导数综合练习(2016年5月23)【教师】

导数综合练习（2016/5/23）

1．函数()3

2

392f x x x x =--+在[]2,2-最大值是（ ）

A ．-25

B ．7

C ．0

D ．-20 【答案】B 试题分析：()()32

2392'3

69f

x x x x f x x x =--+∴=--Q ，[]2,2x ∈-，令()0'f x >，得[)2,1--

单调递增，

(]

1,2-单调递减，所以

()()max 113927f x f =---++==.

2．函数2()x

e f x x

=的导函数为（ ）

A.2()2x

f x e '= B.22

(21)()x x e f x x -'= C.22()x e f x x '= D.22

(1)()x

x e f x x -'= 【答案】B

试题分析：=-=-=2

222'2'2'

2)()()(x

e x e x x e x e x

f x x x x 22(21)x

x e x -，故选B. 3．函数322

()f x x ax bx a =--+在1x =处有极值10，则点（a ，b ）为（ ） A ．（3，﹣3） B ．（﹣4，11） C ．（3，﹣3）或（﹣4，11） D ．不存在

【答案】C 试题分析：由题意知

,

1011101213,10)1(0)1(2232'=+?-?-=-?-?∴==a b a b a f f 且且解得

11,43,3=-=-==b a b a 或，故选C.

4．已知()3

21233

y x bx b x =++++是R 上的单调增函数，则b 的取值范围是（ ） A ．1b <-或2b > B ．12b -≤≤ C ．12b -<< D ．1b ≤-或2b ≥

【答案】B

试题分析：()3

21233

y x bx b x =

++++是R 上的单调增函数,则()2'220y x bx b =+++≥恒成立,

即()()2

2420b b ?=-+≤,解得12b -≤≤.故B 正确.

5．若函数()f x 的导函数2

'()43f x x x =-+，则使得函数()1f x - 单调递减的一

个充分不必要条件是x ∈（ ）

A ．[]0,1

B ．[]3,5

C ．[]2,3

D ．[]

2,4

【答案】C

试题分析：()()2'()4313f x x x x x =-+=--，所以()f x 在区间[]

1,3上单调递减，

()f x 图象向右平移一个单位得到()1f x -图象，所以()1f x -在区间[]2,4上单调递

减.用集合的观点考虑“充分不必要条件”，在选项中，范围比[]

2,4小的选项为C ． 6．()f x 是定义在()0+∞，上的非负可导函数，且满足()()'0xf x f x -≤，对任意正数a b 、，若a b <，则必有（ ）

A ．()()af b bf a ≤

B ．()()bf a af b ≤

C ．()()af a f b ≤

D ．()()bf b f a ≤ 【答案】A

试题分析：设()()(0);f x g x x x =

>则2

()()

();xf x f x g x x '-'=因为0x >时，()()0x f x f x '-<；所以0x >时，()0,g x '<则函数()

()f x g x x =在(0,)+∞上是减函

数；所以对任意正数a b ，，若a b <，则必有()()

()(),f a f b g a g b a b

=>=即()().bf a af b >故选A ．

7．设函()f x 在定数义域内可导，()y f x =的图象如图1所示，则导函数()y f x '=可能为（ ）

【答案】D

试题分析：由题意得()f x 的图象判断出()f x 在区间(,0)-∞上递增；在区间(0,)+∞上先减后增，所以在区间(,0)-∞上()0f x '>，在(0,)+∞上先有()0f x '>再由

()0f x '<再有()0f x '>，导函数()y f x '=可能为选项D ，故选D ．

8．下图是函数()y f x =的导函数()'

y f

x =的图象，给出下列命题：

①3-是函数()y f x =的极小值点； ②1-是函数()y f x =的极小值点；③

()y f x =在0x =处切线的斜率小于零； ④()y f x =在区间()3,1-上单调增。则正

确命题的序号是（ ）

A ． ①④

B ．①②

C ．②③

D ．③④ 【答案】A

试题分析：根据导函数图象可知当x ∈（-∞，-3）时，f'（x ）＜0，在x ∈（-3，1）时，f'（x ）≤0∴函数y=f （x ）在（-∞，-3）上单调递减，在（-3，1）上单调递增，故④正确，则-3是函数y=f （x ）的极小值点，故①正确，∵在（-3，1）上单调递增∴-1不是函数y=f （x ）的最小值点，故②不正确；∵函数y=f （x ）在x=0处的导数大于0∴切线的斜率大于零，故③不正确

9．已知函数()f x 的定义域为()()0,,f x '+∞为()f x 的导函数，且满足

()()f x xf x '<-，则不等式()21(1)(1)f x x f x +>--的解集是( )

A ． ()1,+∞

B ．()2,+∞

C ．(1,2)

D ． ()0,1 【答案】B

试题分析：()()()()()'

00f x xf x f x xf x xf x ''<-∴+<∴

()g x 单调递减，()21(1)(1)f x x f x +>--变形为

()()2211(1)(1)x f x x f x ++>-- 2210

1011x x x x +>??

∴->??+<-?

，解不等式得解集为()2,+∞

10．函数()f x 是定义在区间()0,+∞上可导函数，其导函数为()'

f

x ，且满足

()()'20xf x f x +>，则不等式

()()()

201620165552016

x f x f x ++<

+的解集为（ ）

A ．{}|2011x x >-

B ．{}|2011x x <-

C ．{}|20162011x x -<<-

D ．{}|20110x x -<< 【答案】C 试题分析：由()()'

20xf

x f x +>，则当()0,x ∈+∞时，()()2'20x f x xf x +>，即

()()2'[()]20xf x x f x xf x '=+>，所以函数()xf x 为单调递增函数，由

()()()201620165552016

x f x f x ++<

+，即()()()22

2016201655x f x f ++<，所以

020165x <+<，所以不等式的解集为{}|20162011x x -<<-，故选C.

11．设函数()f x 的导函数为()f x '，且()()221f x x x f '=+?，则()0f '等于 . 试题分析：由题意得，

()()221f x x f ''=+，令1x =，得

()()

()122112f f f '''=+?=-，令0x =，则()()020214f f ''=?+=-

12．函数x

x

x f +=

1cos )(在(0,1)处的切线方程是 . 试题分析：由题意得，22

(cos )(1)cos (1)sin (1)cos ()(1)(1)x x x x x x x

f x x x ''+-?++-'=

=

++，则2

sin 0(10)cos0

(0)1(10)

f +-'=

=-+，即切线的斜率1k =-，所以切线方程为01y x -=-，即01=-+y x ．

13．求过曲线32y x x =-上的点(1

1)-，的切线方程． 解：设想00()P x y ，为切点，则切线的斜率为02032x x y x ='=-|．

∴切线方程为2000(32)()y y x x x -=--．320000(2)(32)()y x x x x x --=--．

又知切线过点(1

1)-，，把它代入上述方程，得3200001(2)(32)(1)x x x x ---=--． 解得01x =，或01

2x =-

．故所求切线方程为(12)(32)(1)y x --=--，或13112842y x ??????

--+=-+ ? ????????

?，即20x y --=，或5410x y +-=．

14．已知函数f （x ）=x 3

+ax 2

+bx+a 2

（a ＞0）在x=1处有极值10．

（1）求a 、b 的值；

（2）求f （x ）的单调区间；

（3）求f （x ）在[0，4]上的最大值与最小值．

解：（1）由f′（1）=3+2a+b=0，f （1）=1+a+b+a 2

=10，得a=4，或a=﹣3 ∵a ＞0，∴a=4，b=﹣11（经检验符合）

（2）f （x ）=x 3+4x 2﹣11x+16，f'（x ）=3x 2

+8x ﹣11， 由f′（x ）=0得

所以令f′（x ）＞0得；令

所以f （x ）在

上单调递增，

上单调

递减．

（3）由（2）知：f （x ）在（0，1）上单调递减，（1，4）上单调递增， 又因为f （0）=16，f （1）=10，f （4）=100， 所以f （x ）的最大值为100，最小值为1020．

15．已知函数()e ln 1x

f x m x =--.

（Ⅰ）当1m =时，求曲线()y f x =在点()()

11f ，处的切线方程； （Ⅱ）当1m ≥时，证明：()1f x >.

试题解析：（Ⅰ）解：当1m =时，()e ln 1x f x x =--，所以1

()e x f x x

'=-

． 所以(1)e 1f =-，(1)e 1f '=-. 所以曲线()y f x =在点()()

11f ，处的切线方程为

(e 1)(e 1)(1)y x --=--．即()e 1y x =-.

（Ⅱ）证法一：当1m ≥时，()e ln 1e ln 1x x f x m x x =--≥--.

要证明()1f x >，只需证明e ln 20x

x -->.

以下给出三种思路证明e ln 20x x -->.

思路1：设()e ln 2x g x x =--，则1()e x

g x x

'=-

. 设1()e x

h x x =-

，则21()e 0x

h x x

'=+>， 所以函数()h x =1()e x

g x x

'=-在0+∞（，）上单调递增 因为1

21e 202g ??

'=-< ???

，(1)e 10g '=->，

所以函数1()e x

g x x '=-

在0+∞（，）上有唯一零点0x ，且01,12x ??∈ ???

因为0()0g x '=时，所以0

1

e

x x =

，即00ln x x =- 当()00,x x ∈时，()0g x '<；当()0,x x ∈+∞时，()0g x '> 所以当0x x =时，()g x 取得最小值()0g x ． 故()00000

1

()=e ln 220x

g x g x x x x ≥--=

+->． 综上可知，当1m ≥时，()1f x >.

思路2：先证明e 1x

x ≥+()x ∈R ．

设()e 1x

h x x =--，则()e 1x

h x '=-．

因为当0x <时，()0h x '<，当0x >时，()0h x '>，

所以当0x <时，函数()h x 单调递减，当0x >时，函数()h x 单调递增． 所以()()00h x h ≥=．

所以e 1x x ≥+（当且仅当0x =时取等号）． 所以要证明e ln 20x x -->， 只需证明()1ln 20x x +-->． 下面证明ln 10x x --≥． 设()ln 1p x x x =--，则()11

1x p x x x

-'=-

=

． 当01x <<时，()0p x '<，当1x >时，()0p x '>，

所以当01x <<时，函数()p x 单调递减，当1x >时，函数()p x 单调递增． 所以()()10p x p ≥=．

所以ln 10x x --≥（当且仅当1x =时取等号）．

由于取等号的条件不同， 所以e ln 20x x -->．

综上可知，当1m ≥时，()1f x >.

（若考生先放缩ln x ，或e x 、ln x 同时放缩，请参考此思路给分！）

思路3：先证明e ln 2x

x ->.

因为曲线e x

y =与曲线ln y x =的图像关于直线y x =对称，

设直线x t =()0t >与曲线e x

y =，ln y x =分别交于点A ，B ，点A ，B 到直线y x =

的距离分别为1d ，2d ，

则)12AB d d +． 其中

1t d =

2d ()0t >．

①设()e t h t t =-()0t >，则()e 1t h t '=-． 因为0t >，所以()e 10t h t '=->．

所以()h t 在()0,+∞上单调递增，则()()01h t h >=．

所以

1t d =

>．

②设()ln g t t t =-()0t >，则()11

1t g t t t

-'=-=．

因为当01t <<时，()0g t '<；当1t >时，()0g t '>，

所以当01t <<时，()ln g t t t =-单调递减；当1t >时，()ln g t t t =-单调递增． 所以()()11g t g ≥=．

所以2d =

≥

所以

)122AB d d =+>=?． 综上可知，当1m ≥时，()1f x >.

证法二：因为()e ln 1x f x m x =--，

要证明()1f x >，只需证明e ln 20x

m x -->.

以下给出两种思路证明e ln 20x

m x -->.

思路1：设()e ln 2x

g x m x =--，则1()e x g x m x

'=-

. 设1()e x

h x m x =-

，则21()e 0x

h x m x

'=+>． 所以函数()h x =()1e x

g x m x

'=-在()0+∞，上单调递增．

因为11

221e 2e 202m m

g m m m m ????'=-=-< ? ?

????

，()1e 10g m '=->， 所以函数1()e x

g x m x '=-

在()0+∞，上有唯一零点0x ，且01,12x m ??

∈

???

. 因为()00g x '=，所以0

1

e

x m x =

，即00ln ln x x m =--． 当()00,x x ∈时，()0g x '<；当()0,x x ∈+∞时，()0g x '>. 所以当0x x =时，()g x 取得最小值()0g x ．

故()()00000

1

e ln 2ln 20x

g x g x m x x m x ≥=--=

++->． 综上可知，当1m ≥时，()1f x >．

思路2：先证明e 1()x x x ≥+∈R ，且ln 1(0)x x x ≤+>． 设()e 1x F x x =--，则()e 1x F x '=-．

因为当0x <时，()0F x '<；当0x >时，()0F x '>， 所以()F x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增． 所以当0x =时，()F x 取得最小值(0)0F =．

所以()(0)0F x F ≥=，即e 1x

x ≥+（当且仅当0x =时取等号）．

由e 1()x x x ≥+∈R ，得1e x x -≥（当且仅当1x =时取等号）． 所以ln 1(0)x x x ≤->（当且仅当1x =时取等号）． 再证明e ln 20x m x -->．

因为0x >，1m ≥，且e 1x x ≥+与ln 1x x ≤-不同时取等号， 所以()()e ln 2112x m x m x x -->+---()()11m x =-+0≥． 综上可知，当1m ≥时，()1f x >． 16．已知函数)()(R a e ax x f x

∈-=，x

x

x g ln )(=. （1）求函数)(x f 的单调区间；

（2）),0(0+∞∈?x ，使不等式x

e x g x

f -≤)()(成立，求a 的取值范围. 试题解析：（1）∵R x e a x f x

∈-=,)('， 由0)('>x f 得)(x f 的单调递增区间为)0,(-∞； 由0)('

（2）∵),0(0+∞∈?x ，使不等式x

e x g x

f -≤)()(成立，则x x ax ln ≤

，即2ln x

x

a ≤. 设2ln )(x x x h =

，则问题转化为

max 2)ln (x x

a ≤ 由3

ln 21)('x x

x h -=，令0)('=x h ，则e x =.

当x 在区间),0(+∞内变化时，)('x h 、)(x h 变化情况如下表：

由上表可知，当e x =时，函数)(x h 有极大值，即最大值

e

21. ∴≤a e

21.

教师用导数及其应用1

第十二章 导数及其应用 【知识图解】 【方法点拨】 导数的应用极其广泛，是研究函数性质、证明不等式、研究曲线的切线和解决一些实际问题的有力工具，也是提出问题、分析问题和进行理性思维训练的良好素材。同时，导数是初等数学与高等数学紧密衔接的重要内容，体现了高等数学思想及方法。 1．重视导数的实际背景。导数概念本身有着丰富的实际意义，对导数概念的深刻理解应该从这些实际背景出发，如平均变化率、瞬时变化率和瞬时速度、加速度等。这为我们解决实际问题提供了新的工具，应深刻理解并灵活运用。 2．深刻理解导数概念。概念是根本，是所有性质的基础，有些问题可以直接用定义解决。在理解定义时，要注意“函数()f x 在点0x 处的导数0()f x '”与“函数()f x 在开区间(,)a b 内的导数()f x '”之间的区别与联系。 3．强化导数在函数问题中的应用意识。导数为我们研究函数的性质，如函数的单调性、极值与最值等，提供了一般性的方法。 4．重视“数形结合”的渗透，强调“几何直观”。在对导数和定积分的认识和理解中，在研究函数的导数与单调性、极值、最值的关系等问题时，应从数值、图象等多个方面，尤其是几何直观加以理解，增强数形结合的思维意识。 5．加强“导数”的实践应用。导数作为一个有力的工具，在解决科技、经济、生产和生活中的问题，尤其是最优化问题中得到广泛的应用。 6．（理科用）理解和体会“定积分”的实践应用。定积分也是解决实际问题（主要是几何和物理问题）

的有力工具，如可以用定积分求一些平面图形的面积、旋转体的体积、变速直线运动的路程和变力作的功等，逐步体验微积分基本定理。 第1课 导数的概念及运算 【考点导读】 1.了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等)； 2.掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念; 3.熟记基本导数公式； 4.掌握两个函数和、差、积、商的求导法则; 5.了解复合函数的求导法则.会求某些简单函数的导数.（理科） 【基础练习】 1．设函数f （x ）在x =x 0处可导,则0lim →h h x f h x f )()(00-+与x 0,h 的关系是 仅与x 0有关而与h 无关 。 2．一点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的距离为t t t t s 873 741234-+-= ，那么速度为零的时刻是 1，2，4秒末。 3．已知)1()('23f x x x f +=, 则=)2('f 0 。 4．已知),(,cos 1sin ππ-∈+=x x x y ,则当2'=y 时,=x 3 2π±。 5．（1）已知a x x a x f =)(,则=)1('f 2ln a a a +。 （2）（理科）设函数5()ln(23)f x x =-，则f ′1 ()3 ＝15-。 6．已知两曲线ax x y +=3和c bx x y ++=2都经过点P （1,2），且在点P 处有公切线，试求a,b,c 值。 解：因为点P （1,2）在曲线ax x y +=3上，1=∴a 函数ax x y +=3和c bx x y ++=2的导数分别为a x y +='23和b x y +='2，且在点P 处有公切数 b a +?=+?∴12132，得b=2 又由c +?+=12122，得1-=c 【范例导析】 例1． 电流强度是单位时间内通过导体的电量的大小。从时刻0t =开始的t 秒内，通过导体的电量（单位：库仑）可由公式2 23q t t =+表示。 （1） 求第5秒内时的电流强度； （2） 什么时刻电流强度达到63安培（即库仑/秒）？ 分析：为了求得各时刻的电流强度，类似求瞬时速度一样，先求平均电流强度，然后再用平均电流强度逼近瞬时电流强度。 解：（1）从时刻0t 到时刻0t t + 通过导体的这一横截面的电量为：

第13讲 函数与导数之导数及其应用(教师版)

第13讲 函数与导数之导数及其应用 一． 基础知识回顾 1．函数的平均变化率：一般地，已知函数y ＝f (x )，x 0，x 1是其定义域内不同的两点，记Δx ＝x 1－x 0，Δy ＝y 1－y 0＝f (x 1)－f (x 0)＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)，则当Δx ≠0时，商00()() f x x f x x +-△△＝Δy Δx 称作函数y ＝f (x )在区间[x 0，x 0＋Δx ](或[x 0＋Δx ，x 0])的平均变化率． 2．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数：(1)定义：函数y ＝f (x)在点x 0处的瞬时变化率0lim x y x →△△△通常称为f (x )在x ＝x 0处的导数，并记作f ′(x 0)，即00'()lim x y f x x →=△△△． (2)几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是过曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))的 切线的斜率．导函数y ＝f ′(x )的值域即为切线斜率的取值范围． 3．函数f (x )的导函数：如果函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内每一点都是可导的，就说f (x )在开 区间(a ，b )内可导，其导数也是开区间(a ，b )内的函数，又称作f (x )的导函数，记作y ′或f ′(x)． 4．基本初等函数的导数公式表（右表） 5．导数运算法则 (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x ) ； (2)[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)????f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2 [g (x )≠0]． 5．导数和函数单调性的关系：(1)若 f ′(x )>0在(a ，b )上恒成立，则f (x )在(a ，b )上是增函数，f ′(x )>0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；(2)若f ′(x )<0在(a ，b )上恒成立，则f (x )在(a ， b )上是减函数，f ′(x )<0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间(3)若在(a ，b )上， f ′(x )≥0，且f ′(x )在(a ，b )的任何子区间内都不恒等于零?f (x )在(a ，b )上为增函数，若在 (a ，b )上，f ′(x )≤0，且f ′(x )在(a ，b )的任何子区间内都不恒等于零?f (x )在(a ，b )上为减函 数． 6．函数的极值：(1)判断f (x 0)是极值的方法：一般地，当函数f (x )在点x 0处连续时，① 如果在x 0附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，那么f (x 0)是极大值；②如果在x 0附近的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0，那么f (x 0)是极小值．(2)求可导函数极值的步骤①求f ′(x )；②求 方程f ′(x )＝0的根；③检查f ′(x )在方程f ′(x )＝0的根左右值的符号．如果左正右负，那 么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值． 7．函数的最值：(1)函数f (x )在[a ，b ]上必有最值的条件如果函数y ＝f (x )的图象在区间[a ，b ] 上连续，那么它必有最大值和最小值．(2)求函数y ＝f (x )在[a ，b ]上的最大值与最小值的步骤： ①求函数y ＝f (x )在(a ，b )内的极值；②将函数y ＝f (x )的各极值与端点值比较，其中最大的一 个是最大值，最小的一个是最小值． 二．典例精析 探究点一：导数的运算 例1：求下列函数的导数： (1)y ＝(1－x )? ???1＋1x ； (2)y ＝ln x x ；(3)y ＝x e x ； (4)y ＝tan x . 解：(1)∵y ＝(1－x )????1＋1x ＝1x －x ＝1122x x --，∴y ′＝11 22()'()'x x --＝31 221122x x ----.

高中数学人教版选修2-2导数及其应用知识点总结

数学选修2-2导数及其应用知识点必记 1．函数的平均变化率是什么？ 答：平均变化率为 = ??=??x f x y x x f x x f x x x f x f ?-?+=--)()()()(111212 注1：其中x ?是自变量的改变量，可正，可负，可零。 注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。 2、导函数的概念是什么？ 答：函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或0|'x x y =，即)(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 3.平均变化率和导数的几何意义是什么？ 答：函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。 4导数的背景是什么？ 答：（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；（3）边际成本。 5、常见的函数导数和积分公式有哪些？ 函数 导函数 不定积分 y c = 'y =0 ———————— n y x =()*n N ∈ 1'n y nx -= 1 1n n x x dx n +=+? x y a =()0,1a a >≠ 'ln x y a a = ln x x a a dx a =? x y e = 'x y e = x x e dx e =? log a y x =()0,1,0a a x >≠> 1 'ln y x a = ———————— ln y x = 1'y x = 1 ln dx x x =? sin y x = 'cos y x = cos sin xdx x =? cos y x = 'sin y x =- sin cos xdx x =-? 6、常见的导数和定积分运算公式有哪些？

高考文科数学真题汇编：导数及应用老师版.doc

2012-2017 年高考文科数学真题汇编：导数及应用老师版

学科教师辅导教案 学员姓名年级高三辅导科目数学 授课老师课时数2h 第次课授课日期及时段2018 年月日： —： 历年高考试题汇编（文）——导数及应用 1．（2014 大纲理）曲线y xe x 1在点（1,1）处切线的斜率等于（ C ） A ．2e B．e C．2D．1 2.(2014 新标 2 理) 设曲线 y=ax-ln(x+1) 在点 (0,0)处的切线方程为 y=2x，则 a= （ D ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3.( 2013 浙江文 ) 已知函数 y＝f(x)的图象是下列四个图 象之一，且其导函数 y＝f′(x)的图象如右图所示，则该函数的图象是 ( B ) 4．（2012 陕西文）设函数 f（x）= 2x +lnx 则（ D ）A ．x= 1为 f(x) 的极大值点B．x= 1为

f(x) 的极小值点 C．x=2 为 f(x) 的极大值点D．x=2 为 f(x) 的极小值点 5.(2014 新标 2 文) 函数f (x)在x x0 处导数存在，若p : f ( x0 )0 ： q : x x0是 f ( x) 的极值点，则 A ．p是q的充分必要条件 B. p是q的充分条件，但不是 q 的必要条件 C. p是q的必要条件，但不是q的充分条件 D. p既不是 q 的充分条件，也不是 q 的必要条件 【答案】 C 6．（2012 广东理）曲线y x3 x 3 在点 1,3 处的切线方程为 ___________________. 【答案】 2x-y+1=0 7．（2013 广东理）若曲线y kx ln x 在点 (1,k) 处的切线平行于 x 轴，则k 【答案】 -1 8．（2013 广东文）若曲线y ax2 ln x 在点 (1,a) 处的切线平行于 x 轴，则 a ． 【答案】1 2 9 ． ( 2014 广东文 ) 曲线y 5 e x 3 在点 (0, 2) 处的切线方程为.

学高中数学导数及其应用定积分的概念教师用书教案新人教A版选修

１．５定积分的概念 学习目标 核心素养 １．了解定积分的概念．（难点） ２．理解定积分的几何意义．（重点、易错点） ３．通过求曲边梯形面积的过程和解决有关汽车行驶路程问题的过程，了解“以直代曲”“以不变代变”的思想．（难点） ４．能用定积分的定义求简单的定积分．（重点）１．通过曲边梯形面积和汽车行驶路程及定积分概念的学习，培养学生的数学抽象及数学运算的核心素养. ２．借助定积分的几何意义及性质的学习，培养学生的直观想象及逻辑推理的核心素养. １．曲边梯形的面积和汽车行驶的路程 （１）曲边梯形的面积 １曲线梯形：由直线x＝a，x＝b（a≠b），y＝0和曲线y＝f （x）所围成的图形称为曲边梯形（如图１所示）． ２求曲边梯形面积的方法 把区间[a，b]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形，对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值（如图２所示）． 图１图２ ３求曲边梯形面积的步骤：分割，近似代替，求和，取极限． （２）求变速直线运动的（位移）路程 如果物体做变速直线运动，速度函数v＝v（t），那么也可以采用分割，近似代替，求和，取极限的方法，求出它在a≤t≤b内所作的位移s.

２．定积分的概念 如果函数f （x ）在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0＜x １＜…＜x i —１＜x i ＜…＜x n ＝b 将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i —１，x i ]上任取一点ξi （i ＝１,２，…，n ）作和式错误!f （ξi ）Δx ＝错误! 错误!f （ξi ），当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f （x ）在区间[a ，b ]上的定积分，记作错误!f （x ）d x ，即错误!f （x ）d x ＝错误!.其中a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，函数f （x ）叫做被积函数，x 叫做积分变量，f （x ）d x 叫做被积式． 思考：错误!f （x ）d x 是一个常数还是一个变量？错误!f （x ）d x 与积分变量有关系吗？ [提示] 由定义可得定积分错误!f （x ）d x 是一个常数，它的值仅取决于被积函数与积分上、下限，而与积分变量没有关系，即错误!f （x ）d x ＝错误!f （t ）d t ＝错误!f （u ）d u . ３．定积分的几何意义与性质 （１）定积分的几何意义 由直线x ＝a ，x ＝b （a ＜b ），x 轴及一条曲线y ＝f （x ）所围成的曲边梯形的面积设为S ，则有： １ ２ ３ １在区间[a ，b ]上，若f （x ）≥0，则S ＝错误!f （x ）d x ，如图１所示，即错误! f （x ）d x ＝S . ２在区间[a ，b ]上，若f （x ）≤0，则S ＝—错误!f （x ）d x ，如图２所示，即错误!f （x ）d x ＝—S . ３若在区间[a ，c ]上，f （x ）≥0，在区间[c ，b ]上，f （x ）≤0，则S ＝错误!f （x ）d x —错误!f （x ）d x ，如图３所示，即错误!（S A ，S B 表示所在区域的面积）． （２）定积分的性质 １错误!kf （x ）d x ＝k 错误!f （x ）d x （k 为常数）； ２错误![f １（x ）±f ２（x ）]d x ＝错误!f １（x ）d x ±错误!f ２（x ）d x ； ３错误!f （x ）d x ＝错误!f （x ）d x ＋错误!f （x ）d x （其中a ＜c ＜b ）． １．在“近似代替”中，函数f （x ）在区间[x i ，x i ＋１]上的近似值（ ） Ａ．只能是左端点的函数值f （x i ）

2020衡水名师原创理科数学专题卷：专题05《导数及其应用》【教师版】

2020衡水名师原创理科数学专题卷 专题五 导数及其应用 考点13：导数的概念及运算（1,2题） 考点14：导数的应用（3-11题，13-15题，17-22题） 考点15：定积分的计算（12题，16题） 考试时间：120分钟 满分：150分 说明：请将选择题正确答案填写在答题卡上，主观题写在答题纸上 第I 卷（选择题） 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。） 1.函数()2sin f x x =的导数是（ ） A.2sin x B.22sin x C.2cos x D.sin 2x 答案．D 【解析】由题意得，函数的导数为()2 (sin )2sin (sin )2sin cos sin 2f x x x x x x x '''==?==. 2．已知()2 1cos 4 f x x x = +，()'f x 为()f x 的导函数，则()'f x 的图像是（ ） A 【解析】由题意得，()1 sin 2 f x x x '=-， 所以()11 ()sin()[sin ]()22f x x x x x f x ''-=---=--=-，所以函数()f x '为奇函数，即函数的图象关于原 点对称，当2x π=时，1 ()1024 f ππ'=-<，当2x >时，()0f x '>恒成立，故选A.

3. 若2x =-是函数21 ()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（ ） A.1- B.32e -- C.3 5e - D.1 【答案】 A 4． 若曲线()ln y x a =+的一条切线为y ex b =+，其中,a b 为正实数，则2 e a b ++的取值范围是（ ） A.2,2e e ?? ++∞ ??? B.[),e +∞ C.[)2,+∞ D.[)2,e C 【解析】设切点为),(00y x ，则有2)ln(1 000-=???? ??+=+=+ae b b ex a x e e x ，e a b 2,0>∴>Θ， 21 2≥+=++ a a b e a ，故选C. 5． 已知函数2 x y =的图象在点),(2 00x x 处的切线为l ，若l 也与函数x y ln =，)1,0(∈x 的图象相切，则0x 必满足（ ） A ．2100< ， 且2 01x >，解得01x >由0 12m x = ，可得()200,ln 210x x --=，令()()2 ln 21,f x x x =-- ()()1 1,'20,x f x x f x x >=- >在1x >递增， 且22ln 2210,33ln 2 310f f =-<=->，则有()2 00ln 210x x --=的根02,3x ∈ ，故

第7讲 导数及其应用的习题(教师版)

第7讲 导数及其应用的习题 一．要点梳理 1．f ′(x )>0在(a ，b )上成立是f (x )在(a ，b )上单调递增的充分条件利用导数研究函数的单调性比用函数单调性的定义要方便，但应注意f ′(x )>0(或f ′(x )<0)仅是f (x )在某个区间上递增(或递减)的充分条件．在区间(a ，b )内可导的函数f (x )在(a ，b )上递增(或递减)的充要条件应是f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)，x ∈(a ，b )恒成立，且f ′(x )在(a ，b )的任意子区间内都不恒等于0.这就是说，函数f (x )在区间上的增减性并不排斥在该区间内个别点x 0处有f ′(x 0)＝0，甚至可以在无穷多个点处f ′(x 0)＝0，只要这样的点不能充满所给区间的任何子区间，因此在已知函数f (x )是增函数(或减函数)求参数的取值范围时，应令f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立解出参数的取值范围，然后检验参数的取值能否使f ′(x )恒等于0，若能恒等于0，则参数的这个值应舍去，若f ′(x )不恒为0，则由f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)，x ∈(a ，b )恒成立解出的参数的取值范围确定． 2．对于可导函数f (x )，f ′(x 0)＝0并不是f (x )在x ＝x 0处有极值的充分条件对于可导函数f (x )，x ＝x 0是f (x )的极值点，必须具备①f ′(x 0)＝0，②在x 0两侧，f ′(x )的符号为异号．所以f ′(x 0)＝0只是f (x )在x 0处有极值的必要条件，但并不充分． 二．疑点清源 1．运用导数不仅可以求解曲线的斜率，研究函数的单调性，确定函数的极值与最值，还可利用导数研究参数的取值范围，来讨论方程根的分布与证明不等式． 2．用导数研究参数的取值范围，确定方程根的个数，证明不等式，其实质就是转化成函数的单调性、极值与最值的问题，运用导数进行研究． 3．函数的极值与函数的最值是有区别与联系的：函数的极值是一个局部性概念，而最值是某个区间的整体性概念；函数的极值可以有多个，而函数的最大(小)值最多只有一个 4．极值点不一定是最值点，最值也不一定是极值点，但如果连续函数在区间(a ，b )内只有一个极值点，则极大值就是最大值，极小值就是最小值． 5．在求可导函数的最值时，不必讨论导数为零的点是否为极值点，而直接将导数为零的点与端点处的函数值进行比较即可． 6．对于一般函数而言，函数的最值必在下列各种点中取得：导数为零的点，导数不存在的点，端点． 三．典例精析 题型一：利用导数求函数的单调区间 例1：已知函数f (x )＝x 3－ax 2 －3x .(1)若f (x )在[1，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围；(2)若x ＝3是f (x )的极值点，求f (x )的单调区间． 解：(1)对f (x )求导，得f ′(x )＝3x 2 －2ax －3.由f ′(x )≥0，得a ≤32? ????x －1x .记t (x )＝ 32 ? ?? ??x －1x ，当x ≥1时，t (x )是增函数，t (x )min ＝32(1－1)＝0.?a ≤0. (2)由题意，f ′(3)＝0，即27－6a －3＝0，?a ＝4.?f (x )＝x 3－4x 2－3x ，f ′(x )＝3x 2 －8x －3.令f ′(x )＝0，得x 1 ＝－1 ，x 2＝3. 当x 变化时，f ′(x )、f (x )的变化情况如下表： ?f (x )的单调递增区间为? ????－≦，－3，(3，＋≦)，单调递减区间为? ????－3，3. 跟踪训练1：已知函数f (x )＝ln(x ＋1)－x ＋k 2 x 2 (k ≥0)．

教师用导数及其应用4

第4课 定积分与微积分基本定理（理科用） 【考点导读】 1． 了解定积分的实际背景，初步掌握定积分的相关概念，体会定积分的基本方法。 2． 了解微积分基本定理的含义，能利用微积分基本定理计算简单的定积分，解决一些简单的几何和物理 问题。 【基础练习】 1．下列等于1的积分是 （3） 。 （1）dx x ?1 （2）dx x ?+1 )1( （3）dx ?101 （4）dx ? 1 2 1 2.曲线3cos (0)2 y x x π=≤≤ 与坐标轴围成的面积是 52 。 3．已知自由落体运动的速率v gt =，则落体运动从0t =到0t t =所走的路程为 2 2 0gt 。 4．如果10N 的力能使弹簧压缩10cm ，为在弹性限度内将弹簧拉长6cm ，则力所做的功为 0.18J 。 5．2 20 (3)10,x k dx k +==?则 1 , 8-=? __45 4 。 【范例导析】 例1．计算下列定积分的值： （1）?--3 1 2 )4(dx x x ；（2）?-2 1 5 )1(dx x ；（3）dx x x ?+20 )sin (π ；（4）dx x ?-22 2 cos π π； 分析：求函数()f x 在某一区间上的定积分，常用的方法有两种：一是利用定积分的几何意义，转化为曲边梯形的面积来处理；二是应用微积分基本定理，关键在于找到()F x ，使()()F x f x '=。 解：（1）3 2 2 33 111 20(4)(2)|3 3 x x dx x x ---=-= ? （2）因为5 6)1(])1(6 1 [-='-x x ，所以6 1|)1(6 1)1(2 1621 5 = -= -?x dx x ； （3）22 2200 (sin )( cos )|12 8 x x x dx x π π π +=-= +? （4）2 2222 2 2 1cos 2sin 2cos |2 2 4 2 x x x xdx dx ππ π ππ ππ -- -+= =+ = ?? dx x ? - 2 2 2 cos π π 点评：除了题目有明确要求之外，在求定积分的两种方法中我们基本上选用微积分基本定理解决问题，避免每次都要进行“分割、以直代曲、作和、逼近”的操作，不过有时候我们不容易找到比较()F x ，这时候用定义或者其几何意义就显得方便了。 例2．利用定积分表示下列图形的面积：

高中数学人教版选修1-1(文科)第三章导数及其应用3.3.2函数的极值与导数A卷

高中数学人教版选修1-1（文科）第三章导数及其应用 3.3.2 函数的极值与导数A 卷 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 一、单选题 (共8题；共16分) 1. （2分） (2016高二下·会宁期中) 已知实数a，b，c，d成等比数列，且曲线y=3x﹣x3的极大值点坐标为（b，c）则ad等于（） A . 2 B . 1 C . ﹣1 D . ﹣2 2. （2分）(2019·长春模拟) 已知函数有且只有一个极值点，则实数构成的集合是（） A . B . C . D . 3. （2分） (2019高一下·黑龙江月考) 已知函数 f（x）=ax3-3x2+1 ，若 f（x）存在唯一的零点 x0 ，且x0 ＞0 ，则 a 的取值范围是（） A . （2，+∞） B . （1，+∞） C . （-∞，-2）

D . （-∞，-1） 4. （2分）(2017·江西模拟) 若函数f（x）=[x3+3x2+（a+6）x+6﹣a]e﹣x在区间（2，4）上存在极大值点，则实数a的取值范围是（） A . （﹣∞，﹣32） B . （﹣∞，﹣27） C . （﹣32，﹣27） D . （﹣32，﹣27] 5. （2分） (2017高三上·唐山期末) 已知函数，则使得成立的的取值范围是（） A . B . C . D . 6. （2分）若函数f(x)＝x3－2cx2＋x有极值点，则实数c的取值范围为（） A . B . C . ∪ D . ∪

7. （2分） (2020高二上·黄陵期末) 若函数在处取得极值，则（） A . 2 B . 3 C . 4 D . 5 8. （2分）(2017·葫芦岛模拟) 设a，b∈R且a＜b，若a3eb=b3ea ，则下列结论中一定正确的个数是（） ①a+b＞6；②ab＜9；③a+2b＞9；④a＜3＜b． A . 1 B . 2 C . 3 D . 4 二、填空题 (共3题；共3分) 9. （1分）(2016·江苏模拟) 已知函数f（x）=x2+2x+alnx在区间（0，1）内无极值点，则a的取值范围是________． 10. （1分） (2019高三上·长春月考) 已知函数有两个不同的极值点 ,且不等式 恒成立,则的取值范围是________． 11. （1分）若函数f（x）=x2﹣lnx+1在其定义域内的一个子区间（a﹣1，a+1）内存在极值，则实数a的取值范围________ 三、解答题 (共3题；共25分) 12. （5分）已知函数f（x）=+ax，x＞1． （Ⅰ）若f（x）在（1，+∞）上单调递减，求实数a的取值范围；

导数及其应用.板块一.导数的概念与几何意义.教师版

智康高中数学.板块一.导数的概念与几何意义.题库.教师版 1．函数的平均变化率： 一般地，已知函数()y f x =，0x ，1x 是其定义域内不同的两点，记10x x x ?=-， 10y y y ?=-10()()f x f x =-00()()f x x f x =+?-， 则当0x ?≠时，商00()()f x x f x y x x +?-?= ??称作函数()y f x =在区间00[,]x x x +?（或00[,]x x x +?）的平均变化率． 注：这里x ?，y ?可为正值，也可为负值．但0x ?≠，y ?可以为0． 2．函数的瞬时变化率、函数的导数： 设函数()y f x =在0x 附近有定义，当自变量在0x x =附近改变量为x ?时，函数值相应的改变00()()y f x x f x ?=+?-． 如果当x ?趋近于0时，平均变化率00()() f x x f x y x x +?-?= ??趋近于一个常数l （也就是说平均变化率与某个常数l 的差的绝对值越来越小，可以小于任意小的正数），那么常数l 称为函数()f x 在点0x 的瞬时变化率． “当x ?趋近于零时，00()() f x x f x x +?-?趋近于常数l ”可以用符号“→”记作： “当0x ?→时，00()()f x x f x l x +?-→?”，或记作“000()() lim x f x x f x l x ?→+?-=?”， 符号“→”读作“趋近于”． 函数在0x 的瞬时变化率，通常称为()f x 在0x x =处的导数，并记作0()f x '． 这时又称()f x 在0x x =处是可导的．于是上述变化过程，可以记作 “当0x ?→时，000()()()f x x f x f x x +?-'→?”或“0000()() lim ()x f x x f x f x x ?→+?-'=?”． 3．可导与导函数： 如果()f x 在开区间(,)a b 内每一点都是可导的，则称()f x 在区间(,)a b 可导．这样，对开区间(,)a b 内每个值x ，都对应一个确定的导数()f x '．于是，在区间(,)a b 内，()f x '构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数()y f x =的导函数．记为()f x '或y '（或x y '）． 导函数通常简称为导数．如果不特别指明求某一点的导数，那么求导数指的就是求导函数． 4．导数的几何意义： 设函数()y f x =的图象如图所示．AB 为过点00(,())A x f x 与00(,())B x x f x x +?+?的一条割线．由此割线的斜率是00()() f x x f x y x x +?-?= ??，可知曲线割线的斜率就是函数的平均变化率．当点B 沿曲线趋近于点A 时，割线AB 绕点A 转动，它的最终位置为直线AD ，这条直线AD 叫做此曲线过点A 的切线，即 知识内容 板块一.导数的概念 与几何意义

导数及其应用教师版

三、经典例题导讲 [例1]已知2)2cos 1(x y +=,则='y . 错因：复合函数求导数计算不熟练,其x 2与x 系数不一样也是一个复合的过程,有的同学忽视了,导致错解为:)2cos 1(2sin 2x x y +-='. 正解：设2u y =,x u 2cos 1+=,则)2()2sin (2)2cos 1(2'?-?='+=''='x x u x u u y y x u x )2cos 1(2sin 42)2sin (2x x x u +-=?-?=∴)2cos 1(2sin 4x x y +-='. [例2]求322+=x y 在点)5,1(P 和)9,2(Q 处的切线方程。 错因：直接将P ，Q 看作曲线上的点用导数求解。 分析：点P 在函数的曲线上，因此过点P 的切线的斜率就是y '在1=x 处的函数值； 点Q 不在函数曲线上，因此不能够直接用导数求值，要通过设切点的方法求切线． 解：4.4,3212= ' ∴='∴+==x y x y x y ，即过点P 的切线的斜率为4，故切线为：14+=x y ． 设过点Q 的切线的切点为),(00y x T ，则切线的斜率为04x ，又2 9 00--= x y k PQ ， 故002 42 6 2x x x =--，3,1.06820020=∴=+-∴x x x 。即切线QT 的斜率为4或12，从而过点Q 的切线为： 1512,14-=-=x y x y 点评： 要注意所给的点是否是切点．若是，可以直接采用求导数的方法求；不是则需设出切点坐标． [例3]求证：函数x x y 1 + =图象上的各点处切线的斜率小于1，并求出其斜率为0的切线方程. 分析： 由导数的几何意义知，要证函数x x y 1 +=的图象上各点处切线的斜率都小于1，只要证它的导函数的函数值 都小于1，因此，应先对函数求导后，再进行论证与求解. 解：（1）11 1,12<-='∴+ =x y x x y ，即对函数x x y 1+=定义域内的任一x ，其导数值都小于1，于是由导数的几 何意义可知，函数x x y 1 +=图象上各点处切线的斜率都小于1. （2）令01 12 =- x ，得1±=x ，当1=x 时，2111=+=y ；当1-=x 时，2-=y ， ∴曲线x x y 1 + =的斜率为0的切线有两条，其切点分别为)2,1(与)2,1(--，切线方程分别为2=y 或2-=y 。 点评： 在已知曲线 )(x f y =切线斜率为k 的情况下，要求其切线方程，需要求出切点，而切点的横坐标就是)(x f y =的导数值为k 时的解，即方程k x f =')(的解，将方程k x f =')(的解代入)(x f y =就可得切点的纵坐标，求出了切点坐标即可写出切线方程，要注意的是方程k x f =')(有多少个相异实根，则所求的切线就有多少条.

导数及其应用的习题教师版

导数及其应用的习题 一．要点梳理 1．f ′(x )>0在(a ，b )上成立是f (x )在(a ，b )上单调递增的充分条件利用导数研究函数的单调性比用函数单调性的定义要方便，但应注意f ′(x )>0(或f ′(x )<0)仅是f (x )在某个区间上递增(或递减)的充分条件．在区间(a ，b )内可导的函数f (x )在(a ，b )上递增(或递减)的充要条件应是f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)，x ∈(a ，b )恒成立，且f ′(x )在(a ，b )的任意子区间内都不恒等于0.这就是说，函数f (x )在区间上的增减性并不排斥在该区间内个别点x 0处有f ′(x 0)＝0，甚至可以在无穷多个点处f ′(x 0)＝0，只要这样的点不能充满所给区间的任何子区间，因此在已知函数f (x )是增函数(或减函数)求参数的取值范围时，应令f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立解出参数的取值范围，然后检验参数的取值能否使f ′(x )恒等于0，若能恒等于0，则参数的这个值应舍去，若f ′(x )不恒为0，则由f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)，x ∈(a ，b )恒成立解出的参数的取值范围确定． 2．对于可导函数f (x )，f ′(x 0)＝0并不是f (x )在x ＝x 0处有极值的充分条件对于可导函数f (x )，x ＝x 0是f (x )的极值点，必须具备①f ′(x 0)＝0，②在x 0两侧，f ′(x )的符号为异号．所以f ′(x 0)＝0只是f (x )在x 0处有极值的必要条件，但并不充分． 二．疑点清源 1．运用导数不仅可以求解曲线的斜率，研究函数的单调性，确定函数的极值与最值，还可利用导数研究参数的取值范围，来讨论方程根的分布与证明不等式． 2．用导数研究参数的取值范围，确定方程根的个数，证明不等式，其实质就是转化成函数的单调性、极值与最值的问题，运用导数进行研究． 3．函数的极值与函数的最值是有区别与联系的：函数的极值是一个局部性概念，而最值是某个区间的整体性概念；函数的极值可以有多个，而函数的最大(小)值最多只有一个 4．极值点不一定是最值点，最值也不一定是极值点，但如果连续函数在区间(a ，b )内只有一个极值点，则极大值就是最大值，极小值就是最小值． 5．在求可导函数的最值时，不必讨论导数为零的点是否为极值点，而直接将导数为零的点与端点处的函数值进行比较即可． 6．对于一般函数而言，函数的最值必在下列各种点中取得：导数为零的点，导数不存在的点，端点． 三．典例精析 题型一：利用导数求函数的单调区间 例1：已知函数f (x )＝x 3－ax 2－3x .(1)若f (x )在[1，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范 围；(2)若x ＝3是f (x )的极值点，求f (x )的单调区间． 解：(1)对f (x )求导，得f ′(x )＝3x 2－2ax －3.由f ′(x )≥0，得a ≤32? ????x －1x .记t (x )＝32? ????x －1x ，当x ≥1时，t (x )是增函数，t (x )min ＝32 (1－1)＝0.∴a ≤0. (2)由题意，f ′(3)＝0，即27－6a －3＝0，∴a ＝4.∴f (x )＝x 3－4x 2－3x ，f ′(x )＝3x 2－8x －3.令f ′(x )＝0，得x 1＝－13 ，x 2＝3. 当x 增 减 增

人教版《导数及其应用》单元测试

<<导数及其应用>>单元测试 一、选择题（每小题4分，共40分） 1．下列求导数运算正确的是 ( ) A ．(x+2 11)1x x + =' B ．(log 2x)′=2ln 1x C ．(3x )′=3x log 3e D ． (x 2 cosx)′=-2xsinx 2．下列积分的值等于1的是（ ） A ． ? 1 xdx B ． ? +1 )1(dx x C ．? 1 01dx D ． ?1 021dx 3．函数,93)(23-++=x ax x x f 已知3)(-=x x f 在时取得极值，则a ＝（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 4．函数1)(3++=x ax x f 有极值的充要条件是（ ） （ ） A ．0>a B ．0≥a C ．0a ，函数3()f x x ax =-在[1,)+∞上是单调增函数，则a 的最大值是（ ） A ． 0 B ． 1 C ． 2 D ． 3 8．在函数x x y 83 -=的图象上，其切线的倾斜角小于 4 π 的点中，坐标为整数的点的个数是（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 9．设f(x)、g(x)分别是定义在R 上的奇函数和偶函数,当x ＜0时,)()()()(x g x f x g x f '+' ＞0.且g(3)=0.则不等式f(x)g(x)＜0的解集是 ( ) A ． (-3,0)∪(3,+∞) B ． (-3,0)∪(0, 3) C ． (-∞,- 3)∪(3,+∞) D ． (-∞,- 3)∪(0, 3) 10.若x x x sin 32,2 0与则π < <的大小关系 ( ) A ．x x sin 32> B ．x x sin 32< C ．x x sin 32= D ．与x 的取值有关

导数及其应用同步练习题(教师版)

、选择题 6x 1 .函数y 一6笃的极大值为( ) 1 x A. 3 B. 4 C. 2 D. 5 2 答案】A 【解析】 6(1 x ) 6x 2x 2 6(1 x ) 2 、2 , (1 x ) x-i 1,x 2 1,当x=1时，y 取得极大值，极 (1 2 、2 x ) 大值为y 3. 2 .函数y x lnx 的单调递减区间是 ( ) A.( ,e )) B. ( e ,)) C. (e, )D. 1 \ (0, e ) 【答案】D 【解析】试题分析：函数定义域 0, , Q y xlnx y ln x 1，令y 0得0 x e 1，所以 减区间为 0‘e 1考点：函数单调性点评：判定函数单调性先求定义域，然后由导数小于零求得减区间，由导数 大于零求得增区间 3 .函数y x 2(2 x 2)取得最大值时x 的值是( ) A . 1 B . 1 C . 1 D . 2 2 2 3 【答案】C 【解析】解：因为 y x (2 x ) y' 4x 4x 4x(1 x)(1 x)，可知当y ' >0时，和y ' <0时 的解集，进而得到极值，从而得到最值，可知在 x= 1时，取得最大值。选 C 4.已知函数y f(x)，其导函数y f'(x)的图象如下图，则对于函数 y f (x)的描述正确的是( ) 【答案】C 【解析】由y f'(x)的图象可知f(x)在x=2处取得极小值，在x=0,x=4处取得极大值，在(4,) 上为减函数. 3 5?函数f(x) x 3bx 3b 在(0,1)内有极小值，则( ) 1 A . 0 b 1 B . b 1 C . b 0 D . b - 2 【答案】A 【解析】试题分析：先对函数 f (x )进行求导，然后令导函数等于 0,由题意知在(0, 1)内必有根， 从而得到b 的范围。解：因为函数在(0, 1)内有极小值，所以极值点在(0, 1) 上.令f (x ) =3x 2-3b=0,得 x 2=b ,显然 b > 0,二 x=± ，又T x €( 0, 1), A 0v v 1.「. 0v b v 1，故选 A . 导数及其应用同步练习题 )上为减函数D.在x 2处取得最小值 0处取得最大值C.在(4,

导数及其应用同步练习题(教师版)

导数及其应用同步练习题 一、选择题 1． 函数2 16x x y +=的极大值为（ ） A. 3 B. 4 C. 2 D. 5 【答案】A 【解析】222222 6(1)626(1) (1)(1) x x x x y x x +-?-'==++,121,1x x =-=,当x=1时，y 取得极大值，极大值为3y =. 2．函数x y =lnx 的单调递减区间是 （ ） A.(),1 -∞-e ) B. (),1 +∞-e ) C. （+∞,e ） D. （0，e 1-） 【答案】D 【解析】试题分析：函数定义域()0,+∞， ln ln 1y x x y x '=∴=+，令0y '<得10x e -<<，所以 减区间为() 10,e -考点：函数单调性点评：判定函数单调性先求定义域，然后由导数小于零求得减区间，由导数大于零求得增区间 3．函数2 2 (2)y x x =-取得最大值时x 的值是（ ） A ．1- B ．1 C ．1± D ．2 【答案】C 【解析】解：因为2 2 3 (2)'444(1)(1)=-∴=-=-+y x x y x x x x x ，可知当y ’>0时，和y ’<0时的解集，进而得到极值，从而得到最值，可知在x=1±时，取得最大值。选C 4． 已知函数)(x f y =，其导函数)('x f y =的图象如下图，则对于函数)(x f y =的描述正确的是（ ） A. 在)0,(-∞上为减函数 B. 在0=x 处取得最大值 C. 在),4(+∞上为减函数 D. 在2=x 处取得最小值 【答案】C 【解析】由)('x f y =的图象可知f(x)在x=2处取得极小值，在x=0,x=4处取得极大值，在),4(+∞上为减函数. 5．函数3 ()33f x x bx b =-+在(0,1)内有极小值，则（ ） A ．01b << B ．1b < C ．0b > D ．1 2 b < 【答案】A 【解析】试题分析：先对函数f （x ）进行求导，然后令导函数等于0，由题意知在（0，1）内必有根， 从而得到b 的范围。解：因为函数在（0，1）内有极小值，所以极值点在（0，1）上．令f'（x ）=3x 2 -3b=0，得 x 2 =b ，显然b ＞0，又∵x ∈（0，1），∴01．∴0＜b ＜1，故选A ．