- C ．1或1- D ．1或1-或0 例2. 已知{25}A x x =-≤≤，{121}B x m x m =+≤≤-，B A ?,求m 的取值范围。 解：当121m m +>-，即2m <时，,B φ=满足B A ?，即2m <； 当121m m +=-，即2m =时，{}3,B =满足B A ?，即2m =； 当121m m +<-，即2m >时，由B A ?，得12 215m m +≥-??-≤? 即23m <≤； ∴3≤m 变式： 1．设2 2 2 {40},{2(1)10}A x x x B x x a x a =+==+++-=,其中x R ∈, 如果A B B =，求实数a 的取值范围。 A B C 1．小骑自行车匀速从甲地到乙地，在途中休息了一段时间后，仍按原速行驶.他距乙地的距离与时间的关系如图中折线 所示，小骑摩托车匀速从乙地到甲地，比小晚出发一段时间，他距乙地的距离与时间的关系如图中线段ＡＢ所示． （１）小到达甲地后，再经过＿＿＿小时小到达乙地；小骑自行车的速度是＿＿＿千米／小时. （２）小出发几小时与小相距15千米？ （３）若小想在小休息期间与他相遇，则他出发的时间x 应在什么围？（直接写出答案） 2,甲、乙两人骑自行车前往 A 地，他们距A 地的路程(km)s 与行驶时间(h)t 之间的关系如图13所示，请根据图象所 提供的信息解答下列问题： （1）甲、乙两人的速度各是多少？（4分） （2）写出甲、乙两人距A 地的路程s 与行驶时间t 之间的函数关系式（任写一个） ．（3分） （3）在什么时间段乙比甲离A 地更近？（3分） 3．（2011，23， 12分) 周六上午8：00小明从家出发，乘车1小时到郊外某基地参加社会实践活动，在基地活动2.2小时后，因家里有急事，他立即按原路以4千米/时的平均速度步行返回．同时爸爸开车从家出发沿同一路线接他，在离家28千米处与小明相遇。接到小明后保持车速不变，立即按原路返回．设小明离开家的时间为x 小时，小名离家的路程y (干米) 与x (小时)之间的函致图象如图所示， (1)小明去基地乘车的平均速度是________千米/小时，爸爸开车的平均速度应是________千米/小时； (2)求线段CD 所表示的函敛关系式； (3)问小明能否在12：0 0前回到家？若能，请说明理由：若不能，请算出12：00时他离家的路程， (第23题图) x （小时） 图13 二次函数经典例题及答案 1.已知抛物线的顶点为P (- 4,—2)，与x轴交于A B两点，与y轴交于点C,其中B点坐标为(1 , 0)。 (1) 求这条抛物线的函数关系式； (2) 若抛物线的对称轴交x轴于点D,则在线段AC上是否存在这样的点Q,使得△ ADQ 1 2 9 . 135 y=2 x +4x - 2；存在点Q (-1 , -4 ) , Q (2^5-9，-%'5 ) , Q (--^, -4) ?析 一2 25 试题分析：(1)根据顶点坐标把抛物线设为顶点式形式y=a ( x+4) - 2，然后把点B的坐 标代入解析式求出a的值，即可得解； (2)先根据顶点坐标求出点D 的坐标，再根据抛物线解析式求出点A、C的坐标，从而得 到OA OC AD的长度，根据勾股定理列式求出AC的长度，然后根据锐角三角形函数求出/ OAC勺正弦值与余弦值，再分① AD=QD时，过Q作QE1丄x轴于点E,根据等腰三角形三线合一的性质求出AQ,再利用/ OAC勺正弦求出QE的长度，根据/ OAC勺余弦求出AE的长度，然后求出OE,从而得到点Q的坐标；②AD=AQ时，过Q作QE2丄x轴于点E＞，利用/ OAC勺正弦求出QE2的长度，根据/ OAC勺余弦求出AE的长度，然后求出OE，从而得到点Q的坐标；③AQ=DQ时，过Q作QE3丄x轴于点已，根据等腰三角形三线合一的性质求出AE 的长度，然后求出OE,再由相似三角形对应边成比例列式求出QE3的长度，从而得到点Q 的坐标. 试题解析：(1 )???抛物线顶点坐标为( 25 -4 , - 2), ???设抛物线解析式为 2 25 y=a (x+4) - 2 为等腰三角形？若存在，请求出符合条件的点 求分段函数的导数 例 求函数?????=≠=0 ,00 ,1sin )(2 x x x x x f 的导数 分析：当0=x 时因为)0(f '存在，所以应当用导数定义求)0(f '，当 0≠x 时，)(x f 的关系式是初等函数x x 1 sin 2，可以按各种求导法同求它的导数． 解：当0=x 时，01sin lim 1 sin lim ) 0()(lim )0(0200 ===-='→?→?→?x x x x x x f x f f x x x 当 ≠x 时， x x x x x x x x x x x x x x x f 1 cos 1sin 2)1cos 1(1sin 2)1(sin 1sin )()1sin ()(22222-=-+='+'='=' 说明：如果一个函数)(x g 在点0x 连续，则有)(lim )(0 0x g x g x x →=，但如 果我们不能断定)(x f 的导数)(x f '是否在点00=x 连续，不能认为 )(lim )0(0 x f f x →='． 指出函数的复合关系 例 指出下列函数的复合关系． 1．m n bx a y )(+=；2．32ln +=x e y ； 3．)32(log 322+-=x x y ；4．)1sin(x x y +=。 分析：由复合函数的定义可知，中间变量的选择应是基本函数的结构，解决这类问题的关键是正确分析函数的复合层次，一般是从最外层开始，由外及里，一层一层地分析，把复合函数分解成若干个常 见的基本函数，逐步确定复合过程． 解：函数的复合关系分别是 1．n m bx a u u y +==,； 2．2,3,ln +===x e v v u u y ； 3．32,log ,322+-===x x v v u y u ； 4．.1,sin ,3x x v v u u y +=== 说明：分不清复合函数的复合关系，忽视最外层和中间变量都是基本函数的结构形式，而最内层可以是关于自变量x 的基本函数，也可以是关于自变量的基本函数经过有限次的四则运算而得到的函数，导致陷入解题误区，达不到预期的效果． 求函数的导数 例 求下列函数的导数． 1．43)12(x x x y +-=；2．2 211x y -= ； 3．)3 2(sin 2π +=x y ；4．21x x y +=。 分析：选择中间变量是复合函数求导的关键．必须正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的，分清其间的复合关系．要善于把一部分量、式子暂时当作一个整体，这个暂时的整体，就是中间变量．求导时需要记住中间变量，注意逐层求导，不遗漏，而其中特别要注意中间变量的系数．求导数后，要把中间变量转换成自变量的函数．一次函数经典例题
必修1 第三章函数的应用经典例题讲解
高中数学二次函数分类讨论经典例题
高一数学必修一函数经典题型复习
一次函数经典练习题精心整理
二次函数经典例题及答案
高中数学典型例题详解和练习- 求分段函数的导数
必修一函数的单调性专题讲解(经典)
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